RELAÇÕES BINÁRIAS

OBJETIVO

Definição de Relação Binária, as propriedadesreflexiva, simétrica, anti-simétrica, transitiva. Fecho.

PRODUTO CARTESIANOSejam conjuntos S e T. O produto cartesiano de S porT é o conjunto de pares ordenados (x,y) onde x∈ S ey∈ T. Denota-se SxT, S2 se S=T (leia-se S cartesianoT).

EXEMPLOS:Sejam A={1,2} e B={a,b,c}. Achar AxB, BxA, AxA.

ATENÇÃO

1. AxB ≠ BxA.

OBSERVAÇÕES1. n(AxB) = n(A)n(B).2. Esta definição pode ser generalizada para n

conjuntos: os elementos de A1xA2x…xAn são as n-uplas (a1,...,an) com ai ∈ Ai.

RELAÇÃO BINÁRIA.DEFINIÇÃO:Sejam S e T dois conjuntos. Uma relação binária de Spara T é um subconjunto ρ de SxT.

NOTAÇÕES E TERMINOLOGIA1. Quando (x,y) ∈ ρ denota-se também x ρ y.2. Caso contrário denota-se (x,y) ∉ r e y ρ/x .

3. Se S=T dizemos que ρ é uma relação sobre S.

ATENÇÃO1. Relação é um conjunto de pares ordenado, tem 1a

e2a coordenadas e a relação associa a 1a à 2a coord.

2. Dom ρ = {1as coord} e Im ρ = {2as coord}.3. ρ normalmente é substituído por notações mais

convenientes.

OBSERVAÇÃOEsta definição pode ser generalizada para n conjuntos:uma relação n-ária em A1,A2,…,An é um subconjuntode A1xA2x…xAn.

EXEMPLOS

1. A relação “divide” é definida sobre Z assim:n dedivisor é | mnm ↔ .

2. A relação de congruência módulo m é definidasobre Z (com m fixo) assim: ba | -mba ↔≡ .

3. A relação de inclusão é definida sobre conjunto deconjuntos da seguinte forma:

)( BxAxBA ∈→∈∀↔⊂4. A relação sobre S={1,2,3} definida por

↔yxρ x+y é ímpar

5. A relação sobre S={1,2,3} definida porR = {(1,1),(1,2),(1,3)}

REPRESENTAÇÕESPara S e T finitos. A relação de S em T pode serrepresentada de várias formas: pp26 (Lipschutz).1. Diagrama de Coordenadas.2. Matriz de Relação3. Diagrama de Seta.4. Grafo Orientado (para relações sobre S).

PROPRIEDADES DE RELAÇÕES (R sobre A)1. Reflexiva: xRx, ∀ x∈ A (todo par autoinverso deve

estar contido em R).Não reflexiva: quando existe um autoinverso quenão esteja contido em R.

2. Simétrica: xRy → yRx (os inversos de todos ospares devem estar contidos em R).Não-Simétrica: quando há um par cujo inverso nãoestá contido em R.

3. Anti-Simétrica: xRy, yRx → x=y (quando os paresnão têm inversos em R, exceto autoinversos).Não Anti-Simétrica: quando existe um par nãoautoinverso com seu inverso em R.

4. Transitiva: xRy, yRz → xRz (todos os ganchostêm que servir de ponte).Não Transitiva: quando houver um gancho quenão sirva de ponte.

EXEMPLOS 2.7 (P.28)

ERROS MAIS COMUNS1. Achar que Anti-Simétrica é o contrário de

Simétrica.2. Provar as propriedades por casos particulares.

FECHO DE UMA RELAÇÃOFecho de ρ em relação à propriedade p é o menorconjunto ρ que contém ρ e satisfaz p.

EXEMPLO

Seja S={1,2,3} e ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)}.Ache o fecho reflexivo, simétrico e transitivo.

ATENÇÃO

1. Achar fecho é acrescentar o menor número deelementos possíveis à relação de forma a satisfazeruma determinada propriedade.

2. Não faz sentido achar o fecho anti-simétrico. Teriasentido se for para diminuir e não aumentar onúmero de pares ordenados.

LEITURA INDICADA

• Fundamentos Matemáticos para a Ciência daComputação – Gersting, J. 4a ed. LTC, Rio deJaneiro, 2001 : §4.1 (pp160-164) (3aed: pp152-156)

EXERCÍCIOS

Gersting p171: 1 a 4, 7 a 10, 12, 14, 15