Chất lỏng thực có số Reynolds lớn, hữu hạn
Dòngcó số Reynolds lớn
Ví dụ
� Ôtô:U∞=90km/s; L=5m; ν=1,5.10-5m2s-1
� Máy bay vận chuyển ở chế độ cất cánh:U∞=300km/s; L=9m; ν=1,5.10-5m2s-1
� Tàu ngầm giải trí: U∞=6m/s; L=10m; ν=10-6m2s-1
� Re=8,3.106
� Re=50.106
� Re=60.106
Dòngkhông nén lý tưởng Re→∞
� Giải thích hiện tượng vật lý: Bản chất của lựcnâng, động học xoáy, dòng không dừng, …� Khógiải thích bằng các kết quả
� Cácđịnh lý, nghịch lý� chất lỏng thực
� …
Dòngcó số Reynolds lớn
Thang đơn vị chiều dài vật thể
Ảnh hưởng của quán tính >> ảnh hưởng của nhớt
Kết luận này không phải đúng với mọi trường hợp
2
Re 1nqt n
qt
TU L LT T
L U T
νν∞
∞
= = = >> ⇒ <<
Dòngcó số Reynolds lớn
Dòngcó số Reynolds lớn
Ảnh hưởng của nhớt (gradient vận tốc theo khônggian lớn) � Thangđơn vị L khôngđủ để xácđịnh
A
Đặc điểm của dòng
� Vùng có gradient lớn� sự biến thiên của vận tốctừ vật thể (V=0) đến vô cùng khôngđồng nhất
� Vùng có gradient lớn� ở gần biên dạng vật thểvà các vết phía sau vật thể� Vùngảnh hưởng củanhớt
� Khi dòngở vô cùng là không xoáy (U∞=const), tính xoáy chỉ xuất hiện ở vùng gần vật thể và vết
Dòngcó số Reynolds lớn
Định vị ảnh hưởng nhớt
Cân bằng giữađối lưu cưỡng bức và khuếch tán
Dòngcó số Reynolds lớn
2eT L U δ ν= =
1
Ree LL LU
δ ν= =
Ví dụ: Với ReL=106 � δ=10-3L<<L
Lớp biên
Thang đơn vị
L: đặc trưng cho chiều dài của vật thể (chuyểnđộngđối lưu cưỡng bức)
δ: đặc trưng chođộ dày lớp biên (chuyểnđộng khuếch tán)
δ << L
Dòngcó số Reynolds lớn
Đặc trưngcủa lớp biên
Chiều dày ước lệ δ(x)
� Chiều dài “99%”: U(x,δ(x))=0,99V0
� Giới hạn của lớp biên
� Xácđịnh trực tiếp bằng thực nghiệm� khó(gradient nhỏ)
Đặc trưngcủa lớp biên
Chiều dày dịch chuyển δ*(x) hay δ1(x)
� Dòng không nénđược: ρ=ρe
� Lưu lượng dòng chảy trên lớp biên (dòng lýtưởng)
( ) " "*
0 01 1
e e e e
U Ux dy dy
U U
δρ ρδρ ρ
∞ = − = −
∫ ∫
� Định nghĩa:
Đặc trưngcủa lớp biên
Chiều dày dịch chuyển δ*(x) hay δ1(x)
( )0mq x Udyδ
ρ= ∫
� Bỏ qua chuyển động ngang (x) để có nghiệm “lýtưởng” trên chiều dàyđặc trưngδ của lớp biên
( )0m e e e eQ x U dy Uδ
ρ ρ δ= =∫
Lưu lượng trên một đơn vị dài:
Lưu lượng trên một đơn vị dàivới dòng lý tưởng:
Đặc trưngcủa lớp biên
Chiều dày dịch chuyển δ*(x) hay δ1(x)
� Tổn thất lưu lượng – khối lượng do xuất hiện lớpbiên:
*
01m m e e e e
e e
UQ q U dy U
U
δ ρρ ρ δρ
− = − =
∫
( )*
*m e e eq U U dyδ
δρ δ δ ρ= − = ∫
� δ*: dịch chuyển của đường dòng do xuất hiện củalớp biên� δ*: thông số ‘‘ ảnh hưởng’’ giữa tính dòng lý tưởng và lớp biên
Đặc trưngcủa lớp biên
Chiều dày động lượng θ(x) hay δ2(x)
( ) " "
01
e e e e
U Ux dy
U U
ρ ρθρ ρ
∞ = −
∫
� Sự hãmdòng trên thành� “hụt” động lượng
( )e
2 2
0 0ông luong cua dong luong ông luong cua dong luong
U o van toc U
e e e
Th Th
U x UU dy U dyδ δ
ρ
ρ θ ρ ρ= −∫ ∫
Đặc trưngcủa lớp biên
Chiều dày động lượng θ(x) hay δ2(x)
