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A. Zambrano 1
MAYO 2014
A. Zambrano 2
A. Zambrano 3
SUBTEMAS:
1.0.INTRODUCCION
1.1.HIPÓTESIS DE LA MECÁNICA DE MATERIALES
1.2.ESFUERZO NORMAL
1.3.ESFUERZO CORTANTE
1.4.ESFUERZO DE APLASTAMIENTO
A. Zambrano 4
1.0. INTRODUCCION
Se entiende por FALLA de una estructura a la ruptura, o sin llegar a
ello, a la existencia de un estado inadecuado.
Esto último puede ocurrir por varios motivos:
- deformaciones demasiado grandes
- falta de resistencia de los materiales
- agrietamientos
- pérdida del equilibrio estático por pandeo
- abollamiento
- volteo
- etc.
La Mecanica de Materiales estudia los esfuerzos internos y las
deformaciones que se producen en el cuerpo sometido a cargas
exteriores.
La Mecanica de Materiales tiene como finalidad elaborar métodos
simples de cálculo aceptables desde el punto de vista práctico, de los
elementos típicos más frecuentes de las estructuras empleando para ello
diversos procedimientos aproximados.
La necesidad de obtener resultados concretos al resolver los problemas
prácticos nos obliga a recurrir a hipótesis simplificativas que pueden ser
justificadas comparando los resultados de cálculo con los ensayos o con
los obtenidos aplicando teorías más exactas.
Los problemas a resolver haciendo uso de esta ciencia son de dos tipos:
1) Revisión (análisis). En este caso las dimensiones ya han sido prefijadas
y es necesario conocer si son adecuadas para resistir el estado de
solicitaciones actuantes
2) Dimensionamiento (diseño). En este caso se trata de encontrar el
material, las formas y dimensiones más adecuadas de una pieza de
manera que pueda cumplir con su función con seguridad, en perfecto
estado y con gastos adecuados.
A. Zambrano 5
1.1. HIPOTESIS DE MECANICA DE MATERIALES
H1: El material es continuo (sólido, macizo)
El comportamiento real de los materiales cumple con esta hipótesis aún
cuando pueda detectarse la presencia de poros o se considere la discontinuidad
de la estructura de la materia compuesta por átomos que no están en contacto
rígido entre sí, ya que existen espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen
vinculados, formando una red ordenada.
Esta hipótesis es la que permite considerar al material dentro del campo de
las funciones continuas.
H2: El material en homogéneo
El material tiene idénticas propiedades en todos los puntos.
H3: El material es isótropo
El material tiene idénticas propiedades en todas direcciones.
H4: Las fuerzas interiores originales que preceden a las cargas son nulas
No se consideran las fuerzas moleculares que existen en un sólido no
sometido a cargas.
H5: Es válido el principio de superposición
Este principio establece que: “El efecto de un conjunto de causas actuando
simultáneamente es igual a la suma de los efectos individuales producidos por
cada causa actuando por separado”. Este principio es válido cuando:
Los desplazamientos en los puntos de aplicación de las fuerzas son
pequeños en comparación con las dimensiones del sólido.
Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido
dependen linealmente de las cargas. (estos sólidos se llaman linealmente
deformables)
Por otro lado, siendo que las deformaciones son pequeñas, las ecuaciones de
equilibrio correspondiente a un cuerpo cargado pueden plantearse sobre su
configuración inicial, es decir, sin deformaciones.
A. Zambrano 6
H6: Es aplicable el principio de Saint-Venant
Este principio establece que la distribución de esfuerzos en un elemento dado
es independiente del modo real de aplicación de las cargas, excepto en la
inmediata vecindad de los puntos de aplicación de las cargas.
H7: Las cargas son estáticas o cuasi-estáticas
Las cargas se dicen que son estáticas cuando demoran un tiempo infinito en
aplicarse, mientras que son cuasi-estáticas cuando el tiempo de aplicación es
suficientemente prolongado. Las cargas que se aplican en un tiempo muy
reducido se denominan dinámicas y las solicitaciones internas que producen
son sensiblemente mayores que si fuesen estáticas o cuasi-estáticas.
A. Zambrano 7
1.2. ESFUERZO NORMAL
Consideremos una barra de sección transversal A sujeta a una fuerza axial
externa F en la cual hacemos un corte imaginario normal al eje longitudinal de
la barra (fig. 1.1).
1 1
Fig. 1.1. Barra sujeta a una fuerza axial
F
Si dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la parte inferior de la barra,
podemos ver las fuerzas internas distribuidas. Debido a que la fuerza F es
aplicada en el centroide de la sección, estas fuerzas internas serán
uniformemente distribuidas y de magnitud (fig. 1.2).
P
Fig. 1.2. Fuerzas internas uniformemente
distribuidas
F
Podemos ver que la resultante de las fuerzas internas debe ser una magnitud P
y dirigida hacia arriba. Entonces
A = P
Por lo tanto
P
= –––– (1.1)
A
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Donde:
= esfuerzo normal (kg/cm2, MPa, ksi)
P = fuerza interna normal (kg, N, kips)
A = área de la sección transversal (cm2, m2, plg2)
Notas:
1MPa = 1,000,000 Pa
1Pa = 1 N/m2
1Kip = 1000 lb
1ksi = 1 kip/plg2
Sistemas de unidades: (MKS, SI, US)
Cuando la fuerza interna resultante P está dirigida hacia afuera de la sección
entonces se dice que el esfuerzo normal es una TENSION.
Por otra parte, si la fuerza interna resultante P está dirigida hacia la sección, se
dice que el esfuerzo normal es una COMPRESION.
Una convención común es asignar un signo positivo a la tensión y un signo
negativo a la compresión (fig. 1.3)
P P P P
(+) (–)
Fig. 1.3. Convenio de signos para la fuerza normal
A. Zambrano 9
1.3. ESFUERZO CORTANTE
Consideremos una barra corta de sección transversal A sujeta a una fuerza
externa tangencial F (fig. 1.4).
1 1
Fig. 1.4. Barra corta sujeta a una fuerza
F tangencial
Hacemos un corte en 1-1 y dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la parte
inferior de la barra (fig. 1.5)
V
Fig. 1.5. Fuerza interna cortante
F
Podemos ver que la fuerza interna V debe ser la resultante de un conjunto de
fuerzas internas distribuidas (no necesariamente uniformes) denotadas por
Entonces, la relación entre la resultante V (llamada fuerza interna cortante) y
la fuerza interna (llamado esfuerzo cortante medio) es
A = V
Por lo tanto
V
= ––– (1.2)
A
Donde:
= esfuerzo cortante medio (kg/cm2, MPa, ksi)
V = fuerza interna cortante (kg, N, kips)
A = área de la sección transversal (cm2, m2, plg2)
A. Zambrano 10
P P P
V
P P
Fig. 1.6a. Corte simple (V=P)
V P
= –– = ––
A A
V
P P
P
V
Fig. 1.6b. Corte doble (2V=P)
V (P/2)
= ––– = ––––
A A
D=diámetro del punzón
P
punzón
placa
t=espesor de la placa
área de corte
Fig. 1.7. Punzonamiento (V=P)
El área a corte es A=*D*t
V P
= ––– = ––––––
A *D*t
A. Zambrano 11
1.4. ESFUERZO DE APLASTAMIENTO
Es el esfuerzo que se produce en la superficie de contacto de dos
cuerpos distintos
No es debido a una fuerza interna ya que ocurre por la presión entre dos
cuerpos distintos
Siempre es un esfuerzo de compresión y también se le llama Presión de
contacto
F
Cuerpo 1 área de contacto =A
Cuerpo 2
Fig. 1.8. Esfuerzo de aplastamiento
El esfuerzo de aplastamiento p se define como la fuerza de contacto entre los
dos cuerpos dividida entre el área de contacto, es decir
F
p = –––– (1.3)
A
Donde:
p = esfuerzo de aplastamiento (kg/cm2, MPa, ksi)
F = fuerza de contacto (kg, N, kips)
A = área de contacto (cm2, m2, plg2)
A. Zambrano 12
Ejemplos de esfuerzos de aplastamiento:
F
Fig 1.9.
