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PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER
Le 01/04/2004
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Options Exotiques
Emmanuel BIOUX
Matthieu FOURNIL-MOUSSÉ
Loïc TONNELIER
Pr
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de
École Internationale des Sciences du Traitement de l’Information
Version Finale - Compte Rendu - lundi 15 mars 2004
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Sommaire REMERCIEMENTS................................................................................................................................................ 4 INTRODUCTION .................................................................................................................................................... 5 PARTIE 1 MODELISATION DES OPTIONS EXOTIQUES ........................................................................... 7
1. INTRODUCTION CONCERNANT LES MODELISATIONS .................................................................................. 10 1.1 Modélisation à temps discret ........................................................................................................... 10 1.2 Modélisation à temps continu .......................................................................................................... 10
2. LES OPTIONS NON PATH-DEPENDANT ........................................................................................................ 12 2.1 Option Binaire.................................................................................................................................. 12
a) Définitions et caractéristiques ........................................................................................................................... 12 b) Intérêt ................................................................................................................................................................. 14 c) Modélisation en temps discret........................................................................................................................... 14 d) Modélisation en temps continu ......................................................................................................................... 16 e) Exemples de stratégie ........................................................................................................................................ 22
2.2 Option à panier ................................................................................................................................ 24 a) Définitions et caractéristiques ........................................................................................................................... 24 b) Éléments de « pricing » ..................................................................................................................................... 24 c) Intérêt ................................................................................................................................................................. 25 d) Exemple de stratégie.......................................................................................................................................... 26
2.3 Option Chooser ................................................................................................................................ 29 a) Définitions et caractéristiques ........................................................................................................................... 29 b) Intérêt ................................................................................................................................................................. 30 c) Modélisation en temps continu ......................................................................................................................... 31 d) Exemples de stratégie ........................................................................................................................................ 31
3. LES OPTIONS PATH-DEPENDENT ................................................................................................................. 33 3.1 Option barrière ................................................................................................................................ 33
a) Définitions et caractéristiques ........................................................................................................................... 33 b) Intérêt ................................................................................................................................................................. 35 c) Modélisation en temps continu ......................................................................................................................... 35 d) Exemple de stratégie.......................................................................................................................................... 40
3.2 Option Lookback .............................................................................................................................. 41 a) Définitions et caractéristiques ........................................................................................................................... 41 b) Intérêt ................................................................................................................................................................. 46 c) Modélisation en temps continu ......................................................................................................................... 46 d) Exemple de stratégie.......................................................................................................................................... 51
3.3 Option Asiatique (ou à Moyenne).................................................................................................... 54 a) Définitions et caractéristiques ........................................................................................................................... 54 b) Intérêt ................................................................................................................................................................. 55 c) Modélisation en temps discret........................................................................................................................... 55 d) Modélisation en temps continu ......................................................................................................................... 56 e) Exemple de stratégie.......................................................................................................................................... 58
PARTIE 2 SIMULATION DES OPTIONS EXOTIQUES ............................................................................... 60 1. INTRODUCTION A LA SIMULATION ............................................................................................................. 61
1.1 Problématique .................................................................................................................................. 61 1.2 Génération de Variables Normalement Distribuées ....................................................................... 64
f) Génération de variables uniformément distribuées........................................................................................... 64 g) Transformation d'une variable aléatoire uniformément distribuée en variable aléatoire normalement distribuée ...................................................................................................................................................................... 68
1.3 Performances des méthodes de génération de valeurs normalement distribuées .......................... 71 a) Performances temporelles ................................................................................................................................. 71 b) Performances pures : Qualité du résultat fourni ............................................................................................... 72 c) Application au pricing d’une option standard................................................................................................... 73
1.4 Cas des Options Path Dependent .................................................................................................... 74 a) Ponts Browniens : Correction de la probabilité d’atteindre la barrière ............................................................ 75
1.5 Génération de vecteurs aléatoires Gaussiens : Décomposition de Choleski ................................. 76 2. VOLATILITE ................................................................................................................................................ 78
2.1 Volatilité historique ou non conditionnelle ..................................................................................... 78 2.2 Volatilité conditionnelle ou Garch .................................................................................................. 79
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2.3 Volatilité implicite............................................................................................................................ 81 CONCLUSION ....................................................................................................................................................... 82 REFERENCES ....................................................................................................................................................... 85 GLOSSAIRE........................................................................................................................................................... 87
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REMERCIEMENTS
Ce rapport est l’aboutissement d’un travail continu de quatre mois au sein de
l’option Ingénierie Financière à l’EISTI et constitue notre projet de fin d’étude.
Nous tenons à remercier particulièrement M. Erik Tafiln – Responsable de
l’option – pour nous avoir conseillé et encadré tout au long de ce travail.
Nous adressons également un remerciement particulier à Mme Marieta
Manolessou pour nous avoir conseillé et encadré tout au long de notre PFE.
Enfin, nous tenons à associer à ces remerciements M. Nesim Fintz pour son
soutien et sa grande disponibilité.
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INTRODUCTION
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Lorsqu'en 1973, Black et Scholes ont découvert la formule d'évaluation des
options sur actions, un nouvel espace de stratégies d'investissement a été
ouvert aux financiers. Le grand choix de possibilités offertes, tant pour la
couverture d'actifs, que pour la spéculation ou l'arbitrage, a permis le
développement rapide de ce marché.
En agissant sur la quantité de refinancement offerte au système bancaire, la
politique monétariste de Paul Volker, à partir de 1979, a eu pour conséquence
un brusque décrochage des taux d'intérêt. Les opérateurs financiers ont alors
été amenés à prendre des positions importantes sur les taux, dont la volatilité
croissait fortement. La technique optionnelle constituait à cette époque, une
réponse appropriée à ces mouvements de cours, faisant des opérations à
terme ferme des instruments de couverture trop contraignants.
Les faillites du Comté d'Orange (perte de 1.5 milliard de dollars) et de la
banque Barings, ainsi que les procès intentés par Procter and Gamble (perte
de 102 millions de dollars) à Bankers Trust ou récemment par la Seita (perte
de 150 millions de francs) à Salomon Brothers, démontrent que ces produits
peuvent générer de lourdes pertes. La Seita a notamment reproché à sa
contrepartie de ne pas avoir respecté son devoir d'information et de conseil,
et d'avoir volontairement présenté «de manière inexacte ou incomplète des
données relatives aux produits». Les deux obstacles à l'emploi des options
sont ainsi clairement mis en avant dans cette accusation. D'une part, le
paiement de l'investissement optionnel par l'entreprise constitue souvent une
charge financière importante. Cachée dans un produit structuré, l'option est
parfois vendue par l'entreprise et peut générer des pertes considérables. La
contrepartie a un rôle de formation et de conseil auprès de l'investisseur, dans
la détermination du risque. D'autre part, les banques, contreparties
obligatoires d'intérêts très spécifiques des investisseurs, ont développé des
structures optionnelles de plus en plus complexes. Afin de mettre en avant
leur capacité d'innovation et de créativité, elles ont investi dans des
ordinateurs, puissants et dans le recrutement de scientifiques de haut niveau,
contribuant à une sophistication croissante de l'option. Des formules
d'évaluation d'options dites de «seconde génération», ou «exotiques», sont
ainsi apparues. Elles ont initialement été développées, afin de réduire le coût
de leurs aînées.
Nous allons tenter d'exposer ici dans un premier temps les différents types
d’options exotiques ainsi que leurs modélisations respectives en temps discret
et continu, pour s’intéresser ensuite à leurs modélisations.
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PARTIE 1 MODELISATION DES
OPTIONS EXOTIQUES
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Nous présenterons dans cette partie les différentes options exotiques, et pour
chacune d’entre elles, nous les modéliserons en temps discret et temps
continu.
Or, il est courant de distinguer les options exotiques en deux grandes
catégories :
• Les option « non-path-dependent » : ce sont les options dont la valeur
finale ne dépendent pas du chemin suivi par le cours du sous jacent
pendant toute la durée de vie de l'option.
• Les options « path-dependent » : le prix de ces options dépend du
chemin suivi par le cours du sous jacent pendant toute la durée de vie
de l'option.
C’est ainsi que nous avons choisi de classer les différentes options exotiques
selon ce critère de path dependent.
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1. INTRODUCTION CONCERNANT LES MODELISATIONS
Nous décrirons dans ces parties les principales notations utilisées dans notre
PFE. De plus, nous présenterons les principes généraux des deux
modélisations que sont la modélisation en temps discret et la modélisation en
temps continu.
1.1 Modélisation à temps discret
• Notations
Les temps possibles t de transaction sont donnés par Tt ,,1,0 K=∈ où
l’entier 1≥T est l’horizon temporel du modèle.
Soit l’espace de probabilité P,,Ω munie d’une filtration ( ∈= tt ) qui
décrit l’incertitude et la dynamique informationnelle.
Nous définissons une option dans cet espace.
Soient :
• K : Prix d’exercice de l’option
• tS : Cours de l’actif sous-jacent au temps t
• X : Payoff de l’option
Nous modéliserons les options exotiques en temps discret en utilisant un
modèle binomial.
1.2 Modélisation à temps continu
Pour les parties modélisation, nous effectuerons les hypothèses suivantes :
- Les marchés financiers sont considérés comme parfaits (bonne liquidité,
pas d’écart entre le prix demandé et le prix offert pour l’option, absence
d’opportunité d’arbitrage, pas de coût de transaction, ni de taxe ou
d’impôt)
- Le cours de l’actif a une distribution lognormale
- Les taux de prêt et d’emprunt sont égaux et constants sur toute la durée
de vie de l’option
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- La cotation de l’actif sous jacent se fait en temps continu sans saut ni
décrochement.
- L’option est de type européen. Elle n’est donc exerçable qu’à la date
d’échéance.
- Aucune distribution de dividendes n’a lieu avant échéance de l’option.
- La volatilité historique est supposée constante sur toute la durée de vie
résiduelle de l’option
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2. LES OPTIONS NON PATH-DEPENDANT
2.1 Option Binaire
a) Définitions et caractéristiques
L'option binaire ou encore appelée digitale confère à son acheteur une somme
fixe d'argent si le cours du sous-jacent atteint ou franchit le prix d'exercice
préalablement fixé. Ce prix est le prix d’exercice de l’option binaire.
La famille des options binaires regroupe 4 types d’options :
• L’option all or nothing (Tout ou rien) : (Aussi appelée « Cash or
nothing ») Le détenteur d’une telle option reçoit un coupon fixe,
déterminé à l’avance, si l’option arrive à l’échéance dans la monnaie.
Dans le cas contraire, la prime de l’option est perdue.
• L’option « asset or nothing » (Actif ou rien) : Cette option présente
quasiment les mêmes caractéristiques que l’option « all or nothing », à
la seule exception, que si elle arrive à l’échéance le coupon versé ne
sera pas un montant fixé mais la valeur de l’actif sous-jacent ou un
multiple de celui-ci.
• L’option gap : Cette option permet de recevoir un coupon représentant
la différence entre la valeur de l’actif sous-jacent et une constante
déterminée à l’avance si l’option arrive dans la monnaie.
• L’option « contingent premium » : Aussi appelée option à prime
contingente, ou « Capitalized option ». Dans sa version « standard »,
elle présente la particularité de définir une prime contingente qui est
retranchée au prix d’exercice lors du remboursement final. A l’opposé,
les options à prime contingente dite complexe, définissent une ou
plusieurs zones de cours de l’actif sous-jacent à l’échéance, dans
lesquelles un montant cash, ou prime contingente complexe, est ajouté
au remboursement final. Nous ne traiterons ici, dans un souci de clarté,
que les options à prime contingent standard.
Nous pouvons interpréter l’option à prime contingent standard de la
façon suivante :
• Si l’option expire en dehors de la monnaie, le remboursement
est égal à zéro.
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• Dans le cas contraire, le remboursement est réduit au montant
de la prime contingente, en comparaison avec une option
standard.
Nous pouvons regrouper dans un tableau l’ensemble des pay-off pour les
différents cas :
Payoff X Type
Call Put
All or nothing ⎩⎨⎧
<≥
KSKSN
T
T
si 0 si
⎩⎨⎧
>≤
KSKSN
T
T
si 0 si
Asset or nothing ⎩⎨⎧
<≥⋅KS
KSSM
T
TT
si 0 si
⎩⎨⎧
>≤⋅KS
KSSM
T
TT
si 0 si
Gap1 ( )
⎩⎨⎧
<≥−
KSKSYS
T
TT
si 0 si
( )
⎩⎨⎧
>≤−
KSKSYS
T
TT
si 0 si
Contingent
Premium ⎩⎨⎧
<≥−−
KSKSDSK
T
TT
si 0 si
⎩⎨⎧
>≤−−
XSKSDSK
T
TT
si 0 si
Avec les notations :
- N : coupon payé à l’échéance, - K : prix d’exercice du sous-jacent, - M : Multiple constant, - Y : Constante prédéterminée à l’avance appelée montant cash - D : prime contingente
En utilisant une fonction de Heaviside H , nous pouvons définir d’une manière
générale le payoff d’une option binaire dans le cas d’un call :
( ) GKSHX TeCallBinair ⋅−=
Et dans le cas d’un put :
( ) GSKHX TPutBinaire ⋅−=
1 Le montant -YSFinal est appelé « Gap »
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Avec G le « gain » de l’option considérée en cas de réussite de la condition:
• NG ngAllOrNothi =
• ThingAssetOrNot SMG ⋅=
• YSG TGap −=
• Pr DSKG TemiumContingent −−=
b) Intérêt
Certitude du « pay-off » : contrairement aux options standards, dont le
« pay-off » est aléatoire (puisque fonction de la valeur finale du sous-jacent),
l'acheteur d'une option digitale ou binaire est certain de recevoir Q (en cas
d'évolution favorable) ou zéro.
Flexibilité pour le client : outre la possibilité de choisir le prix d'exercice, le
client est libre de déterminer le montant qu'il souhaite recevoir en cas
d'évolution favorable du sous-jacent.
Vente d'options binaires ou digitales : lorsqu'un client décide de vendre
une option standard, il reçoit immédiatement une prime, mais s'expose des
pertes illimitées en cas d'évolution défavorable du sous-jacent. La vente
d'options digitales permet également de bénéficier de primes de façon
instantanée tout en connaissant parfaitement le risque maximal de pertes.
c) Modélisation en temps discret
Nous considérons donc un marché avec un seul actif risqué, et un actif sans
risque. Soit le modèle binomial, représenté ici avec 2 périodes de temps :
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La présence d’un actif sans risque fait que la probabilité p peut s’exprimer :
dudrp
−−+
=1
Et immédiatement il vient:
durup−
−−=−
11
Le prix à l’instant 0=t d’une option s’écrit :
( )( ) ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+=
TT
r
SXEP
10 π
D’où :
( )( ) ( )∑
=
−− ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
=T
n
nTnnTnnTT duSXppC
rP
000 1
11
Or, en remplaçant p et p−1 par leurs valeurs, nous obtenons :
( )( )∑
=
−−
⋅⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−−
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−+
⋅⋅+
=T
n
nTnnTn
nTT duSX
duru
dudrC
rP
000
111
1
Soit finalement :
( )( ) ( ) ( )∑
=
−− ⋅⋅⋅−−⋅−+⋅⋅−+
=T
n
nTnnTnnTT duSXrudrC
durP
000 11
))(1(1
p−1
0S
0Su ⋅
0Su ⋅
02 Su ⋅
0Su ⋅
0Su ⋅
02 Sd ⋅
p
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Nous partirons donc dans la plupart des modélisations de cette formule que
nous adapterons en fonction des payoffs respectifs.
