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Modelos de Sistemas Lineales Continuos Caso Monovariable
x
Estado
y
Salida
u
Entrada
Ecuación Diferencial: Función de Transferencia: Ecuaciones de Estado:
Sistemas físicos reales: n ≥ m u(t) y y(t) son escalares
x(t) : vector dimensión n
ububub
yayaya
m
m
n
n
01
01
...
...
n
n
m
m
sasaa
sbsbb
sU
sY
...
...
)(
)(
10
10
)()()(
)()()(
tDutCxty
tButAxtx
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Ecuación característica: Fundamental para el estudio de un
sistema, se deduce de cualquiera de los modelos y se presenta
de la forma:
n
naaaP ...)( 10 )det()( AIP
Ecuación Diferencial: Función de Transferencia: Ecuaciones de Estado:
Ecuación característica de la
ecuación diferencial
Denominador de la función de
transferencia
Polinomio característico
de la matriz A
n = Grado de polinomio característico
= orden del sistema
Raíces de la ecuación característica = Polos de la función de transferencia
= Valores propios de A = Modos del sistema
n
nsasaasP ...)( 10
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Modelos matemáticos
Relación entre los diferentes modelos
Ecuación
diferencial
Función de
Transferencia
Ecuaciones
de Estado
Varios
métodos
Modelos
únicos
x=Mx*
Transformación
de similaridad
Múltiples modelos
Multiplicidad del
vector de estados
Transformada
de
Laplace
DBAsICsG 1)()(
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Representación de Estado
Sistema Lineal e Invariable en el tiempo
111
111
)()()(
)()()(
rrmnnmm
rrnnnnn
tuDtxCty
tuBtxAtx
x(t) Vector de estado
u(t) Vector de entradas
y(t) Vector de salidas
A Matriz de estado
B Matriz de entradas
C Matriz de salidas
D Matriz de acoplamiento directo entrada/salida
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Relación con Función de Transferencia
)()()0()()( 11 sBUAsIxAsIsX
)(])([)0()()( 11 sUDBAsICxAsICsY
Para definir la función de transferencia se necesita x(0)=0:
DBAsICsU
sYsG 1)(
)(
)()(
Representación de Estado a Función de transferencia
Función de Transferencia a Representación de Estado
Existen varios métodos como las formas canónicas, la forma de
Jordan y la forma natural
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Ecuación Característica y Valores Propios
0det AsI
Ecuación Característica del Sistema
Las raíces de la ecuación característica son los valores propios
de la matriz A
La ecuación característica y los valores propios son invariantes
bajo una transformación no singular
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Función de transferencia y diagramas de bloques
Interés de la función de transferencia:
Trabajo en el dominio de la transformada Laplace.
Uso de los diagramas de bloques.
Relación con los métodos frecuenciales.
Diagramas de bloques:
Se puede representar sistemas complejos mediante la
interconexión de numerosos subsistemas.
Para la reducción de los sistemas complejos se usa algebra de
bloques.
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Ejemplo 1: Con base en la siguiente planta de reactores obtener la
función de transferencia que relacione 0
2
A
A
C
C
Dinámicas para cada reactor: 1
1)(
10
11
s
k
C
CsG
A
A
1
2)(
21
22
s
k
C
CsG
A
A
Diagramas de bloques
Topologías
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REPRESENTACIÓN EN BLOQUES
CONFIGURACIÓN CASCADA O SERIE
11
21
211
2
0
1
0
2
ss
kk
C
C
C
C
C
C
A
A
A
A
A
A
0AC2AC
)(1 sG )(2 sG)(1 sCA
Diagramas de bloques
Topologías
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Ejemplo 2: Con base en la siguiente planta de reactores obtener la función de transferencia que relacione la salida de las dos concentraciones en términos de la entrada.
