METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah
Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh :
Maria Martini Leto Kurniawan
NIM : 013114019
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2008
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah
Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh :
Maria Martini Leto Kurniawan
NIM : 013114019
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2008
i
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
EXTERIOR PENALTY FUNCTIONS METHOD
THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Sarjana Sains Degree
in Mathematics
By :
Maria Martini Leto Kurniawan
Student Number : 013114019
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
MATHEMATICS DEPARTMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2008
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
TUHAN, PERISAIKU
(Mzm 28 : 1-9)
Orang-orang yang menabur dengan mencucurkan air
mata, akan menuai dengan bersorak sorai, (Mzm 126:5)
Segala sesuatu indah pada waktunya. (Pengkotbah 3:11)
Bila selama ini aku masih bertahan ...
Semua ini aku persembahkan hanya karena cintaku untuk :
Tuhan Yesus dan Bunda Maria, Teman dan Bunda tersayang yang
dengan setia mendengarkan semua kepedihan hatiku…
Bapa dan Mama tercinta.... Ini janji Rita....walaupun perjalanan ini
masih panjang, tapi aku senang bisa membuat bapa dan mama tersenyum kembali…
No Ovik tercinta ...Kamu adalah pemberian terindah yang Tuhan berikan
buat oncu, dan oncu tidak akan pernah menyerah berjuang dalam hidup ini karena
“KAMU”…
Cece, Ka Nano, Adeline, Ati, Ka Tonce & No
Faldi....Aku sangat-sangat bersyukur dan bangga menjadi bagian dari kalian
semua…I love u all....
Isto yang sudah hadir dan mewarnai hidupku... Aku
mau kamu tahu bahwa semenjak ada dirimu semua terasa indah....Thanks for your love…
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus atas segala kasih dan
perlindungan-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi ini
berjudul : “ METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR “, yang diajukan
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program
Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai
pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan
terima kasih kepada:
1. Ibu Lusia Krismiyati, S.Si, M.Si sebagai dosen pembimbing yang penuh
perhatian dan kesabaran telah membimbing serta memberi saran dan kritik
kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini.
2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc sebagai dosen pembimbing akademik.
3. Bapak Herry Pribawanto.S, S.Si, M.Si yang telah memberikan pinjaman
buku-buku matematika yang sangat membantu penulis dalam menyelesaikan
skripsi ini.
4. Bapak St. Eko Hari Parmadi, S.Si.,M.Kom sebagai dosen panguji.
5. Ir. Greg. Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.Sc., M.A., selaku Dekan FST-USD.
6. Segenap dosen dan karyawan sekretariat FST yang telah mendidik dan
meyediakan fasilitas yang sangat bermanfaat bagi penulis.
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7. Bapa, Mama, No Ovik, Cece, Ka Nano, Adeline, Ati, Ka Tonce, No Faldi dan
seluruh keluarga besarku tercinta atas kasih sayang, doa, semangat, dukungan
serta kesabarannya selama ini.
8. No Ie, atas segala bantuan, doa dan dorongan buat saya. Terima kasih untuk
semuanya.
9. Isto untuk segala kasih dan kesabaran yang begitu tulus. Saya sangat
bersyukur mengenal kamu dan menjadi bagian dari hidupmu karena kau telah
mengajarkan saya begitu banyak hal
10. Sahabat-sahabatku seperjuangan angkatan 2001: Agnes, Alam, Fanya, Daniel,
Teddi, Deta, Vrysca, Upik, Yuli, Dani, Tabita, Andre, Indah, Ariel, Erika,
Wiwit, Maria, Very, Ray, dan April.
11. Mas Nadi yang selalu setia membantu dan menyemangati saya. Ma kasih mas.
12. Meggy atas segala bantuan dan dorongan semangat yang begitu tulus. Ma
kasih Gy.
13. Semua pihak yang telah membantu penulis baik secara langsung maupun tidak
langsung hingga selesainya penulisan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangannya. Oleh
karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang dapat
membangun penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan
menjadi referensi bagi pembaca.
Yogyakarta, 26 Mei 2008
Penulis
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini
tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan
dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 26 Mei 2008
Penulis,
Maria Martini Leto Kurniawan
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................... v
HALAMAN HAK CIPTA ........................................................................... vi
ABSTRAK .................................................................................................... vii
ABSTRACT .................................................................................................. viii
KATA PENGANTAR ................................................................................... ix
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................ xi
DAFTAR ISI .................................................................................................. xii
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xiv
DAFTAR TABEL .......................................................................................... xv
BAB I PENDAHULUAN ........................................................................... 1
A. Latar Belakang Masalah .................................................................... 1
B. Perumusan Masalah ........................................................................... 3
C. Batasan Masalah ................................................................................ 4
D. Tujuan Penulisan ............................................................................... 4
E. Manfaat Penulisan ............................................................................. 4
F. Metode Penulisan ............................................................................... 5
G. Sistematika Penulisan ........................................................................ 5
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II TOPOLOGI DI nR DAN TEORI OPTIMISASI ............................. 7
A. Ruang Euclid dan Matriks ...................................................................... 7
B. Topologi di nR ........................................................................................ 8
C. Fungsi Kontinu dan Fungsi Terdiferensial ................................................. 11
D. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks………………………………. 15
E. Syarat Optimalitas Masalah Tidak Berkendala…………………………. 21
F. Teori Optimisasi………………………………………………………… 25
G. Metode Newton……………………………………………………….. 27
BAB III METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR ................................. 30
A. Konsep Fungsi Penalti ............................................................................ 30
B. Interpretasi Geometris Fungsi Penalti .................................................... 37
C. Metode Fungsi Penalti Eksterior ............................................................. 41
1. Bentuk Fungsi Penalti Eksterior…………………………………… 41
2. Algoritma Metode Fungsi Penalti Eksterior………………………. 43
D. Konvergensi Metode fungsi Penalti Eksterior………………………… 56
BAB IV PENUTUP ...................................................................................... 63
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 65
LAMPIRAN .................................................................................................. …. 66
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1.1 Minimum sama dengan maksimum .................... 1
Gambar 2.4.1 Ilustrasi dari himpunan konveks dan tidak konveks................ 15
Gambar 2.4.2 Lingkaran .......................................................... 16
Gambar 2.4.3 Parabola ...................................................................... 16
Gambar 2.7.1 Diagram Alir Algoritma Metode Newton..................................... 29
Gambar 3.1.1 Grafik Penalti............................................................................ 35
Gambar 3.1.2 Grafik Fungsi Tambahan........................................................... 35
Gambar 3.2.1 Geometri Fungsi Penalti............................................................. 39
Gambar 3.3.1 Diagram Alir Algoritma Metode Fungsi Penalti Eksterior.............. 44
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 3.3.1 Output penyelesaian contoh 3.3.2................................................... 50
Tabel 3.3.2 Output penyelesaian contoh 3.3.3................................................... 54
Tabel 3.3.3 Output penyelesaian contoh 3.3.4................................................... 55
xv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Secara umum optimisasi merupakan tindakan untuk mendapatkan hasil
yang terbaik terhadap situasi yang diberikan (sebagai suatu masalah). Sebagai
contoh perusahaan sepatu yang ingin memberikan harga yang terbaik supaya
perusahaan itu mendapatkan keuntungan yang terbanyak. Dalam berbagai macam
situasi praktis tindakan tersebut dapat dibawa ke dalam perumusan matematika
sebagai suatu fungsi dari variabel-variabel keputusan tertentu, sehingga optimisasi
dapat didefinisikan sebagai proses mencari atau menemukan situasi yang
memberikan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi.
Perhatikan gambar 1.1.1 di bawah ini :
( )xf ( )xf
*x pembuat minimum dari ( )xf
Gambar 1.1.1 Minimum ( )xf sama dengan maksimum dari ( )xf−
*x x
0
*x pembuat maksimum dari ( )xf−
( )xf−
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Dalam gambar 1.1.1 ( dalam hal ini sebagai contoh fungsi dengan
satu variabel ) dapat dilihat bahwa jika suatu titik menunjukkan nilai pembuat
minimum dari fungsi , titik yang sama itu juga menunjukkan nilai pembuat
maksimum dari negatif fungsi tersebut yakni
( )xf
*x
( )xf
( )xf− . Berarti optimisasi dapat
ditentukan dengan cara meminimalkan suatu fungsi karena maksimum dari fungsi
tersebut dapat ditemukan dengan mencari minimum dari negatif dari fungsi yang
sama.
Secara matematis optimisasi merupakan proses menemukan nilai
maksimum atau minimum dari suatu fungsi dengan cara meminimalkan fungsi
tersebut.
Secara umum masalah optimisasi dibagi menjadi dua bagian yakni,
optimisasi berkendala dan optimisasi tidak berkendala. Optimisasi berkendala
adalah optimisasi suatu fungsi yang disebut sebagai fungsi obyektif dengan
kendala-kendala berupa pertidaksamaan atau persamaan, sedangkan optimisasi
tidak berkendala adalah optimisasi suatu fungsi obyektif tanpa kendala. Pada
optimisasi berkendala jika fungsi obyektif atau fungsi kendala adalah nonlinear
maka masalah tersebut dinamakan masalah program nonlinear atau biasa disebut
sebagai masalah optimisasi berkendala nonlinear.
Ada beberapa teknik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu
masalah program optimisasi berkendala nonlinear. Semua metode ini dapat
diklasifikasikan ke dalam dua kategori yakni, metode langsung (direct method)
dan metode tidak langsung (indirect method). Metode langsung meliputi metode
Pencarian Heuristik, metode Pendekatan Kendala, dan metode Arah Layak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Metode Arah Layak sendiri terbagi lagi menjadi dua metode yaitu metode
Zoutendijk dan metode Proyeksi Gradien. Sedangkan metode tidak langsung
meliputi Transformasi Variabel dan metode Fungsi Penalti, dimana metode
Fungsi Penalti dibagi lagi menjadi dua metode yakni metode Fungsi Penalti
Eksterior dan metode Fungsi Penalti Interior.
Metode Fungsi Penalti merupakan salah satu metode numerik yang
digunakan untuk mengubah masalah optimisasi dengan kendala menjadi masalah
optimisasi tanpa kendala dengan menambahkan fungsi penalti dan parameter
penalti pada fungsi obyektif.
Dalam skripsi ini hanya membahas metode Fungsi Penalti Eksterior.
Metode Fungsi Penalti Eksterior digunakan untuk menyelesaikan masalah
optimisasi nonlinear berkendala, dimana pendekatan yang digunakan adalah
dengan mengubah masalah optimisasi dengan kendala tersebut menjadi masalah
optimisasi tanpa kendala yang ekuivalen. Pada metode Fungsi Penalti Eksterior,
pencarian solusi optimal dimulai dari daerah tidak layak dan menghasilkan titik–
titik tidak layak yang limitnya merupakan penyelesaian optimal dari masalah asli.
B. Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian yang dikemukakan dalam latar belakang, pokok
permasalahan dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut :
1. Apa itu metode Fungsi Penalti khususnya metode Fungsi Penalti
Eksterior?
2. Bagaimana bentuk umum dan algoritma metode Fungsi Penalti Eksterior?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
3. Bagaimana menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala
dengan metode Fungsi Penalti Eksterior dan implementasinya dengan
program Matlab.
C. Batasan Masalah
1. Dalam skripsi ini metode yang digunakan dalam menyelesaikan masalah
tidak berkendala adalah metode Newton, akan tetapi dalam skripsi ini
hanya membahas kegunaan dan algoritma metode Newton.
2. Program yang digunakan untuk perhitungan numeris adalah program
Matlab.
D. Tujuan Penulisan
Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk membahas metode Fungsi Penalti
Eksterior dan bagaimana algoritma metode Fungsi Penalti Eksterior dalam
menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala serta konvergensi metode
Fungsi Penalti Eksterior .
E. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diharapkan dalam skripsi ini adalah dapat mengetahui dan
memahami bagaimana bentuk metode Fungsi Penalti khususnya metode Fungsi
Penalti Eksterior dan mengetahui bagaimana metode Fungsi Penalti Eksterior
digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
F. Metode Penulisan
Dalam penulisan skripsi ini penulis menggunakan metode studi pustaka
yakni, mempelajari referensi-referensi yang berkaitan dengan masalah optimisasi
nonlinear, khususnya mengenai metode Fungsi Penalti Eksterior dan referensi-
referensi mengenai dasar teori pendukung.
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan skripsi ini terdiri dari empat bab dengan urutan
sebagai berikut :
BAB I : PENDAHULUAN
Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang, perumusan
masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan,
metode penulisan, dan sistematika penulisan.
BAB II : TOPOLOGI DI DAN TEORI OPTIMISASI nR
Dalam bab ini akan dibahas konsep ruang Euclid dan matriks,
topologi di , fungsi kontinu dan fungsi terdiferensial, himpunan
konveks dan fungsi konveks, syarat optimalitas untuk masalah
berkendala, teori optimisasi serta metode Newton yang nantinya
akan digunakan untuk memahami metode Fungsi Penalti Eksterior.
nR
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB III : METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR
Dalam bab III akan dibahas tentang konsep fungsi penalti,
interpretasi geometris fungsi penalti, pengertian metode Fungsi
Penalti Eksterior, bentuk umum Fungsi Penalti Eksterior dan
algoritma metode Fungsi Penalti Eksterior disertai beberapa contoh
masalah optimisasi nonlinear berkendala yang diselesaikan dengan
metode Fungsi Penalti Eksterior. Terakhir dibicarakan juga
implementasinya dengan program matlab serta konvergensi metode
Fungsi Penalti Eksterior.
BAB IV : PENUTUP
Bab IV berisi kesimpulan dan saran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
TOPOLOGI DI DAN TEORI OPTIMISASI nR
Dalam bab ini akan dibahas konsep ruang Euclid dan matriks, topologi di
, fungsi kontinu dan fungsi terdiferensial, himpunan konveks dan fungsi
konveks, syarat optimalitas untuk masalah berkendala, teori optimisasi serta
metode Newton yang nantinya akan digunakan untuk memahami metode Fungsi
Penalti Eksterior.
nR
A. Ruang Euclid dan Matriks
Berikut akan didefinisikan mengenai hasilkali dalam Euclidean, ruang
Euclid, transpose matriks, dan matriks semidefinit positif.
Definisi 2.1.1
Jika dan ( )nuuu ,,, 21 K=u ( )nvvv K,, 21=v adalah vektor-vektor sebarang pada
, maka hasilkali dalam Euclid (Euclidean inner product) didefinisikan
sebagai
nR vu.
nnvuvuvu +++= K2211.vu .
Definisi 2.1.2
Ruang dengan operasi-operasi penjumlahan, perkalian skalar dan hasilkali
dalam Euclidean disebut ruang Euclid berdimensi n (n-dimensional Euclidean
space) atau Ruang Euclid yang diberi notasi
nR
nΕ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Definisi 2.1.3
Jika adalah matriks , maka transpose dari dinyatakan dengan ,
didefinisikan sebagai matriks
A nm× A tA
mn× yang didapatkan dengan mempertukarkan
baris-baris dan kolom-kolom dari A ; sehingga kolom pertama dari adalah
baris pertama dari , kolom kedua dari adalah baris kedua dari , dan
seterusnya.
tA
A tA A
Definisi 2.1.4
Jika adalah matriks simetris A nn× , maka dikatakan semidefinit positif
( positive semidefinite ) jika untuk setiap
A
0≥Axx t nΕ∈x dan ditulis . 0A ≥
B. Topologi di nR
Definisi 2.2.1
Diberikan titik dan nR∈x ( ) { }εε ε <−∈=> xyyx : ,0 nRN disebut suatu
persekitaran ε− dari x .
Definisi 2.2.2
Misalkan nRK ⊂ dan K∈x . Titik disebut titik dalam atau titik interior
dari
x
K jika terdapat suatu persekitaran ε− dari x yang termuat di dalam K , yaitu
jika ada 0>ε sedemikian sehingga ε<− xy berakibat . Himpunan K∈y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
semua titik interior dari K disebut interior K dan dinotasikan dengan .
Selanjutnya,
Kint
K disebut terbuka jika KK int = .
Definisi 2.2.3
Misalkan nRK ⊂ , disebut titik limit dari x K jika untuk setiap 0>ε
( ) φε ≠∩ xNK . Himpunan semua anggota K beserta titik limitnya disebut
closure dari K dan dinotasikan dengan . Selanjutnya, K Cl K disebut tertutup
jika . KK Cl=
Definisi 2.2.4
Suatu barisan vektor dikatakan konvergen ke titik limit K,,, 321 xxx x jika
0→− xxk untuk , yaitu jika untuk sembarang ∞→k 0>ε terdapat bilangan
bulat positif sedemikian sehingga N ε<− xxk untuk semua . Barisan
biasanya dinotasikan dengan
Nk ≥
{ }kx dan x titik limit { }kx disajikan dengan
xx →k untuk atau dengan ∞→k xx =∞→ kklim .
Catat bahwa barisan konvergen mempunyai titik limit yang tunggal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Definisi 2.2.5
Dengan menghapus elemen-elemen tertentu dari barisan{ , diperoleh
subbarisan, yang biasanya dinotasikan dengan
}kx
{ }κkx , dengan κ adalah subset
dari semua bilangan bulat positif.
Semesta pembicaraan sekarang adalah bilangan real
Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dari ke dalam . Jadi, fungsi
atau dengan
Ν R
Rf →Ν: ( )nf Ν∈n adalah barisan bilangan real. Biasanya
dinyatakan dengan . Barisan dengan sebagai suku ke-n akan ditulis ( )nf ns ns
ns atau { . }ns
Definisi 2.2.6
Misalkan adalah fungsi yang terdefinisi di dalam himpunan bilangan real f
R ; dikatakan mempunyai limit f L di , dan ditulis , jika
diberikan sebuah bilangan
0x ( ) Lxfxx =→ 0lim
0>ε , maka ada sebuah 0>δ sedemikian sehingga
( ) ε<− Lxf bila dan Xx∈ δ<−< 00 xx .
Definisi 2.2.7
Barisan dikatakan konvergen jika terdapat { }ns Rs∈ dengan sifat, untuk
sebarang 0>ε yang diberikan, terdapat Ν∈N sehingga untuk semua
dengan berlaku Ν∈n Nn ≥ ε<− nss . Bilangan dinamakan limit { untuk s }ns
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
∞→n dan ditulis atau disingkat nn s∞→lim ssn = lim . Suatu barisan yang tidak
mempunyai limit disebut divergen.
Definisi 2.2.8
Barisan dikatakan naik jika { }ns 1+≤ nn ss dan turun jika untuk semua
. Barisan naik dan barisan turun dinamakan barisan monoton.
1+≥ nn ss
Ν∈n
Contoh 2.2.8
1. Barisan adalah barisan naik. K,3,3,2,2,1,1
2. Barisan K,31,
31,
21,
21,1,1 adalah barisan turun.
Ke dua contoh di atas adalah barisan monoton.
C. Fungsi Kontinu dan Fungsi Terdiferensial
Definisi 2.3.1
Misalkan , dimana TKf →: nRK ⊂ dan l
RT ⊂ . Fungsi dikatakan kontinu
di
f
K∈x jika untuk setiap 0>ε , terdapat 0>δ sedemikian sehingga untuk
dan K∈y δ<− xy berlaku ( ) ( ) ε<− xy ff .
Selanjutnya fungsi dikatakan kontinu padaf K jika kontinu di setiap titik
anggota
f
K .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Definisi 2.3.2
Diberikan fungsi . Fungsi dikatakan : RKRKf ⊂→ ,: f
1. Naik pada K jika untuk setiap Kxx ∈21, , dengan , maka 21 xx <
( ) ( )21 xfxf < .
2. Turun pada K jika untuk setiap Kxx ∈21, , dengan , maka
.
21 xx >
( ) ( )21 xfxf >
3. Monoton pada K jika naik pada f K atau turun pada K .
Definisi 2.3.3
Misal . Turunan orde satu dari , dinotasikan dengan ,
didefinisikan sebagai berikut:
RRf n →: f Df
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
=nx
fxf
xfDf ,,,
21
L
Definisi 2.3.4
Misal gradien dari fungsi di ditulis ,: RRf n → f x ( )xf∇ , adalah transpose
dari , yaitu : Df
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
==∇
n
t
n
t
xf
xfx
f
xf
xf
xfDff
x
x
x
xxxxM
L2
1
21
,,,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Definisi 2.3.5
Misalkan K himpunan tidak kosong di nE , Kint ∈x dan . Matriks
Hessian dari fungsi pada
EKf →:
f x , yang biasa dinotasikan dengan ( )xH adalah
matriks yang elemen-elemennya terdiri dari turunan-turunan parsial ke dua dari
fungsi yaitu : f
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
.
2
2
2
2
1
2
2
2
22
2
12
21
2
21
2
21
2
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
=
nnn
n
n
xf
xxf
xxf
xxf
xf
xxf
xxf
xxf
xf
xxx
xxx
xxx
xH
MMM
Definisi 2.3.6
Misalkan K himpunan tidak kosong di nE , dan terdiferensial dua
kali. Teorema Taylor orde dua adalah : untuk setiap , haruslah
memenuhi :
EKf →:
1x K∈2x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )12122112 21 xxxHxxxxxxx 1 −−+−∇+= ttfff
dimana ( )xH adalah matriks Hessian dari fungsi pada f x dan
( ) 21 1 xxx λλ −+= untuk ( )1,0∈λ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Definisi 2.3.7
Misalkan K himpunan tidak kosong di nΕ , Kint ∈x dan . Maka
dikatakan terdiferensial di
ΕKf →:
f x jika ada vektor ( )xf∇ yang disebut vektor
gradien, dan ada fungsi sedemikian sehingga : 1: EE →α
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxxxxxx −−+−∇+= ; αt
fff
untuk setiap K∈x , dimana ( ) 0; lim =−→
xxxxx α .
Fungsi dikatakan terdiferensial pada himpunan terbuka jika
terdiferensial pada setiap titik .
f KL ⊆
f L
Definisi 2.3.8
Misalkan K himpunan tidak kosong di nE , Kint ∈x dan . Maka
cdikatakan terdiferensial dua kali di
ΕKf →:
x jika terdapat suatu vektor ( )xf∇ , dan
matriks simetris nn× ( )xH yang disebut sebagai matriks Hessian, dan suatu
fungsi sedemikian sehingga : 1: EE →α
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xxxxxxxxHxxxxxxx −−+−−+−∇+= ; 21 2
αtt
fff
untuk setiap K∈x , dimana ( ) 0; lim =−→
xxxxx α .
Fungsi dikatakan terdiferensial dua kali pada himpunan terbuka jika
terdiferensial dua kali pada setiap titik .
f KL ⊆
f L
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Contoh 2.3.8
Misalkan . Diketahui ( ) 212
2212121 43262, xxxxxxxxf +−−+= ( )t0,0=x . Maka
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+−
=∇12
21
466442
xxxxf x dan ( ) .
6444⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=xH
Sehingga :
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2
121
2
121 64
44,
216,2,
xx
xxxx
xxf .
D. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks
Berikut akan diberikan definisi dari himpunan konveks dan fungsi konveks
serta teorema-teorema yang berkaitan dengan fungsi konveks.
Definisi 2.4.1
Himpunan K di nR dikatakan konveks jika setiap garis penghubung antara kedua
titik yang ada di himpunan berada juga pada himpunan tersebut. Dengan kata lain,
jika dan ada di 1x 2x K , maka ( ) 21 1 xx λλ −+ harus ada di K untuk setiap
[ ]1,0∈λ .
