REDE DOCTUM DE ENSINO SUPERIOR – UNIDADE LARANJEIRAS (ES)
CURSO DE REDES
APOSTILA DE ESTATÍSTICA
PROF. REGINALDO N. ROCHA
ALUNO:..................................................................................
TURMA:.......................................
ANO:..........................
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 01
CONCEITO DE ESTATÍSTICA:
Dois conceitos geralmente aceitos:
Uma coleção de dados quantitativos referentes a
qualquer elemento ou grupo, especialmente quando os
dados são obtidos e colecionados de forma sistêmica.
Ex.: Pressão sangüínea, Jogos de futebol, empregos, etc...
Ciência que lida com a coleta, tabulação, análise,
interpretação e apresentação de dados quantitativos.
Ex.: Pesquisa de mercado determinando preferências do
consumidor, levantamento de índices de preços, etc...
Uso em:• Controle de Qualidade;• Projeções de mercado;• Investimentos, etc..
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 02
POPULAÇÃO E AMOSTRA:
PopulaçãoPopulação
AmostraAmostraApresentaçãoApresentação
InferênciaInferência
População estatística ou universo estatístico
compreende o conjunto de entes portadores de,
pelo menos , uma característica comum.
Amostra é o subconjunto finito de uma
população.
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 03
ESTATÍSTICA INDUTIVA E DESCRITIVA:
•A Estatística Indutiva compreende a obtenção, a partir de
um conjunto limitado de dados ( amostra ) , de conclu-
sões sobre um grande conjunto de dados ( população ).
•A Estatística Descritiva compreende a descrição e análise
de um elemento ou grupo.
Fases daFases daEstatísticaEstatística
IndutivaIndutiva
ouou
InferencialInferencial
DescritivaDescritiva
ouou
Dedutiva Dedutiva
As conclusões ouAs conclusões ouinferências não podem serinferências não podem serestabelecidas com certezaestabelecidas com certezaabsolutaabsoluta
Uso deUso deProbabilidade !!!Probabilidade !!!
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 04
VARIÁVEIS:
As Variáveis podem ser:
1 - Qualitativa:
Quando seus valores são expressos por atributos.
- Nominal: masculino, feminino, solteiro, casado, etc
- Ordinal: grau de instrução, colocação, etc.
2 - Quantitativa:
Quando seus valores são expressos por números.
- Contínua: altura, comprimento, temperatura, etc.
- Discreta: Peças produzidas, nº de filhos, etc.
Conjunto de resultadosConjunto de resultados
possíveis de um possíveis de um
fenômeno. fenômeno.
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 05
COLETA E APRESENTAÇÃO DE DADOS:
COLETACOLETA OBSERVAÇÃOOBSERVAÇÃO
DIRETADIRETA
INDIRETAINDIRETA
APURAÇÃO EAPURAÇÃO E
APRESENTAÇÃOAPRESENTAÇÃO
TABELASTABELAS
GRÁFICOSGRÁFICOS
Exportações bras ileiras 03/95
SP 1344MG 542RS 332ES 285PN 250SC 202
Fonte: SECEX
Ex p o r ta ç õ e s b r a s ile ir a s 0 3 /9 5
0
500
1000
1500
SP MG RS ES P N SC
Es tad o
US
$ m
ilhõ
es
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 06
GRÁFICOS PARA APRESENTAÇÃO DE DADOS:
A M O S T R A N º 2 0D E F E IT O S F R E Q U Ê N C IA
A 2 8B 2 0C 1 4D 1 3E 1 0F 5
C Q - 0 1 /0 2 / 99
C O L UN A S
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
A B C D E F
DEFEIT O S
FRE
QU
ÊN
CIA
B A R R A S
0 1 0 2 0 3 0
A
B
C
D
E
F
DE
FEIT
OS
F REQ U Ê NC IA
L IN H A S
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
A B C D E F
D EF EIT O S
FREQ
UÊN
CIA
P IZ Z A
A3 1 %
B2 2 %
C16 %
D1 4 %
E11 %
F6 %
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 07
ARREDONDAMENTO DE DADOS:
Objetiva minimizar os erros acumulados por arredonda-Objetiva minimizar os erros acumulados por arredonda-
mento.mento.
