Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 1 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
BÀI GIẢNG – NHỊ THỨC NEWTƠN PHẦN A. Áp dụng đạo hàm vào bài toán nhị thức NewTơn
Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 đến n (hoặc giảm từ n đến 1) (không kể dấu). Hai khai triển thường dùng:
n 0 1 2 2 k k n nn n n n n1 x C C x C x ... C x ... C x 1
n k n0 1 2 2 k k n nn n n n n1 x C C x C x ... 1 C x ... 1 C x 2
i) Đạo hàm 2 vế của (1) hoặc (2). ii) Cộng hoặc trừ (1) và (2) sau khi đã đạo hàm rồi thay số thích hợp. Ví dụ 7. Tính tổng 1 2 2 3 28 29 29 30
30 30 30 30 30S C 2 .2C 3 .2 C ... 2 9 .2 C 30 .2 C .
Giải Ta có khai triển:
30 0 1 2 2 29 29 30 3030 30 30 30 301 x C C x C x ... C x C x 1
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 291 2 29 28 30 2930 30 30 30C 2C x ... 29C x 30C x 30 1 x 2
Thay x = – 2 vào (2) ta được: 291 2 2 3 28 29 29 3030 30 30 30 30C 2.2C 3.2 C ... 29.2 C 30.2 C 30 1 2 .
Vậy S 30 . Ví dụ 8. Rút gọn tổng 1 2 3 4 5 26 27 28 29
30 30 30 30 30S C 3.2 C 5.2 C ... 27.2 C 29.2 C
Giải
Ta có khai triển: 30 0 1 2 2 29 29 30 3030 30 30 30 301 x C C x C x ... C x C x 1
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 291 2 29 28 30 2930 30 30 30C 2C x ... 29C x 30C x 30 1 x 2
Thay x = 2 và x = – 2 lần lượt vào (2) ta được:
291 2 2 3 28 29 29 3030 30 30 30 30C 2.2C 3.2 C ... 29.2 C 30.2 C 30 1 2 3
291 2 2 3 28 29 29 3030 30 30 30 30C 2.2C 3.2 C ... 29.2 C 30.2 C 30 1 2 4
Cộng hai đẳng thức (3) và (4) ta được:
1 2 3 4 5 26 27 28 29 2930 30 30 30 302(C 3.2 C 5.2 C ... 27.2 C 29.2 C ) 30 3 1
Vậy 29S 15 3 1 .
Ví dụ 9. Rút gọn tổng 0 1 2 2006 20072007 2007 2007 2007 2007S 2008C 2007C 2006C ... 2C C .
Giải Ta có khai triển:
2007 0 2007 1 2006 2 2005 2006 20072007 2007 2007 2007 2007x 1 C x C x C x ... C x C
Nhân 2 vế (1) với x ta được:
2007 0 2008 1 2007 2 2006 2006 2 20072007 2007 2007 2007 2007x x 1 C x C x C x ... C x C x 2
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 2 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
Đạo hàm 2 vế của (2) ta được: 0 2007 1 2006 2 2005 2006 20072007 2007 2007 2007 20072008C x 2007C x 2006C x ... 2C x C
2006(1 2008x) x 1 (3)
Thay x = 1 vào (3) ta được: 0 1 2 2006 2007 20062007 2007 2007 2007 20072008C 2007C 2006C ... 2C C 2009.2 .
Cách khác: Ta có khai triển:
2007x 1 0 2007 1 2006 2 2005 2006 20072007 2007 2007 2007 2007C x C x C x ... C x C 1
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
20060 2006 1 2005 2 2004 2005 20062007 2007 2007 2007 20072007C x 2006C x 2005C x ... 2C x C 2007 x 1 2
Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:
0 1 2 2006 2007 20072007 2007 2007 2007 2007C C C ... C C 2 3
0 1 22007 2007 2007
2006 20062007
2007C 2006C 2005C
... C 2007.2 4
Cộng (3) và (4) ta được: 0 1 2 2006 2007 20062007 2007 2007 2007 20072008C 2007C 2006C ... 2C C 2009.2 .
Vậy 2006S 2009.2 Ví dụ 10. Cho tổng 0 1 2 n 1 n
n n n n nS 2C 3C 4C ... (n 1)C (n 2)C
với n . Tính n, biết S 320 . Giải
Ta có khai triển:
n 0 1 2 2 n 1 n 1 n nn n n n n1 x C C x C x ... C x C x 1
Nhân 2 vế (1) với x2 ta được: n0 2 1 3 2 4 n 1 n 1 n n 2 2n n n n nC x C x C x ... C x C x x 1 x 2
Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
n0 1 2 2 3 n 1 n n n 1 2 n 1n n n n n2C x 3C x 4C x ... (n 1)C x (n 2)C x 2x 1 x nx (1 x) 3
Thay x = 1 vào (3) ta được:
0 1 2 n 1 n n 1n n n n n2C 3C 4C ... (n 1)C (n 2)C (4 n).2 4 .
n 1S 320 (4 n).2 320 n 6 . Cách khác: Ta có khai triển:
n 0 1 2 2 n 1 n 1 n nn n n n n1 x C C x C x ... C x C x 1
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
n 11 2 3 2 n n 1n n n nC 2C x 3C x ... nC x n 1 x 2
Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:
0 1 2 3 n 1 n nn n n n n nC C C C ... C C 2 3
1 2 3 n 1 n n 1n n n n nC 2C 3C ... (n 1)C nC n.2 4
Nhân (3) với 2 rồi cộng với (4) ta được:
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 3 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
0 1 2 n 1 n n 1n n n n n2C 3C 4C ... (n 1)C (n 2)C (4 n).2 .
n 1S 320 (4 n).2 320 . Vậy n 6 . 2.2. Đạo hàm cấp 2 Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 đến (n–1).n hoặc tăng (giảm) dần từ 12 đến n2 (không kể dấu).