Dinámicas para cada reactor:
1
1)(
10
11
s
k
C
CsG
A
A
1
2)(
21
22
s
k
C
CsG
A
A
Diagramas de bloques
Topologías
AC
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REPRESENTACIÓN EN BLOQUES
CONFIGURACIÓN PARALELO
+ +
0AC
2AC
)(1 sG
)(2 sG
)(1 sCA
AC
21
0
2010
21
GGC
C
GCGCC
CCC
A
A
AAA
AAA
Diagramas de bloques
Topologías
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R(s) C(s) + -
REPRESENTACIÓN EN BLOQUES
)(1 sG
)(2 sG
21
1
1)(
)(
GG
G
sR
sC
CONFIGURACIÓN REALIMENTADA
Diagramas de bloques
Topologías
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Fórmula de la Ganancia de Mason La formula general de la ganancia de MASON para grafos de
flujo de la señal es:
N
k
kk
ent
salM
y
yM
1
Donde:
M = ganancia entre yent y ysal
ysal = variable de un nodo de salida
yent = variable de un nodo de entrada
N = numero total de trayectos directos
Mk = ganancia del trayecto directo k
... m
mm
mm
mPPP
3211
Pmr = producto de las ganancias de la combinación
posible m de r lazos que no se toquen
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Fórmula de la Ganancia de Mason
Se dice que dos partes de un grafo de flujo de señal no se tocan
cuando no tienen un nodo común.
∆ = 1 – (suma de todas las ganancias de lazos individuales) +
(suma de los productos de las ganancias de todas las
combinaciones posibles de dos lazos que no se toquen) -
suma de los productos de las ganancias de todas la
combinaciones posibles de tres lazos que no se toquen) +
...
∆k = ∆ de la parte del grafo de flujo de señal que no toca el
trayecto directo k.
Esta formula se aplica solamente entre un nodo de entrada y
un nodo de salida.
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Solución de la Ecuación de Estado
)()( tAxtx
Solución de la ecuación de
estado lineal homogénea:
La solución está dada por: )(),()( 00 txtttx Φ
Donde:
y )()( tCxty
)()()(
)()()(
tDutCxty
tButAxtx
Ecuación de Estado:
)(
00),(
ttAett
Φ
Entonces: )()( 0
)( 0 txetxttA
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Solución de la Ecuación de Estado
)()()( tButAxtx
Solución de la ecuación de estado lineal no-homogénea
t
t
tAttAdBuetxetx
0
0 )()()( )(
0
)(
y
)()()( tDutCxty
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Otros)4
HamiltonCayleydeTeorema)3
)2
0,!!2
)1
1
0
22
AsIe
tn
tA
tAAtIe
At
nnAt
L
Cálculo de (t-t0)=eA(t-t0)
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FORMAS CANONICAS ASOCIADAS
(CASO MONOVARIABLE)
DuCxy
BuAxx1 Sistema Controlable
y Observable
xPx ~
uDxCy
uBxAx~~~
~~~~2
Forma Canónica
CPC
BPB
APPA
~
~
~
1
1
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Polinomio Característico
P(s) = det (sI – A) = sn – a1sn-1 - ... – an-1s- an
Dasasas
bsbsbsbDBAsICsg
nn
nn
nn
nn
1
1
1
1
2
2
1
11
...
...
Función de Transferencia: (condiciones iniciales nulas)
ubdt
dub
dt
udb
dt
udbya
dt
dya
dt
yda
dt
ydnnn
n
n
n
nnn
n
n
n
12
2
21
1
111
1
1 ......