� θ(x): chiều cao đủ để bảotoàn động lượng trong dònglý tưởng
( )
( ) ( )
2 2
0 0
* 2
e e e
e e e e e
U dy U Udy U x
U U U x
δ δρ ρ ρ θ
ρ δ δ ρ θ
= −
= − −
∫ ∫
� Biến đổi:
( )( ) ( )*
2 2 * 2
0 e e e eU dy U x U dyδ δ
δ θρ ρ δ δ θ ρ
+ = − + = ∫ ∫
Đặc trưngcủa lớp biên
Chiều dày động năng δ3(x)
� Định nghĩa: Thông lượng động năng
( )2
" "
3 201
e e e
U Ux dy
U U
ρδρ
∞ = −
∫
� Nhận xét:
Với y≥δ: Profil của vận tốc trùng với dòng lý tưởng (dòngở vô cùng)
Tích phân đến δ hay y→∞ là tươngđương
Đặc trưngcủa lớp biên
Hệ số hình dạng
� Tỷ số giữa chiều dày dịch chuyển và chiềudày động lượng
*
Hδθ
=
� Đặc tính của ‘‘hình dạng’’ đến profil vận tốc:
Giá trị khác nhau với chế độ khác nhau (tầng, rối)
Bị ảnh hưởng lớn bởi gradient áp suất theo chiềudọc
Đặc trưngcủa lớp biên
Cản cục bộ - Cản thành
� Ứng suất chiếm ưu thế là ứng suất cắt τxy
( )p
0y
Ux
yτ µ
=
∂= ∂
� Tại thành, cản thành cục bộ:
Hệ số cản cục bộ
( ) ( )21 2
pf
e
xC x
U
τρ
=
Đặc trưngcủa lớp biên
Cản nội bộ - Cản thành
� Dòng 2D:
ij
2 0
2 0
U U V U
x y y y
U V V U
y y y y
τ µ µ
∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ≈
∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( )ij ij
2
3i j j iV V Vτ µ δ = ∂ + ∂ − ∇⋅
ur ur
ij
1
0
i j
i jδ
== ≠
Hàm Kronecker:
IV.1. Phương trìnhPrandlt
Giả thiết
� Dòng tầng 2D, các thông số vật lý khôngđổi
� Bỏ qua trọng lực
� Bỏ qua hiệu ứng thành cong:
Bán kính cong >> δ
IV.1. Phương trìnhPrandlt
Cácđại lượng không thứ nguyên� L: Chiều dàiđặc trưng dọc
� δ: Chiều dày lớp biên
� U0: Vận tốc của dịchchuyển đối lưu trong dòngngoài
� T: Thời gianđặc trưng
� V0: Vận tốc ngang V
1
ReL
LL
δ δ= ⇒ <<
1L
δ ε= <<
IV.1. Phương trìnhPrandlt
Phương trình liên tục
Trong lớp biên, sự biến dạng hình học vàđộng học là cùng bậc
* *0 0
* *0 0
U Vu v u v
x y L x yδ∂ ∂ ∂ ∂+ = ⇔ + =∂ ∂ ∂ ∂
0 0 0
0
1U V U L
L Vε
δ δ= ⇒ = = <<
IV.1. Phương trìnhPrandlt
* *
* *0
u v
x y
∂ ∂+ =∂ ∂
* * * *0
0 0
; ; ;U V V x y y
u v x yL V U L Lε δ ε
= = = = = =
Phương trình liên tục
IV.1. Phương trìnhPrandlt
Phương trình bảo toàn động lượng
( )D VF
Dt
ρ=∑
ur
( ) 1VV V grad p V
tν
ρ∂ + ⋅∇ = − + ∆∂
urur ur ur uuuuur ur
IV.1. Phương trìnhPrandlt
� Theo x:2 2
2 2
1u u u p u uu v
t x y x x yν
ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2* * ** *0 0 0 0
* * *
* 2 * 2 *0 0 0
* 2 *2 2 *2
U U V Uu u uu v
T t L x y
p U Up u u
L x L x y
δ
ν νρ δ
∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂
∆ ∂ ∂ ∂= − + + ∂ ∂ ∂
IV.1. Phương trìnhPrandlt
� Theo x:
0 0U V
L δ=
* * ** *
* * *0
* 2 * 2 2 *0
22 * *2 *20
1 1
Re ReL L
L u u uu v
U T t x y
p p u L u
U x x yδρ
∂ ∂ ∂+ +∂ ∂ ∂
∆ ∂ ∂ ∂= − + +∂ ∂ ∂
20U
L
IV.1. Phương trìnhPrandlt
� Theo x:
� Sự chênh áp trong môi trường “tĩnh”:2
0 0p Uρ∆ =
� Cân bằng bậc thời gian giữađối lưu vàkhuếch tán (lớp biên):
1 ReLLδ ≈