Ex.: 12,8635 Ex.: 12,8635 12,864 12,864 12,86 12,86 12,9 12,9 13 13
NOTAÇÃO CIENTÍFICA:
Emprega-se quando o número comporta muitos zeros.Emprega-se quando o número comporta muitos zeros.
Ex.:Ex.: 500.000,00 = 5 x 10500.000,00 = 5 x 1055
854.000.000,00 = 8,54 x 10854.000.000,00 = 8,54 x 1088
0,0000355 = 3,55 x 100,0000355 = 3,55 x 10-5-5
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS:
São os algarismos ou dígitos representativos, separadosSão os algarismos ou dígitos representativos, separadosdos zeros necessários à localização da vírgula.dos zeros necessários à localização da vírgula.
Exemplos:Exemplos:
5,32 5,32 3 alg. significativos.3 alg. significativos.
32,30 32,30 4 alg. significativos. 4 alg. significativos.
00,0018 = 1,8 x 10,0018 = 1,8 x 10-3-3 2 alg. significativos. 2 alg. significativos.
00,001800 = 1,800 x 10,001800 = 1,800 x 10-3-3 4 alg. significativos. 4 alg. significativos.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 08
A Distribuição de freqüência compreende um
arranjo tabular dos dados por classes, juntamente
com suas freqüências correspondentes.
Dados Brutos e Rol:
Intervalos de variação de uma variável.
li Li
AMOSTRAS10831575191812
AMOSTRAS35781012151819
AMOSTRAS
00 |---------- 05
05 |---------- 10
10 |---------- 15
15 |---------- 20
ClassesClasses
Amplitude do intervalo de classe ( h )
h = Li - li
Amplitude total da distribuição ( R )
R = Li ( máx ) - li ( mín )
Número de classes ou células ( K )
K = R / h
Ponto médio de uma classe ( xi )
xi = ( Li + li ) / 2
O NÚMERO DE CLASSES É SUBJETIVO
Métodos tradicionais:
K = 1 + 3,22 log n ( R. Sturges , n > 100 )
K = ( n pequeno )
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 09
R E C O M E N D A Ç Ã OC L A S S E S O B S E R V A Ç Õ E S
5 a 9 < 1 0 08 a 1 7 d e 1 0 0 a 5 0 0
1 5 a 2 0 > 5 0 0
n
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 10
Tipos de freqüências:
Freqüência absoluta ( fi ) são os valores
que realmente representam o número de
dados de uma classe.
Freqüência relativa ( fri ) são os valores
das razões entre as freqüências simples e
a freqüência total.
Freqüência acumulada ( Fi ) é o total da
das freqüências de todos os valores infe-
riores ao limite superior do intervalo de
uma dada classe.
Freqüência acumulada relativa ( Fri ) é
a freqüência acumulada da classe, divi-
dida pela freqüência total.
nfi
fififri
fiFi
fi
FiFri
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 11
Regras gerais de uma distribuição de freqüências:
1 - Após ordenação dos dados de forma tabulada, deter-
minar o maior e menor número e, então, calcular a
amplitude total do rol ( R );
2 - Definir o número de classes ( K );
3 - Determinar as freqüências de classe ( fi , fri , Fi e Fri ).
Exemplo:
i ESTATURAS xi fi fri FI Fri
[ cm ]
1 155 |----- 161 158 2 0,067 2 0,067
2 161 |----- 167 164 4 0,133 6 0,200
3 167 |----- 173 170 7 0,233 13 0,433
4 173 |----- 179 176 9 0,300 22 0,733
5 179 |----- 185 182 5 0,167 27 0,900
6 185 |----- 191 188 3 0,100 30 1,000
30 1,000
ESTATURAS DE ALUNOS [ cm ]155 158 162 164 165 166 167 168 168 170170 171 172 173 174 174 175 176 176 177178 178 180 183 183 184 184 185 188 190
UFES
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 12
Histogramas:
Polígonos:
ESTATURA DE ALUNOS
0
2
4
6
8
10
158 164 170 176 182 188
ESTATURAS [ cm ]
FREQ
.
ESTATURA DE ALUNOS
0%
20%
40%
60%
80%
100%
158 164 170 176 182 188
ESTATURAS [ cm ]
FREQ
.
ESTATURA DE ALUNOS
0
2
4
6
8
10
158 164 170 176 182 188
ESTATURAS [ cm ]
FREQ
.
