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Planejamento e Otimização
de Experimentos Planejamentos Fatoriais
Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira
anselmo.quimica.ufg.br
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Fatores e Níves
Fatores ou Variáveis
• Temperatura
• Pressão
• Concentração
• Tempo
• Solvente
• Fluxo/Vazão
• Agitação/Rotação
• Catalisador
Níveis
• 25 e 50 oC
• 1, 5 e 10 atm
• ppm, % e m/v
• 1 min, 2 e 6 h
• Puro ou mistura
• 10 e 20 mL/h
• 100 e 200 rpm
• A, B, ...
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• Selecionar um número fixo de níveis para uma das variáveis (fatores)
• Experimentos com todas as combinações possíveis
– Exemplo
• n1 = 2
• n2 = 3
• n3 = 5
Fatorial 𝑛1 × 𝑛2 × 𝑛3 = 2 × 3 × 5 = 30 experimentos
𝑛1 = 𝑛2 = 𝑛3 = 2 Fatorial 23 = 8 experimentos
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Exemplo: planta piloto
Variáveis Quantitativas
• Temperatura, T 160 oC (-)
180 oC (+)
• Concentração, C 20% (-)
40% (+)
Variáveis Qualitativas
• Catalisador, K A (-)
B (+)
• Resposta Rendimento químico
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Variáveis
• T /oC • C /% • K
-
• 160 • 20 • A
+
• 180 • 40 • B
Níveis
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• Fatorial 2N, com N o número de variáveis N = 3 Fatorial 23 8 experimentos
• Matriz de Planejamento
experimento Temperatura T /oC
Concentração C /%
Catalisador K
Rendimento
𝒚 /g
1 160 20 A 60
2 180 20 A 72
3 160 40 A 54
4 180 40 A 68
5 160 20 B 52
6 180 20 B 83
7 160 40 B 45
8 180 40 B 80
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• Distribuição Normal
– Amostra • aleatória
• representativa
• Planejamento Fatorial
• aleatoriedade
– experimentos realizados de modo aleatório
• representatividade
– combinação de todos os possíveis níveis dos fatores
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Matriz de Contrastes do Planejamento
experimento Temperatura T /oC
Concentração C /%
Catalisador K
Rendimento
𝒚 /g
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
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Rendimento 𝒚 /g
(1) 60
a 72
b 54
ab 68
c 52
ac 83
bc 45
abc 80
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existem quatro medidas dos efeitos da temperatura
Efeitos Principais: Temperatura
Efeito de uma fator é a mudança na resposta quando passamos no nível - para o nível + desse fator
experimento C K 𝒚
- -
- -
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
T
-
+
1
2
diferença nos rendimentos depende apenas da temperatura
60
72
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• Medidas individuais dos efeitos quando a temperatura muda de 160 para 180 oC
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
72 – 60 = 12
68 – 54 = 14
83 – 52 = 31
80 – 45 = 35
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• Efeito principal da temperatura
aumentando a temperatura de 160 para 180 oC, o rendimento da reação aumenta 23 g, em média
𝑇 = 23
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experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
+12
+14
+31
+35
efeito mais acentuado
O efeito da temperatura depende do tipo do catalisador
Sinergismo
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Efeitos Principais: Concentração
• Medidas individuais dos efeitos quando a concentração muda de 20 para 40%
existem quatro medidas dos efeitos da concentração
experimento T K 𝒚
- -
2 + - - 72
- -
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
C
-
+
1
3
diferença nos rendimentos depende apenas da concentração
60
54
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experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
𝟓𝟒 − 𝟔𝟎 = −𝟔
𝟔𝟖 – 𝟕𝟐 = −𝟒
𝟒𝟓 – 𝟓𝟐 = −𝟕
𝟖𝟎 – 𝟖𝟑 = −𝟑
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• Efeito principal da concentração
