Download - Programmation par contraintes Virginie gabrel Master ID apprentissage 2010-2011 1PPC - V. Gabrel
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PPC - V. Gabrel 1
Programmation par contraintes
Virginie gabrelMaster ID apprentissage
2010-2011
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PPC - V. Gabrel 2
Plan
Exemple introductif : SudokuPartie 1 : Définition d’un CSPPartie 2 : Résolution d’un CSPPartie 3 : La PPC avec OPL
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PPC - V. Gabrel 3
Exemple introductif : sudoku
7 5 3
2 5 7
6 1 9
9
4 3 2
7 6 4 2
4 6
4 2
7 5 1
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PPC - V. Gabrel 4
Exemple introductif : sudoku
7 5 3
2 5 7
6 1 9
9
4 3 2
7 6 4 2
4 6
4 2
7 5 1 ?1 2 3 4 5 6 7 8 9 ?
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PPC - V. Gabrel 5
Exemple introductif : suduko
7 5 3
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6 1 9
9
4 3 2
7 6 4 2
4 6
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7 5 1 ?
Réduction de domaine par propagation des contraintes Case : 1 2Ligne : 5 7Colonne : 2 7 =>1 2 3 4 5 6 7 8 9
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PPC - V. Gabrel 6
Exemple introductif : sudoku
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4 3 2
7 6 4 2
4 6
4 2
7 5 1 4
Réduction du domaine3 4 6 8 9Seule position possible pour le 4=> Réduire les domaines des autres cellules
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PPC - V. Gabrel 7
Sudoku et PPC • Cellule = variable qui doit prendre une
valeur dans le domaine : 1..9• Existence de contraintes restreignant les
domaines des variables• Raisonnement par élimination de valeurs et
réduction du domaine• Raisonnement local propagé sur les
domaines admissibles des autres variables
PRINCIPES AU CŒUR DE LA PPC
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PPC - V. Gabrel 8
Sudoku : Modèle• Variables et domaines :x[i,j] 1..9 pour i et j allant de 1 à 9
• Contraintes :Pour i allant de 1 à 9
// valeurs différentes en ligneallDifferent(x[i,j] : j de 1 à 9 ) // valeurs différentes en colonneallDifferent(x[j,i] : j de 1 à 9);
Pour i allant de 0 à 2Pour j allant de 0 à 2
// valeurs différentes dans les cases 3x3allDifferent(x[3*i+k,3*j+q] : k et q de 1 à 3);
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PPC - V. Gabrel 9
Sudoku avec OPL/********************************************* * OPL 6.3 Model * Author: utilisateur * Creation Date: 11 mai 2010 at 20:49:52 *********************************************/using CP;
int taille=9; dvar int x[1..taille,1..taille] in 1..taille;
subject to {forall(i in 1..taille) {
allDifferent(all(j in 1..taille) x[i,j]);allDifferent(all(j in 1..taille) x[j,i]);
}forall(i in 0..2)
forall(j in 0..2)allDifferent(all(k in 1..3, q in 1..3) x[3*i+k,3*j+q]);
x[1,1]==7;x[2,2]==2;x[2,3]==5;x[3,2]==6;x[3,3]==1;x[3,4]==9;x[1,6]==5;x[1,8]==3;x[2,9]==7;
x[5,1]==4;x[6,2]==7;x[5,4]==3;x[5,5]==2;x[6,6]==6;x[4,7]==9;x[6,8]==4;x[6,9]==2;x[7,2]==4;x[7,3]==6;x[9,3]==7;x[8,5]==4;x[9,5]==5;x[8,7]==2;x[9,7]==1;}
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PPC - V. Gabrel 10
Solution
// solutionx = [[7 9 4 2 6 5 8 3 1] [3 2 5 4 1 8 6 9 7] [8 6 1 9 3 7 4 2 5] [6 8 2 5 7 4 9 1 3] [4 5 9 3 2 1 7 6 8] [1 7 3 8 9 6 5 4 2] [5 4 6 1 8 2 3 7 9] [9 1 8 7 4 3 2 5 6] [2 3 7 6 5 9 1 8 4]];
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PPC - V. Gabrel 11
Spécificités de la programmation par contraintes
• Combine des techniques de raisonnement/déduction avec du calcul.
