![Page 1: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/1.jpg)
Structural Engineering - Lund University 1
Reliability analysis in engineering applications
• Sannolikhetsteorins grunder• Fördelningar och stokastiska variabler• Extremvärdesfördelningar• Simulering
Fredrik Carlsson
![Page 2: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/2.jpg)
Structural Engineering - Lund University 2
Sannolikhetsteorins grunderDEFINITIONER
Låt oss tänka oss ett kast med en tärning!
Utfallsrum (sample space): S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Utfall (sample point): Ett utfall, s i utfalls rummet S, s Є S, tex. s=2
Händelse (event): En händelse, A är en delmängd av utfallsrummet. tex. A>4
![Page 3: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/3.jpg)
Structural Engineering - Lund University 3
Sannolikhetsteorins grunderDEFINITIONER
Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar.
Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå en sexa?
P(Att med en tärning slå en sexa)=P(A)=1/6
Tex. vad är sannolikheten, P att med en tärning slåmer än 4?
P( A>4)=2/6=1/3
![Page 4: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/4.jpg)
Structural Engineering - Lund University 4
Sannolikhetsteorins grunderVenn-diagram
Utfallsrummet Grundmängden
Händelsen A; A inträffar
Delmängden, A
Komplementära händelsen Ac till
A; A inträffar inte
KomplementetAc till A
A
AcA
![Page 5: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/5.jpg)
Structural Engineering - Lund University 5
Sannolikhetsteorins grunderVenn-diagram
Unionshändelsen A U B; A eller B
eller båda inträffarUnionen A U B
Snitthändelsen A ∩ B; både A och B inträffar
A och B är oförenliga
händelser, A och B kan inte
inträffa samtidigt
A och B är disjunkta (Mutually
excluding)
A B
Snittet A ∩ B; A B
BA
![Page 6: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/6.jpg)
Structural Engineering - Lund University 6
Sannolikhetsteorins grunder
Mer om sannolikhet:
Låt A vara en händelse i utfallsrummet S.
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(S) = 1A s
![Page 7: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/7.jpg)
Structural Engineering - Lund University 7
Sannolikhetsteorins grunder
AB
Betrakta två disjunkta händelser A och B, sannolikheten att någon av händelserna inträffar är unionen av de båda händelserna.
P(A U B)=P(A)+P(B)
Det innebär att: A ∩ B = Ø
Ø är den tomma mängden (omöjlig händelse P(A ∩ B) = 0
![Page 8: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/8.jpg)
Structural Engineering - Lund University 8
Sannolikhetsteorins grunderBetrakta två händelser A och B, sannolikheten att någon av händelserna inträffar är unionen av de båda händelserna.
P(A U B)=P(A)+P(B)- P(A ∩ B)
A B
![Page 9: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/9.jpg)
Structural Engineering - Lund University 9
Sannolikhetsteorins grunderOberoende och beroende händelser
A och B är oberoende om:P(A ∩ B) =P(A)*P(B)
P(A ∩ B) ≠P(A)*P(B)
A och B är beroende om:
![Page 10: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/10.jpg)
Structural Engineering - Lund University 10
Sannolikhetsteorins grunderExempel: Kast med en tärning
Är A och B oberoende?
A = {Att slå ett jämt tal} = {2, 4, 6}
B = { Att slå en 2 eller 3 } = { 2, 3}
![Page 11: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/11.jpg)
Structural Engineering - Lund University 11
Sannolikhetsteorins grunderExempel: Kast med en tärning
Är A och B oberoende om P(1,3,4,5,6)=0,15 och P(2)=0,25?
A = {Att slå ett jämt tal} = {2, 4, 6}
B = {Att slå en 2 eller 3} = {2, 3}
![Page 12: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/12.jpg)
Structural Engineering - Lund University 12
Sannolikhetsteorins grunderExempel: Räddningsstation
Vid en räddningsstation har man observerat att sannolikheten för att få ett SOS larm under en
speciell dag är 0,15. Antag att larmen är oberoende händelser. Betrakta en vecka och beräkna följande
sannolikheter?
