Download - Operacion de funciones
Números y Funciones
Operaciones con funciones:
Menú:
Composición de funciones:
2
Definición.Una Función es una relación en la que cada elemento de la variable independiente x, que se conocerá como Dominio de la función le corresponde un solo elemento del conjunto de valores de la variable dependiente y denominado Rango de la función.
Dominio; Rango; Función.
Operaciones con funciones: La Suma
La suma de funciones está definida por: )()( xgxfxgf
Calcule la suma de las funciones:
4)( ,2
x
xxgxxf
La función resultante:
N° x f(x) g(x) f(x) + g(x) f(Integrada)
1 -24 -22 0,86 -21,14 -21,142 -20 -18 0,83 -17,17 -17,173 -16 -14 0,80 -13,20 -13,204 -12 -10 0,75 -9,25 -9,255 -8 -6 0,67 -5,33 -5,336 -4 -2 0,50 -1,50 -1,507 0 2 0,00 2,00 2,008 4 6 9 8 10 2,00 12,00 12,00
10 12 14 1,50 15,50 15,5011 16 18 1,33 19,33 19,3312 20 22 1,25 23,25 23,2513 24 26 1,20 27,20 27,20
Suma de dos funciones
-30
-20
-10
0
10
20
30
-30 -20 -10 0 10 20 30
x; Dominio
y; R
ang
o
f(x) g(x) f(x) + g(x)
Asíntota de la suma: x = 4; y = 6
4
8))((
2
x
xxxgf
La función g(x) es racional, no está definida para x = 4. La función compuesta, o suma de funciones es asíntota en x = 4 e y = 6.
Respuestas: y = 6; x = 4; x = 4;
3
4y ;4
8
4
42
42,
2
xx
xx
x
xxx
x
xxxgf
4y ;4
8
4
42
42,
2
xx
xx
x
xxx
x
xxxgf
Operaciones con funciones: La Resta o Diferencia
La resta o diferencia de funciones está definida por:
Calcule la diferencia de las funciones:
)()( xgxfxgf
4)( ,2
x
xxgxxf
4
La función resultante:
Diferencia de funciones. Ej: 1,20N° x f(x) g(x) f(x)-g(x) f(Integrada) Diferencia
1 -6 -4 0,60 -4,60 -4,60 0,002 -5 -3 0,56 -3,56 -3,56 0,003 -4 -2 0,50 -2,50 -2,50 0,004 -3 -1 0,43 -1,43 -1,43 0,005 -2 0 0,33 -0,33 -0,33 0,006 -1 1 0,20 0,80 0,80 0,007 0 2 0,00 2,00 2,00 0,008 1 3 -0,33 3,33 3,33 0,009 2 4 -1,00 5,00 5,00 0,00
10 3 5 -3,00 8,00 8,00 0,0011 4 6 0,0012 5 7 5,00 2,00 2,00 0,0013 6 8 3,00 5,00 5,00 0,00
La diferencia entre funciones
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x: Dominio
y; R
ang
of(x) g(x) f(x)-g(x)
La función g(x) es racional, no está definida para x = 4. La función compuesta, o suma de funciones es asíntota en x = 4.
Respuestas:; x = 4.
4y ;4
83
4
42
42,
2
xx
xx
x
xxx
x
xxxgf
4y ;4
83
4
42
42,
2
xx
xx
x
xxx
x
xxxgf
Euler - Matemáticas ITema:
12 5Operaciones con funciones. Acotación
Final
Suma y diferencia de dos funciones Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define:• Suma: (f + g) (x) = f(x) + g(x). Por tanto: Dom(f + g) = Dom(f) Dom(g)• Diferencia: (f g) (x) = f(x) g(x). Por tanto: Dom(f g) = Dom(f) Dom(g)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
X
Y
x
f(x) f(x) + g(x)f(x) =
x 1 + x2 : Dom(f) = R
g(x) = 1 x : Dom(g) = R – {0}
(f + g) (x) = f(x) + g(x) =
= x
1 + x2 + 1 x :
Dom(f + g) = R – {0}
g(x)
1
Operaciones con funciones: El Producto
El producto de funciones está definida por: )()( xgxfxgf
Calcule el producto de las funciones:
4)( ,2
x
xxgxxf
La función resultante: Espacio para la fórmula
6
N° x f(x) g(x) f(x) x g(x) f(Integrada)
1 -6 -4 0,60 -2,40 -2,402 -5 -3 0,56 -1,67 -1,673 -4 -2 0,50 -1,00 -1,004 -3 -1 0,43 -0,43 -0,435 -2 0 0,33 0,00 0,006 -1 1 0,20 0,20 0,207 0 2 0,00 0,00 0,008 1 3 -0,33 -1,00 -1,009 2 4 -1,00 -4,00 -4,00
10 3 5 -3,00 -15,00 -15,0011 4 612 5 7 5,00 35,00 35,0013 6 8 3,00 24,00 24,00
El producto de funciones
-20
-10
0
10
20
30
40
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x; Dominio
y; R
ang
of(x) g(x) f(x) x g(x)
La ecuación no esta definida para x = 4.
Respuestas:; x = 4.
Operaciones con funciones: El Cociente
El cociente de funciones está definida por:
Calcule el cociente de las funciones:
0)( ;
xg
xg
xfx
g
f
4
)( ,2
x
xxgxxf
<>
La función resultante: Espacio para la fórmula
Cociente de funciones.N° x f(x) g(x) (f / g)(x) f(Integrada)
1 -6 -4 0,60 -6,67 -6,672 -5 -3 0,56 -5,40 -5,403 -4 -2 0,50 -4,00 -4,004 -3 -1 0,43 -2,33 -2,335 -2 0 0,33 0,00 0,006 -1 1 0,20 5,00 5,007 0 2 0,008 1 3 -0,33 -9,00 -9,009 2 4 -1,00 -4,00 -4,00
10 3 5 -3,00 -1,67 -1,6711 4 6 0,0012 5 7 5,00 1,40 1,4013 6 8 3,00 2,67 2,67
Cociente de funciones
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x; Dominioy;
Ran
go
f(x) g(x) (f / g)(x)
La función g(x) no está de finida para x = 4, mientras que la función integrada no está definida para x = 0. Las asíntotas son x = 4 y x = 0 respectivamente.
Respuesta: x = 0; x = 4; x = 0; x = 4.
Euler - Matemáticas ITema:
12 8Operaciones con funciones. Acotación
Final
Producto y cociente de dos funciones
Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define:• Producto: (f . g) (x) = f(x) . g(x). •Por tanto: Dom(f . g) = Dom(f) Dom(g)
Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones y g(x) 0 se define:• Cociente: (f g) (x) = f(x) g(x). Por tanto: • Dom(f g) = Dom(f) Dom(g) {x R : g(x) 0}
4
Operaciones con monomiosOperaciones con monomios
Para dividirdividir por un lado, dividimos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales (si se puede).
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:
27 7:21 yy
bba 4:25 23
21 7: ( )( )7y 2y : 53y
25 4ba 3 b 3
4
25a
PolinomiosPolinomiosUn polinomiopolinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de dos o más monomios no semejantes.
Cada uno de los monomios se llama términotérmino, y si no tiene parte literal se llama término término independienteindependiente.
El mayor de los grados de todos sus términos se denomina gradogrado del polinomio.
21373 523 xyzyxxy
Términos
Términoindependiente
Grado: 2 + 5 = 7
Se llama coeficiente principal al coeficiente del monomio de mayor grado.
Coeficiente principal
PolinomiosPolinomiosEl valor numéricovalor numérico de un polinomio P(x), para un valor x=a, lo expresamos como P(a) y se obtiene sustituyendo la variable x por el valor a en el polinomio y operando.
10437)( 34 xxxxP 10242327)2( 34P
10141317)1( 34P
Ejemplo:
861082411210883167
4104371041317
PolinomiosPolinomios
El polinomio opuestopolinomio opuesto de un polinomio P(x), que designamos como -P(x), se obtiene cambiando el signo de todos los términos de P(x).
10437)( 34 xxxxP
10437)( 34 xxxxP
Ejemplo:
Polinomio opuesto:
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
Para sumarsumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes.
Ejemplo: 172)( 245 xxxxP87223)( 234 xxxxxQ
)()( xQxP
52x 4x 27 x 143x 32x 22x x7 8
775222 2345 xxxxx
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara restarrestar polinomios sumamos al primero el opuesto del segundo.
