1
PHẦN 2: CÁC KIẾN THỨC CẦN THIẾT
X
Y
Z
Phạm Huy Hoàng
o Ta phải giải hệ phương trình [K]{U}={F}:
ïïïï
þ
ïïïï
ý
ü
ïïïï
î
ïïïï
í
ì
=
ïïïï
þ
ïïïï
ý
ü
ïïïï
î
ïïïï
í
ì
úúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêê
ë
é
n
2
1
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
F
.
.
.
F
F
U
.
.
.
U
U
K...KK
...
...
...
K...KK
K...KK
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2
Phạm Huy Hoàng
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
o Phương phápma trận
Phạm Huy Hoàng
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3
Phạm Huy Hoàng
o Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Phạm Huy Hoàng
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4
Phạm Huy Hoàng
o Phương pháp Gauss (Gaussian elimination):
Tạo ma trận hệ số tam giác dưới bằng 0
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Vector BMa trận hệ số A
0Các hệ sốthuộc tam giác dướibằng 0
Ma trận
Phạm Huy Hoàng
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
ïïï
î
ïïï
í
ì
=+-=+-
=
=+=+
=
=
Þ
úúú
û
ù
êêê
ë
é-
-
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
-
úúú
û
ù
êêê
ë
é
----
-
12
0.10.022
2.13.021
05
0.405
3402
03
0100
0450
2012
0220
0450
2012
0220
1231
2012
xxx
xx
x
5
Phạm Huy Hoàng
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
úúú
û
ù
êêê
ë
é
---
2134
0121
6112
Phạm Huy Hoàng
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
úúú
û
ù
êêê
ë
é
---
2134
0121
6112
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
--
-
4200
56
51
10
321
21
1
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
---
-
10150
321
25
0
321
21
1
ïïï
î
ïïï
í
ì
=--=--=
=+=+=
=--=
Þ
56
58
21
221
3221
321
31
58
251
56
351
56
2
224
3
xxx
xx
x
6
Phạm Huy Hoàng
Tất cả các tích phân có miền [x1 , x2] đều có thể quyvề tích phân trên miền [-1, 1]
ò-
=ò ®=1
1)(
2
1
)( xx dfIx
xdxxfI
Bằng cách đổi biến: 21 21
21
xxxxx +
+-
=
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Phạm Huy Hoàng
Gần đúng bằng hình thang (Trapezoidal rule):Xấp xỉ hàm f(x) bằng đường thẳng g(x) đi qua haiđiềm đầu và cuối.
x
f(x)
-1 1
f(-1)
f(1)g(x)
)1(2
1)1(
21
)( ffgxxx +
+--
=
)1()1()()(1
1
1
1-+=»= òò --
ffdgdfI xxxx
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
7
Phạm Huy Hoàng
• Hàm f(x) được tính tại hai điểm (-1) và 1. • Kết quả chính xác nều hàm tuyến tính hay hằngsố nhưng không chính xác cho hàm bậc 2 trở lên.
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
x
f(x)
-1 1
f(-1)
f(1)g(x)
)1(31
)0(34
)1(31
)()(1
1
1
1-++=»= òò --
fffdgdfI xxxx
Phạm Huy Hoàng
Xấp xỉ bậc 2 - Simpson’s rule: Xấp xỉ hàm f(x) bằngđường parabol g(x) đi qua 3 điểm đầu, cuối và giữa(-1), 1 và 0.
( 1) (1 )( ) ( 1) (1 )(1 ) (0) (1)
2 2g f f f
x x x xx x x- += - + - + +
)1(31
)0(34
)1(31
)()(1
1
1
1-++=»= òò --
fffdgdfI xxxx
x
f(x)
-1 1
f(-1)
f(1)g(x)
f(0)
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
8
Phạm Huy Hoàng
• Hàm f(x) cần được tính tại 3 điểm (-1), 0 và 1. • Kết quả chính xác cho hàm từ bậc hai trở xuống, nhưng không chính xác cho hàm bậc 3 trở lên.
Tổng quát hóa cách xấp xĩ như thế nào?
