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O cuando tardamos media hora en hacer los deberes,
En estas situaciones estamos utilizando las fracciones.
LAS FRACCIONES Y SUS OPERACIONESIntroducción.
Cuando decimos que nos hemos comido las tres cuartas partes de la torta,
Unidad 7. Operaciones
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Términos de una fracción.Recuerda que ya hemos estudiado lo que es una fracción. a
Si tenemos dos números a y b , y b 0, entonces la expresión ------ es una fracción . b
b se llama denominador de la fracción, y nos indica en cuántas partes se divide la unidad.
a se llama numerador de la fracción , y nos indica cuántas partes tomamos. a NUMERADOR
------ b DENOMINADOR
Unidad 7. Operaciones
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1) Dividimos 10 entre 5 y multiplicamos el resultado por 210 : 5 = 2
2 . 2 = 4
2) Multiplicamos 10 por 2 y dividimos el resultado entre 5.10 . 2 = 2020 : 5 = 4
Fracción de un número.
Si queremos calcular cuanto valen los 2 / 5 de 10, ¿ Cómo lo hacemos?Para calcularlo, lo puedes hacer de dos formas distintas :
Unidad 7. Operaciones
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Unidad 7. Operaciones
Tipos de Fracciones: Propias e Impropias.
Dentro de las fracciones podemos distinguir tres tipos diferentes:
1. Fracciones que tienen el numerador igual al denominador: 3 5 9 456 ------ , -------- , ------- , -------- , 3 5 9 456 Todas estas fracciones son iguales a la unidad. la unidad
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2. Fracciones que tienen el numerador menor que el denominador: 2 1 5 4 21------ , -------- , ------- , -------- , ---------- 3 4 7 9 47
Todas estas fracciones son más pequeñas que la unidad.
2Por ejemplo ------ 3Si la representamos gráficamente:
1 Unidad
2/3Este tipo de fracciones se llaman fracciones propias.
Unidad 7. Operaciones
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3.Fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador: 4 5 74 7 9------ , -------- , ------- , -------- , ---------- , --------- 3 3 9 5 4
Todas estas fracciones son mayores que la unidad. 4Por ejemplo ------ 3Si la representamos gráficamente:
1 Unidad 1 Unidad
Este tipo de fracciones se llaman fracciones impropias.
3/3 + 1/3
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Numero Mixtos. Como acabas de ver, las fracciones impropias son mayores que la unidad
Las fracciones impropias las podemos escribir como suma de un número natural y una fracción.
4 3 1 1 5 4 1 1 ------ = -------- + ------- = 1 + ------ ------- = ------ + ------ = 1 + -----
3 3 3 3 4 4 4 4
También podemos escribirlas de la siguiente forma.
4 1 1 ------ = 1 + ------- = 1 -------
3 3 3 5 1 1
------ = 1 + ------- = 1 ------- 4 4 4
1 11 ------ y 1 -------
3 4
son números mixtos, y se leen “ uno y un tercio” y “ uno y un cuarto “
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Fracciones Equivalentes. a c
Si dos fracciones ----- y ------ son equivalentes, entonces se verifica b dque a . d = b . c
Los productos a . d y b . c se llaman productos cruzados.
Se llaman productos cruzados porque lo que en realidad hacemos es cruzar los numeradores y denominadores de las dos fracciones. a c ------ = ---- a . d = b . c b dLuego, podemos decir que dos fracciones son equivalentes si sus productos cruzados son iguales.
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2 4 ------ ---- 3 6
2 . 6 = 12 3 . 4 = 12
Luego 2 . 6 = 3 . 4 , y así comprobamos que las fracciones son equivalentes.
2 4Entonces ------ y ---- son equivalentes 3 6
a cPara indicar que dos fracciones son equivalentes ponemos ------ = ---- b d 2 4 La fracciones ---- y ---- son equivalentes 3 6
En efecto, comprobamos realizando los productos cruzados.
Unidad 7. Operaciones
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Si las fracciones no son equivalentes, entonces los productos cruzados son diferentesa . d b . C
3 4Por ejemplo : ------ y ---- 2 5
3 . 5 = 15 2 . 4 = 8
Comprobamos que 15 8
3 4
Entonces decimos que las fracciones no son equivalentes, y ponemos ----- ---- 2 5
Unidad 7. Operaciones
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Comprobación y Ordenación de Fracciones. a c
Si tenemos dos fracciones ---- y ---- b d
¿ cómo podemos saber cuál de ellas es la menor y cuál la mayor? Recuerda que si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que
tienen mayor numerador. 2 3 3 2
Por ejemplo : ------ y ---- ------ > ----- 5 5 5 5
Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.
