Popis zadataka
1. Koliko su u koordinantnom sustavu udaljene točke A(3, 5) i B(-3, -3)?
2. Izračunaj sve x za koje vrijedi jednadžba:
3. Zadane su funkcije i .
a. Računski pronađi nultočke tih dviju funkcija.
b. Koja od zadanih funkcija raste brže?
4. , ,
,
5. Pojednostavi izraz:
6. Prikaži grafički:
7. Izračunaj sve x za koje vrijedi jednadžba:
8. Jedan kut pravokutnog trokuta iznosi , a kateta nasuprot njemu 11 cm. Izračunaj
duljinu hipotenuze i druge katete.
9. Prikaži grafički funkciju .
10. ,
1
Postupci rješavanja zadataka
1. Koliko su u koordinantnom sustavu udaljene točke A(3, 5) i B(-3, -3)?
2.
Rj:
3. Zadane su funkcije i .
a) Računski pronađi nultočke tih dviju funkcija.
b) Koja od zadanih funkcija raste brže?
Brže raste funkcija .
4. , ,
3
5. Pojednostavi izraz:
6.
7.
4
8. Jedan kut pravokutnog trokuta iznosi , a kateta nasuprot njemu 11 cm. Izračunaj
duljinu hipotenuze i druge katete.
9. Prikaži grafički funkciju .
4
10. ,
6
Popis literature i priloga
Dakić, B. i Elezović, N.: Matematika 1, udžbenik i zbirka zadataka za 1. razred gimnazije, 1. dio
Dakić, B. i Elezović, N.: Matematika 1, udžbenik i zbirka zadataka za 1. razred gimnazije, 2. dio
Dakić, B. i Elezović, N.: Matematika 2, udžbenik i zbirka zadataka za 2. razred gimnazije, 1. dio
Dakić, B. i Elezović, N.: Matematika 2, udžbenik i zbirka zadataka za 2. razred gimnazije, 2. dio
Zadaci:
1. Odredi |z| ako je iiz 331 ?
2. Koliki je rezultat umnoška 22 )13()13( ?
3. Kolike su vrijednosti nepoznanica x i y u sustavu jednadžbi:
072
04210
xy
xy?
4. Riješite nejednadžbu: 14
3
5
25
xx
5. Ako je x1=2, jedno rješenje jednadžbe 62 mxx , pronađi m i drugo rješenje jednadžbe..
6. Dokaži: xx
x
x
x
sin
2
sin
cos1
cos1
sin
.
7. Čemu je jednak b ako je ba
ck
?
8. Što je rezultat sređivanja izraza 3223
44
abbaba
abba
za sve a, b za koje je izraz definiran?
9. Riješi: 2.0log445log
3log227log
255
2.05
.
10. Zadana je visina valjka v=12 cm, a oplošje je 216 cm2 . Koliki je polumjer i visina valjka?
2
Zadaci s kompletnim postupkom rješavanja:
1. Odredi |z| ako je iiz 331 ?
422441331331331 222
2 iiiiz
2. Koliki je rezultat umnoška 22 )13()13( ?
3474316281231616324132313)13()13(2
22
22
22
3. Kolike su vrijednosti nepoznanica x i y u sustavu jednadžbi:
072
04210
xy
xy?
1
11:/1111
01111
072
04210
y
y
y
xy
xy
3
62
0721
072
x
x
x
xy
4. Riješite nejednadžbu: 14
3
5
25
xx
5
28,
5
28
5285
2015820
2035254
2014
3
5
25
x
x
x
xx
xx
xx
5. Ako je x1=2, jedno rješenje jednadžbe 62 mxx , pronađi m i drugo rješenje jednadžbe.
1
22
0624
0622
6
2
2
m
m
m
m
mxx
3
62
6
2
2
2
21
21
1
x
x
xx
mxx
x
3
6. Dokaži: xx
x
x
x
sin
2
sin
cos1
cos1
sin
.
Dxxx
x
xx
x
xxx
xxx
xx
xxL
sin
2
sincos1
cos12
sincos1
cos22
cossinsin
coscos21sin
sincos1
cos1sin 2222
7. Čemu je jednak b ako je ba
ck
?
ak
cb
k
cba
kckba
baba
ck
:
8. Što je rezultat sređivanja izraza 3223
44
abbaba
abba
za sve a, b za koje je izraz definiran?
bababa
bababa
babaab
baab
abbaba
abba
22
22
22
33
3223
44
9. Riješi: 2.0log445log
3log227log
255
2.05
.
3
4222
5
5
2
5
2
5
2
5
3
5
255
2.05 33
3
595log
9
127log
5log45log
3log3log
2.0log445log
3log227log
10. Zadana je visina valjka v=12 cm, a oplošje je 216 cm2 . Koliki je polumjer i visina valjka?
4
?
?
216
12
V
r
O
cmv
18
6
126
108366
108120
12108
122216
2
22
2
2
1
2,1
2,1
2
2
2
r
r
r
r
rr
rr
rr
vrrO
vrrO
PBO
3
2
1
432
1236
6
cmV
V
vrV
r
5
Materijali dobiveni iz:
bilježnice
internetskih stranica:
http://www.ncvvo.hr
http://www.gssjd.hr/nastavni-predmeti/matematika/nastavni-materijali/gimnazija-
i-tehnicka-skola/
Zadaci:
1. Izrazi x iz sljedeće formule: xb
bxy
1.