ESTATURA DE ALUNOS
0%
20%
40%
60%
80%
100%
158 164 170 176 182 188
ESTATURAS [ cm ]
FREQ
.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 13
Tipos de curvas de freqüência ou Ogivas:
1 - Quanto à Simetria e forma:
Assimétricapara a esquerda
Simétrica( normal )
Assimétricapara a direita
Forma de “ J “
Forma de “ J “invertido
Forma de “ U “
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 14
Tipos de curvas de freqüência ou Ogivas:
2 - Quanto ao achatamento: 3 - Quanto às modas:
Normal
Leptocúrtica
Platicúrtica
Unimodal
Bimodal
Multimodal
MEDIDAS DE POSIÇÃO 15
Notação de Somatório:
Exemplo: X = ( 1 , 2, -2, 10, -5 )
n
n
j
XXXXXj
......3211
6510221)5(10)2(211
n
j
Xj
MédiaMédia
MedianaMediana
ModaModa
Medidas de Tendência Central:
São medidas que representam a tendência dos
dados em se agruparem em torno dos valores
centrais.
QQ33QQ22QQ11
SeparatrizSeparatriz
MEDIDAS DE POSIÇÃO 16
Média aritmética ( ):
Quociente da divisão da soma dos valores da
variável pelo número deles.
FÓRMULA PARA DADOS
NÃO-AGRUPADOS.
Exemplo:
A produção leiteira de uma vaca, durante uma
semana foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros. Logo a
produção média ao longo da semana será:
X
nXXX
n
XjX n
n
j
......211
14798
712181615131410
X
MEDIDAS DE POSIÇÃO 17
Propriedades da Média:
1ª : A soma algébrica dos desvios tomados em relação à
média é nula.
2ª : Somando-se ou subtraindo-se uma constante ( c ) de
todos os valores de uma variável, a média do conjunto
fica aumentada ou diminuída dessa constante.
3ª : Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de
uma variável por uma constante ( c ), a média do conjunto
fica multiplicada ou dividida por essa constante.
k
i
d1
1 0
cXYcXY ii
cXYcXY ii
XXd ii
MEDIDAS DE POSIÇÃO 18
Média aritmética para dados agrupados:
Observações:
1ª - A fórmula da média aritmética para dados agrupados
corresponde também à média aritmética ponderada, onde
fi é a freqüência absoluta dos dados ou o peso de cada
dado na distribuição.
2ª - No caso de distribuição de freqüência sem intervalos
de classe, entende-se que Xi representa a variável em
estudo.
3ª - No caso de distribuição de freqüência com intervalos
de classe, entende-se que Xi representa o ponto médio de
cada classe.
i
ii
ffx
X
MEDIDAS DE POSIÇÃO 19
Exemplos de Média aritmética para dados agrupados:
1º - Sem intervalo de classe:
2º - Com intervalo de classe:
COMPOSIÇÃO FAMILIARNº DE MENINOS fi xi fi
0 2 01 6 62 10 203 12 364 4 16
34 78
ES T A T U R A D E A L UN O S
i ES T A T U R AS [ cm ] x i f i x if i
1 1 50 |--- -- 1 54 152 4 608
2 1 54 |--- -- 1 58 156 9 1404
3 1 58 |--- -- 1 62 160 11 1760
4 1 62 |--- -- 1 66 164 8 1312
5 1 66 |--- -- 1 70 168 5 840
6 1 70 |--- -- 1 74 172 3 516
40 6440
29,23478
i
ii
ffx
X
16140
6440
i
ii
ffx
X
MEDIDAS DE POSIÇÃO 20
Moda ( Mo ):
Compreende o valor que ocorre com maior
freqüência em uma série de valores.
A Moda para dados não-agrupados:
A moda consiste no valor que mais se repete.