zapata
sobre el
terreno
F
Fig. 1.10. Placa base sobre pedestal
de concreto
F
Fig. 1.11. Columna sobre placa base
F Fig. 1.12. Tornillo sobre placa
F
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SUBTEMAS:
2.1 DEFORMACIONES NORMALES
2.2 PROBLEMAS HIPERESTÁTICOS
2.3 DEFORMACIONES TÉRMICAS
2.4 DEFORMACIÓN CORTANTES
2.5 RELACIÓN DE POISSON
A. Zambrano 15
2.1 DEFORMACIONES NORMALES
Consideremos una barra de longitud L y área transversal A (fig. 2.1a). Luego
aplicamos una fuerza externa F, la cual producirá un alargamiento de la
barra. (fig. 2.1b)
L
A
F
(a) (b)
Fig. 2.1. Deformación normal de una barra
Podemos notar que el alargamiento o deformación total de la barra no
caracteriza el grado de deformación de la barra. Como una deformación
es un “cambio de forma”, para caracterizar completamente la
deformación de la barra, definimos la DEFORMACIÓN UNITARIA
como la deformación total por unidad de longitud original de la barra, es
decir:
= –––– (2.1)
L
donde:
= deformación unitaria (adimensional)
= deformación total o elongación (cm, mm, plg)
L = longitud no deformada de la barra (m, pies)
A. Zambrano 16
Por otra parte, la Ley de Hooke establece para una barra elástica sujeta a una
fuerza axial, que el esfuerzo normal es proporcional a la deformación unitaria,
es decir:
= E (2.2)
Donde:
= esfuerzo normal (kg/cm2, MPa, ksi)
E = modulo de elasticidad del material (kg/cm2, MPa, ksi)
= deformación unitaria (adimensional)
Para determinar la deformación total de una barra, sustituimos el esfuerzo y la
deformación por su definición, entonces:
P
––– = E –––
A L
Despejando la elongación obtenemos
P L
= –––– (2.3)
A E
Donde:
= deformación total (cm, mm, plg)
P = fuerza interna axial (kg, N, kip)
L = longitud no deformada (m, pies)
A = área de la sección transversal (cm2, m2, plg2)
E = Modulo de elasticidad del material (kg/cm2, MPa, ksi)
Notas.
1. La deformación total puede ser alargamiento (+) o acortamiento (-) y
dependerá de la fuerza interna. Si P es tensión, producirá un
alargamiento; si la fuerza P es compresión, entonces producirá un
acortamiento.
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2. El modulo de elasticidad del material se obtiene de una prueba de
tensión (tracción) en un laboratorio de resistencia de materiales. A partir
de una probeta del material se somete a una fuerza de tensión creciente
hasta llegar a la ruptura. De esta prueba resulta una grafica del esfuerzo
contra la deformación unitaria llamada grafica - que tiene los puntos
importantes señalados en la fig. 2.2
1=zona elástica
2=fluencia
u 3= endurecimiento por
e ruptura deformación
p y 4= estricción
1 2 3 4
Fig. 2.2. Diagrama esfuerzo-deformación de un material dúctil
Nota: un material dúctil es aquel que presenta grandes deformaciones antes de
la ruptura.
La deformación total de una barra AB también puede obtenerse a partir de los
desplazamientos de sus extremos como se muestra en la siguiente figura.
A B
uB
Fig. 2.3. Deformación de
una barra en función de
sus desplazamientos.
uA
Entonces
AB = uB – uA (2.4)
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2.2 PROBLEMAS HIPERESTATICOS
Hay muchos problemas donde no es posible determinar las fuerzas internas
usando únicamente la estática. En la mayor parte de estos problemas, las
mismas reacciones, que son fuerzas externas, no pueden hallarse simplemente
dibujando el diagrama de cuerpo libre del elemento y escribiendo las
ecuaciones correspondientes. Estas deben complementarse con las ecuaciones
obtenidas considerando la geometría deformada del problema. Como la
estática no es suficiente para determinar las reacciones o las fuerzas internas,
los problemas de este tipo se dice que son estáticamente indeterminados o
hiperestáticos.
Algunos tipos de problemas hiperestáticos
Fig. 2.4. Barra rígida con reacciones redundantes y carga transversal
Fig. 2.5. Barra compuesta doblemente apoyada con carga axial
Fig. 2.6. Barra compuesta de dos materiales
A. Zambrano 19
Problemas tipo I: Barra rígida con reacciones redundantes y carga transversal
1-Se dibuja el diagrama de cuerpo libre y se escriben las ecuaciones de
equilibrio.
FA FB FC FD
L5
P1 P2
M = 0
Fy = 0
2-Se dibuja el diagrama de deformación y se escriben las relaciones
geométricas entre las deformaciones usado triángulos semejantes.
D
A B C
3-Se resuelve el sistema de ecuaciones simultáneas para las fuerzas internas.
4-Se calculan los esfuerzos normales con la fórmula
P
= ––––
A
A. Zambrano 20
Problemas tipo II: Barra compuesta doblemente apoyada con carga axial
1-Se dibuja un diagrama de cuerpo libre y se escribe la ecuación de equilibrio.
RA RB
Fx = 0
2-Se escoge uno de los apoyos como redundante y se elimina. Luego se
calcula la deformación libre L debido a las fuerzas externas.
L
3-Se aplica la reacción RA en el apoyo eliminado y se calcula la deformación
R debido solamente a esta reacción redundante.
R
RA
4- Se escribe la ecuación de compatibilidad y se despeja para RA.
L + R = 0
5-De la ecuación de equilibrio, se determina la otra reacción RB
6-Se determinan todas las fuerzas internas y se calculan los esfuerzos
normales con la fórmula
P
= ––––
A
P
P
A. Zambrano 21
Problemas tipo III: Barra compuesta de dos materiales A y B
1-Se dibuja un diagrama de cuerpo libre y se escribe la ecuación de equilibrio.
F
PA
PB
2-Se dibuja el diagrama de deformación y se escriben las relaciones
geométricas entre las deformaciones.
A = B
3-Se resuelve el sistema de ecuaciones simultáneas para las fuerzas internas.
4-Se calculan los esfuerzos normales con la fórmula
P
= ––––
A
A. Zambrano 22
2.3 DEFORMACIONES TÉRMICAS
Un cambio de temperatura producirá un cambio de longitud a una barra no
restringida. Se ha comprobado una relación casi lineal entre la deformación
unitaria de la barra T y el cambio de temperatura T, es decir
T = T (2.5)
Donde:
T = deformación unitaria por el cambio de temperatura (adimensional)
= coeficiente de dilatación lineal (ºC-1, ºF-1)
T = T2 – T1 = cambio de temperatura (ºC, ºF)
T1 = temperatura inicial (ºC, ºF)
T2 = temperatura final (ºC, ºF)
Entonces, la deformación total por un cambio de temperatura está dada por
T = T L
T = LT (2.6)
La deformación térmica ocurre independientemente de la deformación por
carga (mecánica). Entonces, la deformación total de una barra sujeta a una
fuerza interna axial P y a un cambio de temperatura T será:
= P + T
Es decir:
P L
= –––– + LT (2.7)
A E
A. Zambrano 23
Por otra parte, cuando una barra está impedida a deformarse (fig. 2.7), el
cambio de temperatura producirá una fuerza interna, la cual a su vez producirá
un esfuerzo llamado ESFUERZO TÉRMICO.
Para obtener la fuerza térmica en una barra, aplicamos el principio de
superposición. Primero eliminamos la restricción y consideramos que la barra
puede deformarse y determinamos la deformación T (fig. 2.8). Luego
aplicamos la fuerza térmica P y calculamos la deformación mecánica P (fig.
9).
L,A,E
P P
T > 0
Fig 2.7. Barra restringida a deformarse
T
T > 0
Fig. 2.8. Barra libre a deformarse
P
P
Fig. 2.9. Fuerza térmica en una barra simple
Como la barra real está impedida a deformarse, aplicamos la ecuación de
compatibilidad
P + T = 0 (2.8)
P L
–––– + LT = 0
A E
A. Zambrano 24
De la cual despejamos la fuerza P
P = -EAT
Entonces, como el esfuerzo térmico es T = P/A, entonces
T = -ET (2.9)
La formula II-8 solamente es válida para barras simples. Para barras
compuestas (fig. 10) por varios segmentos aplicamos la ecuación de
compatibilidad.