Nous introduisons une fonction H dite de Heaviside :
( )⎩⎨⎧
<>
=0 si 00 si 1
xx
xH
On obtient les valeurs d’un call et d’un put pour chacune des options binaires.
En effet, nous avons :
( )( )( )( ) ( ) ( )∑
=
−− ⋅⋅⋅−−⋅−+⋅⋅−+
=T
n
nTnnTnnTT
duSXrudrCdur
P0
00 111
1
Or, ( ) GKSHX TeCallBinair ⋅−= et ( ) GSKHX TPutBinaire ⋅−=
Donc en remplaçant, nous obtenons :
d) Modélisation en temps continu
Nous utilisons les hypothèses décrites dans la partie présentation de la
modélisation temps continu.
( )( )( )( ) ( ) ( )∑
=
−− ⋅−⋅⋅−−−+⋅⋅−+
=T
n
nTnnTnnTTBinaire GKduSHrudrC
durC
0011
11
( )( )( )( ) ( ) ( )∑
=
−− ⋅⋅⋅−−−−+⋅⋅−+
=T
n
nTnnTnnTTBinaire GduSKHrudrC
durC
0011
11
Avec :
• NG ngAllOrNothi =
• ThingAssetOrNot SMG ⋅=
• YSG TGap −=
• Pr DSKG TemiumContingent −−=
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Nous devons de plus distinguer les différentes options constituant cette famille
d’option binaire.
Nous utilisons l’équation de Black and Scholes et nous pricons un call d’une
telle option.
La solution de l’équation de Black and Scholes s’écrit :
( ) ( ) ( )( )
( )( )∫
∞
∞−
−−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
−−
= dytT
rtTy
tTxefextF ytTr
2
22
2 221
exp2
1,σ
σ
πσ
Or, le payoff d’une option call binaire est ( ) GKSHX TeCallBinair ⋅−=
Nous prenons donc : ( ) ( ) GKeSHeSf yT
yT ⋅−=
• L’option all or nothing (Tout ou rien) :
Soit ngAllOrNothiC le prix d’un call binaire de type all or nothing
Plus précisément, ici : ( ) ( ) NKeSHeSf yT
yT ⋅−=
Alors,
( ) ( ) ( )( )
( )( )∫
∞
∞−
−−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
−−
⋅⋅−= dytT
rtTy
tTNKeSHeStC y
TtTr
TngAllOrNothi 2
22
2 221
exp2
1,σ
σ
πσ
Or, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥⇒>−
T
yT S
KyKeS ln0
Donc :
( ) ( )
( )
( )( )∫
∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
−−
=
TSK
tTrTngAllOrNothi dy
tT
rtTy
tTNeStC
ln
2
22
2 221
exp2
1,σ
σ
πσ
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Soit, ( ) ( ) ( )∫∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−− ⋅⋅=
TSK
tTrTngAllOrNothi dyytnNeStC
ln
,,
On effectue un changement de variable, avec :
( )tT
rtTyz
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
=σ
σ 2
21
Soit
( )2
2
021ln
dtT
tTrKS
z
T
−=−⋅
−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=σ
σ (calculé à pour : ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
TSKy ln )
Nous obtenons :
( )TngAllOrNothi StC , ( ) ∫∞−
−−− ⋅⋅=2
2
2
21d z
tTr dzeNeπ
D’où le résultat :
( ) ( )2dNeNC tTrngAllOrNothi ⋅⋅= −⋅−
• L’option asset or nothing (Actif ou rien) :
Soit hingAssetOrNotC le prix d’un call binaire de type Asset or nothing
Cette option donne un payoff ( ) TT SMKSHX ⋅⋅−=
Donc la fonction f s’écrit : ( ) ( ) TTT SMKSHSf ⋅⋅−=
( ) ( ) ( )( )
( )( )∫
∞
∞−
−−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
−−
⋅⋅−= dy
tT
rtTy
tT
eSMKeSHeStC
yTy
TtTr
ThingAssetOrNot 2
22
2 221
exp2
,σ
σ
πσ
Or, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥⇒>−
T
yT S
KyKeS ln0
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Donc :
( ) ( )
( )
( )( )∫
∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
−−
⋅⋅⋅=
TSK
TtTr
ThingAssetOrNot dytT
rtTyy
tTSMeStC
ln
2
22
2 221
exp2
1,σ
σ
πσ
( ) ( )
( )
( ) ( )( )∫
∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−+−−
−−
⋅⋅⋅=
TSK
TtTr
ThingAssetOrNot
dytT
rtTytTy
tT
SMeStC
ln
2
222
2 2212
exp2
1
,
σ
σσ
πσ
Or, si nous posons :
( ) ( ) ( )2
22
212 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−+−−= σσ rtTytTyyq et ( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= 2
21 σrtTa
Alors :
( ) ( ) ( )222 22 aayytTyyq +−+−−= σ
( ) ( )( )( )222 22 atTayyyq +−−−+= σ
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 222222
2
222
222
2222 atTatTatTayyyq +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−+
−−−+=
σσσ
Remplaçons a par sa valeur :
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )2
2
222
222
21
2
2212
2
2212
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
+=
σ
σσσσ
rtT
tTrtTtTrtTyyq
( ) ( ) ( ) ( )2
22
22
2
21
21
21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−= σσσ rtTrtTrtTyyq
( ) ( ) ( )222
2 221 tTrrtTyyq −−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−= σσ
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Nous en déduisons :
( ) ( )
( )
( ) ( )( )∫
∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
−−
⋅⋅⋅=
TSK
TtTr
ThingAssetOrNot
dytT
tTrrtTy
tT
SMeStC
ln
2
222
2
2 2
221
exp2
1
,
σ
σσ
πσ
Soit,
( ) ( ) ( )
( )
( )( )∫
∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
−−
⋅⋅⋅=
TSK
tTrT
tTrThingAssetOrNot dy
tT
rtTy
tTeSMeStC
ln
2
22
2 221
exp2
1,σ
σ
πσ
( )( )
( )( )∫
∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
−−
⋅⋅=
TSK
TThingAssetOrNot dytT
rtTy
tTSMStC
ln
2
22
2 221
exp2
1,σ
σ
πσ
Nous effectuons un changement de variable, avec :
( )tT
rtTyz
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
=σ
σ 2
21
( )1
2
021ln
dtT
tTrKx
z =−⋅
−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=σ
σ
Nous obtenons :
( )TngAllOrNothi StC , ∫∞−
−⋅⋅=
02
2
21z z
T dzeSMπ
( )0zNSM T ⋅⋅=
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D’où le résultat :
( )1dNSMC hingAssetOrNot ⋅⋅=
• L’option « Gap » :
Soit GapC le prix d’un call binaire de type gap
Plus précisément, ici : ( ) ( ) ( )YSKSHSf TTT −⋅−=
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )∫
∞
∞−
−−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
−−
⋅−⋅−= dytT
rtTy
tTYeSKeSHeStC y
Ty
TtTr
TGap 2
22
2 221
exp2
1,σ
σ
πσ
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )∫
∫
∞
∞−
−−
∞
∞−
−−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
−−
⋅−⋅⋅−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
−−
⋅⋅−⋅⋅=
dytT
rtTy
tTKeSHYe
dytT
rtTy
tTeKeSHSeStC
yT
tTr
yyTT
tTrTGap
2
22
2
2
22
2
221
exp2
1
221
exp2
1,
σ
σ
πσ
σ
σ
πσ
Or, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥⇒>−
T
yT S
KyKeS ln0
Donc :
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
( )( )∫
∫
∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
−−
⋅⋅−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
−−
⋅⋅=
T
T
SK
tTr
SK
TtTr
TGap
dytT
rtTy
tTYe
dytT
rtTyy
tTSeStC
ln
2
22
2
ln
2
22
2
221
exp2
1
221
exp2
1,
σ
σ
πσ
σ
σ
πσ
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Or, les deux intégrales ont été calculées précédemment dans les parties All or
Nothing et Asset Or Nothing. Donc :
( ) ( ) ( ) ( )21, dNedNSStC tTrTGap ⋅−⋅= −⋅−
( ) ( )tbxbNeXbxbNeSbC trtdgap ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= ⋅−⋅− σ
Avec : tteXeS
xtr
td
⋅⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
=⋅−
⋅−
σσ 2
1ln
, b un coefficient binaire égal à 1 pour un
call, et -1 pour un put.
e) Exemples de stratégie
Combinaison d'options binaires : Les options corridor sont composées
d'une série d'options binaires comprenant, pour chaque jour entre la date de
l'opération et la date d'échéance, l'achat d'un call binaire et la vente d'un call
binaire de strike plus élevé. Cette combinaison permet de recevoir un montant
proportionnel au nombre de jours durant lesquels le sous-jacent restera entre
les bornes choisies.
L'acheteur d'options corridor anticipe que le sous-jacent restera le plus
longtemps possible l'intérieur d'une bande de « trading » pendant la durée de
vie de l'option.
L'indice étant à 3000 points, un trésorier anticipe qu'il va rester entre 2750 et
3250 points au cours de l'année à. venir. Il achète une option corridor qui lui
versera un coupon proportionnel à 8.25%, selon le nombre de jours durant
lesquels l'indice sera resté dans la bande de « trading ». L'option corridor
coûte 3.87 %. A l'échéance de I'option, on constate que l'indice a côté 300
fois entre 2750 et 3250 points. Le trésorier de l'option reçoit donc un coupon
de 6,78% (=300/365*8,25%).
Anticipations directionnelles : Nous sommes au mois de janvier et des
élections législatives doivent avoir lieu en France le 10 mai. Au vu des
sondages, le gérant anticipe une baisse ponctuelle, mais forte, de l'indice.
L'indice étant à 2700 points, il pense qu'il devrait franchir les 2500 points à
l'annonce des résultats -soit une baisse significative de 7.5%. Plutôt que
l'achat d'un put standard 2500 (prime 1,98%), il décide d'acheter un put
binaire 2500, portant sur un nominal de 1000000 Euros, qui lui versera un
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montant fixe de 100000 Euros (soit un coupon de 10%) en cas d'exercice de
l'option. L'option étant très en dehors de la monnaie, le prix de l'option n'est
que de 2.85%. A l'échéance de l'option, l'indice est 2450 points.
CARACTÉRISTIQUE ACHAT PUT BINAIRE ACHAT PUT STANDARD
Maturité 1 an 1 an
Strike 2500 2500
Prix 2.85% 1.98%
Pay-off 10% 1.9%
Remarques :
1. Le choix de l'option binaire a été judicieux puisque le levier obtenu est
positif et nettement supérieur à celui d'un put standard.
2. Le levier important en cas de gain compense le paiement d'une prime plus
élevée lors de l'achat de l'option.
3. L'option étant binaire, le choix de la date d'échéance est essentiel. Si la
baisse de l'indice était intervenue à une autre date que le 10 mai, il est
probable que l'indice n'aurait pas franchi le seuil de 2500 points à cette date
là. En cas de doute sur la date d'occurrence d'un événement, on préférera
l'option digitale à I'option binaire, bien que son coût soit nettement supérieur.
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2.2 Option à panier
a) Définitions et caractéristiques
Cette option, aussi appelée « panier » ou « basket », se classe dans la famille
des options sur plusieurs actifs sous-jacents. Cette option ne prend pas en
compte la somme des performances de chacun des actifs sous-jacent du
panier, pris de façon indépendante, mais elle a les mêmes caractéristiques de
remboursement à l’échéance que l’option standard, mais l’actif sous-jacent
servant de référence représente, en fait, un panier de plusieurs actifs
équipondérants ou non. Le détenteur de ce panier peut ainsi voir la baisse
d’un actif compenser, en tout ou partie, la hausse d’un autre.
Il est aisé de comprendre que l’effet de corrélation entre les actifs vient
grandement diminuer le coût d’achat de cette option par rapport à la somme
des primes d’options standard sur chacun des actifs retenus. En outre, la
volatilité résultante est toujours plus faible que la moyenne arithmétique des
volatilités respectives de chaque actif. Cette option offrant ce grand avantage,
connaît en engouement important sur les marchés à forte volatilité.
Par la suite, nous ne considérerons des paniers avec que deux actifs sous-
jacents.
b) Éléments de « pricing »
Comme beaucoup d’option impliquant plusieurs actifs sous-jacents, il n’existe
pas de formule analytique simple permettant de réaliser le « pricing » de
l’option, il et ainsi nécessaire de recourir à une approche binomiale ou à une
intégration numérique.
Le remboursement à l’échéance de l’option sur panier de n actifs s’exprime
sous la forme algébrique suivante :
Pour un call sur panier : ( )( )0,max 2211 XSaSaSaX nnc −⋅++⋅+⋅⋅= K
Pour un put sur panier : ( )( )0,max 2211 nnp SaSaSaXX ⋅++⋅+⋅−⋅= K
Avec : nS cours du nième actif sous-jacent, constaté à l’échéance
X prix d’exercice du panier
na coefficient pondérant le titre n
Afin d’apporter quelques éléments sur la valorisation des « basket options »,
nous allons prendre en considération deux actifs distincts A et B. Bien que les
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cours de A et de B aient un comportement dit lognormal, il n’en va pas de
même de l’évolution du panier A+B, c’est pourquoi il n’existe pas de solution
immédiate. Afin d’évaluer les paramètres de l’option, il est nécessaire
d’effectuer l’approximation que A+B est lognormal et d’observer l’écart de
divergence. La formule de Black & Scholes peut être utilisée. Ainsi, si A+B est
lognormal, les valeurs de la volatilité et du cours « forward » du panier sont
les suivantes :
BABA FFF +=+
( ) ( )t
FFeFeFFeF BAt
Bt
BAABA
BBAA +⋅−⋅+⋅⋅⋅+⋅=
⋅⋅⋅⋅
+ln22ln
22 222
σσσρσ
σ
Avec :
AF : cours forward de l’actif A
BF : cours forward de l’actif B
BAF + : cours forward de la valeur du panier
Aσ : volatilité de l’actif A
Bσ : volatilité de l’actif B
ρ : coefficient de corrélation entre A et B
t : durée de vie résiduelle de l’option
BA+σ : volatilité du panier
Nous observons que la valeur de la volatilité est très sensible au cœfficient de
corrélation entre A et B. Si la corrélation décroît, la volatilité du panier
diminue et par conséquent, la prime de l’option sur panier baisse.
