Moisés GrilloIng. Industrial
Derivadas Parciales
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Derivadas Parciales de Orden Superior
2 3 23 5z x y x y
36 10xz xy xy
2 2 29 5yz x y x
3
2
6 10
18 10xx
xy
z y y
z xy x
2
2
18 10
18yx
yy
z xy x
z x y
Notación
x
zz
x
y
zz
y
2
2
2
xx
xy
zz
x
zz
y x
2
2
2
yx
yy
zz
x y
zz
y
Derivadas Parciales de Orden Superior
2 3 23 5z x y x y
36 10xz xy xy
2 2 29 5yz x y x
3
2
6 10
18 10xx
xy
z y y
z xy x
2
2
18 10
18yx
yy
z xy x
z x y
Derivadas Parciales de Orden Superior
2 3 23 5z x y x y
36 10z
xy xyx
2 2 29 5z
x y xy
23
2
22
6 10
18 10
zy y
x
zxy x
y x
22
22
2
18 10
18
zxy x
x y
zx y
y
Ejercicios
2 3 7 4
9 5 2
3 2 7
1
2
2
3
3
4
z x y x y
z xy x y
z x y x y
Encuentre todas las derivadas parciales de primer y segundo orden de las siguientes funciones:
Respuestas
3 5 43 6 4
2 6 3
2 6 32 2 7 3
2 7 2
3 29 4 2
8 4
8 48 5
7 5
4 424 7
12 28
12 286 4
12 12
803 20
27 40
27 402
1
8
2
7 8216
xxx
xy
yxy
yy
xxx
xy
yxy
yy
z y x yz xy x y
z xy x y
z xy x yz x y x y
z x y x y
z x yz y x y
z y x y
z y x yz xy x y
z xy x
72 7
2 6
2 63 2 6
2 5
6 23 2
3 14
3 147
2
3
4
xxx
xy
yxy
yy
z xy yz x y xy
z x xy
z x xyz x x y
z x y
Derivadas Parciales Implícitas2 3 2 3 27 3 5x z x y y z 2 3 2 3 27 3 5 0x z x y y z
2 3 2 3 27 3 5F x z x y y z 3
2 2 2
2 2 3
14 6
3 15
21 10
x
y
z
F xz xy
F x y z
F x z y z
Derivadas Parciales Implícitas2 3 2 3 27 3 5x z x y y z 2 3 2 3 27 3 5 0x z x y y z
2 3 2 3 27 3 5F x z x y y z 3
2 2 2
2 2 3
14 6
3 15
21 10
x
y
z
F xz xy
F x y z
F x z y z
xx
z
Fz
F
xz 314 6xz xy
2 2 321 10x z y z
yy
z
Fz
F
yz 2 2 23 15x y z2 2 321 10x z y z
Ejercicios
3 2 5 4
3 9 5 2
2 5 3 2 7
2 5 6
3
1
3 4
2
2
3
xz y z x y
y z xy x y
x z x y x y
Encuentre las derivadas zx =? zy =?
Respuestas
4 4
3
2 2 5 3
3
9 4 2
3
2 8 5
3
5 2 7
2 4
3 2 6
2 4
2 30
2 10
15 24
2 10
3 20
3
9 27 8
3
4 3
1
2
10
7
10
2
3
x
y
x
y
x
y
z x yz
x y z
y z x yz
x y z
y x yz
y
y z xy x yz
y
xz x y xyz
x z
x x yz
x z
Regla de la Cadena
3 5
4 3
7 2 3
2 5
2
z x xy y
x t v
y t v
221 2z
x yx
221 2z
x yy
2x
t
5x
v
34y
tt
26y
vv
z
t
z x z y
x t y t
z
t
2 2 321 2 2 21 2 4x y x y t
Regla de la Cadena
3 5
4 3
7 2 3
2 5
2
z x xy y
x t v
y t v
221 2z
x yx
221 2z
x yy
2x
t
5x
v
34y
tt
26y
vv
z
v
z x z y
x v y v
z
v
2 2 221 2 5 21 2 6x y x y v
Ejercicios
3 25 2 7
7
?
3
1
?
z x xy y
x v t
y t v
z z
t v
2
3
7 5
7 2
5 3
2
?