L1,A1,E1 L2,A2,E2 L3,A3,E3
P P
T > 0
Fig. 2.10. Fuerza térmica en una barra compuesta
Entonces, tenemos:
P Li
–––– + iLiT = 0
Ai Ei
Como P y T son no dependen de las propiedades de las barras pueden salir
de las sumatorias. Entonces
Li
P –––– + T iLi = 0
Ai Ei
A. Zambrano 25
Despejando la fuerza térmica nos queda
-T iLi
P = –––––––––– (2.10)
[Li/(Ai Ei)]
Y los esfuerzos térmicos en cada tramo de la barra esta dado por:
(T)i = P/Ai (2.11)
A. Zambrano 26
2.4 DEFORMACIONES CORTANTES
Consideremos una barra corta y robusta sujeta a una fuerza tangencial
externa F (fig. 2.11b)
L
F v
(a) (b)
Fig. 2.11. Barra corta sujeta a fuerza tangencial
De la fig. 11b, el ángulo está dado por
v
tan = –––
L
Para ángulos pequeños tan , entonces
v
= ––– (2.12)
L
Donde:
= ángulo de deformación cortante (radianes)
v = deformación total cortante (cm, mm, plg)
L = longitud de la barra (m, pies)
A. Zambrano 27
Por otra parte, la Ley de Hooke para esfuerzo y deformación cortante
establece que el esfuerzo cortante es proporcional al ángulo de distorsión, es
decir
= G (2.13)
Donde:
= esfuerzo cortante (kg/cm2, MPa, ksi)
G = modulo de rigidez cortante del material (kg/cm2, MPa, ksi)
= ángulo de distorsión (radianes)
Además, el esfuerzo cortante esta dado por
V
= –––– (2.14)
A
Entonces, sustituyendo en la ley de Hooke (2.13) el esfuerzo cortante (2.14) y
el ángulo de distorsión (2.12), obtenemos
V v
––– = G ––––
A L
Despejando la deformación total cortante nos queda
V L
v = –––– (2.15)
A G
Donde:
v = deformación cortante total (cm, mm, plg)
V = fuerza interna cortante (kg, N, kip)
L = longitud de la barra (m, pies)
A = área de la sección transversal (cm2, m2, plg2)
G = Modulo de rigidez cortante del material (kg/cm2, MPa, ksi)
A. Zambrano 28
2.5 RELACIÓN DE POISSON
Cuando una barra está sujeta a una fuerza axial, se produce una deformación
en dirección de dicha fuerza llamada deformación longitudinal (o normal).
Esta deformación viene siempre acompañada de una deformación lateral (o
transversal) de signo contrario a la deformación longitudinal.
La relación entre la deformación unitaria lateral y la deformación unitaria
longitudinal es una constante del material llamada la RELACIÓN DE
POISSON.
Entonces:
t
= - ––– (2.16)
l
Donde:
= relación de poisson (adimensional)
t = deformación unitaria transversal (adimensional)
l = deformación unitaria longitudinal (adimensional)
Nota: Hasta aquí se han mencionado tres constantes del material: E, G y . Sin
embargo, estas constantes no son independientes y solamente bastan dos
constantes para definir un material. La relación entre estas variables está dada
en la siguiente fórmula:
E
G = ––––––– (2.17)
2(1 + )
Donde:
G = modulo de rigidez cortante (kg/cm2, MPa, ksi)
E = modulo de elasticidad (kg/cm2, MPa, ksi)
= relación de poisson (adimensional)
A. Zambrano 29
Para determinar la deformación transversal total, consideremos una barra
sujeta a una fuerza longitudinal (fig. 12)
P
Lt
Ll
P
Fig 2.12. Deformación transversal
Las deformaciones unitarias transversal y longitudinal son
t = t/Lt
l = l/Ll
Entonces, sustituyendo en la formula (2.16) nos queda
t/Lt t Ll
= - –––– = - ––––
l/Ll l Lt
Despejamos la deformación transversal total t
-lLt
t = ––––––
Ll
A. Zambrano 30
Pero
P Ll
l = ––––
A E
Sustituyendo en la formula anterior obtenemos
-Lt P Ll
t = ––––––––
Ll A E
-Lt P
t = –––––– (2.18)
A E
A. Zambrano 31
A. Zambrano 32
SUBTEMAS:
3.0 INTRODUCCIÓN
3.1 DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO
3.2 ESFUERZOS NORMALES
3.3 ESFUERZOS CORTANTES
3.4 ESFUERZOS DE TORSIÓN
3.5 ESFUERZOS COMBINADOS
A. Zambrano 33
3.0 INTRODUCCIÓN
Una barra sujeta a fuerzas transversales a su eje (fig. 3.1) se llama VIGA y los
esfuerzos inducidos por dichas fuerzas producen esfuerzos normales y
esfuerzos cortantes.
Fig. 3.1. Viga simplemente apoyada
El método general para determinar las fuerzas internas que actúan en cualquier
sección de una viga en equilibrio consiste en imaginar un corte hipotético a
través del elemento en el punto que interesa (fig 3.2) . Cualquier parte de la
viga es considerada como un cuerpo libre aislado y la fuerza cortante vertical
V y el momento requerido M en la sección para mantener esta parte de la viga
en equilibrio se determinan mediante la aplicación de las ecuaciones de
equilibrio (fig. 3.3).
P
S1 w M0
S1
R1 R2
Fig. 3.2. Sección hipotética en un punto de la viga
P
M
R1 V
Fig. 3.3. Diagrama de cuerpo libre de una parte de la viga y sus fuerzas
internas
A. Zambrano 34
En la fig. 3.4 se muestran algunos tipos de vigas más comunes.
(a) simplemente apoyada
(b) con un voladizo
(c) Con dos voladizos
(d) En cantiliver
Fig. 3.4. Algunos tipos de vigas
En la fig. 3.5 se muestran algunos tipos de cargas más comunes
A. Zambrano 35
(a) Cargas concentradas
(b) Carga uniformemente distribuida
(c) Carga triangular
(d) Carga trapecial
(e) Momentos concentrados
Fig. 3.5. Algunos tipos de cargas
A. Zambrano 36
CRITERIO DE SIGNOS DE LAS FUERZAS INTERNAS EN VIGAS
Una fuerza cortante es positiva si tiende a hacer deslizar hacia arriba la parte
izquierda de la viga respecto de la parte derecha y viceversa cuando es
negativa.
(a)
(+) (–)
(b) V V V V
(+) (–)
V V
(c) V V
(+) (–)
Fig. 3.6. Criterio de signos para la fuerza cortante
A. Zambrano 37
Un momento flexionante es positivo si la flexión que produce en la viga
presenta concavidad hacia arriba y negativo cuando presenta la concavidad
hacia abajo.
(a)
(+) (–)
(b)
(+) (–)
Compresión Tensión
(c)
Tensión Compresión
(+) (–)
Fig. 3.7. Criterio de signos para momento flexionante
A. Zambrano 38
ECUACIONES DE CORTE Y MOMENTO
Para determinar la fuerza cortante y el momento flexionante en cualquier
punto a lo largo de la viga, se selecciona un punto localizado por una
coordenada x y se evalúan el corte V(x) y el momento M(x) en función de la
coordenada x. Esto se repite para cada tramo de la viga donde cambie la
condición de carga. Entonces, V(x) es la ecuación de corte y M(x) es la
ecuación de momento. Generalmente el origen de coordenadas x se selecciona
en el punto izquierdo donde inicia la viga (fig. 3.8)
C D E F
A B
x
Fig. 3.8. Origen de coordenada x para las ecuaciones de corte y momento
La viga de la fig. 8 tiene 5 tramos: AB, BC, CD, DE y EF que son donde
cambian las condiciones de carga. Entonces, deben escribirse las ecuaciones
V(x) y M(x) para cada uno de los tramos haciendo un corte imaginario en
algún punto intermedio de cada tramo.
A. Zambrano 39
3.1 DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO
Los diagramas de corte y momento son la representación grafica de las
ecuaciones de corte y momento.
Entonces, una forma de dibujar los diagramas de corte y momento es la
siguiente:
1. Escribir las ecuaciones de corte V(x) y momento M(x) para la viga
2. Hacer una tabla para valores consecutivos de x, V(x) y M(x)
3. Dibujar la grafica para valores de x, V(x)
4. Dibujar la grafica para valores de x, M(x)
Existe otro procedimiento para dibujar los diagramas de corte y momento que
requiere de conocer las relaciones entre la carga, la fuerza cortante y el
momento flexionante.
Consideremos una viga sujeta a una carga distribuida variable en forma
arbitraria y cortemos imaginariamente un tramo de la viga mediante dos
secciones espaciadas una distancia dx (fig. 3.9).
W
dx
Fig. 3.9. Viga con carga distribuida variable
A. Zambrano 40
Tomemos el diagrama de cuerpo libre de este tramo y establezcamos las
fuerzas internas necesarias para el equilibrio (fig. 3.10)
w
Fig. 3.10. Diagrama de
Cuerpo libre de tramo
M+dM diferencial de la viga
M V V+dV
dx
Por equilibrio vertical:
V + wdx – (V+dV) = 0
V + wdx –V – dV = 0
wdx = dV
dV
w = ––– (3.1)
dx
Despejando la variable dV e integrando, obtenemos
V = wdx (3.2) La fuerza cortante en una sección es la suma
de las fuerzas externas en dicha sección
Por equilibrio de momentos respecto al extremo derecho
M – (M+dM) + (w dx)(dx/2) + V dx = 0
0
M – M – dM + w(dx)2/2 + V dx = 0
V dx = dM
dM
V = –––– (3.3)
dx
A. Zambrano 41
Despejando la variable dM e integrando, obtenemos
M = Vdx (3.4) El momento flexionante en una sección es la suma
de las áreas del diagrama de fuerzas cortantes en
dicha sección.