Gambar 2.4.1 . Ilustrasi dari himpunan konveks dan tidak konveks
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Contoh 2.4.1
Beberapa contoh himpunan konveks.
1. ( ){ } 222
2121 4:, RxxxxK ⊂≤+=
Himpunan ini merepresentasikan titik yang berada di dalam lingkaran dengan
pusat dan radius 2 seperti pada gambar 2.4.2 ( 0,0 )
422 =+ yx
Gambar 2.4.2 Lingkaran 422
21 =+ xx
2. ( ){ } 22:, RxyyxK ⊂≥=
Himpunan ini mempresentasikan semua titik yang berada di atas kurva
seperti pada gambar 2.4.3 2xy =
Gambar 2.4.3 Parabola 2xy =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Definisi 2.4.2
Misalkan , dimana RKf →: K adalah himpunan konveks tidak kosong di R .
Fungsi dikatakan konveks pada f K jika
( )( ) ( ) ( ) ( ),11 2121 xxxx fff λλλλ −+≤−+
untuk setiap dan K∈21, xx 10 ≤≤ λ .
Contoh 2.4.2
Buktikan bahwa adalah fungsi konveks ( ) Rxexf x ∈= ,
Penyelesaian :
Ambil R∈21, xx maka dan ( ) 11
xef =x ( ) 22
xef =x , dan
( )( ) ( )( )21 121 1 xxef λλλλ −+=−+ xx
( ) 21 1 xx ee λλ −•= .
Sedangkan,
( ) ( ) ( ) ( ) 21 11 21xx eeff λλλλ −+=−+ xx .
Jadi untuk setiap dan R∈21, xx 10 ≤≤ λ diperoleh :
( )( ) ( ) ( ) ( )2121 11 xxxx fff λλλλ −+≤−+ .
Maka terbukti adalah fungsi konveks. ( ) xexf =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Teorema 2.4.3
Jika suatu fungsi adalah konveks maka, untuk setiap dua titik dan
memenuhi
RKf →: 1x
2x
( ) ( ) ( )( )12112 xxxxx −∇+≥ tfff
Bukti :
Misalkan adalah konveks, maka berdasarkan definisi (2.4.2) ( )xf
( )( ) ( ) ( ) ( )1212 11 xxxx fff λλλλ −+≤−+
atau dapat ditulis sebagai :
( )( ) ( ) ( )( )121121 xxxxxx ffff −+≤−+ λλ (2.4.1)
Pertidaksamaan (2.4.1) dapat dibentuk menjadi :
( ) ( ) ( )( ) ( )( )121121 xxxxxx −+≥−+ λλ ffff
( ) ( )( ) ( )( ) ( )112112 xxxxxx ffff −−+≥−⇔ λλ
( ) ( ) ( )( ) ( )λ
λ 112112
xxxxxx ffff −−+≥−
Pada ruas kanan penyebutnya dikalikan dengan 12 xx − sehingga menjadi :
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( 12
12
112112 xx
xxxxxxxx −
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−+
≥−λλ ffff ) (2.4.2)
Karena definisi , maka pertidaksamaan (2.4.2) menjadi :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1211
12 xxx
xxxxx −⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Δ−Δ+
≥−ffff ) (2.4.3)
Dengan pengambilan limit untuk ∞→Δx , sehingga pertidaksamaan (2.4.3)
menjadi :
( ) ( ) ( )( )12112 xxxxx −∇+≥ tfff
Teorema 2.4.4
Suatu fungsi adalah konveks jika matriks Hessian RKf →: ( )xH adalah
semidefinit positif.
Bukti :
Dari Teorema Taylor bahwa :
( ) ( ) ( ) hxxxxhx θ !2
1 *2
1 1
*
1
** +=∂∂
∂+
∂∂
+=+ ∑∑∑= == ji
n
i
n
jji
i
n
ii xx
fhhxfhff (2.4.4)
dimana 1θ0 << .
Misalkan , , dan 1* xx = 2
* xhx =+ 12 xxh −= , sehingga pertidaksamaan (2.4.4)
menjadi :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }( 121211212112 θ21 xxxxxHxxxxxxx −−+−+−∇+= ttfff ) (2.4.5)
Dapat dilihat bahwa untuk memenuhi Teorema 2.4.3 dan karena konveks,
maka pertidaksamaan (2.4.5) harus memberikan
( )xf
( )xH semidefinit positif.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Contoh 2.4.3
Misalkan fungsi dan 2: RKf → ( ) 222
2121 43, Rxxxxf ∈+= . Buktikan bahwa
adalah fungsi konveks untuk setiap nilai ( ) 22
2121 43, xxxxf += .
Penyelesaian :
Berdasarkan Teorema 2.4.4 maka cukup menunjukkan bahwa ( )xH semidefinit
positif,
( ) 0488006
22
2
12
221
2
21
2
>=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
=
xf
xxf
xxf
xf
xH
Jadi terbukti adalah fungsi konveks untuk setiap nilai ( ) 22
2121 43, xxxxf += x .
Definisi 2.4.5
Misalkan K adalah himpunan terbuka tidak kosong di nE , dan misalkan
terdiferensial pada EKf →: K . Fungsi dikatakan pseudokonveks jika
untuk setiap dengan
f
K∈21, xx ( ) ( ) 0121 ≥−∇ xxx tf , maka atau
ekuivalen dengan pernyataan bahwa jika
( ) ( )12 xx ff ≥
( ) ( 12 xx ff < ) , maka
. ( ) ( ) 0121 <−∇ xxx tf
Definisi 2.4.6
Pseudokonveksitas di x adalah : fungsi dikatakan pseudokonveks pada f
K∈x jika ( ) ( ) 0121 ≥−∇ xxx tf untuk K∈x maka ( ) ( )xx ff > .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
E. Syarat Optimalitas Masalah Tidak Berkendala
Berikut akan didefinisikan syarat perlu dan syarat cukup tingkat pertama
sebagai syarat optimalitas untuk suatu masalah tidak berkendala.
Definisi 2.5.1
Perhatikan masalah meminimalkan ( )xf pada nE , dan misalkan nE∈x .
a. Jika ( ) ( )xx ff ≤ untuk semua nE∈x , maka x dinamakan suatu peminimum
global.
b. Jika ada suatu persekitaran ε− ( )xεN sekitar x sedemikian hingga
( ) ( )xx ff ≤ untuk semua ( )xx εN∈ , maka x dinamakan suatu peminimum
lokal.
c. jika untuk semua ( )xx εN∈ , xx ≠ , untuk 0>ε , maka x dinamakan
suatu peminimum lokal tegas.
Suatu peminimum global juga merupakan peminimum lokal.
Teorema 2.5.2
Misalkan bahwa terdiferensial di EEf n →: x . Jika ada sebuah vektor
sedemikian hingga nE∈d ( ) 0<∇ dxt
f maka terdapat 0>δ sedemikian sehingga
( ) ( )xdx ff <+ λ untuk setiap ( )δλ ,0∈ . Maka merupakan suatu arah turun
(descent direction) dari di
d
f x .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Bukti :
Dari Definisi 2.3.7 maka diperoleh :
( ) ( ) ( ) ( )dxdxxdx λαλλλ ;+∇+=+t
fff (2.5.1)
dengan ( ) 0; →dx λα untuk 0→λ .
Selanjutnya persamaan (2.5.1) dibagi dengan λ dimana 0≠λ , diperoleh :
( ) ( ) ( ) ( )dxdxxdx λαλλ ;+∇=
−+ tfff
Karena ( ) 0<∇ dxt
f dan ( ) 0; →dx λα untuk 0→λ maka terdapat suatu 0>δ
sedemikian sehingga ( ) ( ) 0; <+∇ dxdx λαt
f untuk setiap ( )δλ ,0∈ . Sehingga
terbukti ( ) ( )xdx ff <+ λ .
Akibat 2.5.3
Misalkan bahwa terdiferensial di EEf n →: x . Jika x peminimum lokal fungsi
maka f ( ) 0x =∇f .
Bukti :
Dibuktikan dengan kontradiksi . Andaikan bahwa ( ) 0x ≠∇f .
Misalkan ( )xd f−∇= , didapatkan ( ) ( ) 02<∇=∇ xdx ff
t. Dari Teorema 2.5.2,
terdapat suatu 0>δ sedemikian sehingga ( ) ( )xdx ff <+ λ untuk ( )δλ ,0∈ . Hal
ini kontradiksi dengan asumsi bahwa x merupakan suatu peminimum lokal.
Karena itu pengandaian salah, dan haruslah ( ) 0x =∇f .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Syarat perlu di atas menggunakan vektor gradien yang komponen-komponennya
merupakan turunan parsial pertama dari , sehingga disebut sebagai syarat perlu
tingkat pertama.
f
Teorema 2.5.4
Misalkan bahwa terdiferensial dua kali di EEf n →: x . Jika x adalah
peminimum lokal, maka ( ) 0x =∇f dan ( )xH semidefinit positif. Teorema ini
disebut sebagai Teorema syarat perlu tingkat kedua.
Bukti :
Dari Definisi 2.3.8, maka diperoleh :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxddxHddxxdx 2 λαλλλλ ;21 22 ++∇+=+ tt
fff (2.5.2)
dimana ( ) 0; →dx λα untuk 0→λ . Karena x peminimum lokal, maka dari
Akibat 2.5.3 bahwa ( ) 0x =∇f . Selanjutnya pertidaksamaan (2.5.2) dibagi
dengan menghasilkan : 02 >λ
( ) ( ) ( ) ( dxddxHdxdx λαλλ ;
21 2
2 +=−+ tff ) (2.5.3)
Karena x peminimum lokal, ( ) ( )xdx ff ≥+ λ untuk λ cukup besar. Maka pada
pertidaksamaan (2.5.3) jelas bahwa ( ) ( ) 0;21 2 ≥+ dxddxHd λαt untuk λ cukup
besar. Dengan pengambilan limit untuk 0→λ maka ( ) 0≥dxHd t . Karena itu
maka adalah semidefinit positif.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Teorema 2.5.5
Misalkan merupakan pseudokonveks di EEf n →: x . Titik x merupakan suatu
peminimum global jika dan hanya jika ( ) 0x =∇f . Teorema ini adalah Teorema
syarat cukup tingkat pertama.
Bukti :
Misalkan x adalah suatu peminimum global.
Akan ditunjukkan bahwa ( ) 0x =∇f .
Berdasarkan Akibat 2.5.3 bahwa jika x adalah peminimum lokal, maka ( ) 0x =∇f
dan oleh karena suatu peminimum lokal sama dengan peminimum global maka
terbukti bahwa ( ) 0x =∇f .
Misalkan bahwa ( ) 0x =∇f
Akan ditunjukkan bahwa x merupakan suatu peminimum global.
Karena ( ) 0x =∇f maka ( ) ( )xxx −∇t
f untuk setiap nE∈x . Dengan
pseudokonveksitas dari di f x maka diperoleh ( ) ( )xx ff ≥ untuk setiap nE∈x .
Sehingga terbukti x merupakan suatu peminimum global.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
F. Teori Optimisasi
Secara umum masalah optimisasi dibagi menjadi dua bagian yakni,
optimisasi berkendala dan optimisasi tidak berkendala :
1. Bentuk umum masalah optimisasi berkendala
Minimalkan ( )xf
dengan kendala ( ) migi ,,2,1 ,0 L=≤x
( ) ljh j ,,2,1 ,0 L==x
dengan :
x = Vektor di nE
= Fungsi obyektif ( )xf
( )xig = Kendala berupa pertidaksamaan sebanyak m
= Kendala berupa persamaan sebanyak ( )xjh l
(2.6.1)
2. Bentuk umum masalah optimisasi tidak berkendala
Minimalkan ( )xf
Jika fungsi obyektif atau fungsi kendala dalam persamaan (2.6.1) adalah
nonlinear maka masalah tersebut dinamakan masalah program nonlinear atau
biasa disebut sebagai masalah optimisasi nonlinear berkendala.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Definisi 2.6.1
Bentuk umum masalah optimisasi nonlinear berkendala adalah :
Minimalkan ( )xf
dengan kendala ( ) migi ,,2,1untuk ,0 L=≤x
( ) ljh j ,,2,1untuk ,0 L==x
Dengan adalah fungsi-fungsi kontinu pada lm hhggf ,,,,, 11 KK nE , X adalah
subhimpunan dari nE dan nE∈x .
