![Page 1: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/1.jpg)
MATEMÁTICAS IIVECTORES NO ESPAZO
Manuel Fernández López
IES María SarmientoMisericordia 58Viveiro, Lugo
December 8, 2015
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 1 / 35
![Page 2: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/2.jpg)
Outline
1 Nocións básicas
2 Produto escalarDefiniciónProduto escalar en coordenadas
3 Produto vectorialDefiniciónProduto vectorial: Propiedades e aplicacións
4 Produto mixtoDefiniciónPropiedades e aplicacións
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 2 / 35
![Page 3: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/3.jpg)
Vectores
Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por−→PQ. O
punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo.
P
Q−→PQ
•
•
Características dun vector
As características dun vector−→PQ son:
Módulo: é a súa lonxitude e represéntase por |−→PQ|,
Dirección: é a dirección da recta que o contén, eSentido: é o que vai da orixe ao extremo.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 3 / 35
![Page 4: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/4.jpg)
Vectores
Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por−→PQ. O
punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo.
P
Q−→PQ
•
•
Características dun vector
As características dun vector−→PQ son:
Módulo: é a súa lonxitude e represéntase por |−→PQ|,
Dirección: é a dirección da recta que o contén, eSentido: é o que vai da orixe ao extremo.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 3 / 35
![Page 5: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/5.jpg)
Vectores
Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por−→PQ. O
punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo.
P
Q−→PQ
•
•
Características dun vector
As características dun vector−→PQ son:
Módulo: é a súa lonxitude e represéntase por |−→PQ|,
Dirección: é a dirección da recta que o contén, eSentido: é o que vai da orixe ao extremo.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 3 / 35
![Page 6: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/6.jpg)
Vectores
Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por−→PQ. O
punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo.
P
Q−→PQ
•
•
Características dun vector
As características dun vector−→PQ son:
Módulo: é a súa lonxitude e represéntase por |−→PQ|,
Dirección: é a dirección da recta que o contén, eSentido: é o que vai da orixe ao extremo.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 3 / 35
![Page 7: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/7.jpg)
Vectores
Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por−→PQ. O
punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo.
P
Q−→PQ
•
•
Características dun vector
As características dun vector−→PQ son:
Módulo: é a súa lonxitude e represéntase por |−→PQ|,
Dirección: é a dirección da recta que o contén, eSentido: é o que vai da orixe ao extremo.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 3 / 35
![Page 8: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/8.jpg)
Vectores
Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por−→PQ. O
punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo.
P
Q−→PQ
•
•
Características dun vector
As características dun vector−→PQ son:
Módulo: é a súa lonxitude e represéntase por |−→PQ|,
Dirección: é a dirección da recta que o contén, eSentido: é o que vai da orixe ao extremo.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 3 / 35
![Page 9: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/9.jpg)
Vectores iguais
Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por−→PQ. O
punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo.
P
Q−→PQ
•
•
Dous vectores son iguais se teñen o mesmo módulo, a mesmadirección e o mesmo sentido, podendo ser a súa orixe calquera puntodo espazo.
~v~v
~v
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 4 / 35
![Page 10: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/10.jpg)
Vectores iguais
Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por−→PQ. O
punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo.
P
Q−→PQ
•
•
Dous vectores son iguais se teñen o mesmo módulo, a mesmadirección e o mesmo sentido, podendo ser a súa orixe calquera puntodo espazo.
~v~v
~v
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 4 / 35
![Page 11: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/11.jpg)
Vectores iguais
Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por−→PQ. O
punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo.
P
Q−→PQ
•
•
Dous vectores son iguais se teñen o mesmo módulo, a mesmadirección e o mesmo sentido, podendo ser a súa orixe calquera puntodo espazo.
~v~v
~v
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 4 / 35
![Page 12: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/12.jpg)
Vectores iguais
Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por−→PQ. O
punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo.
P
Q−→PQ
•
•
Dous vectores son iguais se teñen o mesmo módulo, a mesmadirección e o mesmo sentido, podendo ser a súa orixe calquera puntodo espazo.