aumentando a concentração de 20 para 40%, o rendimento da reação diminui 5 g, em média
𝑪 = −𝟓
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experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
−𝟔
−𝟒
−𝟕
−𝟑
os efeitos individuais da concentração não indicam efeito sinérgico
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Efeitos Principais: Catalisador
• Medidas individuais dos efeitos quando o catalisador muda de A para B
existem quatro medidas dos efeitos do catalisador
experimento T C 𝒚
- -
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
- -
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
K
-
+
1
5
diferença nos rendimentos depende apenas do tipo de catalisador
60
52
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experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
𝟓𝟐 – 𝟔𝟎 = −𝟖
𝟖𝟑 – 𝟕𝟐 = +𝟏𝟏
𝟒𝟓 – 𝟓𝟒 = −𝟗
𝟖𝟎 – 𝟔𝟖 = +𝟏𝟐
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• Efeito principal do catalisador
a mudança do catalisador de A para B aumenta o rendimento da reação em 1,5 g, em média
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experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
os efeitos individuais do catalisador indicam que há efeito sinérgico com a temperatura
-8
+11
-9
+12
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Diferença entre duas médias
Efeito principal = 𝑦 + − 𝑦 −
resposta média para o nível +
resposta média para o nível –
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• Efeito da temperatura
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
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• Efeito da concentração
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
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• Efeito do catalisador
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
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• Efeitos principais
T = 23
C = -5
K = 1,5
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Efeitos de interação
• Entre dois fatores T = 23, porém o efeito da temperatura é muito maior com o catalisador B do que com o A
variáveis temperatura e catalisador não se comportam aditivamente INTERAGEM
INTERAÇÃO = diferença entre o efeito médio da temperatura com o catalisador A e com o catalisador B
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Temperatura Catalisador
• Interação entre a temperatura e o catalisador, TK
experimento T C K
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
+12
+14
+31
+35
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• Vimos que um efeito é uma diferença entre médias
usar como nível + os resultados aonde a temperatura e o catalisador apresentam os mesmos níveis
experimento T C K
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
usar como nível – os resultados aonde a temperatura e o catalisador apresentam níveis diferentes
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Temperatura Concentração
usar como nível + os resultados aonde a temperatura e a concentração apresentam os mesmos níveis experimento T C K
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
usar como nível – os resultados aonde a temperatura e a concentração apresentam níveis diferentes
𝑻𝑪 = 𝟏, 𝟓
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Concentração Catalisador
usar como nível + os resultados aonde a concentração e o catalisador apresentam os mesmos níveis experimento T C K
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
usar como nível – os resultados aonde a concentração e o catalisador apresentam níveis diferentes
𝑪𝑲 = 𝟎
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Efeitos de interação
• Efeitos secundários TK = 10 TC = 1,5 CK = 0
efeito caracteriza o sinergismo entre as variáveis Temperatura e Catalisador