• Méthodologie utilisée :– Modéliser le problème en termes de variables, de
domaines et de contraintes (spécifiant les combinaisons admissibles de valeurs aux variables)
– Choisir un langage pour exprimer les contraintes – Appliquer une méthode de résolution :
énumération et réduction de l’espace de recherche
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PPC - V. Gabrel 12
Partie 1 : Définition d’un CSP
1 – Le problème des reines2 – Qu'est-ce qu'une contrainte ?3 – Qu'est ce qu'un CSP: Constraint
Satisfaction Problem ?4 –Un deuxième exemple : Intégration
de nouveaux employés dans une entreprise
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PPC - V. Gabrel 13
Exemple : le problème des n reines
Problème : placer n reines sur un échiquier nxn de façon à ce qu’elles ne puissent pas s’attaquer.
1 2 3 4
1
2
3
4
Solution partielle
1 2 3 4
1
2
3
4
Solution complète
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PPC - V. Gabrel 14
Modélisation sous la forme d’un CSP
Variables : X = (x1,…,xn, y1, …, yn)
Associer à chaque reine i deux variables xi et yi correspondant respectivement à la ligne et la colonne sur laquelle placer la reine.
Domaines : D=(Dx1, …, Dxn, Dy1,…, Dyn) avec Dxi = Dyi = 1..n pour tout i
Contraintes : C=(clig,ccol,cdm,cdd)• Les reines doivent être sur des lignes différentes.
clig = {xi≠xj pour tout i=1..n et j=1..n avec i≠j} clig = allDifferent({xi}) • Les reines doivent être sur des colonnes différentes.
ccol = {yi≠yj pour tout i=1..n et j=1..n avec i≠j} ccol = allDifferent({yi}) • Les reines doivent être sur des diagonales montantes différentes.
cdm = {xi+yi≠xj+yj pour tout i allant de 1 à n, pour tout j allant de 1 à n}• Les reines doivent être sur des diagonales descendantes différentes.
Cdd = {xi-yi≠xj-yj pour tout i allant de 1 à n, pour tout j allant de 1 à n}
Une solution du problème des 4 reines, pour cette première modélisation, est A = {(x1,1), (y1,2), (x2,2), (y2,4), (x3,3), (y3,1), (x4,4), (y4,3)}
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PPC - V. Gabrel 15
Qu'est-ce qu'une contrainte ?
• Une contrainte est une relation logique (une propriété qui doit être vérifiée) entre différentes inconnues, appelées variables, chacune prenant ses valeurs dans un ensemble donné, appelé domaine.
• Une contrainte restreint les valeurs que peuvent prendre simultanément les variables. Par exemple, la contrainte "x + 3*y = 12" restreint les valeurs que l'on peut affecter simultanément aux variables x et y.
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PPC - V. Gabrel 16
Qu'est-ce qu'une contrainte ?
Une contrainte peut être définie en extension
On énumére les tuples de valeurs satisfaisant la contrainte . Exemple : si les domaines des variables x1 et x2 sont {0,1,2} alors on peut définir la contrainte x1 < x2 en extension par "(x1,x2) élément-de {(0,1),(0,2),(1,2)}"
Variable : xj et son domaine de définition Dj
Contrainte : c(i) est définie par un couple (v(i),r(i)) où :• v(i)=(x1,…,xk) : liste de k variables • r(i) : une liste de k-uplets admissibles, sous-ensemble du
produit cartésien D1X…XDk
↔ ensemble des combinaisons de valeurs admissibles
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PPC - V. Gabrel 17
Qu'est-ce qu'une contrainte ?
Une contrainte peut être définie en intension
• n variables : X=(x1,…,xn)• n domaines (finis) : i=1,..,n, xiDi• m contraintes : C=(c(1),…,c(m))• c(i) = (v(i), r(i)) où v(i) une liste de k
variables et r(i) une relation.
