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Sinais Digitais
� Um sinal pode ser entendido como uma função que carrega uma informação
� Sinal de voz
� O sinal é processado de acordo com a aplicação necessária
� Transmissão, armazenamento, manipulação
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Processamento de Sinais
� O processamento de sinais lida com a representação, transformação e manipulação dos sinais e da informação que eles contêm
� Até a década de 60� Tecnologia analógica
� Evolução de computadores e microprocessadores� PDS
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Processamento Digital de Sinais
� Aspecto fundamental:
� Conversão do sinal contínuo em uma
sequência de amostras
� Um sinal discreto no tempo
� Após o processamento digital, a sequência de
saída pode ser convertida de volta a um sinal
contínuo no tempo
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Processamento Digital de Sinais
� Classificação:� Sinais contínuos no tempo
� Representados por funções de variáveis contínuas
� Sinais discretos no tempo� Representados matematicamente por uma sequência de
números reais ou complexos
� Sinais contínuos em valores� Se um sinal pode assumir qualquer valor dentro de um
espaço finito ou infinito
� Sinais discretos em valores� Assume apenas valores dentro de um espaço finito
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Processamento Digital de Sinais
� Sinais Digitais
� Sinais digitais são aqueles para os quais tanto
o tempo quanto a amplitude são discretos
� Ou seja, ele é discreto no tempo e só pode
assumir valores dentro de um conjunto finito de
possíveis valores (é discreto em valores)
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Processamento Digital de Sinais
� Sinais Determinísticos� Qualquer sinal que podem ser unicamente
descrito por uma expressão matemática, uma tabela de dados ou uma regra bem definida
� Sinais Aleatórios� os sinais não podem ser representados
precisamente por equações matemáticas ou suas descrições são muito complexas para uso. Isso indica que tais sinais têm comportamento imprevisível
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Processamento Digital de Sinais
� A sequência x é escrita como:
� x = {x[n]}, -∞ <n < ∞
n inteiro
� Sequência gerada a partir do processo de amostragem
� n-ésimo termo:
� x[n] = xa(nT), -∞ <n < ∞
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Amostragem
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Amostragem
� Cuidados com a taxa de amostragem
Baixa taxa de Amostragem !
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MatLab
No MatLab:
•Função Seno contínua (-):
>> fplot (‘sin(x/2 + 1)’, [0, 30], ‘r’)
•Função Seno amostrada (-):
>>nn = 0:30;
>> sinus=sin(nn/2 + 1);
>> stem(nn, sinus);
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Exemplos
� Impulso (delta de Dirac)
� Uma sequência arbitrária pode ser representada como uma soma de impulsos
0 n
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Exemplos
� Impulso (delta de Dirac)
No MatLab:
function [x, n] = impseq(n0, n1, n2)n = [n1:n2];x = [(n - n0) == 0];stem (x);
>> impseq (5, 0, 10);
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Exemplos
� Impulso (delta de Dirac)
x[n] = 2.δ[n + 2] - δ[n – 4], -5 ≤ n ≤ 5
No MatLab:
>> n = [-5:5];
>> x = 2*impseq(-2, -5,5) - impseq(4, -5, 5);
>> stem (n, x); title ('Exemplo de Sequencia'); xlabel('n'); ylabel('x[n]');
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Exemplos
� Degrau
No MatLab:
function [x, n] = stepseq(n0, n1, n2) % Degraun = [n1:n2];x = [(n-n0) >= 0];stem (x);
>> stepseq (5, 0, 10);
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Exemplos
� Sequência Exponencial
No MatLab:
•Função Exponencial:
>> nn = 0 + [1:21]’ - 1;
>> y = (0.9).^nn;
>> stem(nn, y);
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Sistemas e Propriedades
� Sistemas Discretos no Tempo� Um sistema discreto no tempo é definido
matematicamente como uma transformação que mapeia uma sequência de entrada x[n] em uma sequência de saída y[n]
� y[n] = T{x[n]}
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Sistemas e Propriedades
� Sistemas Discretos no Tempo
� Exemplos:
� Atraso ideal: y[n] = x[n – nd], -∞ <n < ∞
� Média móvel:
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Sistemas e Propriedades
� Sistemas Discretos no Tempo
� Propriedades
� 1) Sistema sem Memória
� A saída y[n] a cada valor de n depende apenas da
entrada x[n] no mesmo valor de n
� Ex:
� Sistema sem memória: y[n] = {x[n]}2
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Sistemas e Propriedades
� Sistemas Discretos no Tempo
� Propriedades
� 2) Sistema Linear
� Obedecem ao princípio da Superposição:
� T{a.x1[n] + b.x2[n]} = a.T{x1[n]} + b.T{x2[n]}
� Ex:
� Acumulador:
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Sistemas e Propriedades
� Sistemas Discretos no Tempo
� Propriedades
� 3) Sistema Invariante no Tempo
� Um deslocamento no tempo da sequência de
entrada gera um deslocamento correspondente na
sequência de saída
� Ou seja: Se x[n] → y[n], então x[n + m] → y[n + m]
� Ex: Sistema não invariante no tempo: y[n] = x[M.n]
T T
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Sistemas e Propriedades
� Sistemas Discretos no Tempo
� Propriedades
� 4) Sistema Causal
� Não depende de valores futuros da sequência
� Ex: Sistema não causal: y[n] = x[n + 1]
� 5) Sistema Estável
� Toda entrada limitada produz uma saída limitada
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Sistemas Lineares e Invariantes
no Tempo (LTI)
� Como vimos, uma sequência qualquer pode ser
representada como uma soma de impulsos:
� Como y[n] = T{x[n]}, temos:
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Sistemas Lineares e Invariantes
no Tempo (LTI)
� Assim, um sistema Linear e Invariante no Tempo é completamente descrito por sua resposta ao impulso
� Essa representação é conhecida também como soma de convolução
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Propriedades da Soma de
Convolução
� 1) Comutatividade: x[n]*h[n] = h[n]*x[n]
� 2) Distributividade:
� x[n]*(h1[n] + h2[n]) = x[n]*h1[n] + x[n]*h2[n]
� 3) Conexão em Cascata
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Propriedades da Soma de
Convolução
� 4) Conexão em Paralelo
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Propriedades da Soma de
Convolução
� 5) Causalidade
� Como definido anteriormente, um sistema é
dito causal se sua resposta não depende de
eventos futuros. Ou seja, para calcular a saída
de y[n0], precisamos apenas de x[n], n ≤ n0.