Definisi 2.6.2
Suatu vektor X∈x disebut penyelesaian layak masalah optimisasi nonlinear
berkendala jika memenuhi semua kendala.
Definisi 2.6.3
Himpunan dari semua penyelesaian layak disebut daerah layak.
Definisi 2.6.4
Titik layak adalah titik yang menjadi anggota daerah layak.
Definisi 2.6.5
Titik layak x disebut penyelesaian optimal jika ( ) ( )xx ff ≥ untuk setiap titik
layak . x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
G. Metode Newton
Metode Newton merupakan salah satu metode yang paling terkenal dan
sering digunakan dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan nonlinear. Metode
ini merupakan perkembangan dari metode Newton-Raphson dan metode Titik-
Tetap yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Syarat dalam
menyelesaikan sistem persamaan nonlinear dengan metode Newton adalah
sebagai berikut :
a. Sistem persamaan nonlinear yang dimaksud adalah sistem persamaan non-
linear yang terdiri dari n persamaan dan n variabel.
b. Semua fungsi yang terlibat dalam sistem persamaan nonlinear harus
terdiferensial.
Metode Newton adalah suatu algoritma iterasi fungsional yang
membangkitkan ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1111 FJ −−−− −= kkkk xxxx dengan dan adalah
matriks Jacobi dari sistem persamaan nonlinear. Metode Newton memiliki
konvergensi yang bersifat q-kuadratik dengan relasi kesalahan
1≥k ( )xJ
( ) ( )kk ee ≤+1
Metode Newton sangat populer karena bentuk iterasinya yang sederhana.
Metode Newton dapat juga digunakan untuk menyelesaikan masalah
optimisasi nonlinear tidak berkendala karena syarat dari optimisasi nonlinear
adalah gradien dari fungsi obyektifnya sama dengan nol yang berarti bahwa, ada n
turunan dari setiap n variabel dari fungsi obyektifnya sama dengan nol yang
merupakan sistem persamaan nonlinear.
Misalkan ada masalah optimisasi nonlinear tidak berkendala yakni :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Minimalkan ( )nxxxf ,,, 21 K
Selesaikan masalah optimisasi ini dengan menggunakan metode Newton.
Penyelesaian :
Dengan menggunakan syarat perlu bahwa, jika fungsi fungsi terdiferensial
maka syarat perlu tingkat pertama adalah
f
( ) 0x =∇f .
Sehingga dengan mencari gradien dari ( )nxxxf ,,, 21 K menghasilkan :
0
0
0
2
1
=∂∂
=∂∂
=∂∂
nxf
xfxf
M
(2.7.1)
Kumpulan semua persamaan yang ada di (2.7.1) berbentuk sistem persamaan
nonlinear. Kemudian setelah membentuk sistem persamaan nonlinear maka
masalah optimisasi tersebut dapat diselesaikan dengan metode Newton.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Diagram alir dari algoritma Metode Newton dalam menyelesaikan sistem
persamaan nonlinear.
start
Nilai awal (x)Tol.error (error)
Iterasi maksimum (N)k=1
while k<=N
y=-inv(jx)*fx
if norm(y)<tol x
x=x+y'k=k+1
end ya
tidak
fx=fungsi(x) jx=jacobian(x)
Gambar 2.7.1 Diagram alir algoritma metode newton
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR
Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode Fungsi Penalti Eksterior
dalam menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala. Tetapi dalam
pembahasan ini penulis akan menjelaskan terlebih dahulu tentang konsep fungsi
penalti dan interpretasi geometris fungsi penalti. Kemudian dilanjutkan mengenai
bentuk umum Fungsi Penalti Eksterior dan algoritma Metode Fungsi Penalti
Eksterior serta contoh masalah yang diselesaikan dengan metode Fungsi Penalti
Eksterior dan diimplementasikan dengan bahasa pemrograman Matlab. Dan yang
terakhir adalah konvergensi metode Fungsi Penalti Eksterior.
A. Konsep Fungsi Penalti
Salah satu cara untuk mengubah masalah optimisasi dengan kendala
menjadi masalah optimisasi tanpa kendala adalah dengan menambahkan fungsi
penalti pada fungsi obyektif yang pada beberapa metode, bergantung pada nilai
kendala-kendalanya. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal istilah penalti
terjadi karena adanya pelanggaran. Demikian juga dalam masalah optimisasi ini
fungsi penalti terjadi karena ada pelanggaran terhadap fungsi obyektif, yaitu
dengan menghilangkan kendala pada permasalahan itu. Fungsi penalti dapat juga
dipandang sebagai fungsi yang ditambahkan pada fungsi obyektif dengan
parameter penalti.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Metode dengan menggunakan fungsi penalti mentransformasikan masalah
dengan kendala ke dalam masalah tanpa kendala tunggal atau ke dalam barisan
masalah tanpa kendala. Kendala-kendala dibentuk ke dalam fungsi obyektif
melalui parameter penalti sedemikian hingga menghilangkan setiap hambatan-
hambatan dari kendala tersebut. Untuk membangun fungsi penalti perhatikan
masalah-masalah dibawah ini.
Contoh 3.1.1
Perhatikan masalah dengan kendala tunggal ( ) 0=xh , yaitu :
Minimalkan ( )xf
Dengan kendala ( ) 0=xh .
Misalkan masalah tersebut diubah menjadi masalah tanpa kendala :
Minimalkan ( ) ( )xx 2μhf +
Dengan nE∈x
0μ > suatu bilangan besar .
Secara intuitif dapat dilihat bahwa penyelesaian optimal dari masalah tersebut
haruslah mendekati nol, karena jika tidak maka suatu penalti besar
akan terjadi.
( )x2h
( )x2μh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Contoh 3.1.2
Perhatikan masalah dengan kendala pertidaksamaan tunggal ( ) 0≤xg yakni :
Minimalkan ( )xf
Dengan kendala ( ) 0≤xg .
Andaikan masalah di atas diubah menjadi masalah tanpa kendala seperti berikut :
Minimalkan ( ) ( )xx 2μgf +
Dengan nE∈x
0μ > suatu bilangan besar.
Maka dapat dilihat bahwa dengan bentuk ( ) ( )xx 2μgf + mengakibatkan terjadinya
penalti baik untuk ( ) ( ) 0atau 0 >< xx gg . Dalam masalah di atas suatu penalti
akan terjadi hanya jika titik adalah tidak layak, yaitu . Dengan
demikian pengandaian di atas salah dan masalah tanpa kendala yang sesuai adalah
x ( ) 0>xg
Minimalkan ( ) ( ){ }xx g0, maksμ +f
Dengan nE∈x
0μ > suatu bilangan besar.
Jika , maka maksimum ( ) 0≤xg ( ){ } 0,0 =xg , dan tidak ada penalti yang terjadi,
dan jika , maka maksimum ( ) 0>xg ( ){ } 0,0 >xg , dan bentuk penalti terjadi. ( )xgμ
Secara umum, fungsi penalti yang sesuai harus memiliki suatu penalti
positif untuk titik-titik tidak layak dan tidak ada penalti untuk titik layak. Jika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
kendala-kendala tersebut dalam bentuk ( ) 0≤xig untuk mi ,,1K= dan ( ) 0=xih
untuk maka fungsi penalti yang sesuai diberikan oleh : li ,,1K= α
( ) ( )[ ] ( )[∑∑==
Ψ+Φ=l
ii
m
ii hg
11α xxx ] (3.1.1)
dengan Φ dan adalah fungsi-fungsi kontinu yang memenuhi : Ψ
( ) ( )( ) ( ) 0 jika 0dan 0 jika 0
0 jika 0dan 0 jika 0≠>Ψ==Ψ>>Φ≤=Φ
yyyyyyyy
(3.1.2)
Secara khusus, dan Ψ berbentuk : Φ
( ) { }[ ]pyy ,0 maks =Φ
( ) pyy =Ψ
dengan p adalah bilangan bulat positif. Jadi fungsi penalti yang biasa
digunakan berbentuk
α
( ) ( ){ }[ ] ( )pl
ii
pm
ii hg ∑∑
==
+=11
,0 maks α xxx
Fungsi dinamakan fungsi tambahan. ( ) ( )xx μα+f
Contoh 3.1.3
Selesaikan masalah optimisasi berikut :
Minimalkan x
Dengan kendala 02 ≤+− x .
Misalkan ( ) ( ){[ ]2 ,0 maks α xgx i= } , maka :
( ) ( )⎩⎨⎧
<+−≥
=2 jika 22 jika 0
α 2 xxx
x .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Penyelesaian :
Misalkan masalah tersebut diubah menjadi masalah tanpa kendala :
Minimalkan ( )22μ +−+ xx (3.1.3)
Dengan Ex∈
0μ > suatu bilangan besar.
Selanjutnya penyelesaian optimal persamaan (3.1.3) dapat dicari dengan cara
mencari turunannya. Titik optimal akan dicapai ketika turunannya sama dengan
nol. Maka persamaan (3.1.3) setelah dicari turunannya menjadi:
( )( )12μ21 −+−+ x
( )( ) 112μ2 −=−+−⇔ x
( ) 12μ2 −=−⇔ x
μ212 −
=−⇔ x
μ212−=⇔ x
Nilai optimal x dapat dicari dengan cara mencari limitnya untuk μ yang
mendekati , yaitu ∞
2μ212 lim
μ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∞→.
Selanjutnya penyelesaian masalah (3.1.3) dapat ditunjukkan dengan grafik di
bawah ini :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
αμ 2 5.0μ1 =
5.1μ 2 = α
αμ1
Gambar 3.1.1 Grafik Penalti
αμ 2+f
αμ1+f
Gambar 3.1.2 Grafik Fungsi Tambahan
Contoh 3.1.4
Selesaikan masalah optimisasi berikut:
Minimalkan 22
21 xx +
Dengan kendala 0121 =−+ xx .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Penyelesaian :
Perhatikan masalah penalti berikut, dengan suatu bilangan besar 0μ >
Minimalkan ( )2212
22
1 1μ −+++ xxxx
Dengan kendala ( ) 221, Exx ∈ .
Perhatikan bahwa untuk sembarang , fungsi obyektif konveks. Jadi syarat
perlu dan cukup untuk optimalitas adalah gradien dari
sama dengan nol yang menghasilkan :
0μ ≥
( 221
22
21 1μ −+++ xxxx )
( ) 01μ 211 =−++ xxx
0μμμ 211 =−++⇔ xxx (3.1.4)
dan
( )212 μ xxx ++
(3.1.5)
Persamaan (3.1.4) dan (3.1.5) diselesaikan dengan menggunakan metode Gauss
Jordan menjadi :
2
121
Bμ21μ1
μBBB
μ11
μ1μ
μ1μ210
μ1μ
μ1μ1
μμ1μμ1
μμ1
μ1μμ1μμμμ1
++
−
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
++⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
+++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
+−
μ21μ10
μ21μ01
μ21μ10
μ1μ
μ1μ1
21 Bμ1μB
Ditulis ke dalam bentuk persamaan menjadi :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
μ21μ
1 +=x
μ21μ
2 +=x
Jadi diperoleh :
μ21μ
21 +== xx .
Selanjutnya nilai dari dan dapat dicari dengan cara mencari nilai limitnya
untuk , yaitu
1x 2x
∞→μ
μ21μ
lim μ +∞→
sehingga diperoleh
21
21 == xx .