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
)1(31
)0(34
)1(31
)()(1
1
1
1-++=»= òò --
fffdgdfI xxxx
x
f(x)
-1 1
f(-1)
f(1)g(x)
f(0)
Phạm Huy Hoàng
Lưu ý các xấp xỉ trước cho thấy dạng tổng quát nhưsau:
Trapezoidal rule: M=2Dùng cho hàm đa thức bậc tối đaM -1 = 1
11
11
22
11
==-==
xx
W
W
åò=
-»=
M
iii fWdfI
1
1
1)()( xxx
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
)1(31
)0(34
)1(31
)()(1
1
1
1-++=»= òò --
fffdgdfI xxxx
trọng số điểm lấy tích phân
9
Phạm Huy Hoàng
Lưu ý các xấp xỉ trước cho thấy dạng tổng quát nhưsau:
Simpson’s rule: M = 3Chính xác cho hàm bậc tối đa M -1 = 2 13/1
03/413/1
22
22
11
====-==
xxx
W
WW
åò=
-»=
M
iii fWdfI
1
1
1)()( xxx
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
)1(31
)0(34
)1(31
)()(1
1
1
1-++=»= òò --
fffdgdfI xxxx
trọng số điểm lấy tích phân
Phạm Huy Hoàng
Tổng quát hóa thành công thức: Newton-Cotes
• Chia miền [-1,1] thành (M-1) khoảng nhỏ đềunhaubằng M điểm.• Vẽ đường cong đa thức bậc (M-1) qua M điểm trên(giá trị đa thức bằng giá trị hàm tại M điểm.• Xấp xỉ tích phân bằng tích phân của đa thức.
x
f(x)
-1 1
f(-1)
f(1)
g(x)
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
10
Phạm Huy Hoàng
550/144
75/144
19/144
-1/5, 1/5
-3/5, 3/5
-1, 1
6
412/45
32/45
7/45
0
-1/2, 1/2
-1,1
5
33/41/4
-1/3, 1/3-1, 1
4
24/3
1/3
0
-1, 1
3
11-1, 12
Bậc đa thức tối đa mwixiN
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂNåò
=-
»=M
iii fWdfI
1
1
1)()( xxxNewton-Cotes
Phạm Huy Hoàng
Với ‘M’ điểm chúng ta có thể tính chính xác tíchphân hàm đa thức bậc ‘M-1’.
Thực tế, với ‘M’ điểm lấy tích phân và ‘M’ trọng số tacó thể tính chính xác đến tích phân của hàm đa thứcbậc (2M-1)! → Công thức gần đúng Gauss (Gaussian rule)
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
11
Phạm Huy Hoàng
Gauss quadratureåò
=-
»=M
iii fWdfI
1
1
1)()( xxx
trọng số điểm lấy tích phân
Chọn điểm lấy tích phân và trọng số như thế nào để tínhchính xác tích phân hàm bậc 2M-1?
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Phạm Huy Hoàng
Trường hợp M=1 (Midpoint quadrature)
Chọn W1 và x1 sao cho tích phân chính xác đa thứcbậc (2M - 1) = 1 – tuyến tính.
xx 10)( aaf +=
)()( 11
1
1xxx fWdfI »= ò-
0
1
12)( adf =ò-
xx
nhưng101011
1
1)()( xxxx WaWafWdf +==ò-
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Do đó: 1111002 xWaWaa +=
Vậy a0 và a1 phải thỏa: 01121 == xWvàW
0;2 11 == xW
12
Phạm Huy Hoàng
x
f(x)
-1 1
f(0)
g(x)
)0(2)(1
1fdfI »= ò- xx
(Midpoint quadrature rule): • Chỉ tính f(x) tại một điểm giữa của miền tích phân.• Cách này chính xác cho đa thức bậc 1 trở xuống (hằnghay tuyến tính) (tương ứng với Trapezoidal rule)
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂNTrường hợp M=1
Phạm Huy Hoàng
Chọn W1, W2, x1 và x2 như thế nào để tính chính xáctích phân đa thức bậc (2M-1) = 3?
