Produto vetorialAnliy N. N. Sargeant
José Antônio A. AndradeMariane Urias da SilvaSolange G. F. Martins
Produto vetorial
e sendo vetores,v
u
é um número real u v
é um vetoru v
• Se , então por definição: //u v
0u v
Exemplo 1: De acordo com a definição acima temos:
2 0,u u
pois // 2u u
2 4 2u v u v
2 2 2u v u v
pois 2 // 2 2u v u v
0 0u
e , uma vez que0 0u
0 // .u
0,
Para definir o produto vetorial , com e não-paralelas, será preciso conhecer a área do paralelogramo formado por e .
u v
v
u
uv
u
v h
D C
BA
u h
? I
E
AB h
Do triângulo retângulo , temos que:AED
hsen
AD
hsen
v
h v sen
Substituindo em , temos que:h I
Área do paralelogramo = u v sen
• Se e não são paralelos, o produto vetorial de e é um vetor com as seguintes características: uv
uv
u v
(a) é a área de um paralelogramo determinado por
e :
u v
uv
u v u v sen
(c) O sentido de é dado pela Regra da Mão Direita.u v
(b) é ortogonal a e a . (direção)u v
uv
u
v
v u
v
u
u v
Teorema I: Sejam e vetores e um escalar, são válidas as seguintes propriedades:
v
u
(a) ,v w w v
(b) 0 //v w v w
(c) v w v w v w
isto é, o produto vetorial é anti-comutativo
Vetores canônicos
, e ˆ 0,0,1k ˆ 0,1,0j ˆ 1,0,0i
são vetores unitários (de norma igual a um) paralelos aos eixos coordenados.
eixo ˆ //i x
eixoˆ //j y
eixo ˆ //k z
Um vetor pode ser escrito em termos de uma soma:
1 2 3, ,v v v v
1 2 3, ,v v v v
1 2 31,0,0 0,1,0 0,0,1v v v
1 2 3
ˆˆ ˆv i v j v k
1 2 3,0,0 0, ,0 0,0,v v v
z
y
x
k
ji
z
y
x
1ˆv i
2ˆv j
3ˆv k
1 2 3ˆˆ ˆv v i v j v k
Relações entre os vetores canônicos
ˆ ˆi i 0
ˆ ˆi j kˆ ˆj i k
ˆ ˆj j 0
ˆj k i
i
ˆ ˆk k 0
ˆ ˆk i jˆ ˆk j ˆi k j
1 2 3 1 2 3Sejam , , e , , vetores no espaço.
Entao, o produto e dado por:
u u u u v v v v
u v
u v
1 1 1 2 1 3ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆu v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆu v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆu v k i u v k j u v k k
1 2 3 1 2 3, , , ,u u u v v v
1 2 3 1 2 3ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆu i u j u k v i v j v k
1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆu v k u v j u v k u v i u v j u v i
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆu v i u v i u v j u v j u v k u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1ˆˆ ˆu v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
ˆˆ ˆdet det detu u u u u u
i j kv v v v v v
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
ˆˆ ˆdet det detu u u u u u
i j kv v v v v v
Logo,
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
det , det ,detu u u u u u
u vv v v v v v
Para obter as componentes de :u v
1º) Escreva as componentes de e , como segue: uv
1 2 3
1 2 3
u u u
v v v
terceira componente, elimine a terceira coluna da matriz Φ e calcule
2 3
2 3
detu u
v v
1 3
1 3
detu u
v v
1 2
1 2
detu u
v v
2º) Para calcular a:
primeira componente, elimine a primeira coluna da matriz Φ e calcule o
segunda componente, elimine a segunda coluna da matriz Φ e calcule
Exemplo 2: Sejam e Determine o produto vetorial
ˆˆ ˆ2 2u i j k 3 .v i k
.u v
Exemplo 2 (novamente):
Usando os vetores , e o produto vetorial pode ser escrito como:
i j k ,u v
u v
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
ˆˆ ˆdet det detu u u u u u
i j kv v v v v v
1 2 3
1 2 3
ˆˆ ˆ
det
i j k
u u u
v v v
22
Q
4
3
x y
z
1
2R
P
Exemplo 3: Calcule a área do triângulo determinado pelos pontos 2,2,0 , 0,4,3 e 1,0,2 .P Q R