Xét khai triển: n 0 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n nn n n n n n1 x C C x C x C x ... C x C x 1
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: n 11 2 3 2 4 3 n n 1n n n n nC 2C x 3C x 4C x ... nC x n 1 x 2
i) Tiếp tục đạo hàm 2 vế của (2) ta được: 2 3 4 2 n n 2n n n n1.2C 2.3C x 3.4C x ... (n 1)nC x n 2n(n 1)(1 x) (3)
ii) Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:
n 11 2 2 3 3 4 4 n nn n n n nC x 2C x 3C x 4C x .. . nC x nx 1 x 4
Đạo hàm 2 vế của (4) ta được:
2 1 2 2 2 3 2 2 n n 1 n 2n n n n1 C 2 C x 3 C x ... n C x n(1 nx)(1 x) 5
Ví dụ 11. Tính tổng 2 3 4 15 1616 16 16 16 16S 1.2C 2.3C 3.4C ... 14.15C 15.16C .
Giải Ta có khai triển:
16 0 1 2 2 3 3 15 15 16 1616 16 16 16 16 161 x C C x C x C x ... C x C x 1
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
151 2 3 2 15 14 16 1516 16 16 16 16C 2C x 3C x ... 15C x 16C x 16 1 x 2
Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
2 3 4 2 16 14 1416 16 16 161.2C 2.3C x 3.4C x ... 15.16C x 240(1 x) 3
Thay x = – 1 vào đẳng thức (3) ta được: 2 3 4 15 1616 16 16 16 161.2C 2.3C 3.4C ... 14.15C 15.16C 0 .
Vậy S = 0. Ví dụ 12. Rút gọn tổng 2 1 2 2 2 3 2 2006 2 2007
2007 2007 2007 2007 2007S 1 C 2 C 3 C ... 2006 C 2007 C .
Giải Ta có khai triển:
2007 0 1 2 2 2006 2006 2007 20072007 2007 2007 2007 20071 x C C x C x ... C x C x 1
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
20061 2 3 2 2007 20062007 2007 2007 2007C 2C x 3C x ... 2007C x 2007 1 x 2
Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:
20061 2 2 3 3 2006 2006 2007 20072007 2007 2007 2007 2007C x 2C x 3C x ... 2006C x 2007C x 2007x 1 x 2
Đạo hàm 2 vế của (3) ta được:
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 4 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
2 1 2 2 2 3 2 2 2006 2005 2 2007 2006 20052007 2007 2007 2007 20071 C 2 C x 3 C x ... 2006 C x 2007 C x 2007(1 2007x)(1 x) 4
Thay x = 1 vào đẳng thức (4) ta được 2 1 2 2 2 3 2 2007 2005
2007 2007 2007 20071 C 2 C 3 C ... 2007 C 2007.2008.2 .
Vậy 2005S 2007.2008.2 . Bài 1a Chứng minh rằng: 0 1 13 4 ... ( 3) 2 (6 )n n
n n nC C n C n ( knC là tổ hợp chập k của n phần tử.)
HD Ta có (1+x)n = 0 1 ... n nn n nC xC x C nhân cả 2 vế với x3 ta được 3 3 0 4 1 3(1 ) ...n n n
n n nx x x C x C x C lấy đạo hàm hai vế và thay x = 1 ta có điều phải chứng minh. Bài 1b Tính tổng 2 1 2010 2 2 2009 2 3 2008 2 2011 0
2001 2001 2001 20011 2 2 2 3 2 .... 2011 2S C C C C
Bài 2 Cho n là số tự nhiên , 2n tính 2 2 1 2 2 2 2 3 3 2
12 1 . .2 2 .2 3 . .2 ... .2
nk k n nn n n n n
kS k C C C C n C
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 5 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
Bài 3 CMR 2,n n nguyên dương 2 1 2 2 2 3 2 21 2 3 ... 1 2n n
n n n nC C C n C n n Bài 4 Tìm số nguyên dương n biết:
2 3 2 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 12 3.2.2 .... ( 1) ( 1)2 .... 2 (2 1)2 40200
k k k n nn n n nC C k k C n n C
HD * Xét 1n21n21n2
kk1n2
k221n2
11n2
01n2
1n2 xC....xC)1(....xCxCC)x1(
(1) Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) ta có:
n21n21n2
1kk1n2
k21n2
11n2
n2 xC)1n2(....xkC)1(...xC2C)x1)(1n2(
(2)
Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có: 1n21n2
1n22kk
1n2k3
1n22
1n21n2 xC)1n2(n2....xC)1k(k)1(...xC3C2)x1)(1n2(n2
Thay x = 2 vào đẳng thức trên ta có: 2 3 k k 2 k 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 12n(2n 1) 2C 3.2.2C ... ( 1) k(k 1)2 C ... 2n(2n 1)2 C
Phương trình đã cho 100n020100nn240200)1n2(n2 2 Bài 5 Tính giá trị biểu thức sau:
201020112011
2008201020112006
320112008
2.20112010
12011 2..20112..2010......................
21.3
21.2
21 CCCCCT
HD XÐt: 2011
0 1 20112011 2011 1 20112011 2010 20112011 2011 2011 2011 2011
0
1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) . . . . ... . . ... .2 2 2 2 2
i ki i kk
if x x x x x xC C C C C
LÊy ®¹o hµm cña f(x) 2 vÕ ta ®îc:
(*)..2011....2
1.....1.2
1.)21(2011 20102011
20111
2011201120101
20112010 xxkx CCC k
kk
Cho x = 2 vµo 2 vÕ cña (*) ta ®îc 20102010 )25
.(2011)221
(2011 T
Bài 6 Chứng minh rằng với n N*, ta có: n nn n n
nC C nC2 4 22 2 22 4 ... 2 4
2 .