Ecuación Diferencial (solamente si D = 0)
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Formas Canónicas de Observabilidad (caso monovariable)
Transformaciones: VVP~1
VBVB 1~~
Relación entre los coeficientes βi y bi
nnn b
b
b
aa
a 2
1
2
1
11
1
*
1
01
1
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Formas Canónicas de Observabilidad (caso monovariable)
1~ VPIV n
FCO # 1
121
10000
000
100
0010
~
aaaa
A
nnn
n
B
2
1
~
0001~
C DD ~
Haciendo una rotación de la forma canónica de observabilidad
(FCO) número 1 se puede encontrar la número 3
![Page 23: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/23.jpg)
Formas Canónicas de Observabilidad (caso monovariable)
Para conexión
directa con las
representaciones
externas:
1
0
1
~
1
11
1
a
aa
V
n
![Page 24: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/24.jpg)
Formas Canónicas de Observabilidad (caso monovariable)
FCO # 2
Haciendo una rotación de la FCO número 2 se puede
encontrar la número 4
1
2
1
100
000
010
001
000
~
a
a
a
a
An
n
n
1
1
~
b
b
b
B
n
n
1000~
C DD ~
![Page 25: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/25.jpg)
Formas Canónicas de Controlabilidad (caso monovariable)
Transformaciones:
1~ UUP
1~~ UCUC
Relación entre los coeficientes βi y bi
nnn b
b
b
aa
a 2
1
2
1
11
1
*
1
01
1
![Page 26: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/26.jpg)
Formas Canónicas de Controlabilidad (caso monovariable)
UPIU n ~
FCC # 5
1
2
1
100
000
010
001
000
~
a
a
a
a
An
n
n
0
0
1
~B
nC 321
~DD
~
Haciendo una rotación de la forma canónica de controlabilidad
(FCC) número 5 se puede encontrar la número 7
![Page 27: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/27.jpg)
Formas Canónicas de Controlabilidad (caso monovariable)
Para conexión
directa con las
representaciones
externas:
1
0
1
~
1
11
1
a
aa
U
n
![Page 28: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/28.jpg)
Formas Canónicas de Controlabilidad (caso monovariable)
FCC # 6
Haciendo una rotación de la FCC número 6 se puede
encontrar la número 8
121
10000
000
100
0010
~
aaaa
A
nnn
1
0
0
~B
11
~bbbC nn DD
~
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Repaso - Expansión en fracciones parciales
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
ps
A
ps
A
ps
A
asasasa
bsbsbsb
sP
sQ
2
2
1
1
01
1
1
01
1
1
)(
)(
Caso 1. Raíces del polinomio característico diferentes
nnpspppppppp
pQ
sP
sQpsA
1113121
111
)(
)(
)()(
1
Se hace esta misma evaluación para el resto de coeficientes
![Page 30: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/30.jpg)
rr
r
iirn
rn
ps
K
ps
K
ps
K
ps
A
ps
A
ps
AsG
2
21
2
2
1
1)(
Caso 2. Raíces del polinomio característico iguales
n - r raíces diferentes r raíces iguales
i
i
i
i
ps
r
ir
r
ps
r
ir
ps
r
ir
ps
r
ir
sGpsds
d
rK
sGpsds
dK
sGpsds
dK
sGpsK
)(!1
1
)(!2
1
)(
)(
1
1
1
2
2
2
1
Repaso - Expansión en fracciones parciales
![Page 31: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/31.jpg)
Forma Diagonal
(caso monovariable)
n
n
DA
0000
0000
00
00
000
1
3
2
1
CPC
BPB
APPA
D
D
D
1
1Con nP vvv 21
y ii aasociadopropiovectorv
A tiene n valores propios diferentes
![Page 32: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/32.jpg)
Forma Diagonal
(caso monovariable)
Ds
a
s
a
s
aD
asasas
bsbsbsbsG
n
n
nn
nn
nn
nn
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
...
...
Ds
a
s
a
s
a
sU
sYsG
n
n
2
2
1
1
)(
)()(
n
n
DA
0000
0000
00
00
000
1
3
2
1
n
D
a
a
a
B
2
1
111 DC DDD
Desde la función de transferencia:
![Page 33: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/33.jpg)
Controlabilidad
1)( tBtAt uxx
1:,: nBnnA
La ecuación de estado es (completamente) Controlable a t0, si
para todo estado x(t0) ≡ x0 y ∀ x1, existe t1 > t0 (t1 finito) y un vector
de entrada u(t0, t1) que transfiere el sistema del estado x0 hasta el
estado x1= x(t1).