2. Zadan je trokut ABC s vrhovima A(-1,0), B(5,2), C(1,5). Odredi površinu tog trokuta.
3. Skrati razlomak: 22
33
9
27
ba
ba
.
4. Izračunaj: 324132
.
5. Rijesi kvadratnu jednadžbu: 265122 xx .
6. Odredi nasuprotnu katetu (a) i hipotenuzu (c) ako je priležeća kateta 48cm (b) i 5
12ctg .
7. Izračunaj logaritam: 2225log
3log2log
8. Izračunaj eksponencijalnu jednadžbu:
x
x
3
52
4
18
9. Izračunaj Imz ako je z= ii
i
213
1
10. Koliko je oplošje pravilne trostrane prizme obujma 8640 cm3
, čija je osnovica trokut sa stranicama
12cm, 39cm, 45cm?
1
Rijesenja:
1. xbxb
bxy
\
1
bxxby 1
bxxyby 1
ybbyxybx /1
yb
byx
1
2. A(-1,0), B(5,2), C(1,5) P=?
2010555212
1P
13262
12253
2
1P kv. Jedinica
3. 22
33
9
27
ba
ba
=
baba
bababa
33
393 22
= ba
baba
3
39 22
=
ba
ba
3
32
= ba 3
4. 324132
= 4121632432432413232
5. 265122 xx
2651222 xxx
026422 2 xx
4
2112422,1
x
4
4622,1
x
114
441 x 12
4
482 x
2
6. 5
12ctg , cmb 48 ?, ca
a
bctg
5
12 222 bac
a
48
5
12 23044002 c
24012 a 27042 c
cma 20 cmc 522704
7. 2
1
3
2log
3
2log
4
9log
3
2log
100log
225log3
2log
2225log
3log2log2
8.
x
x
3
52
4
18
xx 26156 22
xx 26156
94 x
2
3
4
9x
9.
510
2
55
1
1
1
15
1
15
1
55
1
263
1
213
12
iii
i
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
ii
i
Imz5
1
3
10. V= 8640cm3
a= 12cm
b= 39cm
c= 45cm
O= ?
csbsassB 482
cba
S vBV
393648 B v 2168640
46656B cmv 40
2216cmB
PBO 2
vcvbvaBO 2
180015604802162 O
24272cmO
4
POPIS LITERATURE:
1. Udzbenik
2. Razni RM-ovi
3. biljeznica
Popis zadataka:
1. Izračunaj postotak
2. Pojednostavi(razlika kvadrata)
3. Odredi apsolutnu vrijednost
4. Odredi nul-točku i nacrtaj graf
5. Riješi jednadžbu
6. Izračunaj modul kompleksnog broja
7. Riješi kvadratnu jednadžbu i odredi kakva su rješenja
8. Nacrtaj graf kvadratne funkcije
9. Ako je log2=0.30103, log3=0.4771, koliko znamenki ima broj 1212
?
10. Duljine bridova kvadra u omjeru su 2:3:6, a duljina njegove dijagonale iznosi 42cm. Koliki je
obujam kvadra?
- 2 -
1.
= = =
2.
3.
4.
NT(-2,0)
- 3 -
5.
6.
7.
8.
- 4 -
9.
Znači da broj 1212
ima 13 znamenki
10.
- 5 -
Popis literature( udžbenik, bilježnica)
Pomoćna sredstva: Geogebra
1.Koji su to brojevi:
a)Zbroj tri uzastopna broja je 1986.
b)Zbroj sedam uzastopnih neparnih prirodnih brojeva je jednak 11907.
c)Zbroj šest uzastopnih parnih prirodnih brojeva jednak je 1578.
2.Potenciraj ili korjenuj:
a)
b)
c)(
+
)(
+1)(
d)
3.U nekom razredu ima 15 vrlo dobrih učenika što čini 62.5 % broja svih učenika toga
razreda.Koliko taj razred ima učenika?
4.Točkama B i C dužina podijeljena je na tri jednaka dijela.Odredite koordinate točaka A i
D ako je B(4,-1) i C(5,-2).
5.Površina kružnog isječka jednaka je 16.8 ,a pripadni središnji kut iznosi .Kolika je
duljina kružnog luka ovog isječka?
6.Riješi jednadžbe:
a)4 -ab=2x(a-b)
b)
c)
7.Zadana je funkcija f(x)= .Nacrtaj njezin graf, odredi tjeme, ekstrem te os
simetrije.
8.Ortogonalna projekcija jedne katete na hipotenuzu za 4 cm je dulja od ortogonalne
projekcije druge katete na hipotenuzu. Ako je duljina visine iz vrha pravog kuta
cm,koliki su kutevi?
9.Riješi jednadžbe:
a)
b)
10.Duljine osnovnih bridova uspravne trostrane prizme u omjeru su 9:10:17, a njezina je
visina dugačka 10 cm, a O(oplošje) prizme iznosi 2592 . Izračunaj obujam prizme.