Isso implica na condição:
� h[n] = 0, n < 0
� Assim, para testar a causalidade basta testar
se h[n] = 0 para n<0
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Propriedades da Soma de
Convolução
� 6) Estabilidade
� A estabilidade é garantida se:
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Sistemas Lineares e Invariantes
no Tempo (LTI)
� Sistemas Inversos
� Se um sistema linear invariante no tempo tem
uma resposta ao impulso h[n], então seus
sistema inverso, se existir, tem resposta ao
impulso hi[n] definida pela relação:
� h[n]*hi[n] = hi[n]*h[n] = δ[n]
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Sistemas Lineares e Invariantes
no Tempo (LTI)
� Uma classe importante de sistemas lineares invariantes no tempo consiste daqueles para os quais x[n] e y[n] se relacionam através de uma equação de diferenças de coeficientes constantes lineares de n-ésima ordem da forma:
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Sistemas Lineares e Invariantes
no Tempo (LTI)
� Exemplo: y[n] = y[n – 1] + x[n]
Na equação anterior
teríamos:
N = 1
a0 = 1
a1 = -1
M = 0
b0 = 1
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Sistemas LTI como Filtros Seletores
de Frequência
� O termo filtro é normalmente usado para
descrever um dispositivo que discrimina, de
acordo com algum atributo do objeto aplicado
como entrada, o que passa através dele
� Como um filtro de ar que deixa o ar passar, mas retém
partículas de impureza
� Um sistema LTI também funciona como um tipo
de discriminante, filtrando entre os vários
componentes de frequência na sua entrada
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Sistemas LTI como Filtros Seletores
de Frequência
� A forma da filtragem é definida pela resposta de
frequência H(ω) que depende da escolha de
parâmetros do sistema (como os coeficientes do
filtro)
� Como veremos em projeto de filtros
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Sistemas LTI como Filtros Seletores
de Frequência
� Em geral, um sistema LTI modifica o espectro do sinal de entrada X(ω) de acordo com a resposta em frequência H(ω) que leva a um sinal de saída com espectro Y(ω) = H(ω)X(ω)
� Assim, um sistema LTI pode ser visto como um filtro embora não bloqueie completamente qualquer componente de frequência do sinal de entrada. � Consequentemente, os termos “sistema LTI” e “filtro”
são sinônimos e são normalmente usados sem distinção.
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Sistemas LTI como Filtros Seletores
de Frequência
� Filtros são normalmente classificados de acordo com suas características no domínio da frequência como passa-baixa, passa-alta, passa-faixa e rejeita-faixa
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Sistemas LTI como Filtros Seletores
de Frequência
� Todos os filtros ideais têm características de magnitude constante e fase linear dentro da banda de passagem
� Em todos os casos, tais filtros não são fisicamente realizáveis, mas servem como idealizações matemáticas para filtros práticos
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Representação pela
Transformada de Fourier
� Transformadas
� Mudança entre domínios de sinais
� Transformada de Laplace
� Transformada de Fourier
� Transformada Discreta do Cosseno
� Transformada Z
� Transformada Wavelet
� Permitem observar propriedades de forma mais
simples
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Representação pela
Transformada de Fourier
� Transformada de Fourier de uma sequência
� Transformada Inversa
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Representação pela
Transformada de Fourier
� Em geral, a Transformada de Fourier é uma
função complexa em ω
� Como na resposta à frequência, algumas vezes, pode-se expressar X(ejω) na forma
� X(ejω) = XR(ejω) + j.XI(ejω)
� ou na forma polar:
� X(ejω) = |X(ejω)| ej∠X(e^jω)
MagnitudeFase
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Representação pela
Transformada de Fourier
� Vamos mostrar que a relação entre a Transformada de Fourier e sua Inversa
� Considere:
� Se trocarmos a ordem da integral e do
somatório:
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Representação pela
Transformada de Fourier
� Calculando a integral dentro dos parênteses
� Assim:
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Representação pela
Transformada de Fourier
� Exemplo:
� x[n] = anu[n]
Que converge se |a.e-jw| < 1 ⇒ |a| < 1.
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Representação pela
Transformada de Fourier
� Propriedades da Transf. de Fourier
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Bibliografia Complementar
� Vinay K. Ingle, John G. Proakis, Digital Signal Processing, Thomson Learning, 2000.
� Michael Weeks, Digital Signal Processing Using MatLab and Wavelets, Infinity Science Press, 2007.
� Alan V. Oppenheim, Ronald Schafer, Discrete Time Signal Processing, Prentice Hall, 1989