V
V
dx x
Fig. 3.11. Diagrama de cortante
Puede verse en la fig. 3.11 que el área de un rectángulo elemental es Vdx y
Vdx es el área del diagrama de cortante hasta la sección considerada.
Reglas para dibujar el diagrama de fuerza cortante
El diagrama de cortante puede ser construido usando el diagrama de cargas
distribuidas y fuerzas concentradas del diagrama de cuerpo libre de la viga.
Los principios básicos para determinar la forma y los valores de diagrama de
corte son:
1. La pendiente del diagrama de cortante es igual al valor de la carga
distribuida en cualquier punto.
dV
––– = w(x)
dx
2. El cambio en el valor del corte entre dos posiciones es igual a la integral
de la carga distribuida entre esas dos posiciones (suponiendo que no hay
fuerzas concentradas entre las dos posiciones).
V2 - V1 = w(x)dx
A. Zambrano 42
3. Una fuerza concentrada causa una discontinuidad vertical en el
diagrama de corte. Una fuerza hacia arriba causa un incremento en el
valor de la fuerza cortante en la localización de la fuerza.
Reglas para dibujar el diagrama de momento flexionante
El diagrama de momento puede ser construido usando el diagrama de corte y
los momentos concentrados del diagrama de cuerpo libre de la viga. Los
principios básicos para determinar la forma y los valores del diagrama de
momento son:
1. La pendiente del diagrama de momento es igual al valor de la fuerza
cortante en cada punto
dM
–––– = V(x)
dx
2. El cambio en el valor del momento entre dos posiciones es igual a la
integral de la fuerza cortante entre esas dos posiciones (suponiendo que
no hay momentos concentrados entre las dos posiciones).
M2 - M1 = V(x)dx
3. Un momento concentrado causa una discontinuidad vertical en el
diagrama de momento. Un momento a favor del reloj causa un
incremento en el valor del momento en la localización del momento.
A. Zambrano 43
w w
V2
V1
V2
M2 V1
M1 M1
M2
(a) (b)
w w
V1 V2
V1
M2 M1 V2
M1
M2
(c) (d)
Fig. 3.12. Diagramas de corte y momento para carga distribuida
A. Zambrano 44
3.2. ESFUERZOS NORMALES
En esta parte se estudian y deducen las relaciones entre el momento
flexionante y los esfuerzos normales de flexión que se producen. Para obtener
estas relaciones se hacen las hipótesis siguientes:
H1: Las secciones inicialmente planas de la viga, permanecen planas después
de la flexión (fig. 3.13)
H2: El material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke.
H3: El modulo de elasticidad del material es igual a tensión que a compresión.
H4: La viga es inicialmente recta y de sección constante.
H5: El plano en el que actúan las fuerzas externas contiene a uno de los ejes
principales de la sección recta de la viga y las cargas actúan
perpendicularmente a su eje longitudinal (fig. 3.14).
Fig. 3.13. Las secciones planas permanecen planas
Fig. 3.14. Las cargas actúan en un plano principal de la sección
A. Zambrano 45
Deducción de la formula de la flexión
Consideremos una viga con dos secciones separadas una distancia diferencial
dx (fig. 3.15a)
1 2
E.N.
(a)
1 2
dx
d
1 2
(b)
y d
dx
1 2
Fig. 3.15. Geometría de la viga flexionada
Del triangulo grande tenemos
dx
d = –– (1)
A. Zambrano 46
Del triangulo pequeño que es semejante al grande, tenemos
d = –– (2)
y
Igualando (1) y (2), nos queda
dx
–– = ––
y
Despejando , nos queda
y dx
= –––– (3)
Por otra parte, la deformación unitaria es
y dx y
= –––– = –––– = ––––
dx dx
Ademas, la Ley de Hooke establece que
y
= E = E ––– (4)
También, podemos escribir la ecuación anterior como sigue
1
–– = –––– (4’)
E y
A. Zambrano 47
El momento flexionante interno M es el resultado de las fuerzas internas (fig.
3.16)
L.N.
Fig. 3.16. Momento resultante interno
dA
y
Entonces, el momento flexionante esta dado por
M = y dA (5)
Sustituyendo la ecuación (4) en la (5) nos queda
M = (E/) y2 dA
M = (E/) y2 dA
Pero I= y2 dA es el MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A LA LINEA
NEUTRA del área de la sección. Entonces
E I
M = ––––
Sustituyendo (4’) en la ecuación anterior, obtenemos:
E I I
M = ––––– = –––––
E y y
A. Zambrano 48
De donde despejamos el esfuerzo normal
M y
= ––– (3.5)
I
Donde:
M = momento flexionante interno (kg-m, kN-m, kip-pie)
y = distancia desde la línea neutra al punto considerado (cm, mm, plg)
I = momento de inercia de la sección (cm4, mm4, plg4)
El esfuerzo normal en una sección es máximo cuando ‘y’ es máxima.
Entonces, tenemos
c = ymax
M c
max = ––– (3.6)
I
Nota: Para secciones simétricas respecto a su eje horizontal, c = peralte/2
La variación del esfuerzo normal para un momento flexionante M esta dado en
la siguiente figura
M M
Fig. 3.17. Variación del esfuerzo normal por flexión
Algunos valores de I y c están dados en la tabla 3.1
A. Zambrano 49
Tabla 3.1 Momentos de inercia de algunas secciones comunes
Sección figura I c
Rectangular
solida
L.N.
h
b
b h3
––––
12
h
––
2
Circular
Solida
L.N.
D
D4
––––
64
D
––
2
Circular
Hueca
d
L.N.
D
(D4 – d4)
–––––––––
64
D
––
2
Rectangular
hueca
b
h H
B
B H3 – b h3
––––––––
12
H
––
2
Perfil I B
h b b H
B H3 – 2b h3
––––––––––
12
H
––
2
Triangular
solida
h c2
c1
b
b h3
––––
36
h c1 = ––––
3
2h c2 = ––––
3
A. Zambrano 50
3.3. ESFUERZOS CORTANTES
Consideremos una viga sujeta a carga arbitraria y tomemos el elemento de
viga sombreado (fig. 3.18)
1 2
Fig. 3.18. Viga sujeta a
E.N. y c cargas arbitrarias
1 2
dx
Dibujemos ahora el cuerpo libre del elemento sombreado (fig. 3.19)
1 2
c c
(M y/I)dA (M+dM)(y/I)dA
y yb
b dx
yb
Fig. 3.19. Equilibrio horizontal de elemento diferencial de viga
De la fig. 3.19, tenemos
c c
(M y/I) dA + b dx – (M+dM)(y/I) dA = 0
yb yb
c c c
(M y/I) dA + b dx – (My/I) dA – (dM y/I) dA = 0
yb yb yb
A. Zambrano 51
c
b dx – (dM y/I) dA = 0
yb
c
b dx = (dM y/I) dA
yb
1 dM c
= –– ––– y dA
Ib dx
yb
Pero
dM
V = –––
dx
c
Q = y dA es el primer momento de área entre ‘yb’ y c respecto a la línea
yb neutra
Entonces, el esfuerzo cortante queda
V Q
= –––– (3.7)
I b
Nota: Puede verse que el esfuerzo cortante en la viga está en la dirección
horizontal. Puede demostrarse que debido al equilibrio de momentos en un
elemento diferencial de la viga, el esfuerzo vertical es igual en magnitud al
valor dado por la ecuación (3.7)
A. Zambrano 52
La variación del esfuerzo cortante para una sección rectangular está dada en la
siguiente figura
L.N.
Fig. 3.20. Variación del esfuerzo cortante
A. Zambrano 53
3.4. ESFUERZOS DE TORSION
Para deducir las formulas de la torsión, se deben establecer una serie de
hipótesis que pueden demostrarse matemáticamente y algunas de ellas
comprobarse experimentalmente. Las formulas que aquí se derivan son validas
solamente para secciones circulares (macizas o huecas).
H1: Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.
H2: Las secciones inicialmente planas permanecen planas después de la
torsión.
H3: La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una
sección, permanece radial después de la torsión.
H4: La barra está sometida a la acción de momentos torsionales que actúan en
planos perpendiculares a su eje.
H5: Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.