L’intégration numérique qui procure les valeurs exactes de la prime nous
apprend que l’approximation susvisée donne des résultats excellents,
conduisant à un écart de divergence inférieur à 1%, pour des niveaux de
corrélation compris entre -0.85 et +1. Pour des niveaux inférieurs à -0.85,
l’approximation n’est plus satisfaisante car l’écart vient à dépasser 10%.
c) Intérêt
Réduction du prix : le prix de l'option sur panier doit être comparé à la
somme pondérée des primes d'options sur chacun des actifs composant le
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panier. Lorsque les composantes sont assez peu corrélées entre elles, le prix
de l'option sur panier sera largement inférieur à la somme des options sur
chacune.
Diversification des risques : le client souhaitant acheter ou vendre ce
genre d'options a la possibilité de créer un produit synthétique pouvant
intégrer tous les indices et actions de son choix. Il devient donc possible de
créer une option sur l'ensemble de son portefeuille : le client bénéficie alors
des avantages de la diversification et des avantages liés à l'option.
Le choix de la devise de référence : lorsque le client décide d'investir sur
des indices ou des actions cotées dans des devises différentes, la prime et le
« pay-off » de l'option seront exprimés dans la devise de référence de
l'investisseur (option quanto), ce qui lui évite la gestion du risque de change
sur chacun des sous-jacents.
d) Exemple de stratégie
Anticipation directionnelle : le panier sur actions. Un gérant français, qui
anticipe une bonne performance du secteur européen des « Telecoms », aura
la possibilité de créer un panier intégrant les titres les plus représentatifs du
secteur et de souscrire une option sur ce panier.
Nous pourrions lui proposer un panier équipondéré de cinq valeurs
représentant autant de pays européens:
« British Telecom », « Deutsche Telekom », « Telefonica Espagna »,
« Telecom Italia », « France Telecom ».
Le « pay-off » à l'échéance sera fonction des évolutions respectives de chaque
action considérée sur son marché boursier et dans sa devise d'origine, mais
qui seront agrégées sous forme d'une somme algébrique de pourcentages
d'évolution. Si cette somme est positive, le « pay-off » sera égal à son produit
par le rationnel en Euros de l'option.
Illustration :
Le client achète pour un nominal de 100 M EUR un Call sur le panier, contre
une prime de 10 % (soit 10 M EUR).
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Action Évolution sur 1 an
British Telecom +5%
Deutsche Telekom -15%
Telefonica Espana +35%
Telecom Italia +25%
France Telecom 10%
L'évolution du panier équipondéré sur l'année est de :
(5-15+35+25+10):5=+12%.
Le « pay-off » du Call sera de +12 % x 100 M EUR = 12 M EUR.
Choix de la diversification : le panier d'indices. Un client souhaite investir
dans un panier d'actifs représentant les différentes économies industrialisées
mondiales. L'objectif est d'utiliser la faible corrélation entre des indices de
places internationales différentes afin de réduire le prix de l'option. Pour
représenter la zone Europe, il choisi le DAX et le FTSE, le SP500 pour la zone
Amérique et le NIKKEI pour la zone Asie. La matrice de corrélation entre les
différents indices est la suivante :
CORRELATION
ENTRE INDICES
DAX 30
FTSE 100
NIKKEI 225
FTSE 100 0.5
NIKKEI 225 0.2 0.1
SP 500 0.5 0.5 0.3
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Ces corrélations, très inférieures à la limite supérieure de 1, permettent de
réduire fortement le prix par rapport à une somme pondérée de quatre
options sur ces quatre indices. En admettant que l'investissement a une
maturité de 2 ans et que les quatre indices ont la même pondération de 25 %,
le prix de l'option sur panier sera de 13.5 %, alors que la moyenne pondérée
des quatre options aurait été de 16.7%, chacun des « Calls » individuels étant
plus cher que le « Call » sur le panier (DAX: 18.5%; FTSE: 16.5%; S&P:
17%; Nikkei : 14%).
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2.3 Option Chooser
a) Définitions et caractéristiques
Une «as-you-like-it» option, plus communément appelée « chooser option »
spécifie les prix d'exercice de deux options standards à la date d'émission, et
permet à son détenteur de décider après cette période, déterminée à l'origine
(« the choose, choice date ou conversion period »), de convertir l'option en
call ou en put. Après avoir décidé la conversion de la « chooser option », le
profil de performance est celui d'une option standard avec un prix d'exercice
connu. Pendant la première période, l'investisseur peut attendre que
l'événement générant l'incertitude se résolve et choisir, au début de la
seconde période, la classe d'option optimale. En d'autres termes, cette option
n'est ni un call ni un put jusqu'à ce que, à une date définie à la date
d'émission (fin de la première période), le détenteur choisisse sa
transformation en call ou en put standard, sur un actif sous-jacent déterminé.
La prime de la « chooser option » est plus élevée que celle d'un call ou d'un
put, mais bien moins chère que le coût d'acquisition d'un « straddle » (primes
du call et du put additionnées, de même échéance et de même prix
d'exercice). En comparant la « chooser option » avec le « straddle », nous
observons que le remboursement final d'une « chooser option » ne sera
inférieur à celui d'un « straddle » que si, après la « choice date » et la
conversion en call ou en put, d'autres événements viennent inverser la
tendance dans le sens opposé à celui choisi.
Précisons, en outre, que si le call et le put ont les mêmes prix d'exercice et les
mêmes dates d'échéance, l'option est dite « regular chooser» .et peut être
évaluée selon un modèle analytique. si, au contraire les prix d'exercice sont
différents et/ou les dates d'échéance différentes, ces «complex choosers»
nécessitent l'utilisation de modèles numériques pour leurs évaluations.
Les options « chooser » donnent le droit, et non l’obligation, à leurs
acheteurs, contre paiement immédiat d’une prime, de choisir à une date donnée du futur fixée à l’avance 0T de recevoir soit un call soit un put de
strike K et de date prédéfinis T .
Nous pouvons distinguer deux « chooser options », les « regular » et les
« complex chooser ». Nous ne traiterons que les « regular chooser options ».
A la date du choix entre le call et le put standard, la valeur d'une « regular
chooser option » est égale à max(C, P), où C représente la valeur du call et P
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la valeur du put. En considérant la parité call/put pour des options de type
européen, nous obtenons I'égalité suivante :
( ) ( ) ( )( )1212,max,max ttrttd eXSeCCPC −−−− ⋅+−=
Ou encore
( ) ( ) ( ) ( )( )SeXeCPC ttdrttd −⋅++= −⋅−−−− 1212 ,0max,max
Avec
S : cours de l’actif sous-jacent
X : prix d’exercice
r : taux d’intérêt sans risque
d : taux de dividende
t : date actuelle
1t : choice date
2t : date d’échéance de l’option
b) Intérêt
Dans des moments de grande incertitude sur l'évolution future du cours d'un
actif, beaucoup d'investisseurs choisissent de rester en dehors du marché.
Nous pouvons citer, par exemple, le cas d'élections dont l'issue n'est pas sûre,
ou encore le cas d'un conflit armée, lors des négociations avec l'Irak après.
Dans ces scénarios, les investisseurs pensent que ces événements auront un
impact important sur la valeur d'un marché boursier, amenant de très fortes
fluctuations des cours à la hausse ou à la baisse.
Une « chooser », convient à ce type de situation incertaine, en permettant à
l'investisseur de reporter des décisions de couverture d'actifs ou de
spéculation, durant une période définie.
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c) Modélisation en temps continu
L’expression vu précédemment dans la partie définition montre qu’une
« regular chooser option » résulte de la combinaison d’un call standard, de prix d’exercice X et de maturité 2t et de ( )12 ttde −− put standard, de prix
d’exercice ( ) ( )12 ttdreX −⋅−−⋅ et de maturité 1t .
D’une façon plus générale, la valorisation d’une « regular chooser option » est
la suivante :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ttyNeXyNeS
ttxNeXxNeSCttrttd
ttrttdreg
−⋅+−⋅⋅+−⋅⋅−
−⋅−⋅⋅−⋅⋅=−⋅−−⋅−
−⋅−−⋅−
1
2
22
22
σ
σ
Avec
( )
( )tt
tteXeS
xttr
ttd
−⋅⋅+−⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
=−⋅−
−⋅−
22 2
1ln
2
2
σσ
( )
( )tt
tteXeS
yttr
ttd
−⋅⋅+−⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
=−⋅−
−⋅−
11 2
1ln
2
2
σσ
d) Exemples de stratégie
Une « complex chooser option » présente les mêmes caractéristiques qu’une
« regular chooser option », à l’exception que les prix d’exercice et/ou les
échéances du call et du put, à choisir ultérieurement, ne sont pas identiques.
Type d'option : « complex chooser option »
Sous-jacent : indice CAC 40
Nominal : 1000000 €
Devise : Franc français
Cours de l'indice CAC 40 à l'émission : 2000 points
Prix d'exercice du call : 2100 points
Prix d'exercice du put : 1900 points
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Date d'émission : 2 janvier N
Date d'échéance : 2 janvier N+1
Choice date : 2 mars N
Prime de l'option : 7.1%
Résultat théorique :
La « choice date » est essentielle, puisqu'elle impose au détenteur de cette
option de choisir la transformation en put ou en call standard, de maturité le 2
janvier N+1.
Nous pouvons envisager deux évolutions possibles du cours de l'indice CAC 40
sur la période :
1) Le cours de l'indice CAC 40 s'établit à 2200 points le 2 mars N (« choice
date »). Le détenteur de cette « complex chooser option » décide, bien
entendu, de convertir celle-ci en call européen standard.
Ainsi, en considérant un cours de l'indice égal à 2384 points le 2 janvier N+1
(date d'échéance), le remboursement final par option s'élèvera à 284 (2384 -
2100).
La contrepartie s'engage donc à verser un coupon de 14,2% (284/2000), soit
142000 €, pour un investissement initial de 71000 € La performance de
l'investissement s'établit à 100%.
2) Le cours de l'indice vient à se déprécier fortement sur les deux premiers
mois de l'année, pour s'établir à 1700 points le 2 mars N. L'investisseur
décide alors de transformer son option en put européen, de prix d'exercice
1900 points.
A maturité, si le cours de l'indice s'élève à 1722.5 points, le remboursement
final par option sera égal à 177.5 (1900 – 1722.5), ou un coupon de 8.88%
(177.5/2000), représentant un montant de 88.750 €. Sous ces hypothèses, la
performance de l'investissement est égale à 25%.
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3. LES OPTIONS PATH-DEPENDENT
3.1 Option barrière
a) Définitions et caractéristiques
Les options à barrière sont des options dont la valeur est conditionnée par
l’évolution, pendant leur durée de vie, du prix du sous-jacent par rapport à un
ou plusieurs seuils. Nous pouvons distinguer deux catégories de produit :
• Les options à barrière désactivantes :
Ces options, dites de type « out », sont des options européennes
classiques en tout point sauf qu’elles disparaissent si le cours du
sous jacent atteint dans la période de référence un seuil
prédéterminé. Ces options peuvent être « down and out » si la
barrière est atteinte par une baisse du cours du sous-jacent ou « up
and out » si elle est, au contraire, atteinte par une hausse de celui-
ci.
• Les options à barrière activantes :
Ces options ne commencent à exister que si le cours du sous-jacent
atteint un certain cours fixé à l’avance. Cependant, la prime est
payée dès le départ, qu’une option apparaisse ou non par la suite.
Ces options peuvent également être « down and in » si la barrière
activante est atteinte une baisse du cours du sous-jacent ou « up
and in » si la barrière est atteinte par une hausse de celui-ci.
Il est important de préciser quelques termes notamment sur les noms qui sont
le plus souvent utilisés pour définir ces options :
o Barrière activante : « in barrier » ou « knock-in » ou « lightable
option »
o Barrière désactivant : « out barrier » ou « knock-out » ou
« extinguishable »
Il existe donc 8 types d’options à barrières : « 4 calls », et « 4 puts ».
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Utilisons les notations suivantes pour définir leurs « payoff » respectifs :
- K : prix strike, - S : cours spot, - B : barrière
Calls barrière :
Type Payoff
Down and out ( )
⎩⎨⎧ >∀−
=Sinon 0
si ,0max_
BStKSX tT
CDOB
Up and out ( )
⎩⎨⎧ <∀−
=Sinon 0
si ,0max_
BStKSX tT
CUOB
Down and in ( )
⎩⎨⎧ ≤∃−
=Sinon 0
/ si ,0max_
BStKSX tT
CDIB
Up and in ( )
⎩⎨⎧ ≥∃−
=Sinon 0
/ si ,0max_
BStKSX tT
CUIB
Puts barrière :
Type Payoff
Up and out ( )
⎩⎨⎧ <∀−
=Sinon 0
si ,0max_
BStSKX tT
PUOB
Down and out ( )
⎩⎨⎧ >∀−
=Sinon 0
si ,0max_
BStSKX tT
PDOB
Up and in ( )
⎩⎨⎧ ≥∃−
=Sinon 0
/ si ,0max_
BStSKX tT
PUIB
Down and in ( )
⎩⎨⎧ ≤∃−
=Sinon 0
/ si ,0max_
BStSKX tT
PDIB
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b) Intérêt
Nous pouvons remarquer trois points principaux dans l’utilisation des options
à barrière :
Prix des options : le prix des options à barrière peut être selon le niveau de
la barrière, nettement plus faible que celui d'une option standard de mêmes
caractéristiques.
Grande flexibilité : la multiplicité des options à barrière permet d'élaborer
des stratégies très précises tant en terme d'anticipation, qu'en terme de
couverture : pour une classe donnée d'options standard, il existe quatre types
d'options à barrière.
Levier et rendement importants : le versement d'une prime faible combiné
à un « pay-off » identique à celui d'une option standard en cas d'évolution
favorable du sous-jacent permettent d'améliorer le levier de façon
significative, ainsi que le rendement de l'option.
c) Modélisation en temps continu
Nous allons ici donner la modélisation temps continu des options « Down and
out call » et « Up and out call » proposée par Musiela & Rutkowski [1].