Jadi penyelesaian optimal dari masalah penalti dapat dibuat sedekat-dekatnya
dengan penyelesaian dari masalah asli dengan menentukan cukup besar. μ
B. Interpretasi Geometris Fungsi Penalti
Untuk menggambarkan fungsi penalti secara geometri, digunakan contoh
3.1.4. Misalkan bahwa kendala ( ) 0=xh dipertubasi sedemikian sehingga
( ) ε=xh yaitu ε=−+ 121 xx . Misalkan ( )εv merupakan fungsi objektif maka akan
diperoleh masalah berikut :
( ) ≡εv Minimalkan 22
21 xx +
Dengan kendala ε=−+ 121 xx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Perhatikan kendala ε=−+ 121 xx , dapat diganti menjadi 12 1 xx −+= ε .
Selanjutnya subsitusikan ke dalam fungsi obyektif sehingga menjadi : 2x
( )212
1 1 xx −++ ε (3.2.1)
Nilai optimal akan dicapai ketika turunannya sama dengan nol, maka fungsi pada
(3.2.1) setelah dicari turunannya dapat ditulis sebagai :
( )( ) 01122 11 =−−++ xx ε
( ) 0122 11 =−+−⇔ xx ε
02222 11 =+−−⇔ xx ε
0224 1 =−− εx .
Masing-masing ruas dibagi dengan 2 menjadi :
012 1 =−− εx
ε+=⇔ 12 1x
21
1ε+
=⇔ x .
Subsitusikan ke dalam persamaan kendala sehingga menjadi : 1x
εε=−+
+ 12
12x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−+=⇔2
112εεx
2122
2εε −−+
=⇔ x
21
2ε+
=⇔x .
Jadi diperoleh nilai optimal yaitu :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
21
21ε+
== xx
dan mempunyai nilai obyektif :
( )2
1 2ε+ .
Oleh karena itu, untuk sembarang ε yang diberikan, supremum dari
dengan kendala
22
21 xx +
ε=−+ 121 xx sama dengan ∞ . Oleh karena itu, jika diberikan
sembarang titik ( ) di 21, xx 2E dengan ε=−+ 121 xx , nilai obyektifnya berada
pada interval ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∞
+ ,2
1 2ε . Dengan kata lain, nilai obyektif dari semua x di 2E
yang memenuhi ( ) ε=xh , terletak diantara ( )2
1 2ε+ dan ∞ .
Titik layak untuk masalah primal ( )xf2E
Pemetaan ( )fh,x ( ) ( )[ ]xx fh .
Batas bawah terbesar parabola ( )εv
Penyelesaian optimal untuk masalah penalti dengan parameter μμ ' >
Penyelesaian optimal untuk masalah primal
( ) ε=xh με
Penyelesaian optimal untuk
masalah penalti dengan parameter μ
( ) ( )[ ]μμ . xx fh
2μhf +
2'μ hf +
Gambar 3.2.1 Geometri fungsi penalti pada ruang (h,f)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Secara khusus, himpunan ( ) ( )[ ]{ }2:, Efh ∈xxx ditunjukkan pada gambar
3.2.1 Batas bawah dari himpunan ini dinyatakan oleh parabola
( ) ( ) ( )εε vh≡
+=
+2
12
1 22
. Untuk suatu nilai tertentu , masalah penalti adalah
meminimalkan
0μ >
( ) ( )xx 2μhf + dengan 2E∈x . Kontur dari
diilustrasikan dalam ruang khf =+ 2μ ( )fh, yang ditunjukkan dalam gambar
3.2.1 dengan parabola putus-putus. Irisan dari parabola tersebut dengan sumbu
sama dengan . Jadi jika diminimalkan, maka parabola tersebut harus
digeser mengarah ke bawah sebanyak mungkin, sedemikian sehingga parabola
tersebut masih mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang sama dengan
himpunan yang diarsir. Proses ini dilanjutkan sampai parabola tersebut
menyinggung himpunan yang diarsir, seperti ditunjukkan pada gambar 3.2.1. Hal
ini berarti bahwa untuk nilai yang diberikan, nilai optimum dari masalah
penalti merupakan perpotongan parabola pada sumbu . Perhatikan bahwa
penyelesaian optimal masalah penalti sedikit tidak layak dari masalah asli, karena
di titik singgung. Selanjutnya, nilai obyektif optimal dari masalah penalti
adalah sedikit lebih kecil dari nilai obyektif optimal primal. Dan perhatikan juga
bahwa jika nilai μ bertambah, parabola menjadi makin curam, dan titik
singgung mendekati penyelesaian optimal sebenarnya dari masalah asli.
f k 2μhf +
μ
f
0≠h
2μhf +
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
C. Metode Fungsi Penalti Eksterior
Metode Fungsi Penalti Eksterior adalah metode yang digunakan untuk
menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala menjadi masalah tidak
berkendala dengan menambahkan fungsi penalti dan parameter penalti pada
fungsi obyektifnya. Proses pencarian penyelesaian optimal dimulai dari luar
daerah layak, oleh karena itu disebut metode Fungsi Penalti Eksterior. Kendala-
kendala akan ditambahkan pada fungsi obyektif dengan parameter penalti.
1. Bentuk Umum Fungsi Penalti Eksterior
Fungsi Penalti Eksterior merupakan bentuk fungsi tambahan yakni, fungsi
obyektif ditambah fungsi penalti. Misalkan fungsi merupakan fungsi tambahan,
dan merupakan fungsi obyektif, maka dengan mengambil : ( )xf
( ) ( ){ }[ ] ( )pl
ii
pm
ii hg ∑∑
==
+=11
,0 maks α xxx
didapatkan fungsi tambahan
( ) ( ){ }[ ] ( )pl
iik
pm
iik hgfz ∑∑
==
++=11
μ ,0 maks μ xxx
yang disebut sebagai Fungsi Penalti Eksterior.
Jadi bentuk umum masalah Fungsi Penalti Eksterior adalah :
Minimalkan
( ) ( ){ }[ ] ( )pl
iik
pm
iik hgfz ∑∑
==
++=11
μ ,0 maks μ xxx .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Contoh 3.3.1
Ubalah masalah berikut menjadi masalah Fungsi Penalti Eksterior :
Minimalkan ( ) ( ) 23
121 131, xxxxf ++= (3.3.1)
Dengan kendala 01 1 ≤− x
02 ≤− x .
Penyelesaian :
Pertama akan dibentuk fungsi penalti dari masalah (3.3.1) yaitu
( ) ( )[ ] ( )[ ]222
1 ,0 maks1 ,0 maksα xx −+−=x
kemudian di bentuk fungsi ( ) ( )xx αμ kfz += , menjadi
( ) ( )[ ] ( )[ ]222
123
1 ,0 maksμ1 ,0 maksμ131 xxxxz kk −+−+++=
Maka masalah (3.3.1) dapat dibentuk menjadi masalah Fungsi Penalti Eksterior
yakni
Minimalkan ( ) ( )[ ] ( )[ ]222
123
1 ,0 maksμ1 ,0 maksμ131 xxxxz kk −+−+++= .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
2. Algoritma Metode Fungsi Penalti Eksterior
Berikut akan diberikan algoritma dari metode Fungsi Penalti Eksterior
untuk menyelesaikan masalah
Minimalkan ( )xf
Dengan kendala ( ) 0g ≤x
( ) 0h =x
dan X∈x
1. Tentukan titik awal , parameter penalti , skalar penalti , 1x 0μ1 > 1β >
0>ε dan . 1=k
2. Bentuk fungsi obyektif untuk masalah optimisasi tidak berkendala
( ) ( )xx αμ kfz += , dengan
( ) ( ){ }[ ] ( )pl
ii
pm
ii hg ∑∑
==
+=11
,0 maks α xxx
3. Tentukan penyelesaian dari masalah minimalkan , yakni . z k*x
4. Jika ( ) ε<xαμ k langkah dihentikan dan diperoleh . Jika tidak,
lanjutkan ke langkah 2 dengan
k*x
kk βμμ 1 =+ .
Perhatikan langkah 3, bahwa ketika masalah optimisasi nonlinear
berkendala setelah diubah menjadi masalah optimisasi nonlinear tidak berkendala
dengan metode Fungsi Penalti Eksterior maka penyelesaian dari masalah
minimalkan , yakni dapat diselesaikan dengan metode Newton. z k*x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Diagram alir dari algoritma metode Fungsi Penalti Eksterior dalam
menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala
Mulai
Tentukan titik awal , 1x0>ε parameter penalti
0μ1 > , skalar β dan 1> 1=k
Gambar 3.3.1 Diagram alir algoritma metode Fungsi Penalti Eksterior
Bentuk fungsi ( ) ( )xx αμ kfz +=
dengan
( ) ( ){ }[ ] ( )pl
ii
pm
ii hg ∑∑
==
+=11
,0 maks xxxα
Tentukan penyelesaian dari masalah minimalkan
yakni x
z
k*
kk βμμ 1 =+
YASelesai
TIDAK
( ) ε<xαμ k
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Dalam menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala dengan
metode Fungsi Penalti Eksterior ditemukan dua kasus yakni, kasus umum dan
kasus khusus. Kasus umum adalah masalah yang dalam penyelesaiannya
memerlukan titik awal, sedangkan kasus khusus adalah masalah yang dalam
penyelesaiannya tidak memerlukan titik awal.
Berikut ini akan diberikan beberapa contoh kasus umum dan kasus khusus
masalah optimisasi nonlinear berkendala yang diselesaikan dengan metode Fungsi
Penalti Eksterior.
Contoh 3.3.2
Selesaikan masalah berikut :
Minimalkan ( ) ( ) 23
121 131, xxxxf ++= (3.3.2)
Dengan kendala 01 1 ≤− x (3.3.3)
02 ≤− x (3.3.4)
Penyelesaian :
ITERASI 1
Langkah 1
Menentukan , skalar 001.0μ1 = 10β = , 00001.0=ε dan 1=k .
Langkah 2
Bentuk fungsi ( ) ( )xx α 001.0+= fz
dimana ( ) ( )[ ] ( )[ ]222
1 ,0 maks1 ,0 maksα xx −+−=x .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Langkah 3
Menentukan penyelesaian dari masalah
Minimalkan
( ) ( )[ ] ([ 22
212
31 ,0 maksμ1 ,0 maksμ1
31 xxxxz kk −+−+++= )] (3.3.5)
Penyelesaian dimulai dari mencari turunan parsial terhadap dan yaitu : 1x 2x
( ) ([ 12
11
1 ,0 maks21 xxxz
k −−+=∂∂ μ )] (3.3.6)
dan
([ 22
,0 maksμ21 xxz
k −−=∂∂ )] (3.3.7)
Perhatikan persamaan (3.3.6) :
i.) Jika maka ( ) 01 ,0 maks 1 =− x ( )211
1+=∂∂ xxz
ii.) Jika ( ) 11 11 ,0 maks xx −=− maka ( ) ( 12
11
1μ21 xxxz
k −−+=∂
)∂
Sehingga persamaan (3.3.6) dapat ditulis sebagai :
( ) ( ) ( )[ ]12
12
1 1μ21,1min xxx k −−++ (3.3.8)
Jika , maka didapatkan 0min = ( ) 01 21 =+x , sehingga diperoleh . Kondisi
ini tidak mungkin karena tidak memenuhi kendala pada persamaan (3.3.4).
Selanjutnya jika
11 −=x
( ) ( )12
1 1μ21min xx k −−+= , maka
( ) ( )12
1 1μ21 xx k −−+
0μ2μ212 112
1 =+−++⇔ xxx kk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
( ) 01μ2μ2212
1 =+−++⇔ kkxx
21
k1 μ41μ μ1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−−=⇔
kkx .
Jadi 21
1*
μ41μμ1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−−=
kkkx (3.3.9)
Dari persamaan (3.3.7) :
i). Jika maka ( ) 0 ,0 maks 2 =− x 12
=∂∂xz
ii). Jika maka ( ) 22 ,0 maks xx −=− 22
μ21 xxz
k+=∂∂
Sehingga persamaan (3.3.7) dapat ditulis sebagai :
([ 2μ21,1min xk+ )] (3.3.10)
persamaan (3.3.10) hanya mempunyai satu kemungkinan yaitu : ,
maka
0μ21 2 =+ xk
k
xμ21
2−
= .
