Mécanique des fluides1ère partie
Olivier LOUISNARD
Centre Poudres et ProcédésBureau 1C6 – tel 30 62
Email : [email protected]
Plan du cours
C1 Généralités. Définitions. Forces sur un fluide 1 - 4C2 Hydrostatique 4C3 Equations de conservation 2 et 3C4 Mouvement d’un fluide 5
Cas du fluide parfait incompressible 6C5 Forces exercées par un fluide sur une structure 3 et 5C6 Pertes et gains de charge. Pompes et turbines 6
Séance decours
Chapitrepoly
Cours connexes
PrérequisAnalyse vectorielleMécaniqueThermodynamique
En parallèlePhénomènes de transfertsThermodynamique et procédésMécanique des milieux continus
SuiteMécanique des fluides 2ème partieTransferts convectifs(Option énergétique)
Prérequis
Mécanique
Thermodynamique
Mathématiques
€
g dSS
∫∫ , g dVV
∫∫∫ ,∂
∂x,
∂
∂y, Δ, grad, rot, div
€
F∑ =dP
dtLoi de la dynamique
€
Δ U + K( ) = W + Q Premier principe (= conservation de l’énergie)
Qu’est-ce qu’un fluide ?
• pas de forme propre• s’écoule si on lui applique une force• prend la forme du récipient
Limite solide / fluide parfois floue :
• dépend de la dynamique de la sollicitation (sable mouillé, polymères, pâtes)
• états semi-ordonnés (ou « indécis »)(liquides vitreux, cristaux liquides, colloides)
• dépend de l’échelle de temps considérée (glacier)
Les molécules interagissent (peu pour les gaz)Gardent une certaine mobilité les unes par rapport aux autres.Pas d’ordre comme dans un solide (ou peu)
Quelques fluides
Monophasiqueseau, air, huile, métaux fondus
Multiphasiques• aérosols (brouillard)• émulsions (lait, vinaigrette, anisette...)• suspensions (pâtes, boues)• liquides à bulles (surface de l’océan, fluides de refroidissement)
« Complexes »• magma, plasmas, ferrofluides (propriétés magnétiques)• polymères, micelles, cristaux liquides (molécules 1D ou 2D...)• milieux granulaires (sable, poudres)
Ferrofluides
Lait Liquide à bulles
Cristaux liquides
Description d’un fluide
Macroscopique : celle qui nous intéresse• à notre échelle• milieu continu (?)
Microscopique• atomes ou molécules + ou - libres les uns / aux autres• Liquide = fort encombrement / interactions forte• Gaz = faible encombrement / interaction faible
On cherche à représenter ce que l’on voit :description macroscopique
Analogie
Echelle macro(la notre)
Méso
Echelle micro€
ρ x( ) =N i∑
ε=
dN
dx
€
ρ x( )
€
x
€
ε =dx
Echelle mésoscopique
€
ε =dV
(x,y,z)
Hypothèse de milieu continu
Echelle macroscopique€
V
Echelle microscopique
€
mi
€
vi
Masse volumique (kg/m3)
€
ρ x,y,z, t( ) =mi∑
ε=
dM
dVChamp de vitesses
€
v x, y,z, t( ) =mivi∑mi∑
=dP
ρ dV
ρ et v grandeurs continues (et dérivables...) / à x, y, zPas toujours vrai .... (ondes de chocs, vides poussés)
€
ε =dV(x,y,z)
Masse volumique ρx,y,z kg/m3)
mi
Vitesse vx,y,z
Comment définir une densité ρ et une vitesse v variant continument / x,y,z ?