Xét n n nn n n n n nx C C x C x C x C x C x2 0 1 2 2 3 3 4 4 2 2
2 2 2 2 2 2(1 ) ... (1)
n n nn n n n n nx C C x C x C x C x C x2 0 1 2 2 3 3 4 4 2 2
2 2 2 2 2 2(1 ) ... (2)
Từ (1) và (2) n n
n nn n n n
x xC C x C x C x
2 20 2 2 4 4 2 22 2 2 2
(1 ) (1 )...2
Lấy đạo hàm 2 vế ta được: n n n nn n nC x C x nC x n x x2 4 3 2 2 1 2 1 2 1
2 2 22 4 ... 2 (1 ) (1 )
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 6 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
Với x = 1, ta được: n n nn n n
nC C nC n2 4 2 2 12 2 22 4 ... 2 2 4
2 .
Bài 7 Tính tổng: 0 2009 1 2008 2 2007 2007 2 20082008 2008 2008 2008 20082010 2 2009 2 2008 2 ... 3 2 2 2S C C C C C
Bài 8 Khai triển 30 2 30
0 1 2 301 5 ....x a a x a x a x Tính tổng 0 1 2 302 3 ..... 30S a a a a
Bài 9 Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của 1002x x , chứng minh rằng:
99 100 198 199
0 1 99 100100 100 100 100
1 1 1 1100C 101C 199C 200C 0.2 2 2 2
Bài 10 Hãy tìm số tự nhiên n thoả mãn: 0 1 2 3 20 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 02 2 2 2 21.3 .2 . 2.3.2 . 3.3 .2 . 4.3 .2 . ...... (2 1).3 .2 . 73nn n n n n
n n n n nnC C C C C
HD Ta cã 0 1 2 1 22 2 2 1 2 1 1 2 02 2 2 2(2 ) 2 .2 ... .2 .2n nn n n n n
n n n nx x x xC C C C (1)
Nh©n 2 vÕ cña (1) víi x 0 ®îc
0 1 2 1 22 2 2 2 1 2 1 2 1 02 2 2 2(2 ) 2 .2 ... .2 .2n nn n n n n
n n n nx x x x x xC C C C (2)
LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) ta ®îc 0 1 2 12 2 1 2 2 1 2 12 2 2(2 ) 2 (2 ) 1.2 2 2 ....... 2 2 nn n n n n
n n nx nx x x nxC C C
22 02(2 1) 2 nn
nn x C Thay x=3 vµo ®îc
0 1 2 30 2 2 1 2 2 2 3 2 32 2 2 2
22 02
1 6 1.3 .2 . 2.3.2 . 3.3 .2 . 4.3 .2 . ...
(2 1).3 .2 . 73 1 6 73 12
n n n nn n n n
nnn
n
n n nC C C CC
Bài 11. Hãy tìm số tự nhiên n thoả mãn: 0 1 2 2 1 22 2 2 1 2
2 2 2 2 22.2 3.2 ... 2 .2 2 1 .2 2013n nn nn n n n nn nC C C C C
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 7 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
HD Ta có 0
1 2 2 1 22 2 1 22 2 2 2
2
2 ...1 n nn nn n n n
n
n x x x xx C C C C C nhân hai vế với x khác
0 0
1 2 2 1 22 3 2 2 12 2 2 2
2
2 ...1 n nn nn n n n
n
nx x x x xx xC C C C C
lấy đạo hàm hai vế được
01 222 2
2
2 1 22 1 22 2
2 2 1 2 3 ...
2 2 1 2
1 2 1 n nn
n nn nn n
n n x x
nx n x
x nx x C C CC C
Thay x=2 vào 2 vế của (2) được 0 1 2 2 1 22 2 2 1 22 2 2 2 22.2 3.2 ... 2 .2 2 1 .2 1+4nn nn n
n n n n nn nC C C C C Theo giả thiết 1+4n =2013 2012 : 4 53n Bài 12 Tìm số nguyên dương n biết:
2 3 2 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 12 3.2.2 .... ( 1) ( 1)2 .... 2 (2 1)2 40200
k k k n nn n n nC C k k C n n C
HD Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có: 1n21n2
1n22kk
1n2k3
1n22
1n21n2 xC)1n2(n2....xC)1k(k)1(...xC3C2)x1)(1n2(n2
Thay x = 2 vào đẳng thức trên ta có: 2 3 k k 2 k 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 12n(2n 1) 2C 3.2.2C ... ( 1) k(k 1)2 C ... 2n(2n 1)2 C
Phương trình đã cho 100n020100nn240200)1n2(n2 2 Bài 13 Tính tổng S = 1 3 5 2009
2010 2010 2010 20102C 6C 10C ... 4018C . Tính tổng 2011
201220092012
52012
32012
12012 2012.20112010.2009...30122 CCCCCS .
Tính tổng 201120112011
201020112010
32011
22011
12011
02011 2
201222011...