Jad k
xμ21
2* −= (3.3.11)
Langkah 4
Berdasarkan persamaan (3.3.9), (3.3.11), (3.3.5) dan (3.3.2) diperoleh :
93775.01* −=x
5002* −=x
99616.249−=z
500−=f
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Karena ( ) ε>1*
1αμ x maka tetapkan 01.0βμμ 12 == dan lanjutkan ke iterasi
berikutnya.
ITERASI 2
Langkah 2
Bentuk fungsi dengan z 12 βμμ = , yakni ( ) ( )xx α 01.0+= fz .
Langkah 3
Menentukan penyelesaian dari masalah meminimalkan seperti pada langkah 3,
iterasi pertama.
z
Langkah 4
Berdasarkan persamaan (3.3.9), (3.3.11), (3.3.5) dan (3.3.2) diperoleh :
80975.01* −=x
502* −=x
96495.24−=z
99770.49−=f
( ) 03275.25αμ 2*
2 =x .
Karena ( )2*
2μ xα maka tetapkan 1.0βμμ 23 == dan lanjutkan ke iterasi
berikutnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
ITERASI 3
Langkah 2
Bentuk fungsi dengan z 23 βμμ = , yaitu ( ) ( )xx α 1.0+= fz
Langkah 3
Menentukan penyelesaian dari masalah meminimalkan seperti pada langkah 3,
iterasi pertama.
z
Langkah 4
Berdasarkan persamaan (3.3.9), (3.3.11), (3.3.5) dan (3.3.2) diperoleh :
45969.01* −=x
52* −=x
23435.2−=z
94742.4−=f
Karena ( ) 71307.2αμ 3*
3 =x maka tetapkan 1βμμ 34 == dan lanjutkan ke iterasi
berikutnya.
Dan seterusnya dilakukan iterasi sampai pada ( ) ε<kk*αμ x , maka iterasi
dihentikan dan penyelesaian optimal diperoleh. Berikut akan diberikan tabel
penyelesaian contoh 3.3.2 dengan program Matlab :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Tabel 3.3.1 Output penyelesaian contoh 3.3.2 dengan Matlab
====================================================================== Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua ====================================================================== 1 0.001 -0.93775 -500.00000 -499.99992 -249.99616 250000.00375 2 0.010 -0.80975 -50.00000 -49.99770 -24.96495 2500.03275 3 0.100 -0.45969 -5.00000 -4.94742 -2.23435 25.21307 4 1.000 0.23607 -0.50000 0.12951 0.96311 0.83359 5 10.000 0.83216 -0.05000 2.00007 2.30677 0.28420 6 100.000 0.98039 -0.00500 2.58399 2.62495 0.03848 7 1000.000 0.99800 -0.00050 2.65819 2.66242 0.00398 8 10000.000 0.99980 -0.00005 2.66582 2.66624 0.00040 9 100000.000 0.99998 -0.00001 2.66658 2.66662 0.00004 10 1000000.000 1.00000 -0.00000 2.66666 2.66666 0.00000
Jadi penyelesaian optimal masalah 3.3.2 adalah 11 =x dan , yang
menyebabkan nilai minimum pada .
02 =x
f 66666.2
Contoh 3.3.3
Selesaikan masalah berikut :
Minimalkan ( ) 844, 212
22
121 +−−+= xxxxxxf (3.3.12)
Dengan kendala 042 21 =−+ xx (3.3.13)
Penyelesaian :
ITERASI 1
Langkah 1
Menentukan , skalar 001.0μ1 = 10β = , 00001.0=ε dan 1=k .
Langkah 2
Bentuk fungsi ( ) ( )xx α 001.0+= fz
dimana . ( ) ( )221 42α −+= xxx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Langkah 3
Menentukan penyelesaian dari masalah
Minimalkan ( )221212
22
1 42μ844 −+++−−+= xxxxxxz k (3.3.14)
Penyelesaian dimulai dari mencari turunan parsial terhadap dan yaitu : 1x 2x
( 42μ242 2111
−++−=∂∂ xxxxz
k ) (3.3.15)
dan
( 42μ442 2122
−++−=∂∂ xxxxz
k ) . (3.3.16)
Persamaan (3.3.15) dan persamaan (3.3.16) dapat ditulis ke dalam bentuk :
( ) 04μ8μ4μ22 21 =−−++ kkk xx (3.3.17)
dan
( ) 04μ16μ82μ4 21 =−−++ kkk xx (3.3.18)
Sehingga persamaan (3.3.17) dan (3.3.18) diselesaikan dengan metode Gauss
Jordan menjadi :
12 Bμ4B
μ221
4μ16μ82μ4μ22
4μ8μ22
μ414μ16μ82μ44μ8μ4μ22
k
k
kkk
k
k
k
k
kkk
kkk
−
+
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
++++
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
kμ22
μ4BB4μ20
μ2222
4μ208μ2410
μ224μ8
μ22μ41
μ228μ24
μ224μ200
μ224μ8
μ22μ41
+−
++
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
++
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
++
++
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
4μ208μ2410
4μ208μ3201
k
k
k
k
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Ditulis ke dalam persamaan menjadi :
4μ208μ32
1 ++
=k
kx
4μ208μ24
2 ++
=k
kx
Maka :
4μ208μ32
1*
++
=k
kx
4μ208μ24
2*
++
=k
kx
Langkah 4
Berdasarkan persamaan (3.3.19), (3.3.20), (3.3.14) dan (3.3.12) diperoleh :
99801.11* =x
99602.12* =x
00398.0=z
00002.0=f
( ) 00396.0α μ 1*
1 =x
Karena ( ) ε>1*
1 α μ x maka tetapkan 01.0βμμ 12 == dan lanjutkan ke iterasi
berikutnya.
ITERASI 2
Langkah 2
Bentuk fungsi dengan z 12 βμμ = , yakni ( ) ( )xx α 01.0+= fz
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Langkah 3
Menentukan penyelesaian dari masalah meminimalkan seperti pada langkah 3,
iterasi pertama.
z
Langkah 4
Berdasarkan persamaan (3.3.19), (3.3.20), (3.3.14) dan (3.3.12) diperoleh :
98095.11* =x
96190.12* =x
03810.0=z
00181.0=f
( ) 00396.0αμ 2*
2 =x .
Karena ( )3*
2 α μ x maka tetapkan 1.0βμμ 23 == dan lanjutkan ke iterasi
berikutnya.
ITERASI 3
Langkah 2
Bentuk fungsi dengan z 23 βμμ = , yaitu ( ) ( )xx α 1.0+= fz
Langkah 3
Menentukan penyelesaian dari masalah meminimalkan seperti pada langkah 3,
iterasi pertama.
z
Langkah 4
Berdasarkan persamaan (3.3.19), (3.3.20), (3.3.14) dan (3.3.12) diperoleh :
86667.11* =x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
73333.12* =x
26667.0=z
08889.0=f
( ) 17778.0α μ 3*
3 =x
Karena ( ) ε>3*
3 α μ x maka tetapkan 1βμμ 34 == dan lanjutkan ke iterasi
berikutnya.
Dan seterusnya dilakukan iterasi sampai pada ( ) ε<kk*αμ x , maka iterasi
dihentikan dan penyelesaian optimal diperoleh. Berikut akan diberikan tabel
penyelesaian contoh 3.3.3 dengan menggunakan program Matlab :
Tabel 3.3.2 Output penyelesaian contoh 3.3.3 dengan Matlab
====================================================================== Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua ====================================================================== 1 0.001 1.99801 1.99602 0.00002 0.00398 0.00396 2 0.010 1.98095 1.96190 0.00181 0.03810 0.03628 3 0.100 1.86667 1.73333 0.08889 0.26667 0.17778 4 1.000 1.66667 1.33333 0.55556 0.66667 0.11111 5 10.000 1.60784 1.21569 0.76894 0.78431 0.01538 6 100.000 1.60080 1.20160 0.79681 0.79840 0.00159 7 1000.000 1.60008 1.20016 0.79968 0.79984 0.00016 8 10000.000 1.60001 1.20002 0.79997 0.79998 0.00002 9 100000.000 1.60000 1.20000 0.80000 0.80000 0.00000
Maka penyelesaian optimal masalah 3.3.3 adalah 6.11 =x dan , yang
menyebabkan nilai minimum pada .
2.12 =x
f 8.0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Contoh 3.3.4
Selesaikan masalah berikut :
Minimalkan ( ) 22
2121, xxxxf +=
Dengan kendala 022 21 ≤−+ xx
012 =+− x
Penyelesaian :
Tahap awal adalah menentukan titik awal yakni ( )6,21 =x , , ,
dan . Kemudian dilanjutkan dengan membentuk masalah berkendala
dari contoh 3.3.4 menjadi masalah tidak berkendala dengan menggunakan metode
Fungsi Penalti Eksterior yakni,
1μ1 = 10β =
810−=ε 1=k
( ) ( )( )[ ] ( )222
212
22
1 1μ22,0 maksμ +−+−+++= xxxxxz kk .
Tahap selanjutnya adalah mencari penyelesaian dari masalah minimalkan ,
yakni dengan menggunakan metode Newton. Penyelesaian dari contoh 3.3.4
dengan menggunakan program Matlab dapat diperlihatkan sebagai berikut :
z
k*x
Tabel 3.3.3 Output penyelesaian contoh 3.3.4 dengan Matlab
====================================================================== Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua ====================================================================== 1 1 2.000000 6.000000 40.000000 129.000000 89.000000 2 10 0.545455 0.636364 0.702479 2.024793 1.322314 3 100 0.390456 0.926839 1.011486 1.546741 0.535255 4 1000 0.357049 0.991867 1.111283 1.177436 0.066153 5 10000 0.353305 0.999177 1.123180 1.129946 0.006765 6 100000 0.352926 0.999918 1.124392 1.125070 0.000678 7 1000000 0.352888 0.999992 1.124514 1.124582 0.000068 8 10000000 0.352885 0.999999 1.124526 1.124533 0.000007 9 100000000 0.352884 1.000000 1.124527 1.124528 0.000001 10 1000000000 0.352884 1.000000 1.124527 1.124527 0.000000 ======================================================================
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Maka penyelesaian optimal masalah 3.3.4 adalah 352884.01 =x dan , yang
membuat nilai minimum pada .
12 =x
f 124527.1
Masalah optimisasi pada contoh 3.3.4 adalah kasus umum yakni yang
memerlukan titik awal. Dalam tabel penyelesaiannya dapat dilihat bahwa metode
Fungsi penalti Eksterior konvergen ke penyelesaian yang sebenarnya. Akan tetapi
dalam kasus umum masalah optimisasi yang diselesaikan dengan metode Fungsi
Penalti Eksterior tidak selalu mudah menentukan nilai awal , apabila nilai awal
dipilih sangat besar maka akan mengakibatkan penyelesaian tidak optimal.
Sebagai perbandingannya akan diberikan contoh nilai awal yang sangat besar
yang tidak menghasilkan penyelesaian yang optimal yakni
μ
μ
μ
100000μ1 = .
Hasil penyelesaian dengan Metode Fungsi penalti Eksterior :
======================================================================
Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua
======================================================================
1 100000 2.000000 6.000000 40.000000 8900040.000000 8900000.000000
2 1000000 0.500002 0.999993 1.249988 1.250044 0.000056
3 10000000 0.499999 0.999999 1.249997 1.250003 0.000006
4 100000000 0.499999 1.000000 1.249998 1.249999 0.000001
5 1000000000 0.499999 1.000000 1.249999 1 .249999 0.000000
Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa dengan suatu nilai awal μ yang sangat besar
proses optimisasi dapat terhenti pada waktu yang seharusnya belum terhenti,
karena sekalipun penyelesaiannya konvergen tetapi titik layak yang dihasilkan
bukanlah titik optimal, sehingga penyelesaiannya bukanlah penyelesaian optimal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Metode Fungsi Penalti Eksterior memiliki kelebihan dan kekurangan.
