Comportamento meccanico dei materiali Fatica multiassiale - cenni
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Fatica dei materiali
2
Fatica multiassiale - cenni
Sollecitazioni proporzionali e non proporzionaliI criteri di Gough e Pollard e di Son Book LeeI criteri di Sines e di Crossland
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Fatica multiassiale - cenni
4
Tipi di sollecitazioni multiassiali (1/6)
Multiassiali proporzionali:
Multiassiali non proporzionali (complesse):
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5
Tipi di sollecitazioni multiassiali (2/6)
Multiassiali proporzionali:Direzioni principali fisse (semplici)
Multiassiali non proporzionali (complesse):
6
Tipi di sollecitazioni multiassiali (3/6)
Multiassiali proporzionali:Direzioni principali fisse (semplici)Direzioni principali mobili (intermedie)
Multiassiali non proporzionali (complesse):
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7
Tipi di sollecitazioni multiassiali (4/6)
Multiassiali proporzionali:Direzioni principali fisse (semplici)Direzioni principali mobili (intermedie)
Multiassiali non proporzionali (complesse):Sincrone (uguale frequenza) con sfasamento
8
Tipi di sollecitazioni multiassiali (5/6)
Multiassiali proporzionali:Direzioni principali fisse (semplici)Direzioni principali mobili (intermedie)
Multiassiali non proporzionali (complesse):Sincrone (uguale frequenza) con sfasamentoAsincrone periodiche (rapporto fra le frequenze razionale)
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9
Tipi di sollecitazioni multiassiali (6/6)
Multiassiali proporzionali:Direzioni principali fisse (semplici)Direzioni principali mobili (intermedie)
Multiassiali non proporzionali (complesse):Sincrone (uguale frequenza) con sfasamentoAsincrone periodiche (rapporto fra le frequenze razionale)Asincrone non periodiche (rapporto fra le frequenze irrazionale)
10
Proporzionali semplici I (1/3)
Sollecitazioni proporzionali direzioni principali fisseσm,1 = σm,2 =0 (R=-1) tσ1
,σ2
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11
Proporzionali semplici I (2/3)
tσ1,σ2
Rapporto di biassialità
tσ1/ σ
2
Sollecitazioni proporzionali direzioni principali fisseσm,1 = σm,2 =0 (R=-1)
12
Proporzionali semplici I (3/3)
tσ1,σ2
Rapporto di biassialità
tσ1/ σ
2
σ1
σ2
Sollecitazioni proporzionali direzioni principali fisseσm,1 = σm,2 =0 (R=-1)
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13
Proporzionali semplici II
Sollecitazioni proporzionali direzioni principali fisse. Uguali R (R1 = R2 = 0.1)
σ1
σ2
Rapporto di biassialità
tσ1/ σ
2
t
σ1,σ2
14
Proporzionali intermedie I
Sollecitazioni proporzionali direzioni principali mobili.σm,2 = costante (R1 = -1, R2 = 1)
σ1
σ2
Rapporto di biassialità
tσ1/ σ
2
tσ1,σ2
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15
Proporzionali intermedie II
Sollecitazioni proporzionali direzioni principali mobiliR diversi (R1 = -0.25, R2 = -1) t
σ1,σ2
σ1
σ2
Rapporto di biassialità
tσ1/ σ
2
16
Non proporzionali sincrone I
Sollecitazioni non proporzionali sincrone con sfasamento(out of phase, δ =π/2) tσ1
,σ2
σ1
σ2
Rapporto di biassialità
tσ1/ σ
2
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17
Non proporzionali sincrone II
Sollecitazioni non proporzionali sincrone con sfasamento(δ =π/4) tσ1
,σ2
σ1
σ2
Rapporto di biassialità
tσ1/ σ
2
18
Non proporzionali asincrone I
Sollecitazioni non proporzionali asincrone periodiche(rapporto fra le frequenze razionale)
tσ1,σ2
σ1
σ2
Rapporto di biassialità
tσ1/ σ
2
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19
Non proporzionali asincrone II
Sollecitazioni non proporzionali asincrone non periodiche(rapporto fra le frequenze irrazionale)
tσ1,σ2
σ1
σ2
Rapporto di biassialità
tσ1/ σ
2
