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I.E.S.P.”ACCIÓN COMUNITARIA
CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 1
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES 1.- BINOMIO SUMA O DIFERENCIA AL CUADRADO
(a b)2 = a
2 2ab + b
2
Trinomio Cuadrado Perfecto
EJERCICIOS
a) (3x+1)
2 = h) (5x+3)
2 =
b) (x2+3y)
2 = i) ( 3 x+5)
2 =
c) (5x2 + 1/8 ) = j) (0,2+x)
2 =
d) (x–13)2 = k) (x
3–2y)
2 =
e) (x6– 3 )
2 = l) (–x–13)
2 =
f) (–3 – x)2 = m) (x
4 – 3y
2)2 =
g) (x11
+ 8)2 =
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I.E.S.P.”ACCIÓN COMUNITARIA
CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 2
EJERCICIOS
a) ( )2 = x
2 – 4x + 4
b) ( )2 = x
2 + 22x + 121
c) ( )2 = 4x
2 – 12x + 9
d) x2 – 18x + 81 = ( )
2
e) x2 + 0,6x + 0,09 = ( )
2
f) x2 – 4 3 x + 12 = ( )
2
g) ( )2 = x
2 + 12x + 36
h) ( )2 = x
2 + 6x + 9
i) ( )2 = 9x
2 + 6x + 1
j) ( )2 = 25x
2 + 20x + 4
k) ( )2 = x
2 – 2 7 x + 7
l) ( )2 = x
2 – 16x + 64
m) ( )2 = x
2 – 26x + 169
n) ( )2 = x
2 + 24x + 144
o) ( )2 = 9x
2 – 24x + 16
p) ( )2 =
29x
4 + 3x + 1
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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 3
2.- DIFERENCIA DE CUADRADOS
“El producto de la suma por la diferencia de dos binomios es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo”. Al segundo miembro de esta igualdad se denomina Diferencia de Cuadrados.
EJERCICIOS
a) (5x2 + 2)(5x
2 – 2)
b) (7y + 4)(7y – 4)
c) (6+x)(x–6)
d) (3x+4)(3x–4)
e) (1–x2)(1+x
2)
f) (x+8)(x–8)
g) ( 5 +x)(x– 5 )
h) 2 2
x 4 x 43 3
i) 1 1
x x2 2
j) (x3 + z
2)(x
3 – z
2)
k) (5x3y
– 3)(5x
3y+3)
l) ( 11x – 7 )( 11x + 7 )
m) (2–3x4)(2+3x
4)
n) ( 2 3 )( 2 3 )
o) 2 2 2 25 5
x 2y x 2y3 3
p) ( 7 6 )( 7 6 )
(a+b)(a–b) = a2 – b2
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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 4
3.- Producto de dos Binomios con un término común
EJERCICIOS
a) (x+2)(x+5) =
b) (x+9)(x–8) =
c) (x+1)(x+3) =
d) (x–9)(x+4) =
e) (2x+1)(2x+4) =
f) (5x+7)(5x–3) =
g) (6x+1)(6x–6) =
h) (4x–1)(4x–7) =
i) (x+7)(x+5) =
j) (2x2–3)(2x
2+4) =
k) (3x2–4)(3x
2–5) =
l) (x+4)(x+2) =
m) (x+7)(x–5) =
n) ( 3 x+2)( 3 x–3) =
o) (2xy3–8)(2xy
3+6) =
p) (x–6)(x+4) =
q) (x3+4)(x
3–10) =
(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x +a.b
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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 5
4.- CUADRADO DE UN TRINOMIO
EJERCICIOS
a) (x+y+2)2 =
b) (x-y-3)2 =
c) (x2+x–2)
2 =
d) (4x–y–1)2 =
e) (x+2y+5)2 =
f) (x3+2x+4)
2 =
g) (1+2x+x)2 =
h) (x2+2x–1)
2 =
i) (4+x–x2)2 =
j) (2x3–3x
2–4)
2 =
k) (x+y+2)2 =
l) (x6–x
3–1)
2 =