A. Zambrano 54
Deducción de las formulas de la torsión
Consideremos una barra circular solida sujeta a un momento torsionante Mt en
un extremo y empotrada en el otro (fig. 3.21)
Mt
A L
E
C B D
Mt max
B O
(a) perspectiva (b) sección transversal
Fig. 3.21. Barra circular en torsión
De la fig. 3.21b, la deformación total de una fibra a la distancia del centro,
es igual al arco DE, es decir
=
Además, el ángulo de distorsión está dado por
= ––– = –––
L L
La Ley de Hooke para esfuerzo cortante establece que
= G
A. Zambrano 55
G
= –––– (1) Ecuación de compatibilidad
L
Por otra parte, el momento torsionante es el resultante de los esfuerzos
cortantes (fig. 3.22)
Fig. 3.22. Momento torsionante
dA dA debido a los esfuerzos cortantes
Entonces
Mt = dA = ( G/L) dA = (G/L) 2 dA
Pero Ip = 2 dA es el momento polar de inercia de la sección, por lo tanto
GIp
Mt = ––––
L
De la ecuación anterior, despejamos
Mt L
= –––– (3.8)
G Ip
Donde:
= ángulo de torsión (radianes)
Mt = momento torsionante (kg-m, kN-m, kip-plg)
L = longitud de la barra (m, pies)
G = modulo de rigidez cortante (kg/cm2, MPa, ksi)
Ip = momento polar de inercia (cm4, mm4, plg4)
A. Zambrano 56
Sustituyendo la ecuación (3.8) en la ecuación de compatibilidad, nos da
G Mt L
= –––– ––––
L G Ip
Mt
= –––– (3.9)
Ip
Donde:
= esfuerzo cortante a una distancia del centro (kg/cm2, MPa, ksi)
= distancia radial a un punto (cm, mm, plg)
Ip = momento polar de inercia (cm4, mm4, plg4)
El esfuerzo cortante será máximo cuando sea máximo, es decir
r = max
Entonces
Mt r
max = –––– (3.10)
Ip
En la tabla 3.2 están dados los momentos polares de inercia para secciones
circulares solidas y huecas.
A. Zambrano 57
Tabla 3.2 Momentos polares de inercia de secciones circulares
Sección figura Ip
Circular
Solida
L.N.
D
D4
––––
32
Circular
Hueca
d
L.N.
D
(D4 – d4)
–––––––––
32
A. Zambrano 58
3.5. ESFUERZOS COMBINADOS
Las fuerzas externas pueden producir en el interior de un miembro varios tipos
de esfuerzos, los cuales se pueden sumar de acuerdo al principio de
superposición. A este estado de esfuerzos se le llama ESFUERZOS
COMBINADOS.
Tipos de * Fuerza axial + Momento flexionante
Esfuerzos
combinados * Fuerza cortante + Momento torsionante
*Fuerza axial + Momento flexionante
En este caso se suman algebraicamente los esfuerzos normales (fig. 3.23)
P M y
= ––– –––– (3.11)
A I
1=+P/A + 2=-My/I = +P/A –My/I
P
+ M
1=+P/A + 2=+My/I = +P/A +My/I
(a)
1=-P/A + 2=-My/I = -P/A – My/I
P
+ M
1=-P/A + 2=+My/I = -P/A + My/I
(b)
A. Zambrano 59
1=+P/A + 2=My/I = +P/A +My/I
P
+ M
1=+P/A + 2=-My/I = +P/A -My/I
(c)
1=-P/A + 2=My/I = -P/A + My/I
P
+ M
1=-P/A + 2=-My/I = -P/A - My/I
(d)
Fig. 3.23. Esfuerzos combinados de fuerza axial y flexión
*Fuerza cortante + Momento flexionante
En este caso se suman vectorialmente los esfuerzos cortantes (fig. 3.24)
V Mt
L.N.
Cortante por flexión Cortante por torsión
Fig. 3.24. Esfuerzos combinados de fuerza cortante y torsión
A. Zambrano 60
A. Zambrano 61
SUBTEMAS:
4.0 INTRODUCCIÓN
4.1 FORMULA DE EULER
4.2 LIMITACIÓN DE LA FORMULA DE EULER
4.3 MODIFICACIÓN DE LA FORMULA DE EULER
4.4 COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE
4.5 ANÁLISIS DE VIGAS-COLUMNAS
A. Zambrano 62
4.0 INTRODUCCIÓN
Una columna es una barra sujeta a una fuerza axial de compresión. Si la
columna es robusta y corta, entonces la falla ocurrirá por la fluencia o ruptura
del material. Por otra parte, si la sección transversal de la columna es muy
pequeña y su longitud es grande, entonces la falla ocurre mediante una flexión
súbita de la columna. A esta flexión súbita se le conoce como PANDEO.
P P
P
P
Fig. 4.1. Columna corta Fig. 4.2. Columna larga
Las columnas se clasifican como sigue:
-Cortas fallan por aplastamiento
COLUMNAS -Intermedias empieza la falla por aplastamiento y luego
se pandean
-Largas fallan por pandeo
A una columna larga también se le denomina columna ESBELTA.
Este problema de la posibilidad de la falla por pandeo de una columna se le
conoce como un problema de INESTABILIDAD.
A. Zambrano 63
ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO
Existen tres tipos de equilibrio según su estabilidad
-ESTABLE Las fuerzas externas tienden a regresar al
sistema a su configuración original.
EQUILIBRIO -INDIFERENTE El sistema permanecerá en su nueva
configuración.
-INESTABLE Cualquier pequeña fuerza hará que el
sistema se aleje de su configuración
original.
Fig. 4.3. Tipos de equilibrio (a) estable, (b) indiferente, (c) inestable
A. Zambrano 64
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CURVA ELÁSTICA
Primero necesitamos deducir la ecuación diferencial de la curva elástica.
Consideremos una viga deformada como se muestra en la siguiente figura
d
dy
dx
Fig. 4.4. Geometría de la viga deformada
Del triangulo pequeño de la figura, tenemos
dy
tan = ––––
dx
Para ángulos pequeños tan , entonces
dy
= ––––
dx
A. Zambrano 65
Derivando respecto a x la ecuación anterior, obtenemos
d d2y
–––– = –––– (1)
dx dx2
Por otra parte, del triangulo grande de la figura, tenemos
dx
tan d = ––––
Para ángulos pequeños tan , entonces
dx
d = ––––
d 1
–––– = –––– (2)
dx
Igualando (1) y (2), obtenemos
d2y 1
–––– = –––– (3)
dx2
Por otra parte
E I M 1
M = –––– –––– = ––––
EI
Entonces
M 1
–––– = ––– (4)
EI
A. Zambrano 66
Igualando (3) y (4), obtenemos
d2y M
–––– = –––– (5)
dx2 EI
Si escribimos
d2y
y = ––––
dx2
La ecuación (5) nos queda
M
y = –––– (4.1)
EI
Donde:
y = deflexión de la viga en la coordenada x
M = momento flexionante interno en la coordenada x
E= modulo de elasticidad del material
I = momento de inercia de la sección
Una forma alternativa de la ecuación (4.1) es
EIy = M (4.2)
La ecuación (4.1) o (4.2) es la ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CURVA
ELÁSTICA o simplemente la ECUACIÓN DE LA ELÁSTICA.
A. Zambrano 67
4.1 FORMULA DE EULER
Consideremos ahora una columna pandeada como se muestra en la siguiente
figura. Se va a establecer el equilibrio en su configuración deformada.
Y
x
P P
X
L
Fig. 4.5
Consideremos el diagrama de cuerpo libre en una sección cortada a una
distancia x del extremo izquierdo
M
P
P y
x
Fig. 4.6. Diagrama de cuerpo libre de columna pandeada
Tomando momentos en la sección en x, obtenemos el momento interno
M = -Py
Entonces, la ecuación de la elástica queda como sigue
EIy = -Py
EIy + Py = 0
P
y + ––– y = 0
EI
A. Zambrano 68
Para simplificar, definimos
P
k2 = ––––
EI
Entonces, la ecuación queda
y + k2 y = 0 (1)
La ecuación (1) es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden,
homogénea y con coeficientes constantes.
