Processamento Digital de Sinais
Renato da Rocha Lopes e Amauri Lopes
DECOM - Departamento de Comunicacoes - DECOMFaculdade de Engenharia Eletrica e de Computacao - FEEC
Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 1 / 63
Conteudo da Aula
1 Introducao
2 Filtros FIRIntroducaoTruncamentoJanelamentoKaiserFinalizando
3 Filtros IIRIntroducaoFiltros AnalogicosTransformacao BilinearButterworthChebyshevFinalizando
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Introducao
Conteudo da Aula
1 Introducao
2 Filtros FIRIntroducaoTruncamentoJanelamentoKaiserFinalizando
3 Filtros IIRIntroducaoFiltros AnalogicosTransformacao BilinearButterworthChebyshevFinalizando
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Introducao
Introducao
Especificacao da resposta em frequencia desejada
Especificacao da estrutura: FIR ou IIR Numero de coeficientes
Determinacao dos coeficientes
Representacao com precisao finita
Mudar Estrutura se necessario
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Introducao
Especificacao
Mascara da Resposta em Amplitude
|H( )|w
1+d1
1- d1
d2
00
wp wr wp
faixa depassagem
faixa detransição
faixa de rejeição
p/10
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Filtros FIR
Conteudo da Aula
1 Introducao
2 Filtros FIRIntroducaoTruncamentoJanelamentoKaiserFinalizando
3 Filtros IIRIntroducaoFiltros AnalogicosTransformacao BilinearButterworthChebyshevFinalizando
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Filtros FIR Introducao
Conteudo da secao
1 Introducao
2 Filtros FIRIntroducaoTruncamentoJanelamentoKaiserFinalizando
3 Filtros IIRIntroducaoFiltros AnalogicosTransformacao BilinearButterworthChebyshevFinalizando
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Filtros FIR Introducao
Filtros FIR
Fase Linear
Estaveis
Baixa sensibilidade a erros de arredondamento.
Resposta ao impulso h[n] diretamente ligada a coeficientes.
Desafio:
Resposta desejada Hd (!) leva a resposta temporal hd [n] de duracaoinfinita.
Que h[n] finito melhor aproxima hd [n]?
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Filtros FIR Introducao
Fase Linear
Fonte:www.dspguide.com/ch19/4.htm
Nao causa distorcao de fase,so atraso
Simetria na resposta. Exigido por comunicacoes
e processamento deimagem
Implementado com metadedas multiplicacoes
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Filtros FIR Introducao
Exemplo: filtro passa-baixas ideal
−pi −3pi/4 −pi/2 −pi/4 0 pi/4 pi/2 3pi/2 pi0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Resposta em Frequencia
Hd(ω
)
ω−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25Resposta ao Impulso
h d[n]
n
Problemas
Resposta de duracao infinita
Nao causal
Caracterıstica Desejavel:
Fase zero
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Filtros FIR Truncamento
Conteudo da secao
1 Introducao
2 Filtros FIRIntroducaoTruncamentoJanelamentoKaiserFinalizando
3 Filtros IIRIntroducaoFiltros AnalogicosTransformacao BilinearButterworthChebyshevFinalizando
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Filtros FIR Truncamento
Truncando a Resposta
Ideia para resposta ao impulso finita:
h[n] =
hd [n], ∣n∣ < N
0, caso contrario
−pi/2 −pi/4 0 pi/4 pi/20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
ω
H(ω
)
Resposta em Frequencia
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3Resposta ao Impulso
n
h[n]
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Filtros FIR Truncamento
Causalidade
Truncamento ainda nao e causal:
h[n]
y [n]x[n]
y [n] =
10∑
k=−10
x [n − k]h[k]
= x [n + 10]k[−10] + x [n + 9]h[−9] + ⋅ ⋅ ⋅ x [n − 10]h[10]
⇒ y [n] depende de valores futuros de x [n]
⇒ nao pode ser implementado em tempo real
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Filtros FIR Truncamento
Atraso e causalidade
Solucao causal: Desloca h[n] de 10 amostras para a direita:
h[n] =
hd [n − 10], 0 ≤ n ≤ 200, caso contrario
H(!) = e−j!10Htruncado(!)