m) (4–x–x4)2 =
n) (2x2–3–x)
2 =
o) (2x–x3+3)
2 =
p) (3x+y+5)2 =
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
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I.E.S.P.”ACCIÓN COMUNITARIA
CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 6
5.- SUMA DE CUBOS
EJERCICIOS
a) (x+4)(x²-4x+16)
b) (x+7)(x²-7x+49)
c) (x4+2)(x
8+2x
4+4)
d) (x²+8)(x4-8x
2+64)
e) (2x6+9)(4x
12-18x
6+81)
f) (0,3x+7)(0,09x²-4,2x+49)
g) (x²+3)(x4-3x²+9)
h) (x5+6)(x
10-6x
5+36)
i) (5x3+1)(25x
6-5x
3+1)
(a+b)(a2–ab+b2) = a3 + b3
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I.E.S.P.”ACCIÓN COMUNITARIA
CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 7
6.- DIFERENCIA DE CUBOS
EJERCICIOS
a) (x²-8)(x4+8x
2+64)
b) (x-4)(x²+4x+16)
c) (x-7)(x²+7x+49)
d) (x4-2)(x
8+2x
4+4)
e) (x4–2)((x
8+2x
4+4)
f) (0,5x–3)(0,25x2+1,5x+9)
g) (2x6 –9)(4x
12+18x
6+81)
h) (x2–8)(x
4+
8x
2+64)
i) (2x6-9)(4x
12+18x
6+81)
j) (7x-3)(49x2+21x+9)
k) (0,5x-3)(0,25x2+1,5x+9)
l) (x–6)(x2+6x+36)
(a–b)(a2+ab+b2) = a3 – b3
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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 8
7.- IDENTIDADES DE LEGENDRE
EJERCICIOS
EJERCICIOS
a) (x + 2)2 – (x – 2)
2
b) (3x – 1)2 + (3x + 1)
2
c) (x + 7)2 – (x – 7)
2
d) (x + 8)2 + (x – 8)
2
e) (5x + 4)2 + (5x – 4)
2
f) (2x – 11)2 + (2x + 11)
2
g) (9x + 3)2 + (9x – 3)
9
h) (4x + 1)2 – (4x – 1)
2
i) (2x3 + 6)
2 – (2x
3 – 6)
2
j) (2 – x4)2 – (2 + x
4)2
k) (ax2 + b
2)2 – (ax
2 – b
2)2
(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2) (a+b)2 – (a-b)2 = 4ab
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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 9
PROBLEMAS NIVEL I
01.- Desarrollar: E = (x + 2)2 - (x - 2)
2
a) 6x b) 7x c) 8x d) 5x e) N. A.
02.- Desarrollar: E = (x + 3)2 - (x - 3)
2
a) 13x b) 12x c) 14x d) 15x e) N.A.
03.- Desarrollar: E = (2x+1)2 - (2x-1)
2
a) 8x b) 7x c) 6x d) 9x e) N.A.
04.- Desarrollar: P = (2x+3)2 - (2x-3)
2
a) 23x b) 24x c) 25x d) 27x e) N.A.
05.- Calcular: E = (9 x)(9 x) (x 9)(x 9)
a) 1 b) 0 c) 3 d() 5 e) 7
06.- Efectuar: R = (x+4)(x-4) - (x+3)(x-3)
a) -7 b) +7 c) -6 d) +6 e) N.A.
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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 10
07.- Efectuar:
2 2 2 2(a b) (a 2b) (a 3b) 14b
a) 5a b) 2 a c) 7a d) 3 a e) NA
08.- Desarrollar: E = (x+5)(x-5) - (x+4)(x-4)
a) +9 b) -9 c) -5 d) +5 e) N.A.
09.- Desarrollar: E = (x+3)2 + (x-3)
2 - 2x
2
a) 13 b) 18 c) 12 d) 11 e) 7
10.- Desarrollar: E = (x+5)2 + (x-5)
2 - 50
a) 3x2 b) 2x
2 c) 4x
2 d) 5x
2 e) N.A.
11.- Desarrollar:
E = (x+4)(x-4) - (4-x)(4+x) + 32
a) 3x2 b) 5x
2 c) 6x
2 d) 2x
2 e) N.A.
