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PRODUCTO CARTESIANORELACIONES BINARIAS
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Producto Cartesiano
• El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A × B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B.
A × B = { (x,y) / x A ^ y B }
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Producto Cartesiano
• Ejemplo: Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 } AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }
Note que A tiene 3 elementos
B tiene 2 elementos A x B tiene 6 elementos.
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Producto Cartesiano• Ejemplo: A = { corazón, trébol, coco, espada }
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
A x B = { (corazón, 1), (corazón,2),…,(corazón,12), (trébol,1), (trébol,2), …,(trébol,12), …,(espada,12) }
Note que A tiene 4 elementos B tiene 12 elementos A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)
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Producto CartesianoRepresentación en forma de Tabla
• Ejemplo: A = { , } B = { , , }
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Producto CartesianoRepresentación en forma de Diagrama
• Ejemplo: A = { , } B = { , , }
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Producto Cartesiano
• Ejemplo: A = { , } B = { , , }
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Gráfico cartesiano• Dados los conjuntos A = { 1 , 2 } y B = { 1 , 2 , 3 } el gráfico cartesiano de A x B es:
La primera componente de cada
elemento del producto cartesiano es la
abscisa
La segunda componente de cada
elemento del producto cartesiano es la
ordenada
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Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde
A = { x / x R –1 x 1 } B = R
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Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde
A = { x / x R 2 x < 5 }B = { x / x R 1 < x 3}
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Relación entre elementos de conjuntos
• Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada.
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Relación entre elementos de conjuntos
• Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B.
• Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B.
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Relaciones• Dado el siguiente diagrama que relaciona los
elementos de A con los de B
b está relacionado
con 1
3 es el correspondiente
de d
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Conjuntos de salida y de llegada de un relación
• A es el conjunto de salida y B es el conjunto de llegada
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Dominio de una relación
• Dom(R) = x / xA (x,y) R
Dom(R) = {b, c, d}
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Imagen de una relación
• Im(R) = y / yB (x,y) R
Im(R) = {1, 3, 4}
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Notación• Si R es una relación entre A y B , la expresión x R y
significa que (x,y) R , o sea, que x está relacionado con y por la relación R.
• Ej: b R 1 porque (b,1) R
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Relación definida en un conjunto
• Cuando los conjuntos de partida y de llegada de una relación R son el mismo conjunto A, decimos que R es una relación definida en A, o, simplemente, una relación en A.
• Una relación R en A es entonces un subconjunto de A2 = A x A
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Relación definida en un conjunto
• Ejemplo:
Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relación “es madre de” – R es una relación en H. Por qué?– Como Ana es la madre de Luis, decimos que el par
(Ana,Luis) R.– Note que los pares que verifiquen R son un
subconjunto de H x H.
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Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto
• Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen cinco propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación
• Propiedad reflexiva
• Propiedad simétrica
• Propiedad asimétrica
• Propiedad antisimétrica
• Propiedad transitiva
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Propiedad reflexiva
• La propiedad reflexiva dice que todos los elementos de un conjunto están relacionados con si mismo
R es reflexiva si para todo x A, el par (x,x) R
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Propiedad simétrica• La propiedad simétrica dice que si un elemento está
relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero
R es simétrica si siempre que un par (x,y) R, el par (y,x) también pertenece a R
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Propiedad Simétrica
• Ejemplo– Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes relaciones
en A2 son simétricas
R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)}
S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}
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Propiedad asimétrica• Una relación es asimétrica si ningún par
ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica.
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Propiedad antisimétrica• Una relación es
antisimétrica cuando sólo cumplen la propiedad simétrica los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por distintos elementos.
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Propiedad antisimétrica
• Ejemplo– Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes relaciones
en A2 son antisimétricas
R = {(2, 2), (4, 4)}
S = {(2, 4)}
T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}
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Propiedad transitiva• La propiedad transitiva dice que si un elemento está
relacionado con otro y éste está a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero.
R es transitiva si x , y ,z , (x,y) R (y,z) R (x,z) R
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Propiedad transitiva
• Ejemplo– Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes
relaciones en A2 son transitivas
R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)}
S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}
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Ejercicio
• Dado A = {1, 2, 3} decir a que tipo pertenecen las siguientes relaciones
– R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}.
– R2 = {(1, 1)}.
– R3 = {(1, 2)}.
– R4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.
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Ejercicio
• Sea A = {2, 3, 4, 5, 6}
R = {(x, y) / xA, yA, | x – y | es divisible por 3}
• Escribir por extensión a R.
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Relación de equivalencia• Permite marcar características similares entre los
elementos de un conjunto
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Ejemplo de Relación de Equivalencia
• Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos.
R= {(x, y) / x,y H ^ "x es compatriota de y"}
– R es reflexiva puesto que toda persona es compatriota de si mismo.
– R es simétrica, puesto que "si x es compatriota de y, y es compatriota de x".
– R es transitiva, por que "si x es compatriota de y e y es compatriota de z, entonces x es compatriota de z".
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Ejemplo de Relación de Equivalencia
• Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos.
R= {(x, y) / x,y H ^ "x es compatriota de y"}
– Dado un elemento a de H, su clase de equivalencia estará formada por sus compatriotas.
– El conjunto cociente de H por R, H/R, es el conjunto formado por todas las clases de equivalencias.
– H/R es una partición de H.
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Ejercicio
• ¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son de equivalencia?
– R = {(a, b)/ a y b tienen la misma madre}, donde S = {a / a es cualquier persona}
– S es el conjunto de números enteros y R es la relación “x es congruente con y módulo 2”, es decir, que x e y tienen el mismo resto al ser divididos por 2.