33
2210)( xxxx aaaaf +++=
)()()( 2211
1
1xxxx fWfWdfI +»= ò-
20
1
1 32
2)( aadf +=ò-xx
Ta muốn
( ) ( )
( ) ( )3223113
222
2112
22111210
)2(2)1(11
1)(
xxxx
xx
xxxx
WWaWWa
WWaWWa
fWfWdf
++++
+++=
+=ò-
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂNTrường hợp M=2
13
Phạm Huy Hoàng
Do đó:
0322
311;
322
222
11
;02211;221
=+=+
=+=+
xxxx
xx
WWWW
WWWW
vậy:31
2;31
1;121 =-=== xxWW
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN( ) ( ) ( )( )
232
02
322
3113
222
211222111210
1
1)(
aa
WWa
WWaWWaWWadf
+=
++
+++++=ò-
xx
xxxxxx
Phạm Huy Hoàng
)3
1()
3
1()(
1
1ffdfI +-»= ò-
xx
• Chỉ 2 điểm của hàm f(x) cần phải tính.• Công thức này chính xác cho hàm tối đa bậc2M-1 = 3 (ứng với Simpson’s rule)
x
f(x)
-1 1
)3
1(-f )
3
1(f
**
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂNTrường hợp M=2
14
Phạm Huy Hoàng
70,65215
0,34785
-0,33998, + 0,33998
-0,86113, + 0,86113
4
50,888889
0,555556
0
-0,774597, + 0,774597
3
31-0,57735, +0,577352
1201
Bậc đa thức tối đa mwixiN
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂNåò
=-
»=M
iii fWdfI
1
1
1)()( xxxGauss
Phạm Huy Hoàng
Newton-Cotes Gauss
1. Cần ‘M’ điểm lấytích phân để tính chínhxác tích phân hàm đathức bậc ‘M-1’. 2. Tốn công hơn.
1. Cần ‘M’ điểm lấy tíchphân để tính chính xáctích phân hàm đa thứcbậc ‘2M-1’. 2. Ít tốn công hơn.3. Hội tụ theo hàm mũ(exponential convergence), sai số tỉlệ với M
M
2
21
÷øö
çèæ
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
15
Phạm Huy Hoàng
Ví dụ: 1 3 2
1f( )d f( )I wherex x x x x
-= = +ò
Tính giải tích23
I =
Newton-Cotes Cần 4 điểm.
Gauss Cần 2 điểm.
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
1
1f( )d
1 1f(- ) f( )
3 323
I x x-
=
= +
=
ò
Phạm Huy Hoàng
So sánh Gauss và Newton-Cotes ò-=
1
1)2cos( dxxI p
Newton-Cotes
Gauss quadrature
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
16
Phạm Huy Hoàng
dtdstsfI ò ò- -=
1
1
1
1),(
Miền hình vuông
å å
å å
ò å
ò ò
= =
= =
-=
- -
=
»
÷÷ø
öççè
æ»
=
M
i
M
jjiij
M
i
M
jjiji
M
jjj
tsfW
tsfWW
dstsfW
dtdstsfI
1 1
1 1
1
11
1
1
1
1
),(
),(
),(
),(
- tích phân (1-D Gauss) theo ‘t’
- tích phân (1-D Gauss) theo ‘s’
với Wij =Wi Wj
s
t
1
1
1 1 ÷÷ø
öççè
æ3
1,
3
1
÷÷ø
öççè
æ-
3
1,
3
1÷÷ø
öççè
æ--
3
1,
3
1
÷÷ø
öççè
æ-
3
1,
3
1
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Phạm Huy Hoàng
)3
1,
3
1()
3
1,
3
1()
3
1,
3
1()
3
1,
3
1(
),(2
1
2
1
-+--+-+=
» å å= =
ffff
tsfWIi j
jiij
Với M = 2
Wij =Wi Wj=1
Số điểm lấy tích phân IP = 1, 2, 3, 4
IPIP
IP fWdtdstsfI åò ò=
- -»=
4
1
1
1
1
1),(
s
t
1
1
1 1 ÷÷ø
öççè
æ3
1,
3
1
÷÷ø
öççè
æ-
3
1,
3
1÷÷ø
öççè
æ--
3
1,
3
1
÷÷ø
öççè
æ-
3
1,
3
1
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
17
Phạm Huy Hoàng
å åò ò= =
- -»=
M
i
M
jjiij tsfWdtdstsfI
1 1
1
1
1
1),(),(
Công thức
Dùng M2 điểm lấy tích phân trên một lưới khôngđều (nonuniform grid) để tính chính xác cho đa thứbậc (2M-1), ví dụ:
121 1
1
1
1
1-£+= å åò ò
= =- -
MfortsWdtdstsM
i
M
jjiij
exact
bababa
Dùng M2 điểm chính xác cho đa thức bậc (2M-1).