21
43 CCCCCCS
Bài 14 Tính tổng 20112011
22011
12011
02011 2012...32 CCCCS
HD Xét đa thức: 2011 0 1 2 2 2011 20112011 2011 2011 2011( ) (1 ) ( ... )f x x x x C C x C x C x
0 1 2 2 3 2011 20122011 2011 2011 2011... .C x C x C x C x
Ta có: 0 1 2 2 2011 20112011 2011 2011 2011( ) 2 3 ... 2012f x C C x C x C x
0 1 2 20112011 2011 2011 2011(1) 2 3 ... 2012 ( )f C C C C a
Mặt khác: 2011 2010 2010( ) (1 ) 2011(1 ) . (1 ) (1 2012 )f x x x x x x / 2010(1) 2013.2 ( )f b Từ (a) và (b) suy ra: 20102013.2 .S Bài 14 Tính giá trị biểu thức: 2 4 6 100
100 100 100 1004 8 12 ... 200A C C C C . Ta có: 100 0 1 2 2 100 100
100 100 100 1001 ...x C C x C x C x (1)
100 0 1 2 2 3 3 100 100100 100 100 100 1001 ...x C C x C x C x C x (2)
Lấy (1)+(2) ta được: 100 100 0 2 2 4 4 100 100
100 100 100 1001 1 2 2 2 ... 2x x C C x C x C x Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được
99 99 2 4 3 100 99100 100 100100 1 100 1 4 8 ... 200x x C x C x C x
Thay x=1 vào => 99 2 4 100
100 100 100100.2 4 8 ... 200A C C C
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 8 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
Bài 15 Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của 1002x x , chứng minh rằng:
99 100 198 199
0 1 99 100100 100 100 100
1 1 1 1100C 101C 199C 200C 0.2 2 2 2
Bài 16 Hãy tìm số tự nhiên n thoả mãn:
0 1 2 3 20 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 02 2 2 2 21.3 .2 . 2.3.2 . 3.3 .2 . 4.3 .2 . ...... (2 1).3 .2 . 73nn n n n n
n n n n nnC C C C C
HD Ta cã 0 1 2 1 22 2 2 1 2 1 1 2 02 2 2 2(2 ) 2 .2 ... .2 .2n nn n n n n
n n n nx x x xC C C C (1)
Nh©n 2 vÕ cña (1) víi x 0 ®îc
0 1 2 1 22 2 2 2 1 2 1 2 1 02 2 2 2(2 ) 2 .2 ... .2 .2n nn n n n n
n n n nx x x x x xC C C C (2)
LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) ta ®îc
0 1 2 12 2 1 2 2 1 2 12 2 2(2 ) 2 (2 ) 1.2 2 2 ....... 2 2 nn n n n n
n n nx nx x x nxC C C
22 02(2 1) 2 nn
nn x C Thay x=3 vµo ®îc
0 1 2 30 2 2 1 2 2 2 3 2 32 2 2 2
22 02
1 6 1.3 .2 . 2.3.2 . 3.3 .2 . 4.3 .2 . ...
(2 1).3 .2 . 73 1 6 73 12
n n n nn n n n
nnn
n
n n nC C C CC
Bài 17 Hãy tìm số tự nhiên n thoả mãn: 0 1 2 2 1 22 2 2 1 2
2 2 2 2 22.2 3.2 ... 2 .2 2 1 .2 2013n nn nn n n n nn nC C C C C
HD Ta có 0
1 2 2 1 22 2 1 22 2 2 2
2
2 ...1 n nn nn n n n
n
n x x x xx C C C C C nhân hai vế với x khác
0 0
1 2 2 1 22 3 2 2 12 2 2 2
2
2 ...1 n nn nn n n n
n
nx x x x xx xC C C C C
lấy đạo hàm hai vế được
01 222 2
2
2 1 22 1 22 2
2 2 1 2 3 ...
2 2 1 2
1 2 1 n nn
n nn nn n
n n x x
nx n x
x nx x C C CC C
Thay x=2 vào 2 vế của (2) được 0 1 2 2 1 22 2 2 1 22 2 2 2 22.2 3.2 ... 2 .2 2 1 .2 1+4nn nn n
n n n n nn nC C C C C Theo giả thiết 1+4n =2013 2012 : 4 53n Bài 18 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 2 2 3 3 4 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 12.2 3.2 4.2 ... 2 1 .2 2005n nn n n n nC C C C n C
HD ta cã 2 1 0 1 2 2 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 11 ....n n n
n n n nx C C x C x C x
§¹o hµm hai vÕ ta cã 2 1 0 1 2 2 2 1 22 1 2 1 2 1 2 12 1 1 2 3 .... 2 1n n n
n n n nn x C C x C x n C x
Cho x=-2 ta ®-îc n=1002 Bài 19 DB_A1-2006 Ứng dụng khai triển nhị thức Newtơn của 1002 ,x x CMR
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 9 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
99 100 198 1990 1 99 100100 100 100 100
1 1 1 1100 101 ..... 199 200 02 2 2 2
C C C C
HD
Bài 20 DB_D1-2007 Chứng minh với mọi n nguyên dương luôn có
0C1C1...C1nnC 1nn
1n2nn
2n1n
0n
HD Với mọi n N ta có nn
n1nn
1n1n1n
n0n
n C1xC1...xCxC1x
Lấy đạo hàm hai vế ta có 1nn
1n2n1n
1n0n
1n C1...xC1nxnC1xn
Cho x = 1 ta có 1nn
1n1n
0n C1...C1nnC0
Bài 21 Tính tổng 1 2 2 3 3 4 99 100
100 100 100 100 1002.3. 3.3 . 4.3 . ....... 100.3 .S C C C C C
Bài 22 Chöùng minh: 0 2001 1 2000 2001 2001 0 2002
2002 2002 2002 2002 2002 2002 2002 1. . ... . ... . 1001.2k kkC C C C C C C C
HD Ta coù: 1nC nn do ñoù ñieàu chöùng minh trôû thaønh:
0 1 2001 20022002. 2001. ...... 1. 10001.22002 2002 2002C C C
Ta laïi coù: 2002 0 2002 1 2001 2001 2002( 1) ........2002 2002 2002 2002x C x C x C x C
Laáy ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc : 2001 0 2001 1 2000 20012002.( 1) 2002. 2001. . .... 1.2002 2002 2002x C x C x C
Cho x = 1 vaø löu yù 2001 20022002.2 1001.2 ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh. Bài 23 CMR 1 2 3 2 2 1 2 2 2 1 2 1
2 2 2 23.2 ........ 2 1 2 .... 2 1 2 3 1k k n n nn n n nC C k C n C n
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 10 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
PHẦN B. Áp tích phân vào bài toán nhị thức NewTơn Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trước tổ hợp (và lũy thừa) giảm dần từ 1 đến 1
n 1 hoặc tăng dần từ
1n 1
đến 1.