La solución general está dada por
y = A sen kx + B cos kx
Las constantes de integración se obtienen de las condiciones de frontera
(i) En x=0, y=0
(ii) En x=L, y=0
De (i)
0 = A sen (0) + B cos (0) B = 0
Entonces
y = A sen kx
De (ii)
0 = A sen kL = 0
Como A debe ser distinta de 0, entonces
sen kL = 0
Esto implica que
A. Zambrano 69
kL = , 2, 3, …., n
Entonces
n
k = –––
L
n22
k2 = –––
L2
Sustituyendo k2 por su valor P/(EI), nos queda
P n22
––– = –––
EI L2
Despejando la carga P, obtenemos
n22EI
P = ––––– (n=1, 2, 3, …)
L2
Para cada valor de n, se obtiene una forma de pandeo
n=1 n=2 n=3 n=4
Fig. 4.7. Formas de pandeo de una columna
2EI
P = ––––
L2
42EI
P = –––––
L2
92EI
P = –––––
L2
162EI
P = ––––––
L2
A. Zambrano 70
La carga de pandeo que primero se alcanza es la más pequeña. Entonces, la
FORMULA DE EULER nos da la carga crítica de pandeo:
(4.3)
4.2 LIMITACIÓN DE LA FORMULA DE EULER
Para que sea aplicable la formula de Euler, el esfuerzo que se produzca en el
pandeo no debe exceder el límite de proporcionalidad.
Entonces, el ESFUERZO CRITICO esta dado por
Pcr
cr = ––– (4.4)
A
Donde Pcr es la carga de Euler y A es el área de la sección transversal de la
columna
Sustituyendo la ecuación (4.3) en (4.4) obtenemos
2EI
cr = ––––– (a)
AL2
Por otra parte,
I = Ar2 (b)
Donde r es el radio de giro de la sección respecto a su eje de flexión.
Sustituyendo (b) en (a), se obtiene
2EAr2
cr = ––––––
AL2
Reacomodando términos, obtenemos
2EI
Pcr = –––––
L2
A. Zambrano 71
2E
cr = ––––––
(L/r)2
Esta expresión puede escribirse como
2E
cr = ––––––
(Le/r)2
Donde
Le = longitud efectiva de la columna (en este caso, Le = L)
Le/r = relación de esbeltez
La formula de Euler es válida solamente si
cr e
Donde
e = limite elástico
A. Zambrano 72
4.3 MODIFICACIÓN DE LA FORMULA DE EULER
A continuación se presentan algunas cargas críticas de pandeo para otros tipos
de apoyos
Fig. 4.8. Cargas criticas en columnas con diferentes apoyos
En general, la carga critica de pandeo para cualesquiera tipos de apoyos puede
escribirse como
(4.5)
Donde k se llama FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA de la columna y el
producto kL=Le se llama LONGITUD EFECTIVA de la columna. Entonces
(4.6)
2EI
Pcr = –––––
(.7L)2
2EI
Pcr = –––––
(.5L)2
2EI
Pcr = –––––
(2L)2
2EI
Pcr = –––––
(kL)2
2EI
Pcr = –––––
L2
2EI
Pcr = –––––
(2L)2
2EI
Pcr = –––––
Le2
A. Zambrano 73
4.4 COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE
Consideremos ahora una columna pandeada como se muestra en la siguiente
figura. Se va a establecer el equilibrio en su configuración deformada.
Y
x
P e X
P
L
Fig. 4.9
La carga excéntrica puede sustituirse por un momento M=Pe y una carga axial
P
Y
x
P P*e
X
P*e P
L
Fig. 4.9
Consideremos el diagrama de cuerpo libre en una sección cortada a una
distancia x del extremo izquierdo
M
P
P y
P*e
x
Fig. 4.10. Diagrama de cuerpo libre de columna con carga excéntrica
A. Zambrano 74
Tomando momentos en la sección en x, obtenemos el momento interno
M = -Py - Pe
Entonces, la ecuación de la elástica queda como sigue
EIy = -Py - Pe
EIy + Py = -Pe
P Pe
y + ––– y = - –––
EI EI
Para simplificar, definimos
P
k2 = ––––
EI
Entonces, la ecuación queda
y + k2 y = - k2 e (1)
La ecuación (1) es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, no
homogénea y con coeficientes constantes.
La solución general está dada por
y = yh + yp
donde:
yh = solución homogénea = A sen kx + B cos kx
yp = solución particular = C = constante
yp =yp = 0
Sustituyendo en (1) obtenemos
0 + k2C = - k2 e C = -e
A. Zambrano 75
Entonces, la solución general de (1) es
y = A sen kx + B cos kx – e
Las constantes de integración se obtienen de las condiciones de frontera
(i) En x=0, y=0
(ii) En x=L, y=0
De (i) obtenemos
0 = A sen 0 + B cos 0 – e B = e
Entonces
y = A sen kx + e cos kx – e
y = A sen kx + e (cos kx – 1) (2)
De (ii) obtenemos
0 = A sen kL + e (cos kL – 1)
A sen kL = e(1 – cos kL)
Pero
Sen kL = 2 sen (kL/2) cos (kL/2)
1 – cos kL = 2 sen2 (kL/2)
Sustituyendo, nos queda
A [2 sen (kL/2) cos (kL/2)] = e [2 sen2 (kL/2)]
A = e*tan (kL/2)
Sustituyendo en A en (2) nos queda
y = e tan (kL/2) sen kx + e (cos kx – 1)
y = e [tan (kL/2) sen kx + cos kx – 1]
A. Zambrano 76
La deflexión máxima ocurre en el centro, es decir, en x=L/2. Entonces
ymax = e [tan (kL/2) sen (kL/2) + cos (kL/2) – 1]
ymax = e [sen (kL/2) sen (kL/2) + cos (kL/2) – 1]
cos (kL/2)
sen2 (kL/2) + cos2(kL/2) – cos (kL/2)
ymax = e –––––––––––––––––––––––––––––––
cos (kL/2)
1 – cos (kL/2)
ymax = e –––––––––––––
cos (kL/2)
ymax = e [ sec (kL/2) – 1]
sustituyendo el valor de k, se obtiene
P L
ymax = e sec –––– –– – 1 (3)
EI 2
Nótese que en la ecuación (3), ymax se vuelve infinita cuando el coseno del
ángulo se hace cero, es decir, en /2. Entonces
P L
–––– –– = ––
EI 2 2
2 EI
Pcr = ––––
L2
Despejando EI = Pcr L2/2, sustituimos en (3)
A. Zambrano 77
P
ymax = e sec –– –––– – 1 (4.7)
2 Pcr
El esfuerzo máximo también ocurre en el centro del claro y esta dado por
P Mmax c
max = ––– + –––––– (4)
A I
Donde:
Mmax = P*(ymax + e)
P
Mmax = Pe sec –– –––– (5)
2 Pcr
Además
I = Ar2 (6)
Sustituyendo (5) y (6) en (4), obtenemos
P P c
max = ––– + Pe sec –– –––– –––
A 2 Pcr Ar2
P ec P
max = ––– 1 + –– sec –– –––– (7)
A r2 2 Pcr
A. Zambrano 78
Recordando que, en general
2 EI
Pcr = –––––
Le2
Entonces, sustituyendo en la ecuación (7) nos queda
P ec PLe2
max = ––– 1 + –– sec –– ––––
A r2 2 2EI
P ec Le P
max = ––– 1 + –– sec –– ––––
A r2 2 EI
Como I=Ar2, escribimos
P ec Le P
max = ––– 1 + –– sec –– ––––
A r2 2 EAr2
P ec Le P
max = ––– 1 + –– sec –– ––––
A r2 2r EA
Si definimos la RELACIÓN DE ESBELTEZ como
Le
= ––––
R
A. Zambrano 79
Entonces se obtiene
P ec P
max = ––– 1 + –– sec –– –––– (4.7)
A r2 2 EA
La ecuación anterior es conocida como la FORMULA DE LA SECANTE.