Exemplos:
A = ( 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 15 )
Não há Moda Série amodal
B = ( 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 , 13 , 15 )
Mo = 10 Série unimodal
C = ( 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 10 )
Mo = 4 e 7 Série bimodal
MEDIDAS DE POSIÇÃO 21
A Moda para dados agrupados:
1º Caso: Sem intervalos de classe
Ex.:
Mo = 2
2º Caso: Com intervalos de classe
CO MPO SIÇÃO FAMILIAR
MENIN OS fi
0 2
1 6
2 12
3 4
4 1
soma: 25
*
21
1*
**
2
hDD
DlMo
LlMobruta
)(*
2
)(*
1
post
ant
ffD
ffD
MEDIDAS DE POSIÇÃO 22
Exemplo de Moda para dados agrupados:
ES T A T U R A D E A L UN O S
i ES T A T U R AS [ cm ] x i f i x if i
1 1 50 |--- -- 1 54 152 4 608
2 1 54 |--- -- 1 58 156 9 1404
3 1 58 |--- -- 1 62 160 11 1760
4 1 62 |--- -- 1 66 164 8 1312
5 1 66 |--- -- 1 70 168 5 840
6 1 70 |--- -- 1 74 172 3 516
40 6440
6,159432
2158
3811
2911
)(*
2
)(*
1
*
21
1*
Mo
ffD
ffD
hDD
DlMo
post
ant
MEDIDAS DE POSIÇÃO 23
Mediana ( Md ):
Compreende um número que se encontra no
centro de uma série de números, estando estes dispostos
segundo uma ordem.
A Mediana para dados não-agrupados:
Exemplos:
A = ( 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 15 , 18 )
Md = 11
B = ( 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 15 , 18 , 20 )
Md = ( 11 + 12 ) / 2 = 11,5
C = ( 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 11 , 12 , 13 , 15 , 18 )
Md = ( 11 + 11 ) / 2 = 11
MEDIDAS DE POSIÇÃO 24
A Mediana para dados agrupados:
1º Caso: Sem intervalos de classe
Exemplo.:
2º Caso: Com intervalos de classe
COMPO SIÇÃO FAMILIAR
MENINOS f i
0 2
1 6
2 12
3 4
4 1
soma: 25
2ª3
5,12225
2
Mdclasse
fi
*
*)(
* 2f
hFfi
lMdant
MEDIDAS DE POSIÇÃO 25
Exemplo de Mediana para dados agrupados:
Md
i E S T A T U R A S x i f i F I
[ c m ]
1 15 0 |- - - -- 1 5 4 15 2 4 4
2 15 4 |- - - -- 1 5 8 15 6 9 1 3
3 15 8 |- - - -- 1 6 2 16 0 1 1 2 4
4 16 2 |- - - -- 1 6 6 16 4 8 3 2
5 16 6 |- - - -- 1 7 0 16 8 5 3 7
6 17 0 |- - - -- 1 7 4 17 2 3 4 0
4 0
cmMd
Md
f
hFfi
lMdant
5,160
11
4132
40
158
2*
*)(
*
MEDIDAS DE POSIÇÃO 26
Relações entre a Média, Moda e Mediana:
Assimetria Positiva ou à direitaAssimetria Positiva ou à direita
MoMo MdMd MédiaMédia
MédiaMédia = = MdMd = = MoMo
SimetriaSimetria
MédiaMédia MdMd MoMoAssimetria Negativa ou à esquerdaAssimetria Negativa ou à esquerda
MEDIDAS DE POSIÇÃO 27
Separatrizes ( Quartil, Decil e Percentil ):
São os valores de uma série ordenada que a
dividem em quatro, dez ou em cem partes iguais.
Para qualquer separatriz, utiliza-se a fórmula da
Mediana, operando-se a seguinte mudança:
Onde:
k = Nº de partes da separatriz
p = Separatriz ( 4 , 10 , 100 )
*
*)(
* 2f
hFfi
lMdant
pfikfi
2
MEDIDAS DE POSIÇÃO 28
i E S T A T U R A S x i f i F I
[ c m ]
1 15 0 |- - - -- 1 5 4 15 2 4 4
2 15 4 |- - - -- 1 5 8 15 6 9 1 3
3 15 8 |- - - -- 1 6 2 16 0 1 1 2 4
4 16 2 |- - - -- 1 6 6 16 4 8 3 2
5 16 6 |- - - -- 1 7 0 16 8 5 3 7
6 17 0 |- - - -- 1 7 4 17 2 3 4 0
4 0
Exemplo de Separatriz:
P8
Q3
cmf
hFfi
lQ
cmf
hFfi
lP
ant
ant
1658
4244403
1624
3
2,1534
40100
408
150100
8
*
*)(
*3
*
*)(
*8
As medidas de Dispersão ou Variabilidade
descrevem a diversificação dos valores de uma
variável em torno de um valor de tendência
central tomado como ponto de comparação.