Grandeurs volumiques
Remarque : V peut être fixe ou mobile (par rapport à nous)
grandeurs globales
€
M(t), P(t), K(t),U t( )grandeurs locales
€
ρ x, y,z, t( ), v x,y,z, t( ), u x,y,z, t( )
€
dV
€
V
G(t) grandeur extensive contenue dans V
€
g(x,y,z, t) =dG
dVOn définit : soit
€
G t( ) = g dVV
∫∫∫ g grandeur volumique (G/m3)
Masse de fluide dans V
€
M t( ) = ρ dVV
∫∫∫Quantité de mouvement de V
€
P t( ) = ρv dVV
∫∫∫Energie cinétique de V
€
K t( ) = 12 ρv 2 dV
V
∫∫∫Energie interne de V
€
U t( ) = ρu dVV
∫∫∫
Masse volumique
ρx,y,z en kg/m3
En général différente d’un point à un autre
Varie avec la température (même pour un liquide)Varie avec la pression (peu pour un liquide)
Eau 1000 kg/m3
Mercure 13000 kg/m3
Air 1.3 kg /m3
Une approximation bien utile : le fluide incompressibleρ = ρ constant par rapport à t et x,y,zConditions de validité : plus tard
Masse de fluide dans V
€
M t( ) = ρ dVV
∫∫∫ = ρV
Forces exercées sur un fluide
€
dV
€
V
€
dS
€
S
Forces volumiquesexercées sur chaque élément de volume dV(poids, forces d’inertie, magnétiques, ...)
Forces surfaciques ou « de contact »exercées sur chaque élément de surface dS(pression, frottement visqueux)
Forces de pression: approche intuitive
S
Fp1
Fp2
• Fp = Fp1+ Fp2
• Fp1 et Fp2 orthogonales à S1, S2
• Fp1 et Fp2 vers l’intérieur de VS2
S1
h
Liquide en équilibre mécanique
P=mg
Equilibre: Fp + mg = 0• Fp vers le haut•
Fp
€
Fp = mg = ρVg = ρhSg
donc Fp proportionnelle à S n1
n2
• on écrit
Fp1= -p1 n1S1
Fp2= -p2 n2S2
Origine microscopiqueGaz Liquide
Forces de répulsion de Van der Waals
Système subissant la pression
Echange de quantité de mouvement avec les molécules
Fpn
dS
n
dS
Fp= - p n dS
V
S
Expression générale : on considère un volume V fermé par une surface S
Force de pression
dFp= -p n dS
€
∫∫Sfermée
n dS = 0,Remarque importante : en vertu du théorème de la normale
on peut ajouter ou soustraire une constante arbitraire à p :
€
∫∫S
Fp = -(p-p0).n dS
€
∫∫S
dFpFp =
ndS
ndS
découpée en petits éléments de surface dS, de normale sortante n
Fp =
€
∫∫S
-p.n dS
A retenir
Forces volumiques
Poids :
€
∫∫∫V
P = ρg dVV
€
∫∫∫V
Fie+Fic = -ρ(ae+ac) dV
Forces électromagnétiques :(pour info : plasmas, magma, ferrofluides)
Obtenues de la même façon.Responsables du champ magnétique terrestre (magnéto-hydrodynamique)
somme des poids élémentaires dm.g = ρdVg de toutes les particules fluides dV
dV
ρgdVForces d’inertie :
(en référentiel nongaliléen)
somme des forces d’inertie élémentaires -dm.(ae+ac) = -ρdV.(ae+ac) de toutes les particules fluides dV
-ρdV.(ae+ac)
Attention !a priori ρx,y,z)
Hydrostatique : équation globale
Décrit un fluide immobile (dans un référentiel galiléen ou non)
Equilibre entre :
V
S dS
n
Forces volumiques
€
∫∫∫V
P = ρg dV
P
Forces de pression
Fp =
€
∫∫S
-p.n dS
Fp
€
∫∫S
-p.n dS +
€
∫∫∫V
ρg dV = 0 A retenirFp+ P = 0
Hydrostatique : équation globale
• La résultante des forces de pression est toujours dirigée vers le hautc’est la poussée d’Archimède !
• Equation peu pratique pour calculer le champ de pressionIl faut la réécrire sous forme « locale » = exprimée en tout pointgrâce à des opérateurs d’analyse vectorielle.