Xét khai triển: n 0 1 2 2 n 1 n 1 n nn n n n n1 x C C x C x ... C x C x 1
Lấy tích phân 2 vế của (1) từ a đến b ta được:
b b b b b
n 0 1 n 1 n 1 n nn n n n
a a a a a
1 x dx C dx C xdx ... C x dx C x dx
bn 1 b b bb 2 n n 1
0 1 n 1 nn n n n
a a a aa
1 x x x x xC C ... C C
n 1 1 2 n n 1
2 2 n n n 1 n 1 n 1 n 10 1 n 1 nn n n n
b a b a b a b a (1 b) (1 a)C C ... C C
1 2 n n 1 n 1
Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết giá trị của n.Để nhận biết 2 cận a và b ta nhìn vào số hạng n 1 n 1
nn
b aC
n 1
.
Ví dụ 13. Rút gọn tổng 2 2 3 3 9 9 10 10
0 1 2 8 99 9 9 9 9
3 2 3 2 3 2 3 2S C C C ... C C
2 3 9 10
.
Giải Ta có khai triển:
9 0 1 2 2 8 8 9 99 9 9 9 91 x C C x C x ... C x C x 1
3 3 3 3 3
9 0 1 8 8 9 99 9 9 9
2 2 2 2 2
1 x dx C dx C xdx ... C x dx C x dx
310 3 3 3 33 2 3 9 10
0 1 2 8 99 9 9 9 9
2 2 2 2 22
1 x x x x x xC C C ... C C
10 1 2 3 9 10
10 10 2 2 9 9 10 100 1 8 99 9 9 9
4 3 3 2 3 2 3 2C C .. C C
10 2 9 10
.Vậy 10 104 3
S10
.
Ví dụ 14. Rút gọn tổng 2 3 4 n n 1
0 1 2 3 n 1 nn n n n n n
2 2 2 2 2S 2C C C C ... C C
2 3 4 n n 1
.
Giải Ta có khai triển:
n 0 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n nn n n n n n1 x C C x C x C x ... C x C x
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 11 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
2 2 2 2 2
n 0 1 2 2 n nn n n n
0 0 0 0 0
1 x dx C dx C xdx C x dx ... C x dx
2n 1 2 2 22 2 n n 1
0 1 n 1 nn n n n
0 0 0 00
1 x x x x xC C ... C C
n 1 1 2 n n 1
2 3 n n 1 n 10 1 2 n 1 nn n n n n
2 2 2 2 3 12C C C ... C C
2 3 n n 1 n 1
.Vậy n 13 1
Sn 1
.
Ví dụ 15. Rút gọn tổng sau: 2 3 100 101
0 1 2 99 100100 100 100 100 100
2 1 2 1 2 1 2 1S 3C C C ... C C
2 3 100 101
.
Giải
Ta có khai triển: 100 0 1 2 2 99 99 100 100100 100 100 100 1001 x C C x C x ... C x C x
2 2 2
100 0 1100 100
1 1 12 2
99 99 100 100100 100
1 1
1 x dx C dx C xdx
... C x dx C x dx
2101 22 2
0 1100 100
1 112 2100 101
99 100100 100
1 1
1 x x xC C ...
101 1 2
x xC C
100 101
101 2 100 1010 1 99 100100 100 100 100
3 2 1 2 1 2 13C C ... C C
101 2 100 101
.Vậy 1013
S101
.
Bài 1 Tìm số tự nhiên n thoả mãn: 0 1 2 31 1 1 1 1023. . . ... .2 3 4 1 10
nn n n n nC C C C C
n
Bài 2 T×m hÖ sè 4a cña 4x trong khai triÓn Niut¬n ®a thøc 2( ) ( 1)nf x x x víi n lµ sè tù nhiªn tháa
m·n:2 3 1 11
0 1 23 3 3 4 13 ...2 3 1 1
nn
n n n nC C C Cn n
.
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 12 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
Bài 3 Tìm hệ số của 20x trong khai triển Newton của biểu thức 53
2
n
xx
biết rằng:
0 1 21 1 1 1... ( 1)2 3 1 13
n nn n n nC C C C
n
HD Theo Newton thì: 0 1 2 2(1 ) .... ( 1)n n n nn n n nx C C x C x C x B
Vì 1
0
1(1 )1
nx dxn
,
10 1 2
0
1 1 1... ( 1)2 3 1
n nn n n nBdx C C C C
n
1 13 12n n
Lại có: 12
5 5123 3
0
2 2( ) .( ) ( )n k
n k k
kx C x
x x
, 12 8 36
1 12.2 .k k kkT C x Số hạng ứng với thoả mãn:
8 36 20 7k k Hệ số của 20x là: 7 512.2 25344C
Bài 4 Tìm số tự nhiên n thoả mãn: 12
8192.12
2....72.
52.
32.2 2
262
42
22
02
n
Cn
CCCC nnnnnn
nnnnnn
n xCxCxCCx 222
222
12
02
2 ...)1( nn
nnnnn xCxCxCCx 22
222
212
02
2 ...)1( nx 2)1( )...(2)1( 222
442
222
02
2 nnnnnn
n xCxCxCCx
dxx n1
0
2)1( 2)1(1
0
2 dxx n 1
0
222
442
222
02 )...( dxxCxCxCC nn
nnnn
1
0
12
12)1(
nx n
1
0
1222
1
0
322
1
0
02
1
0
12
12...
32
12)1(
nxCxCxC
nx n
nnnn
n
212
11212 12
nn
n
)12
1...31( 2
222
02
nnnn C
nCC
122 12
n
nnnnn C
nCC 2
222
02 12
2...322
128192
122 12
nn
n
6 n
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 13 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
Bài 5 Tìm hệ số của số hạng chứa 2x trong khai triển n
xx
421 biết n là số nguyên dương thoả mãn:
16560.
12....
32.