IV.1. Phương trìnhPrandlt
� Theo x:
� Mô phỏng “dừng”:
0 1L U T ≤
[ ][ ]
2tan 11 1
ReL
O Khuech theo y L
O Doi luu δ = ⇔ =
[ ][ ]
2tan 11
tan ReL
O Khuech theo x
O Khuech theo yε= = <<
IV.1. Phương trìnhPrandlt
� Theo x:
* * * * 2 ** *
* * * * *20
L u u u p uu v
U T t x y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = − +∂ ∂ ∂ ∂ ∂
IV.1. Phương trìnhPrandlt
� Theo y:2 2
2 2
1v v v p v vu v
t x y y x yν
ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2* * ** *0 0 0 0
* * *
* 2 * 2 *0 0 0
* 2 *2 2 *2
V U V Vv v vu v
T t L x y
p V Vp v v
y L x y
δ
ν νρδ δ
∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂
∆ ∂ ∂ ∂= − + + ∂ ∂ ∂
IV.1. Phương trìnhPrandlt
� Theo y: 0 0U V
L δ=
20U
L* * *
* *0* * *
0 0
* 2 * 2 *0
* *2 *20
1
ReL
V L v v vu v
U U T t x y
VL p v L v
y U x yδ δ
∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂= − + + ∂ ∂ ∂
( )*
2*
0p
Oy
ε∂ = +∂
*
*0
p
y
∂ =∂
IV.1. Phương trìnhPrandlt
Phương trình Prandlt – Không thứ nguyên
* *
* *
* * * * 2 ** *
* * * * *2
*
*
0
0
u v
x y
u u u p uu v
t x y x y
p
y
∂ ∂+ =∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ =
∂
IV.1. Phương trìnhPrandlt
Phương trình Prandlt – có thứ nguyên
2
2
0
1
0
u v
x y
u u u p uu v
t x y x y
p
y
νρ
∂ ∂ + =∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ =∂
IV.1. Phương trìnhPrandlt
Dòngdừng
2
2
00
1
u vux yt
p dp u u dp uu v
x dx x y dx yν
ρ
∂ ∂∂ + == ∂ ∂∂ ⇒∂ ∂ ∂ ∂= + = − +∂ ∂ ∂ ∂
IV.1. Phương trìnhPrandlt
2
2
0
ee
u v
x y
dUu u uu v U
x y dx yν
∂ ∂ + =∂ ∂
∂ ∂ ∂ + = + ∂ ∂ ∂
pe(x): áp suất bên ngoài lớp biên – pe(x) thẩmthấu vào trong lớp biên:
( ) ( ) ( ) 21onst
2e e ep x p x p x U cρ= ⇒ + =
Dòngdừng
IV.1. Phương trìnhPrandlt
� Phương trình dạng parabol:
Thayđổi biến hợp lý (biến Von Mises): Biến đổiphương trình Prandtl thành dạng “Phương trìnhtruyền nhiệt” với x đóng vai trò như thời gian
Elip
Navier-Stokes
Parabol
Prandtl
2 2 2
2 2 2
u u u
x y y
∂ ∂ ∂+ ⇒∂ ∂ ∂
IV.1. Phương trìnhPrandlt
Cácđiều kiện biên� Trên AD:
u = v = 0 (dính)
� Trên AB:
� Trên BC:
u = u(0,y)
� Giả thiết, tính toán hoặc đo lường
Nghiệm của phương trình Euler
( ) ( )*
* * * * *lim , ey
u x y U x→+∞
= * ReL
y yy
Lδ= =
IV.1. Phương trìnhPrandlt
Tổng hợp� Khi ReL lớn: không có sự tách thành; ảnhhưởng của nhớt được định vị tại vùng cóđộdày nhỏ gọi là lớp biên
� Ở phía ngoài:Dòng là nghiệm của phươngtrình Euler
� Trong lớp biên: 1 ReLL V Uδ = =� Trong lớp biên: Dòng là nghiệm củaphương trình Prandtl
IV.1. Phương trìnhPrandlt
Tính toán
� Dòng xung quanhvật thể: Mô hình Euler � Thành làđường dòng
� Lớp biên: Mô hình Prandtl – với pe(x,0) vàUe(x,0) là nghiệm của mô hình Euler
� Dừng lại ở bước 2 hoặc giải tiếp mô hìnhEuler của dòng quanh vật thể với chiều dàydịch chuyển tínhở bước 2 � Lặp
IV.2. Phương trình tíchphânVon Karman
� Phương trình liên tục:
� Phương trìnhđộng lượng:
0 00
u vdy dy
x y
δ δ∂ ∂+ =∂ ∂∫ ∫ ( )
0
uv dy
x
δδ ∂
⇒ = −∂∫
2u u u u u v u uvu v u v u
x y x y x y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = + + + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0 0 0
1 32 4
1ee
dUu uvdy dy U dy dy
x y dx y
δ δ δ δ τρ
∂ ∂ ∂+ = +∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫
Bảo toàn theochiều dày δ
IV.2. Phương trình tíchphânVon Karman
� Phương trình động lượng:
( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0 0 0
1 32 4
1ee
dUu uvdy dy U dy dy
x y dx y
δ δ δ δ τρ
∂ ∂ ∂+ = +∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
( )0 0
2 0
e e
u v
u uU x dy U dy
x x
δ δ
δ δ= −∂ ∂= − = −∂ ∂∫ ∫
( ) ( )0
14 py
δ ττ
ρ ρ= = −
IV.2. Phương trình tíchphânVon Karman
2
0
p ee e
dU u uU U dy
dx x x
δτρ
∂ ∂⇒ = + − ∂ ∂
∫
( )e ee
U u UuU u
x x x
∂ ∂∂ = −∂ ∂ ∂
( )2
0 01p e
e ee
dU uU dy uU u dy
dx U x
δ δτρ
∂⇒ = − + − ∂
∫ ∫
IV.2. Phương trình tíchphânVon Karman
( )2
0 01p e
e ee
dU uU dy uU u dy
dx U x
δ δτρ
∂⇒ = − + − ∂
∫ ∫
( ) ( ) ( )0 0
x xd f dfdy dy f
dx x dx
δ δ δδ∂= +∂∫ ∫
( ) ( )2 2
0 0e e
duU u dy uU u dy
x dx
δ δ∂⇒ − = −
∂∫ ∫
Với:
IV.2. Phương trình tíchphânVon Karman
2
0 01 1p e
e ee e e
dU u d u uU dy U dy
dx U dx U U
δ δτρ
= − + −
∫ ∫
* 2p ee e
dU dU U
dx dx
τδ θ
ρ ⇒ = +
Tìm τp theo định nghĩa chiều dày dịch chuyểnvà chiều dày động lượng
Bài tập lớn
Gợi ý - Bài toán Blasius
� x: Thangđơn vị duy nhất đặc trưng cho bài toán
Lớp biên trên thành mỏngLớp biên trên thànhmỏng có vận tốc ngoàiUe. Tìm cácđặc trưngcủa lớp biên.
� Cân bằngđối lưu/khuếch tán� Đặt: ( )y g xη=
( ) ( ),'
e
u x yf
Uη= g(x): Đặc trưng cho tiến triển đô dày
của lớp biên. Ví du: ( ) ( )10,99 ' 0,99f g xδ −= ⋅
Bài tập lớn
Dùng phương pháp tích phân
� 4 bước của phương pháp tích phân:
• Chọn dạng của profil không thứ nguyên f=u/Ue
• Quyđịnhđiều kiện biên
• Tínhδ*/δ; θ/δ; τpδ/µUe
• Thay thế vào phương trình tích phân và giải với1 biến duy nhất δ
Bài tập lớn – Giải
� Đổi cácđại lượng chưa biết vê dạng hàm dòngΨđê thỏa mãn trực tiếp phương trình liên tục:
� Thực hiện việc đổi hê tọađô (x,y) � (x’, η)
' '
' '
' 1
'
x g
x x x x x g
x
y y x y g
η ηη η
ηη η
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
u vy x
∂Ψ ∂Ψ= =−∂ ∂
( )
'x x
y
g xη
= =
Bài tập lớn – Giải
ChọnΨ(0) = 0
( ) ( ),'
e
u x y dff
U dη
η= = ( )1
'eU fy g
ηη
∂Ψ ∂Ψ⇒ = =
∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( )', ',0 ex x U g x fη η⇒Ψ −Ψ =
( ) ( ) ( )', ex U g x fη η⇒Ψ =
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
', '
', ' ' ' ' '
e
e
u x U f
v x U g x f n g x f
η η
η η η
=⇒
=− −
Trường vận tốc:
Bài tập lớn – Giải
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )', ' ', ' ' ' ' 'e eu x U f v x U g x f n g x fη η η η η = =− −
( )' '' ''
' e e
u g gU f U f
x x g g
η ηη