Hydrostatique :équation locale
€
∫∫S
-p.n dS +
V
€
∫∫∫ρg dV = 0
€
∫∫∫ρg dV = 0, vrai quel que soit V
€
∫∫∫-grad p dV +
V
Donc :
V
grad p = ρg A retenirL’intégrande doit être nul, soit€
∫∫S
-p.n dS =
€
∫∫∫-grad p dV
V
Or (formule de Green):
Hydrostatique :équation locale
grad p = ρg
• Peut être intégrée pour trouver le champ de pression p(x,y,z) dans un fluide au repos
• Condition aux limites : p = patm sur la surface de contact avec l’air
• Les surfaces isobares p(x,y,z) = Cte sont perpendiculaires à g
• La pression augmente quand on se dirige dans le sens de g(c’est le problème du plongeur)
• La pression diminue quand on se dirige en sens inverse de g(mal de l’altitude, pressurisation des cabines d’avion)
Hydrostatique en référentiel non galiléen
Le fluide est immobile par rapport à un référentiel R’ qui accélère / R
• une cuve ou un verre dans un véhicule qui freine/accélère (ae horizontal)• miroirs liquides (cf. TD), centrifugeuses (ae radial)• expériences en gravité 0 (ae = g)
Fp+ P + Fie= 0
Il faut ajouter la force d’inertie d’entraînement La force de Coriolis est nulle car le fluide est immobile
€
∫∫S
-p.n dS + ρg - ae)dV = 0
€
∫∫∫V
Tout revient à remplacer g par la « pesanteur apparente » g ae
€
∫∫∫V
Fie ρae dV Fic
Hydrostatique en référentiel non galiléen
Sous forme locale : grad p = ρ g ae)
Les surfaces isobares p(x,y,z) = Cte sont maintenant perpendiculaires à gae
€
∫∫S
-p.n dS + ρg ae) dV = 0
€
∫∫∫V
Sous forme globale :
Fluideimmobile
VS
Corpsétranger
Force d’Archimède
• Ce n’est rien d’autre que la résultante des forces de pression.• On cherche en général la force exercée sur un corps étranger au fluide• Solide ou bulle dans liquide, ballon d’hélium dans l’air...
Fp= ?
Le champ de pression est le même dans les deux cas, donc Fp aussi.L’équilibre dans le deuxième cas montre que Fp= ρfluideVg
Fluideimmobile
VS
Fluideen équilibre
On remplace par du fluide Fp
ρfluideVg
VS
Corpsétranger
Force d’Archimède
Fp= ρfluideVg
Pcorps= ρcorpsVg
Pcorps+ Fp = (ρcorpsρfluide)Vg ≠ Le corps n’est pas en équilibre :• ρcorps ρfluide : il descend• ρcorps ρfluide : il monte
V
Le corps est pourtant plus dense ρcorps > ρfluide
Bateau en alu
V
Le corps est moins denseρfluide> ρcorps
Iceberg
Force d’Archimède
On peut généraliser le raisonnement au cas où un objet partiellement immergé.
On retiendra : Fp= ρfluideVimmergé g
Dans ce cas l’équilibre est possible :
Vimmergé
Vimmergé < Vcorps
Vimmergé
mais Vcorps < Vimmergé
Pcorps+ Fp = (ρcorpsVcorpsρfluideVimmergé ) g = 0
On définit la densité d’un corps
d = ρcorps/ ρeau si solide ou liquide
d = ρcorps / ρair(20°C,1 atm) si gaz
Densité
Moment des forces de pression
V
S
A
dSn
M
ndS
M
Utile pour les problèmes de stabilité / à la rotation.