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Phạm Huy Hoàng
Với: M = 11 điểmGauss
t
s1
1
1 1 s1=0, t1=0W1= 4
)0,0(4),(1
1
1
1fdtdstsfI »= ò ò- -
Chính xác cho hàmlà tích hai đa thứctuyến tính.
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
18
Phạm Huy Hoàng
Với: M = 22x2 Gauss
)3
1,
3
1()
3
1,
3
1()
3
1,
3
1()
3
1,
3
1(
),(2
1
2
1
-+--+-+=
» åå= =
ffff
tsfWIi j
jiij
Chính xác cho hàm là tích hai đa thức bậc 3.
s
t
1
1
1 1 ÷÷ø
öççè
æ
3
1,
3
1
÷÷ø
öççè
æ-
3
1,
3
1÷÷ø
öççè
æ--
3
1,
3
1
÷÷ø
öççè
æ-
3
1,
3
1
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Phạm Huy Hoàng
Với: M = 3 3x3 Gauss
Chính xác cho hàm bậc 5 là tích hai đa thức.
å åò ò= =
- -»=
3
1
3
1
1
1
1
1),(),(
i jjiij tsfWdtdstsfI
s
t
1
1
1 1
53
53
53
53
1
23
4 5
6
7
8
9
81408125
,8164
9876
5432
1
====
====
=
WWWW
WWWW
W
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
19
Phạm Huy Hoàng
Ví dụ:
Nếu f(s,t) = 1 thì 1 điểm Gauss là đủ và:
4),(1
1
1
1== ò ò- -
dtdstsfI
Nếu f(s,t) = s thì 1 điểm Gauss là đủ và:
0),(1
1
1
1== ò ò- -
dtdstsfI
Nếu f(s,t) = s2t2 thì 3x3 Gauss và:
94
),(1
1
1
1== ò ò- -
dtdstsfI
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Phạm Huy Hoàng
Miền tam giác
Xét miền tam giác vuông thuận cạnh đơn vị.
s
t
1
1
s=1-tt
t
ò ò=
-
==
1
0
1
0dsdt),(f
t
t
stsI
å
ò ò
=
=
-
=
»
=M
IPIPIP
t
t
s
fW
tsI
1
1
0
1
0dsdt),(f
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
20
Phạm Huy Hoàng
Nếu f(s,t) = 1
21
21
dsdt),(f
1
1
1
0
1
0
=\
=
==
å
å
ò ò
=
=
=
-
=
M
IPIP
M
IPIP
t
t
s
W
W
tsI
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
s
t
1
1
s=1-tt
t
Phạm Huy Hoàng
Nếu M = 1
ts
tsf 1~),(
÷øö
çèæ»
31,
31
21
fI
s
t
1
11/3
1/3
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
21
Phạm Huy Hoàng
tstsf 321),( aaa ++=Nếu:
321
1
0
1
0 !31
!31
21
dsdt),(f aaa ++=ò ò=
-
=t
t
stsThì:
Nhưng
( )131211321
111
1
0
1
0
!31
!31
21
),(dsdt),(f
tsW
tsfWtst
t
s
aaaaaa ++=++\
=ò ò=
-
=
nên!31
11;!31
11;21
1 === tWsWW
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Phạm Huy Hoàng
Nếu M = 3 sẽ phù hợp hàm đa thức bậc 2
22
1~),(
tsts
ts
tsf
÷øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ»
21
,061
0,21
61
21
,21
61
fffI
s
t
1
1
1/2
1/22
1
3
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
22
Phạm Huy Hoàng
Nếu M = 4 thì phù hợp hàm đa thức bậc 3
3223
22
1~),(
tsttss
tsts
ts
tsf
( ) ( ) ( )2.0,6.09625
2.0,2.09625
6.0,2.09625
31,
31
9627
ffffI +++÷øö
çèæ-»
s
t
1
1 2
13 4
(1/3,1/3)
(0.2,0.2)
(0.2,0.6)
(0.6,0.2)
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Phạm Huy Hoàng
2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂNGợi ý:
23