Sejam os Conjuntos:
A = ( 70 , 70 , 70 , 70 , 70 )
B = ( 68 , 69 , 70 , 71 , 72 )
C = ( 10 , 50 , 70 , 90 , 130 )
Como representar uma população, amostra
ou conjunto de dados ?
As medidas de dispersão são:
- Amplitude Total. - Variância.
- Desvio Médio. - Desvio Quartílico.
- Desvio Padrão. - Desvio Percentílico.
- Coeficiente de Variação.
MEDIDAS DE DISPERSÃO 29
70x
Amplitude Total ( AT ):
Diferença entre o maior e o menor valor
observado.
Desvio Médio ( DM ):
Razão entre a soma dos desvios em relação à
média ( valor absoluto ) e o número deles.
Dados não-agrupados: Dados agrupados:
Exemplo:
MEDIDAS DE DISPERSÃO 30
)()( mínmáx xxAT
n
xxDM i
n
xxifiDM
8,25
61168666362
65/)118632()11,8,6,3,2(
DM
xA
MEDIDAS DE DISPERSÃO 31
Desvio-padrão ( S ):
Raiz quadrada média dos quadrados dos desvios
tomados em relação à média.
Obs.: n - 1 graus de liberdade.
Quando n > 30 , usar somente n no denominador,
ao invés de n-1.
Exemplo:
1
agrupados-nãoDados2
n
xxS i
1
agrupadosDados2
n
xxfS ii
67,35,13454
42540916
15)611()68()66()63()62(
65/)118632()11,8,6,3,2(
22222
S
S
xA
MEDIDAS DE DISPERSÃO 32
Coeficiente de Variação ( CV ):
Medida de dispersão relativa compreendida pela
razão entre o desvio-padrão e a média.
Variância ( ):
É o quadrado do desvio-padrão.
Desvio Quartílico ( DQ ):
É o metade da diferença entre o 3º e o 1º quartil.
Desvio Percentílico ( DP ):
É a diferença entre o 90º e o 10º percentil.
100xSCV
2S
213 QQDQ
1090 PPDP
Probabilidade: Estudo dos experimentos
aleatórios ou não determinísticos.
Experimentos Aleatório
Resultados não podem ser determinados antes da
realização.
Espaço Amostral ( S )
Conjunto formado por todos os resultados
possíveis de um experimento aleatório.
Evento
Conjunto qualquer de resultados de um
experimento aleatório.
Experimento aleatório = Lançar dados
Exemplo : S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Evento A = { 2 }
PROBABILIDADE 33
Propriedades dos Eventos: Seja E um evento de S, tal que E S :
Se:
E = S E é chamado evento certo.
E não está em S E é chamado evento impossível.
Apenas um elemento de E está em S , então o evento é
chamado de unitário ou elementar.
Exemplo:
No lançamento de um dado comum, tem-se:
A = { 2 , 4 , 6 } A é um evento comum.
B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } B é um evento certo.
C = { 4 } S C é um evento elementar.
D = { } D é um evento impossível.
Onde:
A - Obter um número par.
B - Obter um nú mero menor ou igual a 6.
C - Obter o número 4.
D - Obter um nú mero maior que 6.
PROBABILIDADE 34
Teoria elementar da Probabilidade: A probabilidade de um evento A ( A S ) é dada por
P(A), tal que:
Onde:
n(A) é o nº de elementos do evento A.
n(S) é o nº de elementos do espaço amostral S.
Axiomas da Probabilidade:
a) A probabilidade de um evento certo é 1.
b) A probabilidade de um evento impossível é zero.
