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Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer
Capitulo 1 – Introdução à Probabilidade.
1.1 Modelos Matemáticos
1.2 Introdução aos Conjuntos
Alguns símbolos: , para todos; , existe e não existe; , final da prova; , se, e somente se;
, implica; , tal que; portanto e pois.
, leia é elemento de .
, leia não é elemento de A.
, leia é subconjunto de .
, leia união .
, leia interseção .
, leia diferença de com .
, leia de e .
.
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
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1.3 Exemplos de Experimentos Não-Determinísticos
1.4 O Espaço Amostral
1.5 Eventos
1.6 Frequência Relativa
, onde é a do evento , nas , repetições.
1.7 Noções Fundamentais de Probabilidade
Teorema 1.1 .
Teorema 1.2 .
Teorema 1.3 .
Teorema 1.4
.
Teorema 1.5 Se , então .
1.8 Algumas Observações
Problemas
1) Suponha que o conjunto fundamental seja formado pelos inteiros positivos de 1 a 10. Sejam ,
, e . Enumere os elementos de dos seguintes conjuntos:
a) .
b) .
c) .
d)
.
e)
.
2) Suponha que o conjunto fundamental seja dado por . Sejam os conjuntos e definidos
da forma seguinte:
e
. Descreva os seguintes conjuntos:
a)
.
b)
.
c)
.
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d)
.
3) Quais das seguintes relações são verdadeiras?
a) Verdadeira.
b) . Verdadeira, pois, .
c) Falsa.
d) . Falsa, pois, .
e) . Verdadeira, pois, .
4) Suponha que o conjunto fundamental seja formado por todos os pontos de coordenadas ambas inteiras, e
que estejam dentro oi sobre a fronteira do quadrado limitado pelas retas . Enumere
os elementos dos seguintes conjuntos:
a) .
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b)
c)
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d) .
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e) .
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Analisando
Analisando
5) Empregue diagramas de Venn para estabelecer as seguintes relações:
a) e implicam que .
b) implica que .
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c) implica que .
d) implica que .
e) e implicam que .
6) Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não defeituosas (N). As pecas são
inspecionadas e sua condição é registrada. Isto é feito até que duas peças defeituosas consecutivas sejam
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fabricadas ou que quatro peças tenham sido inspecionadas, aqui que ocorra em primeiro lugar. Descreva um
espaço amostral para este experimento.
7)
a) Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas com filamento partido. Essas lâmpadas são
verificadas uma a uma, até que uma lâmpada defeituosa seja encontrada. Descreva um espaço amostral
para este experimento.
Seja , a primeira lâmpada defeituosa retirada e , a i-ésima lâmpada não defeituosa
retirada.
.
b) Suponha que as lâmpadas acima sejam verificadas uma a uma, até que todas as defeituosas tenham sido
encontradas. Descreva o espaço amostra para este experimento.
Seja , a i-ésima lâmpada defeituosa retirada e , a i-ésima lâmpada não
defeituosa retirada.
𝑆_7𝑎
𝐷_1
𝐵_1
𝐷_1
𝐵_2 ...
𝐷_1
𝐵_(𝑁 𝑟) 𝐷_1
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.
8) Considere quatro, objetos, . Suponha que a ordem em que tais objetos sejam listado represente o
resultado do experimento. Sejam os eventos e definidos assim: ;
.
a) Enumere todos os elementos do espaço amostral.
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.
b) Enumere todos os elementos dos eventos e .
.
.
.
.
9) Um lote contém peças pesando 5, 10, 15, ..., 50 gramas. Admitamos que ao menos duas peças de cada peso
sejam encontradas no lote. Duas peças são retiradas do lote. Seja o peso da primeira peça escolhida e , o
peso da segunda. Portanto, o par de números representa um resultado simples do experimento.
Empregando o plano , marque o espaço amostral e os seguintes eventos:
a) .
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b) .
c) A segunda peça é duas vezes mais pesada que a primeira.
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d) A primeira peça pesa menos 10 gramas que a segunda peça.
e) O peso médio de duas peças é menos do que 30 gamas.