1. a) n+n+1+n+2=1986 b) n+n+2+n+4=11907
3n+3=1986 3n+6=11907
3n=1986-3 3n=11907-6
3n=1983 3n=11901
n=1983:3 n=11901:3
n=661 n=3967
n+1=662 n+2=3969
n+2=663 n+4=3971
c) 2n+2n+2+2n+4+2n+6+2n+8+2n+10=1578
12n+30=1578
12n=1578-30
12n=1548
n=1548:12
n=129
2n=258
2n+2=260
2n+4=262
2n+6=264
2n+8=266
2n+10=268
2.
1.Izračunaj:
a) 8475 b)
3
1
4
1:
2
1
3
1
2
1 c)
4
3
5
2:
2
3
8
5
2.Izračunaj:
a)
26
38
2525
2525 b) 76 336 c)
3443 222 d) 20321 2...222
3.Kvadriraj i izračunaj:
a) 2
12a b) 222222 baba
4.Riješi jednadžbe s apsolutnom vrijednosti:
a) 4x b) 23 x c) 2
123 x
5. Korijenuj:
a) 3 38 b)
4
3
16
1 c) 5 432
6. Zadani su kompleksni brojevi: iz 21 i iw 3 . Izračunaj:
a) wz b) wz
7. Riješi kvadratnu jednadžbu koristeći se formulom:
a) 0762 xx b) 0612 2 xx
8. Zadana je parabola. Odredi jednadžbu :
1,3 T
9. Izračunaj nepoznate veličine ako je zadano:
2150
cma 4
?,, Ob
10.Izračunaj:
a) 5,0log1 504.0
b) 5loglog25loglog 585
2
1
2
Rješenja:
1. a) 38475
b) 13
1
4
1:
2
1
3
1
2
1
c) 2
5
4
3
5
2:
2
3
8
5
3. a) 14412 22 aaa
b) 22222222 4 bababa
5. a) 883 3
b) 8
1
2
1
16
13
4
3
c) 162232 45 455 4
7. a) 0762 xx
2
86
2
283662,1
x
71 x 12 x
b) 0612 2 xx
24
171
24
2891
24
288112,1
x
4
31 x
3
22 x
9. 2150 10.
cma 4
?,, Ob
2150180180
48129 ʹ
2sin2
22sin2
2sin
a
ab
ab
b
a
cmb 71,4
cmObaO 42,132
8. 1,3 T
4
1a 13
4
1 2 xxf
6. a) iwz 34
b) iwz 2
4. a) 4x 41 x , 42 x
b) 23x 51 x , 12 x
2. a) 2
26
38
52525
2525
b) 876 3336
c) 123443 2222
d) 21020321 22...222
25
445
5504,004,004.0)
2
2log225,0log15,0log1 1555
a
3
5
3
122log
3
12log2
2
1log4log5loglog25loglog)
22
8
2
1585
2
1
b
3
Popis literature:
-bilježnice iz 1. i 2. razreda
-Branimir Dakić: Ispiti znanja iz matematike za 1. razred gimnazije
1.Izračunaj:7×211
-6×45+2×16
3
2.Odredi duljine ostalih dviju stranica pravokutnog trokuta ako je a =12 cm a α=15°50´
3.Izračunaj nepoznatu stranicu u pravokutnom trokutu ako je a=4cm,sinα= 32
,c=?
4.Izračunaj treću stranicu i kutove u pravokutnom trokutu kojem su zadane dvije stranice: a=3cm,b=4cm
5.Riješi jednadžbu: 25x2+10x+1=(x+6)
2
6.Odredi rješenje jednadžbu 3x+(1-i)(x-y)=-11-5i
7.Riješi jednadžbu:(2x-1)(3x+5)=(x-3)(1-2x)
8.Pojednostavi:(y
x3
)-2
×
yx
2
3
9.Dokaži: xxx
xx
sin2
sincos1
cos1sin
10.Baltazar Junior se ljulja u parku Baltazargrada.Odredi visinu sjedalice ljuljačke u odnosu na razinu
tla u situaciji prikazanoj na slici br.1
Slika br.1
2
1.7×211
-6×45+2×16
3=7×2
11-6×2
10+2×2
12
=7×211
-3×211
+213
=4×211
+213
=213
+213
=214
2.a=12 cm
α=15°50´
sinα= ca
/×c tgα= ba
sinα×c=a/÷sinα b=a÷tgα
c= sin
a b=12÷tg15°50˙
c=12÷sin15°50´
c =43.98 cm b=42.31 cm
3.
c
a
b
a=4 cm
sinα=2÷3
c=?
Sinα=a÷c
c=a÷sinα
c=12÷2
c=6 cm
4.
a=3cm
b=4cm
c= 169 sinα=c
a β=90°-36°52´
c= 25 sinα=3÷5 β=53°8´
c=5cm α=36°52´
5. 25x2+10x+1=(x+6)
2
25x2+10x+1=x
2+12x+36
24x2-2x-35=0
X1,2=48
336042
3
X1,2=
48
582
X1=48
60 x2=-
48
56
X1=
4
5 x2=-
6
7
6. 3x+(1-i)(x-y)=-11-5i
3x+x-y-xi+yi=-11-5i
4x-y-xi+yi=-11-5i
Yi-xi=-5i
4x-y=-11 »y=11+4x
(11+4x)i-xi=-5i
11i+4xi-xi=-5i
3xi=-16i
X=-3
16
y=11+4x
y=-3
31
7.