c) A probabilidade de um evento E qualquer ( E S ) é
um número real P(E), tal que : 0 P ( E ) 1
d) A probabilidade de um evento elementar E qualquer é
dado por : P ( E ) = 1 / n
e) A probabilidade de um evento complementar é dado
por : P ( Ä ) = 1 - P ( A )
PROBABILIDADE 35
n(S)n(A)P(A)
PROBABILIDADE 36
Teorema da Adição:a) Eventos mutuamente exclusivos:
Exemplo:
Em uma urna existem existem 10 bolas de 1 a 10. Uma
bola é retirada ao acaso. A probabilidade da bola retirada
ser um número primo ou maior que 8 é dado por:
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } n ( S ) = 10
Primo: A = { 2 , 3 , 5 , 7 } n ( A ) = 4
> 8: B = { 9 , 10 } n ( B ) = 2
Logo:
P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) = ( 4 / 10 ) + ( 2 / 10 )
P ( A B ) = 0,4 + 0,2 = 0,6
SS
A B
)B(P)A(P)BA(P
PROBABILIDADE 37
b) Reunião de dois eventos:
Exemplo:
Em uma urna existem existem 10 bolas de 1 a 10. Uma
bola é retirada ao acaso. A probabilidade da bola retirada
ser um número par ou maior que 4 é dado por:
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } n ( S ) = 10
Par: A = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } n ( A ) = 5
> 4: B = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } n ( B ) = 6
A B = { 6 , 8 , 10 } n ( A B ) = 3
Logo:
P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B )
P ( A B ) = ( 5/10 ) + ( 6/10 ) - ( 3/10 ) = 0,8
S(A B)
A B
)BA(P-)B(P)A(P)BA(P
PROBABILIDADE 38
Teorema da Multiplicação:a) Eventos condicionais ( dependentes ):
- Ocorrência simultânea de dois eventos.
Exemplo:
Em uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 azuis. Ao se
retirar 2 bolas consecutivas, a probabilidade da primeira
ser azul e da segunda ser vermelha é dado por:
1ª retirada ( bola Azul ) P ( A ) = 4 / 10 = 0,40
2ª retirada ( bola Verm. ) P ( V | A ) = 6 / 9 = 0,67
Logo: P ( A V ) = P ( A ) x P ( V | A )
P ( A V ) = 0,40 x 0,67 = 0,27
S(A B)
A B
)A|B(P)A(P)BA(P
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 53
4ª - Distribuição Normal:
Propriedades:Propriedades:
É a mais importante e usual distribuição;
A variável aleatória X pode assumir todo e qualquervalor real;
A representação gráfica é uma curva em forma de sino,simétrica em torno da média x, que recebe o nome decurva normalcurva normal ou curva de Gausscurva de Gauss;
A área limitada pela curva e pelo eixo das abscissas éigual a 1 e corresponde à probabilidade da variável xassumir qualquer valor real;
A curva normal é assintótica em relação ao eixo dasabscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixohorizontal sem, contudo, alcançá-lo.
X
X
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 54
Condições da distribuição normal:Condições da distribuição normal:
A função densidade da curva normal é dada por:
Onde:
Z = Variável aleatória que representa a probabilidade.
X = Variável aleatória que representa a distribuição.
= Média da distribuição.
= Desvio padrão da distribuição.
= 0
= 1
Z = 0
= 1
Zσ
μXZ
Standardized Normal DistributionStandardized Normal Distribution
xe
x 2
21
2 σ1(x) f
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 55
Exemplo de distribuição normal:
Seja X a vari ável que representa o di âmetro de parafusos
produzidos por uma m áquina. Considerando que essa
variável tenha distribuição normal com média de 2,00 cm
e desvio padr ão de 0,04 cm, calcular a probabilidade dos
parafusos terem diâmetro entre 2,00 e 2,05 cm.
Solução:
A probabilidade refere-se ao intervalo:
P ( 2,00 X 2,05 ) = P ( Z )
P ( 2,00 X 2,05 ) = 0,3944 = 39,44 %
3944,0)(25,104,0
00,205,2?