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PPC - V. Gabrel 18
Arité d’une contrainte
C’est le nombre de variables sur lesquelles elle porte =|v(i)|.
Si k=1 : contrainte unaire Si k=2 : contrainte binaire : x1 ≠ x2Si k=3 : contrainte ternaire : x1x2x3 Si k=n : contrainte n-aire :
allDifferent(v(i)) = contraint toutes les variables appartenant à v(i) à prendre des valeurs différentes.
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PPC - V. Gabrel 19
Différents types de contraintes
Fonction des domaines de valeurs des variables :
• numériques portent sur des variables à valeurs numériques = une égalité (=) , une différence (≠) ou une inégalité (<, ≤, >, ≥) entre 2 expressions arithmétiques. On distingue : les contraintes numériques sur les réels, les contraintes numériques sur les entiers, les contraintes numériques linéaires, les contraintes numériques non linéaires , …
• booléennes portent sur des variables à valeur booléenne (vrai ou faux) : une contrainte booléenne est une implication (=>), une équivalence (<=>) ou une non équivalence (<≠>) entre 2 expressions logiques.
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PPC - V. Gabrel 20
Qu'est ce qu'un CSP ?Un pb de Satisfaction de Contraintes (CSP) est un problème P modélisé sous la forme d'un ensemble de contraintes posées sur des variables, chacune de ces variables prenant ses valeurs dans un domaine.
CSP est définie par un triplet (X,D,C) oùX=(x1,…,xn)D=(D1,…,Dn) avec i=1,..,n, xiDiC=(c(1),…,c(m))avec c(i) = (v(i), r(i)) où c(i) est une relation entre les variables de v(i), restreignant les valeurs que peuvent prendre simultanément ces variables.
CSP binaire : Ne contient que des contraintes binaires Exemple : soit le CSP (X,D,C) suivant :
X = (a,b,c,d) D(a) = D(b) = D(c) = D(d) = {0,1} C = { a ≠ b, c ≠ d, a+c < b }
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PPC - V. Gabrel 21
Qu'est ce qu'un CSP ?Une solution du CSP (X,D,C) : affectation des valeurs aux variables de
telle sorte que toutes les contraintes soient satisfaites. A = { (x1,v1), (x2,v2), ..., (xn,vn) } = l'affectation qui instancie la variable
xk par la valeur vk, k=1..n. Affectation totale : toutes les variables du problème sont instanciéesAffectation partielle : seule une partie des variables est instanciées. Xk
(inclus dans X) est le domaine de l’affectation
Une affectation A viole une contrainte c(k) si toutes les variables de v(k) sont instanciées dans A, et si la relation définie par r(k) n'est pas vérifiée pour les valeurs des variables de v(k) définies dans A.
Une affectation (totale ou partielle) est consistante si elle ne viole aucune contrainte, et inconsistante si elle viole une ou plusieurs contraintes.
Une solution est une affectation totale consistante, c'est-à-dire une instanciation de toutes les variables du problème qui ne viole aucune contrainte
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PPC - V. Gabrel 22
Différents problèmes de CSPSP = ensemble de solutions du CSP P
P est consistant ssi SP ≠ .Þ Prouver qu’un CSP est consistantÞ Exhiber une solution qui maximise un ou plusieurs
critèresÞ Calculer ou estimer le nombre de solutions d’un
CSP• Si SP = .
=>Trouver l'affectation totale qui viole le moins de contraintes possibles = max-CSP ou min-VCSP lorsque chaque contrainte a un poids (= une valeur proportionnelle à l'importance de la contrainte, et on cherche l'affectation totale qui minimise la somme des poids des contraintes violées).
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23
Autre modélisation du pb des n reines
n variables X = {x1,…,xn} : xi = position de la reine i sur la colonne i.