(2x-1)(3x+5)=(x-3)(1-2x)
6x2+10x-3x-5=x-2x
2-3-6x
6x2+7x-5=7x-2x
2-3
8x2-2=0
4x2=1/÷4
X2=1/4
X1=2
1
X2=-2
1
8.
:(y
x3
)-2
×
yx
2
3
=(
x
y3
)2×
yx
2
3
=y2x
6×
yx
2
3
=x9
9. xxx
xx
sin2
sincos1
cos1sin
4
D≡ )cos1(sin
)cos1)(cos1(sin2
sincos1
cos1sin
xx
xxxxx
xx
)cos1(sin
coscos1 cossin22
xx
x xx
=
)cos1(sin
cos22
xx
x
=
)cos1(sin
)cos1(2
xx
x
=
xsin
2≡L
10.
b=cos15°×3
b=4
2363
h=3-4
2363
h=0.6 m
b
5
POPIS LITERATURE
Branimir Dakić-ispit znanja iz matematike za 1.raz gimnazije
Branimir Dakić,Neven Elezović-Matematika 2 1.dio
http://web.vip.hr/robert.gortan.vip/nastava_matematike.html
bilježnica iz prveg razreda
POPIS ZADATAKA:
1) Riješi jednadžbu: (2x-1)2-(x-2)(x+2)=3x
2+5x-1
2) Napiši u obliku potencije s odgovarajućom bazom:
8n+2
(4
1)n-3
*642n
=(23)n+2
*(22)n-3
*(27)2n
3) Razlika 2 broja je 15,a jedan od njih je dvostruko veći od drugog.Odredi manji broj.
4) X,y su elemet od R: (1-i)x+(1-i)y=i
5) Dokaži ik+i
k+1+i
k+2+i
k+3=0
6) Riješi kvadratnu jednadžbu: 16x2-1=(4x+1)(x-1)
7) ako je tg(x)=a , koliko je )cos()sin(
)cos()sin(
xx
xx
8) Riješi: log(2x-2)-log(x+2)=log(x-2)
9) Oplošje kocke je 18 cm2.Izračunaj brid,obujam,dijagonalu baze,prostornu dijagonalu iii površinu
dijagonalnog presjeka.
10) Izračunaj visinu piramide i njene krnje piramide.
1) (2x-1)2-(x-2)(x+2)=3x
2+5x-1
(2x-1)2-(x
2-4)=x(3x+5)-1
4x2-4x
2+4=3x
2+5x-1
x=6
2) 8n+2
(4
1)n-3
*642n
=(23)n+2
*(22)n-3
*(27)2n
=23n+6
*22n-6
*214n
=25n
*214n
=219n
3) Razlika 2 broja je 15,a jedan od njih je dvostruko veci od drugog.Odredi manji broj.
x-y=15
x=2y
2y-y=15
y=15
4) X,y element od R
(1-i)x+(1-i)y=i
x-xi+y+yi=i
x+y+i(y-x)=i
x+y=0
y-x=1
2y=1
y=2
1
x=2
1
5) Dokazi ik+i
k+1+i
k+2+i
k+3=0
L=ik+i
k+1+i
k+2+i
k+3
=ik+i
k*i+i
k-1+i
k*(-i)
=ik(1+i-1+(-i))
=ik*0
=0=D
6) 16x2-1=(4x+1)(x-1)
16x2-1=4x
2-4x+x-1
12x2+3x=0
3x(4x+1)=0
3x=0
x=0
4x+1=0
4x=1
x=4
1
7) ako je tg(x)=a , koliko je )cos()sin(
)cos()sin(
xx
xx
)cos()sin(
)cos()sin(
xx
xx
/ : cos(x)
1
1
1)(
1)(
)cos(
)cos(
)cos(
)sin(
)cos(
)cos(
)cos(
)sin(
a
a
xtg
xtg
x
x
x
x
x
x
x
x
8) log(2x-2)-log(x+2)=log(x-2) uvjeti: 2x-1>0 x+2>0 x-2>0
x>2
1 x>-2 x>2
log( .log/)2log(2
12antix
x
x
22
12
x
x
x / : (x+2) 0
2x-1=x2-4
-x2+2x+3=0
x1, x2 = 2
42
2
1242
x1= 3
x2=-1
9) Oplošje kocke je 18 cm2.Izračunaj brid,obujam,dijagonalu baze,prostorne dijagonale i površinu
dijagonalnog presjeka.
O=18cm2
A,V,d,D,Pd=?
O=6a2
V=a3 d=a 2 D=a 3 Pd=d*a
18=6*a2
V= 33 d= 3 * 2 D= 3 * 3 Pd= 6 * 3
a2=3 d= 6 cm D=3cm Pd=3 2 cm
2
a= 3 cm
10) Krnja piramida
v+h=25cm
B=1600cm2
b=576cm
___________
h,v=?
B:b=(v+h)2 : (h)2
2
625
576
1600
h /
h
25
9
225
cmh
h
15
2252
cmv
v
10
1525
Popis literature:
1. zbirka zadataka za 1. razred gimnazije – Dakić-Elezović
2. zbirka zadataka za 2. razred gimnazije – Dakić- Elezović
3. bilježnice 1. i 2. razreda opće gimnazije
1. Riješi zadatak ( 3 - 7i ) 2
.