~v~v
~v
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 4 / 35
![Page 13: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/13.jpg)
Operacións con vectores: produto por un escalar
~v
2~v
12~v
−~v
−~v = (−1) · ~v chámase vector oposto de ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 5 / 35
![Page 14: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/14.jpg)
Operacións con vectores: produto por un escalar
~v
2~v
12~v
−~v
−~v = (−1) · ~v chámase vector oposto de ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 5 / 35
![Page 15: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/15.jpg)
Operacións con vectores: produto por un escalar
~v
2~v
12~v
−~v
−~v = (−1) · ~v chámase vector oposto de ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 5 / 35
![Page 16: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/16.jpg)
Operacións con vectores: produto por un escalar
~v
2~v
12~v
−~v
−~v = (−1) · ~v chámase vector oposto de ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 5 / 35
![Page 17: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/17.jpg)
Operacións con vectores: produto por un escalar
~v
2~v
12~v
−~v
−~v = (−1) · ~v chámase vector oposto de ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 5 / 35
![Page 18: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/18.jpg)
Operacións con vectores: suma
Dados dous vectores
~u
~v
a súa suma é o vector
~u
~v~u
~u
~v~u
Notade a equivalencia coa regra do paralelogramo.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 6 / 35
![Page 19: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/19.jpg)
Operacións con vectores: suma
Dados dous vectores
~u
~v
a súa suma é o vector
~u
~v~u
~u
~v~u
Notade a equivalencia coa regra do paralelogramo.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 6 / 35
![Page 20: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/20.jpg)
Operacións con vectores: suma
Dados dous vectores
~u
~v
a súa suma é o vector
~u
~v~u
~u
~v~u
Notade a equivalencia coa regra do paralelogramo.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 6 / 35
![Page 21: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/21.jpg)
Operacións con vectores: resta
Dados dous vectores
~u
~v
a súa resta é o vector ~u − ~v = ~u + (−~v)
~u
−~v~u − ~v
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 7 / 35
![Page 22: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/22.jpg)
Operacións con vectores: resta
Dados dous vectores
~u
~v
a súa resta é o vector ~u − ~v = ~u + (−~v)
~u
−~v~u − ~v
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 7 / 35
![Page 23: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/23.jpg)
Propiedades das operacións con vectores
Suma de vectores:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) (Asociativa)~u + ~v = ~v + ~u (Conmutativa)~v + ~0 = ~v (Elemento neutro)~v + (−~v) = ~0 (Elemento oposto)
Produto por un escalar:
a · (b · ~v) = (a · b) · ~v (Asociativa)(a + b) · ~v = a · ~v + b · ~v (Distributiva I)a · (~v + ~w) = a · ~v + a · ~w (Distributiva II)1 · ~v = ~v (Produto por 1)
Estas propiedades caracterizan a estrutura de espazo vectorial.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 8 / 35
![Page 24: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/24.jpg)
Propiedades das operacións con vectores
Suma de vectores:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) (Asociativa)~u + ~v = ~v + ~u (Conmutativa)~v + ~0 = ~v (Elemento neutro)~v + (−~v) = ~0 (Elemento oposto)
Produto por un escalar:
a · (b · ~v) = (a · b) · ~v (Asociativa)(a + b) · ~v = a · ~v + b · ~v (Distributiva I)a · (~v + ~w) = a · ~v + a · ~w (Distributiva II)1 · ~v = ~v (Produto por 1)
Estas propiedades caracterizan a estrutura de espazo vectorial.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 8 / 35
![Page 25: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/25.jpg)
Propiedades das operacións con vectores
Suma de vectores:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) (Asociativa)~u + ~v = ~v + ~u (Conmutativa)~v + ~0 = ~v (Elemento neutro)~v + (−~v) = ~0 (Elemento oposto)
Produto por un escalar:
a · (b · ~v) = (a · b) · ~v (Asociativa)(a + b) · ~v = a · ~v + b · ~v (Distributiva I)a · (~v + ~w) = a · ~v + a · ~w (Distributiva II)1 · ~v = ~v (Produto por 1)