Domaines : D(xi) = {1,…,n} pour tout i allant de 1 à n Contraintes : • les reines doivent être sur des lignes différentes
Clig = {xi ≠ xj / pour i allant de 1 à n, pour j allant de 1 à n et i ≠ j}
• les reines doivent être sur des diagonales montantes différentes Cdm = {xi+i ≠ xj+j / pour tout i allant de 1 à n, pour tout j allant de 1 à n et i ≠ j}
• les reines doivent être sur des diagonales descendantes différentes Cdd = {xi-i ≠ xj-j / pour tout i allant de 1 à n, pour tout j allant de 1 à n et i ≠ j}
Solution du problème des 4 reines : A = {(x1,2), (x2,4), (x3,1), (x4,3)}.
PPC - V. Gabrel
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PPC - V. Gabrel 24
Deuxième exemplePour l’accueil de 30 nouveaux employés, on souhaite constituer 10 équipes de 6 personnes avec 30 employés. Chaque équipe doit être constituée de 6 personnes : 3 nouveaux + 3 employés. Chacun des employés est affecté à un service indicé de A à F et chaque équipe doit être contenir au plus 4 employés du même service. Les employés des services A et B ne peuvent être dans la même équipe ; même contrainte pour les employés des services E et F.
Données :• Les employés sont indicés de 0 à 59 : les nouveaux employés ont
un numéro pair alors que les autres ont un numéro impair.• Les affectations aux services sont :
• L’employé 5 doit être dans la même équipe que l’employé 41.• L’employé 15 doit être soit avec l’employé 40 soit avec l’employé
51.• Soit l’employé 20 est avec 24, soit l’employé 22 est avec 50.
service A B C D E F
intervalle
0-19
20-39
40-44
45-49
50-54
55-59
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PPC - V. Gabrel 25
Modèlisation sous la forme d’un CSP
Variables : xi = numéro d’équipe affecté à l’employé i, i=0..59Domaines : Di = {1,..,6} pour tout IContraintes :• Pour tout j allant de 1 à 6
– count(pour i allant de 0 à 59 avec i%2=0 : xi= j)=3– count(pour i allant de 0 à 59 avec i%2=1 : xi= j)=3– count(pour i allant de 0 à 19, xi=j)<=4– count(pour i allant de 20 à 39, xi=j)<=4– count(pour i allant de 40 à 44, xi=j)<=4– count(pour i allant de 45 à 49, xi=j)<=4– count(pour i allant de 50 à 54, xi=j)<=4– count(pour i allant de 55 à 59, xi=j)<=4
•Pour tout j allant de A à F…
•x5=x41•(x15=x40)(x15=x51)
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PPC - V. Gabrel 26
Exemple d’applications industrielles
• Allocation de ressources (tournées de véhicules)
• Emploi du temps• Planification de production• Ordonnancement• Vérification et diagnostic• …
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PPC - Virginie Gabrel 27
Partie 2 : Résolution d’un CSP
1. Procédure d’exploration Engendrer et tester2. Procédure Retour Arrière Simple3. La consistance locale4. Filtrage a priori5. Filtrage en cours de résolution6. Heuristiques
On ne limite à des CSP à variables entières !!
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PPC - Virginie Gabrel 28
1. Procédure Engendrer et tester
Obj : Enumérer l’ensemble des affectations complètes jusqu’à en trouver une qui soit consistante
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PPC - Virginie Gabrel 29
Procédure Engendrer et tester
Procédure EngTest(A,X,D,C)Si A est totale alors
si A est consistante alors retourner vrai sinon faux fsiSinon
choisir xj non instanciée
pour tout v dans Dj faire
si EngTest(A(xj,v),X,D,C) alors retourner vrai
fin pourretourner faux
Fsi
Appel : EngTest(,X,D,C)
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PPC - Virginie Gabrel 30
Procédure Engendrer et tester
• On ne teste que la consistance des affectations totales
• Pas de détection d’inconsistance sur les affectations partielles
• Le nb de solutions explorées peut être très grand = |D1|x…x|Dn|
Si |Dj|=2 => 2n solutions. Dès que n>15 => impossible à résoudre
=> TRES MAUVAISE PROCEDURE
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PPC - Virginie Gabrel 31
Pistes d’amélioration
• Ne développer que les affectations partielles consistantes => Procédure RetourArrièreSimple
• Réduire les tailles des domaines des variables en enlevant les valeurs inconsistantes
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PPC - Virginie Gabrel 32
2. Procédure Retour Arrière Simple
Procédure RAS(A,X,D,C)Si A est totale alors retourner A fsiSinon
choisir xj non instanciée
pour tout v dans Dj faire
si A(xj,v) est consistante alors RAS(A (xj,v),X,D,C)
fin pourFsi
Appel : RAS(,X,D,C)
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PPC - Virginie Gabrel 33
Procédure Retour Arrière Simple
• Permet d’éliminer des solutions partielles par paquet !