?XZ ZPtab
APÊNDICE I CURVA NORMAL REDUZIDA
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07540,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,22240,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,25490,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,36211,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,48172,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,49522,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,49863,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,49903,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,49983,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,49983,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
APÊNDICE II Distribuição t de Student
0,5 0,25 0,2 0,1 0,05 0,025 0,02 0,01 0,005
Pc 0,25 0,125 0,1 0,05 0,025 0,0125 0,01 0,005 0,00251 1,0000 2,4142 3,0780 6,3138 12,7060 25,5420 31,8210 63,6370127,3200
2 0,8165 1,6036 1,8860 2,9200 4,3127 6,2053 6,9650 9,9248 14,0890
3 0,7649 1,4226 1,6380 2,3534 3,1825 4,1765 4,5410 5,8409 7,4533
4 0,7407 1,3444 1,5330 2,1318 2,7764 3,4954 3,7470 4,6041 5,5976
5 0,7267 1,3009 1,4760 2,0150 2,5706 3,1634 3,3650 4,0321 4,7733
G 6 0,7176 1,2733 1,4400 1,9432 2,4469 2,9687 3,1430 3,7074 4,3168
R 7 0,7111 1,2543 1,4150 1,8946 2,3646 2,8412 2,9980 3,4990 4,0200
A 8 0,7064 1,2403 1,3970 1,8595 2,3060 2,7515 2,8960 3,3554 3,8325
U 9 0,7027 1,2297 1,3830 1,8331 2,2622 2,6850 2,8210 3,2498 3,6897
S 10 0,6998 1,2213 1,3720 1,8125 2,2281 2,6338 2,7640 3,1693 3,5814
11 0,6975 1,2145 1,3630 1,7959 2,2010 2,5931 2,7180 3,1058 3,4966
12 0,6955 1,2089 1,3560 1,7823 2,1788 2,5600 2,6810 3,0550 3,4284
D 13 0,6938 1,2041 1,3500 1,7709 2,1604 2,5326 2,6500 3,0123 3,3720
E 14 0,6920 1,2001 1,3450 1,7613 2,1448 2,5096 2,6240 2,9768 3,3257
15 0,6912 1,1967 1,3410 1,7530 2,1315 2,4899 2,6020 2,9467 3,2860
16 0,6901 1,1937 1,3370 1,7459 2,1199 2,4729 2,5830 2,9208 3,2520
L 17 0,6892 1,1910 1,3330 1,7396 2,1098 2,4581 2,5670 2,8982 3,2220
I 18 0,6884 1,1887 1,3300 1,7341 2,1009 2,4450 2,5520 2,8784 3,1966
B 19 0,6876 1,1866 1,3280 1,7291 2,0930 2,4334 2,5390 2,8609 3,1737
E 20 0,6870 1,1848 1,3250 1,7247 2,0860 2,4231 2,5280 2,8453 3,1534
R 21 0,6864 1,1831 1,3230 1,7207 2,0796 2,4138 2,5180 2,8314 3,1352
D 22 0,6858 1,1816 1,3210 1,7171 2,0739 2,4055 2,5080 2,8188 3,1188
A 23 0,6853 1,1802 1,3190 1,7139 2,0687 2,3979 2,5000 2,8073 3,1040
D 24 0,6849 1,1789 1,3180 1,7109 2,0639 2,3910 2,4920 2,7969 3,0905
E 25 0,6844 1,1777 1,3160 1,7081 2,0595 2,3846 2,4850 2,7874 3,0782
26 0,6841 1,1766 1,3150 1,7056 2,0555 2,3788 2,4790 2,7787 3,0669
27 0,6837 1,1757 1,3140 1,7033 2,0518 2,3734 2,4730 2,7707 3,0565
28 0,6834 1,1748 1,3130 1,7011 2,0484 2,3685 2,5670 2,6730 3,0469
29 0,6830 1,1739 1,3110 1,6991 2,0452 2,3638 2,4620 2,7564 3,0380
30 0,6828 1,1731 1,3100 1,6973 2,0423 2,3596 2,4570 2,7500 3,0298
APÊNDICE III 131
NÚMEROS ALEATÓRIOS51772 74640 42331 29044 46621 62898
93582 04186 19640 87056 24033 23491
83587 06568 21960 21387 76105 10863
97453 90581 45939 60173 52078 25424
11645 55870 56974 37428 93507 94271
30587 02133 75797 45406 31041 86707
12973 17169 88116 41287 03585 79353
81938 82322 96799 85659 36081 50884
14070 74950 64937 03355 95863 20790
65304 55189 00745 65253 11822 15804
15630 64759 51135 98527 62586 41889
25439 88036 24034 67283 09448 56301
57683 30277 94623 85418 68829 06652
41982 49159 21631 91157 77331 60710
52290 16835 48653 71590 16159 14676
91097 17480 29414 06829 87843 28195
27279 47152 35683 47280 50532 25496
95652 42457 73547 76552 50020 24819
52984 76168 07136 40876 79971 54195
25708 51817 36732 72484 94923 75936
27989 64728 10744 08396 56242 90985
28868 99431 50995 20507 85184 73949
36601 46253 00477 25234 09908 36574
72139 70185 54398 21154 97810 36764
32869 11785 55261 59009 38714 38723
ANOTAÇÕES