efeitos caracterizam a falta de sinergismo entre a variável Concentração e as variáveis Temperatura e Catalisador
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Interação entre três fatores
• De modo similar ao que pode ser aplicado para o cálculo de qualquer efeito, o nível + para o efeito médio resulta dos produtos dos contrastes de cada fator, em cada experimento, com resultado +
• Idem para o nível –
- - + +
- - - -
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• interação entre temperatura, concentração e catalisador
experimento T C K
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
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Representação Gráfica
+12
-9
+11 -8
-3
-4
-7
-6
+35
+14
+31
+12
(-) (+)
temperatura (oC) 160 180
(+)
(-) A
B
(-)
(+)
con
cen
tra
ção
(%
)
20
40
60 (1)
54 (3)
45 (7) 80 (8)
68 (4)
83 (6)
72 (2)
52 (5)
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• Efeitos principais
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• Interação entre dois fatores
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• Interação entre três fatores
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Interpretação dos Resultados
• Média = 64,25
• T = 23
• C = -5
• K = 1,5
• TC = 1,5
• TK = 10
• CK = 0
• TCK = 0,5
o efeito principal de uma variável deve ser interpretado individualmente apenas quando há evidência de que a variável não interage com outras variáveis
o efeito médio da concentração, C, é o de reduzir o rendimento em cerca de 5 g
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• Os efeitos da temperatura, T, e do catalisador, K, não podem ser avaliados separadamente devido à grande interação TK (= 10). – Esse efeito decorre da sensibilidade à mudança de temperatura
pelos dois catalisadores
(-)
(+)
cata
lisa
do
r
A
B
temperatura (oC)
(-) (+)
160 180
48,5 81,5
57 70 +13
+33
-8,5 +11,5
A troca do catalisador A por B, a 160 oC, levará a conclusões diferentes se esse mesmo experimento for conduzido a 180 oC: • 160 oC: A melhor que B • 180 oC: B melhor que A
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• The regression model representation 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + 𝛽2𝑥2 + 𝛽12𝑥1𝑥2 + 𝜖
– The variables 𝑥1 and 𝑥2 are defined on a coded scale from −1 to +1 (the low and high level of A and B), and 𝑥1𝑥2 represents the interaction between 𝑥1 and 𝑥2
– The parameter estimates in this regression model turn out to be related to the effect estimates • Ex: A = 21, B = 11, AB = 1, and Mean = 35.5
𝛽 1 = 21/2, 𝛽 2 = 11/2, 𝛽 12 = 1/2 and 𝛽 0 = 35.5 𝑦 = 35.5 + 10.5𝑥1 + 5.5𝑥2 + 0.5𝑥1𝑥2
Since the interaction coefficient (𝛽 12 = 0.5) is small relative to the main effect coefficients 𝛽 1 and 𝛽 2
𝑦 = 35.5 + 10.5𝑥1 + 5.5𝑥2
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Surface plot Contour plot
>> X1 = -1:.1:1
>> X2 = X1
>> [x1,x2] = meshgrid(X1,X2);
>> y = 35.5 + 10.5*x1 + 5.5*x2;
>> surf(x1,x2,y)
>> xlabel("x1"); ylabel("x2"); zlabel("x3");
>> contour(x1,x2,y)
>> colorbar on
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Cálculo dos Erros
• Efeitos significativos
– Variações entre os experimentos realizados nas mesmas condições experimentais
– Variabilidade total que afeta os experimentos realizados em diferentes condições experimentais
– Aleatoriedade da ordem de realização dos experimentos
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• Experimento etapas 1
2
3
4 . . .
Repetição de um experimento genuíno
realização de todas as etapas, novamente
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experimentos genuínos
n-ésima replicata do experimento i
graus de liberdade
Estimativa conjunta da variância
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experimento y1 y2 𝒚 𝒊
1 59 61 60
2 74 70 72