• Pistes d’amélioration : s’apercevoir plus tôt qu’un sous-arbre ne contient pas de solutions.
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PPC - V. Gabrel 34
3. La consistance locale
Obj : Supprimer des valeurs des variables qui ne mènent à aucune solution valeurs inconsistantes avec une ou plusieurs contraintes
Exemple: Dx={1,2,3}, Dy={2,3,4}, x>=YSi x=1, pas de valeur dans Dy pour vérifier
la contrainteÞ Suppression de 1 dans Dx
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PPC - V. Gabrel 35
Nœud-consistance
• S’applique aux contraintes unaires
Définition : Un CSP est nœud-consistant si xX, c(i)C telle que |v(i)|=1, vDx,(x,v) vérifie r(i).
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PPC - Virginie Gabrel 36
Arc-consistance• S’applique sur les contraintes binaires
Définition : Un CSP est arc-consistant ssi c(i)C telle que |v(i)|=2 avec v(i)={x,y}– vDx, v’Dy: {(x,v),(y,v’)} vérifie r(i)– vDy, v’Dx: {(x,v’),(y,v)} vérifie r(i)
Remarque : algo polynomiaux pour rendre arc-consistant un CSP.
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PPC - V. Gabrel 37
Hyper-arc-consistance
• S’applique sur des contraintes d’arité qqconque
Définition : Soit une contrainte c(i) d’arité k, c(i) est hyper-arc-consistant si xv(i) et vDx, une affectation A des variables de v(i)\{x} telle que A(x,v) vérifie r(i)
Un CSP est hyper-arc-consistant ssi toute ses contraintes sont hyper-arc-consistantes.
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PPC - V. Gabrel 38
Hyper-arc-consistance
Un CSP est hyper-arc-consistante si chaque valeur v de n’importe quel domaine de variable peut participer à une affectation totale consistante.
Pour une contrainte binaire : hyper-arc-consistance = arc-consistance
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PPC - Virginie Gabrel 39
4-Filtrage a priori
Comment rendre un CSP arc-consistant ?
Par le Filtrage.
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PPC - Virginie Gabrel 40
Procédure Filtrage a prioriProcédure FAP1(X,D,C)L<- {(xi,xj), (xj,xi) avec ij liées par une contrainte binaire}Répéter
modification <- fauxpour tout (xi,xj) dans L
modification <- REVISE (xi,xj)modificationfin pour
Tant que modification= vrai
Procédure REVISE(xi,xj)modification <- fauxpour tout v dans Di faire
S’il n’existe pas v’Dj tel que {(xi,v), (xj,v’)} est consistance alorsDi <- Di\{v} modification <- vrai
fin siFin pourRetourner modification
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PPC - Virginie Gabrel 41
Procédure Filtrage a prioriLimite de FAP1 : A chaque réduction de domaine on
parcours de nouveau L = > TRES LONG
Procédure FAP2(X,D,C)L<- {(xi,xj), (xj,xi) avec ij liées par une contrainte}Tant que L
choisir et supprimer de L un couple (xi,xj)si REVISE(xi,xj) alors
L <- L{(xk,xi): contrainte liant xk et xi}fin si
Fin tant que
Si à l’issue de FAP1 ou FAP2, il existe un domaine vide CSP inconsistant
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PPC - V. Gabrel 42
Exercice 1Peut-on rendre le CSP suivant arc-consistant ?Appliquer FAP1 puis FAP2
Variables : x,y,zDomaines :
Dx={0,1,2}Dy={0,1,2}Dz={0,1,2,3,4}
Contraintes(x,y){(0,1),(1,0),(2,2)}(x,z){(0,2),(0,3),(1,1),(2,1)}(y,z){(0,2),(1,4)}
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PPC - V. Gabrel 43
Exercice 2 : Planification de tâches
On doit planifier 6 tâches dans un délai de 6 heures
Graphe potentiel-tâcheChaque tâche ne peut commencer qu’en début d’heure. La tâche T1 ne peut pas être planifiée à la même heure que la tâches T4.1. Modéliser ce problème comme un CSP2. Rendre ce CSP arc-consistant.