⇒ mesma magnitude⇒ fase linear: −10!
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Filtros FIR Truncamento
Explicando Transicao e Oscilacoes
h[n] = hd [n]w [n]
H(ej!) =1
2
∫
−Hd (e
j)W (ej(!−))d
−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 400
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
w[n
]
Janela no Tempo
−pi −pi/2 0 pi/2 pi0
5
10
15
20
25
W(ω
)
ω
Janela em Frequência
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Filtros FIR Truncamento
Explicando Transicao
!! −−
Frequencia de Interesse
Janela
Frequencia de Interesse
Hd(ej!)
Janela
Hd(ej!)
Ponto A Ponto B
Ponto A: area comeca a diminuir Comeco da transicao
Ponto B: area termina da diminuir Fim da transicao
Largura da faixa de transicao depende da do lobulo central ≈ 2/N
H(!c) ≈ 1/2 Usa !c = (!p + !r )/2
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Filtros FIR Truncamento
Melhorando Transicao
Aumenta tamanho da janela, diminui transicao
−pi −pi/2 0 pi/2 pi0
1
2
3
4
5N = 5
−pi −pi/2 0 pi/2 pi0
5
10
15
20N = 20
−pi −pi/2 0 pi/2 pi0
2
4
6
8
10
ω
N = 10
−pi −pi/2 0 pi/2 pi0
10
20
30
40
50
ω
N = 50
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Filtros FIR Truncamento
Explicando Oscilacoes
!! − −
Frequencia de Interesse
Janela
Frequencia de Interesse
Hd(ej!)
Janela
Hd(ej!)
Area negativa virou positiva ⇒ oscilacao
Oscilacao depende da area dos lobulos laterais Igual nas faixas de passagem e rejeicao.
Para janela retangular, nao depende de N
Solucao: Outras janelas
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Filtros FIR Janelamento
Conteudo da secao
1 Introducao
2 Filtros FIRIntroducaoTruncamentoJanelamentoKaiserFinalizando
3 Filtros IIRIntroducaoFiltros AnalogicosTransformacao BilinearButterworthChebyshevFinalizando
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Filtros FIR Janelamento
Outras Janelas: Definicao
Bartlett (triangular) w [n] =
⎧
⎨
⎩
2n/M; 0 ≤ n ≤ M/22− 2n/M; M/2 ≤ n ≤ M
0; c .c .
Hanning w [n] =
0, 5 − 0, 5 cos(2n/M); 0 ≤ n ≤ M
0; c .c .
Hamming w [n] =
0, 54 − 0, 46 cos(2n/M); 0 ≤ n ≤ M
0; c .c .
Blackman
w [n] =
0, 42 − 0, 5 cos(
2nM
)
+ 0, 08 cos(
4nM
)
; 0 ≤ n ≤ M
0; c .c .
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Filtros FIR Janelamento
Outras Janelas: Tempo
0 25 500
0.5
1
BartletHanningHammigBlackamn
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Filtros FIR Janelamento
Outras Janelas: Frequencia
0 1 2 3−60
−50
−40
−30
−20
−10
0m
agni
tude
(dB
)
freqüência normalizada
(a)
Retangular
0 1 2 3−80
−60
−40
−20
0
mag
nitu
de (
dB)
freqüência normalizada
(b)
Bartlett
0 1 2 3−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
mag
nitu
de (
dB)
freqüência normalizada
(c)
Hanning
0 1 2 3−80
−60
−40
−20
0
mag
nitu
de (
dB)
freqüência normalizada
(d)
Hamming
0 1 2 3−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
mag
nitu
de (
dB)
freqüência normalizada
(e)
Blackman
0 1 2 3−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
mag
nitu
de (
dB)
freqüência normalizada
(e)
Kaiser, B=6
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Filtros FIR Janelamento
Outras Janelas: Caracterısticas
Tipo Amplitude Largura Oscilacaode do lobulo aproximada maximajanela lateral do lobulo aprox.