∂ ∂ ∂= − =− ∂ ∂ ∂
( )1' ''e
e
UuU f f
y g gη∂ ∂= =∂ ∂2
2 2
1'' '''e eU Uu
f fy g g gη
∂ ∂= = ∂ ∂
Các vận tốc:
Cácđạo hàm:
Bài tập lớn – Giải
2
2
u u uu v
x y yν∂ ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂
Phương trình Prandtl:
[ ] 2
2
2
'' '' ' ' ' '' '''
''' '''
''''
''
e ee e e
e e
e
U UgU f U f U g f g f f f
g g g
U g Uff f
g g
U fgg
ff
υη η
ν
ν
⇒ − − − =
⇒− =
⇒ =−
Bài tập lớn – Giải
Phương trình Prandtl:
''''
''eU f
ggffν
=−
Do biến độc lập, phương trình trên chỉ thỏa mãn khi:
'eUgg K const
ν= = '''
''
fK const
ff− = =
( ) ( )20
2 2
e e
K Kg x x const x x
U U
ν ν⇒ = + = −
Bài tập lớn – Giải
Lớp biên vô cùng nho tại x=0 (mép vào) nên x0=0
( ) ( ) ( ),
'e
u x y yf
U g xη η= =
( ) ( )20
2'e
e
U Kgg K const g x x x
U
νν
= = ⇒ = −
K = const � Chọn K=1/2Nghiệm:
( ) ( ) ( )2 ''' '' 0 0 ' 0 0 lim ' 1f f f f f fη
η→+∞
+ ⋅ = = = =
( )Ree x
x xg x
U
ν= =
Pope (2000)
y/g(x)
Nghiệm Blasius
Bài tập lớn – Giải
Tính ổn định nghiệm Blasius
'
'Blasius
Blasius
u u u
v v v
= += +
Phân tíchổn định tuyến tính cổ điển (mạchđộng 2D):
Bỏ qua tiến triển theo x của trường cơ bản
( ) ( )
( ) ( )
'
'
i kx t
i kx t
u u x e
v v x e
ω
ω
−
−
=
=với
k: số bước sóngω: mạch động
Phân tích theo thời gian: ω=ωr+iωi
� Ổn định: ωi < 0� Khôngổn định: ωi > 0
Bài tập lớn – Giải
Tính ổn định nghiệm BlasiusNghiệm của phương trình tuyến tính:
5Re 5 10
302
ecrit
ed
e
U x
U dR
d x U
ν
νν
⋅= = ⋅
⋅= =
= ⋅
� Khi đạt Recrit � Bước sóng khôngổn địnhđầu tiênλcrit=2π/kcrit� Bắt đầu quáđộ sang rối
Prandtl p133
Bài tập lớn – Giải
Cácđặc trưng của lớp biên
( )0,99 4,92
Rex
x
x
δ=
� Các chiều dàyđặc trưng:
( ) ( ) ( )0
'' 0 '' 0e ep
ey
U Uux f f
y g x Uτ µ µ µ
ν=
∂= = = ⋅ ⋅∂
� Ma sát trên thành:
( )* 1,72
Rex
x
x
δ= ( ) 0,664
Rex
x
x
θ=
( ) ( )2
'' 0Re
ep
x
Ux f
ρτ ⋅⇒ = ⋅ ( ) ( ) ( )
2
2 '' 0 0,664
12 Re Rep
fe x x
x fC x
U
τρ
⇒ = = =⋅
Gradient ở thành giảm khi đô dày lớp biên tăng
Bài tập lớn – Giải
* 2p ee e
dU dU U
dx dx
τδ θ
ρ = + Phương trình Karman:
Thay Ue=const vào ta có:
2 2p f
e
Cd
dx U
τθρ
= =
Lực ma sát trên một đơn vị dài trên một mặt củathành mỏng: Giả thiết θ(0)=0
( ) ( )2 2
00
L L
p e eF dx U x U Lτ ρ θ ρ θ= = =∫
Cácđặc trưng của lớp biên
Bài tập lớn – Giải
� Phương pháp tích phân làm xuất hiện 3 đại lượngđộc lập δ*, θ và τp. Các đại lượng này liên quan đến độ dàyδ(x) với giả thiết profil vận tốc:
( )e
u yf
U xδ
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
*
0 0
0 0
0 0
1 1
1 1
e
e e
ep
y y
x u U dy x f d
x u U u U dy x f f d
Uu dfx
y x d
δ δ
δ δ
δ δ η
θ δ η
µτ µδ η= =
= − = −
⇒ = − = − ∂= =
∂
∫ ∫
∫ ∫
Cácđặc trưng của lớp biên
Bài tập lớn – Giải
Thành mỏng – plaque plane:• Đặt: δ*/δ=a; θ/δ=b; τp=c(µUe /δ)
• Nếu δ(0)=0, ta tìm được biến thiên của độ dày lớp biêntheo căn bậc hai của khoảng cách:
2 ee
UdU b c
dx
µδρδ
⋅ = ⋅ 2e p
dU
dx
θρ τ ⇔ =
( ) ( )2 2 20
e e
d c cx x
dx U b b U
δ ν νδ δ δ ⇒ = ⋅ ⇒ − =
( ) ( ) ( )* *2 2 2
Re Re Rex x x
x x xc b a c b a c b aH
x x x b
δ δ θ δθ
⋅= = = = =
Cácđặc trưng của lớp biên
H: Hệ số hình dạng
Bài tập lớn – Giải
Tổng hợp các kết quả - thành mỏng
� Phương trình Von Karman phụ thuộc vàoδ*, θ và τp
� δ chỉ là biến trung gian để tính toán. δ phụ thuộc vào sự lựachọn profil ban đầu. Sự chênh lệchđáng kể củaδ giải thíchtính phức tạp trong việc định nghĩa ranh giới của lớp biên
2,590,330,661,724,92Blasius
2,540,330,691,755,842η-2η3+η4
2,640,330,661,744,80Sin(η π/2)
( )Rex
x
x
δ ( )*
Rex
x
x
δ ( )Rex
x
x
θ *
Hδθ
=( )
2Rep
xe
x
U
τρ
IV.3. Nghiệm tương tự - Falker và Skan
Nghiệm tương tự
� Bài toán lớp biên Blasius:
( )y g xη=( ) ( ),
'e
u x yf
Uη=
Giải tương tự bằng phương pháp tíchphân: Chọn biến tương tự η và chọndạng của profil không thứ nguyênu(x,y)/Ue
� Bài toán Blasius↔dòng qua nêmđối xứng
• Gócở đỉnh nêmβπ=2m/(m+1)
• Ue(x)=k.xm
Bài toán Falker-Skan
Dòng lý tưởng qua nêm– Phânloại
IV.3. Nghiệm tương tự - Falker và Skan
m=0
Bài toán Blasius
0<m<1
Falker-Skan
m=1
Thành đứng
Vận tốc: Ue(x)=k.xm
Dòng lý tưởng qua nêm–Đặc trưng� Hàm thế: F(z)=A.zm+1 (AϵR)
� Hàm dòng:Ψ=Im(F(z))=A.rm+1sin[(m+1)θ]
IV.3. Nghiệm tương tự - Falker và Skan
� Đường dòng:Ψ=0 ↔ r=0 hay (m+1)y=nπ• Trục ngang: n=1 và y=π/(m+1)
• Thành nêm: n=0 và n=2
• Gócở đỉnh nêm: βπ=2π-2π/(m+1)=[2m/(m+1)]π
� Vận tốc: Trên trục 0x với θ=0 và r=x
( ) [ ]Re 1 os mm me e
dFU A m r c U kx
dzθ = = ⋅ + ⋅ ⇒ =
Dòng lý tưởng qua nêm– Nghiệm tương tự
IV.3. Nghiệm tương tự - Falker và Skan
� Giải tương tự bài toán Blasius� Nghiệm tương tự
( )( ) ( ),
me
u x y yf
U x g x
=
( ) ( )
( )
( ) ( )1 2 1
1 1m
e
xg x x
m k m U x
ν ν− ⋅= ⋅ =+ +
• m=0 � Nghiệm Blasius
• m tăng, mϵ[0,1] � lớp biên dày lên của với x hãm: (1-m)/2→0 � dpe/dx<0 (gradient áp suất thuận)
• m =1 � Lớp biên có chiều dày không đổi
Nghiệm Hiemenz – Nghiệm chính xác của phương trìnhNavier-Stokes
kδ ν≅
Tách thành
Chỗ gồ ghề phía trước điểm tách thànhở trạng thái tầng chophép quáđộ đến dòng rối (Cliché H. WWerlé, ONERA)
Lớp biên tầng Lớp biên rối
IV.4. Tách thành - Phương pháp tích phân gần đúng
Vùng tách thành lại của lớp biên rối xung quanh vật cómũi gần như phẳng (Cliché H. WWerlé, ONERA)
Tách thành/Bám thành lại
Tách thành
Thành có góc cạnh khá lớn, lớp biêntách thành tại góc
� Trên thành cong thường nhận thấy:1. Tách thành2. Bất ổn định vùng tách thành - sự hòatrộn của không khí vào vùng bất ổn định3. Sự hòa trộn � Dòng quay trở lại khá lớn � Vùng táchthành có thể khép lại � việc tách thành lại4. Lớp biênở phía sau kháng lại sự tách thành tốt hơn do dòng là rối
Chú ý: Các vùng trên hiếm khi khép kín� dòng 3D
Bám thành/Tách thành lại
� Tách thành phụ thuộc vào:• Cường độ gradient áp suất • Lớp biên• Trạng thái của lớp biên (tầng hay rối). Ở trạng thái rối, lớp biên bám trụ tốt hơn
� Thành cong - khóđiều khiển sự tách thành
Tách thành
� Gradient áp suất làmđảo ngược chiều củađối lưu• Dòng dừng 2D: Điềukiện tách thành là lựcma sát = 0
• Dòng 3D: Điều kiệntách thành rất phức tạp
00
yU y
=∂ ∂ =
Định nghĩa
� Tách thành dẫn đến nhiễu động và thayđổi hoàntoàn dòng ngoàiVí dụ: Trụ tròn – Tách thành tạiRe=1,9.105 tại vùng có gradient ápsuất thuận
Tách thành
� Tách thành làm xoáyđược vận chuyển đến trungtâmcủa dòng mà lúcđầu được coi là không xoáy
� Lớp tách thành bị cắt � Xuất hiện khôngổn địnhdạng Kelvin-Helmoltz (đối lưu tự nhiên)
� Dòng quay lại được hình thành sau vật thể (vậtdày) � Xuất hiện vết khôngổn định (tự nhiên)
Ảnh hưởng của tách thành
Ví dụ: Sự cản của vật dày – Hình cầu
Phân bố áp suất xung quanh vật
Sự sụt lực cản phụthuộc nhiều vào số Recrit
Giá trị của áp suất phíasau được cố định tại vịtrí tách thành
Sự tách thành là nguyênnhân chính của sự cản
Phân bố áp suất cản lớn hơn nhiều so với tổng hợpứng suất nhớt tiếp tuyến dọc theo thành
Tách thành
Hệ số lực cản theo số Re sosánh với chế độ Stokes
Vùng (0): Chế độ Stokes
Vùng (1): Điểm tách thành hơi dịch chuyển. Sự phân bố ápsuất luôn không đổi trong khi chênh áp tỉ lệ với bình phươngvận tốc. Hệ số lực cản gần như là không đổi
Vùng (2): Sự thay đổi chế độ của lớp biên [tầng tại (1), rốitại (2)]. Điểm tách thành bị đẩy
Sự quá độ có thể là tự nhiên hoặc sinh ra do tính gồ ghềnhân tạo
Ví dụ: Sự cản của vật dày – Hình cầu
Tách thành
Gradient áp suất� Vai trò của gradient áp suất:
• dpe/dx<0 hay dUe/dx>0 (thuận): Ảnh hưởng của áp suấtlà ‘‘ điểm tựa’’ của lực quán tính (VD: Mép vào)• dpe/dx>0 hay dUe/dx<0 (nghịch): Lực quán tính phảicân bằng giữa áp suất và nhớt (cùng hướng)
� Có thể xảy ra tách thành nếu cườngđộ củagradient áp suất là đủ lớn hoặc nếu nóđược duy trìđủ lâu
� Tiếp cận ảnh hưởng của gradient áp suất bằngphương pháp tích phân
Phương pháp Polhausen
� Chọn đa thức bậc 4 cho profil vận tốc:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4,
e
u x ya x b x c x d x e x
Uη η η η= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Điều kiện biên:
( ),0 0 0u x a= ⇒ =
( ) ( )2
2, 0 , 0
u ux x
y yδ δ∂ ∂= =
∂ ∂
( ) ( )2
2,0 0 ,0 e eU dUu
v x xy dxν
∂= ⇒ =−∂
( ) ( ), eu x U xδ =
Phương pháp tích phân gần đúng
� Sau khi tính toán – P.Chassing:
� Λ là thông số dạng. Λ=0 trong trường hợp thànhphẳng. Λ>0 nếu gradient áp suất thuận vàΛ<0 nếu ngược lại
( )( ) ( ) ( ) ( ),
e
u x yF x G
U xη η= +Λ
( )( ) ( )( ) ( )
3 4
2 3 416
2
2 2
3 3
e
F
G
x dUx
dx
η η η η
η η η η η
δν
= − +
= − + −
Λ =
Phương pháp tích phân gần đúng
Phương pháp Polhausen
Phương pháp Polhausen
� Bỏ qua ma sát nếuΛ=-12. Với những giá trị nhỏ hơn, lý thuyết của Polhausen dự đoán được sự táchthành của lớp biên.
( )0 0 0e edU dpThuan
dx dxΛ> ⇔ > ⇔ <
( )0 0 0e edU dpNghich
dx dxΛ< ⇔ < ⇔ >
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' 0
' 0 ' 0 0 12' 0
ep
FUF x G x
G
µτδ = +Λ = ⇔Λ =− =−
( ) ( ) ( )3 4 2 3 4162 2 3 3F Gη η η η η η η η η= − + = − + −
Phương pháp tích phân gần đúng
Phương pháp Polhausen
( )( ) ( ) ( ) ( ),
e
u x yF x G
U xη η= +Λ ( ) ( )2
ex dU
xdx
δν
Λ =
F và G F + Λ(x)G
� Phương pháp Polhausen� hiểu ảnh hưởng gradient ápsuất ngoàiđến profil vận tốc (mô hình) trong lớp biên
Phương pháp tích phân gần đúng
Phương pháp Falker-Skan� Rẽ dòng (θ, déviation) và dòng qua khúc quanh (γ , contourmement), θ=γ, với cùng hàm thế F(z)
• Điều kiện biên g(x=0)=0 do lý thuyết lớp biên không đượcnhắc đến
• Rẽ dòng: nghiệm không giải thích được ý nghĩa vật lý do sự hãmdòng phía trước điểm 0 được diễn giải bởi gradient áp suất nghịch (dpe/dx>0) hay tách thành
Phương pháp tích phân gần đúng
Phương pháp Falker-Skan� Dạng của profil không thứ nguyên vận tốc fm:
• ‘‘Thon’’ v ới m>0
• Các họ nghiệm khác tồn tại cũng không giải thích được ý nghĩa vật lý một cách rõ ràng
• Tách thành dự đoán tạiγ=π/(m+1)=198°
• Giảm tốc mạnh nhấtkhông có dòng quay lại tạime=-0,0904 (nhỏ)
Phương pháp tích phân gần đúng
Phương pháp Falker-Skan� Đặc trưng của profil vận tốc
• ‘‘phía trên’’ của lớp biên, u(x,y) tiến tới Ue(x) với giá trị nhỏ hơn
• Tại thành:
ukhi y
yδ∂
⇒ ↓ →∂
2
20
ukhi y
yδ∂
⇒ < →∂
2 2
2 2
0
1 e e ee
y
dp dp dUu u u uu v U
x y dx y y dx dxν µ ρ
ρ =
∂ ∂ ∂ ∂+ =− + ⇒ = =−∂ ∂ ∂ ∂
Phương pháp tích phân gần đúng
Phương pháp Falker-Skan� Đặc trưng của profil vận tốc tại thành:
� Tính lồi của profil � Gradient áp suất thuận (a)
� Điểm uốn tại thành với dpe/dx=0 (b)
� Điểm uốn trên profil với gradient áp suất nghịch(dpe/dx>0) (c) và (d)-tách thành
Phương pháp tích phân gần đúng
Ảnh hưởng của gradient áp suất
� Ảnh hưởng của gradient áp suất đến tínhổn địnhcủa lớp biên:
• Gradient áp suất thuận� lớpbiênổn định
• Gradient áp suất nghịch� điểm uốn trên profil
� Tính khôngổn định với số Recrit nhỏ hơn nhiều
� Dải bước sóng khôngổn định là lớn
( )e
xd
U x
ν ⋅=2 2
e e
e
dp dU
U dx dx
δ δµ ν
Λ=− =
Ảnh hưởng của gradient áp suất
� Các kết luận trênđược giải thích thông qua xoáy
2
2
Doi luu tan
z z z
Khuech
u vx y y
ω ω ων∂ ∂ ∂+ =∂ ∂ ∂
• Tại δ, dòng là không xoáy nênωz(x,δ)=0
• Tại thành:2
2
1 edpu u uu v
x y dx yν
ρ∂ ∂ ∂+ =− +∂ ∂ ∂
2
200
e eze
yy
dp dUuU
y y dx dx
ωµ µ ρ==
∂∂⇒− =− =− =+
∂ ∂
Lớp biên 2D � ωz(x,y):