dFp= pn dS
€
∫∫S
MA(Fp) = AM dFp
AM
Moment total en A de Fp = somme des moments élémentaires en A des dFp
€
∫∫S
MA(Fp) = AM pn dSsoit
En particulier, on peut définir le centre de poussée C sur le volume VC’est le point C tel que MC(Fp) = 0
Le second théorème de la normale permet de retrancher une constante à p :
€
∫∫S
MA(Fp) = AM (p-p0) n dS
Rappel sur les unités
Masse volumique ρ, unité SI : kg / m3
Pression p :
• unité SI : N / m2 = kg m-1 s-2 = Pa (Pascal)• 1 bar = 100 kPa• 1 torr = 1 mm Hg•.1 psi = 1 pound / square inch
Pression atmosphérique :
1 atm = 1,01325 bar = 101325 Pa = 760 torr = 14,70 psi
Exercices d’applicationde l’hydrostatique
• Intégration de l’équation de l’hydrostatique
- dans un liquide incompressible- dans l’atmosphère- dans en liquide en référentiel non galiléen
• Mesure de la densité avec un tube en U
• Force de pression et moment sur une paroi de bassin
Principes de conservation
La nature conserve plusieurs grandeurs :
• la masse• la quantité de mouvement• l’énergie
« Rien ne se perd, rien ne se crée »
Bilan d’une grandeur G dans un volume V
V
Principe de conservation
€
dG
dt=
G =
Habitants d’un paysDe l’argentMasseQuantité de mouvementEnergieCharge électrique
Flux entrant de G
e(t)
Production de G
+ R+(t)
Flux sortant de G
- s(t)
Destruction de G
- R-(t)
Bilans pour un fluideSystème = Volume de fluide V FIXE
On veut calculer
V
S
Se
Ss
= Se + Ss
€
e t( )
quantité de G qui entre dans V par sa frontière Se
= FLUX
quantité de G qui sort de V
par sa frontière Ss
€
− s t( )
Comment G(t) varie ?
• limité par S • contenant une certaine quantité G• traversé par du fluide transportant G
€
G t( ) = g dVV
∫∫∫Rappel :
Deux sortes de flux
Flux = mouvement d’une grandeur à travers une surface• convectif = transporté par le fluide (à cause de v)• diffusif = causé par un gradient
Diffusif(du chaud vers le froid)
Convectif(forcé par le mouvement du fluide)
Exemple pour un flux d’énergie :
vdt
Pendant dt, le fluide balayeun petit volume d2V
d2V
Flux convectif
V
S
dSn
SeSs
= Se + Ss
v
dS
n
d2V = dS vdt cos = v.n dS dt
v
Quantité d2G passant par dSpendant dt ?
d2G = quantité de G dans ce volume= gd2V = g v.n dS dt
Par Ss tout entier il sort donc pendant dt
€
∫∫Ss
g v.n dS dGs = dt
Par Se tout entier il rentre donc pendant dt
€
∫∫Se
g v.n dS dGe = - dt
v
n
Flux convectif (suite)
Pendant dt, la variation de G dans V est donc :
dG = dGe - dGs -
-
V
S
dSn
SeSs
= Se + Ss
v
vn €
∫∫S
g v.n dS = - dt
La contribution du mouvement du fluide à la variation de G est donc :
€
dG
dt
€
∫∫S
g v.n dS = -
€
∫∫Se
g v.n dS = - dt
Ce qui rentre
v.n < 0
v.n > 0
Ce qui sort
€
∫∫Ss
g v.n dS dt
Bilan pour un fluide
Le bilan de G dans un volume V est donc:
V
S
dSn
v
vn
€
d
dt=
d
dtG
€
∫∫∫g dV
V
€
∫∫S
g v.n dS = -
e(t) - s(t)
+ flux diffusifs + création - disparition
+ R+(t) - R-(t)
VTube de courant :
Bilans sur un tube de courant
Objectif : avoir des équations plus simples sans ni
€
∫∫S
€
∫∫∫V
Le prix à payer : faire des hypothèses simplificatrices
S = Se + Ss + Slat
Ss
nv.n > 0
v
Sen
v.n < 0 v
v
v
v
vv
€
∫∫S
g v.n dS =
€
∫∫Se
g v.n dS +
€
∫∫Ss
g v.n dS +
€
∫∫Slat
g v.n dS
Slat
Slat
v.n = 0n
Hypothèsessupplémentaires ?