Call Down and Out:
Nous supposons que KB < et que 0SB < sont satisfaites. Vues les
caractéristiques générales de l’option, il est clair qu’elle est annulée lorsqu’elle est out-of-the-money. Nous rappelons que sous la mesure de martingale ∗
nous avons :
ttS XtWt eSeSS ⋅=⋅= ⋅+⋅ ∗
00λσ
Où tWX tSt ⋅+⋅= ∗ λσ pour [ ]Tt ,0∈ , et 2
21
Sr σλ ⋅−= donc
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥Ω∈=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≥Ω∈
<< 00lnmin
SBmBS t
Ttt ωω
Où tTtt Xm ≤≤= 0min et ainsi
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( ) DDX
BSKStt IKIeSIKSC T
tTtt⋅−⋅⋅=⋅−= ≥≥ ≤≤ 0min,
10
Où D est dans l’ensemble :
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥Ω∈=
00
ln,lnSBm
SKXD ttω
Nous pouvons alors conclure que le prix au temps 0=t de l’option « down-
and-out call », admet les représentations suivantes :
( ) ( ) ( ) DKTrIeSTrC DXT ∗⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅−= ∗
expexp 0
10
Où ∗ est une mesure de martingale sur le marché. Dans le but d’évaluer
directement 10C au moyen de l’intégration, nous avons besoin de trouver en
premier la distribution de probabilité jointe pour les variables aléatoires TX et
tm . Nous pouvons voir que pour tout yx, tel que 0≤y et xy ≤ , nous avons :
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅
⋅+⋅+−⋅⋅⋅⋅−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅
⋅+−=≥ −
≥∗
TTyxNy
TTxNmxX ytT σ
λσλσ
λ 22exp, 2
Où pour la convention d'écriture, nous notons σ pour Sσ , par conséquent, la
fonction de densité probabiliste de ( )TT mX , est la suivante :
( ) ( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅
⋅+⋅+−⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
−⋅⋅−= −
TTyxny
T
xyyxfσ
λσλσ
22exp22, 2
23
3
Pour xyy ≤≤ ,0 où n est la fonction de densité standard Gaussienne. Nous
avons alors :
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
−⋅⋅
∗
T
TKS
B
NSB
T
TKS
NDσ
λ
σ
λ σλ0
2
2
0
0 lnln 2
Et ainsi :
( ) ( ) ( ) ( )00 /ln,/ln1 SBmSKX
XD
Xdef
TT
TT IeIeI ≥≥⋅=⋅= ∗∗
Nous avons besoin d’évaluer la double intégrale :
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( )∫∫ ⋅⋅⋅A
x dydxyxfe ,
Où
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≤≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥= xyy
SBy
SKxyxA ,0,ln,ln;,
00
Et nous mène au résultat suivant :
( ) ( )( ) ( )( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
+⋅⋅⋅−
−
TScNSBTShNeI Trr fd ,, 01
22
0011
2σλ
Où
( )t
trKs
tsh⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅±+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=σ
σ 2
2,121ln
,
Et
( )t
trKs
B
tsc⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅±+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
=σ
σ 22
2,1
21ln
,
En reprenant les formules précédentes nous arrivons à la conclusion que le
prix initial de l’option knock-out admet les représentations suivantes :
DiscountKnockoutcallStandard0010 −=−= JCC S
Où
( ) ( )2100 hNeKhNSC TrS ⋅⋅−⋅= ⋅−
Et
( ) ( )2
2
01
22
000
22
cNSBeKcN
SBSJ Tr ⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅−⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
−− ⋅⋅
⋅−
+⋅⋅ σλσλ
Où ( )TShh ,02,12,1 = et ( )TScc ,02,12,1 = . Notons que la preuve de cette formule
peut se simplifier par une application du théorème de Girsanov. Nous définissons une mesure de probabilité auxiliaire :
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saTWdd
TT ⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅−⋅= ∗∗
∗
,21exp 2 ησσ
Le théorème de Girsanov indique que le processus tWW tt σ−= ∗ suit un
mouvement Brownien standard sous la mesure de probabilité . De plus nous
pouvons établir la définition suivante :
( ) ( ) ( )DTTr
DX IEeIeE t ⋅⋅⋅=⋅⋅ ∗∗
⋅ η
et ainsi
( ) ( )
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥⋅=⋅= ⋅⋅
00T1 ln,lnXD
SBm
SKeeI T
TrTr
Finalement, la semi martingale du processus X sous est
[ ]TttrWX tt ,0,21 2 ∈∀⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅++⋅= σσ
par conséquent pour tout xyy ≤≤ ,0 nous avons :
( )( ) ( )( )TScNSBTShN ,,D 01
22
001
2
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
+⋅⋅ −σλ
Call Up and Out:
Quand 00 SBetSK << nous avons:
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥Ω∈=
0
lnSBmD Tω
Tant que ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥⊂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥
00
lnlnSKX
SBm TT ce qui est bien connu depuis
Harrison (1985) où pour tout 0≤y nous avons :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅+⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅+−=≥
−⋅⋅⋅∗
TTyNe
TTyNym y
T σλ
σλ σλ 22
Et ainsi
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⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
−⋅⋅
∗
T
TBS
NSB
T
TBS
NDσ
λ
σ
λ σλ0
2
0
0 lnln 2
D’un autre coté, nous avons :
( ) ( )
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥⋅=⋅= ⋅
∗
01 ln
SBeIeI Tr
DXT
Donc
( ) ( )( ) ( )( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
+⋅⋅
⋅
−
TScNSBTShNeI Tr ,, 01
22
0011
2
))σλ
Où
( )t
trBs
tsh⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅±+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=σ
σ 2
2,121ln
,)
Et
( )t
trsB
tsc⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅±+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=σ
σ 2
2,121ln
,ˆ
Par conséquent, le prix de l’option au temps 0=t est 0010
ˆˆ JCC −= où
( )( ) ( )( )TShNeKTShNSC Tr ,ˆ,ˆˆ020100 ⋅⋅−⋅= ⋅−
Est le prix standard du call avec un strike B et nous avons alors ( )TScc ,ˆˆ 02,12,1 = et :
( ) ( )2
2
01
22
000 ˆˆˆ
22
cNSBeKcN
SBSJ Tr ⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅−⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
−− ⋅⋅
⋅−
+⋅⋅ σλσλ
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d) Exemple de stratégie
Couverture : les « calls down-and-out » et les « puts up-and-out » sont très
utilisés pour la couverture d'une position sur action, car ils permettent
d'abandonner la couverture si le sous-jacent évolue de façon favorable.
Un gérant souhaite se protéger contre une éventuelle baisse du titre qu'il
détient. Le cours étant actuellement de 700 €, il achète un « put up-and-
out », avec une barrière a 750 € et un « strike » à 700 € ; l'option est « à la
monnaie ». Le prix de cette option est de 5.50 % contre 13 % pour l'achat
d'un « put » standard.
A l'échéance de l'option plusieurs possibilités sont envisageables selon le
processus d'évolution du titre au cours de la durée de vie de l'option :
Si la barrière est franchie, le détenteur de l'option à barrière perd sa
couverture : cette perte de couverture n'est à priori pas gênante puisque le
cours du titre évolue dans un sens favorable. Cependant, si le titre se met à
baisser fortement après le franchissement de la barrière, la position n'est plus
couverte et les pertes peuvent être importantes.
Si la barrière n'est pas franchie, le détenteur de l'option possède un put
standard qu'il a acquis en payant une faible prime : l'opérateur est alors
parfaitement couvert tout au long de la durée de vie de l'option.
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3.2 Option Lookback
a) Définitions et caractéristiques
Le profil de performance de ces options est extrêmement intéressant pour leur
détenteur, car elles procurent à ce dernier le niveau le plus favorable atteint
par le cours de l’actif sous-jacent, sur une période définie à l’origine. En
contrepartie, la prime est inévitablement très chère, conduisant à un effet de
levier souvent assez bas. Cependant, ces options résolvent totalement le
problème de la détermination du moment optimal d’acquisition d’un actif sur
un marché donné (« market timing »).
Il existe 3 types d’options Lookback :
o “price lookback option”, appelée également Lookforward option
o “strike lookback option”
o “partial lookback option”
Elles sont toutes les 3 régulièrement utilisées sur le marché, et seront donc
toutes 3 analysées.
• “price lookback option”
Elle permet à son détenteur de recevoir à l’échéance la différence entre le prix
d’exercice défini à l’origine, et le cours du plus haut dans le cas d’un call, ou
du plus bas dans le cas d’un put, atteint par l’actif sous-jacent, sur une
période déterminée.
Bien que beaucoup plus chère, l'option revêt des avantages nets par rapport à
une option standard. En effet, tout en ayant les mêmes caractéristiques que
cette dernière, elle offre, sur une période donnée, le plus haut rendement d'un
actif sous-jacent, sans se soucier au jour le jour des performances en cours et
à prévoir. Ceci donne la garantie à l’investisseur de vendre au plus haut.
Le « payoff » d’une option « lookforward » est le suivant :
• ( )( )0,supmax_ KSX priceLBC −= dans le cas d’un call
• ( )( )0,infmax_ SKX priceLBP −= , dans le cas d’un put
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• “Strike lookback option”
Comme les options à moyenne, les options « lookback » peuvent avoir un prix
d’exercice fixe ou flottant. Les « strike lookback options » donnent à leur
détenteur le droit de choisir comme prix d’exercice, le cours de l’actif le plus
favorable sur la période considérée.
Dans la pratique, et comme pour la « price lookback option », cet
investissement est digne d’intérêt, si l’acheteur pense qu’il existera une forte
variation des cours sur la période, mais en en ignorant complètement la date,
ainsi que le parfait moment d’investissement.
Bien entendu, puisque cette option permet de choisir le prix d’exercice, elle
s’avère beaucoup plus chère qu’une option européenne standard semblables
en tout autre point.
Le « payoff » de l’option « strike lookback » est le suivant :
• “Partial lookback option”
Il s’agit d’une option de type européen, dont le prix d’exercice est déterminé
comme étant le cours le plus bas (call), ou le plus haut (put), pendant une
période restreinte préalablement fixée. Après cette première période, l’option
devient une option standard, européenne ou américaine, avec une échéance
déterminée dès l’origine de la transaction. La durée de la première période,
qui commence à l’origine et qui s’achève avant l’échéance, représente un des
critères importants d’évaluation de l’option, le montant de la prime étant une
fonction croissante de la durée de cette dite période.
Dans la pratique, cette période s’étend habituellement de 1 à 3 mois,
permettant à l’investisseur un recul complémentaire, pour seulement 2 à 3%
de prime supplémentaire.
Pour traiter ce type d'option, il est nécessaire d'avoir une anticipation assez
précise sur l'évolution de l'actif sous-jacent. En effet, un « partial lookback
call », par exemple, est l'instrument idéal pour l'investisseur ayant une
opinion fortement baissière sur le court terme, et une vue haussière sur le
long terme, sans pouvoir précisément définir la limite temporelle. Si le cours
le plus bas est atteint par l'actif sous-jacent pendant la première période, suivi
d'une hausse comme attendu au cours de la seconde période, l'acheteur du
• ( )( )0,infmax_ SSX TstrikeLBC −= dans le cas d’un call
• ( )( )0,supmax_ TstrikeLBP SSX −= , dans le cas d’un put
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« partial lookback call » se retrouve détenteur d'un call de style européen,
avec le prix d'exercice le plus favorable depuis la date de négociation du
contrat.
Le « payoff » de l’option « partial lookforward » est le suivant :
Et celui de la « partial strike lookback » est le suivant :
• Option High-Low (Hi-Lo Option)
Il s’agit d’un outil de gestion de la volatilité. En effet, cette option offre à son
détenteur la différence entre les extrêmes du cours d’un sous-jacent pendant
la vie de l’option. Elle résulte en fait de la combinaison d’un « lookback call »
et d’un « put ». Néanmoins, son prix dissuasif rend son utilisation
exceptionnelle au cas où l’investisseur s’attend une volatilité inaccoutumée.
Le « payoff » s’écrit alors sur la période donnée :
( ) ( )SSX HiLoLB minmax_ −=
• ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−= 0,infmax_ SSX
PériodePemièrelTkForwardpStrikeLooLBC dans le cas d’un call
• ( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−= 0,supmax_ lT
PériodePemière
kForwardpStrikeLooLBP SSX , dans le cas d’un put
• ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−= 0,)(supmax_ KSX
PériodePemière
dlookforwarLBC dans le cas d’un call
• ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−= 0,infmax_ SKX
PériodePemièredlookforwarLBP , dans le cas d’un put
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• Option Refixable (Reset Option)
Une « reset option » présente des caractéristiques très proches de celles
d'une « partial lookback option ». En effet, dans son sens général, cette
option offre un profil de remboursement dépendant de niveaux préétablis. Son
prix est déterminé, dès que le cours de l'actif sous-jacent franchit un palier
préalablement fixé. Le prix d'exercice d'un reset « call », par exemple, est
abaissé lorsque le cours de l'actif baisse en dessous d'un niveau défini à
l'origine. La « reset option » présente une alternative moins coûteuse que la
« strike lookback option ». Son prix est compris entre celui d'une option
standard et celui d'une « partial lookback option ». En fait il s’agit d’une
variante à la baisse de la « ladder option » des options à barrière.
Il convient d'apporter deux précisions supplémentaires sur les caractéristiques
de l'option :
• Lorsque le palier atteint correspond au nouveau prix d'exercice,
l'option est appelée « automatic strike price reset option ». Il est
possible en effet de choisir un prix d'exercice différent de la
barrière préétablie. Dans cette hypothèse, trois niveaux sont
nécessaires pour décrire la reset option : le prix d'exercice si la
barrière n'est pas atteinte, la barrière proprement dite et le prix
d'exercice en cas de franchissement de cette barrière.
• La faculté pour le détenteur de la « reset option », d'obtenir un
meilleur prix d'exercice, peut, ou bien s'appliquer durant toute la
vie de l'option, ou bien être limitée dans le temps. Dans ce
dernier cas, la constatation du franchissement potentiel de la
barrière n'est observable que pendant une ou plusieurs périodes
définies à l'origine de la transaction, appelées « reset dates ».
Seuls le premier et le dernier cours de cette période sont pris en
compte. Pour un « reset call », par exemple, le prix d'exercice
définitif sera ainsi la valeur la plus basse des deux.
Dans la majorité des cas, ce type d'option ne comporte qu'une seule « reset
date », permettant à l'investisseur d'acheter une option à temps voulu, sans
craindre des variations ultérieures (limitées à la « reset date ») du cours de
l'actif sous-jacent.
Il convient de bien dissocier les quatre types de « reset options », dépendants
soit du niveau de la barrière franchie à la hausse ou à la baisse, soit du sens
souhaité par le détenteur de l’option pour son remboursement final (« put »
ou « call »).
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Type Payoff X
Call/Call ( )( )⎩
⎨⎧
−
≥−
sinon 0,max si 0,max
1
2
KSBSKS
T
resetDateT
Call/Put ( )( )⎩
⎨⎧
−
<−
sinon 0,max si 0,max
2
1
T
resetDateT
SKBSSK
Put/Call ( )( )⎩
⎨⎧
−
>−
sinon 0,max si 0,max
2
1
KSBSKS
T
resetDateT
Put/Put ( )( )⎩
⎨⎧
−
>−
sinon 0,max si 0,max
2
1
T
resetDateT
SKBSSK
Avec : ⎪⎩
⎪⎨
⎧
strikeresetK
initialexercicedprixKbarrièreladeniveauB
:
'::
2
1
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b) Intérêt
Capter les point extrêmes : les options « lookback » permettent d'obtenir
le niveau le plus favorable atteint par le cours de l'actif sous-jacent sur la
période d'observation. Ces options offrent l'avantage de ne pas avoir à
déterminer le moment optimal d'acquisition de l'actif (résout le problème du
« market-timing »).
