MECANICA

Objetivos:

• Capacitar al estudiante sobre los diferentes tipos de materiales, las técnicas y normas para su procedimiento para la construcción de dispositivos, equipos o elementos de máquinas.

• Comprender las propiedades mecánicas requeridas por los principales elementos mecánicos utilizados en la ingeniería biomédica.

Desarrollo de las Unidades Programáticas:

3. Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánica(4):

• Elementos de mecánica de precisión.

! Resortes

! Pasadores

CONTENIDO

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes:Los resortes se clasifican según su diseño en cuatro categorías y son para dar fuerza de empuje, tiro o torsión (par de torsión) y para almacenar energía.

Los resortes se fabrican de alambre redondo o rectangular doblado según una forma adecuada de espira o con material plano cargado con una viga.

Configuraciones de resortes: los resortes de alambre se presentan en forma helicoidal de compresión, helicoidal de tensión, helicoidal de torsión y especiales. Los resortes planos son vigas en voladizo o simplemente apoyadas y son de muchas formas. Las roldanas de resorte se presentan como curvas onduladas, de dedos o Belleville. Los resortes de bobina planos sirven como motores (como los de relojería), de voluta o de fuerza constante.

Tipos o configuraciones de resortes

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes:• Resortes helicoidales de compresión: proporcionan fuerza de empuje, realizan deflexiones grandes y es la configuración de resorte más común. Se usa principalmente como resortes de retorno para válvulas en motores y resortes para troqueles. La forma estándar tiene espiras de diámetro constante, paso constante (distancia axial entre espiras) y tasa o constante del resorte.

• Resortes cónicos: se fabrican con tasa constante o en incremento. Su tasa de resorte por lo general no es lineal, incrementándose con la deflexión. Su principal ventaja es su capacidad de cerrarse a una altura tan reducida como un diámetro de alambre, si las espiras anidan unas dentro de otras. Los resortes de barril y de reloj de arena se consideran como dos resortes cónicos ligados, ambos con tasa de resorte alineal.

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes:• Resorte helicoidal de extensión: con ganchos en ambos extremos. Proporciona fuerza de tracción y es capaz de deflexiones grandes. Se emplean en cierrapuertas y contrapesos. El gancho queda más esforzado que las espiras y por lo general falla primero.

• Arandela o roldana de resorte: proporciona fuerza de compresión y sirve para cargar axialmente tal como eliminar el juego axial en un cojinete. Tienen pequeñas deflexiones y solo aceptan cargas ligeras.

• Resorte en voluta: proporciona fuerza de empuje pero tiene una fricción e histéresis importante.

• Resorte en viga: la tasa de resorte y la distribución de esfuerzos son controlables mediante cambios en el ancho o profundidad de la viga en su longitud. La carga puede ser elevada pero la deflexión es limitada.

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes:• Resorte de potencia: también conocido como resorte motor o de reloj sirve para almacenar energía y proporcionar torsión.

• Resorte de fuerza constante: sirven para lograr el retorno de los carros de la máquinas de escribir, así como para la fabricación de resortes motor de par de torsión constante. Proporcionan carreras de deflexión muy grandes con una fuerza de tracción casi constante (tasa de resorte cero).

Materiales para resortes: el material ideal para resortes tendría una resistencia máxima elevada, un elevado punto de fluencia y un módulo de elasticidad bajo a fin de proporcionar el máximo almacenamiento de energía. Los resortes para servicio ligero se fabrican de alambre estirado en frío, redondo o rectangular, o de cinta delgada rolada en frío y plana.

Materiales para resortes según normas DIN

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes:Materiales para resortes: los resortes para servicio pesado como las piezas de suspensión de los vehículos se fabrican de formas laminadas en caliente o forjadas. La resistencia requerida de los materiales para resortes se obtiene por proceso de endurecimiento que puede ser durante estirado o formado en frío (pieza de sección transversalreducida) o con tratamiento térmico. La resistencia del material suele incrementarse conforme se reduce el tamaño de la sección transversal.

Las aleaciones de acero inoxidable, aceros de medio y alto carbono y de aleación (AISI 1050, 1065, 1074 y 1095) son los materiales comunes de resortes, igual que las aleaciones de cobre, cobre al berilio y bronce fosforado.

Materiales para alambre de resorte según ASTM y SAE

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes helicoidales de compresión:Parámetros dimensionales: el diámetro del alambre es d, el diámetro medio de la espira es D que junto con la longitud libre Lf y el número de espiras Nt o el paso de espiras p sirven para definir la geometría del resorte para efectos de cálculo y fabricación. El diámetro exterior D0 y el diámetro interior Di sirven para definir la perforación mínima en la cual deben acoplarse.

