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Meccanica 1419 aprile 2011
Oscillatore armonico, energia meccanica
Oscillatore smorzato
Oscillatore forzato. Risonanza. Fattore di qualita`
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Oscillatore armonico
• Abbiamo visto diversi sistemi che si muovono di moto armonico– Un punto sotto l’azione di una molla, il pendolo, il
pendolo di torsione
• Altri sistemi fisici presentano grandezze che seguono la stessa legge oraria– Solidi elastici, fluidi, circuiti elettrici, campi
elettromagnetici– Strutture meccaniche che si allontanano di poco
dall’equilibrio, per cui le forze di richiamo sono lineari rispetto agli spostamenti
2
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Oscillatore armonico
• Tutti questi fenomeni sono regolati da equazioni (in generale più d’una) del tipo
• Ove le k sono opportune grandezze che caratterizzano il sistema e le pulsazioni k
2 sono costanti che dipendono dai parametri del sistema
d2kdt 2
k2k
3
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Oscillatore armonico
• Le soluzioni di queste equazioni sono
• Ove le ampiezze Ak e le fasi k sono costanti calcolabili conoscendo le condizioni iniziali
k t Ak sin kt k
k t 0
dkdt
t0
4
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Energia dell’oscillatore armonico
• Riferiamoci al caso particolare del punto materiale sotto l’azione della forza elastica F=-kx
• Questa forza è conservativa, quindi l’energia meccanica si conserva. Verifica:
K t 1
2mv 2 t
1
2mdx
dt
2
1
2mA2 2 cos2 t
U t 1
2kx 2 t
1
2kA2 sin2 t
E K t U t 1
2A2 m 2 cos2 t k sin2 t
5
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Energia dell’oscillatore armonico
• Poiché abbiamo
• Che è costante nel tempo• Possiamo riscrivere K e U in termini di E
• I valori medi su un periodo sono
2 k
m
E 1
2m 2A2
1
2kA2
6
tEtK 2cos tEtU 2sin
EdttKT
KT
2
11
0
EdttUT
UT
2
11
0
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OA smorzato da forza viscosa• L’oscillatore armonico sia smorzato da una
forza viscosa, cioe` proporzionale e opposta alla velocita`
• L’equazione del moto e` omogenea e ha forma
• Detto il coefficiente di smorzamento e la pulsazione naturale, l’eq. si puo` riscrivere
vF
02
2
xm
k
dt
dx
mdt
xd
m2 mk0
02 202
2
xdt
dx
dt
xd 7
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OA smorzato da forza viscosa
• Per risolvere questa equazione, studiamo le soluzioni dell’eq. algebrica associata (EAA)
• Queste sono
• Abbiamo tre casi, a seconda del valore del discriminante
02 20
2
20
22,1
8
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OA smorzato da forza viscosa
• Caso smorzamento forte, le soluzioni dell’EAA sono entrambe negative
• La soluzione generale del’eq. differenziale e`
• A e B si determinano specificando le condizioni iniziali
0
20
21 2
02
2
tt BeAetx 21
9
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• Caso smorzamento debole, le soluzioni dell’EAA sono complesse coniugate
• La soluzione generale del’eq. differenziale e`
0
ii 2201
titittt BeAeeBeAetx 21
OA smorzato da forza viscosa
ii 2202
10
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• Usando la formula di Eulero e ridefinendo le costanti, abbiamo
• Ove C e si determinano specificando le condizioni iniziali
• La soluzione e` una sinusoide smorzata esponenzialmente. Si definisce lo pseudoperiodo e in un tempo T l’ampiezza si riduce di
tCetx t sin
OA smorzato da forza viscosa
2T
TetxTtx 11
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• Caso smorzamento critico, le soluzioni dell’EAA sono negative e uguali
• La soluzione generale del’eq. differenziale e`
• A e B si determinano specificando le condizioni iniziali
0
21
BAteBeAtetx ttt
OA smorzato da forza viscosa
12
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Proprieta` asintotica
• In tutti e tre i casi la soluzione tende a zero per tempi sufficientemente grandi
• Cioe` la soluzione generale dell’eq. omogenea soddisfa
tt BeAetx 21 tCetx t sin
BAtetx t
000
t
0lim
tx genomot
13
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OA forzato
• Il moto di un OA si puo` rendere persistente, in presenza di attrito viscoso, applicando una forza esterna sinusoidale
• L’equazione del moto diviene non omogenea
• La pulsazione della forza, , e` in generale diversa dalla pulsazione naturale
tFF sin0
tm
Fx
dt
dx
dt
xd sin2 0202
2
14
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OA forzato• Nella teoria delle eq. differenziali si dimostra che la
soluzione generale dell’eq. non omogenea e` somma della soluzione generale dell’eq. omogenea e di una soluzione particolare dell’eq. non omogenea
• Cerchiamo allora se esiste una soluzione particolare di forma sinusoidale con pulsazione uguale a quella della forza esterna e dipendente da due parametri da determinare A e
partomonon
genomo
genomonon xxx
tAx part omonon sin
15
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OA forzato• Inserendo la soluzione di prova nell’eq.