Si no ⇒ Sistema No Controlable
Observación: No existen limitaciones sobre las entradas.
![Page 34: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/34.jpg)
Observabilidad
tDtCt
tBtAt
uxy
uxx
)(
)(1
La ecuación dinámica (1) es (completamente) Observable en t0, si
para cualquier estado x(t0) ≡ x0, existe un instante finito t1 > t0 tal
que el conocimiento de u(t0, t1) y de y(t0, t1) sobre el intervalo [t0, t1]
es suficiente para determinar x0 .
Si no se dice que la ecuación (1) es no Observable.
![Page 35: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/35.jpg)
Forma Diagonal
(caso monovariable)
n
n
DA
0000
0000
00
00
000
1
3
2
1
CPC
BPB
APPA
D
D
D
1
1Con nP vvv 21
y ii aasociadopropiovectorv
A tiene n valores propios diferentes
![Page 36: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/36.jpg)
Forma Diagonal
(caso monovariable)
Ds
a
s
a
s
aD
asasas
bsbsbsbsG
n
n
nn
nn
nn
nn
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
...
...
Ds
a
s
a
s
a
sU
sYsG
n
n
2
2
1
1
)(
)()(
n
n
DA
0000
0000
00
00
000
1
3
2
1
n
D
a
a
a
B
2
1
111 DC DDD
Desde la función de transferencia:
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Controlabilidad
1)( tBtAt uxx
1:,: nBnnA
La ecuación de estado es (completamente) Controlable a t0, si
para todo estado x(t0) ≡ x0 y ∀ x1, existe t1 > t0 (t1 finito) y un vector
de entrada u(t0, t1) que transfiere el sistema del estado x0 hasta el
estado x1= x(t1).
Si no ⇒ Sistema No Controlable
Observación: No existen limitaciones sobre las entradas.
![Page 38: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/38.jpg)
Observabilidad
tDtCt
tBtAt
uxy
uxx
)(
)(1
La ecuación dinámica (1) es (completamente) Observable en t0, si
para cualquier estado x(t0) ≡ x0, existe un instante finito t1 > t0 tal
que el conocimiento de u(t0, t1) y de y(t0, t1) sobre el intervalo [t0, t1]
es suficiente para determinar x0 .
Si no se dice que la ecuación (1) es no Observable.
![Page 39: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/39.jpg)
CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD
n = orden del sistema
Matriz de
Controlabilidad de (1) BABAABBU n 12
1
2
nCA
CA
CA
C
V
Matriz de
Observabilidad
de (1)
U~ y V
~
Matrices de
controlabilidad y
observabilidad
de (2)
El sistema es Controlable si:
det(U) ≠ 0
El sistema es Observable si:
det(V) ≠ 0
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Controlabilidad, Observabilidad y Formas
canónicas de JORDAN
Invariante)()()(
)()()(1
tDtCt
tBtAt
uxy
uxx
xx ~P
CPC
APPA
~
~ 1
DD
BPB
~
~ 1
P(n x n) no singular
eEquivalentSistema)(
~)(~~
)(
)(~
)(~~)(~
2
tDtCt
tBtAt
uxy
uxx
![Page 41: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/41.jpg)
Controlabilidad, Observabilidad y Formas
canónicas de JORDAN
Teorema 1 La Controlabilidad y la Observabilidad de un sistema lineal invariante en
el tiempo son invariantes bajo cualquier transformación equivalente.
Demostración:
igual para Observabilidad
Este teorema se extiende a caso variante en el tiempo.
Idea: Transformar a forma canónica de JORDAN → Controlabilidad y
Observabilidad por simple inspección, además se ve Controlabilidad y
Observabilidad por modo.