(dB) central (dB)
Retangular -13 4/(M + 1) -21Bartlett -25 8/M -25Hanning -31 8/M -44Hamming -41 8/M -53Blackman -57 12/M -74
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Filtros FIR Janelamento
Exemplo
Projetar um filtro passa-baixas com:
Frequencia de corte !c = /2,
largura da regiao de transicao ! ≤ 0,2,
erro maximo na faixa de passagem de 0, 02,
erro maximo na faixa de rejeicao de 0, 01.
Faixa de passagem ⇒ oscilacao < 20 ∗ log10(0,02) = −34 dB
Faixa de rejeicao ⇒ oscilacao < 20 ∗ log10(0,01) = −40 dB
Janela com menor transicao que satisfaz oscilacao: Hamming
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Filtros FIR Janelamento
Exemplo
8/M ≤ 0,2 ⇒ M ≥ 40
−pi −pi/2 0 pi/2 pi0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
ω
H(ω
)
−pi −pi/2 0 pi/2 pi−45
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
ω
H(ω
)
0 pi/4 pi/2−3
−2
−1
0
1
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Filtros FIR Kaiser
Conteudo da secao
1 Introducao
2 Filtros FIRIntroducaoTruncamentoJanelamentoKaiserFinalizando
3 Filtros IIRIntroducaoFiltros AnalogicosTransformacao BilinearButterworthChebyshevFinalizando
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Filtros FIR Kaiser
Janela de Kaiser
Projeto com janelas tradicionais envolve tentativa e erro.
Alternativa: Janela de Kaiser:
w [n] =
⎧
⎨
⎩
I0
[
1−(
n−
)2]1/2
I0 (), 0 ≤ n ≤ M
0, c .c .
Parametros:
= M/2
I0(x): funcao de Bessel Modificada de 1a especie e ordem zero
M: largura da janela
: altera a forma da janela, podendo ate aproximar outras janelas
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Filtros FIR Kaiser
Janela de Kaiser: Caracterısticas
escolhido para a mesma oscilacao
Tipo Amplitude Largura Osc. Janela Transicaode do lobulo aprox. maxima de Kaiser janelajanela lateral do lobulo aprox. equiv. Kaiser
(dB) central (dB) equiv.
Retangular -13 4M+1 -21 0 1,81/M
Bartlett -25 8/M -25 1,33 2,37/MHanning -31 8/M -44 3,86 5,01/MHamming -41 8/M -53 4,86 6,27/MBlackman -57 12/M -74 7,04 9,19/M
Kaiser tem transicao menor
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Filtros FIR Kaiser
Projeto com Janela de Kaiser
Sejam A = −20 log e ! = !r − !p
=
⎧
⎨
⎩
0, 1102(A − 8, 7), A > 500, 5842(A − 21)0,4 + 0, 07886(A − 21), 21 ≤ A ≤ 50
0, A < 21
M =A− 8
2, 285!
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Filtros FIR Kaiser
Exemplo
Projetar um filtro passa-baixas com:
Faixa de passagem ate !c = 0,4,
Frequencia de rejeicao !r = 0,6, largura da regiao de transicao ! ≤ 0,2
erro maximo na faixa de passagem de 0,01,
erro maximo na faixa de rejeicao de 0,001.
Menor oscilacao: 20 ∗ log10(0,001) = −60 dB
! = !r − !p = 0,2
⇒ = 5, 653, M = 37.
