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Mecanica Geral (MEG)
Luciano Camargo Martins
Departamento de Fısica
Grupo de Dinamica N~ao Linear e Sistemas Dinamicos N~ao Lineares
UDESC-Joinville-SC, Brasil
http://www.lccmmm.hpg.com.br
Revisao 0.0.3 de 25 de janeiro de 2005
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Prefacio
Apresentamos nesta apostila, um resumo da teoria e alguyns exercıcios resolvidos especialmenteselecionados para o curso de Mecanica Geral da UDESC-Joinville. A apostila segue a mesmaestrutura do livro texto Mecanica, de K. R. Symon, porem o texto foi enriquecido com exemplosretirados de outras referencias bibliograficas1.
Alguns exemplos resolvidos foram bastante detalhados e ilustrados, a fim de demosntrar ao alunoa abordagem mais refinada que se da no estudo da Mecanica Geral, mesmo a problemas simplese elementares.
Tendo-se a paciencia de ler os exercıcios resolvidos, o aluno tera melhor visao do que se esperade uma “solucao”de um problema de fısica no ambito da Mecanica Classica, e por extensao, dequalquer outra area da Fısica.
Ao final do texto, nos apendices, estao tabelas de formulas e expressoes especıficas para cada umdos sistemas de coordenadas mais usados neste curso, sao eles: o sistema cartesiano, o esferico eo cilındrico.
Bom estudo e divirtam-se!
Professor Luciano Camargo MartinsJoinville, 25 de janeiro de 2005
1Veja-se as referencias bibliograficas.
i
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Sumario
1 Elementos de Mecanica Newtoniana 1
1.1 Mecanica, uma ciencia exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Cinematica, a descricao do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Dinamica, massa e forca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 As leis do movimento, de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4.1 Alguns comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Gravitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.1 Uma Forca Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Unidades e dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6.1 Notacao vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Alguns problemas elementares de Mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Movimento Unidimensional de uma Partıcula 14
A Sistemas de Coordenadas 28
A.1 Coordenadas Cartesianas (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A.1.1 Posicao, Velocidade, Aceleracao, etc... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A.1.2 Gradiente e Laplaciano de uma funcao escalar ϕ = ϕ(x, y, z) . . . . . . . . 29
A.1.3 Divergente, Rotacional e Derivada de um vetor A = Ax i + Ay j + Az k . . 29
A.1.4 A Regra da Mao Direita para o produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . 29
A.2 Coordenadas Cilındricas (ρ, ϕ, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
A.2.1 Posicao, Velocidade, Aceleracao, etc... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
A.2.2 Gradiente e Laplaciano de uma funcao escalar f = f(ρ, ϕ, z) . . . . . . . . 31
A.2.3 Divergente, Rotacional e Derivada de um vetor A = Aρ uρ + Aϕ uϕ + Az k 31
A.3 Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A.3.1 Posicao, Velocidade, Aceleracao, etc... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A.3.2 Gradiente e Laplaciano de uma funcao escalar f = f(r, θ, ϕ) . . . . . . . . 33
A.3.3 Divergente e Rotacional e um vetor A = Ar ur + Aθ uθ + Aϕ uϕ . . . . . . 33
0
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Capıtulo 1
Elementos de Mecanica Newtoniana
1.1 Mecanica, uma ciencia exata
A Mecanica e a parte da Fısica que descreve e prediz as condicoes de repouso ou movimento decorpos sob a acao de forcas.
O problema geral da mecanica. Dadas as condicoes iniciais (posicoes e velocidades) dos corposde interesse (sistema mecanico em estudo), as forcas que atuam sobre estes corpos e as equacoesbasicas que devem ser satisfeitas (leis de Newton) em geral quer-se encontrar, em qualquer instantefuturo, as novas posicoes e velocidades destes corpos.
Neste sentido, diz-se que a Mecanica e determinıstica pois as equacoes admitem em geral apenasuma solucao, e em condicoes ideais, seria entao possıvel se predizer o futuro de um sistemamecanico, desde fosse possıvel resolver analiticamente as equacoes de Newton do sistema, o queem geral e impossıvel. Apenas para alguns poucos sistemas muito simplificados sera possıvel umadescricao exata, sendo em geral, baseados em modelos muito irreais. Por exemplo, uma partıculaem queda livre pode ser idealizada, modelada e seu movimento completamente determinado, emcondicoes ideais onde muitas simplificacoes sao feitas. A pergunta e a seguinte, poderemos observaresse tipo de sistema no mundo real e o seu comportamento mecanico sera o mesmo?
1.2 Cinematica, a descricao do movimento
Repouso e movimento sao conceitos relativos, isto e, dependem da escolha de um referencial ondeesta o observador. Assim, para descrever um dado movimento, um observador deve definir umsistema de referencia, ou referencial, a partir do qual ele fara as medicoes necessarias para a oestudo do movimento de interesse.
Num dado refencial O, um observador pode medir a passagem de uma partıcula num ponto decoordenadas (x, y, z) num dado instante t. Um outro observador num outro referencial O ′, observao mesmo fenomeno e determina que a partıcula estava no ponto (x′, y′, z′) no instante t′, marcadono seu relogio local. Ambos observaram a mesma partıcula, mas podem chegar a conclusoesdiferentes. Por exemplo, um deles pode concluir, apos uma segunda medicao, que a partıcula estaem repouso, e o outro que ela esta em movimento. Ambos podem estar certos, e descrevem omovimento relativo da partıcula visto de cada um dos dois referenciais O e O ′ simultanamente.
A Mecanica Classica baseia-se nessa ideia de Galileu, de que o espaco e relativo, ou seja, dependedo referencial adotado, porem o tempo e absoluto e universal e nao depende do referencial usado.Para os observadores da partıcula no caso exposto acima, mesmo que ambos tivessem leiturasdiferentes em seus relogios, estaria determinando o mesmo instante universal, se seus relogios
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CAPITULO 1. ELEMENTOS DE MECANICA NEWTONIANA 2
estivessem sincronizados.
Mesmo com medicoes diferentes no espaco e no tempo, Galileu imaginou que as leis da naturezadeveriam ser invariantes, ou seja, ter a mesma foema matematica em qualquer referencial que semovam com velocidade constante, uns em relacao aos outros, os ditos referenciais inerciais.
Considerando-se que as coordenadas (x, y, z, t) de uma partıcula podem assumir qualquer valorreal, ou seja, sao variaveis contınuas, podemos usar o calculo diferencial e definir as velocidades
vx =dx
dt, vy =
dy
dte vz =
dz
dt(1.1)
e acelacoes
ax =dvxdt
=d2x
dt2, ay =
dvydt
=d2y
dt2e az =
dvzdt
=d2z
dt2(1.2)
ao longo dos eixos X, Y e Z do referencial O usado.