2. Definiraj karakteristične točke kvadrante funkcije i nacrtaj graf.
f (x) → 3 x = x ( 7 – x ) + 3
3. Zadani su kutovi trokuta: α = 3x – 1 β = 10x + 11 i γ = x + 2. Izračunaj kutove.
4. Izračunaj kutove x i y, ako su poznati podaci zadani na slici.
5. Broj atoma N radioktivnog radija u vremenu t dan je izrazom log e (N. N0
-1) = -kt. Početno stanje
dano je sa N0. Rijesi jednadžbu po N.
6. Za koje vrijednosti od k, je izraz (x – 2) faktor funkcije f (x) = 2x3 – kx
2 – x +14 ?
7. Riješi x2 – 3 > 2x.
8. Izračunaj stranice pravokutnika ako mu dijagonala duljine 12 cm zatvara kut 36° 12' s
osnovicom.
9. U pravilnu četverostranu piramidu kojoj je osnovni brid duljine a , a visina v upisana je kocka
koje četriri vrha leže na opobočnim bridovima piramide. Koliki je omjer volumena kocke prema
volumenu piramide?
10. Odredi realni i imaginarni dio sljedećih kompleksnih brojeva:
A i1
1 B
3
1
1
i
i
2
2
Rješenja:
1. ( 3 - 7i ) 2
= 32
– 6 . 7i + 7
2 i2
= 9 - 42i – 49 =- 40 - 42i
2. f(x) → 3x = x(7-x)+3
3x = 7x – x2 + x
2 – 3 = 0
y = x2 – 4x + 3 = 0
a) a > 0 Funkcija se otvara prema gore i vrh je minumum funkcije.
b) x0 = 2 Koordinata x, vrha V iznosi 2
c) y0= (2)2 - 4 (2) + 3 = -1 Koordinata y, crha V iznosi -1.
d) yx=0 = 3 Funkcije i os y se sijeku u tocki y = 3
e) Nul tocke iznose x1 = 1 x2 = 3
3. α+β+γ= 180° → 3x – 1 + 10x + 11 + x + 2 = 180° → 14x = 168 → x = 12°
α = 3x – 1 = 35°
β = 10x + 11 = 131°
γ = x+ 2 = 14°
4. Iz jednakostraničnog trokuta ΔACD → α = 60 °
Iz jednakostraničnog trokuta ΔABC → x = 45° → y = α + x = 105°
5. loge (N. N0
-1) = - kt → (N
. N0
-1) = e
-kt → N= N0 e
-kt
6. (2x3 – kx
2 – x + 14 ) : (x – 2 ) = 2x
2 – x( 4 – k ) + ( 7 + 2k ) R= 28 + 4k
Da bi uvjet bio zadovoljen, mora vrijediti R = 0 = 28 + 4k → k= -7
7. Izjednačimo izraz sa nulom : x2 – 2x – 3 = 0
Rastavimo na faktore ( x – 3 ) ( x + 1 ) = 0
Dobivene vrijednosti su: x1 – 3 = 0 → x1 = 3 x2 + 1 = 0 → x2 = -1
Promatrajmo funkciju za tri domene:
Ako je: x < - 1 funkcija ( x- 3 ) (x + 1 ) > 0 zadovoljava uvjete f (x) > 0
Ako je: - 1 < x < 3 funkcija ( x – 3 ) ( x + 1 ) > 0 nezadovoljava uvjete f ( x) > 0
Ako je: x > 3 funkcija ( x – 3 ) ( x+ 1 ) > 0 zadovoljava uvjete f (x) > 0
Potpuno rješenje nejednadžbe glasi : x < 1 i x > 3
8. Označimo kut s φ . Stranice pravokutnika a i b računamo iz pravokutnog trokuta ABC kojemu je
hipotenuza dijagonala d pravokutnika. Vrijedi :
a = d cos φ , b = d sin φ .
Mjera kuta je u stupnjevima φ = 36.2°, pa dobivamo
a = 12 . cos 36.2° = 9.684 cm
b = 12 . sin 36.2 = 7.087 cm
3
9. Karakterističan trokut čini dijagonalni preskjek piramide. Moramo odrediti duljinu x brida
kocke. Iz sličnosti pravokutnih trokuta možemo napisati: va
avxxvaxv
vxvax
)(
:)(2
2:
2
2
Zato je traženi omjer volumena jednak 3
2
2
3
)(
3
3
1 va
av
va
x
Vp
Vk
10. Moramo odrediti algebarski prikaz zadanih kompleknih brojeva.
A z= ii
i
i
i
i
ii
i
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1 2
Dakle Re z=2
1, a Im z=1.
B z= iiii
i
i
i
i
i
i
3
3233
)(2
21
1
1
1
1
1
1
Odavde, Re z = 0 , Im z = 1.
4
Literatura: - Internet http://einstrukcije.com/
- Matematika 2 Branimir Dakić, Neven Elezović Element 2004. Zagreb
- Ispiti znanja iz matematike 2. razred Branimir Dakić
1. Izračunaj:
3
12:5
12
5
12
71
2. Razlomku 3
2 treba brojniku dodati a nazivniku oduzeti isti broj da bi dobili
5
4.