12.- Efectuar:
R = (x+y)(x-y) + (y-z)(y+z)
a) x2+z
2 b) x
2-z
2 c) z
2-x
2 d) y
2+z
2 e) N.A.
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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 11
13.- Calcular: E = 2 2 2 2(a b) (a 2b) 2a 6ab 5b
a) a2 b) b
2 c) 0 d) ab e) a
2+b
2
14.- Efectuar: E = (x+1)3 - (x-1)
3 - 2
a) 6x2 b) 5x
2 c) 4x
2 d) 3x
2 e) N.A.
15.- Efectuar: E = 2 2[ (x 3y) (x 3y) ].3xy
a) 3xy b) x2+y c) x+y
2 d) 6xy e) NA
16.- Calcular: E = (x+2)3 + (x-2)
3 - 24x
a) 2x2 b) 2x
3 c) 2x d) 3 e) N.A.
17.- Efectuar: E = (x+2a)2 - (x-2a)
2
a) 4xa b) 8xa c) 6xa d) xa e) N.A.
18.- Efectuar:
E = (x+1)3 + (x+1)
2 - 4x
2 - 5x – 2
a) x2 b) x
3 c) x d) 2x e) x
4
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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 12
19.- Efectuar:
E = (x-1)3 + (x+1)
3 - 2x
3
a) 4x b) 3x c) 6x d) 7x e) N.A.
20.- Calcular: E = (a+b)2 - (a-b)
2
a) 4ab b) 3ab c) 2ab d) ab e) N.A.
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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 13
Formulas - Repaso
01.- (x+y)2 = x2 + 2xy + y2
02.- (x+y)(x–y) = x2 – y2
03.- (x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + a.b
04.- (x+y)(x2–xy+y2) = x3 + y3
05.- (x-y)(x2+xy+y2) = x3 – y3
06.- (x+y)2+(x-y)2 = 2(x2+y2)
07.- (x+y+z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(x+y)(x+z)(y+z)
08.- (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab3 ± b3
(a ± b)3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b)
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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 14
Ejemplo 1:
Reducir:
2 2E (x x 7) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)
Solución: Hacemos: x
2 + x = a
Entonces:
2 2 2 2
2
2 2
E (x x 7) (x x 2)(x x 12)
E (a 7) (a 2)(a 12)
E a 14a 49 a 14a 24
E 49 24
E 25
E 5
Ejemplo 2:
Reducir: E= 2( 2 a)(a 2)(2 a ) 4
Solución:
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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 15
2
22 2
2 2
4
4
E (a 2)(a 2)(2 a ) 4
E (a 2 )(a 2) 4
E (a 2)(a 2) 4
E a 4 4
E a
Ejemplo 3: Efectuar: (x+4)
2 – (x+1)
2 – 6x
Solución: Utilizando las fórmulas: E = x
2 + 2(x)(4) + 4
2 – [ x
2 + 2(x)(1) +1
2 ] – 6x
E = x
2 + 8x + 16 – [ x
2 + 2x + 1] – 6x
E = x2 + 8x + 16 – x
2 – 2x – 1 – 6x
E = 15 Ejemplo 5: Reducir:
2 4 88E 1 3(2 1)(2 1)(2 1)
Solución:
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I.E.S.P.”ACCIÓN COMUNITARIA
CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 16
2 4 88
2 2 4 88
4 4 88
8 88
8 16
8 16
2
E 1 3(2 1)(2 1)(2 1)
E 1 (2 1)(2 1)(2 1)(2 1)
E 1 (2 1)(2 1)(2 1)
E 1 (2 1)(2 1)
E 1 2 1
E 2
E 2
E 4
PROBLEMAS
NIVEL I
01.- Hallar el equivalente:
E = (x-2)2 + (x-3)
2 + (x-4)
2 + 18x – 29
a) x2 b) 2x
2 c) 3x
2 d) 4x
2 e) N.A.
02.- Calcular:
E = (a+1)2 + (a+2)
2 + (a+3)
2 – 3a
2 -12a
a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) N. A.
03.- Efectuar:
R = (b-1)2 + (b-2)
2 + (b-3)
2 + 12b – 14
a) 2b2 b) b
2 c) 3b
2 d) 7b
2 e) N. A.