A. Zambrano 80
4.5 ANÁLISIS DE VIGAS-COLUMNAS
La deducción la formula exacta para el momento flexionante máximo de una viga-columna requiere de resolver una ecuación diferencial. En esta parte, deduciremos las formulas exactas para el cálculo del momento flexionante máximo de vigas-columnas para algunos tipos particulares de cargas Consideremos la siguiente viga-columna mostrada w P P EI = constante L Para determinar su momento máximo, consideraremos la viga-columna deformada y establecemos unos ejes coordenados X-Y en el extremo izquierdo Y w P P X wL/2 L wL/2 Ahora hacemos un corte a una distancia x y hacemos el diagrama de cuerpo libre de esta parte Y wx x/2 M P P y x wL/2 El momento M esta dado por M= -Py – wLx/2 + wx2/2 Entonces, escribimos la ecuación de la curva elástica
EIy = M
EIy = -Py – wLx/2 + wx2/2
EIy + Py = – wLx/2 + wx2/2 Dividimos toda la ecuación entre EI
y + (P/EI)y = – wLx/(2EI) + wx2/(2EI)
A. Zambrano 81
Definimos la constante P k2 = ––– EI Entonces k2 1 –––= ––– P EI Y la ecuación queda como sigue -wLk2x wk2x2
y + k2y = –––––– + –––––– (1) 2P 2P La ecuación (1) es una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. La solución general de esta ecuación está dada por y = yh + yp donde yh = A sen kx + B cos kx (solución homogénea) yp = Cx2 + Dx + E (solución particular) Los coeficientes indeterminados de la solución particular se obtienen derivándola dos veces y sustituyéndola en (1)
yp = 2Cx + D , yp = 2C -wLk2x wk2x2
yp + k2yp = –––––– + –––––– 2P 2P -wLk2x wk2x2 2C + k2(Cx2 + Dx + E) = –––––– + –––––– 2P 2P Entonces
A. Zambrano 82
wk2 w k2C = –––––– C = –––– 2P 2P -wLk2 -wL k2D = –––––– D = –––– 2P 2P -2C -w 2C + k2E = 0 k2E = -2C E = ––––– = –––––– k2 k2P La solución particular es wx2 wLx w yp= –––– - ––––– - –––– 2P 2P k2P Y la solución general está dada por wx2 wLx w y = A sen kx + B cos kx + –––– - ––––– - –––– (2) 2P 2P k2P Para determinar las constantes A y B utilizamos las condiciones de frontera de la viga-columna que son las siguientes:
(i) En x=0, y=0 (ii) En x=L, y=0
De (i), tenemos w w 0 = A sen (0) + B cos (0) + 0 – 0 - –––– B = –––– k2P k2P Sustituyendo B en (2) se obtiene w wx2 wLx y = A sen kx + ––– (cos kx – 1) + –––– - ––––– (3) k2P 2P 2P De (ii),tenemos
A. Zambrano 83
w wL2 wL2 0 = A sen kL + ––– (cos kL – 1) + –––– - ––––– k2P 2P 2P w 0 = A sen kL + ––– (cos kL – 1) k2P w A sen kL = ––– (1 – cos kL) k2P w(1 – cos kL) A = –––––––––– k2P sen kL Sustituyendo A en la ecuación (3) obtenemos finalmente la solución de la ecuación diferencial w(1 – cos kL) sen kx w(cos kx – 1) wx2 wLx y = –––––––––––––––– + –––––––––––– + –––– - ––––– (4) k2P sen kL k2P 2P 2P Por la simetría, la deflexión máxima ocurre en el centro, en x=L/2, entonces w(1 – cos kL) sen(kL/2) w[cos(kL/2) – 1] w(L/2)2 wL(L/2) ymax = ––––––––––––––––––– + ––––––––––––– + –––––– - ––––––– k2P sen kL k2P 2P 2P Sustituimos en la educación anterior las identidades trigonométricas siguientes Sen kL = 2sen (kL/2)cos(kL/2) 1 – cos kL = 2sen2(kL/2) w[2 sen2(kL/2)]sen(kL/2) w[cos(kL/2) – 1] wL2 wL2 ymax = ––––––––––––––––––––– + –––––––––––––– + ––– - ––– k2P[2sen (kL/2)cos(kL/2)] k2P 8P 4P w sen2(kL/2) w[cos(kL/2) – 1] wL2 ymax = –––––––––– + –––––––––––––– - ––– k2Pcos(kL/2) k2P 8P
A. Zambrano 84
w sen2(kL/2) wL2 ymax = –– –––––––– + cos(kL/2) – 1 – ––– k2P cos(kL/2) 8P w sen2(kL/2)+ cos2(kL/2) wL2 ymax = –– ––––––––––––––––––––– – 1 – ––– k2P cos(kL/2) 8P w 1 wL2 ymax = ––– ––––––––– – 1 – ––– k2P cos(kL/2) 8P w wL2 ymax = ––– sec (kL/2) – 1 – ––– (5) k2P 8P El momento flexionante máximo también ocurre en el centro del claro, en x=L/2. Utilizamos la ecuación de momentos M =-Py – wLx/2 + wx2/2 Mmax = -Pymax – wL(L/2)/2 + w(L/2)2/2 Mmax = -Pymax – wL2/4 + wL2/8 Mmax = -Pymax – wL2/8 Sustituyendo la ecuación (5), nos queda -w wL2 wL2 Mmax = ––– sec (kL/2) – 1 + ––– – ––– k2 8 8 -w Mmax = ––– sec (kL/2) – 1 (6) k2
A. Zambrano 85
Este momento incluye el efecto de las cargas transversales ‘w’ y la fuerza axial ‘P’. El signo negativo se debe a que el sentido de la carga ‘w’ produce un momento negativo en el centro. Entonces, para cada viga columna tiene que plantearse y resolverse una ecuación diferencial para obtener el valor exacto del momento máximo. MÉTODO DE AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS Existe un procedimiento aproximado para obtener este momento máximo en una viga-columna. Consideremos una viga-columna con una deflexión inicial dada por la siguiente función
y0 = e sen x/L Y y ymax P y0 e P X x L El momento flexionante en una sección a una distancia x del apoyo izquierdo es M=-P(y+y0) La ecuación de la elástica es
EIy = -P(y+y0) = -Py – Py0
EIy + Py = -Py0
y + (P/EI)y = -(P/EI)y0 Pero k2 = P/EI
y + k2y = -k2y0
y + k2y = -k2e sen x/L (7)
A. Zambrano 86
Las condiciones de frontera de la ecuación (7) son:
(i) En x=0, y=0 (ii) En x=L, y=0
Una función que satisface las condiciones (i), (ii) es
y = A sen x/L (8)
Entonces, derivamos dos veces la función (8) y la sustituimos en la ecuación (7)
y = A/L cos x/L , y = -2A/L2 sen x/L
y + k2y = -k2e sen x/L
-2A/L2 sen x/L + k2(A sen x/L) = -k2e sen x/L
A(-2/L2 +k2) sen x/L = -k2e sen x/L
A(-2/L2 +k2)= -k2e -k2e e A = ––––––––– = –––––––––
-2/L2 +k2 2/k2L2 – 1 Pero k2= P/EI, entonces
2/k2L2 = 2EI/(PL2) = (2EI/L2/P) = Pe/P
Donde Pe = 2EI/L2 e A = –––––––––
Pe/P – 1 Entonces, la solución es e
y = ––––––––– sen x/L (9) Pe/P – 1
A. Zambrano 87
Por simetría, La deflexión máxima ocurre en x=L/2, entonces e
ymax = ––––––––– sen (L/2)/L Pe/P – 1 e
ymax = ––––––––– sen /2 Pe/P – 1 e ymax = ––––––––– Pe/P – 1 El momento máximo también ocurre en x=L/2 Mmax = -P(ymax+y0) e Mmax =-P ––––––– + e Pe/P – 1 1 Mmax =-Pe ––––––– + 1 Pe/P – 1 1+ Pe/P – 1 Mmax =-Pe –––––––––– Pe/P – 1 Pe/P Mmax =-Pe –––––––––– Pe/P – 1 Multiplicando el numerador y el denominador de la expresión anterior por P/Pe, obtenemos 1 Mmax =-Pe –––––––––– 1 – P/Pe
A. Zambrano 88
El momento flexionante inicial, antes de la aplicación de la carga P es M0 = Pe Entonces 1 Mmax =-M0 ––––––– 1 – P/Pe 1 El factor ––––––– se conoce como FACTOR DE AMPLIFICACIÓN. 1 – P/Pe
A. Zambrano 89
A. Zambrano 90
SUBTEMAS
5.1 TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS
5.2 ESFUERZOS PRINCIPALES
5.3 CIRCULO DE MOHR
A. Zambrano 91
5.1 TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS
Supóngase que existe un estado de esfuerzos planos en el punto de un material
y definido por las componentes x, y y xy asociadas con el elemento de la
figura
y
y
xy
x x
Fig. 5.1. Componentes de esfuerzos planos en un punto.
Hállense las componentes del esfuerzo ’x, ’y y ’xy asociadas con el
elemento después que ha girado un ángulo con respecto al eje Z y
exprésense estas componentes en función de x, y, xy y .
y
y x
y
xy x
x
Fig. 5.2. Transformación de esfuerzos planos en un punto.