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Filtros FIR Kaiser
Resultado
0 10 20 30−0.2
0
0.2
0.4
0.6
h[n]
0 π/2 π−100
−60
−20
20
|H(ω
)|dB
0 0,2π 0,4π π/2 0,6π 0,8π π−0.0010
0.0005
0
0.0005
0.0010
−H
(ω)e
jωα
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Filtros FIR Finalizando
Conteudo da secao
1 Introducao
2 Filtros FIRIntroducaoTruncamentoJanelamentoKaiserFinalizando
3 Filtros IIRIntroducaoFiltros AnalogicosTransformacao BilinearButterworthChebyshevFinalizando
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Filtros FIR Finalizando
Comparacao
−pi −3pi/4 −pi/2 −pi/4 0 pi/4 pi/2 3pi/4 pi−50
−45
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
ω
H(ω
)
HammingKaiserRemez
0 pi/4 pi/2−5
0
5
10
15x 10
−3
ωp
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 33 / 63
Filtros FIR Finalizando
Outros filtros
Deslocamento em frequencia: h[n]ej!0n = H(! − !0)
⇒ 2h[n] cos(!0n) = H(! − !0) + H(! + !0)
Para passa-faixas ou passa-altas, usa w0 adequado
−pi −pi/2 0 pi/2 pi0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
ω
H(ω
)
Passa−BaixasPassa−Altas, ω
0 = π
Passa−Faixas, ω0 = π/2
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Filtros IIR
Conteudo da Aula
1 Introducao
2 Filtros FIRIntroducaoTruncamentoJanelamentoKaiserFinalizando
3 Filtros IIRIntroducaoFiltros AnalogicosTransformacao BilinearButterworthChebyshevFinalizando
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Filtros IIR Introducao
Conteudo da secao
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2 Filtros FIRIntroducaoTruncamentoJanelamentoKaiserFinalizando
3 Filtros IIRIntroducaoFiltros AnalogicosTransformacao BilinearButterworthChebyshevFinalizando
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Filtros IIR Introducao
Metodo Geral
Poderıamos calcular a Transformada de Fourier inversa da respostadesejada.
Resposta resultante tem duracao infinita ⇒ IIR Desvantagem da ideia: ausencia de metodo para mapear h[n] em polos
e zeros.
Tres metodos: Filtros Analogicos + Transformacao Bilinear Filtros Analogicos + Invariancia ao Impulso Otimizacao direta dos coeficientes.
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 37 / 63
Filtros IIR Filtros Analogicos
Conteudo da secao
1 Introducao
2 Filtros FIRIntroducaoTruncamentoJanelamentoKaiserFinalizando
3 Filtros IIRIntroducaoFiltros AnalogicosTransformacao BilinearButterworthChebyshevFinalizando
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Filtros IIR Filtros Analogicos
Transformada de Laplace
Como tranformada Z , mas para sistemas analogicos
Entrada do sistema: x(t) = est
Saıda do sistema: y(t) = H(s)est .
Definicao
ℒx(t) = X (s) =
∫
x(t)e−stdt
Propriedades
Linearidade: ℒax(t) + by(t) ←→ aX (s) + bY (s)
Diferenciacao: ℒ
ddtx(t)
←→ sX (s)
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Filtros IIR Filtros Analogicos
Laplace e Sistemas
Sistemas analogicos sao descritos por equacoes diferenciais.
Exemplo:d
dty(t) + y(t) =
d
dtx(t) + 2x(t)
Laplace: sY (s) + Y (s) = sX (s) + 2X (s)
Funcao de Transferencia: H(s) =Y (s)
X (s)=
s + 2
s + 1
Polos e Zeros
Determinam comportamento do sistema
Permitem calculo da resposta em frequencia: H(j!)
Estabilidade:
⇔ Polos estao no semi-plano esquerdo⇔ Parte real dos polos < 0.
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 40 / 63
Filtros IIR Transformacao Bilinear
Conteudo da secao
1 Introducao
2 Filtros FIRIntroducaoTruncamentoJanelamentoKaiserFinalizando
3 Filtros IIRIntroducaoFiltros AnalogicosTransformacao BilinearButterworthChebyshevFinalizando
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 41 / 63
Filtros IIR Transformacao Bilinear
Transformacao bilinear: Introducao
Objetivo: mapear polos e zeros analogicos em polos e zeros digitais deforma que
Polos estaveis, ℜs < 0, viram polos estaveis, ∣z ∣ < 1.
Frequencias analogicas, s = jΩ, viram frequencias digitais, z = ej!