Phạm Huy Hoàng
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU
o Chuyển vị tại một điểm bất kỳ có tọa độ (x, y, z) được biểu diễn dưới dạng vectơ:
[ ]Twvuu ,,=
Phạm Huy Hoàng
xy
z
Thể tích V
uv
w
x
Phần tửthể tích dV
sx
sy
sz
tyz
tyx
txytxz
tzytzx
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU
24
Phạm Huy Hoàng
Ứng suất xuất hiện ở phầntử có thể tích dV là:
úúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêê
ë
é
=
xz
yz
xy
z
y
x
t
t
ts
ss
σ
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU
xy
z
sx
sy
sz
tyz
tyx
txy
txz
tzytzx
xzzxzyyzyxxy tttttt === ;;sx, sy, sz: ứng suất pháp
: ứng suất tiếp
Phạm Huy Hoàng
o Biến dạng tại một điểm được biểu thị bằngvectơ:
{ }
ïïïï
þ
ïïïï
ý
ü
ïïïï
î
ïïïï
í
ì
=
zx
yz
xy
z
y
x
g
g
ge
ee
e
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU
25
Phạm Huy Hoàng
o Hai hằng số đặc trưng cho cơ tính vật liệu là:- Module đàn hồi (còn gọi là hệ số Young) E
- Hệ số Poison n
Ví dụ:
Thép: E = 200000MPa, n = 0,29
Hợp kim nhôm: E = 72000MPa, n = 0,3
o Module đàn hồi trượt G:
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU
( )n+=
12E
G
Phạm Huy Hoàng
Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị
o Trong trường hợp biến dạng nhỏ:
xu
x ¶¶
=eyu
xv
xy ¶¶
+¶¶
=g
yv
y ¶¶
=ezu
xw
xz ¶¶
+¶¶
=g
zw
z ¶¶
=ezv
yw
yz ¶¶
+¶¶
=g
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU
26
Phạm Huy Hoàng
o Viết lại:
{ } [ ]{ }u¶=e
úúú
û
ù
êêê
ë
é
úúúúúúúúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêêêêêêêê
ë
é
¶¶
¶¶
¶¶
¶¶
¶¶
¶¶
¶¶
¶¶
¶¶
=
úúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêê
ë
é
w
v
u
yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
x
0
0
0
00
00
00
gggeee
hoặc
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆUQuan hệ giữa biến dạng và chuyển vị
Phạm Huy Hoàng
Ví dụ:
o Chuyển vị:
ïî
ïí
ì
++=w++=++=
23
23
23
22
22
22
21
21
21
zCyBxA
zCyBxAv
zCyBxAu
Biến dạng:
zC2
yB2
,xA2
3z
2y
1x
=e
=e=e
zC2yB2
zC2xA2
yB2xA2
23yz
13xz
12xy
+=g+=g
+=g
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU
27
Phạm Huy Hoàng
x
y
A B
CA’
B’
C’
v
udy
dx
dxxv
¶¶
xdxu
u¶¶
+
dyyu
¶¶
dyyv
v¶¶
+
1b
2b
xu
xv
tan βtan βββ)B'A'(C'angle2π
yv
dy
dyvdyyv
vdy
ACACC'A'
xu
dx
dxudxxu
udx
ABABB'A'
2121
¶¶
+¶¶
»
+»+=-=
¶¶
=
-÷÷ø
öççè
æ-÷÷
ø
öççè
涶
++
=-
=
¶¶
=-÷÷
ø
öççè
æ-÷
øö
çèæ
¶¶
++=
-=
xy
y
x
g
e
e
Phạm Huy Hoàng
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆUQuan hệ giữa ứng suất và biến dạng
Trường hợp vật liệu đẳng hướng:
o Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trongphạm vi đàn hồi, tuyến tính tuân theo định luậtHooke:
{ } [ ]{ }se C=
[C]: là ma trận các đàn hồi.