T1
T3
T2
T4
T5
T6
1
1 1 2
2
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PPC - V. Gabrel 44
Limites du filtrage a priori
• Procédure longue et pas nécessairement efficace
Exemple: • X=(x1,…,xn)• Di={1,…,n} pour tout i allant de 1 à n• C=(X, all-diff(x1,…,xn))Þ le filtrage a priori n’enlève aucune valeur.
Amélioration : utiliser le filtrage en cours d’énumération
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PPC - V. Gabrel 45
5-Filtrage en cours de résolution
A chaque instanciation : anticiper les conséquences de l’affectation partielle sur les domaines des variables restant à instancier
Filtrer les domaines des variables non affectées en enlevant les valeurs inconsistantes
Différents filtrages possibles
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PPC - V. Gabrel 46
Différents filtrages étant donné une affectation partielle A
• Pour chaque variable xi non affectée, enlever de Di toute valeur v telle que l’affectation A{(xi,v)} ne soit pas consistante ( on anticipe d’une étape dans l’énumération)
FILTRAGE PAR CONSISTANCE DE NŒUD
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PPC - Virginie Gabrel 47
Procédure Forward CheckingProcédure FC(A,V,D,C)Si V= alors A est une affectation totale consistanteSinon
choisir xk dans V pour tout v dans Dksi check-forward(xk,v,V\{xk},D,C) alorsFC(A(xk,v),V\{xk},D,C)fin sifin pour
Fin si
Procédure check-forward(xk,v,V,D,C)pour tout xj V
pour chaque v’ Dj si {(xk,v),(xj,v’)} inconsistant alors Dj <- Dj\{v’} fin pour
Si Dj= alors retourner fauxfin pourRetourner vrai
Appel : FC(,X,D,C)
![Page 48: Programmation par contraintes Virginie gabrel Master ID apprentissage 2010-2011 1PPC - V. Gabrel](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062511/551d9d91497959293b8c7f75/html5/thumbnails/48.jpg)
PPC - V. Gabrel 48
Différents filtrages étant donné une affectation partielle A
• Pour chaque variable xi non affectée, enlever de Di toute valeur v telle qu’il existe une variable xj non affectée pour laquelle, pour toute valeur w de Dj, l’affectation A{(xi,v),(xj,w)} ne soit pas consistante ( on anticipe de deux étapes)
FILTRAGE PAR CONSISTANCE D’ARC
![Page 49: Programmation par contraintes Virginie gabrel Master ID apprentissage 2010-2011 1PPC - V. Gabrel](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062511/551d9d91497959293b8c7f75/html5/thumbnails/49.jpg)
PPC - V. Gabrel 49
Procédure full Look-Ahead
Après chaque instanciation, réaliser une arc-consistance complète sur les variables non instanciées
+ réduit les domaines encore mieux que le FC- beaucoup plus gourmand en tps de calcul
A faire :• Simuler sur le pb des 4 reines• Comparer FC et FLA sur le CSP suivant :
X={x,y,z}, Dx=Dy=Dz={1,2}, C={xy,yz,xz}
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PPC - V. Gabrel 50
Différents filtrages étant donné une affectation partielle A
• Anticipe de 3 étapes dans l’énumération
FILTRAGE PAR CONSISTANCE DE CHEMIN ou 3-CONSISTANCE
• …
• Plus un filtrage est fort, plus il sera long à exécuter !
