DEM-Instituto Superior Técnico
MODELOS COMPUTACIONAIS MODELOS COMPUTACIONAIS PARA OPTIMIZAPARA OPTIMIZAÇÇÃO DA ÃO DA
TOPOLOGIA E DO MATERIAL TOPOLOGIA E DO MATERIAL DE ESTRUTURASDE ESTRUTURAS
Helder C. RodriguesDepartamento de Engenharia Mecânica
IST - UTL
DEM-Instituto Superior Técnico
DEM-Instituto Superior TécnicoDEM-Instituto Superior Técnico
- Optimização da Topologia de Estruturas
- Modelo Material
- Homogeneização
- Exemplos
- Projecto Óptimo de Materiais Celulares
-Modelos Hierárquicos
SUMÁRIO
DEM-Instituto Superior TécnicoDEM-Instituto Superior Técnico
A optimização da topologia de estruturas é um processo
de identificação das regiões com e sem material
(estrutural) num domínio admissível de forma a identificar
a estrutura óptima, para um dado objectivo e satisfazendo
constrangimentos que garantam a sua funcionalidade.
INTRODUÇÃO
DEM-Instituto Superior TécnicoDEM-Instituto Superior Técnico
MODELO DISCRETO
DEM-Instituto Superior TécnicoDEM-Instituto Superior Técnico
MODELO CONTÍNUO
DEM-Instituto Superior TécnicoDEM-Instituto Superior Técnico
MODELO MATERIAL PARA OPTIMIZAÇÃO DA TOPOLOGIA
u = 0x
3x
2x1x
b
Ωt
tΓ
uΓ
B
2aB
1
2aB
2
2aB
3
θB
A1/8 da célula
θA 2aA
1
2aA
2
2aA
3
DENSIDADE RELATIVA: ORIENTAÇÃO : θ
1 2 31 a a aμ = −
DEM-Instituto Superior TécnicoDEM-Instituto Superior Técnico
HOMOGENEIZAÇÃO
As propriedades equivalentes do materialklpH
ijkl ijkl ijpmm¥
E E E dYy
∂χ= μ −
∂∫klχ Solução da equação de equilíbrio
klp i i
ijpm ijklm j j¥ ¥
v vE dY E dY Yy y y∂χ ∂ ∂
= ∀ −∂ ∂ ∂∫ ∫ v Periódico
2c
2b
2a
Y3y
2y1y
¥ 1/8 da célula unitária
a2
a3
a1
DEM-Instituto Superior Técnico
Nota: Material de base ortotrópico e homogéneo
Problema Local 2D -klχ
12χ22χ11χ
DEM-Instituto Superior Técnico
DEM-Instituto Superior TécnicoDEM-Instituto Superior Técnico
- Homogeneização
-As propriedades elásticas equivalentes são obtidas por interpolação polinomial.
3D - Célula com furo cúbico
E, ν=0.3
E1111=E2222=E3333
E1122=E1133=E2233
E1212=E1313=E2323
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 0.14 0.37 0.63 0.85 1
μ
HE
DEM-Instituto Superior Técnico
Problema de OptimizaçãoEstrutural
• MAXIMIZAR RIGIDEZ ESTRUTURAL
• Constrangimento no PESO
DEM-Instituto Superior TécnicoDEM-Instituto Superior Técnico
Formulação do Problema de Cargas Múltiplas
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
it
t
NCP P P P P
i i i ia 0,1 P 1
1 2 3
H P P P P P Pijkl ij kl i i i i
P Pu u
min b u d t u d
1 a a a d V
E , e e d b v d t v d 0
0 em e em
∈= Ω Γ
Ω
Ω Ω Γ
⎛ ⎞α Ω + Γ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
− Ω ≤
Ω− Ω− Γ =
∀ = Γ = Γ
∑ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫a u v
v u 0
θ
θ
DEM-Instituto Superior TécnicoDEM-Instituto Superior Técnico
Exemplo - Viga apoiada
sem penalização
penalização
DEM-Instituto Superior TécnicoDEM-Instituto Superior Técnico
Exemplo - Cubo (cargas múltiplas)
p1
p2
DEM-Instituto Superior Técnico
Example – cylindrical support
• cylinder fixed in the interior• only the block is design domain• 15% of block volume available• no friction
DEM-Instituto Superior Técnico
Final solution - multiload
DEM-Instituto Superior Técnico
• only the blocks are design domain• 30% of blocks volume available• no friction
Example – flexible pin joint
penalized solution , single load penalized solution , multiload (2 loads)
DEM-Instituto Superior Técnico
Optimal Design of Optimal Design of MicrostruturesMicrostrutures for for StiffnessStiffness
x1
x2
Celular Material
D
Y
Material Unit Cell
y1
y2
DEM-Instituto Superior Técnico
d 0D→
d
DEM-Instituto Superior Técnico
“Correction”“average”
Equivalent Properties
Y
1 dY Y
μ = ρ∫
μ – Relative density
kmH rijkm ijkm ijrsY Y
s
1 1E E dY E dYY Y y
∂χ= −
∂∫ ∫
HijklE Equivalent stiffness coeficients
DEM-Instituto Superior Técnico
Y
DEM-Instituto Superior Técnico
Problem Formulation22rσ
• Cellular Material
11rσ
12rσ
12rσ
22rσ
12rσ
12rσ
11rσ
• Multiple load cases
DEM-Instituto Superior Técnico
[ ]0,1∈ρ
• Relative density for base material
1=ρ
0=ρ
DEM-Instituto Superior Técnico
Optimization ProblemStress Formulation
[ ]( ){ }1H 1 1 M M
ijkl 1 ij kl M ij kl0,1min E ....