differenziale, eseguendo le derivate, sviluppando seni e coseni e raggruppando, otteniamo
• L’eguaglianza deve valere ad ogni tempo e questo puo` accadere se e solo se le espressioni in parentesi quadre sono entrambe nulle
0cos2sincos
sin2cossin22
0
022
0
AAt
mFAAt
16
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OA forzato• Dalla seconda ricaviamo il valore di
• Per evitare la singolarita` della tangente in ridifiniamo la fase:
22
0
2
tg
0
2
sincos
cossin
17
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OA forzato• Avremo allora
2
20
2 tg
tAtAtAtx cos
2sinsin
222
02
2220
2
20
2
2
2cos
2sin
18
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OA forzato• Da cio` si ricava il valore di A
• Abbiamo cosi’ trovato la soluzione particolare cercata
222220
0
4
1
m
FA
19
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OA forzato
• Caratteristiche della soluzione particolare della funzione spostamento:– ha la pulsazione della forza esterna, non quella
naturale– e` sfasata rispetto alla forza– ampiezza e fase dipendono dalla pulsazione
esterna– ampiezza e fase non dipendono dalle condizioni
iniziali
20
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Soluzione generale
• Abbiamo visto che la soluzione generale dell’eq. non omogenea si scrive
• E che la soluzione generale dell’omogenea tende a zero per tempi sufficientemente grandi
• Quindi per tempi grandi la soluzione generale della non omogenea si riduce alla soluzione particolare
)(cos)()(
)()()(
tAtx
txtxtxgenomo
partomonon
genomo
genomonon
)(cos)()( tAtx omonon21
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Risonanza
• Cerchiamo il valore di che rende massimo il valore assoluto dell’ampiezza
• Se il massimo si ha per• E vale
• Se allora e AM tende all’infinito, cioe` piu` piccolo e` lo smorzamento, piu` la pulsazione di risonanza e` vicina alla pulsazione naturale, maggiore diventa l’ampiezza massima o di risonanza
220 2 22
0 2 M
22
0
0
2
m
FAA MM
0 M0
22
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Potenza • La potenza istantanea e`
• La media temporale della potenza e`
• Il cui massimo si ha per la pulsazione naturale
sincoscossinsin
sinsin
0
0
tttAF
ttAFFvtP
222220
220
04
cos2
1
m
FAFP
mF
PM 4
20
23
![Page 24: Meccanica 14 19 aprile 2011 Oscillatore armonico, energia meccanica Oscillatore smorzato Oscillatore forzato. Risonanza. Fattore di qualita`](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8baa26/html5/thumbnails/24.jpg)
Larghezza di risonanza
• E` definita dalle due pulsazioni per cui la potenza media e` meta` della potenza media massima
• Si ottengono due equazioni quadratiche in , le cui due soluzioni accettabili sono
• La larghezza di risonanza e`
20
21 2
02
2
212
2M
PP
24
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Fattore di merito
• E` definito come
• E` tanto maggiore quanto piu` stretta (cioe` migliore) e` la risonanza
km
Q
0
25