3 50 58 54
4 69 67 68
5 50 54 52
6 81 85 83
7 46 44 45
8 79 81 80
𝒔𝒊𝟐
2
8
32
2
8
8
2
2
𝝂𝒊
1
1
1
1
1
1
1
1
8
𝝂𝒊𝒔𝒊𝟐
2
8
32
2
8
8
2
2
64
64
soma
8
com = 8 graus de liberdade
as replicatas também são realizadas de modo aleatório
𝒔𝟐 =𝟏
𝟖𝟔𝟒 = 𝟖
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O que interessa é o erro dos efeitos
Efeito principal = 𝑦 + − 𝑦 −
resposta média para o nível +
resposta média para o nível –
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Assumindo que os erros são independentes
• cada termo é uma média de 8 observações (replicatas)
• variância da média é 𝑠𝑚é𝑑𝑖𝑎2 =
𝜎2
𝑁
usando s2 (= 8) como estimativa de s2
𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐𝟐 = 𝒔𝟐 𝒚 + ± 𝒚 − = 𝒔𝟐 𝒚 + + 𝒔𝟐 𝒚 −
𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐𝟐 =
𝝈𝟐
𝟖+
𝝈𝟐
𝟖=
𝝈𝟐
𝟒
𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐𝟐 =
𝟖
𝟒= 𝟐
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Logo, o erro estimado para cada efeito é
Para a média, a variância da média é 𝑠𝑚é𝑑𝑖𝑎2 =
𝜎2
𝑁
N = 8 x 2 = 16
s = s = 2,8 (estimativa conjunta da variância)
𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐 = 𝟐 = 𝟏, 𝟒
𝒔𝒎é𝒅𝒊𝒂𝟐 =
𝟐, 𝟖
𝟏𝟔→ 𝒔𝒎é𝒅𝒊𝒂 = 𝟎, 𝟕
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M = 64,25 0,7
T = 23 1,4
C = -5,0 1,4
K = 1,5 1,4
TC = 1,5 1,4
TK = 10,0 1,4
CK = 0,0 1,4
TCK = 0,5 1,4
exceto T, C e TK os outros efeitos podem ser gerados por ruídos
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Gráficos Normais
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Riccardo Manzini, Mauro Gamberi, Alberto Regattieri, (2005) "Design and control of a flexible order-picking system (FOPS): A new integrated approach to the implementation of an expert system", Journal of Manufacturing Technology Management, Vol. 16 Iss: 1, pp.18 - 35
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Analysis of Variance
Effects
A
B
C
AB
AC
BC
ABC
(1)
-
-
-
+
+
+
-
a
+
-
-
-
-
+
+
b
-
+
-
-
+
-
+
c
-
-
+
+
-
-
+
ab
+
+
-
+
-
-
-
ac
+
-
+
-
+
-
-
bc
-
+
+
-
-
+
-
abc
+
+
+
+
+
+
+
23 factorial design: 𝑛 replicates
𝐴 =1
4𝑛− 1 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐
𝐵, 𝐶, …
𝑆𝑆𝐴 =1
8𝑛− 1 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 2
𝑆𝑆𝐵, 𝑆𝑆𝐶 , …
𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗𝑘𝑙2
𝑛
𝑙=1
2
𝑘=1
2
𝑗=1
2
𝑖=1
−𝑦….
2
8𝑛
𝑆𝑆𝐸 is obtained by subtraction
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exp A B C AB AC BC ABC y1 y2 Total 1 (1) -1 -1 -1 1 1 1 -1 59 61 120 2 a 1 -1 -1 -1 -1 1 1 74 70 144 3 b -1 1 -1 -1 1 -1 1 50 58 108 4 ab 1 1 -1 1 -1 -1 -1 69 67 136 5 c -1 -1 1 1 -1 -1 1 50 54 104 6 ac 1 -1 1 -1 1 -1 -1 81 85 166 7 bc -1 1 1 -1 -1 1 -1 46 44 90 8 abc 1 1 1 1 1 1 1 79 81 160
-120 -120 -120 120 120 120 -120 144 -144 -144 -144 -144 144 144 -108 108 -108 -108 108 -108 108 136 136 -136 136 -136 -136 -136 -104 -104 104 104 -104 -104 104 166 -166 166 -166 166 -166 -166 -90 90 90 -90 -90 90 -90 160 160 160 160 160 160 160
effect 23 -5 1.5 1.5 10 0 0.5 Total Error SS 2116 100 9 9 400 0 1 2699 64 DF 1 1 1 1 1 1 1 15 8 MS 2116 100 9 9 400 0 1 8 F 264.5 12.5 1.125 1.125 50 0 0.125
p-value 0.0000 0.00767 0.31981 0.31981 0.00010 0.73281
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The Addition of Center Points to the 2k Design
• Assumption of linearity
• Interaction terms represent some curvature in the response function
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽𝑗𝑥𝑗
𝑘
𝑗=1
+ 𝛽𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗
𝑗𝑖<
+ 𝜖
>> X1=-1:.1:1
>> X2=X1
>> [x1,x2]=meshgrid(X1,X2);
>> y=35.5+10.5*x1+5.5*x2;
>> subplot(2,2,1),surf(x1,x2,y)
>> y=35.5+10.5*x1+5.5*x2+8*x1.*x2;
>> subplot(2,2,2),surf(x1,x2,y)
>> y=35.5+10.5*x1+5.5*x2+8*x1.*x1;
>> subplot(2,2,3),surf(x1,x2,y)
>> y=35.5+10.5*x1+5.5*x2+8*x1.*x1-7*x2.*x2;
>> subplot(2,2,4),surf(x1,x2,y)
