aula 06
torção
Prof. João Adriano Rossignolo
Prof. Holmer Savastano Júnior
ZEA 0566
Resistência dos Materiais
Torção
� Esforços internos de torção
� Equação matemática para cálculo das tensões tangenciais
� Distribuição das tensões tangenciais nos corpos solicitados
� Ângulo de torção
� Momento polar de Inércia
Torção em Eixos de Seção Circular
• A turbina exerce sobre o eixo de transmissão o momento torçor T.
• O gerador reage, exercendo sobre o eixo um momento igual e contrário T’.
• O eixo transmite o momento T ao gerador.
Análise das Tensões num Eixo
• O momento torçor T tem a mesma
( )∫ ∫== dAdFT τρρ
• O momento torçor T tem a mesmaintensidade que a soma dos momentosdF, em relação ao centro:
Análise das Tensões num Eixo
• O momento torçor produz tensõestangenciais nas faces perpendiculares aoeixo da barra.
• Condições de equilíbrio requerem aexistência de tensões tangenciais nas
• Considerando o eixo constituído por lâminasfinas, verifica-se o deslizamento daslâminas devido à aplicação de momentos,com a mesma intensidade e sentidosopostos, nas extremidades da peça.
existência de tensões tangenciais nasduas faces formadas pelos planos quepassam pelo eixo.
MECHANICS OF MATERIALS
Third
Editio
n
Beer • Johnston • DeWolf
• O ângulo de torção é proporcional a T e aocomprimento L do eixo:
T∝φ
Deformações nos Eixos de Secção Circular
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
L∝φ
• Nos eixos circulares, as secções transversaismantêm-se planas e não se deformam.
Deformações nos Eixos de Secção Circular
ρφ
• A distorção numa barra circular varialinearmente com a distância ao eixo da barra.
maxmax e γρ
γφ
γcL
c==
LL
ρφγρφγ == ou
Tensões no Regime Elástico
41 cJ π=
maxτρ
τc
=
Aplicando a lei de Hooke,
(G = módulo de deformação transversal)
γτ G= , vem:
4
21 cJ π=
( )41422
1 ccJ −= π
e maxJ
T
J
Tc ρττ ==
• Fórmulas de torção no regime elástico:
[ J = momento de inércia polar ]
A tensão tangencial varia linearmente coma distância ao eixo da barra.
Tensões no Regime Elástico
• Considerar um elemento que forme um ângulo de 45o com o eixo da barra,
( )
max0
0max45
0max0max
2
2
245cos2
o ττ
σ
ττ
===
==
A
A
A
F
AAF
Modos de Falha Torcionais
• Os materiais ductéis geralmente rompem por tensões tangenciais.
• Material dúctil.
• Material frágil.
O eixo circular BC é oco e tem diâmetros de90mm e 120mm, respectivamente interno eexterno. Os eixos AB e CD são maciços, comdiâmetro d. Determinar:
Exercício Resolvido 1
a) O valor máximo e mínimo da tensão tangencial no eixo BC;
b) O diâmetro necessário nos eixos AB e CD, se a tensão admissível nomaterial for de 65 MPa.
• Considerar secções transversais nos eixos AB e BC,e recorrer ao equilíbrio estático:
( )
CDAB
ABx
TT
TM
=⋅=
−⋅==∑
mkN6
mkN60
( ) ( )
mkN20
mkN14mkN60
⋅=
−⋅+⋅==∑
BC
BCx
T
TM
• Aplicar as fórmulas de torção noregime elástico, para determinar astensões tangenciais no eixo BC:
( ) ( ) ( )[ ]46
4441
42
m1092.13
045.0060.022
−×=
−=−=ππ
ccJ
( )( )MPa2.86
m1092.13
m060.0mkN2046
22max =
×
⋅===
−J
cTBCττ
MPa7.64
mm60
mm45
MPa2.86
min
min
2
1
max
min
=
==
τ
τττ
c
c
MPa7.64
MPa2.86
min
max
=
=
τ
τ
• Aplicar a fórmula de torção no regime elástico edeterminar o diâmetro necessário:
m109.38
mkN665
3
3
2
4
2
max
−×=
⋅===
c
cMPa
c
Tc
J
Tc
ππτ
mm8.772 == cd
Ângulo de Torção no Regime Elástico
L
cφγ =max
• Aplicando a Lei de Hooke,
JG
Tc
G== max
maxτ
γJGG
• Igualando as expressões e resolvendo em ordem ao ângulo,
JG
TL=φ ∑=
i ii
ii
GJ
LTφ
• Dadas as dimensões e o momento torçor aplicado, determinar as reacções ao momento em A e B.