La vente d'options « lookback » : permet de bénéficier de primes élevées,
les primes pouvant être deux fois plus importantes que celles des options
standards. Cependant, le vendeur est exposé à des pertes importantes si le
sous-jacent est très volatile.
c) Modélisation en temps continu
Voici la modélisation en temps continu des options énoncées précédemment :
• price lookback option
« CALL » Europeen « LookForward »
( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅⋅
−⋅−⋅−−⋅
⋅⋅−⋅= ⋅−
3
2
21
2
11
22aNe
draNeSaN
rSaNSC ctr
MINdlookforwarσσ
avec:
t
trS
S
a MIN
⋅
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=σ
σ2
ln2
1
taa ⋅−= σ12
t
trS
S
a MIN
⋅
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=σ
σ2
ln2
3
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2
2
1
ln2
2
σ
σ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
−= MINSSr
c
Avec:
MINS : cours le plus bas atteint par l’actif Durant la vie de l’option
S : cours actuel de l’actif
t : durée de vie résiduelle de l’option « lookforward »
« PUT » européen « Lookforward » :
( ) ( ) ( ) ( )22
2
3
2
1 222 bNSbN
rSbNe
rbNeSP ctr
MAXdlookforwar ⋅−−⋅⋅
⋅+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅⋅
⋅−⋅⋅= ⋅− σσ
Avec :
t
trS
S
b
MAX
⋅
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=σ
σ2
ln2
1
tbb ⋅−= σ12
t
trS
S
b
MAX
⋅
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=σ
σ2
ln2
3
2
2
2
ln2
2
σ
σ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
=S
Src
MAX
• Strike lookback option
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« CALL Strike lookback »
SBCslook CCC +=
avec
( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⋅⋅+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−⋅− xNtxN
BSeSC tr
SBC σλλ
λ
« PUT Strike lookback »
SBCSlook PPP +=
avec
( )( ) ( )( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−⋅⋅+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−⋅− 11 yNtyN
HSeSP tr
SBC σλλ
λ
Avec
t
tBS
x⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
=σ
σδ2²ln
t
tHS
y⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
=σ
σδ2²ln
lookC : prime d’un « strike lookback call »
SBCC : prime d’un « strike bonus call »
lookP : prime d’un « strike lookback put »
SBCP : prime d’un « strike bonus put »
S : cours de l’actif
²2σ
λ r⋅=
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r : taux d’intérêt sans risque
r=δ
t : durée de vie résiduelle de l’option
B : cours de l’actif le plus bas de la période
H : cours de l’actif le plus haut de la période
σ : volatilité
Vérifier le nom
• Partial lookforward option
« CALL partial lookforward option »
Avec
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )21
122
111
111
1111
²2
210
2²1
;,
1;,
1;,
;2
,2
2²
1 eNfNSr
e
tTttdfMXe
tTttdeMS
tTtt
deMe
tTttttr
ftTrdMKS
Sr
e
dNXedNSC
tTr
tTr
tTr
r
tTr
tTr
−⋅⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅−⋅+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−−⋅⋅−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−−−⋅−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−⋅+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅⋅+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅⋅−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
⋅⋅⋅
⋅+
⋅⋅−⋅=
−⋅−
−⋅−
−⋅
⋅−
−⋅−
−⋅−
σ
σσσ
σ
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( )
tT
tTrSB
d−⋅
−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
=σ
σ ²21ln
1
tTdd −⋅−= σ12
( )
1
1
1
²21
tT
tTre
−⋅
−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+
=σ
σ
112 tTee −⋅−= σ
( )
tt
ttrSb
f−⋅
−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
=1
1
1
²21ln
σ
σ
ttff −⋅−= 112 σ
Avec
S : cours de l’actif sous-jacent
B : cours le plus bas atteint par l’actif sur la période
t : date actuelle
1t : fin de la période d’application de l’effet « lookback »
T : échéance de l’option
X : prix d’exercice
( ).,.;.M : fonction de la loi normale bivariée
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• Partial strike lookback option
« CALL partial strike lookback option »
avec
λ : Constante ajustant le cours extrême (le prix d’exercice est considéré
comme un pourcentage de ce ours extrême) Ici 1≥λ
tTg
−⋅=
σλln
1
12
lntT
g−⋅
=σ
λ
d) Exemple de stratégie
• Prenons l'exemple d’un investisseur anticipant que le marché approche
de son plus bas niveau et pensant que la reprise est imminente. Il
pourra acheter un « strike reset call », jouant ainsi le retournement de
tendance, sans supporter une nouvelle baisse des cours. Au contraire,
la dégradation du marché permet à l'investisseur, jusqu'à la « reset
date » d'espérer le franchissement de la barrière, et pourtant, d'obtenir
la fixation d'un nouveau prix d'exercice à un niveau inférieur. En outre,
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )122
1122
12111
12111
²2
111
11
²2
12110
2²1
;,
1;,
;,
;2,2
2²
1 fNgeNSr
e
tTttgdfMBe
tTttgegdMS
tTttgegdMe
tTttgtTrd
ttrfM
BS
Sr
e
gdNeBgdNSC
tTr
tTr
rtTr
r
tTr
tTr
−⋅−⋅⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅+⋅+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−−−⋅⋅⋅+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−−−+−⋅+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−++−⋅⋅−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−−⋅⋅
+−−⋅⋅
+−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⋅⋅⋅
⋅+
−⋅⋅⋅−−⋅=
−⋅−
−⋅−
⋅−⋅
⋅−
−⋅−
−⋅−
λσ
λ
λ
σσλσ
λ
σ
σ
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si le marché repart à la hausse comme attendu, il profitera de ne pas
avoir manqué la reprise.
Bien entendu, du fait de l’opportunité supplémentaire procurée, la
« reset option » est légèrement plus chère qu’une option standard de
caractéristiques semblables. Son coût dépend évidemment du niveau
de la barrière, du niveau du « reset », et de la période d’application.
• Option « lookback » à strike flottant : Nous sommes au mois de mars
2004, et le trend de l'indice est haussier. A cette date le niveau de
l'indice est de 2650 points. Cependant, des élections vont avoir lieu
dans un peu moins d'un mois en France. Dans ce contexte troublé, on
risque d'assister à une forte baisse de l'indice, même si celle-ci n'est
que ponctuelle. Le client souhaite bénéficier de cette incertitude en
investissant pour une durée de trois mois.
Deux stratégies sont alors possibles : achat d'un « call » strike flottant
ou bien achat d'un « put » standard « at the money ». Au cours de ces
trois mois, l'indice atteint un plus bas à 2200 points, et cote 2550 à
l’échéance de l'option.
CARACTÉRISTIQUES ACHAT « CALL LOOKBACK »
STRIKE FLOTTANT
ACHAT PUT STANDARD
Date d'achat 01 mars 2004 01 mars 2004
Date d'échéance 01 août 2004 01 août 2004
Strike 2250 2650
Prix de l'option 10.23% 6.03%
Pay-off 2550-2250 = 300 2650-2550 = 100
Pay-off/Prime 1.10 0,62
Remarques sur la stratégie :
Le choix d'une option « lookback » par rapport au put standard s'est
avéré judicieux, puisque le levier est nettement positif. Le prix de
l'option « lookback » est beaucoup plus important : pour atteindre le
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point mort, l'indice doit atteindre des valeurs très éloignées de sa
valeur initiale.
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3.3 Option Asiatique (ou à Moyenne)
a) Définitions et caractéristiques
Il existe deux types d’options Asiatiques :
• L’option à moyenne sur le prix : C’est une option de type européen
donnant droit à son détenteur de recevoir à l’échéance de l’option et à
concurrence de son montant nominal, la différence positive éventuelle
entre le prix d’exercice de cette option et la moyenne arithmétique (ou
éventuellement géométrique) des cours du sous-jacent.
Le « payoff » d’un « call » peut donc s’exprimer par :
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 0,max KSMoyX t
tqueCallAsiati
Avec :
- K : Prix d’exercice de l’option - tS : Cours de l’actif sous-jacent au temps t
- ( )tt
SMoy : moyenne de l’actif sous-jacent.
Elle est calculée sur n observations et peut se calculer des deux manières :
- Moyenne arithmétique : ( ) ∑=
⋅=N
iObst
Arithmi
SN
SMoy1.
1
- Moyenne géométrique : ( ) NN
iObst
Géomi
SSMoy ∏=
=1.
iObsS étant i-ème cours de l’actif sous jacent observé (Avec un total de
N observations.
Et celui d’un « put » d’une telle option en utilisant les mêmes
notations :
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 0,max t
tuePutAsiatiq SMoyKX
• L’option à moyenne sur le prix d’exercice : Le « payoff » à l’échéance,
ou lors de l’exercice, de cette option est déterminé en effectuant la
différence entre le cours de l’actif à l’échéance et le prix d’exercice
moyen calculé comme étant le cours moyen de cet actif sous-jacent sur
un nombre fixe de points.
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b) Intérêt
Réduction du risque : contrairement aux options classiques, dont le « pay-
off » est exposé à un mouvement brutal du cours de l'actif sous-jacent à
I'échéance, les options asiatiques permettent de figer des valeurs du Sous-
jacent au cours de la durée de vie de l'option. Ces options sont donc
particulièrement intéressantes lorsque le marché est faiblement liquide ou
fortement volatil.
Flexibilité du produit : outre le choix de la maturité et du prix d'exercice,
l'acheteur d'une option asiatique l’acheteur à la possibilité de déterminer :
• la période de constatation : au lieu de calculer une moyenne sur
l'ensemble de la durée de vie de l'option, il est possible de réduire la
période d'observation.
• La fréquence de constatation : décidée lors de la négociation du
contrat, elle peut être quotidienne, hebdomadaire, mensuelle,
trimestrielle, semestrielle...
• le type de moyenne : généralement, le calcul de la moyenne se fait de
façon arithmétique. Cependant, il est aussi possible d'utiliser des
moyennes géométriques ou bien d'affecter une pondération différente à
chacune des valeurs au gré de la volonté de l'acheteur.
c) Modélisation en temps discret
Nous modéliserons ici l’option à moyenne sur le prix pour une moyenne
arithmétique et géométrique.
Partons de la fin de la partie modélisation temps discret, nous avons compte
tenu du nombre d’observations :
( )( ) ( ) ( )∑
=
−− ⋅⋅⋅−−⋅−+⋅⋅−+
=T
n
nTnnTnnTT
duSXrudrCdur
P0
00 11))(1(
1
• Moyenne arithmétique :
Or, pour une option asiatique à moyenne arithmétique sur le prix, le
« payoff » d’un « call » et d’un « put » s’écrivent :
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ∑
=
0,1max0,max1
KSN
KSMoyXN
iObst
tqueCallAsiati i
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( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ∑
=
0,1max0,max1
N
iObst
tuePutAsiatiq i
SN
KKSMoyX
En remplaçant, nous obtenons :
• Moyenne géométrique :
Nous avons juste à changer la moyenne arithmétique par la moyenne
géométrique. En effet, nous avons les « payoffs » :
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ∏
=
0,max0,max1
KSKSMoyX NN
iObst
tqueCallAsiati i
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ∏
=
0,max0,max1
NN
iObst
tuePutAsiatiq i
SKSMoyKX
d) Modélisation en temps continu
Nous modéliserons ici l’option à moyenne sur le prix pour une moyenne
arithmétique et géométrique.
( )( ) ( )∑ ∏
= +=
−−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅⋅−−⋅−+⋅⋅
−+=
T
n
NN
i
iNinTnnTTArithmAs KduSrudrC
durC
0 10. 11
))(1(1
( )( ) ( )∑ ∏
= +=
−−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅−⋅−−⋅−+⋅⋅
−+=
T
n
NN
i
iNinTnnTTArithmAs duSKrudrC
durP
0 10. 11
))(1(1
ArithmAsC . ( )( )( )
( ) ( ) ( )∑ ∑= +=
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅⋅⋅⋅−−⋅−+⋅⋅
−+=
T
n
N
i
iNinTnnTT
KduSN
rudrCdur 0 1
0111
11
ArithmAsP . ( )
( ) ( ) ( )∑ ∑= +=
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅⋅⋅−⋅−−⋅−+⋅⋅
−+=
T
n
N
i
iNinTnnTT
duSN
KrudrCdur 0 1
0111
))(1(1
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• Moyenne géométrique :
Kemna et Vorst ont montré, [9] que cette option pouvait être évaluée de la
même façon qu'une option standard, de caractéristiques semblables, mais en
retenant, comme niveau de volatilité et de taux de dividende, les valeurs
suivantes :
3σσ =′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅=′
621 2σdrd
Dans le cas où le calcul de la moyenne correspond à la durée de vie de
l'option, Rubinstein et Reiner ont en outre fourni la formule suivante [10] :
( ) ( )zxNeXxNeeXC trzytr
ag −⋅⋅−⋅⋅⋅= ⋅−+⋅− 2²
0
Avec
zz
yXX
x ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
0ln
( )( )
( )fTTfT
fTTT
SAX +++
++ ⋅= 21
2
21
1
00
( )( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⋅
+⋅+=
2²
2 21
220
σdrfTT
fTTTy
( ) ( )( )
²6
2² 221
2220 σ⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
++⋅+⋅⋅+⋅
+=fTT
fTfTTTz
0S : cours de l'actif sous-jacent à l'origine
t : durée de vie résiduelle de l'option
T : date d'échéance de l'option
0T : temps restant avant que la moyenne ne commence à être calculée
1T : période de temps passé, pendant laquelle la moyenne a déjà commencé
à être calculée
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( )02 : TTT − temps restant pour le calcul de la moyenne
A : moyenne géométrique, à l'instant où le calcul de la valeur de l'option est effectué (si 0,>T ). Dans le cas où la moyenne n'est pas encore calculée, alors
1=A avec 0,=T
f : Fréquence utilisée dans le calcul de la moyenne
• Moyenne arithmétique :
Geman et Yor ont apporté une solution pour la formule des options asiatiques
[11], considérant une moyenne arithmétique de cours. Elle prend pour
hypothèse, que le moment t, de l'analyse appartient à la période de calcul de la moyenne ( Ttt <<0 ), et que les valeurs déjà retenues dans ce calcul sont
suffisamment élevées pour que l'option soit déjà dans la monnaie. En évitant
les approximations et en retenant un faible écart de temps entre deux points
de référence, l'expression mathématique de la formule de cette option est
relativement simple :
( )( )( )
( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⋅
−−⋅−
−⋅−
⋅= ∫−⋅−−⋅− 1
0
11
00
11 t
t
tTrtTr
aa duuStT
XetTr
eSC
Avec
( )∫ ⋅⋅−
T
t
duuStT
00
1 : moyenne calculée entre 0t et T
S : cours de l’actif à l’instant t , de l’analyse
e) Exemple de stratégie
Cession de participations : une société souhaite utiliser une stratégie
optionnelle pour céder sa participation dans un autre groupe. La méthode
retenue est celle d'une cession en bloc, ayant lieu dans un an. L'objectif de
cette société n'est pas d'assurer un prix minimum de cession, mais d'éviter
une opération dont le prix pourrait être très défavorable. La société achète un
put à moyenne trimestrielle, lui permettant de réaliser la cession à un prix
moyen sur l'année et la protégeant contre une baisse violente du sous-jacent
à l'échéance.