• When curvature is not adequately modeled by the first-order model
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽𝑗𝑥𝑗
𝑘
𝑗=1
+ 𝛽𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗
𝑗𝑖<
+ 𝛽𝑗𝑗𝑥𝑗𝑗2
𝑘
𝑗=1
+ 𝜖
A method that will provide protection against curvature from second-order effect as well as allow an independent estimate of error to be obtained consists of adding center points to the 2k design
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(- -) (+ -)
(- +) (+ +)
(0 0)
Suppose that the curvature test is significant so that we will have to assume a second-order model such as 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + 𝛽2𝑥2 + 𝛽12𝑥1𝑥2 + 𝛽11𝑥1
2 + 𝛽22𝑥22 + 𝜖
There are six parameters to estimate and the 22 design and center points have only five independent runs ⟹ augment the 2k design with four axial runs
Central Composite Design (CCD)
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![Page 58: Planejamento e Otimização de Experimentos - Prof. Anselmo · • Selecionar um número fixo de níveis para uma das variáveis (fatores) • Experimentos com todas as combinações](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022022108/5bf79c9909d3f2ac7c8bb97d/html5/thumbnails/58.jpg)
Blocagem
• Blocking
2 x 4
23 = 8 experimentos mistura homogênea
um reagente/material não é suficiente para a realização dos 8 experimentos
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experimento
1
2
3
4
5
6
7
8
1
-
+
-
+
-
+
-
+
2
-
-
+
+
-
-
+
+
3
-
-
-
-
+
+
+
+
123
-
+
+
-
+
-
-
+
Bloco I 123 = -
experimento 1 2 3
1 - - -
4 + + -
6 + - +
7 - + +
experimento 1 2 3
2 + - -
3 - + -
5 - - +
8 + + +
Bloco II 123 = +
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experimento 1 2 3
1 - - -
4 + + -
6 + - +
7 - + +
experimento 1 2 3
2 + - -
3 - + -
5 - - +
8 + + +
a idéia é confundir (confounding) a interação entre os três fatores, com a diferença nas misturas
variável 4 Blocagem
123 = 4
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Operação Evolucionária (EVOP)
planta piloto
grande escala
condições ótimas
quando as mudanças não são grandes, ou bruscas
EVOP
pequenas mudanças no nível de operação das variáveis
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2K pontos (centrado na melhor condição
experimental)
ciclo: após uma medida em cada
ponto vários ciclos
efeitos e interações podem apresentar
um efeito significativo na
resposta
mudar as condições de operação para
melhorar a resposta
fase é completada quando a melhoria
nas condições é completada
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Planejamento Fatorial Fracionário
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k fatores 2k experimentos
alguns efeitos são desprezíveis
fração dos 2k experimentos
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• É empregado quando existem muitas variáveis no sistema, ou
o processo tende a ser conduzido por alguns dos efeitos
principais e de interação
• Pode ser projetado em planejamentos maiores no
subconjunto dos fatores significativos
• É possível combinar os experimentos de dois, ou mais,
planejamentos fracionários para montar, sequencialmente,
um planejamento maior para estimar os efeitos dos fatores e
das combinações de interesse.
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Redundância em um Planejamento
k = 7 27 = 128 experimentos
Quantos efeitos resultam?
combinações simples de n elementos tomados
k a k, sem repetição (elementos distintos)
𝑛𝑘
=𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
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média = 1
efeitos principais (n = 7, k = 1)
efeitos secundários (n = 7, k = 2)
efeitos terciários (n = 7, k = 3)
n = 7, k = 4
n = 7, k = 5
n = 7, k = 6
n = 7, k = 7
128 efeitos
71
= 7
72
= 21
73
= 35
74
= 35
.
.