Ou seja, as funcoes x(t), y(t) e z(t) descrevem completamente o movimento da partıcula aolongo dos respectivos eixos espaciais, e portanto, o seu movimento no espaco fica completamentedeterminado, e pode ser descrito pelo vetor de posicao
v(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k (1.3)
numa base cartesiana ortonormal {i, j,k}. Como sera visto nos capıtulos seguintes, existem outrasbases vetoriais possıveis para representar o vetor r(t), e as mas usadas alem da cartesiana, sao abase cilındrica e a base esferica.
1.3 Dinamica, massa e forca
Os conceitos de massa, inercia e forca sao fundamentais na Mecanica de Newton, sao conceitosprimitivos, ou seja nao derivados. Tais conceitos provem intuitivamente da experimentacao cui-dadosa feita em laboratorio, usando-se diferentes corpos e medindo-se os efeitos causados nos seusmovimentos durante colisoes, por exemplo.
Dessa experimentacao meticulosa e exaustiva, pode-se concluir que, para dois corpos de massasmA e mB, por exemplo, as aceleracoes sofridas estao na razao inversa de suas massas, ou seja:
mA
mB
=aBaA
(1.4)
ou ainda, podemos dizer que mA aA = mB aB = constante. A essa constante chamamos de “forca”.
1.4 As leis do movimento, de Newton
Revisao das leis de Newton, desenvolvidas em 1687, para corpos de massa constante:
Primeira lei de Newton. Um corpo permanece em repouso ou com velocidade constante (aceleracaozero) quando abandonado a si mesmo, isto e, quando forcas externas nao atuam sobre ele.
a = 0⇐⇒ F = 0 (1.5)
Esta e a chamada lei da inercia, pois o estado de movimento (velocidade) de um corpo so seraalterado se alguma forca externa nao nula atuar sobre o corpo. Observe que, a partir desta lei,podemos concluir que um corpo pode se mover indefinidamente (por inercia) mesmo que nenhuma
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CAPITULO 1. ELEMENTOS DE MECANICA NEWTONIANA 3
forca atue sobre ele, ou seja, nao e necessario a presenca de uma forca para manter um corpo emmovimento, ou em repouso, num caso particular de movimento.
Segunda lei de Newton. A forca total (ou resultante) s0bre um corpo e o produto da massa m docorpo vezes a sua aceleracao a:
F = ma (1.6)
Esta lei tambem e conhecida como princıpio funcamental da Mecanica, pois, no caso de haver umaforca resultante sobre um corpo, ela permite se determinar qual a aceleracao que este corpo tera,ou seja, com que taxa temporal o seu estado de movimento sera alterado.
Observe tambem que a aceleracao sofrida pelo corpo de massa m, para uma dada forca resultanteF, sera inversamente proporcional a sua massa. Neste sentido, dizemos que a massa de um corpoe uma mediade de sua inercia.
a =F
m(1.7)
Ou seja, quanto maior a massa de um corpo (maior sua inercia) menor o efeito causado pelaforca sobre ela (aceleracao). Observe tambem que a aceleracao a sofrida pelo corpo sera sempreproporcional a forca resultante F, e portanto estes vetores terao sempre a mesma direcao e omesmo sentido, uma vez que a massa m sera sermpre positiva.
Mas cuidado, nao se pode descrever o movimento de uma partıcula de massa nula, sob a acao deuma forca resultante nao nula, pois terıamos uma aceleracao infinita, o que nao tem sentido fısico.
Terceira lei de Newton. Sempre que dois corpos 1 e 2 interagem, a forca F12, que o corpo 1 exercesobre o corpo 2, e igual e oposta a forca F21, que o corpo 2 exerce sobre o copor 1:
F12 = −F21 (1.8)
Essa lei e chamada de lei de acao e reacao, e segundo ela, as forcas de contato que ocorrem emcolisoes, por exemplo, aparecem sempre aos pares. Desta forma nao e possıvel se produzir umaforca sem que uma reacao contraria tambem surja. Observe que esse par de forca em geral naotuam no mesmo corpo, nao se anulando, portanto. E claro que as forcas sao indistiguıveis, ouseja, nao faz diferenca qual das forcas chamamos de acao, ou reacao.
1.4.1 Alguns comentarios
Existem limitacoes para a validade da terceira lei, pois ela pressupoe que as forcas sejam medidasinstantaneamente, ou seja, que as partıculas nao se movam muito durante o tempo da colisao.Esta aproximacao e muito boa para uma colisao de dois automoveis, pois o intervalo de tempoda colisao e muito maior do que o tempo que um raio de luz leva para atravessar um automovelamassado de tamanho L:
∆t ≈ L
c≈ 3, 0 m
3, 0× 108 m/s≈ 10−8 s (1.9)
Essa aproximacao nao funciona bem para colisoes de partıculas atomicas de alta energia, porexemplo.
As duas primeiras leis valem somente quando se observa o corpo em sistemas de referencia naoacelerados, como mostra a nossa experiencia diaria. Para um corpo permanecer em equilıbrionum sistema acelerado, num onibus freando, por exemplo, e necessario que atue sobre ele umaforca. Nao havendo essa forca, o corpo nao ira frear junto com o onibus, mentendo sua velocidadeconstante, para um observador fora do onibus, ou seja, o corpo sera lancado para a frente, podendomesmo sair pelo parabrisa do onibus.
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CAPITULO 1. ELEMENTOS DE MECANICA NEWTONIANA 4
1.5 Gravitacao
A lei da gravitacao universal, proposta por Newton em 1685, e um modelo matematico paradescrever a interacao entre massas de pequenas dimensoes (partıculas), e pode ser usada paraexplicar desde o mais simples fenomeno, como a queda de um corpo proximo a superfıcie daTerra, ate, o mais complexo, como as forcas entre corpos celestes, traduzindo com fidelidade suasorbitas e os diferentes movimentos.
Segundo a lenda, ao observar a queda de uma maca, Newton ficou intrigado ao ver a Lua no ceue teria se perguntado porque a Lua nao cai, como a maca. Ele investigou a hipotese de que elaambas, Lua e maca, deveriam ser atraıdas pela Terra, segundo uma mesma lei simples, e chegouna famosa lei de gravitacao. A natureza desta forca atrativa e a mesma que deve existir entre aTerra e a Lua ou entre o Sol e os planetas; portanto, a atracao entre as massas e um fenomenouniversal.
1.5.1 Uma Forca Elementar
Sejam duas partıculas de massas m1 e m2, separadas por uma distancia r. Segundo Newton, aintensidade da forca F de atracao entre as massas e dada por
F = Gm1m2
r2(1.10)
onde G e uma constante, a constante da gravitacao universal, sendo seu valor expresso, no SistemaInternacional, por
G = 6, 67× 10−11 N ·m2/kg2 (1.11)
����
����
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������F
m
m2
1
12
21
F
Figura 1.1: Duas partıculas se massas m1 e m2 sempre se atraem mutuamente, dando origem aum par de forcas F12 e F21.