2 2 2 2 Por ejemplo : ------ y ---- ------ < ----- 4 3 4 3
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¿ Qué sucede cuando las fracciones no tienen ninguno de sus términos iguales?
En este caso buscamos fracciones equivalentes con el mismo denominador, y comparamos los numeradores.
2 3 Por ejemplo : ------ y ---- 3 4
2 4 6 8 ------ = ---- = ----- = ----- 3 6 9 12
Buscamos fracciones equivalentes. 3 6 9
------ = ---- = ----- 4 8 12
8 9 2 3 Como ------ < ---- , entonces ---- < -----
12 12 3 4
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suma y resta con:
a) Mismo Denominador:
Cuando tenemos dos fracciones con el mismo denominador. a c ---- y ----
b b Podemos sumarlas sumando sus numeradores, y dejando el mismo denominador.
a c a + c ------ + ---- = --------
b b b
3 2 3+ 2 5 ------ + ------ = -------- = ----- 7 7 7 7
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O también podemos restarlas de la misma forma. a c a - c
----- - ---- = -------- b b b
3 2 Por ejemplo ------ y ----- 7 7
3 2 3 - 2 1
------ - ---- = -------- = ----- 7 7 7 7
Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, sumamos o
restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.
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b) Distinto Denominador.
Para sumar o restar fracciones, éstas deben tener el mismo denominador.
Si no lo tiene, debemos buscar fracciones equivalentes, hasta que éstas tengan el mismo denominador
3 4 Por ejemplo ------ y ----- 5 2
Unidad 7. Operaciones
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3 6 ------ = ----- 5 10
4 8 12 16 20 ------ = ----- = ----- = ------ = -------
2 4 6 8 10
4 3 20 6 20 + 6 26 ------ + ----- = ----- + ------ = ----------- = ------- 2 5 10 10 10 10
4 3 20 6 20 – 6 14 ------ - ----- = ----- - ------ = --------- = ------
2 5 10 10 10 10
Unidad 7. Operaciones
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Para hallar fracciones con distinto denominador, podemos usar el método del mínimo común múltiplo de los denominadores ( m. c. m. )
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1 2 3Tenemos las fracciones ----, ----- , ------ 2 3 4
1) Calculamos el m.c.m. de los denominadores:m.c.m. ( 2, 3, 4 ) = 2. 2. 3 = 12
2) Multiplicamos el numerador de cada fracción por el cociente de dividir el m.c.m. por el denominador de esta fracción.
1 1 6
------ 12 : 2 = 6 ; 6 . 1 = 6 ------ = ------ 2 2 12
2 2 8 ------ 12 : 3 = 4 ; 4 . 2 = 8 ------ = ------
3 3 12 3 3 9
------ 12 : 4 = 3 ; 3 . 3 = 9 ------ = ------ 4 4 12
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6 8 9 1 2 3 A si , las fracciones ------, ----- y ----- son equivalentes a ---- , ---- y ----- 12 12 12 2 3 4 y tienen el mismo denominador, luego podemos sumarlas y restarlas.
1 2 3 6 8 9 6 + 8 + 9 23 ------ + ----- + ----- = ------ + ------ + ----- = ------------ = ----- 2 3 4 12 12 1 2 12 12
1 2 3 6 8 9 6 + 8 - 9 5 ------ + ----- - ----- = ------ + ------ - ------ = ------------ = ----- 2 3 4 12 12 1 2 12 12
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Multiplicación y División a c
Para multiplicar las fracciones ------ y ----- , hacemos b d
a c a . c
------ . ---- = ---------- b d b . d
Al multiplicar dos fracciones, obtenemos otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y el denominador es el producto de los
denominadores.
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Por ejemplo:
1 2 1 . 2 2 ------ . ----- = -------- = ------ 3 5 3 . 5 15 a cPara dividir dos fracciones ---- y ---- , hacemos
b d a c a d a . d ---- ---- = ----- . ------- = ---------- b d b c b . c
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Dividir dos fracciones es lo mismo que multiplicar la primera de ellas por el inverso de la segunda.
Por ejemplo: 3 2 3 5 3 . 5 15 ------ ----- = ----- . ---- = ---------- = ------ 2 5 2 2 2 . 2 4
También podemos hacer el producto cruzado de las fracciones, que consiste en multiplicar el numerador de cada una de las fracciones por el denominador de la otra.
a c a . d ---- : --- = ---------
b d b . C Por ejemplo:
3 2 3 . 5 15---- : --- = --------- = ------
2 5 2 . 2 4
Unidad 7. Operaciones