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10) Durante um período de 24 horas, em algum momento , uma chave é posta na posição “ligada”. Depois, em
algum momento futuro (ainda durante o mesmo período de 24 horas) a chave é virada para a posição
“desligada”. Suponha que e sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com o início do período na
origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par de números .
a) Descreva o espaço amostral.
b) Descreva e marque no plano os seguintes eventos:
i) O circuito está ligado por uma hora ou menos.
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ii) O circuito está ligado no tempo , onde é algum instante no período de 24 horas.
z é representado pela área pontilhada e pela linha pretas.
.
iii) O circuito é ligado antes do tempo e desligado no tempo (onde também são dois instantes
durante o período de 24 horas especificado).
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é representado pela região pontilha de azul.
iv) O circuito permanece ligado duas vezes mais tempo do que desligado.
é o tempo que o circuito fica desligado e o tempo que o circuito fica ligado
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11) Sejam três eventos associado a um experimento. Exprima em notação de conjuntos, as seguintes
afirmações verbais.
a) Ao menos um dos eventos ocorre.
.
b) Exatamente um dos eventos ocorre.
ou,
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=
c) Exatamente dois dos eventos ocorrem.
ou,
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d) Não mais de dois dos eventos ocorrem simultaneamente.
12) Demostre o Teor 1.4.
Teorema 1.4
.
Teorema 1.3
13)
a) Verifique que para dois eventos quaisquer, e temos que .
Teorema 1.3
Como a probabilidade que ocorra qualquer evento é a conclusão é
sempre satisfeita portanto a desigualdade é sempre verdadeira.
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b) Verifique que para quaisquer eventos , temos que .
[Sugestão: Empregue a indução matemática. O resultado enunciado em b é denominado desigualdade de
Boole].
No Teorema 1.4 está provado que
para , então a desigualdade é
valida para e é verdadeira se fora valida para .
E
Teorema 1.3:
Como é sempre satisfeita portanto a desigualdade
é sempre verdadeira.
14) O Teor. 1.3 trata da probabilidade de que ao menos um de dois eventos ou ocorra. O seguinte enunciado se
refere à probabilidade de que exatamente um dos eventos ou ocorra. Verifique que:
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Conforme a figura acima a , e , logo e
são dois eventos mutuamente excludentes então pela propriedade 3.
15) Um certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: emperramento dos mancais,
queima dos enrolamentos, desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável
do que a queima e esta sendo quatro vezes mais provável do que a desgastes das escovas. Qual será a
probabilidade de que a falha seja devida a cada uma dessas circunstancias?
Emperramento dos mancais.
Queima dos enrolamentos.
Desgastes das escovas.
16) Suponha que e sejam eventos tais que , , e . Exprima cada uma das
seguintes probabilidades em termo de e .
a)
.
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b)
.
c)
d)
.
17) Suponha que e sejam eventos tais que
, e
. Calcule a probabilidade que ao menos um dos eventos ou ocorra.
Para eu ocorrer ao menos um dos eventos, basta que ocorra:
.
.
18) Uma instalação é constituída de duas caldeiras e uma máquina. Admita que o evento seja que a maquina
esteja em boas condições de funcionamento, enquanto os eventos são os eventos de que a -
ésima caldeira esteja em boas condições. O evento é que a instalação possa funcionar. Se a instalação puder
funcionar sempre que a máquina e pelo menos uma das caldeiras funcionar, expresse os eventos e , em
termos de e dos .
tem que ocorrer e pelos menos um , ou seja .
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),
,
,
19) Um mecanismo tem dois tipos de unidades: I e II. Suponha que se disponha de duas unidades do tipo I e três
unidades do tipo II. Defina os eventos e da seguinte maneira: a -ésima unidade do
tipo I está funcionado adequadamente; : a -ésima unidade do tipo II está funcionando adequadamente.
Finalmente, admita que represente o evento: o mecanismo funciona. Admita que o mecanismo funcione se ao
menos uma unidade do tipo I e ao menos duas unidades do tipo II funcionarem; expresse o evento em termos
de e dos .
Tem que ocorrer pelo menos um , ou seja, , que está representada de vermelho na figura
abaixo, e pelo menos dois tem que ocorrer, ou seja, e , ou e , ou e , ou , e
. Em notação de conjunto temos ·que está representado de
azul na figura abaixo, (não é necessário , pois esta área já esta incluída na união das três
interseções, conforme mostra a região de contorno pontilhado).
é a área ondulada.