3. Skrati razlomak:
2
2
4
82
x
xx
4. Riješi nejednadžbu 14
3
x
x
5. Odredi na osi apscisa točku koja je jednako udaljena od točaka A(-3,-2) i B(3,0).
6. Odredi Im z , ako je ii
iz
213
1
7. Skrati razlomak:
2
2
94
656
x
xx
8. Riješi jednadžbu: 33log9log 4
2
4 xx
9. Površina pobočja pravilne trostrane prizme je 36 cm2. Ako je visina prizme 2 cm, odredi oplošje
i volumen prizme.
10. Izračunaj:
3
2
3
1
8
27125
2
Zadaci s kompletnim postupkom rješavanja
1. Izračunaj:
3
12:5
12
5
12
71
2
5
7
35
12
14
3
7:5
12
14
3
7:5
12
5
12
19
3
12:5
12
5
12
71
2. Razlomku 3
2 treba brojniku dodati a nazivniku oduzeti isti broj da bi dobili
5
4.
9
2 x
9:2/9x
4x125x10
x34x25
5
4
x3
x2
Provjera: 5
4
9
259
20
9
23
9
22
Brojniku treba dodati a nazivniku oduzeti 9
2.
3. Skrati razlomak:
2
2
4
82
x
xx
x
x
xx
x
xx
xx
x
xxx
x
xx
2
2
22
2
22
44
4
844
4
8222
2
2
2
2
4. Riješi nejednadžbu 14
3
x
x
4
04
04
1
04
43
014
3
14
3
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
,4x
-4
3
5. Odredi na osi apscisa točku koja je jednako udaljena od točaka A(-3,-2) i B(3,0).
0,C
3,0B
3,-2-A
x
6. Odredi Im z , ako je ii
iz
213
1
i
iii
i
i
i
i
i
i
iii
i
ii
iz
5
1
50
10
2525
5555
55
55
55
1
253
1
263
1
213
1 Im
2
5
1 Im
7. Skrati razlomak:
2
2
94
656
x
xx
23323223236496656
32
32
3232
2332
94
656
22
2
2
xxxxxxxxxx
x
x
xx
xx
x
xx
8. Riješiti jednadžbu: 33log9log 4
2
4 xx
67
643
antilog./4log3
33log
33log9log
3
44
4
2
4
x
x
x
xx
xx
644
3log
3
4
x
x
3
03
3
09
:uvijeti
2
x
x
x
x
3
1
12:/412
96496
003203
BCAC
22
2222
2
BC
2
BC
2
AC
2
AC
x
x
xxxx
xx
yyxxyyxx
0,
3
1C
4
9. Površina pobočja pravilne trostrane prizme je 36 cm2. Ako je visina prizme 2 cm, odredi oplošje
i volumen prizme.
?,
6
2
363 2
VO
cma
cmv
cmavP
22318
36318
364
32
2
cmO
O
aO
PBO
3318
239
cmV
V
vBV
10. Izračunaj:
3
2
3
1
8
27125
20
49
20
454
4
9
5
1
2
35
8
27125
3
23
3
13
3
2
3
1
a
a
a
v
5
Popis literature
Bilježnica
1. Zadatak: Koliko je 60% od 49
19:
3
7
5
213
7
5
21
3
4
2
52
3
3
5
?
2. Zadatak: Zapiši u obliku potencije slijedeće brojeve: 5115511 363492
3. Zadatak: Izračunaj: 2
012
2
15
13
713
25
2
5
2
4. Zadatak: Faktoriziraj:
5. Zadatak: Odredi realne brojeve x i y u sljedećoj jednakosti: (x+yi) (2+i) + (x-yi) (1-3i) = 5+2i
6. Zadatak: Dokaži:
7. Zadatak: Nacrtaj graf funkcije f(x) = te odredi njezine ekstremne vrijednosti.
8. Zadatak: Riješi i nacrtaj interval: 9 -
9. Zadatak: (x-3) = 1
10. Zadatak: Izračunaj volumen trostrane prizme ako je zadano: a=15 cm, b= 28 cm, c= 41 cm i
opseg je 4452 . (HERONOVA FORMULA = , s= 2
cba V= B
v, O= 2B+P, v= a+b+c)
1
Rješenja zadataka
1. Zadatak: 49
19:
3
7
5
213
7
5
21
3
4
2
52
3
3
5
= 49
19:
15
9815
28
6
76
19
=19
49
49
14
7
19
= 27
14
= 5
6
100
602
2. Zadatak: 5115511 363492
= 5211525211 63232
= 1011101011 63232
= 1010101010 6332322
= 101010 66362
= 1066
= 116
3. Zadatak:
= 45
1132
25
25
4
= 151
15
4. Zadatak:
= - a (
= ( (
= (
5. Zadatak: (x+yi) (2+i) + (x-yi) (1-3i) = 5+2i
= 2x + xi + 2yi – y + x – 3xi – yi - 3y = 5+2i
= 3x - 2xi + yi - 4y = 5 + 2i
= 3x - 4y = 5
2
-2x + y = 2 →y = 2x + 2
= 3x – 4 (2x + 2) = 5 y = 5
26+ 2
= 3x - 8x – 8 = 5 y = 5
1026
= -5x = -13 y = 5
36
= x = 5
13
6. Zadatak:
=
7. Zadatak: f(x) =
= X0 = a
b
2
Y0 =
a
bac
4
4 2
= 12
)1(
=
4
18
=2
1= A =
4
9 =B
T=
4
9,
2
1
D=
D= 1+8= 9
D=2 realne nultočke
NT1=(-1,0)
NT2=(2,0)
8. Zadatak: 9-
3
= (3-2a) (3+2a) < 0
= 3 - 2a = 0 = 3 + 2a = 0
= -2a = -3 = a=-2
3
= a= 2
3
a ,2
3
2
3,
R/
2
3,
2
3
9. Zadatak: (x-3) = 1
=
=
/antilog.