As forcas F12 e F21 e a da reta que une as partıculas, e o sentido tal que as massas sempre seatraem mutuamente, com mesma intensidade de forca, ou seja
F12 = F21 (1.12)
Podemos, ainda, enunciar a lei da gravitacao universal do seguinte modo:
Dois corpos se atraem gravitacionalmente com forca cuja intensidade e diretamenteproporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado dadistancia entre seus centros de massa.
Apos a formulacao da lei da Gravitacao, com o desenvolvimento do calculo integral, Newtontambem mostrou que a forca gravitacional entre esferas homogeneas tambem segue a mesmaforma estabelecida para as partıculas. E tambem vale a mesma forca para uma partıcula e uma
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CAPITULO 1. ELEMENTOS DE MECANICA NEWTONIANA 5
esfera homogenea. Esse resultado foi tao surpreendente para o prooprio Newton, que inicialmentenem ele acreditou no que havia provado matematicamente!
Aplicando-se a lei de gravitacao para um corpo de massa m na superfıcie da Terra, temos entao
F = GMTm
R2T
=GMT
R2T
m = mg = P
onde RT e MT sao o raio e a massa da Terra, respectivamente, e a forca obtida chamamos peso.
Medidas atuais mostram que MT = 5, 98×1024 kg e RT = 6, 37×106 m. A constante g que apareceacima e justamente a aceleracao da gravidade na superfıcie da Terra. Experimente calcular g comos dados fornecidos!
Observacoes importantes
1. A forca gravitacional e sempre atrativa;
2. A forca gravitacional nao depende do meio onde os corpos se encontram imersos;
3. A constante da gravitacao universal G teve seu valor determinado experimentalmente porHenry Cavendish, em 1798, por meio de um instrumento denominado balanca de torcao eesferas de chumbo.
Pense e Responda!
• Qual a direcao e o sentido da forca de atracao gravitacional exercida pela Terra sobre oscorpos que estao proximos a superfıcie?
• A aceleracao da gravidade na Lua e 6 vezes menor do que a aceleracao da gravidade proximaa superfıcie da Terra. O que acontece com o peso e a massa de um astronauta na Lua?
• O valor da aceleracao da garvidade e relevante para os esportes?
1.6 Unidades e dimensoes
Neste curso usaremos preferencialmente o Sistema Internacional de Unidades (SI) para representaras medidas numericas das grandezas fundamentais da Mecanica:
grandeza dimensao unidade SI sımbolocomprimento L metro mmassa M kilograma kgtempo T segundo svelocidade LT−1 metro por segundo m/saceleracao LT−2 metro por segundo, por segundo m/s2
forca MLT−2 newton N = kg ·m/s2
momento linear MLT−1 newton vezes segundo N · s = kg ·m/s
Sempre que um problema envolva calculos numericos, usaremos a notacao cientıfica para repre-sentar as medidas (intensidades) das grandezas envolvidas.
Muitos dos exercıcios e problemas do final de cada capıtulo do livro texto do curso [1], sao bastantesimilares, de modo que o aluno deve escolher apenas um de cada tipo para atividade de casa.
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CAPITULO 1. ELEMENTOS DE MECANICA NEWTONIANA 6
Sugerimos ao aluno, ler sempre a parte teorica e os exemplos feitos no livro texto, antes de tentarresolver os problemas escolhidos, relativos a uma determinada secao do livro texto, ou capıtulo.A discussao e estudo em grupo de alunos pode ser feita, porem cada aluno deve finalmente sercapaz de responder por escrito a cada um dos problemas estudados, com suas proprias palavras.
Para a completa e correta solucao dos problemas propostos, o aluno devera formular as hipotesesnecessarias e suficientes para desenvolver seus calculos a partir de primeiros princıpios, ou seja,dos princıpios fundamentais e das leis fısicas basicas envolvidas em cada tipo de problema.
Neste processo de desenvolvimento e solucao de problemas, e imprescindıvel que o aluno observe asunidades das medidas e grandezas a serem determinadas/utilizadas, a sua correta representacao emum sistema de medidas, preferencialmente o Sistema Internacional de medidas (SI), as dimensoesdestas grandezas e a sua representacao com o numero correto de algarismos significativos, istoquando tratar-se de problemas com resultados numericos a serem obtidos. A fim de minimizara propagacao de erros numericos sugerimos que o aluno use, sempre que possıvel, pelo menostres algarismos significativos para as grandezas medidas e resultados obtidos nos problemas queenvolvam calculos numericos.
Nos problemas cuja solucao e puramente algebrica analıtica, o aluno deve fazer uso da analisedimensional para verificar a homogeneidade dimensional das expressoes e resultados obtidos, tes-tando sempre que possıvel os limites conhecidos destas expressoes, e comparando seus resultadoscom outros resultados gerais ja estudados.
1.6.1 Notacao vetorial
Os livros de Fısica, em geral, fazem o uso de letras em negrito para representar grandezas vetorias.Por exemplo, a segunda lei de Newton e escrita na forma F = ma, que e completamente equivalentea forma classica ~F = m~a, preferida por alguns autores. Quando alguma formula vetorial formanuscrita, devemos fazer uso da segunda forma, para que fique claro o carater vetorial ou escalarde cada grandeza, ja que normalmente nao escrevemos em negrito.
1.7 Alguns problemas elementares de Mecanica
1) Calcule a forca de atracao gravitacional entre um eletron e um proton separados por umadistancia de 0, 5 A (1 A = 10−8 cm). Compare com a forca de atracao eletrostatica cuja distanciade separacao seja a mesma.
Considerando-se o proton e o eletron como partıculas de massas mp e me, respectivamente, a forcagravitacional (atrativa) entre eles tera a seguinte intensidade (modulo), dada pela lei de gravitacaode Newton
FG =Gmpme
r2=
(6, 67× 10−11 N ·m2/kg2)(1, 67× 10−27 kg)(9, 11× 10−31 kg)
(0, 5× 10−10 m)2
FG = 4× 10−47 N . (1.13)
A forca eletrica entre estas partıculas, tambem atrativa, segundo a lei de Coulomb
FE =k qp qer2
=(8, 99× 109 N ·m2/C2)(1, 60× 10−19 C)2
(0, 5× 10−10 m)2= 9× 10−8 N . (1.14)
Dividindo-se os modulos das forcas, obtemos a razao
FEFG
=9× 10−8 N
4× 10−47 N≈ 2× 1039 (1.15)
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CAPITULO 1. ELEMENTOS DE MECANICA NEWTONIANA 7
ou seja, a forca eletrica e muito maior (≈ 1039 vezes) do que a forca gravitacional. J
2) Dois carros1 , A e B, movem-se no mesmo sentido. Quando t = 0, suas respectivas velocidadessao 1 m/s e 3 m/s, e suas respectivas aceleracoes sao 2 m/s2 e 1 m/s2. Se no instante t = 0 ocarro A esta a 1, 5 m a frente do carro B, determinar o instante em que eles estarao lado a lado.