Longitud de los resortes: la longitud libre Lf es la longitud general del resorte en su estado no cargado. La longitud ensamblada La es su longitud después de instalarse a su deflexión inicial y inicial . La deflexión inicial en combinación con la tasa de resorte k, determina la cantidad de fuerza de precarga en el ensamble. La carga de trabajo es la que aplica para comprimir más el resorte en su deflexión de trabajo y trabajo. La longitud mínima de trabajo Lm es la dimensión más corta a la cual se comprimirá durante el servicio.

Parámetros dimensionales de resortes helicoidales

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes helicoidales de compresión:Longitud de los resortes: la altura de cierre o altura sólida Ls es la longitud cuando todas las espiras están en contacto. La holgura de golpeo y golpeo es la diferencia entre la longitud mínima de trabajo y la altura de cierre, expresado como un porcentaje de la deflexión de trabajo (se recomienda una holgura de golpeo mínima de 10 -15 %).

Índice del resorte: el índice del resorte C es la razón del diámetro de espira D al diámetro de alambre d.

C = D/d

El rango de C es de 4 a 12. En caso C < 4, el resorte es difícil de fabricar, y si C > 12, está propenso a pandearse y también se engancha con facilidad cuando se maneja en volumen.

Resorte helicoidal de compresión en uso

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes helicoidales de compresión:Deflexión del resorte: la deflexión en un resorte helicoidal de compresión de alambre redondo es:

y = ( 8 F D³ Na ) / d4 G

F: carga axial aplicada sobre el resorte; D: diámetro medio de las espirasd: diámetro del alambre; Na: número de espiras activasG: módulo de corte del material

Tasa o constante de resorte: el resorte helicoidal estándar de compresión tiene una tasa de resorte k que es lineal en la mayor parte de su rango de operación (15 a 85 %). Cuando todas las espiras entran en contacto (altura de cierre Ls) la tasa de resorte se acerca al módulo de elasticidad del material.

k = F / y = (d4 G ) / (8 D³ Na)

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes helicoidales de compresión:Esfuerzos en las espiras de resortes helicoidales de compresión: en la sección transversal de una espira se encuentran dos componentes de esfuerzo, uno cortante a la torsión proveniente del par de torsión T, y otro cortante directo debido a la fuerza F. Ambos esfuerzos se suman directamente y el esfuerzo cortante máximo τ max ocurre en la fibra interior de la sección transversal del alambre:

τ max = T r + F = F (D / 2)(d / 2) + F = 8FD + 4F

J A π d4 /32 π d² / 4 π d³ π d²

Con C = D/d τ max = 8 F D 1 + 0,5 τ max = Ks 8 F D

π d³ C π d³

Ks: factor de cortante directo; Ks = (1 + (0,5/C))

Fuerzas y pares de torsión sobre resortes helicoidales

Diagrama de fuerza-deflexión en resortes de compresión

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes helicoidales de compresión:Esfuerzos en las espiras de resortes helicoidales de compresión: Wahl define un factor Kw que incluye los esfuerzos de cortante directo (factor Ks) y la concentración de esfuerzos por curvatura (factor de curvatura Kc) con ello:

τ max = KW 8 F D con KW = 4C – 1 + 0,615 y KW = Ks Kc

π d³ 4C – 4 C

Resortes helicoidales de extensión:Son similares a los resortes helicoidales de compresión pero se cargan a tensión. Los extremos estándar (gancho o aro) se forman doblando la última espira a 90 º en relación con el cuerpo de la espira. Los ganchos y aros se esfuerzan más severamente que el cuerpo de las espiras y limita la seguidad del diseño.

Dimensiones de resortes helicoidales de extensión

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes helicoidales de extensión:Espiras activas: todas las espiras en el cuerpo se consideran como espiras activas, pero para obtener la longitud del cuerpo Lb se agrega una espira al número de espiras activas:

Nt = Na + 1 Lb = d Nt

La longitud libre se mide desde el interior de un gancho hasta la otra.

Tasa de resorte: las espiras del resorte de extensión están enrolladas de manera muy apretada, y el alambre es retorcido al mismo tiempo que enrollado, creando una precarga en las espiras. La tasa del resorte k es lineal, excepto en su porción inicial. La deflexión ocurrirá una vez que la fuerza aplicada F exceda a la fuerza de precarga Fi incorporada en el resorte:

k = (F – Fi) / y = (d4 G) / (8 D3 Na)

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes helicoidales de extensión:Deflexión de los resortes de extensión:

y = 8 ( F – Fi) D3 Na

d4 G

Esfuerzos en los extremos de los resortes de extensión: los aros o ganchos tienen dos posiciones de elevado esfuerzo. El esfuerzo a flexión máximo está dado en el extremo (punto A) donde está cargado comouna viga curva y se determina con la siguiente ecuació:

σA = Kb 16 D F + 4 F Kb = (4C²1 – C1 – 1) / (4C1(C1-1))

π d3 π d2 C1 = 2 R1 / d

R1 : radio medio del aro, igual que el radio de la espira

Esfuerzos a flexión y torsión en resortes de extensión

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes helicoidales de extensión:Esfuerzo a torsión: el esfuerzo torsional máximo ocurre en el aro o gancho donde el radio de curvatura es menor y se calcula con la formula:

τB = Kw2 8 D F Kw2 = (4 C2 – 1) / (4C2 – 4)

π d³ C2 = 2 R2 / d

Resortes helicoidales de torsión:Diseño: los extremos de las espiras se extienden de manera tangencial,para servir de brazos de palanca sobre los cuales aplicar la carga del momento de fuerzas. Para absorber las fuerzas de reacción debe preverse un soporte radial en tres o más puntos alrededor del diámetro de las espiras mediante una varilla colocada en el interior de la espira.

La carga deberá definirse en un ángulo α entre los extremos tangentes en la posición cargada.

Resortes helicoidales de torsión

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes helicoidales de torsión:Diseño: dado que la carga es a flexión, el alambre rectangular es más eficiente en términos de rigidez por volumen unitario. Sin embargo la mayor parte de los resortes helicoidales se fabrican con alambreredondo por ser más económico y por la mayor variedad de tamaños y materiales disponibles.

Número de espiras en los resortes de torsión: las espiras activas son iguales al número de vueltas en el cuerpo Nb, además de las extremidades que también flexiona Ne. Para los extremos rectos, la contribución se expresa en número equivalente de espiras Ne:

Ne = L1 + L2 L1 y L2 : longitudes de los extremos tangentes

3 π D D: diámetro medio de la espira

Dimensiones de resortes helicoidales de torsión

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes helicoidales de torsión:Número de espiras activas Na :

Na = Nb + Ne Nb : número de espiras en el cuerpo del resorte

Deflexión en los resortes de torsión: la deflexión angular en el extremo de la espira se expresa en radianes θ rad, pero a menudo se convierte a revoluciones θ rev. La deflexión angular expresado en revoluciones es:

θ rev = 1 θ rad = 1 M Lw = 1 M(πDNa) = 10,8 MDNa

2 π 2 π E I 2 π E(πd4 / 64) d4E

E: módulo de Young; I: segundo momento de área de la sección transversal

M: momento aplicado; Lw: longitud de alambre

El factor 10,8 se eleva desde 10,2 para tomar en consideración la fricción entre espiras.

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes helicoidales de torsión:Tasa de resorte k : se obtiene a partir de la fórmula de deflexión:

k = M = d4 E

θ rev 10,8 D Na

Cierre de espiras: al cargar el resorte para cerrar las espiras, el diámetro de la espira se reduce y su longitud se incrementa al “darle cuerda” a la espira. El diámetro interior mínimo Di min de la espira a deflexión completa es:

Di min = D Nb - d D: diámetro medio de la espira sinNb + θ rev cargar

La longitud máxima del cuerpo de espiras a “plena carga” es:L max = d (Nb + 1 + θ)

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaResortes helicoidales de torsión:Esfuerzos en las espiras: según Wahl el factor de concentración de esfuerzos para el interior Kb i y exterior Kb o de un alambre redondo enrollado a flexión es: C: índice del resorte

Kb i = 4 C2 – C – 1 Kb o = 4 C2 – C – 1

4 C (C – 1) 4 C (C – 1)

El esfuerzo máximo a flexión por compresión en el diámetro interior es:

σi max = Kb i M max C = Kb i M max (d/2) = Kb i 32 M max

I π d4 / 64 π d3

El esfuerzo por tensión en el diámetro exterior de la espira es:σo min = Kb o 32 M min ; σo max = Kb o 32 M max ; σo medio = σo max + σo min

π d3 π d3 2

Aplicaciones de resortes helicoidales de torsión

Dimensiones de resortes de torsión (motor)

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaPasadores y sujetadores:Pasadores de montaje: los pasadores de montaje mantienen la alineación y en condiciones de ajuste forzado retienen la ubicación de las partes. El propósito del pasador es someterse a un esfuerzo cortante transversal. Cuando el pasador se ajusta por interferencia para su sujeción, se da un esfuerzo de compresión. Cuando la sujeción del pasador permite que exista una holgura, se tiene una flexión además del cortante transversal.

En diseño de máquinas se utilizan la combinación de pernos o tornillos y de espigas localizadoras, con los tornillos o pernos con la función de unir o sujetar la unión a tensión y las espigas localizadoras de acero endurecido con la tarea de la localización transversal de precisión y la resistencia al cortante. Las espigas localizadoras soportan cargas al cortante pero no a tensión y los pernos y tornillos soportan cargas a tensión pero no cargas cortantes directas.