. 77
= 1
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Redundância e o Número de Efeitos
• se k não é pequeno (< 3) há uma tendência à redundância em um fatorial 2k
• Fatorial 23-1
– Três fatores, dois níveis
• 23 = 8 experimentos
– Possível: 4 experimentos
• 23-1 = 4 experimentos
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experimento
1
2
3
4
5
6
7
8
A
-
+
-
+
-
+
-
+
B
-
-
+
+
-
-
+
+
C
-
-
-
-
+
+
+
+
ABC
-
+
+
-
+
-
-
+
I
+
+
+
+
+
+
+
+
experimento ABC
1 -
4 -
6 -
7 -
experimento ABC
2 +
3 +
5 +
8 +
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Gerador
ABC gerador
• ABC = +
• ABC = -
• I = ABC : relação de definição
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Efeitos p/ gerador I = ABC
efeitos principais
experimento
2 a
3 b
5 c
8 abc
I
+
+
+
+
A
+
-
-
+
B
-
+
-
+
C
-
-
+
+
AB
-
-
+
+
AC
-
+
-
+
BC
+
-
-
+
ABC
+
+
+
+
efeitos de interação
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não se pode diferenciar entre
– A e BC
– B e AC
– C e AB
• estimativas
o A = 𝓁A + 𝓁BC
o B = 𝓁B + 𝓁AC
o C = 𝓁C + 𝓁AB
ou
o 𝓁A A + BC
o 𝓁B B + AC
o 𝓁C C + AB
alias
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Meia Fração
relação de definição I = ABC
multiplicando por A pela esquerda
A.I = A.ABC
A = A2BC A2 = I
A = BC
a meia fração I = +ABC é a fração principal
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Efeitos p/ gerador I = -ABC
calcule os efeitos principais e os de interação
experimento
1 (1)
4 ab
6 ac
7 bc
I
+
+
+
+
A
-
+
+
-
B
-
+
-
+
C
-
-
+
+
AB
+
+
-
-
AC
+
-
+
-
BC
+
-
-
+
ABC
-
-
-
-
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Construção das meias frações: 23-1
1. Montar o planejamento completo 2k-1
fatorial 22
experimento A B
1 - -
2 + -
3 - +
4 + +
fatorial 23-1 ; I = ABC
A B C = AB
- - +
+ - -
- + -
+ + +
fatorial 23-1 ; I = -ABC
A B C = -AB
- - -
+ - +
- + +
+ + -
2. Adicionar o k-ésimo fator de
acordo com o gerador
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Resolução
I = ABC planejamento de resolução III, 2𝐼𝐼𝐼3−1
I = ABCD planejamento de resolução IV, 2𝐼𝑉4−1
I = ABCDE planejamento de resolução V, 2𝑉5−1
...
Em geral, é o tamanho da menor palavra na
relação de definição
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Projeção de frações em fatoriais
Qualquer planejamento fatorial fracionário de resolução
R, contém planejamentos fatoriais completos em
qualquer subconjunto R-1 de fatores
existem vários fatores de interesse
potencial, mas acredita-se que apenas
R-1 desses fatores têm efeitos
importantes
fatorial fracionário de resolução R
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Exemplo: velocidade de filtração
A = temperatura
B = pressão
C = concentração de formaldeído
D = taxa de agitação
resposta: velocidade de filtração (gal/h)
fatorial completo 24 = 16 experimentos
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experimento 𝒚
(1) 45
a 71
b 48
ab 65
c 68
ac 60
bc 80
abc 65
d 43
ad 100
bd 45
abd 104
cd 75
acd 86
bcd 70
abcd 96
A = 21,625
C = 9,875
D = 14,625
AC = -18,125
AD = 16,625
• Planejamento Fatorial Completo 24
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experimento A B C
1 - - -
2 + - -
3 - + -
4 + + -
5 - - +
6 + - +
7 - + +
8 + + +
