Nova School of Business and Economics
2017 – 2018
Acesso ao Ensino Superior por Maiores de 23 Anos
1
Prova Escrita de Matemática
Data: 26 de Maio de 2017
Duração: 2 horas
Instruções:
Esta prova é constituída por dois grupos: I e II.
O grupo I contém sete perguntas de escolha múltipla e quatro respostas possíveis para cada uma,
das quais apenas uma está correta. Para cada pergunta, circule a resposta que considera correta, não
apresentando os cálculos efetuados. Se circular mais do que uma resposta para a mesma pergunta,
será considerado que não respondeu à pergunta. Cada resposta certa vale 1 valor, cada resposta
errada vale −1
3 valores e cada resposta não dada ou inválida vale 0 valores. A cotação total mínima
deste grupo é 0 valores.
O grupo II contém três perguntas de resposta aberta, a primeira com quatro alíneas, a segunda
com cinco alíneas e a terceira com duas alíneas. A cotação de cada alínea está indicada antes do seu
enunciado. Apresente todos os cálculos e justifique todos os raciocínios que efetuar. Se necessitar de
efetuar arredondamentos em passos intermédios, utilize duas casas decimais. Responda a cada
pergunta no espaço que lhe corresponde, podendo utilizar a frente e o verso de cada folha.
Não serão esclarecidas dúvidas durante a realização da prova. Se necessitar de assumir uma
hipótese para a resposta a uma questão, indique-o, e seja coerente com a hipótese que assumiu nos
passos que se seguirem.
Utilize apenas material de escrita e máquina de calcular. Não utilize telemóveis nem material de
consulta.
Não desagrafe esta prova.
As últimas duas páginas contêm um formulário e espaço para rascunhos, cujos conteúdos não
serão corrigidos.
Nome:
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Prova Escrita de Matemática
2
Grupo I
1 É preciso formar uma comissão de alunos de 3 elementos daqui a 1 hora. Neste momento, a
Ana, o Bruno e a Cristina estão na sala onde a comissão vai ser formada. O Duarte está atrasado e diz
que chega a tempo com uma probabilidade de 50%. Na altura em que a comissão for formada, serão
sorteadas 3 pessoas entre as que estiverem na sala. Qual a probabilidade de a Cristina ser sorteada
para a comissão?
a) 1
3.
b) 1
4.
c) 7
8.
d) 1
2.
2 Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória e sejam 𝐴 e 𝐵 dois
acontecimentos (𝐴 ⊆ Ω e 𝐵 ⊆ Ω). Sabe-se que 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =1
2. Qual é o valor de
𝑃(𝐴)?
a) 1
2.
b) 1.
c) 1
4.
d) 1
3.
3 Seja 𝑓 uma função real de variável real, de domínio [0;+∞]. Qual o domínio da função 𝑔
definida por 𝑔(𝑥) = 𝑓 (16𝑥2−𝑥4
𝑒𝑥−4)?
a) [−4; 4].
b) ]−∞;−4] ∪ [4;+∞[.
c) [0;+∞].
d) [4;+∞].
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Prova Escrita de Matemática
3
4 Considere a função 𝑓, de domínio ℝ, definida por
𝑓(𝑥) = {𝑔(𝑥) se 𝑥 < 3
ln(𝑥2 − 8) se 𝑥 ≥ 3
Sabendo que 𝑓 é contínua, qual das seguintes pode ser 𝑔(𝑥)?
a) 𝑒𝑥−3.
b) sen(𝑥−3)
𝑥−3− 1.
c) 𝑥2−9
𝑥−3.
d) 3.
5 Seja 𝑓 uma função real de variável real, de domínio ℝ, definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3+𝑎
𝑒2𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ.
Sabendo que 𝑦 = 5 − 10𝑥 é uma equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓 em (0, 𝑓(0)), qual é o
valor de 𝑎?
a) −10.
b) 0.
c) −5
2.
d) 5.
6 Seja (𝑢𝑛) a sucessão de termo geral 𝑢𝑛 = sen((1 −1
𝑛)𝜋
2). Qual das seguintes afirmações é
falsa?
a) lim(𝑢𝑛) = 1.
b) 𝑢 não é monótona.
c) 𝑢2 =√2
2.
d) 0 ≤ 𝑢𝑛 < 1.
7 Qual dos seguintes números complexos pertence a ℝ?
a) 3𝑖.
b) 4𝑐𝑖𝑠 (𝜋
2).
c) 𝑖−1
𝑖+1.
d) 7𝑐𝑖𝑠(7𝜋).