,...],,[]~~
,...~~
,~~
,~
[ 11111112 BAPPAPPPBAPPPBPBABABAB n
],...,,[ 12 BABAABB n
![Page 42: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/42.jpg)
Controlabilidad, Observabilidad y Formas
canónicas de JORDAN
p
nm
p
rn
p
nnCCCC
B
B
B
B
A
A
A
A 21
2
1
2
1
Supongamos (1) en forma de JORDAN:
)(21
)(
2
1
)(
2
1
iiqiinmii
iiq
i
i
rnii
iiq
i
i
ninii CCCC
B
B
B
B
A
A
A
A
lijijij
nijm
ij
lij
ij
ij
rnij
ij
i
i
i
i
nijnij
ij CBA ccc
b
b
b
21
2
1
1
1
1
p valores propios
distintos λ1, λ2 …, λp
Ai = Todos los bloques de
Jordan asociados a λi
q(i) = # de bloques de Jordan en Ai
Aij = Bloque de Jordan N° j en Ai
![Page 43: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/43.jpg)
Controlabilidad, Observabilidad y Formas
canónicas de JORDAN
Teorema 2
El sistema (1) (Forma de Jordan) es Controlable si y solamente si para
cada i = 1, 2, ..., p, las filas de la matriz:
son linealmente independientes
(1) Es Observable si y sólo si para cada i = 1, 2, ..., p, las columnas de la
matriz:
son linealmente independientes
iliq
li
li
riq
l
iB
b
b
b
2
1
)(
iiqii
iqmiC 12111
)(
1ccc
![Page 44: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/44.jpg)
Modelos y Estructuras
2
1
s
2
1
s
3
1
2
s
x1
S3 S2 S1
x3
x2
u y
_ _ v w
![Page 45: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/45.jpg)
Linealización
Se realiza alrededor de un punto de operación del sistema (punto de
equilibrio).
Definición: Un estado de equilibrio es un estado no modificado no
recibe cambios en la entrada u(t). También llamado punto singular.
))(),(()( tutxftx
)(
)(
tu
tx Vector de estados (n x 1)
Vector de entrada (r x 1)
Los puntos de equilibrio son solución de 0)0),(( txf
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Linealización
linealnoSistematutxftx ))(),(()(
Expandiendo en series de Taylor alrededor de e ignorando
los términos de orden superior se obtiene: )(0 tx
j
ux
r
jj
i
j
ux
n
jj
i
iu
u
uxfx
x
uxfx
0000 ,1
,1
),(),(
linealSistemauBxAx
jopjjxxx
_
![Page 47: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/47.jpg)
Retardo de Transporte )()( txty
La representación en polos y ceros del retardo requiere un número infinito
de ceros y polos. La expansión produce:
!2
)(1
2sse s
Y la Transformada de Laplace:
ss esx
sysxesy
)(
)()()(
ó
!2
)(1
112s
se s
ó
21
21
2
2
s
s
e
es
s
La aproximación más común es la aproximación
de Pade y se obtiene truncando la última
expansión en el primer o segundo orden:
s
se s
2
2
1
1
ó 2
82
2
822
2
1
1
ss
sse s
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ANEXOS
Ecuación diferencial
Laplace y Función de Transferencia
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Ecuaciones diferenciales lineales
Definición
49 jul-13
El modelo matemático de un sistema lineal puede incluir
cualquier orden de derivada de variables temporales del
sistema. En la ecuación diferencial aparecen estos
términos como combinación lineal de las derivadas de la
entrada y de la salida.
Un sistema lineal invariante en el tiempo, en tiempo
continuo puede ser representado con una ecuación
diferencial lineal y constante.
Sistema u(t)
Entrad
a
y(t)
Salida
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Ecuaciones diferenciales lineales
Definición
50 jul-13
tubtubtubtyatyatyam
m
n
n 0101 ......
tubDbDbtyaDaDa m
m
n
n 0101 ......