−
ρ∈⎡ ⎤λ σ σ + + λ σ σ⎣ ⎦
+ Material symmetry, manufacturing constraints
Y
dY ρ = μ∫ Cellular material relative density
DEM-Instituto Superior Técnico
DEM-Instituto Superior Técnico
Example
• 4 load cases• Plane stress• Relative density μ=0.5
2λ (1 )
2λ−(1 )
2λ−
2λ
DEM-Instituto Superior Técnico
DEM-Instituto Superior Técnico
Results
μ=0.5
λ=0.2 λ=0.8λ=0.5
DEM-Instituto Superior Técnico
DEM-Instituto Superior Técnico
Comparison with Analitycal Solution
DEM-Instituto Superior Técnico
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
λ
Ener
gy
Bound
Single Scale
DEM-Instituto Superior Técnico
0
0.2707E+00 0.8966E-01 -0.1509E-160.2699E+00 -0.1714E-15 *
0.9251E-01
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
EH ESymmetric
Unit Cell Aspect Ratio 1/ 3
DEM-Instituto Superior Técnico
Example
• 19 shear load cases withvarying orientation θ
• Plane stress• Relative density μ=0.5
Note: Due to the number of loads (19) the optimal material should bealmost isotropic
θ
DEM-Instituto Superior Técnico
H
0.2593 0.0854 00.2593 0
0.0827
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
E E
3% error from isotropy
DEM-Instituto Superior Técnico
Coeficiente de Poissonnegativo
Expansão térmica negativa
Azul - αVermelho – 10 α
Outros Exemplos
H 4.17α = − α
Com permissão de Ole Sigmund , DTU, DK.
DEM-Instituto Superior Técnico
3D EXAMPLES3D EXAMPLES((Eng. Pedro CoelhoEng. Pedro Coelho))
DEM-Instituto Superior Técnico
Tridimensional applicationVolume fraction constraint:
μ* = 0.5
Uni-axial load pattern
Honeycomb-like structure
Bi-axial load plate-like structure
pattern⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
111111111
ε *
DEM-Instituto Superior Técnico
Part IV – Tridimensional application
Base cell Periodic patternStrain field
ICCB 2005 – 14-16 September 2005
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
235398583
ε *
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
549415.195.12
ε *
DEM-Instituto Superior Técnico
Manufactured at the Material Science Dep. IST by DMLS process – Direct Metal Laser Sintering from
computational result
DEM-Instituto Superior Técnico
3D Image from .STL rapid prototyping file
Base cell
Computational Result Periodic Pattern
DEM-Instituto Superior Técnico
Hierarchical OptimizationHierarchical OptimizationMaterial and StructureMaterial and Structure
DEM-Instituto Superior Técnico
[ ] ( ) ( )( )21, : ,2
tgJ T dθ γ θ θΩ
= − Ω∫ x x
Hierarchical Model: Assumes two scales in the problem
Macro Scale: Relative volume fraction Mat1 (ω)
Micro Scale: Identifies geometry ofmaterial cell
( ) ( )1 ,x
xx Y
x x y dYY
ω γ= ∫
Hierarchical Model: Mat1 High, Mat2 LowHierarchical Model: Mat1 High, Mat2 Low
DEM-Instituto Superior TécnicoDEM-Instituto Superior Técnico
DEM-Instituto Superior Técnico
V=83.3%
q =-10∧
( )0 100xθ∧
=
q = -10∧
2nd NUMERICAL EXAMPLE
DEM-Instituto Superior Técnico
Target Density Distribution
?Target Temperature Distribution
θtg = 75 ºC in all the domain
22ºº EXAMPLEEXAMPLE
DEM-Instituto Superior Técnico
Initial Density Distribution
Initial ρ(x) =0.83
INITIAL RESULTSINITIAL RESULTS
Initial Temperature Distribution
DEM-Instituto Superior Técnico
FINAL RESULTSFINAL RESULTS
Final Density Distribution Final Temperature Distribution
DEM-Instituto Superior Técnico
DEM-Instituto Superior Técnico
HIERARCHICAL OPTIMIZATION
OF
MATERIAL AND STRUCTURE
(3-D applications)
DEM-Instituto Superior Técnico
18×1+9×½
MACRO DENSITY FIELD AND MICROSTRUCTURES – 3D
9×1
27×19×1
18×1+9×½
Beam loaded at midspan w/ fixed supports at the ends•Mesh: 12×4×2 F.E.
•Global vol. fraction: 50%
9×1 cells
9×1
Cubic base cell•Mesh: 20×20×20 F.E.
Macro-DensityScale
DEM-Instituto Superior Técnico
MACRO DENSITY FIELD AND MICROSTRUCTURESCantilever beam loaded at the end: Mesh: 12×6×4 F.E. ; Global vol. fraction: 50%
Macro-DensityScale
Macro-DensityScale
Cubic base cellsMesh: 20×20×20 F.E.
DEM-Instituto Superior Técnico
Comentários Finais
DEM-Instituto Superior Técnico
A optimizaoptimizaçção de topologiaão de topologia é uma ferramenta de projecto que atingiu um elevado grau de desenvolvimento demonstrado na sua grande aplicação industrial.
Novos Desenvolvimentos:
Problemas Multidisciplinares
Projecto de materiais celulares/compósitos:Materiais compósitos piezo-elétricos.
Materiais para absorção de energia de impacto.
Controlo de Vibrações
DEM-Instituto Superior Técnico
AGRADECIMENTOS
• Prof. Jose Miranda Guedes (IST)• Prof. Joao Folgado (IST)• Prof. Paulo Fernandes (IST)• Eng. Pedro Coelho (UNL) • Prof. Martin Bendsoe (DTU)