Analise inicial. Vamos investigar inicialmente qual tipo de problema que esta sendo proposto.Como o problema envolve apenas o movimento de dois carros, cujas massas sao desconhecidas enenhuma forca e dada, concluimos que se trata de um problema de cinematica.
Modelo. Vamos supor que os carros se movam numa pista reta e horizontal, da esquerda para adireita (sobre o eixo X, no sentido crescente do eixo, por exemplo).
Nosso “sistema mecanico”de interesse inclui os dois carros e o referencial do chao, a pista:
xB xAXO
1,5 m
3 m/s 1 m/s
Figura 1.2: O nosso modelo simplificado para o sistema de dois carros A e B, no instante inicialt = 0.
Equacoes de movimento. Vamos supor tambem que os carros possam ser tratados comopartıculas uniformemente aceleradas, ou seja, estao em MRUV, e portanto, suas posicoes emfuncao do tempo seguem a forma geral
x(t) = x0 + v0(t− t0) +1
2a(t− t0)2 (1.16)
Como o carro A inicia o seu movimento adiante do carro B, em 1, 5 m, entao temos que xA0 =xB0 + 1, 5 m, e a sua posicao inicial, em funcao da posicao inicial xB0 do carro B, que nao e dada.Sera que esse dado e relevante?
A equacao de movimento para o carro A sera entao
xA(t) = xA0 + vA0(t− t0) +1
2aA(t− t0)2 = xB0 + 1, 5 m+ (1 m/s)t+
1
2(2 m/s2)t2 (1.17)
onde consideramos t0 = 0.
A posicao do carro B sera dada por
xB(t) = xB0 + vB0(t− t0) +1
2aB(t− t0)2 = xB0 + (3 m/s)t+
1
2(1 m/s2)t2 (1.18)
Solucoes. Vamos procurar o instante onde os carros ficam lado a lado, ou seja, ocupam a mesmaposicao sobre o eixo horizontal sem que haja colisao, resolvendo-se a equacao xA(t) = xB(t), ou deforma equivalente, vamos escrever xA(t)− xB(t) = 0, subtraindo as equacoes anteriores, de ondeobtemos:
(1, 5 m)− (2 m/s) t+ (1
2m/s2) t2 = 0 (1.19)
e multiplicando-se por 2 s2/m e reescrevendo
t2 + (−4 s) t+ (3 s2) = 0 (1.20)
1Referencia [2], problema 5.12, pagina 108.
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CAPITULO 1. ELEMENTOS DE MECANICA NEWTONIANA 8
e resolvendo para t, temos
t =−(−4 s)±
√(−4 s)2 − 4 · 1 · (3 s2)
2 · 1 (1.21)
donde
t =4 s± 2 s
2(1.22)
e concluimos finalmente que os carros estarao lado a lado em dois instantes futuros: t− = 1 s et+ = 3 s.
Analise grafica. A partir do grafico da Fig. 1.3, confirmamos visualmente que as posicoes deambos coincidem nos instantes t− = 1 s e t+ = 3 s, e que suas posicoes nesses instantes sao,respectivamente, xA = xB = 4, 5 m e xA = xB = 13, 5 m, o que pode ser obtido analiticamentesubstituindo-se os instantes t− e t+, nas equacoes horarias xA(t) e xB(t). A concordancia dessesvalores obtidos, para ambos os carros, confirma o resultado esperado, que ambos estejam lado alado nesses instantes.
0
5
10
15
20
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
x (m
)
t (s)
carro B: velocidade inicial
carro A: velocidade inicial
A
A
B
carro A: x_A(t)carro B: x_B(t)
Figura 1.3: Os graficos da posicao versus tempo para os carros.
Analise geral. Para analise final do movimento, marcamos sobre o grafico as inclinacoes iniciais(tangentes) das curvas xA(t) e xB(t), donde se pode ver que o carro B, inicialmente mais lento,ultrapassa o carro A no instante t− = 1, 0 s e depois, no instante t+ = 3, 0 s, e ultrapassadopelo o carro A, que no inıcio era mais lento, porem possui aceleracao maior do que a do carroB. Observe dos graficos que a “curvatura”parabola (linha) de xA(t) e maior do que a de xB(t).Em geral, neste tipo de grafico, a curvatura e proporcional a segunda derivada da funcao, no casod2x(t)/dt2, que e a aceleracao do movel.
Contextualizacao. Este tipo de movimento ocorre frequentemente nas corridas (de Formula1, por exemplo) quando um carro B tenta ultrapassar outro A numa curva. Neste caso real o
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CAPITULO 1. ELEMENTOS DE MECANICA NEWTONIANA 9
movimento nao e retilıneo, mas as suas outras caracterısticas sao semelhantes as do problemaestudado. Para executar a tentativa de ultrapassagem, o piloto do carro B, que vem logo atrasdo carro A retarda a freada e entra na curva com maior velocidade, saindo do tracado ideal (demenor tempo).
Carro ACarro B
A
A
A A
A
B
B
B
B
A
B
B
AB
B
A
BA
CASIO
CHRTMRDUALALM
AM
CASIO
CHRTMRDUALALM
AM
CASIO
CHRTMRDUALALM
AM
CASIO
CHRTMRDUALALM
AM
CASIO
CHRTMRDUALALM
AM
CASIO
CHRTMRDUALALM
AM
Figura 1.4: O piloto do carro B tenta ultrapassar o carro A e leva um “X”.
Desta forma o carro B consegue ultrapassar o carro A, mais lento, porem na retomada da velo-cidade, o carro A conseguira acelerar mais do que o carro B que fora do tracado ideal, nao terao mesmo rendimento (pista suja e maior percurso), sendo que o carro A ira, a seguir, retomar asua posicao a frente do carro B. Essa manobra e o famoso “X”, e diz-se que o piloto do carro Btomou um “X”do piloto do carro A, o que e considerado bastante “humilhante”para o piloto B,pois suas intencoes de ultrapassar o carro A foram frustadas. Veja-se a Fig. 1.4. J
3) Um carro 2 de massa M , transportando quatro pessoas, cada uma com massa m, viaja em umaestrada de terra coberta de pequenas ondulacoes (costeletas), com saliencias separadas de umadistancia λ. O carro balanca com amplitude maxima quando sua velocidade e v. O carro parae os quatro passageiros desembarcam. De quanto sobe a carroceria do carro em sua suspensao,devido ao decrescimo de peso?