D = ABC y
- 45 (1)
+ 100 ad
+ 45 bd
- 65 ab
+ 75 cd
- 60 ac
- 80 bc
+ 96 abcd
– efeitos principais
A.I = A.ABCD
A = A2BCD
A = BCD
B.I = B.ABCD
B = AB2CD
B = ACD
C.I = C.ABCD
C = ABC2D
C = ABD
D.I = D.ABCD
D = ABCD2
D = ABC
• 24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏
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– interações de dois fatores
AB.I = AB.ABCD
AB = A2B2CD
AB = CD
AC.I = AC.ABCD
AC = A2BC2D
AC = BD
AD.I = AD.ABCD
AD = A2BCD2
AD = BC
fatorial 23 = 7 efeitos
o 3 principais
o 3 de 2ª ordem
o 1 de 3ª ordem
fatorial 24-1 = 7 efeitos
o 4 principais
o 3 de 2ª ordem
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estimativa do efeito principal A
estimativa do efeito de interação AB
𝑦
45 (1)
100 ad
45 bd
65 ab
75 cd
60 ac
80 bc
96 abcd
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𝓁A = 19
𝓁B = 1,5
𝓁C = 14
𝓁D = 16,5
𝓁AB = -1
𝓁AC = -18,5
𝓁AD = 19
como o efeito de B é pequeno (𝓁B), espera-se pouca interação
entre B e A, C e D. Logo 𝓁AC AC e 𝓁AD AD
Fatorial 24
• A = 21,625
• C = 9,875
• D = 14,625
• AC = -18,125
• AD = 16,625
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Assim, tem-se um fatorial 24-1 projetado em um
fatorial 23, com os fatores A, C e D
(-) (+)
A
(+)
(-)
D (-)
(+)
C
45
80
75 96
60
100
65
45
AC: A(-) A(+)
• C(-) 45 65
• C(+) 80 60
AD: A(-) A(+)
• D(-) 45 65
• D(+) 45 100
com base na tabela do
planejamento, como fica
o cubo de respostas?
𝑦
45 (1)
100 ad
45 bd
65 ab
75 cd
60 ac
80 bc
96 abcd
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• Modelo
𝑦 = 𝛽 0 + 𝛽 𝐴𝐴 + 𝛽 𝐶𝐶 + 𝛽 𝐷𝐷 + 𝛽 𝐴𝐷𝐴𝐶 + 𝛽 𝐴𝐷𝐴𝐷
𝑦 = 𝛽 0 + 𝛽 1𝑥1 + 𝛽 3𝑥3 + 𝛽 4𝑥4 + 𝛽 13𝑥1𝑥3 + 𝛽 14𝑥1𝑥4
𝑦 = 70.75 +19
2𝑥1 +
14
2𝑥3 +
16.5
2𝑥4 −
18.5
2𝑥1𝑥3 +
19
2𝑥1𝑥4
𝑦 = 70.75 + 8.5𝑥1 + 7𝑥3 + 8.25𝑥4 − 9.25𝑥1𝑥3 + 9.5𝑥1𝑥4
>> x1=-1:.1:1;
>> x3=x1; x4=x1;
>> [X1,X3,X4]=meshgrid(x1,x3,x4);
>> Y=70.75+8.5*X1+7*X3+8.25*X4-9.25*X1.*X3+9.5*X1.*X4;
>> slice(X1,X3,X4,Y,[-1. 1.],[-1. 1.],[-1. 1.])
>> xlabel("X1-Temperatura");
>> ylabel("X3-Concentracao Formaldeido");
>> zlabel("X4-Taxa de Agitacao");
>> colorbar on
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Velocidade de filtração
(gal/h)
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Fatorial Fracionário 2k-p
2k-p experimentos = 1
2𝑝 fração do planejamento 2k
2k-2 experimentos = 1
22=
1
4 fração de 2k
• p geradores independentes
• a relação de definição completa consiste de todas as
colunas que são iguais à coluna identidade, I
ex: k = 6, p = 2 26-2
geradores: I = ABCE (E = ABC)
I = BCDF (F = BCD)
I = ADEF
𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐
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geradores: I = ABCE (E = ABC)
I = BCDF (F = BCD)
I = ADEF • para A
A.I = A.ABCE = A.BCDF = A.ADEF
A = A2BCE = ABCDF = A2DEF
A = BCE = ABCDF = DEF
• para AB
AB.I = AB.ABCE = AB.BCDF = AB.ADEF
AB = A2B2CE = AB2CDF = A2BDEF
AB = CE = ACDF = BDEF
Fatorial Fracionário 𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐
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experimento A B C D
1 - - - -
2 + - - -
3 - + - -
4 + + - -
E = ABC F = BCD
- -
+ -
+ +
- +
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Summary tables of useful fractional factorial designs
Geradores