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Anticipations directionnelles : pour l'année à venir, un gérant anticipe une
forte hausse de l'indice, suivie d'une relative stagnation. En utilisant une
option à moyenne trimestrielle, il espère pouvoir obtenir un « pay-off » proche
de celui d'une option standard, mais en payant une prime très inférieure : la
hausse rapide anticipée devrait permettre d'éviter un lissage trop important
des cours. Au moment de l'achat de l'option, l'indice cote 2500 points. Aux
quatre dates anniversaires utiles au calcul du « pay-off » de l'option, le cours
du sous-jacent est respectivement de 2250, 3050, 3700 et 3000 points. La
valeur à l'échéance servant au calcul de l'option « plain vanilla » (ou option
classique) est de 3000, identique à celle servant au calcul de I'option
asiatique :
( ) 30004/3000370030502250 =+++
Type d’option Maturité Strike Prime Pay-off Pay-
off/prime
Call 1 an 2500 10.3% 500 1.94
Plain Vanilla (257.5)
Call 1 an 2500 7.1% 500 2.82
Moyenne Trimestrielle (177.5)
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PARTIE 2 SIMULATION DES
OPTIONS EXOTIQUES
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1. INTRODUCTION A LA SIMULATION
1.1 Problématique
C'est en 1977 que Boyle a eu l'idée d'utiliser la méthode de simulation de
Monte Carlo pour évaluer le prix d'une option. La théorie financière moderne
permet, en effet, d'exprimer la valeur de la plupart des actifs financiers sous
la forme de l'espérance d'une variable aléatoire. L'évaluation d'un actif
financier peut se résumer alors a un calcul approché de la moyenne de cette
variable dès lors que l'on sait la simuler.
À titre d'exemple, considérons l'évaluation d'une option écrite sur une action
dont le cours, S, est supposé suivre un mouvement brownien géométrique, tel
que, dans l'univers risque neutre :
WddtrS
dS ˆ⋅+⋅= σ
où ^
W représente un brownien standard de valeur nulle à l'instant 0, r le taux
d'intérêt sans risque et σ la volatilité de l'action.
L'utilisation du lemme d'Itô, suivie d'une intégration, permet d'exprimer la valeur de l'action, à une date future T , en fonction de sa valeur en t :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅+−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅= tWTWtTrtSTS ˆˆ²
21exp σσ
Avec
( ) TTW ⋅= εˆ
Avec ^
W , où ε suit une loi normale centrée réduite.
En découpant le temps en périodes successives de durée égale, t∆ , et en
retenant au hasard, à chaque période, une réalisation de la variable aléatoire ε , il est possible, connaissant le cours de l'action au début d'une période, de
simuler celui-ci en fin de chaque période et d'obtenir ainsi pas à pas une
trajectoire de la valeur de l'action. En répétant l'opération un grand nombre
de fois, on obtient un ensemble de trajectoires à partir duquel il devient
possible d'évaluer non seulement une option simple, mais aussi une option
complexe, écrite sur cet actif.
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Il est alors possible de simuler plusieurs trajectoires comme le montre le
graphique :
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
02/01/04 02/04/04 02/07/04 02/10/04 02/01/05 02/04/05 02/07/05 02/10/05
Caractéristiques du Sous-jacent taux sans risque (r) 2,0% par an
Volatilité (σ ) 30,0% par an
prix initial (V0) 100 € Duration (T) 2 année(s)
La simulation d'un plus grand nombre de trajectoires permettrait de
distinguer le « couloir » d'évolution de l'actif risqué.
Lorsqu'il s'agit d'évaluer une option européenne « path-independent », seule
la valeur de l'actif à l'échéance compte. Pour cette raison, il suffit, de simuler
N valeurs selon une loi normale centrée réduite pour obtenir N valeurs du
« pay-off » final de l'option. La moyenne actualisée de ces N valeurs constitue
une estimation du prix de l'option.
La génération des nombres aléatoires permettant de simuler un brownien
constitue l'un des points critiques de cette approche. Des méthodes "naïves"
peuvent, en effet, engendrer un biais quasiment systématique dans le calcul
du prix de l'option. Ainsi, l'application à plusieurs reprises d'une telle méthode
à l'évaluation d'un call conduit aux résultats figurant sur le tableau suivant :
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Série 1 Série 2 Série 3 Série 4 Série 518,747 19,191 21,932 21,492 20,5061 000
valeurs 7,45% 5,26% -8,28% -6,10% -1,23%20,425 20,827 19,554 20,650 21,3965 000
valeurs -0,83% -2,82% 3,47% -1,94% -5,63%20,762 19,221 20,277 19,570 19,36010 000
valeurs -2,50% 5,11% -0,11% 3,39% 4,42% 20,417 20,446 20,306 20,110 20,488100 000
valeurs -0,79% -0,94% -0,25% 0,72% -1,15%
En ayant choisi les paramètres suivants :
taux sans risque (r) 4,0% par an Volatilité (σ) 30,0% par an
prix initial (V0) 200 € Strike (K) 260 €
Duration (T) 2 année(s)Valeur exacte (B&S) 20,256 €
Les valeurs du call obtenues pour ces séries de simulations sont très
différentes et, malgré un nombre a priori élevé de trajectoires (jusqu’à
100 000), l'écart avec celles données par la formule de Black et Scholes peut
être assez important, en dépit de paramètres d'entrée identiques.
Trois enseignements peuvent être tirés de cet exemple :
• le nombre de simulations doit être réellement conséquent pour que
l'intervalle de confiance du prix simulé soit suffisamment faible.
• lorsque l'on cherche, par exemple, à calculer les sensibilités de l'option
par rapport a ses divers paramètres, il est nécessaire, pour des
conditions d'évaluation identiques, d'obtenir toujours le même prix.
Cette contrainte conduit soit a "contrôler le hasard", de manière à obtenir la même valeur pour des paramètres d'entrées identiques et
ainsi pouvoir calculer les dérivées du prix du call, soit à enregistrer les
valeurs des browniens de manière à effectuer le calcul des sensibilités à
partir des mêmes tirages d'aléas.
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• L’erreur quoi qu’apparemment faible, qui devrait tendre vers 0 lorsque
l’on augmente N2, n’est jamais complètement annulée :
20,237 20,243 20,190 20,328 20,243 1 000 000 valeurs 0,09% 0,07% 0,33% -0,36% 0,07%
20,278 10 000 000 valeurs -0,111%
Ceci nous incite donc à être très vigilant concernant le choix des
générateurs de nombres aléatoires, et à s’intéresser au biais qui leur
est propre.
Si la méthode d'évaluation par simulation ne présente guère d'intérêt pour
déterminer la valeur d'une option standard, elle s'avère, en revanche,
particulièrement intéressante pour évaluer un actif financier complexe pour
lequel il n'existe pas de formule d'évaluation analytique ou de méthode
efficace de résolution numérique régissant la valeur de l'actif.
1.2 Génération de Variables Normalement Distribuées
La théorie financière fait largement appel au mouvement brownien pour
représenter l'évolution des variables. L'une des propriétés remarquables de ce
processus est qu'il est à accroissements indépendants, identiquement et
normalement distribués. C'est pourquoi il est important de pouvoir générer
des variables aléatoires indépendantes et distribuées selon la loi normale
centrée réduite de densité :
( ) ²21
21 x
exf⋅−
⋅⋅
=π
La simulation de variables distribuées selon cette loi exige d'abord la
génération de variables uniformément distribuées.
Il faut donc s’intéresser dans un premier temps aux méthodes de génération
de ces dernières, pour aborder ensuite les techniques de transformations de
variables uniformément distribuées en valeurs normalement distribuées.
f) Génération de variables uniformément distribuées
2 N désignant le nombre de valeurs simulées et σ l'écart type des valeurs de l'actif dérivé résultant de ces simulations, l'erreur
standard de l'estimateur est approximée parN
σ . Cette erreur décroît donc avec la racine carrée du nombre de trajectoires de
l'actif sous-jacent.
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Il existe plusieurs procédés de génération de variables uniformément
distribuées, aucun d'entre eux n'étant purement aléatoire. Les premiers de
ces générateurs, qualifiés de pseudo-aléatoires et implémentés par défaut
dans les langages informatiques usuels (type C++ ou Pascal), sont des
générateurs linéaires congruentiels. Comme tout générateur, ils produisent
des valeurs déterministes et parfaitement prévisibles, mais dont les propriétés
statistiques sont satisfaisantes.
Ainsi, les tests d'indépendance de répartition d'échantillons obtenus par ces
générateurs sont statistiquement validés. Un second type de générateurs,
qualifiés de quasi aléatoires, permet aussi de simuler des variables
uniformément distribuées. La différence fondamentale entre ces deux
procédés est que le premier conduit à des tirages différents tandis que le
second donne toujours exactement les mêmes valeurs.
• Les générateurs pseudo-aléatoires
Les techniques de générations actuellement implémentées dans les langages
de programmation (rnd, rand, random) permettent de générer des
réalisations de variables aléatoires de loi uniforme sur l'intervalle [0,1] et
indépendantes. Elles sont généralement issues de la méthode du générateur
congruentiel. Par essence, un programme informatique ne peut créer
l'imprévisible.
Les Générateurs Linéaires Congruentiels Ils sont de la forme :
Xn=(a Xn-1 + b) mod m où Xn est le ne terme de la suite et Xn-1 le terme précédent.
a, b, m sont des constantes,la valeur initiale X0 est le germe.
Ce générateur a une période qui n’est pas plus grande que m : la période est
maximale si a, b, m sont choisis correctement.
Le choix de ces valeurs n'est pas un problème à négliger (bien que se
résolvant facilement). En effet, voici pour quelques valeurs prises au hasard,
la mise en évidence des périodes obtenues:
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Autre exemple:
Les valeurs semblent ici correctes (il n'est bien sûr pas question de vérifier
que la période est de 10 000 000), mais on observe que le dernier chiffre des
valeurs générées est incrémenté à chaque nouvelle valeur d'une unité: le
résultat est alors biaisé.
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Un contrôle d'abord visuel s'avère alors en premier lieu nécessaire, et doit
être suivi de tests (détaillés page suivante).
Il est fortement recommandé lors du choix des constantes de vérifier les
hypothèses d'un théorème de Knuth [5] p.16:
La suite définie par Xn=(a Xn-1 + b) mod m est de période maximale m si et
seulement si :
i) b est premier avec m
ii) quel que soit p premier divisant m, c=a-1 est un multiple de p
iii) si m est multiple de 4, alors b est multiple de 4
On peut notamment citer le générateur utilisant les constantes:
m = 1012 - 11 a = 427419669081
b = 0:
Il est en particulier utilisé dans le logiciel Maple.
Ce générateur ne vérifie pas les hypothèses du théorème précédent, il n'est
donc pas de période maximale; néanmoins Knuth aborde le cas particulier des
générateurs pour lesquels b est nul: ceci permet l'économie d'une addition, et
on peut notamment faire en sorte lorsque m est premier (ce qui est ici le cas),
d'atteindre un période de m-1.
Les Registres à Décalage à Rétroaction Linéaire Linear Feedback Shift Register (LFSR) en anglais.
On utilise un tableau à n bits dans lequel on effectue une opération, comme
une addition, puis on effectue un décalage dans le tableau en ajoutant le
nouvel élément.
Exemple avec 4 bits:
Ici on utilise un ou exclusif (addition sans retenue) sur les deux derniers bits.
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Le registre est successivement à la valeur 0111, 0011, 0001, 1000, 0100...
Pour un LFSR à n bits, on peut faire en sorte d’obtenir une période maximale
de 2n–1.
Exemple de générateur: Les entiers étant codés sur 32 bits, on fait
fonctionner dans un tableau de 55 entiers, un LFSR effectuant une addition
modulo 230-1 sur le 1er et 25ème entier.
g) Transformation d'une variable aléatoire uniformément
distribuée en variable aléatoire normalement
distribuée
• La technique de la somme
Cette méthode qui pouvait présenter un intérêt à l'époque du calcul manuel
apparaît aujourd'hui largement dépassée.
Soit 12;;1, K∈iYi , douze tirages de variables aléatoires de loi uniforme à
valeur dans l'intervalle [0,1] et indépendantes. Alors la variable aléatoire Y
suivante
612
1−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑
=iiYY
est d'espérance nulle et de variance 1.
Par le théorème central limite, on peut considérer que la loi de Y est peu différente d'une loi normale [ ]1,0 .
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Cette méthode, des plus simples à mettre en oeuvre, est toutefois assez peu
efficace par rapport aux autres méthodes que nous présenterons par la suite.
Elle est, en effet, assez coûteuse en temps de calcul à cause des douze tirages
de valeurs aléatoires qu'elle exige. De plus, on est relativement éloigné des
conditions d'approximation du théorème central limite, 12 termes seulement
étant retenus.
Signalons, en outre, que les valeurs prises par Y appartiennent à l'intervalle [ [6;6− et non à . Bien que cela limite l'ensemble des valeurs possibles, la
probabilité qu'une variable aléatoire distribuée selon une loi normale centrée
réduite soit en dehors de cet intervalle est négligeable dans la grande
majorité des cas.
• Inversion de la fonction de répartition de la loi
normale centrée réduite
1−N désigne la fonction inverse de la fonction de répartition de la loi normale
centrée réduite. Cette technique s'appuit sur le fait que si X est une variable aléatoire uniformément distribuée, à valeur dans l’intervalle [ ]1;0 , la variable
aléatoire ( )xNY 1−= est distribuée selon une normale centrée réduite.
• Inversion de Moro
La technique de Moro (1995) s'avère être d'une très grande précision. L'approximation est faite en deux parties en fonction de la valeur de ( )xN .
Soit ( ) 5.0−= xNy
Si 42.0≤y , alors l'approximation proposée est égale à :
∑
∑
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅⋅= 4
0
2
3
0
2
j
ii
i
ii
yb
yayx
Si en revanche 42.0>y alors l’approximation est obtenue, à ‘aide des
polynômes de Tchebychev, par la formule suivante :
( )20
8
0
ctTcxi
ii ⋅−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅= ∑
=
εε
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Où ε est le signe de y et ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅⋅= 21 2
1lnln2 kykt
Le tableau suivant donne la valeur des coefficients iiii ketcba ,,,
i ai bi ci ki 0 2,50662823884 1 7,71088707054878 0,4179886424926431 -18,61500625290 -8,4735109309 2,77720135336851 4,24546868813765002 41,39119773534 23,08336743743 0,3614964129261000 3 -25,44106049637 -21,06224101826 0,0373418233434554 4 3,13082909833 2,82971430369670E-03 5 1,625716917922E-04 6 8,0173304740E-06 7 3,8409198650E-07 8 1,29707170E-08
Enfin, la fonction ( ) ( )20
8
0
ctTctfi
ii −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅= ∑
=
peut être approchée par l’algorithme
suivant :
Soit 10d et 9d deux réels nuls.