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PPC - V. Gabrel 51
Traitement de contraintes spécifiques
• La contrainte allDifferent
1 ? 2
4
3
2
x[1,1] == 1=> x[1,2]{2,3,4}x[1,4] == 2=> x[1,2]{3,4}x[3,2] == 3=> x[1,2]{4}
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PPC - V. Gabrel 52
La contrainte allDifferent
allDifferent(x1,…,xn)• Calculer nv : nbre de variables non
instanciées• R : ensemble des valeurs restantes
dans les domaines des variables non instanciées
Si nv > |R| alors CSP inconsistant
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PPC - V. Gabrel 53
Traitement de allDifferent
c est une contrainte allDifferent(X)nv=|X|
Procedure filtrageAllDifferent(c)V<- XTant que xV telle que Dx ={v}
V<- V\{x}pour tout x’V, Dx’ <- Dx’\{v}
Fin tqU<-Pour tout xX faire U<-UDxSi nv >|U| alors retourner Inconsistance
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PPC - V. Gabrel 54
Traitement de allDifferent
Limite de la procédure filtrageAllDifferent(c)
Après réduction de domaine :
{1,2}
4{1,2}
3
3{1,2
}{1,2
} 4
4 3{1,2
}{1,2
}
{1,2}
{1,2}
{1,2,3,4
}
{1,2}
allDifferent(x33,x34,x43,x44)nv=4|X|=4=> CSP consistant ?Réponse : non
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PPC - V. Gabrel 55
Traitement de allDifferent
Pour aller plus loin :1. Calculer un couplage
maximal dans un graphe biparti (cmax est la valeur du couplage) avec par ex un algorithme de flot
2. Si nv>cmax => CSP inconsistant
x33
x34
x43
x44
1
2
3
4
cmax=3
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PPC - V. Gabrel 56
5. HeuristiquesObj : faire apparaître les échecs le plus tot possible
Ordre des variables à instancier :• Priorité aux variables liées (par des contraintes)
au plus grand nombre de variables déjà instanciées
• Priorité aux variables ayant le domaine de + petite cardinalité
• Priorité aux variables intervenant dans le plus grand nombre de contraintes
Ordre de vérification des contraintes : priorité aux contraintes les moins satisfiables
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PPC - V. Gabrel 57
CSP qqconque -> CSP binaire
Soit un CSP=(X,D,C) avec C=C2Ck , C2 contient les contraintes binaires et Ck les m contraintes d’arité > 2
Obj : Le transformer en CSP binaire équivalent (même ensemble de solutions)
A toute contrainte c(i) d’arité k (k>2), associer une var yi dont le domaine est l’ensemble des k-uplets consistants de c(i)
Définir CSP’=(X’,D’,C’) = CSP de la façon suivante :X’=XYC’=C2{i=1..m, xj : jeme var de v(i), xj=j-eme-arg(yi)}
avec j-eme-arg(yi) la fonction unaire qui renvoie la jeme variable du k-uplet
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PPC - V. Gabrel 58
ExempleCSP=(X,D,C) avec X={x1,x2,x3,x4}, Di={0,1}, C={c2(1),ck(1),ck(2)}, c2(1): x1x2=1 et ck(1):
x1x2=x3, ck(2): x1x2=x4
y={y1,y2}Dy1={(x1,x2,x3) : ck(1) est vérifiée} = (0,0,0)(0,1,0)(1,0,0)(1,1,1)} Dy2 ={(x1,x2,x4) : ck(1) est vérifiée}
={(0,0,0)(0,1,1)(1,0,1)(1,1,1)}C’={c2(1)}{x1=1er-arg(y1), x2=2eme-arg(y1), x3=3eme-arg(y1), x1=1er-arg(y2), x2=2eme-
arg(y2), x4=3eme-arg(y2)}
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PPC - V. Gabrel 59
La PPC avec OPL
Plusieurs solveurs disponibles proposant des librairies
• IBM ILOG CP Optimizer (C++, java, OPL development studio)
• Microsoft Solver Foundation (C++, Python, inclus dans EXCEL 2007)
• Choco Solver (java) www.choco-constraints.net gratuit
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PPC - V. Gabrel 60
Exemple Accueil des nouveaux sous OPL