Como primeira hipotese, vamos supor por simplicidade que o carro seja um sistema massa-molaamortecido, ja que sua carroceria esta apoiada sobre a sua suspensao, baseada em quatro molas(em paralelo), amortecedores, rodas e pneus. Como a maior parte da massa do carro esta nasua carroceria, e nos quatro passageiros embarcados, vamos considerar que o carro e um osciladormassa-mola amortecido de massa total mt = M + 4m, ligado a uma mola de constante elasticaefetiva k, que inclui o efeito de todas as molas de sua suspensao.
2Veja ref. [4]
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CAPITULO 1. ELEMENTOS DE MECANICA NEWTONIANA 10
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v
λ λ
Figura 1.5: Um automovel andando com velocidade v sobre uma estrada com ondulacoes (costele-tas), igualmente espacadas de uma distancia λ, fica sujeito a impulsos verticais periodicos.
A medida que o carro se desloca na estrada com velocidade constante v, as saliencias produzemforcas verticais (impulsos) periodicos, ja que estao igualmente espacadas de uma distancia λ. Operıodo T desta forca externa que atua sobre o carro sera exatamente o tempo que o carro levapara se deslocar de uma saliencia ate a outra, ou seja, como
v = λ/T (1.23)
entao temos queT = λ/v (1.24)
Podemos dizer entao que essa forca externa produzida pelas ondulacoes da estrada possuem umafrequencia angular
ω = 2π/T = 2πv/λ . (1.25)
Como o motorista do carro observou que a amplitude das oscilacoes verticais feitas pelo carroe maxima quando ele se desloca com uma dada velocidade v, podemnos supor que o carro, ouo sistema massa-mola equivalente, entra em ressonancia nessa velocidade, devido aos impulsosexternos periodicos de frequencia ω.
Sabendo-se que um sistema massa-mola possui frequencia natural de oscilacao dada por
ω0 =
√k
m(1.26)
onde m e sua massa e k o valor da constante elastica da mola a qual a massa esta conectada,podemos supor que, para o nosso carro
ω0 =
√k
mt
=
√k
M + 4m. (1.27)
Como o carro entrou em ressonancia na velocidade v, supomos entao que foi atingida a condicaode ressonancia, ou seja
ω ' ω0 (1.28)
entao
2πv/λ '√
k
M + 4m(1.29)
de onde podemos obter a constante elastica k efetiva do carro:
k ' (2πv/λ)2 (M + 4m) . (1.30)
Finalmente, como a suspensao do carro segue a lei de Hooke, ao se acrescentar a massa dos quatropassageiros (que entraram no carro), a deformacao da carroceria (suspensao) pode ser calculadada lei de Hooke:
F = −k∆x (1.31)
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CAPITULO 1. ELEMENTOS DE MECANICA NEWTONIANA 11
onde k e a constante elastica efetiva da suspensao do carro e F e a forca peso (4mg) acrescentadaao sistema. Em modulo, a deformacao ∆x sera entao
∆x =F
k=
4mg
k. (1.32)
E importante se observar que a constante elastica k de uma mola mede a sua “rigidez”, ou seja,quanto maior o seu valor mais “dura” ela e, e mais difıcil e a sua deformacao. Porem, dentrode uma faixa de deformacao elastica, a rigidez de uma mola que segue a lei de Hooke e semprea mesma, fazendo juz ao nome de “constante”. Sendo assim, nao e relevante o fato das molasdo carro ja estarem comprimidas, pelo seu proprio peso (Mg), antes dos passageiros tomaremassento.
Ao deixarem o carro, o excesso de peso 4mg e removido do sistema e a carroceria do carro entaosobe a mesma quantidade que ela baixou quando os passageiros entraram no carro.
Portanto, a partir das equacoes (1.30) e (1.32), podemos concluir que, a carroceira devera subiraproximadamente
∆x ' 4mg
(2πv/λ)2(M + 4m). (1.33)
quando os passageiros saırem do carro.
Numericamente, se utilizarmos dados razoaveis como M = 1.000 kg, m = 75, 0 kg, g = 9, 81 m/s2,v = 10, 0 m/s e λ = 15, 0 m, teremos
∆x ' 4(75, 0 kg)(9, 81 m/s2)
{(2π)(10, 0 m/s)/(15, 0 m)}2(1.000 kg + 4(75, 0 kg))= 0, 129 m . (1.34)
Comentarios
Na solucao simples proposta para esse problema, e notavel a quantidade de hipoteses, consi-deracoes, aproximacoes, fenomenos e leis fısicas envolvidas e necessarias ao seu desenvolvimento.
Apos um longo e encadeado raciocınio, baseado num modelo simples — o sistema massa mola,chegamos a solucao dada pela equacao (1.33), que dificilmente poderia ter sido obtida por ummetodo muito mais simples do que este apresentado acima. Porem, esta e somente uma solucaoproposta, e esperamos que um aluno de Fısica consiga, com suas proprias palavras e metodos,chegar a uma solucao propria do mesmo problema, quem sabe mais simples ainda.
Na Fısica, consideramos que a beleza esta na simplicidade, na generalidade e na clareza, tantoem se tratando da formulacao de um problema, quanto na sua solucao. Como preenche esses tresrequisitos basicos, considero que este e um belo problema de Fısica, francamente, o mais belo detodos que ja vi. J
4) Uma forca horizontal F e feita sobre um bloco de massa m que esta em repouso sobre um planosem atrito, inclinado de um angulo θ com a horizontal.
A) Determine a intensidade da forca F para o equilıbrio do bloco.
Para o sistema de eixos XY usual, temos que ter, para o equilıbrio do bloco:∑
Fx = F −N sin θ = 0 (1.35)∑
Fy = P −N cos θ = 0 (1.36)
ja que a normal N faz um angulo θ com o eixo Y .
Dividindo-se as equacoes de equilıbrio temos:
F/P = tan θ (1.37)
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CAPITULO 1. ELEMENTOS DE MECANICA NEWTONIANA 12
donde, finalmente
F = P tan θ = mg tan θ (1.38)
B) Determine a posicao x(t) do bloco, se a forca horizontal for removida.
Definindo-se um sistema de eixos X ′Y ′, sendo o eixo X ′ paralelo ao plano inclinado teremos,depois da remocao da forca F: ∑
Fx′ = −mg sin θ = ma (1.39)
e cancelando-se a massa m do blocoa = −g sin θ (1.40)
que e a aceleracao constante do bloco, na descida do plano.