28
Phạm Huy Hoàng
{ } ( )[ ]zyxx Essnse +-=
1 { } ( )[ ]xzyy Essnse +-=
1
{ } ( )[ ]yxzz Essnse +-=
1
( )xyxyxy EG
tntg +==
121 ( )yzyzyz EG
tntg +==
121
( )zxxyzx EG
tntg +==
121
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆUTrường hợp vật liệu đẳng hướng:
Phạm Huy Hoàng
o Ma trận C:
[ ] ( )( )
( )úúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêê
ë
é
++
+--
----
=
nn
nnn
nnnn
1200000
0120000
0012000
0001
0001
0001
1E
C
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆUTrường hợp vật liệu đẳng hướng:
29
Phạm Huy Hoàng
o Biểu diễn ứng suất theo biến dạng qua biểu thức:
{ } [ ]{ }es D=
( )( )
úúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêê
ë
é
úúúúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêêêê
ë
é
-
-
--
--
-+=
úúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêê
ë
é
yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
x
E
gggeee
n
n
nnnn
nnnnnn
nn
tttsss
221
00000
0221
0000
00221
000
0001
0001
0001
211
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆUTrường hợp vật liệu đẳng hướng:
Phạm Huy Hoàng
o Nếu kết cấu chịu biến dạng ban đầu { }0e
{ } [ ]{ } { }0ese += C
{ } [ ]{ } { }( )0ees -= D
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆUTrường hợp vật liệu đẳng hướng:
30
Phạm Huy Hoàng
0=== yzxzz tts0== xzyz gg
( )( )n
eene
-
+-=
1yx
z
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU-Trường hợp ứng suất phẳng:bề dày z nhỏ hơn nhiều so với chiều dài và rộng
(x, y)tải tác dụng coi như chỉ trong mặt phẳng xy.
ys
xsxyt
xyt
Phạm Huy Hoàng
o Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:
úúú
û
ù
êêê
ë
é
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
--=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
xy
y
x
xy
y
xE
gee
nn
n
ntss
21
00
01
01
1 2
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆUTrường hợp ứng suất phẳng:
31
Phạm Huy Hoàng
Ví dụ:1. Thin plate with a hole
2. Thin cantilever plate
ys
xsxyt
xyt
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU
Phạm Huy Hoàng
0=== xzyzz gge
0== yzxz tt
( )yxz ssns +=
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU-Trường hợp biến dạng phẳng:bề dày z lớn hơn khá nhiều so với chiều dài và
rộng (x, y)tiết diện và tải không đổi theo trục z.
ye
xe
xygxyg
32
Phạm Huy Hoàng
o Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:
( )( ) úúú
û
ù
êêê
ë
é
gee
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
n-n-n
nn-
n-n+=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
tss
xy
y
x
xy
y
x
221
00
01
01
211
E
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆUTrường hợp biến dạng phẳng:
Phạm Huy Hoàng
Ví dụ:1. Đập nước
2. Bình chứa chịu áp lực hìnhtrụ dài chịu áp lực bện trong vàđược ngàm chặt ở 2 đầu.
1
Một lát cắt cóchiều dầy đơn vị
x
y
z
ys
xsxyt
xytzs
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU
33
Phạm Huy Hoàng
o Chỉ tồn tại một thành phần ứng suất
a: hệ số dãn nở nhiệtDT: biến động nhiệt độ
TEE xx D-= aes
3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆUTrường hợp biến dạng một chiều:
x
Phạm Huy Hoàng
o Thế năng toàn phần của một hệ đàn hồi:
o U – thế năng đàn hồi của vật thể tích lũy trong quátrình biến dạng.
o A – công của ngoại lực sinh ra trên các chuyển vịcủa điểm đặt ngoại lực do vật thể bị biến dạng.
với {g}: lực thể tích tác dụng trên thể tích V và {p} làlực bề mặt tác dụng trên bề mặt S.
U AP = -
4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
{ } [ ] { } { }( )0
12
T
V
U D dVe e e= -ò
{ } { } { } { }t
T T
V S
A u g dV u p dS= +ò ò
34
Phạm Huy Hoàng
4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦNo Nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần:
Khi hệ đàn hồi chuyển vị và đạt trạng thái cânbằng thì
0=Õ¶
Phạm Huy Hoàng
4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Cân bằng lực
Năng lượng
Công
Thế năng đàn hồi
Thế năng toàn phần
Cực tiểu
Pkx =
221kxU =
ò ==ò PxPdxdtxP&
Pxkx -=Õ 221
00 =-Þ=Õ¶¶
Pkxx