Kelebihan dari metode Fungsi Penalti Eksterior adalah masalah optimisasi
berkendala menjadi mudah diselesaikan karena metode Fungsi Penalti Eksterior
mengubah masalah optimisasi berkendala tersebut menjadi masalah optimisasi
tidak berkendala. Sedangkan kekurangan dari metode Fungsi Penalti Eksterior
adalah pada kasus umum masalah optimisasi nonlinear yakni masalah yang
memerlukan titik awal, dalam pemilihan yang sangat besar akan mengakibatkan
kesulitan perhitungan artinya bahwa proses optimisasi dapat terhenti pada waktu
yang seharusnya belum berhenti. Dengan suatu nilai yang sangat besar pada
umumnya prosedur optimisasi tidak berkendala akan bergerak cepat menuju titik
layak sekalipun titik ini mungkin jauh dari titik optimal.
D. Konvergensi Metode Fungsi Penalti Eksterior
Untuk membuktikan konvergensi dari algoritma metode Fungsi Penalti
Eksterior, terlebih dahulu dibentuk fungsi tambahan sama yakni :
( ) ( ) ( ){ }[ ]pm
iikk gfz ∑
=
+==1
,0 maks μμ, xxxφ
( ) ( )[ ]xx gμ Gf k+=
dengan p bilangan bulat positif dan parameter penalti. kμ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Lemma 3.4.1
Jika ( ) ( ) ( )[ xxx gμμ, Gf kk + ]=φ (3.4.1)
Maka relasi-relasi berikut akan benar untuk setiap 1μμ0 +<< kk :
(i) ( ) ( )11** μ,μ, ++≤ kkkk xx φφ
(ii) ( )[ ] ( )[ ]1** gg +≥ kk GG xx
(iii) ( ) ( )1**
+≤ kk ff xx
(iv) ( ) ( ) ( )kk ff *** μ, xxx ≥≥φ .
Bukti :
(i) Karena dan 1μμ +≤ kk ( )[ ] 0g ≥xG maka
( )[ ] ( )[ ]1*
11* gμgμ +++ ≤ kkkk GG xx
Sehingga
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1*
11*
1*
1* gμgμ +++++ +≤+ kkkkkk GfGf xxxx
( )1,1* μ ++= kkxφ
Selanjutnya, karena meminimalkan k*x ( )kμ,xφ , maka :
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1*
1**** gμgμμ, ++ +≤+= kkkkkkkk GfGf xxxxxφ
( )1,1* μ ++≤ kkxφ (3.4.2)
Jadi terbukti bahwa ( ) ( )11** μ,μ, ++≤ kkkk xx φφ .
(ii) Karena dan masing-masing meminimalkan k*x 1
*+kx ( )kμ,xφ dan ( )1μ, +kxφ
maka dapat ditulis :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1*
1*** gμgμ ++ +≤+ kkkkkk GfGf xxxx (3.4.3)
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]kkkkkk GfGf *1
*1
*11 gμgμ xxxx ++++ +≤+ (3.4.4)
Dengan menjumlahkan persamaan (3.4.3) dan (3.4.4) akan diperoleh :
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]kkkkkkkk GGGG *11
*1
*1
* gμgμgμgμ xxxx ++++ +≤+
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]1*
1*
11** gμgμgμgμ ++++ −≤−⇔ kkkkkkkk GGGG xxxx
( )[ ] ( )[ ]{ } ( )[ ] ( )[ ]{ }1**
11** ggμggμ +++ −≤−⇔ kkkkkk GGGG xxxx (3.4.5)
Tetapi karena , maka pertidaksamaan (3.4.5) akan berlaku jika : 1μμ +≤ kk
( )[ ] ( )[ ] 0gg 1** ≥− +kk GG xx atau ( )[ ] ( )[ ]1
** gg +≥ kk GG xx .
Jadi terbukti bahwa ( )[ ] ( )[ ]1** gg +≥ kk GG xx .
(iii) Dari pertidaksamaan (3.4.2) diperoleh :
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }kkkkk gGgGff *1
*1
** μ xxxx −≤− ++ (3.4.6)
Karena ( )[ ] ( )[ ]kk GG *1
* gg xx ≤+ dan , maka pertidaksamaan (3.4.6)
memberikan
0μ >k
( ) ( )1**
+≤ kk ff xx .
(iv) Karena meminimalkan k*x ( )kμ,xφ , maka :
( ) ( )[ ] ( )kkkGf μ,gμ *** xxx φ≥+ (3.4.7)
Sedangkan ( ) ( ) ( )[ ]kkkkk Gf *** gμμ, xxx +=φ maka pertidaksamaan (3.4.7)
dapat dibentuk menjadi :
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]kkkkk GfGf **** gμgμ xxxx +≥+
Karena adalah minimum untuk masalah optimisasi berkendala, maka *x
( )[ ] 0g * =xG . Sehingga :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
( ) ( ) ( )[ ]kkk Gff *** gμ xxx +≥
Karena ( )[ ] 0* ≥kgG x dan mengakibatkan : 0μ ≥k
( ) ( ) ( )kkk ff *** μ, xxx ≥≥φ .
Teorema 3.4.2
Jika barisan naik dari nilai-nilai meminimalkan fungsi kμ ( )kμ,xφ yang diberikan
pada persamaan (3.4.1), maka , yakni pembuat minimum fungsi obyektif pada
masalah berkendala akan konvergen ke penyelesaian optimal
k*x
( )*x masalah
berkendala untuk . ∞→kμ
Bukti :
Misalkan penyelesaian optimal masalah berkendala, maka akan ditunjukkan
bahwa :
*x
( ){ } ( ) ( )**
μμ,min lim
k
xxx fkk ==∞→
φφ
Karena kontinu dan ( )xf ( ) ( )xx ff ≤* untuk setiap titik layak , maka dapat
dipilih titik layak
x
x sedemikian sehingga :
( ) ( )2
* ε+< xx ff , (3.4.8)
untuk sembarang nilai 0>ε .
Selanjutnya, pilih k yang sesuai yang disebut 1+k , sedemikian sehingga :
( )[ ]⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<xg
2μGk
ε
. (3.4.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Dari Lemma 3.4.1 bagian (iv) diketahui bahwa
( ) ( ) ( )*** μ, xxx ff kkk ≤≤φ , (3.4.10)
sedangkan berdasarkan Lemma 3.4.1 bagian (i) diperoleh
( ) ( )11** μ,μ, ++≤ kkkk xx φφ . (3.4.11)
Tetapi karena meminimalkan 1*
+kx ( )1μ, +kxφ maka :
( ) ( )1* μ,μ, +≤ kkk xx φφ (3.4.12)
Sehingga dengan mengkombinasikan pertidaksamaan (3.4.10), (3.4.11) dan
(3.4.12) diperoleh
( ) ( ) ( )1** μ,μ, +≤≤ kkkkf xxx φφ (3.4.13)
Karena
( ) ( ) ( )[ ]xxx gμμ, 11 Gf kk ++ +=φ
maka pertidaksamaan (3.4.13) menjadi
( ) ( ) ( ) ( )[ ]xxxx gμμ, 1** Gff kkkk ++≤≤φ
Pertidaksamaan (3.4.9) memberikan
( )[ ]2
gμ 1ε
<+ xGk (3.4.15)
Berdasarkan pertidaksamaan (3.4.8) dan (3.4.15) maka pertidaksamaan (3.4.14)
menjadi :
( ) ( ) ( ) ( ) εεεφ +=++<≤ ****
22μ, xxxx fff kkk
atau
( ) ( ) εφ <− ** μ, xx fkk . (3.4.16)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Untuk setiap 0>ε dapat dipilih suatu nilai k untuk memenuhi pertidaksamaan
(3.4.16) sedemikian sehingga untuk ( )∞→∞→ μ kk , diperoleh :
( ) ( )**
μμ, lim
k
xx fkk =∞→φ .
Dari Teorema 3.4.2 di atas, dinyatakan bahwa penyelesaian optimal
dari masalah berkendala dapat dibuat sedekat-dekatnya dengan daerah layak
dengan memilih μ cukup besar. Titik-titik optimal
*x
{ }*x umumnya tidak layak.
Tetapi sebagaimana ditunjukan oleh bukti Teorema 3.4.2, jika parameter penalti
dibuat besar, titik-titik tersebut akan mendekati penyelesaian optimal dari arah
luar daerah layak.
μ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan uraian dari bab-bab sebelumnya, maka dapat disimpulkan
beberapa hal berikut ini :
Metode fungsi penalti adalah metode yang digunakan untuk
mentransformasikan masalah optimisasi nonlinear berkendala menjadi masalah
tidak berkendala. Metode fungsi penalti sendiri terdiri atas dua metode yaitu
metode fungsi penalti eksterior dan interior. Bentuk umum dari masalah fungsi
penalti eksterior adalah :
Minimalkan ( ) ( )xx α μ kfz +=
dengan
( ) ( ){ }[ ] ( )pl
ii
pm
ii h∑∑
==
+=11
g,0 maks α xxx
merupakan parameter penalti, kμ ( ) ( ) dan xx ii hg adalah fungsi-fungsi kendala.
Titik optimal tercapai bila nilai fungsi konvergen ke fungsi dengan
mendekati tak hingga dan
z ( )xf kμ
( )xα mendekati nol. Proses pencarian penyelesaian
optimal dengan metode fungsi penalti eksterior dimulai dari daerah tidak layak.
Untuk meminimalkan fungsi dalam penulisan ini digunakan metode Newton.
Dalam menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala dengan
metode Fungsi Penalti Eksterior ditemukan dua kasus yakni, kasus umum dan
kasus khusus. Kasus umum adalah masalah yang dalam penyelesaiannya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
memerlukan titik awal, sedangkan kasus khusus adalah masalah yang dalam
penyelesaiannya tidak memerlukan titik awal.
Metode Fungsi Penalti Eksterior memiliki kelebihan dan kekurangan.
Kelebihan dari metode Fungsi Penalti Eksterior adalah masalah optimisasi
berkendala menjadi mudah diselesaikan karena metode Fungsi Penalti Eksterior
mengubah masalah optimisasi berkendala tersebut menjadi masalah optimisasi
tidak berkendala. Sedangkan kekurangan dari metode Fungsi Penalti Eksterior
adalah pada kasus umum masalah optimisasi nonlinear yakni masalah yang
memerlukan titik awal, dalam pemilihan yang sangat besar akan mengakibatkan
kesulitan perhitungan artinya bahwa proses optimisasi dapat terhenti pada waktu
yang seharusnya belum berhenti. Dengan suatu nilai yang sangat besar pada
umumnya prosedur optimisasi tidak berkendala akan bergerak cepat menuju titik
layak sekalipun titik ini mungkin jauh dari titik optimal.
B. Saran
Metode newton bukan satu-satunya metode yang dapat digunakan dalam
menyelesaikan masalah meminimalkan , tetapi masih ada metode-metode tidak
berkendala lainnya seperti metode Turun-tercuram, metode Davidon dan beberapa
metode lainnya.
z
Metode Fungsi Penalti tidak hanya metode Fungsi Penalti Eksterior akan
tetapi masih ada metode Fungsi Penalti Interior yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
DAFTAR PUSTAKA
Anggi, M. N. (2007). Penyelesaian Sistem Persamaan Non-linear dengan Metode Newton dan Terapannya. Skripsi. Yogyakarta : FST USD.
Anton, H and Rorres, C (2004). Aljabar Linear Elementer, Versi Aplikasi (Terjemahan). Edisi kedelapan-jilid 1. Jakarta : Penerbit Erlangga.
Bazaraa M, Sherali H, Shetty C. (1993). Nonlinear Programming, theory and
algorithms, second edition, New York : John Wiley & Sons, Inc. Chong, P. E, and Zak, H. Stanislaw. (1996). An Introduction to Optimization.