Fatica multiassiale - cenni
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21
Gough e Pollard
Gough: primi lavori sulla fatica multiassiale(dagli anni ’20 agli anni ’50 – con Pollard):
σ e τ alternate in fase ⇒ sollecitazioni proporzionali
0
100
200
300
400
0 100 200 300 400 500 600
σ (MPa)
30 Ni Cr Mo12Rm=900 MPa
τ (Mpa)
C 15Rm =425 MPa
22
Criterio di Gough e Pollard (1/5)
2
1D
a2
1D
a 1−−
≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ττ
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛σσ
Materiali duttili
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23
Criterio di Gough e Pollard (2/5)
21D
2a
2
1D
1D2a
2
1D
a2
1D
a 1 −−
−
−−σ≤τ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛τσ
+σ≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ττ
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛σσ
Materiali duttili
24
Criterio di Gough e Pollard (3/5)
36.0 1D
1D1D−
−−σ
≅σ⋅≅τSperimentalmente
21D
2a
2
1D
1D2a
2
1D
a2
1D
a 1 −−
−
−−σ≤τ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛τσ
+σ≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ττ
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛σσ
Materiali duttili
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25
Criterio di Gough e Pollard (4/5)
36.0 1D
1D1D−
−−σ
≅σ⋅≅τSperimentalmente
21D
2a
2
1D
1D2a
2
1D
a2
1D
a 1 −−
−
−−σ≤τ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛τσ
+σ≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ττ
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛σσ
Materiali duttili
1D2
a2
a 3 −σ≤τ+σ
26
Criterio di Gough e Pollard (5/5)
Materiali fragili
1211D
a
1D
1D2
1D
a
a
a2
1D
a =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛σσ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛τσ
−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛σσ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
στ
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ττ
−−
−
−−
36.0 1D
1D1D−
−−σ
≅σ⋅≅τSperimentalmente
21D
2a
2
1D
1D2a
2
1D
a2
1D
a 1 −−
−
−−σ≤τ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛τσ
+σ≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ττ
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛σσ
Materiali duttili
1D2
a2
a 3 −σ≤τ+σ
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27
Criterio di Son Book Lee
Estensione del criterio di Gough e Pollard per materiali duttili a stati di sollecitazione non proporzionali sincrone con sfasamento δ (1985)
)sin1(2
1
1
1D
a
1D
a
δβ+=α
≤⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ττ
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛σσ αα
−
α
−
β costante del materiale: β ≈ 0.3 materiali duttiliβ ≈ 0.15 materiali fragili
Fatica multiassiale - cenni
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29
Criterio di Sines: generalità (1/3)
Sines (1951)
Base di partenza: dati di Gough e Pollard e di Sawert
30
Criterio di Sines: generalità (2/3)
Sines (1951)
Base di partenza: dati di Gough e Pollard e di Sawert
Analisi dell’influenza dei valori medi:
Nel caso di alberi la presenza di una τm = cost non influenza la resistenza a flessione rotante (o trazione compressione)
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31
Criterio di Sines: generalità (3/3)
Sines (1951)
Base di partenza: dati di Gough e Pollard e di Sawert
Analisi dell’influenza dei valori medi:
Nel caso di alberi la presenza di una τm = cost non influenza la resistenza a flessione rotante (o trazione compressione)
Ulteriori sperimentazioni con stati di tensione biassiali su provini non intagliati
32
Dati di Gough e Pollard e di Sawert (1/2)
0 1.0
-1.0
1.0
Gough e Pollard, 1951
acciaio Cr-Vaghisa
1D
2
−σσ
1D
1
−σσ
σ1m=σ2m =0
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33
Dati di Gough e Pollard e di Sawert (2/2)