Soit id , les réels déterminées par : ijiii dcddtd ⋅+−⋅⋅= ++ 212 pour 1,,7,8 K=i
alors :
( )20
21cddttf +−⋅=
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1.3 Performances des méthodes de génération de valeurs normalement distribuées
a) Performances temporelles
Pour 500 000 valeurs générées, voici les temps de calculs nécessaires pour 4
méthodes :
Mesure du Temps de génération Nb Valeurs : 500 000
Moro Excel 2003 TCL rejet polaire debut 05/03/2004 14:49:55 05/03/2004 14:49:58 05/03/2004 14:56:39 05/03/2004 14:56:40
fin 05/03/2004 14:49:58 05/03/2004 14:56:39 05/03/2004 14:56:40 05/03/2004 14:56:42delta(min:sec) 00:03 06:41 00:01 00:02
La méthode qu’emploie Excel est présente ici à titre de comparaison, car elle
n’est malheureusement pas assez rapide, malgré des performances très
intéressantes (comme le montre le prochain tableau) : Elle recherche une
valeur x de sorte que LOI.NORMALE.STANDARD(x) = probabilité. Elle utilise
une technique de recherche grâce à 100 itérations.
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b) Performances pures : Qualité du résultat fourni
Inversion de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, et vérification
Excel Moro
u inversion vérification erreur inversion vérification erreur 0,1000000000000000000000 -1,281551566 0,1000000000000000000000 2,77556E-16 -1,2815516 0,1000000003979540000000 -3,97954E-09
0,0100000000000000000000 -2,326347874 0,0099999999999999000000 1,02349E-14 -2,3263479 0,0100000000025551000000 -2,55508E-10
0,0010000000000000000000 -3,090232306 0,0009999999999998900000 1,10155E-13 -3,0902323 0,0009999999994620980000 5,37902E-10
0,0001000000000000000000 -3,719016485 0,0000999999999975465000 2,45351E-11 -3,7190165 0,0001000000000497270000 -4,9727E-10
0,0000100000000000000000 -4,264890794 0,0000100000000076150000 -7,61503E-10 -4,2648908 0,0000100000000118339000 -1,18339E-09
0,0000010000000000000000 -4,753424341 0,0000010000000216781000 -2,16781E-08 -4,7534243 0,0000010000000730814300 -7,30814E-08
0,0000001000000000000000 -5,199337618 0,0000000999999999999995 4,76456E-15 -5,1993376 0,0000001000000191524930 -1,91525E-07
0,0000000100000000000000 -5,612001259 0,0000000100000000000001 -5,9557E-15 -5,6120012 0,0000000100000008726393 -8,72639E-08
0,0000020000000000000000 -4,611382362 0,0000019999999987252400 6,37378E-10 -4,6113824 0,0000020000001010878100 -5,05439E-08
0,0000005000000000000000 -4,89163848 0,0000005000000034005580 -6,80112E-09 -4,8916385 0,0000005000000409260960 -8,18522E-08
0,0000001250000000000000 -5,157701351 0,0000001250000000000000 0 -5,1577013 0,0000001250000260015900 -2,08013E-07
0,0000000312500000000000 -5,411497142 0,0000000312500000000001 -4,23516E-15 -5,4114971 0,0000000312500039641678 -1,26853E-07
0,0000000078125000000000 -5,654555629 0,0000000078125000000000 -1,05879E-15 -5,6545556 0,0000000078125006310775 -8,07779E-08
0,0000000019531250000000 -5,888115127 0,0000000019531250000000 -4,02341E-15 -5,8881151 0,0000000019531251047816 -5,36482E-08
0,0000000004882812500000 -6,113194466 0,0000000004882812500000 4,87044E-15 -6,1131945 0,0000000004882812680394 -3,69446E-08
0,0000000001220703125000 -6,330643639 0,0000000001220703125000 -5,0822E-15 -6,3306436 0,0000000001220703156692 -2,59623E-08
0,0000000000305175781250 -6,541180393 0,0000000000305175781250 6,98802E-15 -6,5411804 0,0000000000305175786790 -1,81537E-08
0,0000000000076293945313 -6,745417243 0,0000000000076293945313 -4,65868E-15 -6,7454172 0,0000000000076293946259 -1,24087E-08
Vale
urs
extr
êmes
(crit
ique
s)
0,0000000000019073486328 -6,943881797 0,0000000000019073486328 7,19978E-15 -6,9438818 0,0000000000019073486495 -8,75875E-09
0,2000000000000000000000 -0,841621234 0,2000000000000000000000 2,77556E-16 -0,8416212 0,1999999996290280000000 1,85486E-09
0,3000000000000000000000 -0,524400513 0,3000000000000000000000 0 -0,5244005 0,3000000002786370000000 -9,28789E-10
0,4000000000000000000000 -0,253347103 0,4000000000000000000000 2,77556E-16 -0,2533471 0,3999999999282780000000 1,79305E-10
0,5000000000000000000000 -1,39214E-16 0,5000000000000000000000 2,22045E-16 0 0,5000000000000000000000 0
0,6000000000000000000000 0,253347103 0,6000000000000000000000 0 0,2533471 0,6000000000717220000000 -1,19537E-10
0,7000000000000000000000 0,524400513 0,7000000000000000000000 1,58603E-16 0,52440051 0,6999999997213630000000 3,98053E-10
0,8000000000000000000000 0,841621234 0,8000000000000000000000 0 0,84162123 0,8000000003709720000000 -4,63715E-10vale
urs
méd
iane
s
0,9000000000000000000000 1,281551566 0,9000000000000000000000 1,23358E-16 1,28155156 0,8999999996020460000000 4,42171E-10
0,0240623693117081000000 -1,97626529 0,0240623693117081000000 0 -1,9762653 0,0240623693133439000000 -6,79818E-11
0,4178365483934810000000 -0,207431228 0,4178365483934810000000 0 -0,2074312 0,4178365485795010000000 -4,45197E-10
0,0894225690141415000000 -1,344319359 0,0894225690141413000000 2,48309E-15 -1,3443194 0,0894225689584911000000 6,2233E-10
0,9189512374928240000000 1,398051758 0,9189512374928240000000 0 1,39805176 0,9189512374776290000000 1,65355E-11
0,4714335577295720000000 -0,071666753 0,4714335577295720000000 2,35499E-16 -0,0716668 0,4714335580813780000000 -7,46248E-10
0,8336624565344900000000 0,968739685 0,8336624565344900000000 0 0,96873968 0,8336624561540650000000 4,5633E-10
0,0243061641042443000000 -1,971976159 0,0243061641042444000000 -2,28383E-15 -1,9719762 0,0243061641057782000000 -6,31091E-11
0,4647065915413670000000 -0,088583171 0,4647065915413670000000 0 -0,0885832 0,4647065919417720000000 -8,6163E-10
0,9669499979111570000000 1,837744901 0,9669499979111570000000 0 1,8377449 0,9669499979135720000000 -2,4975E-12
0,6385367504681540000000 0,354550321 0,6385367504681540000000 1,7387E-16 0,35455032 0,6385367509034210000000 -6,81663E-10
0,2260305436843460000000 -0,751983324 0,2260305436843460000000 0 -0,7519833 0,2260305433798500000000 1,34715E-09
0,6434438712542060000000 0,367679461 0,6434438712542060000000 1,72544E-16 0,36767946 0,6434438716873350000000 -6,73141E-10
0,4760397285329480000000 -0,060095647 0,4760397285329480000000 0 -0,0600956 0,4760397288415760000000 -6,48324E-10
0,5927481059257260000000 0,234619867 0,5927481059257260000000 1,87301E-16 0,23461987 0,5927481058899670000000 6,03278E-11
0,1491770870192150000000 -1,039969278 0,1491770870192150000000 0 -1,0399693 0,1491770873515220000000 -2,2276E-09
0,1733064746964870000000 -0,941179365 0,1733064746964870000000 6,40613E-16 -0,9411794 0,1733064749396470000000 -1,40306E-09
0,9507869655487080000000 1,652532385 0,9507869655487080000000 1,16769E-16 1,65253239 0,9507869655535760000000 -5,11938E-12
0,9099120349277460000000 1,340213542 0,9099120349277460000000 0 1,34021354 0,9099120349157850000000 1,31453E-11
0,8534594722552880000000 1,051386627 0,8534594722552880000000 0 1,05138663 0,8534594719888260000000 3,12213E-10
0,1267702938019300000000 -1,141791762 0,1267702938019300000000 1,75155E-15 -1,1417918 0,1267702934163440000000 3,04161E-09
Vale
urs
aléa
toire
s
0,1519427455431260000000 -1,028136781 0,1519427455431260000000 0 -1,0281368 0,1519427459283160000000 -2,5351E-09
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On observe un très grande précision des valeurs fournies par les deux
méthodes, avec néanmoins un avantage pour excel, qui globalement ne pêche
que par la lenteur de sa méthode.
c) Application au pricing d’une option standard
Comparaison de 3 méthodes différentes pour pricer une option sur un sous-
jacent de caractéristiques suivantes:
Option Européenne Classique CALL PUT
Nombre de Simulations : 90 000
Valeur exacte (Black&Scholes) 9,740 € Valeur exacte (Black&Scholes) 13,334 €
Résulat approché 9,735 € Résulat approché 13,350 €
erreur 0,049% erreur -
0,124% Moro
Résulat approché 9,825 € Résulat approché 13,431 €
erreur-
0,873% erreur -
0,729% TCL
Résulat approché 9,811 € Résulat approché 13,395 €
erreur-
0,727% erreur -
0,456%
rejet polaire
Les résultats précédents incitent donc à choisir la méthode de Moro pour les
pricings à venir. Néanmoins, elle n’arrive pas systématiquement en tête de la
comparaison, même si ceci est fréquent.
Nous choisissons donc d’utiliser la méthode de Moro associée à un générateur
uniforme, car le biais de l’inversion de la loi normale est très faible, de l’ordre
de 10-10, ce qui permet donc réduire le biais global de la génération de valeurs
normales, au seul générateur de loi uniforme. Ceci qui présente un intérêt
considérable, inégalable par les autres méthodes précédemment abordées.
taux sans risque (r) 3,0% par an Volatilité (σ) 20,0% par an
prix initial (V0) 100 € Strike (K) 110 €
Duration (T) 2 année(s)
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1.4 Cas des Options Path Dependent
Comme déjà dit precedemment, lorsqu'il s'agit d'évaluer une option
européenne « path-independent », seule la valeur de l'actif à l'échéance
compte. Pour cette raison, il suffit, de simuler N valeurs selon une loi normale
centrée réduite pour obtenir N valeurs du « pay-off » final de l'option. La
moyenne actualisée de ces N valeurs constitue une estimation du prix de
l'option.
L’exercice est bien plus complexe dans le cas des options path dependent, car
la valeur finale ne donne pas d’indications sur le comportement passé de
l’actif, comme le montre cet exemple :
98
98,5
99
99,5
100
100,5
101
101,5
102
102,5
02/01/2004 02/04/2004 02/07/2004 02/10/2004 02/01/2005 02/04/2005 02/07/2005 02/10/2005
Ainsi, dans ce cas d’une barrière « Down and Out », donc désactivante à la
baisse, l’option est annulée.
Il est donc primordial d’avoir une connaissance précise du comportement du
sous-jacent.
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L’approche naïve consiste a discrétiser la simulation, et à vérifier si les règles
d’existence ne sont pas contredites, dans le cas d’une barrière par exemple,
ou pour déterminer le pay-off, dans le cas d’une « lookback » ou d’une
asiatique. Néanmoins, ceci présente deux inconvénients majeurs : La période
d’étude doit être fractionnée en suffisamment de périodes pour minimiser le
risque de rater une forte variation de cours, et le temps de calcul est
considérablement augmenté par le nombre de périodes considérées. Dans la
pratique, cette technique réduit considérablement le nombre de simulations
pour un temps donné, et donne donc des résultats peu satisfaisants.
D’autres méthodes sont donc préférables, et passent notamment par
l’utilisation de ponts browniens pour calculer empiriquement la probabilité
d’atteindre une barrière enter deux valeurs de l’actif.
a) Ponts Browniens : Correction de la probabilité
d’atteindre la barrière
Nous présentons ici le principe de correction de la probabilité d’atteinte
proposé par Andersen et Brotherton-Ratcliffe (1996) [6] dans le cas d’une
option de type down & out, et up & out :
La probabilité ξ d’atteinte de la barrière est donnée par:
Down & Out Up & Out
( )tT
BS
SB T
t
e −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=2
lnln2
1 σξ ( )tT
BS
SB T
t
e −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=2
lnln2
σξ
Avec tS la valeur initiale du prix de l’actif (à la date t ) et TS sa valeur finale
(après une période de durée tT − ). On suppose que les deux valeurs sont
inférieures à la valeur B de la barrière.
L’obtention d’un « payoff » positif est conditionné par le non franchissement
de la barrière. Les auteurs proposent de pondérer le résultat de chaque
simulation par la probabilité d’atteinte de la barrière, c'est-à-dire générer un aléa uniformément distribué sur l’intervalle ] [1;0 que l’on compare à ξ , ce qui
détermine si la barrière a été franchie, le cas échéant.
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1.5 Génération de vecteurs aléatoires Gaussiens : Décomposition de Choleski
Un vecteur aléatoire ( )nXXXX ,,, 21 L= a une distribution multi-normale non
dégénérée s’il admet une densité de la forme :
( )( ) ( )
( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −⋅∑⋅−⋅−⋅
∑⋅⋅= − µµ
πxxxf T
nX1
21
221exp
det2
1
où ( )nµµµµ ,,, 21 K= est le vecteur des espérances des lois marginales et ∑
la matrice des variances-covariances, ( )∑det son déterminant et 1−∑ son
inverse.
On note ∑ :
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=∑
nnnn
n
n
σσσ
σσσσσσ
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
Où iiσ représente la variance du rendement logarithmique de l’actif i et ijσ la
covariance des rendements des actifs i et j .
Puisque ∑ est symétrique, défini positive, il existe, selon la décomposition de
Cholesky, une unique matrice triangulaire inférieure C telle que :
TCC ⋅=∑
On note C :
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nnnn ccc
ccc
C
L
LLLL
L
L
21
2221
11
000
On démontre que, si Z est un vecteur i.i.d. de loi commune [ ]1,0N , le vecteur :
µ+⋅= ZCX
A pour espérance µ et pour matrice des variances-covariance ∑ .