Bilan sur un tube de courant
Hypothèse : g uniforme sur Se et Ss (justifié pour des écoulements en conduite)
= ge
€
∫∫Se
g v.n dS
€
∫∫Se
v.n dS = - geveSe = gs
€
∫∫Ss
g v.n dS
€
∫∫Ss
v.n dS = + gsvsSs
V
Slat
Slat
Le bilan sur la grandeur g devient :
€
d
dtG
= geveSe - gsvsSs +
€
R+ t( ) − R− t( )
Ss
vsSs =
€
∫∫Ss
v.n dS
n v.n > 0v
v
vSe
veSe = -
€
∫∫Se
v.n dS
n
v.n < 0
vvv
On définit les vitesses moyennes > 0 ve et vs en entrée et en sortie :
Approximation écoulement piston
Justification tube de courant
Ecoulement laminaire Ecoulement turbulent
vS =
€
∫∫S
v.n dS
On définit une vitesse moyenne v sur la section, par :
Récapitulatif : bilan de G
Dans un volume V :
V
S
dSn
v
vn
Sur un tube de courant :
€
d
dtG
= geveSe - gsvsSs +
€
R+ t( ) − R− t( )
€
d
dt=
d
dtG
€
∫∫∫g dV
V
€
∫∫S
g v.n dS + = -
€
R+ t( ) − R− t( )
Vn
vv
nv SsSe
v
vv
Bilan de matière
• G = M masse• g = ρmasse volumique• R+ - R- = 0 ni production, ni destruction,
ni flux diffusifs (pour un fluide homogène)
€ M
€
∫∫S
ρ v.n dS = -
€
d
dt=
d
dt
€
∫∫∫ρ dV
V
Général :
€
d
dtM
ρeveSe - ρsvsSs
Me Ms
Tube decourant : M = ρvS débit massique
(noté aussi q)
Conservation de la quantité de mouvement
Choc
P1=m1v1
P2=m2v2
P’1=m1v’1
P’2=m2v’2
P1+ P2 = P’1+ P’2
P’2 P2 = P’1 P1 = F 1/2 Δt
Variation de QDM de 2 :
Echange de QDM <=> force :
ΔP2 = F 1/2 Δt
Une force « produit » de la quantité de mouvement.
€
dP
dt= F
Bilan de quantité de mouvement
• G = P quantité de mouvement• g = ρvdensité de quantité de mouvement• R+ - R- = Fext loi de la dynamique
€
∫∫S
ρv (v.n) dS = -
€
d
dt=
d
dtP
€
∫∫∫ρv dV
V
€
+ Fext∑
Tube decourant :
€
d
dt ρeve(veSe) - ρsvs (vsSs)
Meve Msvs
P
€
+ Fext∑ Equations vectorielles
Conservation de l ’énergie
Pour un système fermé (qui n’échange pas de matière) :
U1, K1 U2, K2
Q
W
Δ(U+K) = (U2+K2) (U1+K1) = W + QJoule
€
d U + K( )dt
= ˙ W + ˙ Q
Pendant un temps dt :
€
Q = ˙ Q dt
W = ˙ W dt
€
˙ Q , ˙ W puissances (en Watt)
Bilan d’énergie
• G = U+K énergie interne + cinétique• g = ρ u + v2/2)densité d’énergie interne + cinétique
€
∫∫S
ρ u + v2/2) (v.n) dS = -
€
d
dt=
d
dt(U+K)
ρ u + v2/2) dV
€
∫∫∫V
€
+ ˙ W + ˙ Q
€
˙ Q Le calcul de relève du cours de transfert thermique
Tube decourant :
ρe (ue + ve2/2) (veSe) - ρe (us + vs
2/2) (vsSs)
Me (ue + ve2/2) Ms (us + vs
2/2)
€
d
dt(U+K)
€
+ ˙ W + ˙ Q
• R+ - R- = premier principe de la thermo
€
˙ W + ˙ Q
Poids :
€
∫∫∫V
ρg dV
€
∫∫S
-pn dS Pression :
Frottement visqueux : frottement fluide / fluideadhérence fluide aux solidesdissipation d’énergie
Forces extérieures
h
y
x
Viscosité : expérience de Couette
U0
v
t1 0
v
t2 > t1
v
t
Constatations expérimentales :
• vx = U0 sur la plaque supérieure• vx = 0 sur la plaque inférieure
Le coefficient de proportionnalité ne dépend que du fluide = viscosité dynamique
Ffluide / plaque
€
SU0
h= S
dvx
dy• Ffluide / plaque avec S surface mouillée
€
vx y( ) = U0
y
h• profil linéaire de vx au bout d’un temps assez grand
Frottement visqueux
vvv
h
V0t1 0 t2 > t1 t v
y
Ffluide / plaque
Conclusions :• le fluide adhère aux parois• les couches de fortes vitesse entraînent celles de faible vitesse
==> frottement entre les couches fluides• la force / u. de surface est proportionnelle au gradient de vitesse• elle s’exerce tangentiellement à la surface• transfert de quantité de mouvement des fortes v vers les faibles v• v varie comme ρh2/ transfert diffusif (idem chaleur)
= / ρ viscosité cinématique en m2/s.