22.2
12
31
20
nC
nCCC n
n
n
nnn
HD Ta có nnnnnnn
n xCxCxCxCCx ...)1( 332210
2
0
3322102
0
...)1( dxxCxCxCxCCdxx nnnnnnn
n 2
0
1
1)1(
nx n
2
0
12
0
32
2
0
212
0
0
1...
32
nxCxCxCxC
nnnnnn 2
113 1
n
nnn
n
nnn Cn
CCC1
2...32
22 1
23
12
0
16560
113 1
nn
n
765613 1 nn 4314
7
7
0
7
4..
21
21 k
k
kk xC
xx
Theo bài ra 224
314
kk Vậy hệ số cần tìm là
421.
21 2
72 C
Bài 6 Tìm a và n nguyên dương thỏa :2 3 1
0 1 2 127......2 3 ( 1) 7
nn
n n n na a aaC C C C
n
và 3 20nA n .
: 3 220 ( 1)( 2) 20 3 18 0nA n n n n n n n n = 6 và n = – 3 ( loại )
Khi đó: 2 7
0 1 66 6 6
127. . ....2 7 7a aa C C C
Ta có : 6 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 66 6 6 6 6 6 6(1 )x C C x C x C x C x C x C x
Nên 2 7
6 0 1 66 6 60
0 0 0
(1 ) ...2 7
a aaa x xx dx C x C C
7 2 70 1 66 6 6
0
(1 ) . . ....7 2 7
ax a aa C C C
7
7 7 7(1 ) 1 127 (1 ) 128 (1 ) 27 7 7a a a
a 1
Vậy a = 1 và n = 6 .
Bài 7 Tính tổng :2 4 6 2010
1 3 5 20092010 2010 2010 2010
2 1 2 1 2 1 2 1. . . ... .2 4 6 2010
S C C C C
Tacó2010
2010 0 1 1 2 2 3 3 2009 2009 2010 20102010 2010 2010 2010 2010 2010 2010
0(1 ) . . . ... . .K k
kx C x C C x C x C x C x C x
20102010 0 1 1 2 2 3 3 2009 2009 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010 2010 20100
(1 ) .( ) . . . ... . .k k
kx C x C C x C x C x C x C x
2010 2010
1 3 3 5 5 2009 20092010 2010 2010 2010
(1 ) (1 ) . ... .2
x x C x C x C x C x
Lấy tích phân 2 vế của (1) với cận từ 1 đến 2 ta được:
2 22010 2010
1 3 3 5 5 2009 20092010 2010 2010 2010
1 1
(1 ) (1 ) . ...2
x x dx C x C x C x C x dx
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 14 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
2011 2011
1 2 3 4 2009 20102010 2010 2010
(1 ) (1 ) 2 21 1 12011 2011 ...
2 2 4 20101 1
x x
C x C x C x
2011 2011 2 4 20101 3 20092010 2010 2010
3 1 2 2 1 2 1 2 1...4022 2 4 2010
C C C .Vậy:
2011 20113 2 14022
S
Bài 8 Chứng minh đẳng thức sau: 20122012
42012
22012
20112012
32012
12012 20124220113 CCCCCC
Bài 9 Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng : 2 3 1 1
0 1 22 2 2 3 12 ...2 3 1 1
n nn
n n n nC C C Cn n
HD Xét khai triển 0
1nn k k
nk
x C x
(1)
Lấy tích phân hai vế của (1) ta có: 1 12 2
0 00 0
2 2(1 )(1 )0 01 1
n kn nn k k k
n nk k
x xx dx C x Cn k
Từ đó dẫn tới : 2 3 1 1
0 1 22 2 2 3 12 ...2 3 1 1
n nn
n n n nC C C Cn n
(Đpcm)
Bài 10 Tìm m, n thỏa mãn: 1 2 3 26 6 9 14n n nC C C n n và 2 3 4 1
0 1 2 3 255...2 3 4 1 8
nn
n n n n nm m m mmC C C C C
n
HD Giải phương trình 1 2 3 26 6 9 14n n nC C C n n tìm được n = 7
2 3 4 80 1 2 3 7 77 7 7 7 7
1
255... (1 )2 3 4 8 8
mm m m mmC C C C C x dx 8 8(1 ) 255 (1 ) 256|
18 8 8 81, 3
mx m
m m
Bài 11 Tìm số nguyên dương n sao cho thoả mãn 2
0 1 22 2 2 121...2 3 1 1
nn
n n n nC C C Cn n
Xét khai triển 0 1 2 2(1 ) ...n n nn n n nx C C x C x C x
Lấy tích phân 2 vế cân từ 0 đến 2 , ta được:1 2 3 1
0 1 33 1 2 2 22 ...1 2 3 1
n nn
n n n nC C C Cn n
2 1 10 1 2
1
2 2 2 3 1 121 3 1...2 3 1 2( 1) 1 2( 1)
3 243 4
n n nn
n n n n
n
C C C Cn n n n
n
Vậy n=4.
Bài 12 Tìm m, n thỏa mãn: 1 2 3 26 6 9 14n n nC C C n n và 2 3 4 1
0 1 2 3 255...2 3 4 1 8
nn
n n n n nm m m mmC C C C C
n
HD Giải phương trình 1 2 3 26 6 9 14n n nC C C n n tìm được n = 7 2 3 4 8
0 1 2 3 7 77 7 7 7 7
1
255... (1 )2 3 4 8 8
mm m m mmC C C C C x dx 8 8(1 ) 255 (1 ) 256| 1
18 8 8 8mx m m
Bài 13 KB – 2003 Cho n là số nguyên dương. Tính tổng 2 3 1
0 1 22 1 2 1 2 1...2 3 1
nn
n n n nC C C Cn
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 15 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
Bài 14 KA-2007 CMR 2
1 3 5 2 12 2 2 2
1 1 1 1 2 1...2 4 6 2 2 1
nn
n n n nC C C Cn n
Bài 15 Rút gọn tổng 2n 1 2n 1 2n 3 3 1
0 1 2 n 1 nn n n n n
2 2 2 2 2S C C C ... C C
n 1 n n 1 2 1
.
