Download - Optimal Consumption and Portfolio Strategies
![Page 1: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/1.jpg)
OPTIMAL CONSUMPTION AND
PORTFOLIO STRATEGIES
1
Jurusan Matematika –
FMIPA
Universitas Negeri
Makassar
![Page 2: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Lampiran: Bukti Prinsip
Pemrograman Dinamis
Hubungan Preferensi dan Fungsi Utilitas
Diskrit Waktu –Maksimalisasi
Utilitas
Maksimalisasi Utilitas dalam Waktu Kontinyu
Pendekatan Dualitas/
Martingale untuk
Maksimalisasi Utilitas
Biaya Transaksi
Ketidaklengkapan dan Informasi
Asymetric
MATERI PEMBAHASAN
![Page 3: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/3.jpg)
Dengan menggunakan persamaan pada model Diskrit-Time
maka kita dapat mengetahui kemungkinan pengeluaran
tambahan di luar pasar keuangan. Adapun persamaan
matematisnya yakni:
3
![Page 4: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/4.jpg)
Dalam strategi portofolio. Strategi dapat diterima jika
tak negatif (untuk alasan ekonomi yang jelas), proses
disesuaikan; yaitu harus ditentukan dari informasi yang
tersedia pada saat kekayaan terminal yang sesuai
memenuhi dimana kebangkrutan tidak diperbolehkan.
Berikut swadana kondisi dipenuhi:
4
![Page 5: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/5.jpg)
Cara untuk membandingkan pilihan-pilihan konsumsi yang
berbeda-beda yang kemudian menghasilkan sifat-sifat
prefensi konsumen. Yakni:
Completeness (Kelengkapan)
Transitivity (Transitivitas)
Monotonicity (Kemonotonan)
Convexity (Kecembungan)
5
![Page 6: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/6.jpg)
Diferensiabilitas tidak diperlukan untuk alasan ekonomi,
tetapi untuk alasan teknis, dalam rangka memecahkan
masalah optimasi investor. Berikut contoh umum dari fungsi
utilitas yang sering digunakan dalam model keuangan:
Logarithmic utility:
Power Utility:
Exponential utility:
Quadratic utility:
6
![Page 7: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/7.jpg)
Dalam kasus periode tunggal, tujuan Taf untuk
memaksimalkan nilai:
Dimana U1 dan U2 adalah dua fungsi utilitas.
Dalam kasus cakrawala tak terbatas, T = ∞
7
![Page 8: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/8.jpg)
Periode tunggal
Metode Lagrangian:
8
![Page 9: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/9.jpg)
Untuk menentukan proporsi yang optimal kekayaan yang akan
diasetkan dapat dipertimbangkan dengan menggunakan
model periode tunggal sebagai berikut:
Dimana merupakan portfolio weight dan sebanding dengan
perbedaan antara pengembalian yang diharapkan dari saham
relatif.
9
![Page 10: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/10.jpg)
Dalam hal penyelesaian model multiperiod dapat
menggunakan prinsip pemrograman dinamis, atau
persamaan Bellman sebagai berikut:
Selanjutnya untuk mengetahui proporsi kekayaan yang
diinvestasikan dalam keamanan berisiko pada saat t, maka
dapat digunakan:
10
![Page 11: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/11.jpg)
Untuk strategi portofolio diberikan (belum tentu
optimal) kami memperkenalkan terkait utilitas yang
diharapkan
Misalkan bahwa strategi portofolio adalah bentuk
umpan balik
untuk beberapa fungsi deterministik
11
![Page 12: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/12.jpg)
Dalam hal Taf juga peduli tentang konsumsi dan akan
menghadapi masalah optimasi sebagai berikut:
Selain memaksimalkan atas proses portofolio , Taf juga
harus memilih proses konsumsi yang optimal untuk negara .
12
![Page 13: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/13.jpg)
Hamilton Jacobi-Bellman-parsial (HJB PDE)
di mana kita asumsikan bahwa kondisi awal adalah , yaitu, Taf dimulai dengan dolar di waktu . Supremum adalah mengambil alih semua portofolio diterima.
13
![Page 14: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/14.jpg)
Pemrograman dinamis adalah pendekatan standar untuk memecahkan
masalah maksimisasi utilitas. Baru-baru ini, pendekatan lain telah
dikembangkan dalam keuangan dan berlandaskan pada konsep
matematika untuk memecahkan masalah keuangan tersebut. Hal ini
didasarkan pada hubungan antara harga / lindung nilai surat berharga
dan solusi optimal untuk masalah maksimisasi utilitas. Kami hadir
pertama kali dalam model periode tunggal sederhana binomial.