A. Zambrano 92
Se considera la cuña siguiente
y
xy dA x
xdA
x(dA cos) x
xy(dA cos)
xy(dA sen )
y(dA sen )
Fig. 5.3. Cuña de transformación de esfuerzos
Fx = 0
x dA–x(dA cos)cos –xy(dA cos)sen –y(dA sen )sen –
– xy(dA sen )cos = 0
Fy = 0
xydA+x(dA cos)sen –xy(dA cos)cos –y(dA sen )cos +
+ xy(dA sen )sen = 0
de la primera ecuación
x = xcos2 + ysen2 + 2xy sen cos
xy = – (x – y)sen cos + xy (cos2 –sen2 )
A. Zambrano 93
Consideremos las identidades trigonométricas siguientes:
sen 2 = 2 sen cos
cos 2 = cos2 –sen2
1 + cos 2
cos2 = ––––––––––
2
1 – cos 2
sen2 = ––––––––––
2
Usando estas identidades, obtenemos:
x = ½(x + y) + ½(x – y)cos 2 + xy sen 2 (V-1)
xy = –½(x – y)sen 2 + xy cos 2 (V-2)
La expresión para el esfuerzo normal y puede obtenerse reemplazando en
la ecuación (V-1) por el ángulo +90 ya que el eje y forma un ángulo recto
con el eje x.
y = ½(x + y) – ½(x – y)cos 2 – xy sen 2 (V-3)
A. Zambrano 94
5.2 ESFUERZOS PRINCIPALES
Un problema de interés es determinar el ángulo para el cual el esfuerzo
normal x es un valor máximo. Utilizando el criterio de la primer derivada
d (x)
–––– = 0
d
d
–––– [½(x + y) + ½(x – y)cos 2 + xy sen 2] = 0
d
-2(½)(x – y) sen 2 + 2xy cos 2 = 0
-(x – y) sen 2 + 2xy cos 2 = 0
-(x – y) sen 2 = -2xy cos 2
sen 2 2xy
––––– = –––––––
cos 2 x – y
2xy
tan 2 = –––––––
x – y
A este ángulo se le llama Angulo Principal y se representa por p, es decir
2xy
tan 2p = ––––––– (V-4)
x – y
Despejando el ángulo principal, obtenemos
2xy
p = ½ tan-1 ––––––– (V-5)
x – y
A. Zambrano 95
Entonces, el esfuerzo normal máximo esta dado por
max = ½(x + y) + ½(x – y)cos 2p + xy sen 2p (a)
Consideremos el siguiente triangulo
Fig.5.4. Triangulo para la
sustitución del ángulo
R=[½(x – y)]2+(xy)
2 principal.
xy
2p
½ (x – y)
Del triangulo, obtenemos
xy ½ (x – y)
sen 2p = ––– cos 2p = –––––––––
R R
Sustituyendo estas dos expresiones anteriores en la ecuación (a), nos da
max = ½(x + y) + ½(x – y) ½ (x – y)/R + xy(xy/R)
1
max = ½(x + y) + ––{ [½(x – y)]2 + (xy)
2}
R
1
max = ½(x + y) + ––R2
R
max = ½(x + y) + R
Si definimos
m = ½(x + y)
A. Zambrano 96
Entonces, el esfuerzo normal máximo esta dado por
max = m + R (V-6)
Similarmente, el esfuerzo normal mínimo esta dado por
max = m – R (V-7)
En la figura siguiente se muestra el estado de esfuerzos principal
min
max
p
x
Fig. 5.5. Esfuerzos principales en un punto
A. Zambrano 97
Otro problema de interés es determinar el ángulo para el cual el esfuerzo
cortante xy es un valor máximo. Utilizando el criterio de la primer derivada
d (xy)
–––––– = 0
d
d
–––– [–½(x – y)sen 2 + xy cos 2] = 0
d
-2(½)(x – y) cos 2 – 2xy sen 2 = 0
-(x – y) cos 2 – 2xy sen 2 = 0
-2xy sen 2 = (x – y) cos 2
sen 2 -(x – y)
––––– = –––––––
cos 2 2xy
-(x – y)
tan 2 = –––––––
2xy
A este ángulo se le llama Angulo de Corte Máximo y se representa por s, es
decir
-(x – y)
tan 2s = ––––––– (V-8)
2xy
Despejando el ángulo de corte máximo, obtenemos
-(x – y)
s = ½ tan-1 ––––––– (V-9)
2xy
A. Zambrano 98
Entonces, el esfuerzo cortante máximo esta dado por
max = –½(x – y)sen 2s + xy cos 2s (b)
Consideremos el siguiente triangulo
Fig.5.6. Triangulo para la
sustitución del ángulo de
R=[½(x – y)]2+(xy)
2 corte máximo.
-½ (x – y)
2s
xy
Del triangulo, obtenemos
xy -½ (x – y)
cos 2s = ––– sen 2s = –––––––––
R R
Sustituyendo estas dos expresiones anteriores en la ecuación (b), nos da
max = –½(x – y)[ -½ (x – y)]/R + xy(xy/R)
1
max = ––– {[½(x – y)]2 + (xy)
2}
R
1
max = ––– R2
R
max = R (V-10)
A. Zambrano 99
El esfuerzo normal correspondiente al esfuerzo cortante máximo se obtiene de
la siguiente expresión
= ½(x + y) + ½(x – y)cos 2s + xy sen 2s
= ½(x + y) + ½(x – y) (xy/R) + xy [ -½ (x – y)]/R
= ½(x + y) + ½xy(x – y)/R – ½xy (x – y)/R
= ½(x + y)
= m (V-11)
En la figura siguiente se muestra el estado de esfuerzos principal
max
max s
max x
max
Fig. 5.7. Esfuerzo cortante máximo y esfuerzo normal asociado en un punto
Ejercicio: Demostrar que |p| + |s| = 45
A. Zambrano 100
5.3 CIRCULO DE MOHR
Escribamos de nuevo las ecuaciones para x y xy
x = ½(x + y) + ½(x – y)cos 2 + xy sen 2 (1)
xy = –½(x – y)sen 2 + xy cos 2 (2)
De la ec. (1), pasamos al lado izquierdo el primer miembro del lado derecho
x – ½(x + y) = ½(x – y)cos 2 + xy sen 2
Elevamos al cuadrado ambos términos de la igualdad
[x – ½(x + y)]2 = [½(x – y)]
2 cos2 2 + 2(½)(x – y) xy cos 2 sen 2 +
+ 2xy sen2 2 (3)
Ahora, elevamos al cuadrado ambos términos de la ecuación (2)
(xy)2 = [–½(x – y)]
2sen2 2 – 2(½)(x – y) xy cos 2 sen 2
+2xy cos2 2 (4)
Sumando las ecuaciones (3) y (4), obtenemos
[x – ½(x + y)]2 + (xy)
2 =[½(x – y)]2+2
xy (5)
Recordemos que
m = ½(x + y)
R2 = [½(x – y)]2+2
xy
Entonces la ecuación (5) queda
(x – m)2 + (xy)2 =R2
(6)
A. Zambrano 101
La ecuación (6) es la ecuación de un círculo de la forma
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
Donde, x = x, y=xy son las variables y es la ecuación de un circulo de radio
r, con centro en el punto de coordenadas (h, k). En este caso el centro está en
el punto (m, 0) y el radio es R.
Este es el llamado CIRCULO DE MOHR para esfuerzos planos. Este círculo
lo introdujo el Ingeniero Alemán Otto Mohr (1835-1918) y puede considerarse
como un método alternativo para la solución de problemas.
PROCEDIMIENTO PARA DIBUJAR EL CIRCULO DE MOHR
1- Dibuje un eje horizontal para las abscisas y un eje vertical para las
ordenadas.
2- Localice el punto X de coordenadas (x, -xy) en el plano -
3- Localice el punto Y de coordenadas (y, xy) en el plano -
4- Trace una línea recta que una los puntos X y Y. La intersección de esta
línea con el eje horizontal es el centro del circulo. Este será el punto
C.
5- Dibuje un circulo con centro en C y radio CX o CY.
6- La línea CX representa el eje X en el circulo de Mohr y la línea CY
representa el eje Y en el circulo de Mohr.
7- Todos ángulos en el circulo de Mohr están duplicados
8- Los puntos de intersección del circulo con el eje nos los esfuerzos
normales max y min. Estos puntos se marcan como los puntos A y B,
respectivamente.
9- El menor ángulo entre la línea CX y CA es 2p, es decir el doble del
ángulo principal. Este ángulo es positivo si la línea CX se mueve a la
línea CA en contra del reloj y es negativa si es a favor del reloj.
A. Zambrano 102
10- La ordenada máxima es el esfuerzo cortante máximo. Esta
ordenada será el punto D.
11- El ángulo menor entre la línea CX y la línea CD es 2s, es decir el
doble del ángulo de máximo esfuerzo cortante. Este ángulo es positivo
si la línea CX se mueve a la línea CD en contra del reloj y es negativa si
es a favor del reloj.
12- El esfuerzo normal asociado con el esfuerzo cortante máximo es
la coordenada horizontal del centro del círculo.
D
Y max
O B C 2p A
min 2s
X
max
Fig. 5.8. Circulo de Mohr para esfuerzos planos.