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Prova Escrita de Matemática
4
Grupo II
1 (𝟒, 𝟓 valores) A Inês tem que decidir todos os dias se leva guarda-chuva quando sai à rua de
manhã. Em 90% dos dias em que está a chover quando ela sai de casa, ela leva guarda-chuva. Em cada
10 dias em que não está a chover quando ela sai de casa, ela leva guarda-chuva em 3. No próximo
mês, a probabilidade de estar a chover quando a Inês sair de casa é igual todos os dias: 1
3.
a) (𝟏 valores) Mostre que a probabilidade de, no dia 1 do próximo mês, a Inês levar guarda-
chuva de manhã é 50%.
b) (𝟏 valores) Se a Inês levar guarda-chuva de manhã no dia 2 do próximo mês, qual a
probabilidade de estar a chover nessa altura? Apresente o resultado na forma de dízima.
c) (𝟏, 𝟓 valores) Seja 𝑋 a variável aleatória “Número de vezes em que a Inês sai de casa com
guarda-chuva e não está a chover, nos primeiros dois dias do próximo mês”. Calcule
𝑃(𝑋 ≤ 1). Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
d) (𝟏 valor) Nos seis primeiros dias do mês passado, choveu de facto de manhã em 1
3 dos dias.
Como a Inês estava no estrangeiro, uma amiga pediu-lhe que adivinhasse um dia em que
tivesse chovido e outro em que não tivesse chovido. Sabendo que a Inês escolheu
aleatoriamente dois dias, qual a probabilidade de ter acertado? Apresente o resultado na
forma de fração irredutível.
Resposta Pergunta 1
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2 (𝟔 valores) Seja 𝑓 a função real de variável real, de domínio ]−𝜋,+∞[, definida por:
𝑓(𝑥) =
{
𝑒sen(𝑥) − 1
sen(𝑥)se 𝑥 < 0
ln(𝑥 + 1) + 1
𝑥 + 1se 𝑥 ≥ 0
a) (𝟏 valor) Mostre que 𝑓 é positiva em todo o seu domínio.
b) (𝟏 valor) Averigue se 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0.
c) (𝟏,5 valores) Averigue da existência de assíntotas do gráfico de 𝑓.
d) (𝟏,5 valores) Mostre que 𝑓 é decrescente em [0; +∞[.
e) (𝟏 valor) Seja 𝑔 uma função real de variável real, de domínio ℝ, estritamente crescente, tal que 𝑔(3) = 0. Mostre que 𝑓×𝑔 tem pelo menos um zero no intervalo [2; 4].
Resposta Pergunta 2
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3 (𝟐, 𝟓 valores) Em ℂ, conjunto dos números complexos, considere 𝑧1 = −8𝑖 e 𝑧2 =
𝜌𝑐𝑖𝑠 (3
4𝜋).
a) (𝟏 valores) Determine 𝜌 de forma a que 𝑧1×𝑧2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ − 𝑧1 = |𝑧1|.
(Lembre-se que |𝑧| e 𝑧̅ representam, respetivamente, o módulo e o conjugado de 𝑧).
b) (𝟏, 𝟓 valores) Calcule a área do triângulo cujos vértices são as representações das raízes
cúbicas de 𝑧1 no plano complexo.
Resposta Pergunta 3
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Formulário
Limites Notáveis
lim ((1 +1
𝑛)𝑛) = 1 (𝑛 ∈ ℕ)
lim𝑎→0
(sen(𝑎)
𝑎) = 1
lim𝑎→0
(𝑒𝑎−1
𝑎) = 1
lim𝑎→0
(ln(𝑎+1)
𝑎) = 1
lim𝑎→+∞
(ln(𝑎)
𝑎) = 0
lim𝑎→+∞
(𝑏𝑎
𝑎𝑝) = +∞ (𝑏 > 1, 𝑝 ∈ ℝ)
Regras de Derivação
(𝑎 + 𝑏)′ = 𝑎′ + 𝑏′
(𝑎𝑏)′ = 𝑎′𝑏 + 𝑎𝑏′
(𝑎
𝑏)′
=𝑎′𝑏 − 𝑎𝑏′
𝑏2
(𝑎𝑝)′ = 𝑝𝑎𝑝−1𝑎′ (𝑝 ∈ ℝ)
(𝑝𝑎)′ = ln(𝑝) 𝑝𝑎𝑎′ (𝑝 ∈ ℝ+ ∖ {1})
(log𝑝(𝑎))′=
𝑎′
ln(𝑝) 𝑎(𝑝 ∈ ℝ+ ∖ {1})
(sen(𝑎))′ = 𝑎′ cos(𝑎)(cos(𝑎))′ = −𝑎′ sen(𝑎) (𝑏 > 1, 𝑝 ∈ ℝ)
Números Complexos
(𝜌cis(𝜃))𝑛
= 𝜌𝑛cis(𝑛𝜃) (𝑛 ∈ ℕ)
√𝜌cis(𝜃)𝑛
= √𝜌𝑛 cis (
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛) (𝑛 ∈ ℕ, 𝑘 ∈ {0,… , 𝑛 − 1})
Rascunhos
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