?
z v u
v x xy
u y
z z
x y
xy
Respuestas
2
2
15 2 2 14 3
15 2 7 2 14 1
1z
x y t x ytz
x y x yv
2
7 14 2 5 3
7 2 5 3 3
2 z
x y yxz
x y xy
Diferenciales
3 5 2 75 2z x y x y
2 5 715 4z
x y xyx
3 4 2 625 14
zx y x y
y
z z
dz dx dyx y
2 5 7 3 4 2 615 4 25 14 dz x y xy dx x y x y dy
Ejercicios
5 9 3 4
3 3
6 7
8 6
6 5
1
2
3
z x y x y
z x y xy
z y x
Ejercicios
4 9 2 4 5 8 3 3
2 3 3 2
6 5
40 18 72 24
1
1
2 8 5 6 15
3 7 6
dz x y x y dx x y x y dy
dz x y y dx x xy dy
dz x dx y dy
Diferenciales Exactos
2 2 33 2 x y dx x y dy2 23M x y26yM x y
32N x y26xN x y
y xM NDiferencial Exacto
Ejercicios
2
3 2
2 3 3
6 10
4 3 6
6 4
1
2
3
x dx y dy
x y dx xy dy
x y dx x y dy
Diferencial Exacto
Diferencial Exacto
Diferencial Inexacto
Cálculo de la Primitiva
2 2 33 2 x y dx x y dy
2 23x y dx 2 23y x dx 3
233
xy f y 3 2x y f y
32 x y dy 32 x y dy 2
322
yx g x 3 2x y g x
3 2z x y c
Cálculo de la Primitiva
2 33 4 x dx y dy
23x dx 33
3
xf y 3x f y
34 y dy 44
4
yg x 4y g x
3 4z x y c
Ejercicios
2 3 3 2
3 2
2
6 6
4 3 6
6 1
1
2
03
x y dx x y dy
x y dx xy dy
x dx y dy
Respuestas
3 3
4 2
3 2
1 2
3
2 5
2
3
z x y
z x xy
z x y
Gradiente
2 32z xy x y
2 26z
y x yx
32 2
zxy x
y
z ;z z
x y
z 2 2 36 ; 2 2y x y xy x
Ejercicios
2 3 2
3 2 3
2 5 7
5 4 4
6 3 6
6
3 2
7 5
5
1
2
3
5 4
4
2
z x y x y
z x y x y
z xy x y
z x y xy
z x y x y
2 2 2 3
2 3 3 2 2
2 4 7 5 6
4 4 4 5 3 3
5 3 5 6 2 6
2 18 ; 12
9 4 ;3 6
7 25 ;14
1
2
3
4
5
35
25 ;20 4
12 24 ;6 4
z xy x y x x y
z x y xy x x y
z y x y xy x y
z x y y x y xy
z x y x y x y x
Respuestas
Vector UnitarioSea el vector que inicia en (-1,3) y termina en (2,1)Hallar su vector unitario
final inicialP P v
2,1 1,3 v
2 1 ,1 3 v
2 1 , 1 3 v
3 , 2 v
223 2 v
9 4 v
13v3 2
,13 13
vu
Ejercicios
1. Sea el vector que inicia en (2,-1) y termina en (-3,2) Hallar su vector unitario
2. Sea el vector que inicia en (-3,-2) y termina en (4,3) Hallar su vector unitario
3. Sea el vector que inicia en (-3,5) y termina en (3,-1) Hallar su vector unitario
4. Sea el vector que inicia en (1,1) y termina en (-3,-2) Hallar su vector unitario
5. Sea el vector que inicia en (-3,1) y termina en (1,2) Hallar su vector unitario
Respuestas
5 3 ,
34 34
7 5 ,
74 7
1
2
3
4
5
4
6 6 ,
72 72
4 3 ,
5 5
4 1 ,
17 17
v
v
v
v
v
u
u
u
u
u
Derivada Direccional
Hallar la derivada direccional de:En la dirección del vector que inicia en (-1,3) y termina en (2,1)
2 32z x y xy
final inicialP P v
2,1 1,3 v
2 1 ,1 3 v
2 1 , 1 3 v
3 , 2 v
223 2 v
9 4 v
13v3 2
,13 13
vu
Derivada Direccional
Hallar la derivada direccional de:En la dirección del vector que inicia en (-1,3) y termina en (2,1)
2 32z x y xy
34z
xy yx
2 22 3
zx xy
y
z ;z z
x y
z 3 2 24 ; 2 3xy y x xy
Derivada Direccional
Hallar la derivada direccional de:En la dirección del vector que inicia en (-1,3) y termina en (2,1)
2 32z x y xy
z 3 2 24 ; 2 3xy y x xy
3 2 ;
13 13
vu
3 2 23 24 2 3
13 13D z xy y x xy u
Ejercicios
Hallar la derivada direccional de:En la dirección del vector que inicia en (2,-3) y termina en (-2,-5)
3 23z x y xy
Hallar la derivada direccional de:En la dirección del vector que inicia en (-1,-2) y termina en (-2,4)
2 53 7z xy x y 2 2 34 23 3 6
20 20D z x y y x xy u
2 4 51 63 35 6 7
37 37D z y x y xy x u