Dimensiones de pasadores cilíndricos con y sin cabeza

Dimensiones de pasadores cilíndricos según normas DIN

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaPasadores y sujetadores:Espigas localizadoras: las espigas localizadoras estándar (ANSI) rectas se fabrican con tolerancias severas, endurecidas y rectificadas a un acabado fino y son 100 % redondas. Son relativamente poco costosas. También están disponibles espigas localizadoras cónicas, ranuradas, moleteadas y de resorte enrollado enrollado que no requieren perforaciones de tolerancia tan severa para un ajuste a presión.

Un pasador de ajuste forzado sometido a cortante transversal en una condición de esfuerzo plano de acuerdo a la ecuación de von Mises está limitado por el siguiente esfuerzo cortante permisible τ xz perm :

Ssy/ Sy: resist. a la fluencia mínima por cortante/tensión; n d: factor de diseño

τ xz perm = 1 3 S sy ² - p2 = 1 S y ² - p2

3 n d 3 n d

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaPasadores y sujetadores:Espigas localizadoras: la magnitud p de la presión del ajuste por interferencia se determina mediante la siguiente ecuación:

P = E δ R: tamaño nominal del pasador

2 R ri = 0; r0 → ∞; δ: presión de interferencia

Los pasadores resultan útiles cuando la carga principal es de cortante y cuando existen rotación o torsión y empuje.

Cálculo de uniones con pasadores: los pasadores soportan cargas de flexión, torsión y compresión. Los tipos de montajes significativos en la práctica son los siguientes:

Esfuerzos en pasadores cilíndricos

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaPasadores y sujetadores:Cálculo de uniones con pasadores: a) El pasador está asentado en la horquilla y tiene una holgura en la barra (caso 1). El momento de flexión máximo en la sección transversal del pasador es: Mb max = F (l + 2 s)

8b) El pasador está asentado con ajuste por interferencia en la horquilla y tiene una holgura en la barra (caso 2). El momento de flexión en la sección transversal es: Mb max = F l

8c) El pasador está asentado con ajuste por interferencia en la barra y tiene una holgura en la horquilla (caso 3). El momento de flexión en la sección transversal es: Mb max = F s

4

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaPasadores y sujetadores:Cálculo preliminar de uniones con pasadores: para el cálculo preliminar del diámetro del pasador d se utiliza un supuesto esfuerzo a flexión pura resultando:

d ≈ k cB · F [mm] F: fuerza máxima en la barra

σb lim cB: factor de servicio para tipos de esfuerzos

σb lim: esfuerzo de flexión límite (N/mm²), σb ≈ Mb / (0,1 d³)

k: factor de ajuste dependiente del tipo de montaje. k ≈ 1,8 /1,4/1,2 (caso 1/2/3)

Prueba de cálculo de la unión con pasadores: después de determinar el diámetro, la longitud y dimensiones finales del pasador se comprueba:

σb = cB · Mb ≈ cB · Mb ≤ σb lim Mb: momento de flexión

W 0,1 · d³ d: diámetro del pasador

Distribución de esfuerzos en la sección del pasador

Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánicaPasadores y sujetadores:Prueba de cálculo de la unión con pasadores: de acuerdo a la distribución de esfuerzos de flexión y torsión en el pasador se tiene que en el borde del pasador σb max y τ = 0, y en el centro τmax y σb = 0.

τmax = 4 · cB · F ≤ τ lim [N/mm2] F: fuerza en la barra

3 2 S S: área de la sección del pasador

cB: factor de servicio para tipos de esfuerzos; τ lim: esfuerzo de torsión límite

La compresión media de la superficie del pasador p se prueba con:

p = cB · F ≤ p lim [N/mm2]

A proy p lim: límite de compresión media de superficie

A proy: superficie proyectada del pasador comprimido

Dimensiones de pasadores cónicos según normas DIN

Pasadores ranurados según normas DIN

1. Matek, W; Muhs, D, Wittel H. Roloff / Matek Maschinenelemente. Friedrich Vieweg & Sohn Braunschweig / Wiesbaden Germany, 1984. ISBN 3-528-34028-2.

2. Norton, RL. Diseño de Máquinas. Prentice Hall Hispanoamericana S.A., 1999. ISBN 970-17-0257-3.

3. Shigley, JE; Mischke, CR. Diseño en Ingeniería Mecánica. McGraw-Hill, 2002. ISBN 970-10-3646-8.

Bibliografía

3. Cálculo y diseño de uniones y elementos de mecánica(4):

• Elementos de mecánica de precisión.

! Cilindros

! Rodamientos y Guías

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