F
Viscosité
• homogène à kg.m-1.s-1 = Pa.s = Pl (Poiseuille)on utilise le Poise (Po) et surtout le Centipoise (cPo)Eau : 10-3 Pa.s = 1 cPoAir : 1.85 10-5 Pa.s
• augmente avec T pour un gazindépendant de p pour un gazdiminue avec T pour un liquide (cf. huile dans poële)augmente avec p pour un liquide
Contrainte visqueuse
Contrainte = force / u. de surface
V
S
dS n
n dS
Question : peut-on exprimer v en fonction de n ?
On a donc p = -pnExprimé facilement en fonction de n
x
y
z
ex
v
dFv= v dS
v = force visqueuse / u. de surface
dFp= -pn dS
p = force de pression / u. de surface
€
vv = = . n
€
xx σ xy σ xz
σ yx σ yy σ yz
σ zx σ zy σ zz
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥.
nx
ny
nz
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Oui sous forme tensorielle xx
yx
zx
On montrera (MDF II):
€
v = η grad v +Tgrad v
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ Pour les fluides
dits « newtonien »
€
∫∫S
ρv (v.n) dS + = -
QDM transportéepar le fluide
rentrant - sortant
€
d
dt
€
∫∫∫ρv dV
VVariation de QDM
du fluidedans le volume V
€
∫∫∫V
ρg dV
Poids
€
∫∫S
-pn dS +
Pression
€
∫∫S
n dS
€
v
Frottementvisqueux
Bilan de quantité de mouvement
Equations locales
Objectif : remplacer le bilan sur un volume V par des relations différentielles valables en chaque point du fluide
Moyens :
• théorèmes
• passage à la limite V 0
€
∫∫S
€
∫∫∫V
Intérêt : • calcul analytique ou numérique de solutions d’écoulement
€
∂ ρ u + v 2 /2( )[ ]
∂t+ div u + v 2 /2( )ρv[ ] = ρg.v − div pv( )+ div σ v .v( )Energie
Les équations locales
Système complet ? 1 équation vectorielle 2 équations scalaires
1 inconnue vectorielle3 inconnues scalaires
€
ρ p u
€
v
€
ρ masse volumique
Il manque une équation d’état :
€
u p,T( ) ρ p,T( )
€
∂ρ∂t
+ div ρv( ) = 0Massepression
€
p
énergie interne
€
uvitesse
€
v
€
∂ ρv( )∂t
+ div ρv⊗ v( ) = ρg − grad p + div σ v( )QDM
+ 2 équations scalaires
€
T+ 1 inconnue scalaire
Quelques équations d’état
€
ρ =Mp
RT, u = cvTGaz parfait : (compresseurs, turbines à gaz)
GP isotherme :
€
p
ρ= Cte, u = Cte
(rare)
GP isentropique :
€
p
ρ γ= Cte, u =
M
γ −1
p
ρ(acoustique, ondes de chocs,écoulements gazeux en général)
Liquide compressible :
€
p = f ρ( ), u = C te(explosions sous-marines,écoulements liquides supersoniques, rare)
Fluide incompressible :
€
ρ =ρ0, u = Cte(hydraulique, presque tousles écoulements liquide + écoulements gaz faible Mach)
BAROTROPESEquation de l’énergie
découplée de M et QDM
= a accélération du fluide
€
v⊗ v =
vxvx vyvx vzvx
vxvy vyvy vzvy
vxvz vyvz vzvz
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Autres écritures
€
ρ ∂v
∂t+ v.∇( )v
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
∂ ρv( )∂t
+ div ρv⊗ v( ) s’écrit aussi
€
ρ ∂v
∂t+ gradv 2 /2 + rot v∧v
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ou encore
€
v.∇( )v = vx
∂
∂x+ vy
∂
∂y+ vz
∂
∂z
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
vx
vy
vz
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Bilan matière pour unfluide incompressible