Como a = dv/dt, para o caso de aceleracao constante, temos:
∫ v(t)
v0
dv =
∫ t
0
a dt′ = a
∫ t
0
dt′ = a t (1.41)
entaov(t) = v0 + a t (1.42)
e como v0 = 0, temos que v(t) = at.
E como v = dx/dt, temos:
∫ x(t)
x0
dx =
∫ t
0
v(t′) dt′ =
∫ t
0
(v0 + at′)dt′ (1.43)
x(t)− x0 = v0t+1
2at2 (1.44)
e se fizermos x0 = 0 e v0 = 0, teremos
x(t) =1
2at2 (1.45)
Para o bloco solto em repouso na origem do sistema X ′Y ′, finalmente teremos:
x(t) =1
2g sin θ t2 . (1.46)
J
5) Um projetil de massa m e lancado verticalmente com velocidade inicial v0 da superfıcie de umaplaneta de massa M e raio R, sem atmosfera, e observa-se que ele atinge uma altura maxima h,acima de sua superfıcie. A) Escreva uma expressao particular para a massa desse planeta.
Como a forca gravitacional e conservativa, e o planeta nao tem atmosfera, pode-se usar o teoremado trabalho-energia, para as posicoes inicial e de altura maxima do projetil, obtendo-se:
1
2mv2
0 −GMm
R= 0− GMm
R + h(1.47)
onde R e o raio do planeta, M sua massa e h a altura maxima (v = 0) do projetil de massa m.
Dividindo-se a ultima equacao por GM e reagrupando-se os termos, temos:
1
R + h− 1
R=−v2
0
2GM(1.48)
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CAPITULO 1. ELEMENTOS DE MECANICA NEWTONIANA 13
e finalmente
M =v2
0R
2G
(R + h
h
). (1.49)
B) Determine a velocidade de escape para esse planeta?
Tomando-se o limite h→∞ na expressao final da massa M do item A), pode-se obter o valor veda velocidade de escape, que e justamente o valor de v0 nesse limite:
M =v2eR
2Glimh→∞
(R
h+ 1
)=v2eR
2G(1.50)
Logo
ve =
√2GM
R. (1.51)
J
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Capıtulo 2
Movimento Unidimensional de umaPartıcula
PROBLEMAS
9) Um cabo-de-guerra e seguro por dois grupos de cinco homens, cada um. Cada homem “pesa”70 kg e pode puxar o caboinicialmente com uma forca de 100 N . Inicialmente os dois grupos estaocompensados, mas quando os homens cansam, a forca com que cada um puxa o cabo decresce deacordo com a relacao
F (t) = (100 N) e−t/τ (2.1)
onde o tempo medio τ para atingir o cansaco e de 10 s para um grupo e 20 s para o outro.Suponha que nenhum dos homens solte o cabo e use g = 9, 8 m/s2.
a) Determine o movimento.
Vamos supor que inicialmente o cabo-de-guerra esta parado, e o centro da corda esta na origemO do eixo orizontal X, e vamos chamar a equipe da esquerda de equipe 1, e a da direita de equipedois. Sendo assim, o tempo medio para atingir o cansaco, sera, τ1 = 10 s, para a equipe 1 eτ2 = 20 s para a equipe 2.
Consideremos como nosso sistema o conjunto todo, incluindo a corda. Cada homem faz a forcaF (t) sobre o chao, e sofre a reacao desta forca, que age sobre o conjunto (sistema). A resultantedestas forcas sera: ∑
Fx = −5F1(t) + 5F2(t) = (10m)a (2.2)
onde 10m e a massa total do sistema, e a = dv/dt a sua aceleracao.
Reescrevendo temos
5{−F0 e−t/τ1 + F0 e
−t/τ2} = 10mdv
dt(2.3)
14
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CAPITULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTICULA 15
onde F0 = 100 N e m e a massa de cada homem.
Simplificando e separando as variaveis, temos
F0
2m
∫ t
0
(e−t′/τ2 − e−t′/τ1) dt′ =
∫ v(t)
0
dv (2.4)
ja que no instante inicial t = 0 o sistema esta em repouso.
Integrando temos a velocidade do conjunto
v(t) =
[F0
2m
(e−t
′/τ2
−1/τ2
− e−t′/τ1
−1/τ1
)]t
t′=0
(2.5)
substituindo nos limites
v(t) = − F0
2m
{τ2(e−t/τ2 − 1)− τ1(e−t/τ1 − 1)
}(2.6)
e reescrevendo temos
v(t) =F0
2m
{τ2(1− e−t/τ2)− τ1(1− e−t/τ1)
}(2.7)
Integrando-se mais uma vez, termos a posicao do conjunto (centro da corda)
∫ t
t′=0
dx = x(t)− x(0) =F0
2m
∫ t
t′=0
{τ2(1− e−t′/τ2)− τ1(1− e−t′/τ1)
}dt′ (2.8)
ou seja, como x(0) = 0 temos
x(t) =F0
2m
[{τ2
(t′ − e−t
′/τ2
−1/τ2
)− τ1
(t′ − e−t
′/τ1
−1/τ1
)}]t
t′=0
(2.9)
e substituindo os limites
x(t) =F0
2m
[τ2{t+ τ2(e−t/τ2 − 1)} − τ1{t+ τ1(e−t/τ1 − 1)}
](2.10)
e reescrevendo
x(t) =F0
2m
[τ2{t− τ2(1− e−t/τ2)} − τ1{t− τ1(1− e−t/τ1)}
](2.11)
Desse resultados, podemos ver que se τ1 = τ2, a corda nunca se movera para lado nenhum ja queas equipes farao sempre a mesma forca, num mesmo instante t, apesar de fazerem cada vez menosforca.
b) Qual a velocidade final dos dois times?
Tomando-se o limite t −→∞ em (2.7) temos a velocidade final vF do sistema
vF = limt→∞
v(t) =F0
2m(τ2 − τ1) (2.12)
e como a equipe 2 cansa mais devagar do que a equipe 1, pois τ2 > τ1, a vencedora sera a equipe2, e a velocidade final sera
vF =100 N
2 · 70 kg(20 s− 10 s) = 7, 1 m/s (2.13)
c) Qual das suposicoes e responsavel por este resultado nao razoavel?
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CAPITULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTICULA 16
O modelo da forca, decaindo exponencialmente a zero, e irreal para o limite feito acima, pois asequipes nao manterao a forca por um tempo muito longo, de forma que depois de alguns segundost >> τ as forcas ja serao pequenas e a disputa tera acabado.
Como a equipe 2 cansa mais devagar, consegue realizar um impulso maior sobre o sistema, quedepois de um longo tempo sera arrastado para a direita, desequilibrando as forcas e ganhando ocabo-de-guerra. J
11) Um barco cuja velocidade inicial e v0 e desacelerado por uma forca de atrito
F = −beαv (2.14)
a) Determine o seu movimento.