= x + 3
x= 1/
= 3x + x = 3
= x = 4
3
10. Zadatak: a=15 cm, b= 28 cm, c= 41 cm i opseg je 4452
a=15 cm
b=28 cm
c= 41 cm
O= 4452 cm2
V=?
s = 2
412815
2
cba= 42
B=
B=
B= 126 cm2
O= 2B+P
4452=126 2+v(a+b+c)
4
84v= 4452-252
v= 84
2524452
v= 50 cm
V=B
V= 126
5
Literatura: -bilježnica
Prilozi: -GeoGebra
Popis zadataka:
1. Racionaliziraj: 25
3
2. Odredi realne brojeve x i y
3. Skrati razlomak xxx
xx
23
2
2
22
4. Izračunaj 4)1(9 2 x
5. Odredi polinom drugog stupnja koji za x= -2 prima vrijednost y= -4 i f( -4)= 2.
6. Izračunaj: 315333 422212 xxx
7. Riješi jednadžbu 5loglog 84 xx
8. U jednadžbi pravca 2x+(k+2)y=k odredi realni parameter k tako da:
a: pravac sadrži točku T( 2,3)
b: sjecište s x-osi bude točka (4,0)
9. Odredi površinu trokuta sa vrhovima u točkama A(1,7), B(5,-1), C(-2,-3).
10. Dokaži xx
x
x
x
sin
2
sin
cos1
cos1
sin
2
1. 25
3
=
25
3
* 25
3
)25(3
25
)25(3
)2()5(
)25(3
25
25
22
2.
(x+yi)*(1-i)+(x-yi)*(2+i)=3i
x-xi+yi+y+2x+xi-2yi+y=3i y= -3 3x+2y=0
3x+2y-yi=3i 3x+2*(-3)=0
------------------------- 3x-6=0
3x+2y=0 3x=6
-y=3 x=2
3. 1
2
)1(
)1(2
)12(
)1(2
2
222223
2
xx
x
xxx
xx
xxx
xx
4.
3
21
3
21
9
4)1(
9/4)1(9
2
2
x
x
x
x
3
1
3
5
2
1
x
x
5.
2)4(
0
4
2
0
0
f
a
y
x
2
3
4
6
4/64
442
4)24(2
4)2(
)(
2
2
0
2
0
a
a
a
a
xay
yxxay
4)2(2
3)(
4)2(2
3
2
2
xxf
xy
3
6.
3
62
33
7293
35
81*315)
81
35(3
315)81
1927(3
315)81
1
9
1
3
1(3
31581
1*3
9
1*3
3
1*3
315333
62
2
2
2
2
222
422212
x
x
x
x
x
x
x
xxx
xxx
7. uvjet: x>0
64
2
6log
5/30log5
30log2log3
6*5log3
1log
2
1
5loglog
6
2
2
22
22
84
x
x
x
x
xx
xx
xx
8. a:
5
102
634
3)2(2*2
)2(2
k
k
kk
kk
kykx
b:
8
08
0)2(4*2
k
k
kk
4
9.
..32
642
1
165022
1
)17(2)73(5)31(12
1
)()()(2
1
jedkvP
P
P
P
yyxyyxyyxP
ABC
ABC
ABC
ABC
BAcACBCBAABC
10.
Dx
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xxx
xx
xxL
xx
x
x
x
sin
2
)cos1(sin
)cos1(2
)cos1(sin
cos22
)cos1(sin
cos211
)cos1(sin
coscos21sin
)cos1(sin
)cos1(sin
sin
2
sin
cos1
cos1
sin
22
22
5
Literautura:
zadaci iz bilježnice
Popis zadataka:
1.) Jednakost 20
1612
xje ispunjena za:
2.) Napiši bez negativnih eksponenata: b
a1
2
2
5
)2( 31ab
3.) Izračunaj:
3
42
x
x:
96
42
xx
x
4.) Prikaži grafički:
(x-1)(x+2)≥0
5.) Racionaliziraj: 2362
6223
6.) Prikaži grafički.