ρ( x, y, z, t) = ρ
Général
€
∫∫S
v.n dS = 0
Tube de courant veSe = vsSs
Ve Vs
Equation locale
€
divv = 0V = vS débit volumique
(noté aussi Q)
V
S
dSn
Se Ss
= Se + Ss
v
vn
Ce qui rentre = Ce qui sortAccumulation de masse impossible
Validité fluide incompressible
Correct si :
c vitesse du son dans le fluide
€
v << c Ma << 1( )
€
c 2 =∂p
∂ρ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟s
déduite de l’équation d’état
Exemple pour un gaz parfait:
€
c = γR
MT = 340 m/S à 298 K
• Validité indépendante du caractère gazeux ou liquide• Inutilisable si Ma > 0,3• Inutilisable pour rendre compte de certains phénomènes (acoustique, chocs)• En pratique presque toujours valable dans les liquides
Ma = nombre de Mach
Modèle de fluide parfait
• mouvement non dissipatif
• conservation de l’énergie mécanique
• pas d’adhérence aux parois solides
• pas de création de « rotationnel »
• ouvre de nombreuses simplifications mathématiques
Permet de négliger les frottements visqueux
• du freinage visqueux d’un corps ou d’un fluide (voiture économique !)
• de l’amortissement des ondes (vagues, acoustiques, ...)
Limitations évidentes. Ne rend pas compte :
Validité ?
= Forces d’inertie du fluide
Forces visqueuses
Temps de transport de QDM par diffusion
Temps de transport de QDM par convection=
= Energie cinétique du fluide
Energie dissipée par frottement
€
Re =ρLV
η
Nombre de Reynolds
A retenir !
€
∫∫S
ρv (v.n) dS
€
∫∫S
n dS
€
v
=
Conservation QDM
Classification des écoulements
Permet de classer les régimes d’écoulement
Ecoulementrampant
ou « de Stokes »
€
Re <<1
Effets visqueux
sensibles dans tout
l’écoulement
≠ fluide parfait !
Ecoulementturbulent
€
Re >>>>1
Mouvement désordonné
1 100 - 1000Re
Ecoulementlaminaire
€
Re >>1
Filets fluidesparallèles
Ecoulement rampant (ou de Stokes)
• Re << 1 (inertie négligeable devant frottements visqueux)
• Effets visqueux sensibles dans tout l’écoulement
•Equations linéaires => plusieurs solutions analytiques pratiques(suspensions, milieux poreux)
• Réversible
Ecoulement rampant
Re = 1,5
Ecoulement laminaire
Re = 26
Ecoulement laminaire
Transition laminaire-turbulent
Expérience de ReynoldsC’est Reynolds
Transition laminaire-turbulent
Re = 200
Ecoulement turbulent
Re = 8000
Turbulence
Déstabilisation de l’écoulementEcoulement moyen + fluctuations de vitesse Fluctuations isotropes au coeur de l’écoulementTourbillons d’échelles variéesTransfert d’énergie des grandes échelles vers les petitesLa plus petite échelle (dite de « Kolmogorov ») dissipe l’énergiePresque tous les écoulements industrielsLes transferts massiques / thermiques sont plus efficacesIl existe des modèles numériques (k-ε utiles pour l’ingénieur
MAIS reste encore un problème physique ouvert ...
ALORS QUE • échelle de l’homme• équations de la mécanique classique !
Turbulence
« Je suis maintenant un vieil homme. Quand je mourrai, et irai auparadis, j’espère qu’on pourra m’éclairer sur 2 disciplines :
l’électrodynamique quantique, et la turbulence des fluides.