Frequencias
AnalogicasFrequencias
Polos
Plano s
InstaveisPolos
jΩ
EstaveisPolos
Digitais
ℜz
ℑz
InstaveisPolos
Plano z
Estaveis
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 42 / 63
Filtros IIR Transformacao Bilinear
Transformacao bilinear: Definicao e Propriedades
s = c1− z−1
1 + z−1; z =
1 + s/c
1− s/c
ℜs < 0↔ ∣z ∣ < 1 Polos estaveis levam em polos estaveis
c : constante em geral 2.
s = jΩ↔ = ej!
! = 2 arctan(Ω/c)↔ Ω = c tan(!/2) Toda frequencia analogica e mapeada em uma frequencia digital. Mapeamento e nao linear ⇒ distorcao na resposta em frequencia
Para ∣Ω∣ ≪ 1 temos ∣!∣ ≃ 2Ω/c
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 43 / 63
Filtros IIR Transformacao Bilinear
Transformacao Bilinear em Frequencia
Hc(Ω)
Ω!
Ω H(!)
!
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 44 / 63
Filtros IIR Transformacao Bilinear
Resumo
1 Comece com uma mascara em frequencias discretas
2 Obtenha mascara analogica fazendo Ω = c tan(!/2) Para filtro passa-baixas, frequencias de passagem e corte: Ωp = c tan(!p/2), Ωr = c tan(!r/2)
3 Projete Hc(s)
4 Faca H(z) = H(s)∣s=c 1−z−1
1+z−1
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 45 / 63
Filtros IIR Butterworth
Conteudo da secao
1 Introducao
2 Filtros FIRIntroducaoTruncamentoJanelamentoKaiserFinalizando
3 Filtros IIRIntroducaoFiltros AnalogicosTransformacao BilinearButterworthChebyshevFinalizando
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 46 / 63
Filtros IIR Butterworth
Filtro de Butterworth Analogico
Hc(s) e maximamente plano em s = 0 Muitas derivadas nulas na origem.
∣HC (jΩ)∣ diminui quando Ω aumenta.
N: numero de polos.
∣Hc(Ω)∣2 =
1
1 + (Ω/Ωc)2N
Resultado: Hc (s) =ΩN
cN−1∏
k=0(s−sk )
,
com sk = Ωc exp(
j 2k+12N + j 2
)
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 47 / 63
Filtros IIR Butterworth
Resposta em Frequencia
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Ω/Ωc
|Hc(jΩ
)|2
N = 4N = 6
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 48 / 63
Filtros IIR Butterworth
Filtro de Butterworth Digital
H(z) = Hc(s)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
s = c1− z−1
1 + z−1
=ΩNc
N−1∏
k=0
(
c1− z−1
1 + z−1− sk
)
=ΩNc (1 + z−1)N
N−1∏
k=0
[
c − sk − (c + sk)z−1]
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 49 / 63
Filtros IIR Butterworth
Filtro de Butterworth Exemplo
|H( )|w dB
0
-1
-15
0 0,2p 0,3p wp
faixa depassagem
faixa de rejeição
faixa detransição
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 50 / 63
Filtros IIR Butterworth
Filtro de Butterworth Exemplo
Ωp = 2 tan(0, 1), Ωr = 2 tan(0, 15)
∣Hc (Ω)∣2 deve satisfazer
10 log ∣Hc(Ωp)∣2 ≥ −1 e 10 log ∣Hc (Ωr )∣
2 ≤ −15,
ou seja,
10 log1
1 +
[
2 tan(0, 1)
Ωc
]2N≥ −1 (1)
10 log1
1 +
[
2 tan(0, 15)
Ωc
]2N≤ −15. (2)
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 51 / 63
Filtros IIR Butterworth
Filtro de Butterworth Exemplo
⇒ N > 5, 304 ⇒ N = 6⇒ Ωc = 0,76622
Hc(s) =
0,20238
(s2 + 0,396s + 0,5871)(s2 + 1,083s + 0,5871)(s2 + 1,4802s + 0,5871)
H(z) =
0,0007378(1 + z−1)6
(1− 1,2686z−1 + 0,7051z−2)(1− 1,0106z−1 + 0,3583z−2)×
1
(1− 0,9044z−1 + 0,2155z−2)
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 52 / 63
Filtros IIR Butterworth
Resultado
0
0
0
0.5
1
-180
-120
-60
0
60
120
180
0,2p
0,2p
0,3p
0,3p
0,5p
0,5p
p
p
w
w
Fas
e (g
aus)
Mag
nit
ude
Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 53 / 63
Filtros IIR Chebyshev
Conteudo da secao
1 Introducao
2 Filtros FIRIntroducaoTruncamentoJanelamentoKaiserFinalizando
3 Filtros IIRIntroducaoFiltros AnalogicosTransformacao BilinearButterworthChebyshevFinalizando
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Filtros IIR Chebyshev
Introducao
Butterworth decresce monotonicamente: Mascara e satisfeita exatamente em !p e !r
Folga nas outras frequencias.