03 x
7.) Odredi drugo rješenje jednadžbe x2-3x+c=0 ako je prvo x1=-2
8.) Odredi realni broj z3 ako je z=1-2i
9.) Dokaži da vrijedi trigonometrijski identitet:
xx
x
x
x
sin
2
sin
cos1
cos1
sin
10.) Za koje realne brojeve vrijedi:
x
3
2<
4
9
Zadaci:
1.) Jednakost 20
1612
xje ispunjena za:
2012 = x16
240=16x / : 16
x=15
2.) Napiši bez negativnih eksponenata:
b
a1
2
2
5
)2( 31ab =ba
x2
25
312
1
ab=
ba 2
106
2
4a
b=
82
5
a
b
3.) Izračunaj:
3
42
x
x:
96
42
xx
x
=2)3(
)2(2:
3
)2)(2(
x
x
x
xx
=)2(2
)3(
3
)2)(2( 2
x
x
x
xx
=2
)3)(2( xx
4.) Prikaži grafički:
(x-1)(x+2)≥0
1°x-1≥0 U 2° x-1≤0
x+2≥0 x+2≤0
x≥1 x≤1
x≥-2 x≤-2
5.) Racionaliziraj.
3476
)1227(6
6
121242
6
18121224
1824
)2362(
2362
2362
2362
6223
2362
6223 2
6.) Prikaži grafički.
03 x
5.) Odredi drugo rješenje jednadžbe x2-3x+c=0 ako je prvo x1=-2
5
32
3
03
2
2
2
21
2
x
x
ca
cxx
a
bxx
cxx
8.) Odredi realni broj z3 ako je z=1-2i
z3=(1-2i)3
=(1-2i)(1-2i)2
=(1-2i)(-3-4i)
=-3-4i+6i-8
=-11+2i
Re z3=-11
9.) Dokaži da vrijedi trigonometrijski identitet
xx
x
x
x
sin
2
sin
cos1
cos1
sin
L
xxx
x
xx
xxx
x
x
x
x
sin
2
)cos1(sin
)cos1(2
)cos1(sin
coscos21sin
sin
cos1
cos1
sin 22
D
10.) Za koje realne brojeve vrijedi:
x
3
2<
4
9
x
3
2<
2
3
2
x<-2
Rj. x 2,
Popis literature i priloga:
-moje bilježnice iz 1. i 2. razreda
Popis zadataka:
1.Izračunaj:
2.Racionaliziraj:
3 Izračunaj:
4.Izračunaj z+w, z-w, , ako je z=1-2i, w=3-i
5.Izračunaj:
6.Za koju je vrijednost realnog broja t umnožak realan broj?
7.Napiši kvadratnu jednadžbu čija su rješenja recipročna rješenjima
jednadžbe
8.Za koje peR jednadžba ima realne korijene?
9.Izračunaj:
10.Napiši kvadratnu jednadžbu ako su zadana njezina rješenja:
1.Zadatak:
2.Zadatak:
3.Zadatak:
4.Zadatak:
z-w=1-2i-3+i=-2-i
5.Zadatak:
6.Zadatak:
7.Zadatak:
8.Zadatak:
1. slučaj:
2. slučaj:
9.Zadatak:
10.Zadatak:
Literatura: zadaci preuzeti iz bilježnice
Maja Šišović, 3.a
1. Izračunaj: =
2. Riješi jednadžbu:
3. Zadan je trokut s vrhovima A(-2,1), B(-1,3), C(3,4). Odredi površinu i težišnicu.
4. Površina dvaju sličnih trokuta su 8 i 18 . Ako je opseg većeg od njih jednak 30
cm, koliki je opseg drugoga?
5. Ako je (1+ i)x + (1- i)y = i ; x,y R, onda je su x i y:
6. Rješenje jednadžbe 3 - 8x + 5 je:
7. Ako hipotenuza pravokutnog trokuta iznosi 111 cm, a kut α 40º50ˈ, izračunaj preostale
veličine.
8. Izračunaj
9. Izračunaj
10. Oplošje kocke je 18 . Izračunaj brid, obujam, dijagonalu baze i prostornu dijagonalu.
2
1. = =
2.
(2x+1)(3x-1) + 3 = 3x(2x +1) UVIJET: 2X-1≠0 X≠
6 - 2x + 3x – 1 + 3= 6 + 3x 2X+1≠0 X≠ -
-2x + 3x + 3x = 1 – 3
4x = -2 ⧸ : 4
x = Jednadžba nema rješenja.
3. A(-2,1)
B(-1,3)
C(3,4)
P=? T=?
3
,
,
,
T=(0, )
4
4. 8
⧸√
k= 1,5
=20 cm
5. (1+ i)x + (1- i)y = i ; x,y R
X+Xi+Y-Yi = i
X+Y=0
X-Y=1
2X= 1 ∕:2
X=
Y=
Y=
Y=
5
6. 3 - 8x + 5=0
6
7. c= 111 cm
α= 40º50ˈ
a, b, P, O, β=?
β = 90º- α
β = 90º- 40º50ˈ
β= 49º30ˈ
0,6494 =
a= 72,08 cm
P= =
O= a+b+c
O= 72,08+84,41+111
O= 267,49 cm
8.
7
9.
= 1
8
10. O= 18
a, V, d, D = ?
O= 6∙
18= 6∙ ⧸6
3=
a=
V=
V=
V= 3
d=
d=
d= cm
D= a∙
D= ∙
D= 3 cm
9
POPIS LITERATURE:
Udžbenik
Bilježnica
Radni materijali
PRILOG:
Internet