Pour la première, je suis plutôt optimiste ... »
Horace LAMB, physicien, 1932
Ecoulement externe : couche limite
• Dissipation visqueuse : seulement dans la couche limite• Vitesse fluide parfait : seulement dans la couche limite
Fluide parfait utilisable • si on « néglige » la couche limite• si on ne s’intéresse pas à la force de frottement
U0
Plaque solide
Couche limite
Ecoulement fluide parfait
x
€
δ x( ) =x
ρxU0
η
=x
Rex
U0
Même conclusion sicouche limite turbulente
€
Re =ρxU0
η
Couches limites et sillages
Ecoulements interne
Approximation écoulement piston
Ecoulement laminaire Ecoulement turbulent
Fluide parfait utilisable • si on moyenne le profil de vitesse• si on ne s’intéresse pas aux pertes de charges
Validité fluide parfait
• Ecoulements externes :
Si Re >> 1, valable à l’extérieur de la couche limite (qui est petite)Mais ne rend pas compte de certains phénomènes (trainée)Si Re << 1, à traiter par théorie écoulements rampants
• Ecoulements en conduite :
Fluide parfait applicable (Bernoulli) pour tout ReAvec correction pour pertes de charges
Conservation QDM en fluide parfait
€
ρ ∂v
∂t+ v.∇( )v
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟= ρg − grad p
€
∫∫S
ρv (v.n) dS + = -
QDM transportéepar le fluide
rentrant - sortant
€
d
dt
€
∫∫∫ρv dV
VVariation de QDM
du fluidedans le volume V
€
∫∫∫V
ρg dV
Poids
€
∫∫S
-pn dS
Pression
Sous forme locale :
Sous forme globale :
Masse
Fluide parfait incompressible
ρ( x, y, z, t) = ρ v=
Equations locales :
€
divv = 0
€
ρ0
∂v
∂t+ gradv 2 /2 + rot v∧v
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟= ρ 0g − grad pQDM
Une grande simplification est possible :
Loi de Bernoulli
Conditions aux limites
Quelles relations doit-on écrire aux frontières du domaines :
• parois solides• interface avec autre fluide• entrée d’un écoulement (typiquement d’un tuyau)• sortie d’un écoulement (idem)• infiniment loin en amont d’un obstacle
Conditions aux limites
• Paroi solide : normalement v = 0
ATTENTION : en fluide parfait, glissement autoriséon impose seulement : v.n = 0
vn
• Sortie écoulement : p imposé (souvent = patm) et v // n
• Infini amont : écoulement parallèle v = V0
V0
Loi de Bernoulli
v
On suppose régime permanent =>
€
∂v
∂t= 0
On projette la conservation QDM sur la ligne de courant
ρ ( grad v2/2 + rot v v) . dM = (ρg grad p) . dM
De plus, on peut écrire g = grad (gz)
grad (ρ v2/2 + p + ρgz) . dM = 0
1
2
ρ v12/2 + p1 + ρgz1 = ρ v2
2/2 + p2 + ρgz2
Ligne de courant : v // dM
v v
vM
dM
=> (rot v v) . dM = (v dM) . rot v = 0
Loi de Bernoulli
Sous les hypothèses :• Fluide parfait• Fluide incompressible• Régime permanent
La quantité p + ρv2/2 + ρgz est constante le long d’une ligne de courant
Energie potentielle de pression
Energie cinétique Energie potentiellede pesanteur
Conservation de l’énergie mécanique
Il existe une version en compressible
Peut être généralisé en instationnaire dans quelques cas rares (cf. TD)
Deuxième loi de Bernoulli
ρ ( + grad v2/2 + rot v v) = (ρg grad p)
De plus, on peut écrire g = grad (gz)
Applicable aux écoulements irrotationnels rot v = 0 => v = grad
On suppose régime permanent =>
€
∂ gradφ
∂t
grad ( + ρ v2/2 + p + ρgz) = 0 dans tout l’écoulement !
€
∂φ∂t
v v
vM
dM
€
v.∇( )v =
vx
vy
vz
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥.
∂∂x
∂∂y
∂∂z
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
vx
vy
vz
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥= vx
∂
∂x+ vy
∂
∂y+ vz
∂
∂z
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
vx
vy
vz
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Masse
« Par unité de temps, il sort autant de matière qu’il en rentre »