14
![Page 15: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/15.jpg)
Model ini merupakan model pasar saham (trading) dengan satu periode(one time step) dengan kata lain pada model ini hanya terdapat duawaktu trading yaitu pada saat t=0 dan t =1. Seperti telah dibahassebelumnya, maka pada akhir periode yaitu pada saat t = 1 pergerakanharga saham hanya ada dua kemungkinan yaitu harga saham naiksebesar u dengan peluang sebesar p atau harga saham turun sebesar d dengan peluang sebesar (1 – p).
Misalkan menyatakan harga saham pada saat t = 0 , maka pada akhirperiode S (0), dapat berubah menjadi S(1) .
15
![Page 16: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/16.jpg)
Kami pertama menyajikan cara yang informal untuk menemukan solusi
optimal. Mengabaikan nilai yang diharapkan,membedakan dalam
ekspresi terhadap X(T) dan pengaturan yang sama derivatif nol, kita
mendapatkan: U’(X (T)) = λZ (T). Dimana X (T) untuk kekayaan terminal
yang optimal. Yang menunjukkan bahwa
fungsi invers dari U’ utilitas marjinal, persamaan terakhir menjadi
16
![Page 17: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/17.jpg)
TEOREMA 4.2 Jika M adalah suatu proses martingale disesuaikan dengan
informasi yang dihasilkan oleh Proses gerak Brown W, maka ia memiliki
representasi dalam bentuk :
untuk beberapa φ proses disesuaikan. Secara khusus,
Dari teorema diatas, kita peroleh:
17
![Page 18: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/18.jpg)
Ada dua kasus utama, berbeda dalam jenis perdagangan Taf harus
dilakukan ketika hal ini terjadi:
Jika biaya transaksi adalah sebanding dengan jumlah yang ditransfer,
ketika portofolio mendapat proporsi jauh dari 70% pada saham,
katakanlah di atas 78%, Taf perdagangan Seharusnya hanya sedikit
sehingga untuk mendapatkan sedikit lebih dekat ke 70%, katakanlah
kembali ke 78%;
Jika biaya transaksi adalah tetap terlepas dari ukuran transaksi, ketika
Proporsi portofolio mendapat saham taf perdagangan jauh dari 70%
sehingga harus mendapatkan semua cara kembali ke 70%.
18
![Page 19: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/19.jpg)
Dari kendala anggaran individu yang dimulai dengan x kekayaan awal dan
membeli saham δ dari keamanan berisiko, kita mendapatkan:
Ini memiliki bentuk yang lazim: penyelenggaraan optimal saham sebanding
dengan syarat diharapkan pengembalian saham dan berbanding terbalik
dengan (bersyarat) varians, disesuaikan oleh tingkat penghindaran risiko.
Dalam kasus sederhana, ketika kedua S (1) dan Y biasanya didistribusikan,
kita dapat menghitung secara eksplisit ekspektasi bersyarat dan variansi.
19
![Page 20: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/20.jpg)
Kita sekarang mempertimbangkan model kontinu-waktu
di mana μ melayang saham adalah proses acak diberikan. Taf tidak
mengamati nilainya pada t tapi mengetahui distribusi probabilitas nya. Taf
mengamati harga saham dan, melalui mereka, belajar lebih banyak dan lebih
lanjut tentang nilai μ seiring berjalannya waktu.
20
![Page 21: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/21.jpg)
Mari kita perhatikan apa yang terjadi pada nilai S jika dimasukkan,
maka persamaan yang didapatkan
Ini adalah proses inovasi yang terkenal dari teori penyaringan.
21
![Page 22: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/22.jpg)
Kita asumsikan dengan mensibtusikan tipe markovian
dengan anggapan ekspektasi bersyarat yaitu Informasi
yang diberikan hingga waktu t+iT , hanya tergantung pada
nilai-nilai variabel dalam model acak pada waktu
t+i(termasuk (t+i)), dan bukan pada nilai-nilai massa
lalu dari variabel acak pada waktu pada waktu-waktu
sebelumnya yaitu t+1
22
![Page 23: Optimal Consumption and Portfolio Strategies](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042816/55979edb1a28abbe488b47f6/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Terima
kasih