Supondo que o barco inicie o seu movimento para a direita (v0 > 0) no instante t0 = 0, na origemx0 = 0, temos:
F (v) = −beαv = mdv
dt(2.15)
e separando as variaveis e integrando
− b
m
∫ t
t′=0
dt′ =
∫ v(t)
v′=v0
dv′
eαv′(2.16)
− b
mt =
[e−αv
′
−α
]v(t)
v′=v0
(2.17)
αb
mt = e−αv(t) − e−αv0 (2.18)
e isolando-se v(t) temos
e−αv(t) = e−αv0 +αb
mt (2.19)
e tomando-se o logaritmo desta expressao
−αv(t) = ln
(e−αv0 +
αb
mt
)(2.20)
e finalmente
v(t) = − 1
αln
(e−αv0 +
αb
mt
)(2.21)
Observe que o barco se move inicialmente para a direita e a expressao encontrada da a suavelocidade ate que ele pare, e esta deve ser positiva. Na verdade, o termo e−αv0 < 1 e seulogaritmo e negativo, resultando que v(t) > 0, desde t = 0 ate o instante em que o barco para.
Integrando-se a velocidade v(t) = dx/dt, temos
∫ x(t)
x0
dx′ = − 1
α
∫ v(t)
v′=v0
ln
(e−αv0 +
αb
mt′)dt′ (2.22)
e integrando-se por substituicao direta (u = e−αv0 + αbt′/m; du = (αb/m)dt′), temos:
x(t) = − m
α2b
∫lnu du (2.23)
e como ∫lnu du = u(lnu− 1) (2.24)
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CAPITULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTICULA 17
v(t)
t
Vo
O
Figura 2.1: A velocidade do barco v(t)× t, valida ate v = 0.
temos
x(t) = − m
α2b
[(e−αv0 +
αb
mt′){
ln
(e−αv0 +
αb
mt′)− 1
}]t
t′=0
(2.25)
e substituindo nos limites de integracao
x(t) = − m
α2b
[(e−αv0 +
αb
mt
){ln
(e−αv0 +
αb
mt
)− 1
}−(e−αv0
) {ln(e−αv0)− 1
}](2.26)
e finalmente
x(t) = − m
α2b
[(e−αv0 +
αb
mt
){ln
(e−αv0 +
αb
mt
)− 1
}+ e−αv0(αv0 + 1)
](2.27)
b) Determine o tempo e a distancia necessaria para parar o barco.
Podemos determinar o instante tF em que o barco para atraves da expressao (2.21), resolvendov(tF ) = 0, ou seja,
− 1
αln
(e−αv0 +
αb
mtF
)= 0 (2.28)
e essa equacao sera satisfeita quando o argumento da funcao ln for igual a 1, pois ln(1) = 0. Entaotemos que ter (
e−αv0 +αb
mtF
)= 1 (2.29)
de ondeαb
mtF = 1− e−αv0 (2.30)
e finalmentetF =
m
αb(1− e−αv0) (2.31)
sera o instante em que o barco tera velocidade nula.
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CAPITULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTICULA 18
A posicao do barco nesse instante sera
x(tF ) = − m
α2b
[(e−αv0 +
αb
m· mαb
(1− e−αv0)
){ln
(e−αv0 +
αb
m· mαb
(1− e−αv0)
)− 1
}
+e−αv0(αv0 + 1)]
(2.32)
e simplificando
x(tF ) =m
α2b
{1− e−αv0(αv0 + 1)
}(2.33)
Observe que se v0 = 0 entao terıamos tF = 0. Como o barco partiu da posicao x(0) = 0, podemosdizer que o seu deslocamento total (maximo) sera entao x(tF )− x(0) = x(tF ). J18) Uma partıcula de massa m esta sujeita a acao de uma forca
F = −kx+kx3
a2(2.34)
onde k e a sao consatantes.
a) Determine V (x) e discuta os possıveis tipos de movimentos que possam ocorrer.
b) Mostre que se E = 14ka2, a intergral na Eq. (2.46) poder ser resolvida por metodos elementares.
Determine x(t) para este caso, escolhento x0 e t0 de maneira conveniente. Mostre que os seusresultados concordam com a discussao qualitativa do item (a) para essa energia.
19) Uma partıcula de massa m e repelida da origem por uma forca inversamente proporcional aocubo de sua distancia a origem. Escreva e resolva a equacao do movimento, considerando que apartıcula esta inicialmente em repouso a uma distancia x0 da origem.
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CAPITULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTICULA 19
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CAPITULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTICULA 20
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CAPITULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTICULA 21
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CAPITULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTICULA 22
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CAPITULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTICULA 27
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Apendice A
Sistemas de Coordenadas
A.1 Coordenadas Cartesianas (x, y, z)
� � � �� � � �� � � �� � � �
� �� �� �� �� �� �
� �� �� �� �� �� � � � �� � �� � �� � �
� � �� � �� � �� � �Z
Y
r
yx
zk
ji
k j
i
(x,y,z)
X
Figura A.1: O sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z)
A.1.1 Posicao, Velocidade, Aceleracao, etc...
r = x i + y j + z k (A.1)
v = x i + y j + z k (A.2)
a = x i + y j + z k (A.3)
dV = dx dy dz (A.4)
r = (x2 + y2 + z2)1/2 (A.5)
28
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APENDICE A. SISTEMAS DE COORDENADAS 29
A.1.2 Gradiente e Laplaciano de uma funcao escalar ϕ = ϕ(x, y, z)
∇ϕ(x, y, z) =∂ϕ
∂xi +
∂ϕ
∂yj +
∂ϕ
∂zk (A.6)
∇2ϕ(x, y, z) =∂2ϕ
∂x2+∂2ϕ
∂y2+∂2ϕ
∂z2(A.7)
A.1.3 Divergente, Rotacional e Derivada de um vetor A = Ax i +Ay j +Az k
∇ ·A =∂Ax∂x
+∂Ay∂y
+∂Az∂z
(A.8)
∇×A =
(∂Az∂y− ∂Ay
∂z
)i +
(∂Ax∂z− ∂Az
∂x
)j +
(∂Ay∂x− ∂Ax
∂y
)k (A.9)
dA
d t=
dAxdt
i +dAydt
j +dAzdt
k (A.10)
A.1.4 A Regra da Mao Direita para o produto vetorial
b
a b
(C) C
opyr
ight
200
3 Lu
cian
o C
amar
go M
artin
s
a
médio
indicador
polegar
������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������
���������������������������������������������
���������������������������������������������
Figura A.2: A regra da mao direita para o produto vetorial. O produto vetorial a × b e normalao plano definido pelos vetores a e b.