Utilizando el operador , que representa la derivada
enésima, y factorizando podemos escribir:
nD
Se le denomina Polinomio Característico
nm
![Page 51: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/51.jpg)
Ecuaciones diferenciales lineales
Solución
51 jul-13
La solución de una ecuación diferencial lineal se compone de dos
partes: 1. Solución homogénea , llamada también respuesta natural, se
obtiene de resolver:
2. Solución particular , llamada también respuesta forzada, se
obtiene de resolver:
0... 01
tyatyatyan
n
tyh
ty p
ttyatyatyan
n f
01...
tubtubtubtm
m 01...
f
Entrada al
sistema
tytyty ph Solución
total
![Page 52: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/52.jpg)
Ecuaciones diferenciales lineales
Solución
52 jul-13
Para encontrar la solución homogénea, se debe tomar el Polinomio
Característico de la ecuación diferencial:
De donde se obtienen n
raíces
n
i
t
ihieCty
1
0... 01 aDaDa n
n
Entonces la solución homogénea está dada por:
nii ,...2,1
Si las raíces son diferentes y
reales
![Page 53: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/53.jpg)
Ejemplo
53 jul-13
)(1
outine qqcM
T
tanque,al entrando fluido del temp.
),(= masa de flujo
,
,
tanqueelen fluido del Masa
fluido, del especificocalor
tanque,del temp.
ei
outin
eoutout
eiinin
e
T
mmm
Tmcq
Tmcq
M
c
T
ecT
eiT
Cold Hot
eT
Dar la ecuación diferencial donde la salida es Te y la
entrada es Tec
![Page 54: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/54.jpg)
Ejemplo
54 jul-13
ecT
eiT
Cold Hot
eT
Dar la función de transferencia del
sistema
decee tTM
mtT
M
mtT
Ecuación diferencial que relaciona la
temperatura en el interior del tanque
con la temperatura de entrada a él:
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Transformada de Laplace
Definición
55 jul-13
La transformada de Laplace ofrece muchas ventajas al utilizarla para
resolver ecuaciones diferenciales lineales. Permite pasar estas ecuación
diferenciales a ecuaciones algebraicas.
)(
)(
sF
js
tf
Función en el tiempo t tal que f(t) = 0 para t
< 0
Variable compleja
Transformada de Laplace de f(t)
0
)()()( dtetftfLsF st
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Transformada de Laplace
Definición
56 jul-13
0)( aetf atEjemplo
:
Plano s jω
σ -a X
assa
edtesF
tsatsa
1
)(
00
Existe si Real(s) > a
No Existe Terrible !
![Page 57: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/57.jpg)
Transformada de Laplace
Definición
57 jul-13
Teorema de variable compleja:
“Teorema de extensión analítica”
Si dos funciones analítica son iguales durante una longitud
finita sobre cualquier arco en una región en que ambas son
analíticas deben ser iguales en toda la región.
El arco de igualdad puede ser el eje real.
F(s) se extiende a todo el plano s (se determina en una zona
válida y se extiende) excepto en el punto singular (F(s) no
analítica)
![Page 58: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/58.jpg)
Transformada de Laplace
Algunas transformadas
58 jul-13
asdteedtetfsFetf statstat
1)()()(
00
1)()()()()()(00
0
dtetdtetfsFttutf stst
sdtedtetfsFtutf stst 1
)()()()(00
1
2
00
1)()()(
sdttedtetfsFttf stst
Función Impulso o Delta Dirac
Función Escalón Unitario
Función Rampa
Función
Exponencial
![Page 59: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/59.jpg)
Transformada de Laplace
Propiedades
59 jul-13
Linealidad
Corrimiento en el tiempo
Derivación en el tiempo
Integración en el tiempo
Teorema del Valor Final
)()()()()()( 212121 sbFsaFtfbLtfaLtbftafL
)()( sFetfL s
)0()0()0()()( )1()2(1 nnnnn fsffssFstfDL
s
sFdfL
t)(
)(
)(0
lim)(
limssF
stf
t
Si el límite existe
![Page 60: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/60.jpg)
Transformada de Laplace
Transformada Inversa
60 jul-13
jc
jc
stdsesFj
sFLtf )(2
1)()( 1
Cuando se resuelve algebraicamente la variable dependiente de
la ecuación diferencial en el dominio de Laplace deseamos
conocer su función temporal para lo cual necesitamos la
transformada inversa de Laplace.
