Download - Metodické pokyny
![Page 1: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/1.jpg)
Číslo šablony: III/2VY_32_INOVACE_P5_3.13
Tematická oblast : Geometrie
Řešení pravoúhlého trojúhelníkaTyp: DUM - výkladový
Předmět: MatematikaRočník: 4. r. (6leté), 2. r. (4leté)
Zpracováno v rámci projektu
EU peníze školámCZ.1.07/1.5.00/34.0296
Zpracovatel:
Mgr. Dagmar MannheimováGymnázium, Třinec, příspěvková organizace
Datum vytvoření: leden 2013
![Page 2: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/2.jpg)
Metodické pokyny
Materiál je určen pro 4. ročník 6letého a 2. ročník 4letého studia. Výklad slouží k odvození vět, které platí pro pravoúhlý trojúhelník.
Inovace spočívá ve využití interaktivního prostředí. Výklad využívá podobnosti trojúhelníků. Před výkladem je třeba zopakovat věty o podobnosti
trojúhelníků. Žák musí mít psací a rýsovací potřeby, barevné tužky.
![Page 3: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/3.jpg)
Klíčová slova:
• odvěsny, přepona• úseky na přeponě• podobnost trojúhelníků• obsah pravoúhelníků
![Page 4: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/4.jpg)
Řešení pravoúhlého trojúhelníka
Eukleidovy a Pythagorova věta
![Page 5: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/5.jpg)
Názvy stran:
AB … přepona trojúhelníka
AC, BC …odvěsny trojúhelníka
Velikosti stran: ǀABǀ = c ǀACǀ = b ǀBCǀ = a
![Page 6: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/6.jpg)
CP … výška na přeponu AP … úsek na přeponě
přilehlý k odvěsně b BP … úsek na přeponě
přilehlý k odvěsně a
v = ǀPVǀ Ca = ǀBPǀ
Cb = ǀAPǀ
![Page 7: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/7.jpg)
APC CPB (uu)
=
=
![Page 8: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/8.jpg)
Eukleidova věta o výšce:
v2 = ca . Cb
V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina výšky k přeponě rovna součinu délek obou úseků na přeponě.
Jinak:Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků na přeponě.
![Page 9: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/9.jpg)
v2 = ca . Cb
![Page 10: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/10.jpg)
ACB CPB ACB
APC
=
=
![Page 11: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/11.jpg)
Eukleidova věta o odvěsně:
a2 = c . Ca b2 = c . Cb
V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky odvěsny rovna součinu délek přepony a přilehlého úseku na přeponě.
Jinak:Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a přilehlého úseku na přeponě.
![Page 12: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/12.jpg)
a2 = c . ca
![Page 13: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/13.jpg)
b2 = c . Cb
![Page 14: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/14.jpg)
Sečteme oba vztahy:
a2 = c . ca
b2 = c . Cb
a2 + b2 = c . ca + c . Cb = c .(ca + Cb ) = c2
a2 + b2 = c2
![Page 15: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/15.jpg)
Pythagorova věta:
a2 + b2 = c2
V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky přepony rovna součtu druhých mocnina délek obou odvěsen.
Jinak: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou
pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami.
![Page 16: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/16.jpg)
a2 + b2 = c2
![Page 17: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/17.jpg)
Věta obrácená k větě Pythagorově:
Platí-li pro délky stran trojúhelníku ABC vztah a2 + b2 = c2 , pak je tento trojúhelník pravoúhlý a c je délka přepony.
![Page 18: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/18.jpg)
Z historie:
![Page 19: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/19.jpg)
Eukleidés též Euklides (asi 325 př. n. l. – 260 př. n. l.) byl řecký matematik a geometr.
Eukleides - Wikipedie. [Online] 14. 12 2012. [Citace: 21. 1 2013.] http://cs.wikipedia.org/wiki.
![Page 20: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/20.jpg)
O Eukleidově životě víme velmi málo. Narodil se v Řecku, většinu života strávil v Egyptě . Vedle základů geometrie se věnoval i teorii čísel, perspektivě, kuželosečkám. Hlavním jeho dílem jsou Základy, kde ve třinácti knihách, jež začínají stanovením deseti základních axiomů. Základy shrnují práci mnoha dřívějších matematiků a filosofů a jsou nejúspěšnější matematickou knihou všech dob, která se užívala víc než 2000 let!
![Page 21: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/21.jpg)
Pythagoras ze Samu (6. století př. n. l.) byl řecký matematik a filosof.
Pythagoras - Wikipedie. [Online] 20. 1 2013. [Citace: 21. 1 2013.] http://cs.wikipedia.org/wiki.
![Page 22: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/22.jpg)
Starší kultury věděly, že trojúhelník, jehož strany jsou v poměru 3:4:5 je pravoúhlý a Číňané to dovedli i geometricky dokázat.
Z díla Pythagora se nic nezachovalo. Věta pojmenována něho, byla známa i v jiných starověkých civilizacích dávno předtím (v Číně, částečně např. v Egyptě).
![Page 23: Metodické pokyny](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081420/56813783550346895d9f19af/html5/thumbnails/23.jpg)
Citace zdroje:
POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia: Planimetrie. 1. vyd. Praha: Jednota českých matematiků a fyziků, 1993, 206 s. ISBN 80-701-5468-3.