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APENDICE A. SISTEMAS DE COORDENADAS 30
A.2 Coordenadas Cilındricas (ρ, ϕ, z)
� �� �� �� �� �� �
� �� �� �� �� �� � � �� �
� �� �� �� �� �� �
� � � � �� � � � �
r
x
z
Z
jk
i
k
y
k u
uu
u
ρ
ϕ
ϕ
ρ
ϕρ
X
Y
Figura A.3: O sistema de coordenadas cilındricas (ρ, ϕ, z)
A.2.1 Posicao, Velocidade, Aceleracao, etc...
r = ρuρ + z k (A.11)
v = ρuρ + ρϕuϕ + z k (A.12)
a = (ρ− ρϕ2) uρ + (ρϕ+ 2ρϕ) uϕ + z k (A.13)
uρ = cosϕ i + sinϕ j (A.14)
uϕ = − sinϕ i + cosϕ j (A.15)
duρdϕ
= uϕ (A.16)
duϕdϕ
= −uρ (A.17)
(x, y, z) = (ρ cosϕ, ρ sinϕ, z) (A.18)
(ρ, ϕ, z) = ((x2 + y2)1/2, arctan(y/x), z) (A.19)
r = (ρ2 + z2)1/2 (A.20)
dV = ρ dρ dϕ dz (A.21)
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APENDICE A. SISTEMAS DE COORDENADAS 31
A.2.2 Gradiente e Laplaciano de uma funcao escalar f = f(ρ, ϕ, z)
∇f =∂f
∂ρuρ +
1
ρ
∂f
∂ϕuϕ +
∂f
∂zk (A.22)
∇2f =1
ρ
∂
∂ρ
(ρ∂f
∂r
)+
1
ρ2
∂2f
∂ϕ2+∂2f
∂z2(A.23)
A.2.3 Divergente, Rotacional e Derivada de um vetor A = Aρ uρ +Aϕ uϕ + Az k
∇ ·A =1
ρ
∂
∂ρ(ρAρ) +
1
ρ
∂Aϕ∂ϕ
+∂Az∂z
(A.24)
∇×A =
(1
ρ
∂Az∂ϕ− ∂Aϕ
∂z
)uρ +
(∂Aρ∂z− ∂Az
∂ρ
)uϕ +
1
ρ
(∂
∂ρ(ρAϕ)− ∂Aρ
∂ϕ
)k (A.25)
dA
d t=
(dAρdt− Aϕ
dϕ
dt
)uρ +
(dAϕdt
+ Aρdϕ
dt
)uϕ +
dAzdt
k (A.26)
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APENDICE A. SISTEMAS DE COORDENADAS 32
A.3 Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ)
uθ
u φ
r u
!"!!"!!"!!"!!"!!"!
#"##"##"##"##"##"# $"$$"$
$"$$"$$"$%"%%"%%"%%"%%"%
&"&"&"&"&&"&"&"&"&'"'"'"''"'"'"' x
z
y
r
Z
Yφ
θ
r
u φ
r u
uθ
k
i j
X
Figura A.4: O sistema de coordenadas esfericas (r, θ, ϕ)
A.3.1 Posicao, Velocidade, Aceleracao, etc...
r = r ur (A.27)
v = r ur + rθ uθ + r sin θ ϕuϕ (A.28)
a = (r − rθ2 − r sin2 θ ϕ2) ur + (rθ + 2rθ − rϕ2 sin θ cos θ) uθ + (A.29)
(rϕ sin θ + 2rϕ sin θ + 2rθϕ cos θ) uϕ
(x, y, z) = (r sin θ cosϕ, r sin θ sinϕ, r cos θ) (A.30)
(r, θ, ϕ) = ((x2 + y2 + z2)1/2, arctan((x2 + y2)/z), arctan(y/x)) (A.31)
ur = sin θ uρ + cos θ k = sin θ cosϕ i + sin θ sinϕ j + cos θ k (A.32)
onde: sin θ = ρ/(ρ2 + z2)1/2 e cos θ = z/(ρ2 + z2)1/2
uθ = − sin θ k + cos θ uρ = cos θ cosϕ i + cos θ sinϕ j− sin θ k (A.33)
dV = r2 sin θ dr dθ dϕ (A.34)
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APENDICE A. SISTEMAS DE COORDENADAS 33
A.3.2 Gradiente e Laplaciano de uma funcao escalar f = f(r, θ, ϕ)
∇f =∂f
∂rur +
1
r
∂f
∂θuθ +
1
r sin θ
∂f
∂ϕuϕ (A.35)
∇2f =1
r2
∂
∂r
(r2∂f
∂r
)+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂f
∂θ
)+
1
r2 sin2 θ
(∂2f
∂ϕ2
)(A.36)
A.3.3 Divergente e Rotacional e um vetor A = Ar ur + Aθ uθ + Aϕ uϕ
∇ ·A =1
r2
∂
∂r(r2Ar) +
1
r sin θ
∂
∂θ(sin θ Aθ) +
1
r sin θ
∂Aϕ∂ϕ
(A.37)
∇×A =1
r sin θ
[∂
∂θ(sin θ Aϕ)− ∂Aθ
∂ϕ
]ur + (A.38)
+
(1
r sin θ
∂Ar∂ϕ− 1
r
∂
∂r(rAϕ)
)uθ +
1
r
(∂
∂r(rAθ)−
∂Ar∂θ
)uϕ
dA
d t=
(dArdt− Aθ
dθ
dt− Aϕ sin θ
dϕ
dt
)ur +
+
(dAθdt
+ Ardθ
dt− Aϕ cos θ
dϕ
dt
)uθ +
+
(dAϕdt
+ Ar sin θdϕ
dt+ Aθ cos θ
dϕ
dt
)uϕ (A.39)
(VETOR31.TEX Revisao 3.1 de 25 de janeiro de 2005)
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Referencias Bibliograficas
[1] SYMON, K. R. Mecanica . 2 ed., Rio de Janeiro: Campus, 1986.
[2] ALONSO, M.; FINN, E. J. Fısica: um curso universitario: mecanica. vol. 1, Sao Paulo:Edgard Blucher, 1972.
[3] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Fısica: Mecanica. vol. 1,ed. 4, Rio de Janeiro: LTC, 1996.
[4] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Fısica: Mecanica. vol. 2,ed. 4, Rio de Janeiro: LTC, 1996.
[5] KITTEL, C.; KNIGHT, W.; RUDERMAN, M. A. Curso de Fısica de Berckeley: mecanica.vol. 1, Sao Paulo: Edgard Blucher, 1973.
[6] KIBLE, T. W. B. Mecanica Classica. Sao Paulo: Polıgono, 1970.
[7] MARION, J. B.; THORNTON, S. T. Classical Dynamics of Particles and Systems. 4 ed.,Harcourt Brace Jovanovich College Publishers, 1995.
34