Sin embargo este método puede resultar complicado para la
mayoría de funciones encontradas en la industria. Un método
más práctico es la utilización de expansión en fracciones y
parciales y utilización de tablas de transformadas de Laplace de
funciones comunes.
![Page 61: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/61.jpg)
Transformada de Laplace
Transformada Inversa
61 jul-13
jc
jc
stdsesFj
sFLtf )(2
1)()( 1
c = abscisa de convergencia. Real.
c > puntos singulares (polos) de F(s)
Plano s jω
σ
c
X
X
X
![Page 62: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/62.jpg)
Transformada de Laplace
Expansión en fracciones
parciales
62 jul-13
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
ps
A
ps
A
ps
A
asasasa
bsbsbsb
2
2
1
1
01
1
1
01
1
1
nm
Caso 1. Raíces del polinomio característico
diferentes
nn
nnnn
pspspsps
pspspsApspsApspsA
121
1211221
Conocido Desconocid
o Se resuelven las multiplicaciones e igualamos término a
término.
Se tiene n ecuaciones con n incógnitas.
![Page 63: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/63.jpg)
Transformada de Laplace
Expansión en fracciones
parciales
63 jul-13
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
ps
A
ps
A
ps
A
asasasa
bsbsbsb
sP
sQ
2
2
1
1
01
1
1
01
1
1
)(
)(
Caso 1. Raíces del polinomio característico
diferentes
nnpspppppppp
pQ
sP
sQpsA
1113121
111
)(
)(
)()(
1
Se hace esta misma evaluación para el resto de
coeficientes
![Page 64: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/64.jpg)
Transformada de Laplace
Expansión en fracciones
parciales
64 jul-13
nn
n
n
m
m
ps
A
ps
A
ps
A
asasa
bsbsb
1
2
1
2
1
1
01
01
nm
Caso 2. Raíces del polinomio característico iguales
n
nn
nn
ps
ApsApsApsA
1
11
2
12
1
11
Conocido Desconocid
o Se resuelven las multiplicaciones e igualamos término a
término.
Se tiene n ecuaciones con n incógnitas.
![Page 65: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/65.jpg)
Transformada de Laplace
Expansión en fracciones parciales
65 jul-13
rr
r
iirn
rn
ps
K
ps
K
ps
K
ps
A
ps
A
ps
AsG
2
21
2
2
1
1)(
Caso 2. Raíces del polinomio característico iguales
n - r raíces diferentes r raíces
iguales
i
i
i
i
ps
r
ir
r
ps
r
ir
ps
r
ir
ps
r
ir
sGpsds
d
rK
sGpsds
dK
sGpsds
dK
sGpsK
)(!1
1
)(!2
1
)(
)(
1
1
1
2
2
2
1
![Page 66: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/66.jpg)
Transformada de Laplace
Expansión en fracciones parciales
66 jul-13
n
n
n
n
m
m
ps
A
ps
A
cdss
AsA
asasa
bsbsb
3
3
2
21
01
01
nm
Caso 3. Raíces del polinomio característico complejas
conjugadas
Desconocid
o Se resuelven las multiplicaciones e igualamos término a
término.
Se tiene n ecuaciones con n incógnitas.
nn
nnnn
pspspscdss
pspscdssApspscdssApspsAsA
13
2
13
2
4
2
3321
![Page 67: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/67.jpg)
Función de transferencia
67 jul-13
La función de transferencia de un sistema LTI se define como el cociente
entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace
de la entrada, suponiendo C.I. nulas.
tubDbDbLtyaDaDaL m
m
n
n 0101 ......
tuLbsbsbtyLasasa m
m
n
n 0101 ......
)(...)(... 0101 sUbsbsbsYasasa m
m
n
n
01
01
...
...