using CP;range persons=0..59; range teams=1..10; {string} serviceNames={"A","B","C","D","E","F"}; {int} service[serviceNames]=[asSet(0..19),asSet(20..39),asSet(40..44),
asSet(45..49),asSet(50..54),asSet(55..59)]; dvar int team[persons] in teams; subject to {forall(t in teams) {
count(all(i in persons: i%2==1) team[i],t)==3;count(all(i in persons: i%2==0) team[i],t)==3; forall(f in serviceNames)
count(all(i in service[f]) team[i],t)<=4;}forall(pA in service["A"],pB in service["B"]) team[pA]!=team[pB]; forall(pE in service["E"],pF in service["F"]) team[pE]!=team[pF]; team[5]==team[41];(team[15]==team[40]) || (team[15]==team[51]); (team[20]==team[24]) || (team[22]==team[50]); }
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PPC - V. Gabrel 61
Les contraintes sous OPL
• Arithmétiques : min, max, count, abs, element
• Logiques : &&, ||,!, =>,!=,==• Explicites : allowedAssignments,
forbiddenAssignments• Spécialisées : allDifferent,
allMinDistance, inverse, lex, pack
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PPC - V. Gabrel 62
allowedAssignments
Purpose : OPL function to define the allowed combinations of values.
Type : boolean (1 if the constraint is true, 0 otherwise)
Syntax : allowedAssignments({tuple-type},int, ...) Description : This constraint allows you to easily define the
allowed combinations of values for several integer decision variables. This constraint can apply to any number of variables (and therefore each has a variable number of arguments). The set of allowed combinations is given by a tuple with an arity (number of fields) equal to the number of considered variables. Each tuple defines an allowed combination.
![Page 63: Programmation par contraintes Virginie gabrel Master ID apprentissage 2010-2011 1PPC - V. Gabrel](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062511/551d9d91497959293b8c7f75/html5/thumbnails/63.jpg)
PPC - V. Gabrel 63
Exemple
using CP; tuple C { int a; int b; }; {C} possibles = {<1,1>, <2,4>}; {C} forbidden = {<3,5>}; dvar int+ x; dvar int+ y; subject to {
allowedAssignments(possibles, x, y); forbiddenAssignments(forbidden, x, y);
}
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PPC - V. Gabrel 64
Contraintes spécialisées
• allDifferent : constrains variables within a dvar array to all take different values
• allMinDistance : constrains variables within a dvar array to all take values that are one-to-one different by at least a given gap
• inverse : takes two arrays of integer variables that must be indexed by an integer and be one-dimensional
• lex : states that the first array of variables is less than or equal to the second array of variables in the alphabetical order
• pack : represents some simple but powerful one-dimensional packing constraint
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PPC - V. Gabrel 65
Contrainte pack
Purpose : a constraint to maintain the load of a set of containers.
Type : boolean (1 if the constraint is true, 0 otherwise)
Syntaxpack([dvar] int[], [dvar] int[],
int[])pack([dvar] int[], [dvar]
int[],int[], [dvar] int)
j=1..n ((p[j]==i)*(w[j]))==l[i] i using CP; int m = 2; //nb containersint n = 3; //nb objetsdvar int l[j in 1..m] in 0..10000; dvar int p[i in 1..n] in 1..m; dvar int nb; int w[1..n] = [i : 1 | i in 1..n]; subject to {
pack(l, p, w, nb); } assert nb==m-count(l,0);
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PPC - V. Gabrel 66
Références
• http://www710.univ-lyon1.fr/~csolnon/Site-PPC
• Principles of constraint programming K. R. Apt