Chebyshev distribui erros na faixa: Tipo I: oscilacoes na faixa de passagem e monotonico na de rejeicao Tipo II: monotonico na faixa de passagem e oscilacoes na de rejeicao.
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Filtros IIR Chebyshev
Introducao
|H( )|w
d2
00
wp wrwp
faixa depassagem
faixade tran-sição
faixa de rejeição
1
1/(1+e )2 1/2
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Filtros IIR Chebyshev
Filtro de Chebyshev Analogico - Tipo I
∣Hc(Ω)∣2 =
1
1 + 2V 2N(Ω/Ωc )
Polinomio de Chebyshev
VN(x) = cos[N arccos(x)]
VN+1(x) = 2xVN(x)− VN−1(x)
V0(x) = 1; V1(x) = x
Parametros de Projeto
: Controla oscilacoes na faixa de passagem: −10 log10(
1 + 2)
Ωc : Igual a faixa de passagem, Ωp
N: Determina a faixa de rejeicao.
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Filtros IIR Chebyshev
Filtro de Chebyshev: Exemplo
|H( )|w dB
0
-1
-15
0 0,2p 0,3p wp
faixa depassagem
faixa de rejeição
faixa detransição
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Filtros IIR Chebyshev
Filtro de Chebyshev: Exemplo
Ωc = Ωp = 2 tan(0, 1) = 0, 6498
Determinando :
−10 log(1 + 2) = −1⇒ = 0, 50885
Determinando N:
−10 log[
1 + 2V 2N(Ω/Ωc)
]
Ω=Ωr= −15
Como Ωr = 2 tan(0, 15), N = 4.Para Butterworth, N = 6.
Resultado
Hc(s) =0, 04381
(s2 + 0, 1814s + 0, 4166)(s2 + 0, 4378s + 0, 1180).
H(z) =0, 001836(1 + z−1)4
(1− 1, 4996z−1 + 0, 8482z−2)(1− 1, 5548z−1 + 0, 6493z−2)
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Filtros IIR Chebyshev
Resultado
00
1
ωp πω
|H(ω
)|
0−180
−90
0
90
180
πω
∠ H
(ω)
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Filtros IIR Finalizando
Conteudo da secao
1 Introducao
2 Filtros FIRIntroducaoTruncamentoJanelamentoKaiserFinalizando
3 Filtros IIRIntroducaoFiltros AnalogicosTransformacao BilinearButterworthChebyshevFinalizando
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Filtros IIR Finalizando
Filtros Elıpticos
Substitui VN(x) por funcaoracional.
Introduz oscilacoes nas duasfaixas
Mais eficiente N = 3 no exemplo anterior.
Intuitivo Espalha polos na faixa de
passagem Espalha zeros na faixa de
rejeicao−1 −0.5 0 0.5 1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
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Filtros IIR Finalizando
Projetando Outros Filtros
Para obter filtros passa-altas ou passa-faixas, e necessario fazertransformacao.
Sejam: p a frequencia de corte de um projeto, !p a nova frequencia de corte desejada.
Passa altas: Hnew(z) = Hold(Z ), onde:
Z =1− z−1
z−1 −
=sin
(
p−!p2
)
sin(
p+!p2
)
Outras transformacoes levam a outros tipos de filtro
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