0 1.0
-1.0
1.0
Gough e Pollard, 1951
acciaio Cr-Vaghisa
1D
2
−σσ
1D
1
−σσ 0 1.0
-1.0
1.0
Sawert, 19431D
2
−σσ
1D
1
−σσ
Per i materiali duttili viene confermata l’ipotesi di von Mises sulle componenti alternate
σ1m=σ2m =0
34
Analisi influenza valori medi (1/6)
σa
σa
τm
τm
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35
Analisi influenza valori medi (2/6)
σa
σa
τm
τm τa
τa
τm
τm
36
Analisi influenza valori medi (3/6)
σa
σa
τm
σa σm
σa
σm
τm τa
τa
τm
σm
τm
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37
Analisi influenza valori medi (4/6)
σa
σa
τm
σa σm
σa
σm σm
τm τa
τa
τm
τa
σm
τa
τm
38
Analisi influenza valori medi (5/6)
σa
σa
τm
σa σm
σa
σm σm
τm
02,m1,m =σ+σ
τa
τa
τm
τa
σm
τa
τm
02,m1,m =σ+σ
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39
Analisi influenza valori medi (6/6)
σa
σa
τm
σa σm
σa
σm σm
τm
02,m1,m =σ+σ
02,m1,m ≠σ+σ
τa
τa
τm
τa
σm
τa
τm
02,m1,m =σ+σ
02,m1,m ≠σ+σ
40
Criterio di Sines (1/2)
( ) ( ) ( )23,a2,a2
3,a1,a2
2,a1,a21
σ−σ+σ−σ+σ−σ
Generalizzando i risultati ottenuti al caso triassiale:
∝ al II invariante del tensore deviatorico delle tensioni alternate
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41
Criterio di Sines (2/2)
( ) ( ) ( )
( ) 1D3,m2,m1,m
23,a2,a
23,a1,a
22,a1,a
m
21
−σ≤σ+σ+σ⋅+
+σ−σ+σ−σ+σ−σ
∝ al II invariante del tensore deviatorico delle tensioni alternate
∝ al I invariante del tensore delle tensioni medie
Generalizzando i risultati ottenuti al caso triassiale:
42
Casi particolari (1/4)
1D1,m1,a m −σ=σ⋅+σ
Nel caso uniassiale:
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43
Casi particolari (2/4)
1D1,m1,a m −σ=σ⋅+σ
m
1D
Rm −σ
=cioè l’equazione di Goodman se
Nel caso uniassiale:
44
Casi particolari (3/4)
1D1,m1,a m −σ=σ⋅+σ
( ) 1D2,m1,m2,a1,a2
2,a2
1,a m −σ≤σ+σ⋅+σσ−σ+σ
cioè l’equazione di Goodman se
Nel caso uniassiale:
Nel caso biassiale: m
1D
Rm −σ
=
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45
Casi particolari (4/4)
1D1,m1,a m −σ=σ⋅+σ
1Dm2a
2a m 3 −σ≤σ⋅+τ+σ
( ) 1D2,m1,m2,a1,a2
2,a2
1,a m −σ≤σ+σ⋅+σσ−σ+σ
cioè l’equazione di Goodman se
Nel caso uniassiale:
Nel caso biassiale:
Nel caso di alberi:
m
1D
Rm −σ
=
46
Con intagli (Fuchs) (1/2)
( ) ( ) ( )
( )f
1D3,m2,m1,m
23,a2,a
23,a1,a
22,a1,a
Km
21
−σ≤σ+σ+σ⋅+
+σ−σ+σ−σ+σ−σ
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47
Con intagli (Fuchs) (2/2)
( ) ( ) ( )
( )f
1D3,m2,m1,m
23,a2,a
23,a1,a
22,a1,a
Km
21
−σ≤σ+σ+σ⋅+
+σ−σ+σ−σ+σ−σ
σa
σmRm
1D−σ
f
1D
K−σ
48
Interpretazione tensioni equivalenti (1/4)
( ) ( ) ( )23,a2,a2
3,a1,a2
2,a1,aeq,a 21
σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ
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49
Interpretazione tensioni equivalenti (2/4)
( ) ( ) ( )
( )3,m2,m1,meq,m
23,a2,a
23,a1,a
22,a1,aeq,a 2
1
σ+σ+σ=σ
σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ
50
Interpretazione tensioni equivalenti (3/4)
( ) ( ) ( )
( )3,m2,m1,meq,m
23,a2,a
23,a1,a
22,a1,aeq,a 2
1
σ+σ+σ=σ
σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ
σmRp0.2 RmRp0.2
Rp,0.2
σa
Componente
ProvinoσD-1
*1D−σf
i*1D1D K
C∏⋅σ=σ −−
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51
Interpretazione tensioni equivalenti (4/4)
( ) ( ) ( )
( )3,m2,m1,meq,m
23,a2,a
23,a1,a
22,a1,aeq,a 2
1
σ+σ+σ=σ
σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ
σmRp0.2 RmRp0.2
Rp,0.2
σa
Componente
ProvinoσD-1
P
),(:P eq,aeq,m σσ
*1D−σf
i*1D1D K
C∏⋅σ=σ −−
52
Richiamo tensioni ottaedriche (1/4)
1
2
3Piani ottaedrici: piani che formano uguali angoli agli assi principali
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53
Richiamo tensioni ottaedriche (2/4)
1
2
3
( ) ( ) ( )2312
322
21ott 31
σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ
Piani ottaedrici: piani che formano uguali angoli agli assi principali.
