Primjerizadataka–drugikolokvij
1. Naoprugukonstante𝑘irelaksiraneduljine𝑑obješenjeutegmase𝑚.a) Nacrtajtedijagramsilainapišitejednadžbugibanjazauteg.b) Odreditevisinunakojojutegmirujeusvakomtrenutku𝑡 > 0ako
mirujeutrenutku𝑡 = 0.c) Pokažitedazapočetniuvijet𝑦 0 = 𝑦!i𝑦 0 = 0,jednadžbagibanja
zapoložajutegaimaoscilatornorješenjeoblika𝐴 cos𝜔𝑡,teodrediteamplituduikutnufrekvenciju.
d) Pokažitedapromjenakoličinegibanjautegadolaziodimpulsasilakojedjelujunauteg.
Rješenje:Silekojedjelujunasustavsugravitacijskasila𝐺 = −𝑚𝑔𝑦(uvijekpremadolje)ielastičnasilaopruge𝐹!" = −𝑘 𝑦 − 𝑑 𝑦čijismjerovisiotomejelivisinautegavećailimanjaodtočkegdjejeoprugarelaksirana(tj.jelioprugarastegnutailisabijena).Skicunacrtajtesami.Odabirkoordinatnogsustavajeproizvoljan,paćemopostavitiy-ostakodajeishodišteutočkiukojojjeoprugarelaksirana,tj.𝑑 = 0.Sustavjejednodimenzionalan,pamožemoizostavitijedinićnevektore.Jednadžbagibanjajetada,po2.Newtonovomzakonu,
𝑚𝑦 = −𝑚𝑔 − 𝑘𝑦odnosno:
𝑦 = −𝑔 −𝑘𝑚 𝑦
Akosustavmirujeupočetnomtrenutku,tj.ako𝑦 0 = 0,dovoljnojepokazatidasebrzinanemijenjadabismodobilistacionarnorješenje.Brzinasenemijenjaakojeakceleracijausvakomtrenutkunula,pauvrštavamotajuvijetujednadžbugibanjadabismodobilitočkustabilnosti:
−𝑔 −𝑘𝑚 𝑦!" = 0
𝑦!" = −
𝑚𝑔𝑘
NB–Ovojedobromjestozaprovjeritipredznake.Akonaopuštenuobjesimouteg,očekujemodaćesekrajoprugespustiti,tj.znamodamoramodobiti𝑦!" < 0.Svekonstanteugornjemizrazusupozitivnodefinirane,takodasmozaistaidobili𝑦!" kojijenegativan.
Jednadžbagibanjasemožesvestinaformukojujelakšeriješitiakouvedemotransformacijukoordinataoblika𝑦 = 𝑥 + 𝑦!" ,gdje𝑥predstavljapomakodtočkeravnoteže.Sobziromdaje𝑦!" konstanta,𝑦 = 𝑥.Uvrštavanjemdobivamojednadžbugibanjazapomakizravnoteže:
𝑥 = −𝑔 −𝑘𝑚 𝑥 − 𝑦!"
Korištenjemdefinicije𝑦!" = −𝑚𝑔 𝑘dobivamolakoriješivuformu
𝑥 = −𝑘𝑚 𝑥
Znamodasu𝑥i𝑦samopomaknutizanekukonstantu,paakopretpostavimooscilatornorješenjeza𝑦oblika,očekujemodaćeirješenjeza𝑥bitioscilatorno.Pokušatćemosa𝑥 𝑡 = 𝐴 cos𝜔𝑡.Deriviramo𝑥 𝑡 dvaputa:
𝑥 𝑡 = −𝜔𝐴 sin𝜔𝑡𝑥 𝑡 = −𝜔!𝐴 cos𝜔𝑡
Zatimuvrštavamo𝑥 𝑡 𝑖 𝑥 𝑡 ujednadžbugibanja:
−𝜔!𝐴 cos𝜔𝑡 = −𝑘𝑚𝐴 cos𝜔𝑡
Pokratimo𝐴 cos𝜔𝑡sobjestrane,tekorjenujemodadobijemoizrazzakutnufrekvenciju:
𝜔 =𝑘𝑚
Dabismodobiliamplitudu,koristimopočetniuvijet𝑦 0 = 𝑦!.Znamodaje𝑥 𝑡 = 𝑦 𝑡 − 𝑦!" ,pajeza𝑡 = 0:
𝐴 cos𝜔 ∙ 0 = 𝑦 0 − 𝑦!" 𝐴 = 𝑦! − 𝑦!"
Sadimamopotpunorješenjeza𝑥 𝑡 :
𝑥 𝑡 = 𝑦! − 𝑦!" cos𝑘𝑚 𝑡
Pajerješenjeza𝑦 𝑡 jednostavnodobiti:
𝑦 𝑡 = 𝑦!" + 𝑦! − 𝑦!" cos𝑘𝑚 𝑡
Količinagibanjau𝑡 = 0sedobivaizpočetnoguvjeta:
𝑝 0 = 𝑚𝑦 0 𝑦 = 0Nakonnekogvremena𝑡,utegjedobioimpuls
𝐼 𝑡 = 𝐹d𝑡′!
!
Trebapokazatidaje
𝑝 𝑡 − 𝑝 0 = 𝐼 𝑡 Ponovnokoristimočinjenicudajesustavjednodimenzionalan,teračunamosamosiznosima.Iznosukupnesilekojadjelujenautegje𝐹 = −𝑚𝑔 − 𝑘𝑦,teutajizrazprvouvrstimoizrazeza𝑦 𝑡 𝑖 𝑦!":
𝐹 = −𝑚𝑔 − 𝑘 −𝑚𝑔𝑘 + 𝐴 cos𝜔𝑡
𝐹 = −𝑘 𝐴 cos𝜔𝑡Ovdjesmoseprijeračunanjaimpulsariješilidoprinosaodgravitacijskesile,štoćenamolakšatidanjiračun.Sadderiviramo𝑦iuvrštavamouizrazzakoličinugibanja,teizjednačavamosintegralomsilepovremenu:
−𝑚𝜔𝐴 sin𝜔𝑡 = −𝑘 𝐴 cos𝜔𝑡′ d𝑡′!
!
Pokratimoamplitudeiminusesobjestrane,tekoristimoizrazzakutnufrekvenciju:
𝑚𝑘𝑚 sin
𝑘𝑚 𝑡 = 𝑘 cos
𝑘𝑚 𝑡′ d𝑡′
!
!
Integraldobivamoiztablica: cos𝜔𝑡 d𝑡 = sin𝜔𝑡 𝜔,asin 0 = 0,panakrajuimamo: