Download - Memoire Magister 4
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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE MOULOUD MAMMERI DE TIZI-OUZOU
FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE ET DE LINFORMATIQUE DEPARTEMENT DELECTROTECHNIQUE
MEMOIRE DE MAGISTER
EN ELECTROTECHNIQUE
Option : Entrainements Electriques
Prsent par
Mr. Madjid MEZIANI Ingnieur dtat en lectrotechnique
Thme
Contribution la modlisation analytico-numrique des transformateurs
de puissance
Soutenu publiquement le 18/12/2011 devant le jury dexamen : Mr. Hassane MOHELLEBI Professeur UMMTO Prsident
Mr. Mhemed RACHEK Maitre de Confrences A UMMTO Rapporteur
Mr. Nacer Eddine BENAMROUCHE Professeur UMMTO Examinateur
Mr. Salah HADDAD Professeur UMMTO Examinateur
Mr. Tahar OTMANE CHERIF Maitre de confrences A UMMTO Examinateur
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Remerciements
Jadresse des remerciements tout particuliers mon promoteur Monsieur Mhemed
RACHEK maitre de confrence A luniversit de Tizi-Ouzou, qui a rendu possible ce
travail de mmoire en me faisant profiter de ses vastes connaissances et de son exprience.
Je remercie profondment Monsieur Hassane MOHELLEBI professeur au
dpartement de llectrotechnique de lUMMTO de mavoir fait lhonneur daccepter de
prsider le jury de soutenance.
Cest pour moi un grand honneur de voire juger ce travail par monsieur Nacer
Eddine BENAMROUCHE professeur au dpartement de llectrotechnique de lUMMTO, je
voudrai lui tmoigner aussi, ma profonde gratitude et ma sincre reconnaissance.
Que Monsieur Salah HADDAD professeur au dpartement de llectrotechnique de
lUMMTO, soit vivement remerci pour lintrt quil accord au sujet et pour nous avoir
fait lhonneur daccepter lvaluation de ce travail.
Mes sincres remerciements vont galement Monsieur Tahar OTMANE CHERIF
maitre de confrences A luniversit de Tizi-Ouzou pour avoir accept de participer
dans le jury de soutenance.
Je tiens vivement remerci Monsieur Arezki DICHE enseignant lUMMTO, pour
ses conseils judicieux et sa sympathie.
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Sommaire
Introduction gnrale
Chapitre I : Etat de lart sur la modlisation des transformateurs I.1 Introduction I.2 Principaux lments des transformateurs...
I.3 Principe de fonctionnement
I.4 Diffrents types de transformateurs..
I.4.1 Transformateur colonnes...
I.4.1.1 Les enroulements.....
I.4.1.2 Le circuit magntique..
I.4.1.3 Limitations des transformateurs colonnes....
I.4.2 Transformateur cuirass..............
I.4.2.1 Les enroulements
I.4.2.2 Les crans lectrostatiques.
I.4.2.3 Avantages et inconvnients du transformateur cuirass.....
I.4.3 Transformateur ordinaire de phase...
I.4.4 Transformateur immerg dans l'huile et transformateur sec...
I.4.4.1 Transformateur lhuile.....
I.4.4.2 Transformateur sec.....
I.5 Transformateurs triphass..
I.6 Groupe de couplage................ ...
I.6.1 Couplages normaliss...
I.6.1.1 Couplage toile toile..................
I.6.1.2 Couplage triangle toile
I.6.1.3 Couplage toile zigzag.
I.6-2 Choix du couplage dans les transformateurs usuels.
I.7 Contraintes subies par le transformateur
I.8 Rgimes de fonctionnement...
I.8.1 Rgime de surcharge
I.8.2 Rgime dsquilibr.....
I.8.3 Rgime transitoire
I.9 Protection des transformateurs contre les surtensions
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I.10 Diffrentes approches de modlisation des transformateurs
I.11 Schmas quivalent en tant que modle...
I.11.1 Schma classique
I.11.2 Phnomnes lectromagntiques.
I.11.2.1 Couplage parfait (transformateur idal)
I.11.2.2 Couplage imparfait.................................................
I.11.2.3 Pertes cuivre.
I.11.2.4 Calcul des rsistances ..
I.11.2.5 grandeurs magntiques.
I.11.2.6 Energie magntique emmagasine...
I.11.2.7 Pertes fer...
I.11.3 Phnomnes lectrostatiques
I.11.3.1 Pertes dilectriques...
I.11.3.2 Calcul des capacits..
I.11.3.3 Capacit entre enroulements
I.11.3.4 Capacit entre conducteurs
I.11.3.5 Capacit entre phases...
I.11.3.6 Capacit entre enroulement et cuve..
I.12 Modlisation par les mthodes semi-analytiques.
I.13 Modle dtaill (fin) bas sur le calcul des inductances et des rsistances.
I.13.1 Calcul des selfs inductances..
I.13.2 Calcul des inductances mutuelles..
I.13.3 Calcul des rsistances
I.14 Modlisation par la mthode des lments finis (MEF)
I.15 Conclusion.
Chapitre II : Modlisation lectromagntique des transformateurs II.1 Introduction...
II.2 Equations de Maxwell..
II.3 Lois de comportement des matriaux...
II.4 La loi dOhm.....
II.5 Relations de passage.....
II.6 Equations de Maxwell simplifies.
II.7 Modles lectromagntiques
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II.7.1 Modle magntostatique......
II.7.2 Modle magntodynamique
II.8 Le choix de la variable dtat...
II.9 Formulation en potentiel vecteur magntique...
II.10 Conditions de Jauge
II.11 Formulation bidimensionnelle en potentiel vecteur magntique..
II.11.1 Formulation 2D cartsien.....
II.11.2 Formulation 2D axisymtrique....
II.12 Les conditions aux limites..
II.13 Mthodes de rsolution..
II.13.1 Mthodes numriques..
II.13.1.1 Principe de la mthode des lments finis.....
II.13.2 Mthodes semi-analytiques..
II.13.2.1 Principe de la mthode des circuits coupls...
II.13.2.2 Interaction entre les lments de circuits
II.13.2.3 Alimentation sinusodale.
II.14 Conclusion
Chapitre III : Modlisation des transformateurs par une mthodologie mixte Circuits Electriques Magntiquement Coupls (CEMC) et Elments Finis(EF)
III.1 Introduction. III.2 Modle gomtrique
III.3 Discrtisation des enroulements..
III.4 Formulation en potentiel vecteur.
III.4.1 Equations caractristiques en axisymtrique
III.5 Expression de potentiel vecteur magntique
III.6 Prise en compte du circuit magntique.........................
III.6.1 Modlisation du noyau par des densits superficielles de courant
III.6.2 Expression intgrale caractristique du noyau.
III.7 Calcul analytique des paramtres inductifs du modle...
III.7.1 Inductance mutuelle..
III.7.2 Inductance propre...
III.8 Ncessit du couplage avec la mthode des lments finis..
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III.8.1 Technique mixte circuits coupls-lments finis....
III.8.2 Formulation lments finis des quations lectromagntiques du noyau...
III.8.3 Mthodes de rsolution des systmes algbriques
III.9 Conclusion...
Chapitre IV: Applications est validations IV.1 Introduction...
IV.2 Description du transformateur..
IV.3 Caractristiques du dispositif
IV.4 Dimensions gomtriques du transformateur...
IV.5 Caractristiques physiques
IV.6 Discrtisation de la structure.
IV.7 Calcul des pertes....
IV.7.1 Le processus de calcul des pertes dans les enroulements..
IV.7.2 Pertes en court-circuit..........................................
IV.7.2.1 Calcul des rsistances et selfs....
IV.7.2.2 Calcul des mutuelles et selfs de chaque conducteur
IV.7.2.3 Calcul des inductions et IV.7.3 Calcul des pertes vide...
IV.8 Interprtation des rsultats..
IV.9 Description du second transformateur
IV.10 Caractristiques du dispositif.
IV.11 Dimensions gomtriques du second transformateur.
IV.12 Essai en court-circuit.
IV.13 Essai vide...
IV.14 Conclusion
Conclusion gnrale....
Bibliographie
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Introduction Gnrale
La modlisation des transformateurs de puissance traditionnellement occup
beaucoup dattention durant des annes, pour leur importances dans les systmes de
puissance, le grand intrt port ltude de ces dernier on permit de raliser un
dveloppement remarquable dans le domaine de la conversion, du transport et de la
distribution de lnergie lectrique. La comprhension des phnomnes lectromagntiques
qui rgissent leur fonctionnement et la dtermination des diffrentes pertes et les paramtres
lectriques constitue une tape dterminante pour une meilleure exploitation de ces
dispositifs. Ce qui permet galement de prdire sont comportement aux diffrentes contraintes
pour viter sa dtrioration, et largir sa dure de vie en vue de minimiser son cot
dexploitation. Il existe deux types de modlisations : la modlisation par calcul de champs
dite numrique ou semi-analytique et la modlisation par circuit lectrique quivalent dite
analytique.
Vu la complexit des caractristiques gomtriques et physiques des systmes
lectromagntiques rels, les mthodes disponibles sont alors des mthodes numriques ou
semi-analytiques qui font appel des techniques de discrtisations. Les outils numriques de
modlisation sont ncessaires pour traiter des problmes lis au fonctionnement du
transformateur en exploitation et aussi leur conception, cela offre une modlisation fine des
phnomnes physiques en permettant daccder aux variables locales et aux variations spatio-
temporelles des diffrentes grandeurs. Plusieurs mthodes ont ts dveloppes, chaque
mthode ses avantages et ses inconvnients, ses applications et ses limites. On peut citer la
mthode des volumes finis, mthode des diffrences finis et mthode des lments finis. Le
choix se fait selon plusieurs contraintes physiques et selon la complexit des gomtries des
dispositifs lectrotechniques, les proprits physiques des matriaux, et le cout en capacit
mmoire et en temps de rsolution.
Le but de notre travail est de mettre en uvre une mthode de modlisation, pour
retranscrire le comportement lectromagntique du transformateur de puissance dans les
diffrents tats oprationnels aussi bien en rgime permanent quen rgime transitoire.
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On a opt pour la mthode des Circuits Electriques Magntiquement Coupls (CEMC)
qui se base sur des techniques de discrtisations. Une mthode qui offre beaucoup de
possibilits de modlisations locale des transformateurs et permet aussi lvaluation des
paramtres lectriques dans une large gamme de frquences. Cette dernire trouve ces limites
en regardant la gomtrie rel du transformateur et aux dtails (non linarit, hystrsis,
anisotropie de la permabilit magntique et conductivit lectrique du circuit magntique).
La prsence de circuit magntique complique lapproche semi-analytique, la mthode des
lments finis est une excellente alternative pour des gomtries complexes et caractres
physiques non linaires. Mais elle peut conduire des difficults pour la prise en compte de
grand nombre de conducteurs, et plus particulirement en prsence de conducteurs filaires.
Pour cette raison on adopt pour une mthodologie hybride pour la modlisation
lectromagntique qui sappuie sur des formulations analytiques et numriques bases
respectivement sur la thorie des circuits coupls et la mthode des lments finis.
Ce travail ce dcompose en quatre chapitres :
Le premier chapitre expose les diffrents types de transformateurs de puissances, leur
description et constitution ainsi que les mthodes de modlisation. Nous aborderons le
problme de modlisation en utilisant deux mthodes : la premire est base sur le schma
lectrique quivalent global et la deuxime mthode est une approche locale base sur un
calcul numrique ou bien semi-analytique effectu respectivement par la mthode des
lments finis (EF) et la mthode des circuits lectriques magntiquement coupls (CEMC).
Le deuxime chapitre a pour objet la description des phnomnes lectromagntiques
dans le cadre des hypothses de l'lectrotechnique. Le modle mathmatique, que nous allons
laborer comprendra les quations de Maxwell, les lois de comportement des matriaux et les
conditions aux limites. Puis, nous donnons les formulations, magntostatique et
magntodynamique en introduisant le potentiel vecteur magntique.
Le troisime chapitre est consacr lapplication de la mthode des circuits lectriques
magntiquement coupls sur un transformateur de puissance. La considration de contraintes
de conservation en courant et tension permet l'assemblage du systme matriciel
lectromagntique complet ncessaire au calcul de la distribution de densits de courant et
donc des pertes Joule dans les conducteurs.
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La problmatique dtude ncessite une mthode mixte ou bien un couplage
analytico-numrique, cela nous permettra de tirer profit de deux mthodes, afin de pouvoir
retranscrire efficacement le comportement de cet quipement. Le circuit magntique rel sera
pris en charge travers le modle magntique formul numriquement par la mthode des
lments finis.
Le quatrime chapitre est consacr la validation ainsi que lexploitation des rsultats
obtenus avec le modle dvelopp. Ces derniers seront confronts aux mesures
exprimentales donnes par lentreprise Electro-Industries dAzzazga.
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Chapitre I
tat de lart sur la modlisation des transformateurs
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Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
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I.1 Introduction Les transformateurs sont des machines statiques induction lectromagntique
gnralement utiliss pour modifier les caractristiques de lnergie lectrique alternative afin
de la rendre aussi commodes que possible tous les stades, de la production, du transport
de la distribution et de lutilisation. Cet appareil est dun emploi absolument universel, en
effet il transforme les signaux des sources de tensions et de courants sinusodaux en signaux
de mme frquence mais de valeurs efficaces gnralement diffrentes.
La comprhension des phnomnes lectromagntiques qui rgissent le fonctionnement
des transformateurs et la dtermination de ses pertes, constitue une tape dterminante pour
lexploitation optimale de ces appareils et galement pour leur conception. La modlisation
des transformateurs est une tche trs difficile due l'introduction des caractristiques du
noyau magntique tel que la saturation, lhystrsis et les pertes par courants de Foucault,
aussi bien que de sa topologie et la configuration de ses enroulements. Ainsi, une varit de
mthodes pour sa modlisation et analyse de sont comportement pour diffrents tats
oprationnels ont t dveloppes. On peut distinguer deux approches de modlisation :
Approche locale oriente vers le calcul numrique ou bien semi-analytique. Approche globale oriente vers le calcul analytique bas sur un schma quivalent
lectrique ou magntique (rseau de rluctances).
I.2 Principaux lments des transformateurs D'une manire gnrale, un transformateur est constitu d'un circuit magntique feuillet
et d'un ensemble de bobines spares par des crans lectrostatiques qui entourent des noyaux
magntiques. Chaque bobine formant le milieu conducteur est organise en paquets de spires
et chaque spire tant constitue de brins lmentaires. Les diffrents types
de transformateurs se distinguent suivant la disposition gomtrique de leurs constituants,
de la forme de leur circuit magntique et du type de refroidissement.
I.3 Principe de fonctionnement
En vertu de la loi de Faraday, lorsquun flux dinduction magntique variable circule dans le circuit magntique, il induit dans chacun des enroulements une force lectromotrice
proportionnelle dans le temps aux taux de changement (/) et au nombre de spire que comporte cet enroulement.
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Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
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Lorsque le primaire est aliment par une source alternative, il circule dans le circuit
magntique un flux galement alternatif dont lamplitude dpend du nombre de spires du
primaire et de la tension applique. Ce flux induit dans lenroulement secondaire une tension
proportionnelle au nombre de spires du secondaire. La fermeture du secondaire sur une charge
provoque la circulation du courant secondaire.
Le noyau magntique fournit un chemin de canalisation de flux magntique tel que montr
par la figure (I-1)
I.4 Diffrents types de transformateurs
Il existe diffrents types de transformateurs, mais nous nous intresserons ltude
des transformateurs de puissances de rseaux lectriques car ils prsentent le plus grand
intrt dans le dveloppement de linterconnexion des rseaux.
du point de vue construction, deux principales technologies sont distingues, savoir les
transformateurs colonnes et les transformateurs cuirasss.
I.4.1 Transformateur colonnes
Le transformateur colonnes est constitu de deux enroulements concentriques par phase.
Ces enroulements sont monts sur un noyau ferromagntique qui se referme ses extrmits
via des culasses gnralement de sections circulaires afin d'assurer une bonne canalisation du
flux magntique. Dans cette technologie, ce sont les enroulements qui entourent le circuit
magntique (figure. I.2).
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Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
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I.4.1.1 Les enroulements
Les enroulements sont constitus de spires dont le nombre est diffrent pour les enroulements
de haute et de basse tension respectivement primaire/secondaire. Les spires sont elles mmes
subdivises en plusieurs brins mis en parallle. Les conducteurs formant les enroulements
sont en cuivre ou en aluminium pour les puissances plus importantes. Ces matriaux sont ainsi
prfrs d'autres pour leurs bonnes conductivits thermiques. Selon la gamme de puissance
des transformateurs, les conducteurs peuvent tres sous forme de fils massifs, de section
circulaire ou carre, de type mplat, ou encore lamins en fines feuilles [Lef-2006].
I.4.1.2 Le Circuit magntique
Le noyau est compos dun empilage de tles ferromagntiques cristaux orients, isoles
lectriquement entres elles afin de rduire les pertes par courants de Foucault. Les tles de
circuit magntique de type (Fe-Si), grain orient lamin froid, ont une paisseur qui varie
de 0.15mm 0.3mm [Gue-1994]. Des joints enchevtrs et orthogonaux effectuent la liaison
entre les colonnes et les culasses sur les transformateurs de petite puissance. Ces joints qui
constituent une succession de stratifications jouent un rle important dans la performance du
noyau afin d'obtenir une stabilit mcanique plus leve, et diminuent galement le bruit des
vibrations pendant le fonctionnement du transformateur. [Nak-1982] [Oli-2003]. L'espace
dlimit par deux colonnes successives et les culasses est dnomm "fentre magntique" et
accueille donc les bobinages [Lef-2006].
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Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
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I.4.1.3 Limitations des transformateurs colonnes
Le circuit magntique des transformateurs colonnes est plus grand en volume que celui d'un
type cuirass. Par consquence, le nombre de spires et le rapport volumique entre les
matriaux conducteurs et ferromagntiques sont plus importants. Par ailleurs ce type de
construction qui fait ses preuves pour des puissances relativement faibles (environ jusqu
30 KVA), prsente quelque difficults pour des fortes puissances (plus de 100 KVA) et des
tensions plus leves. Pour des tensions suprieures 220 KV, certains constructeurs ont
abandonn la construction du transformateur colonne au profit de la structure cuirasse.
I.4.2 Transformateur cuirass
Dans cette technologie, le circuit magntique entoure les enroulements forms de bobines
rectangulaires axe horizontal. Le circuit magntique, de section rectangulaire est constitu
de tles poses plat. La cuve assure le calage du circuit magntique et des enroulements.
Ces transformateurs sont utiliss au sein des rseaux de transport et de rpartitions ou les
surtensions transitoires sont frquentes. Dans cet environnement, ils doivent se prmunir des
effets nfastes de ces surtension sur les enroulements. Pour cela des crans sont utiliss afin
de rduire les contraintes lies aux champs lectriques dans les bobinages.
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Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
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I.4.2.1 Les enroulements
Dans ce type de construction la bobine qui est en fait une grande spirale rectangulaire
trs plate (galette), contient un certain nombre de spires, chaque spire tant elle mme
constitue dune ou de plusieurs couches de conducteurs. Les galettes sont alternes entre
la haute et la basse tension afin de diminuer les fuites magntiques et le gradient de tension.
En outre, cette topologie offre l'avantage d'engendrer des forces en opposition entre chaque
galette lors de court-circuit.
I.4.2.2 Les crans lectrostatiques
Des feuilles mtalliques haute rsistivit et de faible paisseur sont employes pour rduire
les contraintes entre les spires. Celles-ci sont insres entre les feuilles isolantes des bobines
haute tension. L'effet capacitif, uniformment distribu de cette manire permet alors de
mieux rpartir la tension sur toute la longueur de la bobine lors d'une onde de choc.
I.4.2.3 Avantages et inconvnients du transformateur cuirass
Le transformateur cuirass possde un circuit magntique plus court, ce qui permet davoir un
courant vide relatif plus faible et ses enroulements sont plus simples car le nombre de spires
est moins grand vu que la section du noyau dans un transformateur cuirass peut tre plus
grande que dans le transformateur colonnes. Mais il prsente aussi certains inconvnients :
ses enroulements sont moins accessibles lagent refroidissant, lexamen et la rparation sont
plus difficiles et demande davantage de matriaux isolants pour la haute tension.
Fig. I.4 : Transformateur triphas type cuirass [Kos-1979] [Lef-2006].
Conducteurs
Galette BT
Galette HT
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Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
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I.4.3 Transformateur ordinaire de phase
Du point de vue de leurs applications, les transformateurs ordinaires de phase (monophas,
biphas, et triphas), groups dans trois ou cinq colonnes se classent en trois catgories :
Les transformateurs pour les grands rseaux et les grandes centrales, leur puissance varie de 100 400 MVA.
Les transformateurs pour rseaux de rpartition qui alimentent les lignes moyenne tension, leur puissance varie de 5 30 MVA.
Les transformateurs de distribution destins lalimentation des utilisateurs de lnergie clectique en basse tension (380 ou 220V), leur puissance varie de 5 1000 KVA.
I.4.4 Transformateur immerg dans l'huile et transformateur sec
Selon le type de refroidissement on distingue : les transformateurs lhuile et les
transformateurs secs.
I.4.4.1 Transformateur lhuile
Pour prvenir laction nfaste de lair sur lisolation des bobines et amliorer
le refroidissement du transformateur, on place le noyau magntique avec les enroulements
dans une cuve remplie dhuile minrale. Malgr ces proprits avantageuses, lhuile de
transformateurs a deux dfauts principaux : elle est inflammable et sa vapeur forme avec lair
dans certaines conditions un mlange explosif.
En plus de son rle de rservoir au liquide dilectrique, la cuve assure le maintien mcanique
du circuit magntique et des enroulements. La construction de la cuve gnralement de forme
ovale est lie au calcul thermique du transformateur. Le refroidissement du transformateur est
dautant plus difficile raliser que la puissance du transformateur est grande. La cuve est
tapisse de shunts magntiques, dont on distingue deux types :
Les shunts magntiques forms dun empilement de tles magntiques semblable au noyau et qui canalise le flux de fuite.
les shunts amagntiques plus conomiques, constitus de plaque de cuivre ou aluminium ayant pour rle de repousser le flux de fuite.
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Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
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I.4.4.2 Transformateur sec
Les transformateurs immergs dans lhuile liquide base minrale ou de silicone sont plus
rpondus pour les plus fortes puissances et les niveaux de tension levs, mais prsentent
des risques de fuite, dincendie et la pollution de lenvironnement. Cela permis de laisser
la place aux transformateurs avec technologie sche, avec des enroulements enrobs
(imprgns). Le systme disolation lectrique est remplac par une rsine (poxyde) et lair.
Des rsines ont t dveloppes pour rsister aux tensions lectriques et aux contraintes
mcaniques, thermiques qui apparaissent dans un transformateur en service. Laspect
favorable est son comportement non inflammable et lger. Ce genre de transformateur
est le plus appropris pour la distribution de l'lectricit en degr lev de sret [Esl-2010].
I.5 Transformateurs triphass
Les transformateurs triphass sont prsents diffrents endroits dans les rseaux lectriques
pour adapter les valeurs efficaces des tensions aux niveaux souhaitables. De faon simplifie,
lnergie lectrique est produite dans les centrales sous des tensions moyennes. Le transport
longue distance exige des hautes tensions afin de limiter les pertes par effet Joule et rduire le
dimensionnement des conducteurs, et lutilisation demande des tensions basses ou moyennes.
Des transformateurs lvateurs sont ncessaires au dpart, et des transformateurs abaisseurs
sont indispensables larrive cot consommateurs.
I.6 Groupe de couplage
Le groupe de couplage dsigne lassociation des couplages des enroulements choisis pour la
haute tension et pour la basse tension. Lenroulement haute tension dun transformateur
triphas de nombre de spires peut tre connect en toile (symbole Y) ou en triangle (symbole D). Lenroulement basse tension avec un nombre de spires peut tre connect en toile (symbole y), en triangle (symbole d) ou en zigzag (symbole z). Les systmes des
tensions du primaire et du secondaire dun transformateur triphas sont en gnral dphass
avec un angle . Comme cette angle est multiple de 6 , on dfinit lindice horaire par : 6
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Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
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I.6.1 Couplages normaliss
Trois couplages sont particulirement utiliss en pratique : ce sont les couplages
normalissYy0,Dy11,Yz11.
I.6.1.1 Couplage toile toile
Pour le couplage toile toile, les tensions aux bornes des bobines du primaire est du
secondaire de la mme colonne sont des tensions simples (Fig. I.5-a). Ce qui permet de
construire le diagramme vectoriel (Fig. I.5-b). le rapport de transformation est / . Le dphasage de basse tension par rapport la haute tension est nul, ce qui donne un indice horaire I=0.
I.6.1.2 Couplage triangle-toile
Pour le couplage triangle-toile la tension aux bornes dune phase du primaire
est une tension compose, alors que la tension aux bornes de la phase correspondante
du secondaire est une tension simple (Fig. I.6-a). Le rapport de transformation
est 3. / . Le dphasage entre les tensions du primaire et le secondaire est de /6, ce qui veut dire lindice horaire est I=11. (Fig. I.6 -b)
Fig. I.5-a: Couplage Yy 0
Fig. I.5-b : Diagramme vectoriel
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Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
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I.6.1.3 Couplage toile zigzag
Pour le couplage toile zigzag (Fig. I.7-a), la tension aux borne dune phase du primaire est
une tension simple alors quune tension aux bornes dune phase du secondaire est la somme
des deux tensions aux bornes de demi bobines ce qui permet de construire le diagramme
vectoriel (Fig. I.7-b). Le rapport de transformation est 3. / . Le dphasage entre les tension est de /6, en choisissant la premire dtermination position positif de langle, ce qui veut dire lindice horaire est I=11.
I.6-2 Choix du couplage dans les transformateurs usuels.
La prsence du conducteur neutre dans une distribution basse tension permet de disposer
des deux types de tension ; la tension simple pour lusage domestique usuel, et le systme
triphas de tensions composes pour lusage artisanal ou industriel. De plus il est intressant,
cot haute tension de disposer dun couplage ayant un neutre et de mettre ce neutre, ainsi que
le circuit magntique et les parties mtalliques (cuve) du transformateur au potentiel de la
terre. Ceci permet de rduire les distances disolement des bobines hautes tensions[May2006].
Fig. I.6-a : Couplage Dy 11
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Fig. I.6-b : Diagramme vectoriel
Fig. I.7-b : Diagramme vectoriel
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Fig. I.7-a : Couplage Yz 11
/2/2
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Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
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Ce quil faut viter cest davoir le mme couplage au primaire et au secondaire dun
transformateur, ceci vite de transmettre intgralement le dsquilibre ventuel des grandeurs
(courants, tensions) dun cot du transformateur lautre. On voit donc apparatre lintrt
dun couplage Yz offrant un neutre des deux cots et des couplages diffrents.
I.7 Contraintes subies par le transformateur
Les transformateurs de puissance sont soumis plusieurs contraintes qui sont les effets
dactions physiques ou chimiques. Les contraintes normales sont celles qui entrainent une
usure et un vieillissement lent du matriel. Les contraintes anormales tant celles qui
provoquent un vieillissement prmatur ou destruction immdiate du matriel.
Les surtensions de foudre, de manuvre ou de court-circuit peuvent provoquer des dfauts
mcaniques comme les vibrations en rgime permanent ou les efforts lectrodynamiques
sur les bobinages.
Les pertes qui se dgagent dans le noyau et les enroulements du transformateur lors de son
fonctionnement se manifestent par de la chaleur qui induit lchauffement des parties
constitutives de lappareil. Son action se traduit par une destruction lente des isolants
ou la diminution de leur rigidit dilectrique pouvant par consquent amplifier le risque
davarie du matriel.
I.8 Rgimes de fonctionnement
Les rgimes de fonctionnement des transformateurs sont les rgimes de surcharge,
les rgimes dsquilibrs et les rgimes transitoires. [Gue-1994]
I.8.1 Rgime de surcharge Les transformateurs dinterconnexion de grandes puissances de rseau lectrique doivent
supporter les variations de la charge du rseau lectrique. Ils sont soumis des surcharges
plus ou moins fortes et sur des dures plus ou moins longues.
Llvation des courants de lignes lors des rgimes de surcharge induisent un accroissement
du flux de fuite, encore amplifi par la saturation du circuit magntique. Les pertes dans les
lments principaux : les bobinages, la cuve et les shunts sont accrues. Ces pertes contribuent
un accroissement de la temprature globale ou locale (points chauds) des lments
constitutifs et de lhuile de refroidissement de lisolation. Ainsi, la raction de dcomposition
des isolants cartonns baigns par lhuile se trouve acclre. ce qui peut diminuer sa dure de
vie et provoquer sa destruction terme.
-
Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
14
I.8.2 Rgime dsquilibr
Le rgime dsquilibr correspond un incident sur lune des trois phases du rseau.
La composante homopolaire du courant dans les bobines devient importante, entrainant
un dsquilibre des ampres-tours du circuit magntique et par consquent une augmentation
des pertes supplmentaires dans le fer et le cuivre provoquant des surchauffes locales
considrables.
I.8.3 Rgime transitoire
Les phnomnes transitoires dans le transformateur sont causs dune part par
les enclenchements dautre part par les courts-circuits. Les enclenchements engendrent
des surtensions, qui peuvent dtriorer lisolation. Les courts- circuits crent des surintensits
qui engendrent des chauffements et des efforts lectrodynamiques importants au niveau des
enroulements.
I.9 Protection des transformateurs contre les surtensions
Depuis la construction des premires lignes haute tension le problme de protection
des transformateurs contre les surtensions prsentaient un intrt exceptionnel.
Ces protections peuvent tres intrieures ou extrieures. Les mesures de protections internes
sont le renfoncement adquat de lisolation des bobines dentre et dextrmit, o peuvent
apparaitre les plus grands gradients de tension. [Kos-1979]
Les mesures de protections extrieures ont pour but dattnuer londe qui arrive dans le
transformateur en diminuant son amplitude et en la rendant moins raide, au moyen dlments
capables dabsorber une grande partie de lnergie transporte par la surtension en lcoulant
vers la terre. On distingue les deux types rpondus : les parafoudres et les clateurs.
I.10 Diffrentes approches de modlisation des transformateurs
La modlisation des transformateurs consiste tablir une structure mathmatique qui dcrit
lensemble des phnomnes lectromagntiques qui sont rgis par les quations de Maxwell.
Celles-ci constituent un systme dquations aux drives partielles qui lient les phnomnes
magntiques aux phnomnes lectriques, la rsolution de ces quations est intimement lie
la gomtrie et aux caractristiques de la structure tudie.
-
Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
15
Selon quon sintresse aux grandeurs locales ou globales diffrentes types de mthodes
peuvent se prsenter :
Mthodes bases sur le calcul numrique (mthode des Elments Finis) qui fait intervenir des grandeurs locales lectromagntiques.
Mthodes dites analytiques bases sur un schma quivalent lectrique ou magntique qui font intervenir des grandeurs globales.
Mthodes dites semi-analytiques bases sur un schma quivalent lectrique fin qui fait intervenir des grandeurs locales. La mthode la plus approprie est
la mthode des Circuits Electriques Magntiquement Coupls.
I.11 Schma lectrique quivalent en tant que modle
Un schma quivalent de transformateur s'articule autour d'lments modlisant les
phnomnes magntiques pour le circuit magntique, et les phnomnes lectromagntique
et lectrostatique pour les bobinages, en intgrant le couplage, les inductances, les rsistances
et les capacits. L'laboration d'un schma quivalent suppose de passer d'un problme
gomtrique dcrit dans un espace deux ou trois dimensions (ce que nous appelons un
modle spatial) seulement quelques paramtres caractristiques: les lments localiss d'un
schma lectrique [Rob-1999].
I.11.1 Schma classique
Un schma quivalent complet dcrit bien le fonctionnement du transformateur quon peut
prsenter comme suit :
Fig. I.8 : Schma quivalent dun transformateur rel [Lef-2006]
-
Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
16
En dsignant par , , , les rsistances et inductances de fuites des enroulements primaire de spires et du secondaire de spires ; rsistance du circuit magntique et est la ractance de magntisation du circuit magntique correspondant ce flux., et sont des capacits parasites qui apparaissent en hautes frquences. Le transformateur est aliment sous une tensionvariable, dlivrant une tension et travers par les courants au primaire et au secondaire.
I.11.2 Phnomnes lectromagntiques
Il existe un champ magntique dans le bobinage d aux fuites de champ magntique.
Ces lments se traduisent, en plus des rsistances, par deux circuits prenant en compte ces
fuites inductances et .
Dans les enroulements, les phnomnes magntiques peuvent tre rsums par un coefficient
d'inductance liant le flux au courant qui lui donne naissance.
I. 1 I. 2
est le flux commun toutes les spires. Lorsque les frquences des courants lis la charge augmentent, le trajet des lignes de fuite
est modifi et diminue par la mme occasion les valeurs de inductances
Sachant quune tension variable, par l'intermdiaire du flux, induit une force lectromotrice
non seulement dans le conducteur qui porte ce courant mais galement dans tout conducteur
plac proximit. Ces forces sont donnes comme suit:
I. 3 I. 4
Un transformateur rel est fondamentalement caractris par le systme dquations
ci-dessous:
I. 5
I. 6
I. 7
-
Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
17
La rluctance est l'analogue magntique de la notion de rsistance. Elle vaut classiquement
pour un tube de flux de longueur et de section constante:
I. 8
I.11.2.1 Couplage parfait (transformateur idal)
La fonction premire du transformateur est d'assurer un couplage entre ses deux
enroulements, couplage qui trouve son origine dans l'existence d'un flux commun ceux-ci.
Le couplage est parfait lorsque la totalit du flux est commun aux deux enroulements. Le
transformateur idal nglige les pertes cuivre, aucune hystrsis et les pertes de courant de
Foucault dans les enroulements, et assume le couplage idal [Dix-2004].
Les courants et tensions sont alors lis par le rapport de transformation, not et dfini par:
I. 9
I.11.2.2 Couplage imparfait
En pratique, il est impossible de coupler parfaitement deux enroulements: du fait que dans les
dispositifs rels il existe toujours un flux de fuite qui rduit le flux commun. L'importance
de cette rduction est caractrise par le coefficient de couplage dont la valeur dans ce cas est
infrieure l'unit.
I. 10
I.11.2.3 Pertes cuivre
Un schma quivalent doit galement modliser les effets dissipatifs dans les enroulements,
savoir les pertes cuivre, qui sont les pertes par effet Joule dans les enroulements,
elles sexpriment par la formule suivante :
, I. 11
-
Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
18
I.11.2.4 Calcul des rsistances (grandeurs lectriques)
La rsistance de chaque enroulement est en fonction de la longueur de fil , de sa surface et de sa rsistivit. Sa relation gnrale est donne par :
. I. 12
Pour obtenir la rsistivit lectrique du matriau, comme on ne connat pas la temprature du cuivre ou laluminium a priori, lutilisateur doit lestimer en fonction
de la norme de lenroulement.
1 1 I. 13 : Conductivit lectrique du milieu .
: est la rsistivit lectrique du matriau 0C 1.72 10pourlecuivre
2.69 10pourlaluminium .
: est le coefficient de temprature du matriau soit 3.93 10pourlecuivre
4.03 10pourlaluminium
La dpendance frquentielle des pertes dans le conducteur de lenroulement est lie
aux courants de Foucault. Ces derniers sont dus la variation dans le temps du champ
magntique. En effet les courants de Foucault engendrent une augmentation des pertes
et une rduction du flux magntique total. Ces pertes peuvent se dcomposer suivant deux
origines : les pertes propres dues leffet de peau par le biais du champ magntique cr par
le conducteur sur lui-mme et celles dues aux effets de proximit par le biais dun champ cre
par les autres conducteurs. Leffet de peau et de proximit sont la source de pertes Joule
additionnelles. Les pertes augmentent alors la temprature des enroulements et par consquent
leurs rsistances.
I.11.2.5 grandeurs magntiques
Ceci est schmatis par une ractance en parallle aux bornes du primaire du transformateur. La ractance est lie la rluctance quivalente de circuit magntique par la
relation suivante :
. . 1I. 14
2I. 15
-
Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
19
I.11.2.6 Energie magntique emmagasine
Lnergie stocke dans linductance magntisante a pour expression :
12 12 .
.
I. 16
Le thorme dampre appliqu au circuit magntique permet dcrire :
I. 17
Ce qui nous conduit lexpression :
2I. 18
est la longueur du circuit magntique, sa section et la permabilit magntique absolue du matriau le constituant, est linduction magntique. Lnergie stocke dans le circuit magntique est inversement proportionnelle la permabilit
magntique du matriau constituant le circuit magntique. Si on veut limiter cette nergie
on a intrt choisir un matriau de permabilit magntique leve.
I.11.2.7 Pertes fer
Les pertes fer sont souvent modlises par une simple rsistance en parallle sur
l'inductance de magntisation. Elles rsultent de la variation du flux dans le circuit
magntique et se composent des pertes par courant de Foucault ( et les pertes par hystrsis ( . Pour des faibles frquences les pertes fer sont dfinies par la formule semi-empirique
suivante : [Sho-2004]
I. 19 Dans celle-ci, les coefficients dpendent des particularits de fabrication de la tle mais galement de la frquence et de la valeur de l'induction. Les coefficients reprsentent respectivement le volume du noyau et l'paisseur des tles ferromagntiques,
tandis que est coefficient de Steinmetz (1.7 2). A hautes frquences, quand l'paisseur de peau devient trs infrieure l'paisseur des tles, les pertes par courant de Foucault sont alors proportionnelles la frquence [Lef-2006].
-
Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
20
Dans les matriaux ferromagntiques feuillets les pertes fer sont donnes par la formule :
2
.
I. 20
la rsistivit du matriau, permabilit relative et permabilit du vide ( 4. 10 ).
Pourleshautesfrquences 1.4; Pourlesbassesfrquences 1.4[Fre-2009].
I.11.3 Phnomnes lectrostatiques
Dans le transformateur il ya diffrentes capacits distribues le long des enroulements ; entre
conducteurs ; entre enroulement haute et basse tension ; entre bobinages et cran ou masse
mcanique. Ces lments sont la consquence du champ lectrostatique dont leffet est
beaucoup accentu en haute frquence.
I.11.3.1 Pertes dilectriques
Les pertes dilectriques dues des courants de dplacement dans les isolants sont pour
la plupart du temps ngligeables par rapport aux autres pertes. Le facteur
de dissipationestdelordre1010. Ces pertes sont importantes lorsque les lments actifs interviennent, car leur isolation contient une teneur dhumidit leve
[Oli-2003], et peuvent tres modlises par un rseau de rsistances et de condensateurs en
cascade et en parallle [Ahm-92], leur expression est de la forme suivante :
. . . I. 21
: est la tension en volt. C : est la capacit (F). : est la pulsation (rad/s).
I.11.3.2 Calcul des capacits (grandeurs lectrostatiques)
Le calcul des ces capacits dpend de la gomtrie et des caractristiques lectriques des
spires des enroulements (Fig. I.12). [Ven-2009].
Certaines de ces capacits sont calcules avec des formules gomtriques simplifies et
dautres sont calcules avec des formulations semi-empiriques.
-
Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
21
I.11.3.3 Capacit entre enroulements
Les enroulements n'tant rien d'autre que des conducteurs proches ports des potentiels
diffrents, ils introduisent des effets capacitifs dont les principales manifestations sont
des rsonances avec les inductances du transformateur.
En considrant une configuration cylindrique la capacit entre une spire de lenroulement
haute tension et lenroulement basse tension est calcule au moyen : [Ven-2009]
2 I. 22
: Capacit entre enroulement de BT et HT : Rayon de lenroulement BT : Rayon de lenroulement HT : Permittivit relative du milieu considr : Permittivit du vide ( 10 36 )
I.11.3.4 Capacit entre conducteur
La capacit entre conducteurs dune mme spire ou bien entre conducteurs de spires
diffrentes est approche par lquation suivante :[Ven-2009]
I. 23
Enroulement HT
Enroulement BT
Noyau
Fig. I 8 : Reprsentation de leffet lectrostatique par diffrentes capacits [Ven-2009]
-
Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
22
I.11.3.5 Capacit entre phases
La formule suivante est applique pour capacits entre de jambes adjacentes.
1
I. 24
Avec
b : la distance entre deux enroulements adjacent (centre-centre), est le diamtre de lenroulement.
I.11.3.6 Capacit entre enroulement et cuve
La capacit entre lenroulement et la cuve peut tre calcul partir de lquationI. 24, avec un facteur rduit de 0.25 pour une configuration cylindrique [Bje-2005] :
0.25.
1
I. 25
D est la largeur interne de la cuve. . La capacit entre lextrmit de la phase et la cuve peut tre approche par [Bje-2005] :
Cela pour un facteur rduit de 0.75 (si la cuve nest pas compltement circulaire).
0.75.
I. 26
Fig. I 10 : Dimension entre deux enroulements adjacents et entre lenroulement
et la cuve [Bje-2005]
-
Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
23
I.12 Modlisation par la mthode semi-analytique
La mthode semi-analytique est base sur des techniques de discrtisation numriques en
petits lments, sur lesquelles on applique des formules analytiques. Cette mthode nous
permet davoir un modle de schma lectrique fin et dtaill et le calcul des ces paramtres
est plus prcis. Parmi ces mthodes on peut citer la mthode des circuits lectriques
magntiquement coupls. Elle est dun emploi restreint aux milieux linaires, et dispositif
avec gomtrie simple et homogne [Bje-2005].
I.13 Modle dtaill (fin) bas sur le calcul des inductances et les rsistances
La mthode est base sur un rseau dlments compos des selfs et des inductances
mutuelles. Quel que soit le type de reprsentation, les lments sont calculs en fonction des
caractristiques gomtriques du bobinage ainsi que des caractristiques gomtriques du
noyau magntique. Lobjectif de cette mthode cest dtablir un modle dun circuit
lectrique quivalent dtaill et fin des enroulements illustr sur (Fig. I.11). [Ahm-1992]
[Bje-2005] [Ras-2008]
Fig. I.11 : Modle dun circuit lectrique quivalent
de lenroulement primaire [Bje-2005]
,
-
Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
24
I.13.1 Calcul des selfs inductances
Pour le calcul de la self-inductance d'une spire de section rectangulaire on peut utiliser
une formule approximative base sur la gomtrie des enroulements donne comme suit:
ln 8 2 I. 27 : rayon moyen de la spire : rayon gomtrique moyen de la spire donn par Grover : [Rah-2003] [Bje-2005] :
ln 23
23
12 1
12 1
2512I. 28
Les paramtres , et sont respectivement le rayon moyen, la hauteur et la largeur de la spire.
I.13.2 Calcul des inductances mutuelles
Une formule exacte pour la mutuelle inductance entre llment et dsign par est donne par Maxwell en utilisant les intgrales elliptiques: [Shi-2004] [Bje-2005]
. 2 2
I. 29
4 I. 30 et rayons de llment et ; integrales lyptiques de 1er et 2eme ordre.
Fig. I.13 : Mutuelle inductance entre deux lments filamentaires circulaires [Shi-2004]
Fig. I.12 : Dimension dune spire de section rectangulaire
-
Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs
25
I.13.3 Calcul des rsistances
La rsistance dune spire lmentaire est calcule au moyen :
I. 31 :rsistivit de llment i ; et sont respectivement la longueur et la section de llment.
I.14 Modlisation par la mthode des lments finis (MEF)
La mthode des lments finis est une mthode incontournable lorsque l'on traite
la modlisation des milieux continus. Son domaine d'application trs tendu fait probablement
d'elle le premier outil de conception. Ainsi, applique au domaine de l'lectromagntisme, elle
permet d'tudier des problmes aux formes complexes, avec des matriaux linaires ou non,
des couplages circuits, du mouvementetc. Du fait de sa prise en compte des phnomnes au
niveau local, sans injection de connaissance a priori, elle est la mthode utiliser pour
comprendre finement les phnomnes physiques en jeu dans un dispositif. Lobstacle souvent
rencontr par cette mthode dans beaucoup dapplications est la prise en compte des
conditions aux limites existant linfini : lutilisation dun maillage pour approcher le
problme rel demande un nombre de nuds important et prjudiciable au temps de calcul.
De plus cette mthode trouve ses limites lorsque le domaine dtude prsente de singularits.
I.15 Conclusion
Ce premier chapitre nous a permis de prsenter les principaux types de transformateurs,
leurs rgimes de fonctionnement. Du point de vue modlisation, diffrentes mthodes on ts
dveloppes entre autres le schma lectrique quivalent. Ce modle permet de reproduire
certains comportements lectromagntiques du transformateur. Mais masque en ralit des
phnomnes plus complexes et comme tout modle souffre d'hypothses simplificatrices. Ces
hypothses conduisent cependant des paramtres de reprsentation trop idaliss pour les
applications industrielles actuelle. Les difficults de modlisation ncessitent le recours aux
mthodes numriques ou semi-analytique de discrtisation en petits lments de circuit telles
que la mthode des lments finis, et la mthode des circuits coupls. Ces modles sont les
plus rpandus et utiliss, l'heure actuelle, pour modliser un transformateur. Quel que soit le
type de reprsentation, les lments sont calculs en fonction des caractristiques
gomtriques et dilectriques du bobinage ainsi que des caractristiques gomtriques du
noyau magntique.
Le prochain chapitre sera consacr la modlisation lectromagntique des transformateurs.
-
Chapitre II
Modlisation lectromagntique des transformateurs
-
Chapitre II Modlisation lectromagntique des transformateurs
26
II.1 Introduction
Nous prsentons dans ce deuxime chapitre, les bases mathmatiques des quations lectromagntiques pour la modlisation dun problme lectrotechnique, travers le rappel des quations de Maxwell, ainsi que les diffrentes formulations magntostatiques et magntodynamiques qui en rsultent. Ces formulations conduisent des quations aux drivs partielles auxquelles il faut associer des conditions aux limites et des conditions dinterfaces. La rsolution analytique de telles quations ncessite gnralement des hypothses simplificatrices fortes, et ne rend donc pas compte de la ralit des phnomnes physiques. Dans le souci de prendre en considration la complexit des structures des systmes lectromagntiques (non linarit, phnomnes coupls, gomtrie 3D), on a recours soit aux mthodes couples analytico-numrique soit purement numriques.
II.2 Equations de Maxwell
La rpartition spatiale et temporelle des champs magntique et lectrique est donne par les quations de Maxwell: [Dha-2005] [Ped-2003] [Hen-2004]
. . . . II. 1" #$% $&' ()(& * '. & ). . II. 2" ,-&- . ) 0 ). . 0 II. 3" 123$ $&4 56 7 ((& * 4 85 7 ((& 9 ..6 II. 4" Avec :
4 : Champ magntique ;A/2> ) : Induction magntique ;T> ' : Champ lectrique ;V/2> : Induction lectrique ;A/2B> 56 : Densit de courant de conduction ;1/2B> : Densit de charge volumique ;A/2C> & : Le temps ;> : charge contenue dans le volume V ;A> : Elment de surface ;2B> : Elment de volume ;2C> : Elment de longueur ;2> Ces quations sont associes aux relations constitutives des matriaux qui sont en gnral, anisotropes ou non linaires
-
Chapitre II Modlisation lectromagntique des transformateurs
27
II.3 Lois de comportement des matriaux
Une relation constitutive dcrit localement le comportement des grandeurs lectromagntiques dans un matriau donn. Elles sont donnes dans le cas le plus gnral
Dans un milieu dilectrique
DEFEG H' 2 -$ &$3 II. 5" KH, %, M"K ' 2 -$ -&$3 II. 6" HO'P' 2 -- -$ &$3 II. 7"
R
Dans un milieu magntique DEFEG ) S4 7 )T -$ &$3 II. 8" ) KS , %, M"K 4 7 )T -$ -&$3 II. 9" ) SO4P4 7 )T -- -$ &$3 II. 10"
R
H : Permitivit lectrique absolue ;F/2> S : Permabilit magntique absolue ;4/2> )T : induction rmanente ;X>
II.4 La loi dOhm
Cest la loi exprimant, dans un milieu conducteur la densit de courant 5 en fonction du champ lectrique ' , la loi sapplique tout milieu prsentant une conductivit lectrique.
Y5, Z' 2 ,-,&$ II. 11" 5, Z' 7 5 2 ,-,&$ , $, II. 12"R 5 : Densit de courant source ;1/2B>
-
Chapitre II Modlisation lectromagntique des transformateurs
28
II.5 Relations de passage
Les champs lectriques et magntiques des diffrents milieux sont lis linterface par des relations de continuit. Soient deux milieux [\ et [B, et soit -\B le vecteur normal la surface dirig du milieu [\ vers le milieu [B. (Figure II.1)
La discontinuit du milieu de la composante tangentielle du champ magntique 4 due aux densits de courants surfaciques ] . O4\ 4BP ^ - ] II. 13" La conservation de la composante tangentielle du champ lectrique ' O'\ 'BP ^ - 0 II. 14" La discontinuit de la composante du dplacement lectrique due aux charges surfaciques . O\ BP. - II. 15" La conservation de la composante normale de linduction magntique ) O)\ )BP. - 0 II. 16"
Fig. II-1 : Interface entre deux milieux [Doi-2007]
La frontire entre [\ et [B
[\ [B -\B
Z\ H\ HB ZB SB S\
-
Chapitre II Modlisation lectromagntique des transformateurs
29
II.6 Equations de Maxwell simplifies
Les hypothses simplificatrices gnralement poses dans le traitement des quations de modlisations des problmes Electrotechniques sont :
Dans le domaine de llectrotechnique, les frquences de travail sont infrieures aux radios frquences qui sont de lordre 1012 Hz, ce qui nous permet de ngliger les courants
de dplacement 5_ ( (& devant les courants de conductions 5, dans lquation II. 4", le systme est quasi-stationnaire.
Les charges despace dans les conducteurs sont ngliges dans lquation II. 1", ainsi pour les conducteurs le rapport (H/Z) est trs faible, de lordre de 10a\ba\. ce qui est ngligeable devant celui quon considre pour les frquences infrieures 10\B Hz.
En considrant les hypothses simplificatrices prcdentes, les quations de Maxwell scrivent sous la forme suivante : 0 II. 17" $&' () (& II. 18" ) 0 II. 19" $&4 Z' 7 5 II. 20"
II.7 Modles lectromagntiques
Sur la base des quations de Maxwell simplifies II. 17 20" relatives au domaine de llectrotechnique nous dfinirons les modles magntostatique et magntodynamique.
II.7.1 Modle magntostatique
Dans le cas de la magntostatique, on supose que le champ magntique est produit
par des sources de courant indpendantes du temps. Le terme (()/(&) est nul et les champs lectrique ' et magntique ) sont dcoupls. Le systme d'quations rgissant les phnomnnes magntostatiques s'crit :
) 0 II. 21" $&4 5 II. 22" A ce systme, on peut ajouter la loi de comportement des matriaux magntiques II. 8", ainsi que les conditions aux limites.
-
Chapitre II Modlisation lectromagntique des transformateurs
30
II.7.2 Modle magntodynamique
Dans le cas magntodynamique, les sources de tension ou de courant varient en fonction du temps, cela veut dire que les courants induits rsultants feront le couplage du champ lectrique et magntique. Le systme dquations rgissant les phnomnes magntodynamiques scrit :
$&' ()(& II. 23" $&4 Z' 7 5 II. 24" Il faut ajouter ce systme les lois de comportement des matriaux lectriquesII. 5) et magntiquesII. 8" et les conditions aux limites.
II.8 Choix de la variable dtat
Pour traiter les quations magntostatique et magntodynamique diffrentes formulations mathmatiques du problme peuvent tres obtenues, soit en utilisant les champs magntiques ou lectriques comme variables principales, ou en introduisant de nouvelles variables que sont les potentiels lectriques ou magntiques. A chacune de ces grandeurs magntiques et lectriques correspond une quation aux drives partielles.
Les formulations en champs prsentent un inconvnient majeur, qui est la discontinuit aux interfaces et lutilisation dlments darrtes dans la discrtisation. De plus les vecteurs ont gnralement trois composantes, augmentant par-l le nombre dinconnues, ce qui entraine un temps de rsolution plus important. Pour remdier ces inconvnients on fait appel aux potentiels vecteur/scalaire lectriques ou magntiques.
Il existe plusieurs types de potentiels, parmi les quels, on peut citer le potentiel vecteur magntique et le potentiel scalaire lectrique. La rsolution des quations en potentiel vecteur magntique, savre tre particulirement intressante dans des configurations axisymtriques, car seule la composante azimutale est non nulle. La condition de Jauge de continuit qui assure lunicit du potentiel vecteur magntique A est naturellement vrifie [Lef-2005] [Doi-2007].
-
Chapitre II Modlisation lectromagntique des transformateurs
31
II.9 Formulation en potentiel vecteur magntique
Cette formulation est base sur lexistence dun potentiel vecteur magntique A issu de lquationII. 3", tel que : ) $&1 II. 25" La combinaison des quations II. 2" et II. 25" conduit :
c ^ 8' 7 (1(& 9 0 II. 26"
La relation II. 26" nous permet de dduire quil existe un potentiel lectrique scalaire V tel que :
' (1(& d$ " II. 27"
partir des quations II. 4", II. 25" et II. 27" nous pouvons crire :
$& g1S $&1h DEEFEEGZ 8(1(& 9 Z. d$ i&- 2d-&%-2i II. 28"
Z 8(1(& 9 i&- 2d-&%-2i - $, II. 29"Z. d$ i&- 2d-&&&i , $, II. 30" 0 i&- 2d-&&&i - $, II. 31"R
Lquation II. 28" reprsente la formulation magntodynamique en terme de 1 tenant compte du terme source.
II.10 Conditions de Jauge
Les champs lectromagntiques dfinis par lensemble des quations de Maxwell ne sont pas uniques. En effet les champs divergence sont dfinis un rotationnel prs et les champs rotationnel sont dfinis un gradient prs. Il convient donc dimposer une condition supplmentaire afin dassurer lunicit de la solution issue de la rsolution du systme
dquations II. 28"-II. 31" . Cette condition, appele condition de Jauge est gnralement exprime sous deux formes [Doi-2007].
-
Chapitre II Modlisation lectromagntique des transformateurs
32
1" 0 jd A2k II. 32" 1" 7 l ((& 0 jd $-&M II. 33"
II.11 Formulation bidimensionnelle en potentiel vecteur magntique
Le terme gauche de lquation II. 28" scrit : Y$&Om $&1P nOm d$ 1P 7 d$Om n 1P m 1S II. 34" R En adoptant la condition de Jauge de Coulomb donne parII. 32", lquation II. 34" devient : $&Om $&1P nOm d$ 1P Z 8(1(& 9 7 5 II. 35" Si on considre que la source est harmonique sinusodale lquation II. 35" scrit : nOm d$ 1P 7 Zjo1 5 II. 36" II.11.1 Formulation 2D cartsien
Dans le cas dun problme 2D cartsien , %" , le potentiel vecteur magntique 1 et la densit de courant 5 nayant quune seule composante suivant oz. Ces derniers sont de la forme : 1 0,0, 1p" et 5 0,0, 5p".
En coordonnes cartsiens nous avons :
$&1 qq r s(( ((% ((M0 0 1pqq II. 37"
, r, s : Vecteurs unitaires.
$&1 t(1p"(% u 7 t (1p"( u r II. 38" $&Om $&1P t (( gm. (1p( h ((M gm. (1p"(% hu p II. 39"
-
Chapitre II Modlisation lectromagntique des transformateurs
33
Lquation II. 36" devient : (( gm. (1p( h ((% gm. (1p(% h Z. j. o. 1p 7 5p II. 40"
II.11.2 Formulation 2D axisymtrique
Dans le cas dun problme 2D axisymtrique$, M", le potentiel vecteur magntique 1 et la densit de courant 5 nayant quune seule composante azimutale. 1 0, 1v, 0" et 5 0, 5v, 0". En coordonnes cylindriques axisymtriques nous avons :
$&1 1$ . qT $v p(($ ((w ((M0 $1v 0 q II. 41"
$&Om $&1P t (($ gm$ . ($1v"($ h ((M gm. (1v"(M hu v II. 42" Lquation II. 36" devient :
((M gm. (1v"(M h (($ gm$ . ($1v"($ h Z. j. o. 1v 7 5v II. 43" II.12 Les conditions aux limites
Les valeurs dun champ 1 la frontire du domaine satisfait principalement deux relations simples. Le champ peut tre soit de valeur connue, soit normal la surface, ce qui de traduit par :
R1|y 1z ,-&- $,{& II. 44" R(1(-|y 1z ,-&- }2-- II. 45" Les conditions de Dirichlet et de Neumann sont dites homognes si les valeurs imposes 1z sont nulles. Elles sont dites non homognes dans le cas contraire.
-
Chapitre II Modlisation lectromagntique des transformateurs
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II.13 Mthodes de rsolution
II.13.1 Mthodes numriques
Lutilisation des mthodes numriques de discrtisation pour la rsolution des quations mathmatiques tablies, consiste ramener la rsolution des quations aux drives partielles dans le domaine dtude, compte tenu des conditions aux limites, celle dun systme dquations algbriques dont la solution donne les valeurs et la distribution des grandeurs recherches. Parmi ces mthodes on trouve la mthode aux diffrences finies, la mthode des volumes finis et la mthode des lments finis. La mthode des lments finis est sans doute la plus utilise car elle est mieux adapte pour traiter les gomtries complexes et les milieux non linaires.
II.13.1.1 Principe de la mthode des lments finis
Dans les formulations prsentes, il sagit de rsoudre des quations aux drives partielles
sur le domaine , auxquelles sont associes des conditions aux limites sur la frontire . La mthode des lments finis ne sapplique pas directement pour la rsolution des quations aux drives partielles, mais une formulation intgrale du problme, en utilisant lune des deux approches suivantes :
La mthode variationnelle exige la connaissance au pralable de la fonctionnelle dnergie du systme tudi, elle sexprime par :
#1" . . II. 46" 6 : Lagrangien construit partir de la diffrence entre lnergie cintique et lnergie potentielle du systme tudier.
La mthode des rsidus pondrs ou mthode projective qui consiste minimiser le rsidu induit par lapproximation de la fonction inconnue. Cest une mthode plus gnrale, son application ne ncessite pas la connaissance de la fonctionnelle dnergie du systme, elle traite directement lquation aux drives partielles quon veut rsoudre. Lquation rsoudre tant :
(#1"(1 0 (.1"(1\ (.1"(1B (.1"(1 0 II. 47" -: Nombre de nuds du domaine dtude 1 : Inconnu au nud du domaine.
-
Chapitre II Modlisation lectromagntique des transformateurs
35
Linconnue A du problme est approxime sur les lments de maillage par la fonction
dinterpolation r telle que : 1r r . 1r.r II. 48" r : dpend des coordonnes des nuds correspondant chaque lment de maillage. II.13.2 Mthodes semi-analytiques
Parmi les mthodes intgrales dites semi-analytiques, on distingue la mthode des circuits lectriques magntiquement coupls (CEMC), et la mthode des intgrales de frontires. Contrairement aux modles bass sur les mthodes purement numriques qui incluent lair environnant dans le domaine de rsolution, les mthodes semi-analytiques saffranchissent de la discrtisation de lair. La mthode des circuits coupls est une mthode de rsolution semi analytique qui sapplique quaux milieux conducteurs. Applique notamment pour ltude des systmes induction structure asymtrique, dont le fonctionnement est bas sur les courants de Foucault [Meu-2002].
II.13.2.1 Principe de la mthode des circuits coupls
La mthode des circuits lectriques magntiquement coupls consiste subdiviser le conducteur en lments de circuits circulaires et coaxiaux fictifs, dont la forme et les dimensions sont telles que la densit de courant peut tre suppose constante dans chacun de ces lments. La subdivision peut se faire en mailles non rgulires selon la pice modlise, zone de forte variation des grandeurs physiques, effet de peau important.
Fig. II.2: Dcoupage des conducteurs en lments [Lef-2006]
Axe de symtrie
Elments de discrtisation - de la
spire } \ B Spire lmentaire
-
Chapitre II Modlisation lectromagntique des transformateurs
36
III.13.2.2 Interaction entre les lments de circuits lectriques
Chaque lment du circuit lectrique est reprsent par sa rsistance lectrique et son inductance, ces lments forment entre eux un systme de circuits mutuellement coupls [Mao-1996] [Che-1994] [Doi-2007]. La discrtisation par la mthode des circuits coupls est reprsente dans la (Fig.II.3), o tout conducteur d'une bobine est forme de N spires principales en srie et chacune de ces spires est constitues de n spires lmentaires en parallles.
Le systme rsultant est alors rgi par - } quations, - } inconnues qui sont - courants et les } tensions . Chaque spire lmentaire est soumise une tension identique la tension la quelle est soumise la spire principale. Lapplication de la loi de Kirchhoff au schma quivalent de la (Fig. II.3) nous permet dcrire :
Dans la spire 1
DEEFEEG \ \\\\ 7 \\
\\& 7 \\,s s&\s\...\ \\ 7 \ \& 7 \,s s&\s\ II. 49" R
Fig. II.3: Schma lectrique quivalent pour le primaire [Lef-2006]
\\ B\
\
\B
B
BB \ B
\
\\ B\
\B
\
\ B BB
B
\\ B\
\
B \
BB B
\\
B\,\
3$"1" 3$"2" 3$"}"
\ B
-
Chapitre II Modlisation lectromagntique des transformateurs
37
Dans la spire 2
DEEFEEG B \B\B 7 \B
\B& 7 \B,s s&\s\...B BB 7 B B& 7 B,s s&\s\ II. 50" R
Dans la spire N
DEEFEEG \\ 7 \
\& 7 \,s s&\s\... 7 & 7 ,s s&\s\ II. 51" R
l dsigne la spire lmentaire et est la spire principale et lensemble des quations de circuit II. 49" II. 51" conduit au systme dquations diffrentielles linaire suivant : ;>;> 7 ;> ((& ;> ;> II. 52" ;> : Vecteur des courants dans les spires filiformes ;> : Vecteur de tension dans les spires filiformes ;> : Matrice diagonale, ses lments reprsentent les rsistances des spires lmentaires ;> : Matrice inductance pleine, llment de la diagonale reprsente linductance propre de la spire lmentaire et llment hors diagonale r reprsente linductance mutuelle entre la spire et la spire j.
-
Chapitre II Modlisation lectromagntique des transformateurs
38
III.13.2.3 Alimentation sinusodale
Dans le cas des phnomnes lectromagntiques sinusodaux, le systme dquations obtenu est linaire et coefficients complexes, il est de forme :
;>;> ;> II. 53" Les diffrents oprateurs de diffrentiation temporelle sont remplacs par le coefficient
jo . ;> 0 0 7 jo
s II. 54" ;> : Matrice impdance de dimension -} -}" : Rsistance de la spire ; : Inductance propre de la spire s : Mutuelle inductance entre la spire et la spire l II.14 Conclusion
Les quations gnrales rgissant les phnomnes lectromagntiques sont dcrites par des quations aux drives partielles. La rsolution de ces quations permet de connaitre lvolution du champ en tout point de lespace. Nous nous somme intresss dune faon particulire aux modles magntostatique et magntodynamique qui sont obtenus laide du potentiel vecteur magntique. Ces quations peuvent tes rsolues par des mthodes analytiques ou mthodes numriques ou bien semi-analytiques. Parmi ces mthodes on retiendra la mthode des circuits lectriques magntiquement coupls, et un modle numrique bas sur une approche lments finis qui prend en compte la non linarit et lanisotropie des matriaux, les grandes lignes de ces deux mthodes ont ts prsentes.
Dans le chapitre qui suit nous dtaillerons la mthode des circuits lectriques magntiquement coupls et lappliquerons notre dispositif.
-
Chapitre III
Modlisation des transformateurs par une mthodologie mixte
Circuits Electriques Magntiquement Coupls (CEMC) et Elments
Finis(EF)
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Chapitre III Modlisation des transformateurs par une mthodologie mixte Circuits Electriques Magntiquement Coupls (CEMC)
et lments finis (EF)
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III.1 Introduction La mthode des circuits lectriques magntiquement coupls est base sur une discrtisation
numrique du domaine conducteur en lments de circuit. Chaque lment ou spire
lmentaire est reprsent par sa rsistance et son inductance. Pour cela les bobinages HT et BT sont discrtiss en lments lectriques correspondant une portion (spires lmentaires) auxquels sapplique des expressions analytiques des grandeurs lectromagntiques, dduites
de la loi de Biot et Savart. Le calcul de diffrents effets rsistifs et inductifs, propres et
mutuels entre ces multiples spires et ventuellement le circuit magntique est exprim partir
de lexpression analytique du potentiel vecteur magntiqueA.
III.2 Modle gomtrique
Notre dispositif est un transformateur triphas, colonnes, pour lequel on modlise
le bobinage dune colonne latrale. Le dispositif est ainsi approch par un systme
axisymtrique est ayant une symtrie de rvolution, permettant de prendre en considration
une partie du domaine dtude tel que reprsent par la Fig. III.1.
Zoom
Circuit magntique
Phase C Phase B Phase A
Enroulement HT Enroulement BT
Primaire
Noyau magntique
Fig. III.1.b : Domaine dtudeFig. III.1.a : Architecture du transformateur
[Hoc-2009]
Secondaire
Air
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et lments finis (EF)
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III.3 Discrtisation des enroulements
Classiquement il existe deux modles de conducteurs : les conducteurs filamentaires et les
conducteurs massifs. Cependant un nouveau type de conducteur trs efficace est appliqu
aux transformateurs, il sagit de feuilles denroulements, rsistant aux efforts axiaux et aux
tempratures leves dues aux courts circuits [Ger-2001].
On peut distinguer deux sortes de discrtisations : dans le cas ou lpaisseur de peau est trs
faible (hautes frquences), on ne discrtise que le pourtour de la section du conducteur
(Fig.III.2), et dans le cas contraire en (basses frquences), on discrtise toute la section
(Fig.III.3).
Si lpaisseur de peau est grande par rapport aux dimensions des conducteurs et pour des
frquences gales 50 Hertz, les densits de courant sont pratiquement uniformes comme
cest le cas pour les rgions filaires pour lesquels toute la section du conducteur est
discrtise. Par contre lorsque lpaisseur de peau est petite par rapport aux dimensions des
conducteurs, dans ce cas les pertes produites par les flux de fuite dominent, on ne discrtise
pratiquement que le pourtour de ces derniers.
Fig.III.2 : Discrtisation linique de la frontire du conducteur
Fig.III.3 : Discrtisation totale de la section du conducteur [Mao-1996]Section rectangulaire Section circulaire
Section rectangulaire Section circulaire
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III.4 Formulation en potentiel vecteur magntique
Cette mthode consiste formuler la loi dOhm pour chaque lment, de faon aboutir
un systme dquations diffrentielles, faisant intervenir les chutes de tension rsistives et
inductives correspondant dune part linductance propre et dautre part aux mutuelles
inductances avec tous les autres lments.
Pour la mise en uvre de cette mthode, des hypothses ont t faites :
La gomtrie tudie est symtrie de rvolution.
Lhlicit des enroulements est nglige.
Les matriaux utiliss sont proprits physiques isotropes et linaires.
Les modles diffrent selon la manire dintroduire la source, le premier suppose
une source de courant et le second prend comme source une tension. Chacun de ces modles
est formul suivant la frquence dexcitation, des caractristiques lectriques, magntiques
et gomtriques du problme. Le modle dexcitation en tension pour objectif
la dtermination de la rpartition de la densit de courant circulant dans chaque spire.
III.4.1 quations caractristiques en axisymtrique
Pour dcrire le phnomne lectromagntique, nous choisissons de ramener les quations
de Maxwell un systme de deux quations exprimant le couplage entre la densit du courant
et le potentiel vecteur magntique, les quations de Maxwell mnent au systme suivant :
quations II. 36 et III. 1 [Mao-2006] [Mao-2009] [Esl-2010]
III. 1
densitdecourantinduit
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Le fait que le courant circule le long du primtre moyen de la spire on ramne le potentiel
scalaire lectrique la variation angulaire tel que :
1 III. 2
La variation de la tension suivant le rayon est nulle lquationIII. 2 devient :
1 III. 3
La tensionU au borne de la spire est donne par :
2. III. 4
En utilisant le thorme de stockes (quationIII. 1) on peut crire :
12.
2. III. 5
A partir des quationsIII. 2, III. 3, III. 4,III. 5 on obtient lquation gnrale pour un lment de circuit.
2. 2. III. 6
En rgime harmonique III. 6 scrit :
2. 2. III. 7
Fig.III. 4: Coupe transversale et radiale dune spire [Mao-2006]
Spire
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On reconnat lexpression de la tension aux bornes dune spire lmentaire utilise
dans la formulation de la mthode des circuits coupls, exprime en termes de densit
de courant et du potentiel vecteur. Le terme 2. correspond la chute de tension rsistive, alors que le terme 2. reprsente la chute de tension inductive. Le potentiel vecteur magntique comprendrait la contribution du courant de la spire
elle-mme (inductance propre), ainsi que la contribution des courants circulant dans les autres
spires (inductances mutuelles), cela est reprsent sur la (Fig.III.5) :
LexpressionIII. 8, peut tre crite pour toute spire lmentaire de la spire avec la contribution des courants circulant dans les spires lmentaires de la spire comme suit : [Lef-2005]
2 ,
,
III. 8
, : Nombre de spire des enroulements primaire /secondaire , Nombre de discrtisation par spire primaire / secondaire*
Fig.III.5: Schma lectrique quivalent des deux enroulements HT et BT
,
,
,,
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III.5 Expression du potentiel vecteur magntique
Nous considrons le cas de la (fig. III.7), dans lair, qui exprime le potentiel cre par la spire
de contour parcourue par un courant au point . est la distance entre lments du contour .
Fig.III.6 : Reprsentation des spires lmentaires et [Leo-1992]
Spire
Spire
Fig. III.7: Potentiel vecteur magntique cre par une spire filiforme [Mao-1996] [Cha-2003]
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