New York : John Wiley & Sons, Inc.
Luenberger, D (1989). Linear and Nonlinear Programing, second edition, Canada : Addison-Wesley Publishing.
Linfield, G, and Penny, J. (2000). Numerical Methods Using Matlab. Upper
Saddle River: Prentice Hall.
Purcell, J, E and Varberg D. Kalkulus dan Geometri Analitik. (Terjemahan). Jilid 1. Jakarta : Penerbit Erlangga.
Rao S S. (1984). Optimization Theory and Applications, second edition.
India : Wiley Eastern Limited.
Soemantri, R, dkk. (2006). Diktat Pengantar Analisis Real. Yogyakarta : FMIPA USD.
Sundaram, K. R (1996). A First Course in Optimization Theory. New York : Cambridge University Press.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
LAMPIRAN 1
Program Menu Utama :
function utama pilih=0; while pilih~=4 fprintf('\n\n\n\n'); disp('Program Penyelesaian Masalah Optimisasi Nonlinear Berkendala Dengan Metode Fungsi Penalti Eksterior'); disp('oleh Maria Martini Leto Kurniawan (013114019)'); disp('sebagai syarat memperoleh gelar S.Si'); fprintf('\n\n\n\n'); disp('------------------------------------------------------------------------------------------------------'); disp(' Menu Utama'); disp(' Penyelesaian Masalah Optimisasi Nonlinear Berkendala Dengan Metode Fungsi Penalti Eksterior'); disp('-------------------------------------------------------------------------------------------------------'); disp(' 1. Masalah Optimisasi Nonlinear Dengan Kendala Pertidaksamaan'); disp(' 2. Masalah Optimisasi Nonlinear Dengan Kendala Persamaan'); disp(' 3. Masalah Optimisasi Nonlinear Dengan Kendala Pertidaksamaan dan Persamaan'); disp(' 4. Keluar'); fprintf('\n\n'); pilih=input('Masukkan menu pilihan anda='); switch pilih case 1 contoh; case 2 contoh2; case 3 gabung ; case 4 disp('Keluar'); otherwise disp('Masukkan anda salah'); end end disp('Terimakasih anda telah menggunakan program ini.'); Output Program Penyelesaian Masalah Optimisasi Nonlinear Berkendala Dengan Metode Fungsi Penalti Eksterior oleh Maria Martini Leto Kurniawan (013114019) sebagai syarat memperoleh gelar S.Si ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Menu Utama Penyelesaian Masalah Optimisasi Nonlinear Berkendala Dengan Metode Fungsi Penalti Eksterior ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Masalah Optimisasi Nonlinear Dengan Kendala Pertidaksamaan 2. Masalah Optimisasi Nonlinear Dengan Kendala Persamaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
3. Masalah Optimisasi Nonlinear Dengan Kendala Pertidaksamaan dan Persamaan 4. Keluar Masukkan menu pilihan anda= LAMPIRAN 2 PROGRAM UNTUK MASALAH DENGAN KENDALA PERTIDAKSAMAAN Listing program : function contoh clear; clc; mu=input('Masukkan nilai parameter penalti :'); err=input('Masukkan nilai toleransi :'); b=input('Masukkan nilai beta : '); n=input('Masukkan iterasi maksimum : '); k=1; clc; fprintf('Program untuk meminimumkan f=(1/3*(x1+1)^3)+x2\n'); fprintf('Dengan kendala 1-x1<=0 dan -x2=0\n'); fprintf('==============================================================\n'); fprintf(' Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua\n'); fprintf('==============================================================\n'); while k<=n x3=-1-mu+mu*(sqrt(1+(4/mu))); x4=(-1/(2*mu)); x1=x3; x2=x4; z=(1/3*(x1+1)^3)+x2+mu*(max(0,(1-x1)))^2+mu*(max(0,(-x2)))^2; f=(1/3*(x1+1)^3)+x2; mua=mu*((max(0,(1-x1))))^2+(max(0,(-x2)))^2; fprintf(' %3d %.3f %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f\n',k,mu,x1,x2,f,z,mua); if mua < err break end k=k+1; mu=b*mu; end fprintf('==============================================================\n'); fprintf(' Pada saat iterasi ke - %d, mua < %5.5f.\n',k,err); fprintf(' Jadi nilai x yang meminimalkan z adalah : x1 = %7.5f dan x2 = %7.5f.\n',x1,x2); end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Output >> contoh
Masukkan nilai parameter penalti :0.001 Masukkan nilai toleransi :0.00001 Masukkan nilai beta : 10 Masukkan iterasi maksimum : 15 Tampilan hasil : Program untuk meminimumkan f=(1/3*(x1+1)^3)+x2 Dengan kendala 1-x1<=0 dan -x2=0 ====================================================================== Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua ====================================================================== 1 0.001 -0.93775 -500.00000 -499.99992 -249.99616 250000.00375 2 0.010 -0.80975 -50.00000 -49.99770 -24.96495 2500.03275 3 0.100 -0.45969 -5.00000 -4.94742 -2.23435 25.21307 4 1.000 0.23607 -0.50000 0.12951 0.96311 0.83359 5 10.000 0.83216 -0.05000 2.00007 2.30677 0.28420 6 100.000 0.98039 -0.00500 2.58399 2.62495 0.03848 7 1000.000 0.99800 -0.00050 2.65819 2.66242 0.00398 8 10000.000 0.99980 -0.00005 2.66582 2.66624 0.00040 9 100000.000 0.99998 -0.00001 2.66658 2.66662 0.00004 10 1000000.000 1.00000 -0.00000 2.66666 2.66666 0.00000 ====================================================================== Pada saat iterasi ke - 10, mua < 0.00001. Jadi nilai x yang meminimalkan z adalah : x1 = 1.00000 dan x2 = -0.000000 LAMPIRAN 3
PROGRAM DENGAN KENDALA PERSAMAAN
Listing Program : function contoh2 clear; clc; mu=input('Masukkan nilai parameter penalti :'); err=input('Masukkan nilai toleransi :'); b=input('Masukkan nilai beta : '); n=input('Masukkan iterasi maksimum : '); k=1; clc; fprintf('Program untuk meminimumkan f=x1.^2+x2.^2-4*x1-4*x2+8\n'); fprintf('Dengan kendala x1+2*x2-4=0\n'); fprintf('============================================================= \n'); fprintf(' Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua\n'); fprintf('==============================================================\n');
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
while k<=n x3=(32*mu+8)/(20*mu+4); x4=(24*mu+8)/(20*mu+4); x1=x3; x2=x4; z=x1.^2+x2.^2-4*x1-4*x2+8+mu*((x1+2*x2-4).^2); f=x1.^2+x2.^2-4*x1-4*x2+8; mua=mu*((x1+2*x2-4).^2); fprintf(' %3d %.3f %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f\n',k,mu,x1,x2,f,z,mua); if mua < err break end k=k+1; mu=b*mu; end fprintf('============================================================= \n'); fprintf(' Pada saat iterasi ke - %d, mua < %5.5f.\n',k,err); fprintf(' Jadi nilai x yang meminimalkan z adalah : x1 = %7.5f dan x2 = %7.5f.\n',x1,x2); end Output >> contoh2
Masukkan nilai parameter penalti :0.001 Masukkan nilai toleransi :0.00001 Masukkan nilai beta : 10 Masukkan iterasi maksimum : 15 Tampilan hasil : Program untuk meminimumkan f=x1.^2+x2.^2-4*x1-4*x2+8 Dengan kendala x1+2*x2-4=0 ====================================================================== Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua ====================================================================== 1 0.001 1.99801 1.99602 0.00002 0.00398 0.00396 2 0.010 1.98095 1.96190 0.00181 0.03810 0.03628 3 0.100 1.86667 1.73333 0.08889 0.26667 0.17778 4 1.000 1.66667 1.33333 0.55556 0.66667 0.11111 5 10.000 1.60784 1.21569 0.76894 0.78431 0.01538 6 100.000 1.60080 1.20160 0.79681 0.79840 0.00159 7 1000.000 1.60008 1.20016 0.79968 0.79984 0.00016 8 10000.000 1.60001 1.20002 0.79997 0.79998 0.00002 9 100000.000 1.60000 1.20000 0.80000 0.80000 0.00000 ====================================================================== Pada saat iterasi ke - 9, mua < 0.00001. Jadi nilai x yang meminimalkan z adalah : x1 = 1.60000 dan x2 = 1.20000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
LAMPIRAN 4
PROGRAM UNTUK KENDALA PERTIDAKSAMAAN DAN PERSAMAAN
Listing Program :
function gabung clear; clc; fprintf('Metode Eksterior dan Metode Newton\n\n'); fprintf('Masukkan data yang dibutuhkan\n\n'); x=input('x0 = '); mu=input('Masukkan nilai parameter penalti :'); tol=input('Masukkan nilai toleransi :'); b=input('Masukkan nilai beta : '); N=input('Max.iterasi = '); k=1; fprintf('Program untuk meminimumkan f=x1.^2+x2.^2\n'); fprintf('Dengan kendala 2*x1+x2-2<=0 dan -x2+1=0\n'); fprintf('==============================================================\n'); fprintf(' Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua\n'); fprintf('==============================================================\n'); while k <= N x1=x(1);x2=x(2); f1=2*x1+4*mu*(max(0,(2*x1+x2-2))); f2=2*x2-2*mu*(-x2+1)+2*mu*(max(0,(2*x1+x2-2))); fx=[f1;f2]; j11=2+8*mu; j12=4*mu; j21=4*mu; j22=2+4*mu; jx=[j11 j12;j21 j22]; %j(ik)=turunan fungsi ke-i terhadap variabel ke-k y=-inv(jx)*fx; f=x1.^2+x2.^2; z=(x1.^2+x2.^2)+mu*(-x2+1).^2+mu*(max(0,(2*x1+x2-2))).^2; mua=mu*(-x2+1).^2+mu*(max(0,(2*x1+x2-2))).^2; fprintf(' %4.0d %11.0d %12f %12f %12f %12f %12f\n',k,mu,x,f,z,mua); if mua<tol break end mu=b*mu; if norm(y)<tol break end x=x+y'; k=k+1; %iterasi akan dilanjutkan kembali.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
end fprintf('==============================================================\n'); fprintf(' Pada saat iterasi ke - %4.0d, mua < %8.8f.\n',k,tol); fprintf(' Jadi nilai x yang meminimalkan z adalah : x1 = %12f dan x2 = %12f\n',x1,x2); end Output
>> gabung Metode Eksterior dan Metode Newton Masukkan data yang dibutuhkan x0 = [2 6] Masukkan nilai parameter penalti :1 Masukkan nilai toleransi :0.00000001 Masukkan nilai beta : 10 Max.iterasi = 100 Tampilan Hasil Program untuk meminimumkan f=x1.^2+x2.^2 Dengan kendala 2*x1+x2-2<=0 dan -x2+1=0 ====================================================================== Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua ====================================================================== 1 1 2.000000 6.000000 40.000000 129.000000 89.000000 2 10 0.545455 0.636364 0.702479 2.024793 1.322314 3 100 0.390456 0.926839 1.011486 1.546741 0.535255 4 1000 0.357049 0.991867 1.111283 1.177436 0.066153 5 10000 0.353305 0.999177 1.123180 1.129946 0.006765 6 100000 0.352926 0.999918 1.124392 1.125070 0.000678 7 1000000 0.352888 0.999992 1.124514 1.124582 0.000068 8 10000000 0.352885 0.999999 1.124526 1.124533 0.000007 9 100000000 0.352884 1.000000 1.124527 1.124528 0.000001 10 1000000000 0.352884 1.000000 1.124527 1.124527 0.000000 ====================================================================== Pada saat iterasi ke - 10, mua < 0.00000001. Jadi nilai x yang meminimalkan z adalah : x1 = 0.352884 dan x2 = 1.000000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI