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Nichtstandard-AnalysisMathematik-Didaktik B
Referenten: Alexander Hochstein Christian Herrmann
Friedrich- Schiller Universität JenaJena, d. 20.01.2009
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Gliederung
1. Einleitung / Motivation 2. Eine Einführung in die
Infinitesimalzahlen3. Eine Einführung in das hyperreelle
Zahlensystem4. Anwendungen der Infinitesimalzahlen
in der Nichtstandard-Analysis5. Literatur
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3
1. Einleitung
Was ist ein Differential?
→ dx, dy, dz
Differentialquotient
dxdy
hxfhxfx
dxdy )()(lim)( 00
0
0h
→ →
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4
1. Einleitung
Wieso kann man mit Differentialen rechnen?
Beispiel: Integration durch Substitution
1
02 12 dxxx
12 xz dxxdzxdxdzx
dxdz
2
22
2
1
21 2ln1ln2ln|]|[ln
22 z
xdz
zx
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5
2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen
Tangentenproblem
o Gegeben: Funktion f(x)=x²
o Gesucht: Tangente im Punkt P=(0.5,0.25)
o Grundproblem: Wie erhält man den Anstieg der Tangente?
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6
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8
2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen
Sekantensteigung 1,11,011,0
5,06,025,036,0
sm
o Die Sekante liegt ,,nah“ bei der Tangente→ ihre Steigung wird ,,nah“ bei der Tangente liegen
→ noch besseres Resultat, wenn eine Sekante durch die Punkte P=(0.5,0.25) und B=(0.51,0.2601) gelegt wird
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9
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10
2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen
Sekantensteigung 01,101,00101,0
5,051,025,02601,0
sm
→ Sekantensteigungen geben nur Näherungswerte
→ mit Hilfe von Infinitesimalzahlen wird die Tangente durch eine Sekante approximiert, welche nicht von der Tangente zu unterscheiden ist
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Was sind Infinitesimalzahlen?
2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen
o sie sind unglaublich ,,winzig“, aber nicht Null
o sie sind kleiner als jede reelle positive Zahl
→ wir ,,erfinden“ neue Zahlen
o wir betrachten einen zweiten Punkt C=(0.5+,(0.5+)²),welcher vom gegeben Punkt P=(0.5,0.25) unendlich wenig entfernt ist, infinitesimal
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12
(0.5+)²
0.25
0.5+
0.5
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2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen
1²25,0²25,05,0)5,0(25,0)²5,0(
sm
1Tm
Sekantensteigung
o da eine unendlich kleine Zahl ist (infinitesimal), kann 1+ nicht von 1 unterschieden werden →
25,025,05,0125,0 xynn T
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2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen
o bei den Rechnungen wurde das reelle und das hyperreelle Zahlensystem benutzt
o das hyperreelle Zahlensystem enthält alle reellen Zahlen, Infinitesimalzahlen und andere hyperreelle Zahlen
o Mangel an ,,Strenge“ verhinderte, dass die Infinitesimalmethode als Begründung für die Analysis akzeptiert wurde
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3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem
o Axiom der Infinitesimalzahlen:Es gibt hyperreelle Zahlen ≠0, so dass für jede positive reelle Zahl b gilt: -b<<b. Eine solche Zahl heißt Infinitesimalzahl
0
0
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3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem
o es gibt riesig große Zahlen, größer als jede reelle Zahl,
1..Bz , infinitesimal
1
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3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem
1
0
0
² ³ /5 /2
21
101
2
1 7
1
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3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem
o b reell und infinitesimal → b+ ist unendlich benachbart zu b
o Definition: Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen unendlich benachbart, wenn x-y eine Infinitesimalzahl ist, Bez.: x ≈ y
o Definition: Eine hyperreelle Zahl x heißt endlich, wenn es eine reelle Zahl b gibt, so dass –b<x<b. Andernfalls heißt x unendlich.
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3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem
traditionell unkonventionellGrenzwert reelle Zahl 0
bestimmt eine unendlich kleine Zahl
Grenzwert reelle Zahl 0
bestimmt eine andere unendlich kleine Zahl
kein Grenzwert bestimmt eine unendlich große Zahl
kein Grenzwert bestimmt eine andere unendlich große Zahl
,...41,
31,
21,11
1
nn
,...161,
91,
41,11
12
nn
,...4,3,2,11 nn
,...16,9,4,112
nn
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3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem
o Standardanteilaxiom: Für jede endliche hyperreelle Zahl x gibt es genau eine reelle Zahl b mit x ≈ b.b heißt Standardanteil von x, Bez.: b=st(x)Beispiel: 5+, infinitesimal → st(5+)=5
o Rechnen mit hyperreellen Zahlen Beispiel 1: infinitesimal, x endlich → x∙ infinitesimal
Beispiel 2: ,ß infinitesimal u. nicht 0 → /ß kann infinitesimal sein, oder endlich und nicht infinitesimal, oder sogar unendlich
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3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem
Beweis: für =ß²: /ß=ß infinitesimal für =ß: /ß=1 endlich und nicht infinitesimal für ß=²: /ß=1/ unendlich
o ,ß Infinitesimalzahlen
o c,d endliche nicht infinitesimale Zahlen
o A,B unendliche Hyperzahlen
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22
3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem
+ß infinitesimal+c oder c+
endlich, nicht infinitesimal
B+c oder B+
unendlich
A+B kann infinitesimal, endlich oder unendlich sein
-ß infinitesimal-c oder c- endlich, nicht
infinitesimalB-c oder B-
unendlich
A-B kann infinitesimal, endlich oder unendlich sein
Addition Subtraktion
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3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem
∙ß infinitesimal∙c infinitesimal
B∙c unendlichB∙ kann
infinitesimal, endlich oder unendlich sein
/c infinitesimal
c/ unendlich
/B infinitesimal
c/d endlich
B/ unendlich
Multiplikation Division
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3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem
Aufgaben ( infinitesimal; c u. d endlich; A unendlich groß)
o c(d+)
o (4-)²-16
562
AA 1
)()4²()³4²(
st
o
o
o
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25
AAAAAA
AAAAAA
11
11
1)1()1(
3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem
24)4()4(4)4( 22
2
232
)(
ststst
Lösung
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5. Literatur
Laugwitz, D.; Schnitzspan, W.: Nichtstandard-Analysis. MU, Jg. 29, Heft 4, August 1983.
Laugwitz, D.: Infinitesimalkalkül. Eine elementare Einführung in die Nichtstandard - Analysis. BI, Mannheim, Wien, Zürich 1978.