Ejemplo: 172)( 245 xxxxP87223)( 234 xxxxxQ
)()( xQxP
52x 4x 27 x 143x 32x 22x x7 8
979242 2345 xxxxx
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara multiplicar un monomio por un polinomiomultiplicar un monomio por un polinomio multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Ejemplo:3245 2por 172)( xxxxxP
)(2 3 xPx
32x
3578 21424 xxxx
172 245 xxx
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosEl producto de dos polinomioproducto de dos polinomio se halla multiplicando cada uno de los términos de uno de los polinomios por el otro, y sumando después los polinomios semejantes.Ejemplo: 43)( 152)( 23 xxQxxxP
)()( xQxP
43 2 x
4203236 235 xxxx
152 3 xx
4208 3 xx235 3156 xxx
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara dividir un polinomio entre un monomiodividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada término del polinomio entre el monomio. Ejemplos:
245 2796)( xxxxP
932
3 :273:93:63:)(23
2224252
xx
xxxxxxxxP
xyyxxQ 57)( 3
3
27 5 7 5( ) : 2
2 2 2 2
x y xyQ x x x y y
x x
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara dividir un polinomio entre un polinomiodividir un polinomio entre un polinomio, seguiremos los siguientes pasos:
1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor y los dispondremos como una división normal.
xxxxxP 2811122)( 243 23)( 2 xxxQ
32x4x 211x x28 12 2x x3 2
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
2º) Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor, así se obtiene el primer término del cociente.
32x4x 211x x28 12 2x x3 22x
3º) Se multiplica el primer término del cociente por cada término del divisor y el producto pasa restando al dividendo.
2x4x
234
2
2
23
23
xxx
x
xx
234 23 xxx
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
32x4x 211x x28 12 2x x3 24º) Se suman algebraicamente.
5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre el primer término del divisor, así obtenemos el segundo término del divisor. Este segundo término se multiplica por el divisor y se pasa restando al dividendo.
2x234 23 xxx
122895 23 xxxx5
xxx
x
xx
10155
5
23
23
2
xxx 10155 23
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.
32x4x 211x x28 12 2x x3 22x
234 23 xxx 122895 23 xxx
x5
xxx 10155 23 12186 2 xx
6
12186 2 xx0
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
32x4x 211x 2x x3 22x x5 6
Polinomio dividendo)(xD
32x4x 211x x28 12 2x x3 2
Polinomio divisor
Polinomio cociente
Polinomio resto
)(xd
)(xc
)(xr
2x x5 6
0
Regla de RuffiniRegla de Ruffini
La regla de Ruffiniregla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a. Veamos el algoritmo con un ejemplo.
1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor.
532)( 23 xxxxD1)( xxd
Regla de RuffiniRegla de Ruffini
532)( 23 xxxxD 1)( xxd2º) Se colocan los coeficientes de cada término. Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0.
2 1 3 5
3º) A la izquierda se pone el número que se resta a x en d(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado.
1
4º) Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman .
2
2
Regla de RuffiniRegla de Ruffini
5º) El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso.
2 1 3 51
223
30
05
El último número (recuadro rojo) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.
xxxc 32)( 2 5)( xr532)( 23 xxxxD 1)( xxd
Funciones compuestas o anidadas. xgfxgf
4)(,2)(
x
xxgxxf
N° x f(x) g(x) f(g(x)) f(sintética)
1 -6 -4 0,60 2,60 2,602 -5 -3 0,56 2,56 2,563 -4 -2 0,50 2,50 2,504 -3 -1 0,43 2,43 2,435 -2 0 0,33 2,33 2,336 -1 1 0,20 2,20 2,207 0 2 0,00 2,00 2,008 1 3 -0,33 1,67 1,679 2 4 -1,00 1,00 1,00
10 3 5 -3,00 -1,00 -1,0011 4 612 5 7 5,00 7,00 7,0013 6 8 3,00 5,00 5,00
Funciones integradas
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x; Dominio
y; R
ang
of(x) g(x) f(g(x))
26
El cociente de funciones está definida por:
Calcule la coposición de las funciones:
La función resultante: Espacio para la fórmula
La función compuesta f(g(x)) se hace asintótica igual que la función cociente g(x) en x = 4.
Respuestas: x = 4; f(g(x)): g(x)
Composición de funcionesDefinición
Si f y g son funciones, la composición f ° g (“f círculo g”) es la función definida mediante
(f ° g) (x) = f(g(x))
El dominio de f ° g consiste de todos los números y del dominio de g para los cuales g(x) está en el dominio de f
.f ° g
f (g(x))
gf
Ejemplos de composición xxf xxg 1
xxgxgfxgf 1
11 xxfxfgxfg
4/1xxxfxffxff
2111 xxxgxggxgg