Su ogni piano ottaedrico agiscono:
54
Richiamo tensioni ottaedriche (3/4)
1
2
3
( ) ( ) ( )
( ) H1321ott
231
232
221ott
I31
3131
σ==σ+σ+σ=σ
σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ
(tensione idrostatica)
Piani ottaedrici: piani che formano uguali angoli agli assi principali.
Su ogni piano ottaedrico agiscono:
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55
Richiamo tensioni ottaedriche (4/4)
1
2
3Piani ottaedrici: piani che formano uguali angoli agli assi principali.
Su ogni piano ottaedrico agiscono:
( ) ( ) ( )
( ) H1321ott
231
232
221ott
I31
3131
σ==σ+σ+σ=σ
σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ
ottid 23
τ=σVon Mises
(tensione idrostatica)
56
Sines: tensioni ottaedriche (1/3)
( ) ( ) ( )ba
31
H,m
23,a2,a
23,a1,a
22,a1,a
≤σ⋅+
+σ−σ+σ−σ+σ−σ
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57
Sines: tensioni ottaedriche (2/3)
( ) ( ) ( )ba
31
H,m
23,a2,a
23,a1,a
22,a1,a
≤σ⋅+
+σ−σ+σ−σ+σ−σ
ba H,motta, ≤σ⋅+τ
58
Sines: tensioni ottaedriche (3/3)
( ) ( ) ( )ba
31
H,m
23,a2,a
23,a1,a
22,a1,a
≤σ⋅+
+σ−σ+σ−σ+σ−σ
ba H,motta, ≤σ⋅+τ
1Dm
1D32
bR2
m2a −− σ=
σ==
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59
Criterio di Crossland: generalità (1/4)
Analogo al criterio di Sines, valido sia per sollecitazioni proporzionali sia per sollecitazioni non proporzionali periodiche
60
Criterio di Crossland: generalità (2/4)
Analogo al criterio di Sines, valido sia per sollecitazioni proporzionali sia per sollecitazioni non proporzionali periodiche
Per sollecitazioni non proporzionali non è possibile definire un “istante medio”
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61
Criterio di Crossland: generalità (3/4)
Analogo al criterio di Sines, valido sia per sollecitazioni proporzionali sia per sollecitazioni non proporzionali periodiche
Per sollecitazioni non proporzionali non è possibile definire un “istante medio”
Se le sollecitazioni sono periodiche è possibile valutare la sollecitazione idrostatica massima σH,max
62
Criterio di Crossland: generalità (4/4)
Analogo al criterio di Sines, valido sia per sollecitazioni proporzionali sia per sollecitazioni non proporzionali periodiche
Per sollecitazioni non proporzionali non è possibile definire un “istante medio”
Se le sollecitazioni sono periodiche è possibile valutare la sollecitazione idrostatica massima σH,max
Nel caso di sollecitazioni non proporzionali si considera la τa,ott massima nel periodo
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63
Criterio di Crossland (1/4)
( ) ( ) ( )CmaxH,C
23,a2,a
23,a1,a
22,a1,a
ba 31
≤σ⋅+
+σ−σ+σ−σ+σ−σ
64
Criterio di Crossland (2/4)
( ) ( ) ( )CmaxH,C
23,a2,a
23,a1,a
22,a1,a
ba 31
≤σ⋅+
+σ−σ+σ−σ+σ−σ
CmaxH,Cotta, ba ≤σ⋅+τ
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65
Criterio di Crossland (3/4)
ac e bc valutabili con due limiti di fatica indipendenti:Torsione – flessione;Trazione R = -1, trazione con R = 0.
( ) ( ) ( )CmaxH,C
23,a2,a
23,a1,a
22,a1,a
ba 31
≤σ⋅+
+σ−σ+σ−σ+σ−σ
CmaxH,Cotta, ba ≤σ⋅+τ
66
Criterio di Crossland (4/4)
( ) ( ) ( )CmaxH,C
23,a2,a
23,a1,a
22,a1,a
ba 31
≤σ⋅+
+σ−σ+σ−σ+σ−σ
CmaxH,Cotta, ba ≤σ⋅+τ
ac e bc valutabili con due limiti di fatica indipendenti:Torsione – flessione;Trazione R = -1, trazione con R = 0.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
στ
=τ=−
−− 3
133
2a36
b1D
1DC1DC
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67
Piano di Crossland
Più restrittivo di Sines per le sollecitazioni proporzionali
τa,ott
σΗ,max
bCmaxH,CC
limott,a a b σ⋅−≤τ