HD: n 0 n n 1 n 1 n 1 2 n 2 n 2 n 1 n
n n n n n(2x 1) C 2 x C 2 x C 2 x ... C 2x C 2 2 2 2 2 2
n n 0 n n 1 1 n 1 n 2 2 n 2 n 1 nn n n n n
0 0 0 0 0 0
(2x 1) dx 2 C x dx 2 C x dx 2 C x dx ... 2C xdx C dx
2 2 2 2 2n 1 n 1 n n 1 22n 0 n 1 1 n 2 2 n 1 n
n n n n n 00 0 0 0 0
(2x 1) x x x x2 C 2 C 2 C ... 2C C x
2(n 1) n 1 n n 1 2
Rút gọn tổng 2n 1 2n 1 2n 3 3 1
0 1 2 n 1 nn n n n n
2 2 2 2 2S C C C ... C C
n 1 n n 1 2 1
.
Bài 16 Rút gọn tổng:
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 16 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
22 2 2 2 21 2 3 4 99 100100 100 100 100 100 100
1 2 3 4 99S C C C C ... C 100 C
100 99 98 97 2
HD . Ta có: 100 0 1 2 2 3 3 99 99 100 100100 100 100 100 100 100(1 x) C C x C x C x ... C x C x
99 1 2 3 2 99 98 100 99100 100 100 100 100100(1 x) C 2C x 3C x ... 99C x 100C x (1).
100 0 100 1 99 2 98 99 100100 100 100 100 100(x 1) C x C x C x ... C x C
100 0 100 1 99 2 98 99 100100 100 100 100 100(x 1) dx C x dx C x dx C x dx ... C xdx C dx
101 101 100 99 20 1 2 99 100100 100 100 100 100
(x 1) x x x xC C C C ... C C x
101 101 100 99 2
(2).
Nhân (1) và (2) ta được: 200 99100(1 x) 100C(1 x)
101
101 100 99
1 2 3 2 100 99 0 1 2 100100 100 100 100 100 100 100 100
x x xC 2C x 3C x ... 100C x C C C ... C x
101 100 99
(3).
Nhân phân phối vế phải (3) và cân bằng hệ số x100 ta được: 100200
100S C
101 .
Bài 17 Với mỗi số tự nhiên n hãy tính tổng: 1 1 10 1 1 2 2.2 .2 .2 ...2 3 1
n n n nS C C C Cn n n nn
.
PHẦN C. Áp dụng số phức vào bài toán nhị thức NewTơn Bài 1 Tính tổng: 0 4 8 2004 2008
2009 2009 2009 2009 2009...S C C C C C Ta có: 2009 0 1 2009 2009
2009 2009 2009(1 ) ..i C iC i C
0 2 4 6 2006 20082009 2009 2009 2009 2009 2009
1 3 5 7 2007 20092009 2009 2009 2009 2009 2009
....
( ... )
C C C C C C
C C C C C C i
Thấy: 1 ( )2
S A B , với 0 2 4 6 2006 20082009 2009 2009 2009 2009 2009....A C C C C C C
0 2 4 6 2006 20082009 2009 2009 2009 2009 2009...B C C C C C C
+ Ta có: 2009 2 1004 1004 1004 1004(1 ) (1 )[(1 ) ] (1 ).2 2 2i i i i i . Đồng nhất thức ta có A chớnh là phần thực của 2009(1 )i nờn 10042A . + Ta có: 2009 0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009(1 ) ...x C xC x C x C Cho x=-1 ta có: 0 2 2008 1 3 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009... ...C C C C C C Cho x=1 ta có: 0 2 2008 1 3 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009( ... ) ( ... ) 2C C C C C C . Suy ra: 20082B . + Từ đó ta có: 1003 20072 2S .
Bài 2 Chứng minh rằng 0 2 4 100 50100 100 100 100... 2 .C C C C
Ta có
100 0 1 2 2 100 100 0 2 4 100 1 3 99100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1001 ... ... ...i C C i C i C i C C C C C C C i
Mặt khác
2 100 502 501 1 2 2 1 2 2i i i i i i Vậy 0 2 4 100 50100 100 100 100... 2 .C C C C
Bài 3 Tính tổng: 1 3 5 7 2009 20112011 2011 2011 2011 2011 2011...S C C C C C C
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 17 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
I. Chứng minh đẳng thức nhờ Nhị thức New tơn Bài 1 Chứng minh: 0 10 1 9 9 1 10 0 10
10 20 10 20 10 20 10 20 30. . ... . . C C C C C C C C C . Ta có 30 10 20(1 ) (1 ) .(1 ) , x x x x (1)
Mặt khác: 3030
1(1 ) . ,
n
k k
kx C x x .
Vậy hệ số 10a của 10x trong khai triển của 30(1 ) x là 1010 30a C .
Do (1) đúng với mọi x nên 10 10a b . Suy ra điều phải chứng minh.
Bài 2 Chứng minh rằng: 1 2 2011 0 1 20102011 2011 2011 2010 2010 2010
1 1 1 1006 1 1 1... ( ... )2011C C C C C C
Bài 3 Chứng minh rằng: 2 4 22 2 22 4 .... 2 4
2n n
n n nnC C nC n nguyên dương
Bài 4 Chøng minh: 0 1 2
21 1 15 ... 65 5 5
n n nn n n nnC C C C
HD Ta cã: 1 1 2 21 5 5 5 .. 6n o n n n nn n n nC C C C
0 1 1 11 ....n n n n nn n n nx C x C x C x C Cho x=5
1 1 2 25 5 5 .. 6n o n n n nn n n nC C C C
Bài 5 Chứng minh rằng 2011
0 2 4 20102011 2011 2011 2011
1 1 1 2...3 5 2011 2012
C C C C .