P(Ett larm under måndagen)
P(Ett larm på måndagen och tisdagen)
P(Exakt ett larm under veckan)
P (Exakt tre larm under veckan)
![Page 13: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/13.jpg)
Structural Engineering - Lund University 13
Sannolikhetsteorins grunderMöjlighet: MÅN TIS ONS TORS FRE LÖR SÖN
1 1 2 32 1 2 33 1 2 34 1 2 35 1 2 36 1 2 37 1 2 38 1 2 39 1 2 310 1 2 311 1 2 312 1 2 313 1 2 314 1 2 315 1 2 316 1 2 317 1 2 318 1 2 319 1 2 320 1 2 321 1 2 322 1 2 323 1 2 324 1 2 325 1 2 326 1 2 327 1 2 328 1 2 329 1 2 330 1 2 331 1 2 332 1 2 333 1 2 334 1 2 335 1 2 3
P (Exakt tre larm under veckan)
![Page 14: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/14.jpg)
Structural Engineering - Lund University 14
Sannolikhetsteorins grunderBinomialfördelningen
Låt oss anta att vi gör ett n antal oberoende försök. Varje försök har sannolikheten p att
lyckas. En viktig frågeställning är, vad är sannolikheten att lyckas med P(K=k) försök av n
gjorda försök.
![Page 15: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/15.jpg)
Structural Engineering - Lund University 15
Sannolikhetsteorins grunderBinomialfördelningen
( ) knkk pp
kn
pkKP −−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=== 1)(
)!(!!
knkn
kn
−⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
n: antal försökp: sannolikheten att lyckask: antalet lyckade försökP(K=k): sannolikheten för k lyckade försök
![Page 16: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/16.jpg)
Structural Engineering - Lund University 16
Sannolikhetsteorins grunderFortsättning: Räddningsstationen
Vid en räddningsstation har man observerat att sannolikheten för att få ett SOS larm under en
speciell dag är 0,15. Antag att larmen är oberoende händelser. Betrakta en vecka och beräkna följande
sannolikheter?
P(Exakt ett larm under veckan)
P (Exakt tre larm under veckan)
![Page 17: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/17.jpg)
Structural Engineering - Lund University 17
Sannolikhetsteorins grunderBetingad sannolikhet:
Låt oss betrakta två händelser: A och B
Sannolikheten att B inträffar givet att A har
inträffat betecknas P(B|A)
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
![Page 18: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/18.jpg)
Structural Engineering - Lund University 18
Sannolikhetsteorins grunderExempel: Betingad sannolikhet.
Penna: 1 2 3 4 5 6 7 8
Färg: R R R S S S S S
Hårdhet: H H M H H H M M
A={Röd penna väljes}
B={Det är en hård penna}
![Page 19: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/19.jpg)
Structural Engineering - Lund University 19
Sannolikhetsteorins grunderPenna: 1 2 3 4 5 6 7 8
Färg: R R R S S S S S
Hårdhet: H H M H H H M M
P(A)=3/8
P(B)=5/8
Vad är sannolikheten att välja en röd hård penna P(A∩B)?
Vad är sannolikheten att välja en hård penna givet att den är röd P(B|A)?
![Page 20: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/20.jpg)
Structural Engineering - Lund University 20
Sannolikhetsteorins grunderOm A och B är oberoende händelser:
P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=(P(A)*P(B))/P(A)=P(B)
Kunskapen om sannolikheten att A inträffar påverkar inte sannolikheten att B inträffar
![Page 21: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/21.jpg)
Structural Engineering - Lund University 21
Sannolikhetsteorins grunderKast med en tärning, där N är antalet prickar:
Vad är sannolikheten att N<3 då vi vet att N är udda?
![Page 22: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/22.jpg)
Structural Engineering - Lund University 22
Sannolikhetsteorins grunderSatsen om: Total sannolikhet
S
A1
A2 A4
A3
A1……A4 är partitioner av S, dvs.
P(A1 U A2 U A3 U A4)=P(A1)+ P(A2)+ P(A3)+ P(A4)=1
![Page 23: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/23.jpg)
Structural Engineering - Lund University 23
Sannolikhetsteorins grunderSatsen om: Total sannolikhet
S
A1
A2 A4
A3
B
P(B)=P(BIA1)P(A1)+ P(BIA2)P(A2)+ P(BIA3)P(A3)+ P(BIA4)P(A4)
![Page 24: Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070902/5f555d3ddcd1387db870a559/html5/thumbnails/24.jpg)
Structural Engineering - Lund University 24
Sannolikhetsteorins grunderBestäm sannolikheten för händelsen B, att ett elavbrott
sker under en dag.
Under ett normalår stormar det 20 dagar och det är åska 2 dagar.
Från tidigare erfarenheter vet man att sannolikheten för elavbrott vid storm är 0,1, vid
åska 0,2 och en vanlig dag 0,01.