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I.E.S.P.”ACCIÓN COMUNITARIA
CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 17
04.- Efectuar: E = (x + 9)(x + 3) - (x + 6)2
a) 27 b) 9 c) 18 d) -9 e) 63
05.- Reducir: A = (x+1)(x+5) + (x+3)(x+7) - 2(x+4)2
a) -4 b) 5 c) -5 d) -6 e) 64
06.- Reducir: Si: m-n = 8
E = 2(m 3n) 4n(2n m) 8
a) 36 b) 32 c) 72 d) 64 e) 90
07.- Reducir:
E = (3x+2)2 + (2x+3)
2 - (2x-3)
2 - (3x-2)
2
a) 12x b) 24x c) 6x d) 48x e) 0
08.- Reducir:
E = (x+3)(x-3) + (x+5)(x-5) + (2-x)(x+2) + (6-x)(x+6)
a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12
09.- Reducir:
E = (x+a)(x2+a
2)(x
4+a
4)(x-a) + a
8
a) x4 b) x
8 c) x
8 – a
8 d) a
8 e) –a
8
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I.E.S.P.”ACCIÓN COMUNITARIA
CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 18
10.- Efectuar:
E = 2
a 2 a 8 a 5 10
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.
11.- Calcular:
E = 2 22x x 1 x 1 x 1
a) 2 x b) 3x c) 3 x d) 5x e) N.A.
12.- Efectuar:
R = 2 23x x 1 x 1 5x 1 2x
a) 5x b) 3x c) 4x d) 2x e) N.A.
13.- Calcular:
E = 2 2x 2x 1 x 2 x 3x 4
a) -2x b) 2x c) 3x d) -3x e) N.A.
14.- Efectuar, sabiendo que: x > 0
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I.E.S.P.”ACCIÓN COMUNITARIA
CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 19
P = 2x x 2 x x 1 x 3x
a) x b) x c) x2 d) 2x e) N.A.
15.- Calcular:
E = m m 2 m m 2 4m
a) m b) 0 c) m2 d) 1 e) N.A.
16.- Operar:
a.- (x3 + y
5) (x
2 + y
4) =
b.- (5x + 2y) (2x – 4y) =
c.- (4x2 – 3y
2) (5x
2 + 2y
2) =
d.- (2x – 3xy + 5y) (3x – y) =
e.- (x + 5) (x + 3) =
f.- (x – 5) (x + 4) =
g.- (x + 9) (x - 5) =
h.- (x – 3) (x – 2) (x2 + 2x – 3) =
17.- Si se cumple:
m n 17 ; mn = 2
Calcular:
“m2 + n
2 + m – n”
a) 15 b) 17 c) 16 d) 18 e) 14
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I.E.S.P.”ACCIÓN COMUNITARIA
CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 20
18.- Señalar cuántos enunciados son verdaderos:
I. (x + 5)2 = x
2 + 25
II. (x + 3) (x - 2) = x2 – 9
III. (x + 5) (x – 2) = x2 – 10
IV. (a – x)2 = (x - a)
2
V. 3 2 3 2 1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
19.- Señalar verdadero (v) o falso (f).
I. (x + y) (x – y) = x2 – y
2
II. (m + 3) (m + 2) = m2 + 6
III. (p – 2) (p – 3) = p2 – 5p + 6
a) VVV b) VFF c) VVF d) VFV e) FVV
20.- Si: m + n = 5 ; mn = 2
Hallar: “m2 + n
2”
a) 25 b) 27 c) 31 d) 21 e) 19
21.- El área del cuadrado de lado “(x+y)” es 8 veces el área de un
triángulo de base “x” y altura “y” , calcular el valor de:
4 4
2 2 2 2 2 2
(x y) (x y)E
(2x y ) (2x y )
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8
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I.E.S.P.”ACCIÓN COMUNITARIA
CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 21
22.- Si se cumple: a/b + b/a = 4
Hallar el valor de:
4 2 2
2 2
(a b) 4a bE
16a b
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) NA
23.- Calcular:
E = 2 4 8 16321 3 2 1 2 1 2 1 2 1
a) 32 b) 16 c) 8 d) 4 e) 2