Bài 6 Tính tổng 1 2 100100 100 100 1003 2 1 199
2 4 2 200.. ...3 3 3 3
kk
kT C C C C .
Tính tổng 201120112011
201020112010
32011
22011
12011
02011 2
201222011...
21
43 CCCCCCS
Tính tổng 20112012
20092012
52012
32012
12012 2012.20112010.2009...30122 CCCCCS .
Bài 7 Tính: 0 0 1 1 2 2 3 3 2010 2010
2010 2010 2010 2010 20102 C 2 C 2 C 2 C 2 CA ...1 2 3 4 2011
Ta có:
k k kk kk k 1 k 12010
2011
1 2 2011 2011 01 2 2011 02011 2011 2011 2011
2 2010! 2 2010! 2 2011!2 C 1 11 2 Ck 1 k! 2010 k ! k 1 k 1 ! 2010 k ! 2011 k 1 ! 2011 k 1 ! 4022
1 1 1A 2 C 2 C ... 2 C 2 1 2 C4022 4022 2011
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 18 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
Bài 8 Tìm số nguyên dương n; biết khai triển P(x) = (5 + 2x + 5x2 + 2x3 )n thành đa thức thì hệ số của x3 bằng 458 HD P(x) = [5 +2x + 5x2 + 2x3]n = (1 + x2)n(5 + 2x)n
Hệ số x3: 0 3 3 3 1 1 15 2 5 .2n nn n n nC C C C = 5n-2.2( 3 24 25 )nC n = 458 ==> n = 3
Bài 9 Tìm số hệ số của số hạng chứa 6x trong khai triển 12
n
xx
, biết rằng 2 11 4 6n
n nA C n .
Giải phương trình 2 11 4 6n
n nA C n ; Điều kiện: n ≥ 2 ; n N.
Phương trình tương đương với ( 1)!( 1) 4 62!( 1)!
nn n nn
( 1)( 1) 4 62
n nn n n
n2 – 11n – 12 = 0 n = - 1 (Loại) hoặc n = 12.
Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn: 12 24 312 12
12 122 212 12
1 1
12 2 . .2 .k k
kk k k
k kx C x x C x
x
Số hạng này chứa 6x khi , 0 12
424 3 12k N k
kk
. Vậy hệ số của số hạng chứa 6x là: 4 812 2C
Bài 1 Tính giá trị biểu thức: 1 2 100100 100 100 1003 2 1 999
2 4 2 200.... ...3 3 3 3
kk
kA C C C C .
Bài Cho khai triÓn nn
n
xaxaxaax
....
32
1 2210 . T×m sè lín nhÊt trong c¸c sè naaaa ,...,,, 210 biÕt
r»ng n lµ sè tù nhiªn tháa m·n 110252 111222 nnn
nn
nn
nnn CCCCCC .
HD Ta cã 221n
2n
1nn
1n
1nn
2nn
2nn
2n 105)CC(11025CCCC2CC
)i¹lo(15n
14n0210nn105n
2
)1n(n105CC 21
n2n
Ta cã khai triÓn
14
0k
kk14kk14
14
0k
kk14k14
14
x.3.2C3
x
2
1C
3
x
2
1
Do ®ã k14kk14k 3.2Ca
Ta xÐt tØ sè )1k(3
)k14(2
32C
32C
a
ak14kk
14
1k13k1k14
k
1k
. 5k1
)1k(3
)k14(21
a
a
k
1k
. Do k , nªn k 4 .
T¬ng tù 5k1a
a,5k1
a
a
k
1k
k
1k Do ®ã 14765410 a...aaaa...aa
Do ®ã a5 vµ a6 lµ hai hÖ sè lín nhÊtVËy hÖ sè lín nhÊt lµ 62208
100132Caa 595
1465
Bài Tính giá trị biểu thức A = 4
23
22
21
2 32011
322011
212011
102011
0 CCCC......-
20122 2011
20112011 C
Ta có )!2011!.().1(
!2011.)2(1
.2)1( 2011
kkkkC kkk
k
= )!12012)!.(1(2012
!2012.)2()!2011)!.(1(
!2011.)2(
kkkk
kk
= -
12012.)2.(
20121 kk C == - 1
20121.)2.(
40241 kk C
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 19 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
Với k = 0, 1, 2, …….., 2011 ta có:
A = -4024
1 . 20122012
201222012
21202
1 )2(.......)2()2( CCC =
= -4024
1 . 02012
020122012
201222012
21202
102012
0 )2()2(.......)2()2()2( CCCCC =
= -4024
1 . 02012
02012 )2()12( C = -4024
1 . 11 = 0 Vậy A = 0
Bài Tính tổng: 1 1 1 1 1S ...
2!2007! 4!2005! 6!2003! 2006!3! 2008!1!
Ta có: 2009!S= 2009! 2009! 2009! 2009! 2009!...2!2007! 4!2005! 6!2003! 2006!3! 2008!1!
2 4 6 2006 20082009 2009 2009 2009 2009C C C ... C C
Bằng cách khai triển 2009(1 x) và chọn x= -1, ta được đẳng thức …. Chọn x=1, ta được đẳng thức: . . .
Từ đó suy ra: 20082 1S2009!
(Các đề theo hình thức tự luận)
Bài Tính: 0 0 1 1 2 2 3 3 2010 2010
2010 2010 2010 2010 20102 C 2 C 2 C 2 C 2 CA ...1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012
HD Ta có:
k kk kk 2010
kk 1 k 1
2011
1 2 20111 2 20112011 2011 2011
2011 0 02011
2 2010! 2 2010!2 C1k 1 k! 2010 k ! k 1 k 1 ! 2010 k !
2 2011!1 1 2 C2011 k 1 ! 2011 k 1 ! 4022
1A 2 C 2 C ... 2 C4022
1 12 1 2 C4022 2011