Eixos Estaticamente Indeterminados
• A partir do diagrama de corpo livre,
Conclui-se que o problema é estaticamente
ftlb90 ⋅=+ BA TT
indeterminado.
ftlb9012
21 ⋅=+ AA TJL
JLT
• Substituir na equação de equilíbrio inicial,
ABBA T
JL
JLT
GJ
LT
GJ
LT
12
21
2
2
1
121 0 ==−=+= φφφ
• Dividir o eixo em duas secções, as quais devem ter deformações compatíveis,
Exercício Resolvido 2
Dois eixos maciços são ligado por duas engrenagens como mostra a figura.Para uma tensão de cisalhamento admissível de 55MPa e G = 80MPa.Calcular:
900 mm a) O maior momento torçor T0 quepode ser aplicado à extremidadedo eixo AB.
b) O ângulo de torção daextremidade A do eixo AB.
900 mm
24 mm
18 mm
600 mm
20 mm
56 mm
• Procede-se ao equilíbrio estático dosdois veios de modo a obter omomento torçor no veio CD emfunção do momento torçor aplicado T:
• Relações cinemáticas de rotação das duas engrenagens:
( )
( )
0
0
8.2
in.45.20
in.875.00
TT
TFM
TFM
CD
CDC
B
=
−==
−==
∑
∑
CB
CCB
CB
CCBB
r
r
rr
φφ
φφφ
φφ
8.2
in.875.0
in.45.2
=
==
=
• Cálculo do máximo momento torçor T0. • Cálculo do ângulo de torção na extremidade A do eixo AB.
( )( )( ) ( )64
2
/psi102.11in.375.0
.24in.lb561
×
⋅==
AB
ABBA
in
GJ
LTφ
π
( )( )
( )( )
in.lb561
in.5.0
in.5.08.28000
in.lb663
in.375.0
in.375.08000
0
4
2
0max
0
4
2
0max
⋅=
==
⋅=
==
T
Tpsi
J
cT
T
Tpsi
J
cT
CD
CD
AB
AB
π
π
τ
τ
inlb5610 ⋅=T
( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )ooo
/
oo
o
64
2
/
o
2
48.102.2226.8
26.895.28.28.2
95.2rad514.0
psi102.11in.5.0
.24in.lb5618.2
2.22rad387.0
psi102.11in.375.0
=+=+=
===
==
×
⋅==
==
×
BABA
CB
CD
CDDC
AB
in
GJ
LT
φφφ
φφ
φπ
o48.10=Aφ
Projecto de Eixos de Transmissão
• As principais especificações a serem consideradas são:
- potência;- velocidade de rotação.
• Determinar o momento torçor,
f
PPT
fTTP
πω
πω
2
2
==
==
• Determinar a secção do eixo,
( )
( ) ( ) vazadoseixos2
maciços eixos2
max
4
1
4
2
22
max
3
max
τπ
τπ
τ
Tcc
cc
J
Tc
c
J
J
Tc
=−=
==
=
• O projectista deverá seleccionarmateriais e dimensões adequadas,de modo a não exceder a tensãotangencial admissível.
Torção em Barras de Secção Não Circular
• Para barras de secção rectangular constante,
• As secções transversais de barras de secção não circular não permanecem planas.
• Para valores elevados de a/b, a tensão tangencial máxima e o ângulo de torção são os mesmos que para uma barra de secção rectangular.
Gabc
TL
abc
T3
22
1
max == φτ
constante,
Tubos de Paredes Finas
• Somando as forças aplicadas na porção AB, na direcção do eixo x,
A tensão tangencial varia inversamente com a espessura.
( ) ( )qttt
xtxtF
BBAA
BBAAx
===
∆−∆==∑τττ
ττ0
( ) ( )
tA
T
qAdAqdMT
dAqpdsqdstpdFpdM
2
22
2
0
0
=
===
====
∫∫
τ
τ
∫=t
ds
GA
TL24
φ
• Ângulo de torção,
MECHANICS OF MATERIALS
Third
Editio
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Exercício de Esforços Internos de Torção
Para o carregamento indicado e considerando que os apoios A e Bpermitem ao eixo girar livremente, represente o diagrama de esforçosinternos de torção.
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