Calcul de C :
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Chaque composante du vecteur X peut d’écrire à l’aide d’une relation linéaire
en Z . Il vient :
11111 µ+⋅= ZcX
Puisque ( ) ,112111 σ== cXVar on a 2
1
1111 σ=c
22221212 µ+⋅+⋅= ZcZcX
Or : ( ) 22222
2212 σ=+= ccXVar
Et ( ) ( )[ ]2221211111221 , ZcZcZcEXXCov ⋅+⋅⋅⋅== σ
11
1221 c
cσ
= et 21
11
212
2222 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
σσ
σc
On montre que d’une manière générale :
21
1
1
2
1
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅−=
∑
∑−
=
−
=
j
kjkjj
j
kjkikij
ij
c
ccc
σ
σ
Pour simuler un vecteur X d’une loi normale multivariée centrée en 0, il suffit
donc de générer un vecteur Z i.i.d. et de le multiplier par la matrice tridiagonale C . Cette méthode s’avère utile pour la simulation de l’évolution
de produits dérivés dépendants de plusieurs actifs risqués.
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2. VOLATILITE
La volatilité est la variable déterminante de l’évaluation des options.
On distingue deux concepts de volatilité :
• la volatilité historique : qui n’est que la constatation ex post des
fluctuations passées des cours.
• la volatilité implicite : qui est une prévision de marché par nature
tournée vers l’avenir.
2.1 Volatilité historique ou non conditionnelle
La volatilité historique est calculée à partir des cours passés de l’actif sous-
jacent. Les étapes de calcul de cette dernière passent avant tout par la
division des cours passés en périodes élémentaires.
Deux mesures de volatilité historique, simple et pondérée, peuvent être
utilisées.
• La volatilité historique simple
Elle est évaluée au moyen d’un écart type annualisé des fluctuations
quotidiennes des taux de change passés, sur une fenêtre de 20 jours :
∑=
+− ⋅⋅=20
1
21 250
201
iitt RVh
où ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−1
lnt
tt S
SR est le rendement de l’actif.
Cette mesure reflète la volatilité inconditionnelle des cours, c’est-à-dire qu’elle
ne permet pas d’isoler la partie de la volatilité passée anticipée sur la base de
l’information disponible. La volatilité historique est donc une mesure ex post
des variations du cours.
Elle est considérée comme une prévision de la volatilité future mais elle
souffre d’un inconvénient majeur. Une fenêtre de t jours est spécifiée dans le
calcul de la volatilité ; or ce choix peut apparaître entièrement arbitraire,
puisqu’il n’existe pas de tests statistiques permettant de déterminer une
fenêtre optimale. De plus, l’hypothèse que la volatilité calculée sur la base des
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t jours précédents reste la même pour les t prochains jours peut apparaître
restrictive.
• La volatilité historique pondérée
Cette seconde mesure assigne un poids plus élevé aux observations passées
les plus récentes. Les poids décroissent de façon exponentielle avec le temps.
L’idée sous-jacente de ce schéma de pondération est que le marché accorde
moins d’importance aux évolutions des cours les plus éloignées dans le temps.
Cette volatilité, sur une fenêtre d’un mois, est définie comme suit :
∑=
+− ⋅′⋅=20
1
21 250
201
iitt RVhp où 2
jj RwR ⋅=′
La valeur du facteur de pondération est donnée par :
2011
201 ⋅
−−
⋅= −
λλλi
jw Avec 94.0=λ à l’échéance d’un mois (La valeur est tirée
de JP Morgan’s Riskmetrics.)
2.2 Volatilité conditionnelle ou Garch
La volatilité historique ou inconditionnelle est la somme de deux composantes,
l’une anticipée l’autre non. Or, ce qui importe pour la prise de décision
financière des opérateurs est le niveau de la volatilité anticipée, qui constitue
une évaluation du risque ex ante. La mesure de la volatilité conditionnelle
issue des modèles économétriques de type Garch permet d’extraire cette
volatilité anticipée en ignorant la volatilité due à des événements de type «
news » ou chocs aléatoires. Cette mesure de volatilité permet donc
d’appréhender la volatilité, telle qu’elle est anticipée par le marché ex ante sur
la base de l’information disponible, liée à l’évolution passée de la volatilité. A
ce titre, elle peut être comparée à la volatilité implicite des options. De plus,
elle permet de mesurer l’effet de persistance propre aux séries financières : à
des périodes troublées, où de fortes variations des cours, positives ou
négatives sont susceptibles d’être suivies par des fluctuations de même
amplitude, succèdent des périodes calmes dans lesquelles prévalent de faibles
fluctuations des taux de change.
Ce type de modèle Arch, d’abord introduit par Engle (1982) et généralisé par
Bollerslev (1986), a fait l’objet de nombreuses études empiriques. La
spécification la plus répandue est le Garch(1,1) qui permet une représentation
assez générale des processus de volatilité conditionnelle.
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ttR εµ += où ( )tt hD ,0≈ε
µ représente la pente d’une tendance temporelle déterministe du prix de
l’actif. Les erreurs sont non-auto corrélées sur la base de l’hypothèse de bruit
blanc, mais elles ne sont pas indépendantes, puisque liées par leur moment
du second ordre. Ce modèle fait dépendre la variance conditionnelle d’une
combinaison linéaire du carré des erreurs de prévision et de la variance
conditionnelle de la période précédente.
112
110 −− ⋅+⋅+= ttt hh βεαα
Cette équation modélise la variance conditionnelle des erreurs comme une variable aléatoire. 0α est une constante, 1α est un coefficient liant la valeur
passée du carré des résidus au niveau courant de la variance ; 1β est un
coefficient qui lie la variance courante à celle de la période précédente. Plus
11 βα + est proche de 1, plus la persistance est élevée. Pour garantir la
positivité de la variance, les paramètres sont tels que 00 >α et 0, 11 ≥βα . La
condition 111 <+ βα assure que la variance non conditionnelle des tε est finie
(Bollerslev, 1986) ; dans ce cas la variance non conditionnelle est égale à
11
0
1 βαα
−−
Selon cette spécification, l’impact des chocs sur la variance conditionnelle est
symétrique ; ils sont supposés avoir un même effet, qu’ils soient positifs ou
négatifs. De plus, l’effet d’un choc sur la volatilité courante se réduit de
manière géométrique dans le temps. Deux caractéristiques indésirables des
modèles Garch peuvent apparaître : une variance conditionnelle intégrée et
des résidus standardisés non normaux (Hsieh, 1989). Puisque les modèles
Garch(1,1) appliqués aux taux de change connaissent une persistance
particulièrement forte dans la variance conditionnelle, le modèle Igarch(1,1)
de Engle et Bollerslev (1986) est testé également à des fins prédictives (Lopez, 1995). Dans ce modèle intégré en variance ( 111 =+ βα ), l’importance
des variances passées et des erreurs de prévision ne décroît pas avec le
temps ; un choc sur la variance conditionnelle actuelle se répercute sur toutes
les valeurs futures prévues. Il ne peut donc pas y avoir de phénomène de
retour à la moyenne de la variance conditionnelle. En outre, la variance non
conditionnelle n’est pas définie.
( ) 112
110 1 −− ⋅−+⋅+= ttt hh αεαα
Pour répondre aux deux problèmes mentionnés, d’autres densités sur les
erreurs peuvent être proposées, comme la distribution t de Student ou la
distribution de l’erreur généralisée (GED), et une autre spécification de la
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variance conditionnelle de type Garch asymétrique peut être envisagée
(Nelson, 1991 ; Higgins et Bera, 1992 ; Glosten, Jagannathan et Runkle, 1993
; Ding, Granger and Engle, 1993). L’impact asymétrique des chocs sur la
variance conditionnelle a été mis en évidence par Black (1976) et confirmé
par French, Schwert et Staumbaugh (1987). Hsieh (1989) montre que le
garch exponentiel s’ajuste bien mieux au séries de taux de change que le
simple Garch(1,1), tandis que Engle et Ng (1993), comparant l’asymétrie des
réponses aux news de différentes spécifications de la variance conditionnelle,
montrent que la variabilité de la variance conditionnelle issue du modèle
Egarch est trop élevée. Parmi les modèles Garch asymétriques, le modèle
Garch exponentiel de Nelson a souvent été utilisé pour tester l’efficience
informationnelle du marché des options. Les prévisions issues d’une
spécification Egarch(1,0) sont ainsi comparées à la volatilité implicite dans le
prix des options de change de Philadelphie (Xu et Taylor, 1995). Day et Lewis
(1992) confrontent le pouvoir prédictif de la volatilité implicite sur l’indice S&P
100 avec les prévisions issues d’un Egarch(1,1). Le problème soulevé par
cette étude est que l’horizon de prévision hebdomadaire du modèle diffère de
l’échéance des options, ce qui biaise les résultats de leurs tests. Les tests
conduits à partir d’un modèle Egarch (1,0) et Egarch(1,1) dans cet article
évitent cette incohérence des horizons de prévision. Le modèle Garch
exponentiel fait dépendre le logarithme de la variance conditionnelle de celui
de la période précédente, des chocs standardisés en (t-1) et de l’écart entre la
valeur absolue des chocs standardisés et leur espérance en (t-1).
2.3 Volatilité implicite
La volatilité historique intègre l’information passée sur le cours de l’action
sous-jacente mais elle est souvent instable et elle n’est pas la meilleure
estimation de la volatilité anticipée. C’est la raison pour laquelle les traders
préfèrent utiliser les volatilités implicites qui sont disponibles sur les réseaux
Reuter ou Telerate etc.…
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CONCLUSION
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De nos jours, la volatilité des marchés financiers est devenue une norme.
Dans un contexte de mondialisation des échanges de capitaux, cet
environnement économique instable oblige les entreprises à gérer leurs
risques de façon plus dynamique.
Le développement des produits dérivés a d'abord été une réponse aux
demandes des investisseurs en matière de gestion du risque et de protection
contre les fluctuations du marché. La croissance et le succès du marché des
options reposent principalement sur deux raisons. D'une part, les techniques
de gestion traditionnelle de couverture du risque apparaissent trop
contraignantes et d'autre part, la grande souplesse d'utilisation des options
permettent une multitude de stratégies de couverture, de spéculation et
d'arbitrage - critère indispensable à tout succès d'un nouveau marché -,
appliquées à tout actif sous-jacent, pour répondre exactement à la demande
de chaque investisseur.
De plus, l’une des spécificités majeure des options (de première génération)
et des options exotiques (de seconde génération) est la possibilité de réaliser
des opérations importantes en engageant des capitaux limités. L'effet de
levier de ces options est tel que les résultats sont étonnement important par
rapport aux fonds engagés.
Nous avons présenté dans ce mémoire, plusieurs facettes des options
exotiques. Notre examen des options exotiques, réparties en deux grandes
parties (non path dependent et path dependent) offre un récapitulatif précis
notamment sur les éléments de « pricing » de ces options. Nous avons par la
suite réalisé une simulation des principales options afin d’apporter un œil
critique sur ces dernières.
Il ne fait aucun doute que les options constituent une boîte à outils
incontournable pour tous les professionnels des marchés, dans un contexte de
sophistication croissante des placements financiers. Les investisseurs
devraient rapidement prendre conscience du choix sans limite de ces
instruments sur mesure, leur permettant de gérer très précisément leurs
anticipations en terme de risque et de rentabilité espérée.
Bénéficiant de la créativité des bureaux de recherche des établissements
financiers et de l'innovation des marchés, les entreprises et les gérants de
fonds peuvent recourir aujourd'hui, pour gérer un risque ou prendre position
sur un actif donné, à une panoplie d'instruments flexibles dont les
particularités ne sont limitées que par l'imagination de leurs utilisateurs.
Ce mémoire de fin d’étude nous a beaucoup apporté, tant sur le plan
intellectuel que sur le plan de l’intérêt personnel. En effet, nous avons pu au
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travers de nos recherches et lectures, découvrir l’univers des options de la
finance de marché, options qui de plus en plus utilisées par les principaux
acteurs de ces marchés. De plus, nous intéressant aux options comme les
warrants pour notre gestion personnel de portefeuille, nous avons pu mieux
assimiler les mécanismes d'évaluation et d'utilisation.
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REFERENCES
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Le 01/04/2004
Page 86 sur 88
• [1] MUSIELA & RUTKOWSKI « Martingale Methods in Financial
Modelling », Application of Mathematics 36, Spriner-Verlag 1998
• [2] Alain RUTTIENS « Manuel des produits dérives », Edition ESKA,
• [3] Florin AFTALION « Marché des changes et des produits dérivés »,
Gestion PUF,
• [4] Robert Sedgewick « Algorithms Addison Wesley »
• [5] Donald E. Knuth « The Art of Computer Programming Vol. 2 »
• [6] Andersen L., Brotherton-Ratcliffe R., (1996) « Exact Exotics. Risk 9,
85-89 ».
• [7] Karatzas, I., and S. E. Shreve. 1991. « Brownian Motion and
Stochastic Calculus. 2nd ed ». New York: Springer- Verlag.
• [8] Steve A.K. Metwally and Amir F. Atiya. 2002. « Using Brownian
Bridge for Fast Simulation of Jump-Diffusion processes and barrier
options ». http://www.alumni.caltech.edu/~amir/barrier.pdf
• [9] KEMNA AGZ et VORST ACF, «A pricing method for options based on
average asset values», Journal of Banking and Finance, mars 1990.
• [10] RUBINSTEIIN M. et REINER E., «Exotic options», Documents de
recherche, 1992.
• [11] GEMAN H. et YOR M., «Bessel Processes, asian options, and
perpetuities», Mathematical Finance, octobre 1993.
PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER
Le 01/04/2004
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GLOSSAIRE
PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER
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C’est la prime d’une option. Elle correspond au prix auquel une option
s'achète ou se vend.
Effet de levier
L'effet de levier explique le taux de rentabilité comptable des capitaux
propres en fonction du taux de rentabilité après impôt de l'actif
économique (rentabilité économique) et du coût de la dette. Par définition,
il est égal à la différence entre la rentabilité des capitaux propres et la
rentabilité économique. Lorsqu'il est positif, le recours à l'endettement a
permis d'augmenter la rentabilité des capitaux propres de l'entreprise. En
revanche, lorsque la rentabilité économique est inférieure au coût de
l'endettement, l'effet de levier joue négativement ! De plus, celui-ci reste
(en principe) une tautologie comptable qui ne doit pas faire oublier que le
recours à l'endettement augmente le risque lié aux capitaux propres, et ne
crée pas au total de valeur.
Dans la monnaie
On dit qu'une option d'achat (respectivement de vente) est dans la
monnaie lorsque le cours de l'actif sous-jacent est supérieur
(respectivement inférieur) au prix d'exercice. (Valeur intrinsèque positive).
En dehors de la monnaie
On dit qu'une option d'achat (respectivement de vente) est en dehors de la
monnaie lorsque le cours de l'actif sous-jacent est inférieur
(respectivement supérieur) au prix d'exercice. (Valeur intrinsèque nulle).