)(
)(
asasa
bsbsb
sU
sYn
n
m
m
Partimos de la ecuación
diferencial
Con la transformada de Laplace y sus
propiedades
A este cociente se le
llama Función de
Transferencia
Polinomio Característico
![Page 68: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/68.jpg)
Función de transferencia
Características
68 jul-13
La transformada inversa de Laplace de la función de
transferencia corresponde a la respuesta al impulso del
sistema.
Función de transferencia representa la dinámica de un
sistema mediante ecuaciones algebraicas.
La función de transferencia es una propiedad del sistema,
independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada.
Si se desconoce la función de transferencia de un sistema,
puede aproximarse experimentalmente (Identificación).
![Page 69: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/69.jpg)
Función de transferencia
Características
69 jul-13
01
01
...
...
)(
)(
asasa
bsbsb
sU
sYn
n
m
m
Las raíces del numerador de la función de transferencia son
llamados los ceros del sistema.
Las raíces del denominador de la función de transferencia son
llamados los polos del sistema.
m
m
m cscscsbsbsb 2101 0...
n
n
n pspspsasasa 2101 0...
![Page 70: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/70.jpg)
Diagramas de bloques
Es una Herramienta que puede ser usada para:
Representar sistemas lineales y no lineales, variantes e
invariantes mediante el modelamiento por:
Ecuaciones diferenciales.
Variables de estado.
Análisis y diseño en el dominio de la frecuencia.
Representar sistemas complejos mediante la
interconexión de numerosos subsistemas para obtener
la función de transferencia.
Para la reducción de los sistemas complejos se usará
algebra de bloques.
70 jul-13
![Page 71: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/71.jpg)
Diagramas de bloques
Topologías
Ejemplo 1: Con base en la siguiente planta de reactores
obtener la función de transferencia que relacione
71 jul-13
0
2
A
A
C
C
Dinámicas para cada reactor: 1
1)(
10
11
s
k
C
CsG
A
A
1
2)(
21
22
s
k
C
CsG
A
A
![Page 72: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/72.jpg)
Diagramas de bloques
Topologías
REPRESENTACIÓN EN BLOQUES
72 jul-13
CONFIGURACIÓN CASCADA O SERIE
11
21
211
2
0
1
0
2
ss
kk
C
C
C
C
C
C
A
A
A
A
A
A
0AC2AC
)(1 sG )(2 sG)(1 sCA
![Page 73: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/73.jpg)
Ejemplo 2: Con base en la siguiente planta de reactores obtener la función de transferencia que relacione la salida de las dos concentraciones en términos de la entrada.
73 jul-13
Dinámicas para cada reactor:
1
1)(
10
11
s
k
C
CsG
A
A
1
2)(
21
22
s
k
C
CsG
A
A
Diagramas de bloques
Topologías
AC
![Page 74: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/74.jpg)
REPRESENTACIÓN EN BLOQUES
74 jul-13
CONFIGURACIÓN PARALELO
+ +
0AC
2AC
)(1 sG
)(2 sG
)(1 sCA
AC
21
0
2010
21
GGC
C
GCGCC
CCC
A
A
AAA
AAA
Diagramas de bloques
Topologías
![Page 75: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/75.jpg)
75 jul-13
R(s) C(s) + -
REPRESENTACIÓN EN BLOQUES
)(1 sG
)(2 sG
21
1
1)(
)(
GG
G
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CONFIGURACIÓN REALIMENTADA
Diagramas de bloques
Topologías
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Realizar una representación en bloques del sistema:
76 jul-13
Sistemas de Control
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REPRESENTACIÓN EN BLOQUES
77 jul-13
Ti(s) To(s) + -
PLANTA
)(sE)(sU
SENSOR
CONTROLADOR
Sistemas de Control
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Bibliografía
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78 jul-13
![Page 80: Modelos Matemáticos Sistemas de Control](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050802/563dbafb550346aa9aa94782/html5/thumbnails/80.jpg)
jul-13 80
PROYECTO EJEMPLO
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