Estas propiedades caracterizan a estrutura de espazo vectorial.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 8 / 35
![Page 26: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/26.jpg)
Propiedades das operacións con vectores
Suma de vectores:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) (Asociativa)~u + ~v = ~v + ~u (Conmutativa)~v + ~0 = ~v (Elemento neutro)~v + (−~v) = ~0 (Elemento oposto)
Produto por un escalar:
a · (b · ~v) = (a · b) · ~v (Asociativa)(a + b) · ~v = a · ~v + b · ~v (Distributiva I)a · (~v + ~w) = a · ~v + a · ~w (Distributiva II)1 · ~v = ~v (Produto por 1)
Estas propiedades caracterizan a estrutura de espazo vectorial.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 8 / 35
![Page 27: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/27.jpg)
Propiedades das operacións con vectores
Suma de vectores:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) (Asociativa)~u + ~v = ~v + ~u (Conmutativa)~v + ~0 = ~v (Elemento neutro)~v + (−~v) = ~0 (Elemento oposto)
Produto por un escalar:
a · (b · ~v) = (a · b) · ~v (Asociativa)(a + b) · ~v = a · ~v + b · ~v (Distributiva I)a · (~v + ~w) = a · ~v + a · ~w (Distributiva II)1 · ~v = ~v (Produto por 1)
Estas propiedades caracterizan a estrutura de espazo vectorial.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 8 / 35
![Page 28: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/28.jpg)
Propiedades das operacións con vectores
Suma de vectores:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) (Asociativa)~u + ~v = ~v + ~u (Conmutativa)~v + ~0 = ~v (Elemento neutro)~v + (−~v) = ~0 (Elemento oposto)
Produto por un escalar:
a · (b · ~v) = (a · b) · ~v (Asociativa)(a + b) · ~v = a · ~v + b · ~v (Distributiva I)a · (~v + ~w) = a · ~v + a · ~w (Distributiva II)1 · ~v = ~v (Produto por 1)
Estas propiedades caracterizan a estrutura de espazo vectorial.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 8 / 35
![Page 29: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/29.jpg)
Propiedades das operacións con vectores
Suma de vectores:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) (Asociativa)~u + ~v = ~v + ~u (Conmutativa)~v + ~0 = ~v (Elemento neutro)~v + (−~v) = ~0 (Elemento oposto)
Produto por un escalar:
a · (b · ~v) = (a · b) · ~v (Asociativa)(a + b) · ~v = a · ~v + b · ~v (Distributiva I)a · (~v + ~w) = a · ~v + a · ~w (Distributiva II)1 · ~v = ~v (Produto por 1)
Estas propiedades caracterizan a estrutura de espazo vectorial.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 8 / 35
![Page 30: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/30.jpg)
Propiedades das operacións con vectores
Suma de vectores:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) (Asociativa)~u + ~v = ~v + ~u (Conmutativa)~v + ~0 = ~v (Elemento neutro)~v + (−~v) = ~0 (Elemento oposto)
Produto por un escalar:
a · (b · ~v) = (a · b) · ~v (Asociativa)(a + b) · ~v = a · ~v + b · ~v (Distributiva I)a · (~v + ~w) = a · ~v + a · ~w (Distributiva II)1 · ~v = ~v (Produto por 1)
Estas propiedades caracterizan a estrutura de espazo vectorial.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 8 / 35
![Page 31: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/31.jpg)
Propiedades das operacións con vectores
Suma de vectores:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) (Asociativa)~u + ~v = ~v + ~u (Conmutativa)~v + ~0 = ~v (Elemento neutro)~v + (−~v) = ~0 (Elemento oposto)
Produto por un escalar:
a · (b · ~v) = (a · b) · ~v (Asociativa)(a + b) · ~v = a · ~v + b · ~v (Distributiva I)a · (~v + ~w) = a · ~v + a · ~w (Distributiva II)1 · ~v = ~v (Produto por 1)
Estas propiedades caracterizan a estrutura de espazo vectorial.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 8 / 35
![Page 32: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/32.jpg)
Propiedades das operacións con vectores
Suma de vectores:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) (Asociativa)~u + ~v = ~v + ~u (Conmutativa)~v + ~0 = ~v (Elemento neutro)~v + (−~v) = ~0 (Elemento oposto)
Produto por un escalar:
a · (b · ~v) = (a · b) · ~v (Asociativa)(a + b) · ~v = a · ~v + b · ~v (Distributiva I)a · (~v + ~w) = a · ~v + a · ~w (Distributiva II)1 · ~v = ~v (Produto por 1)
Estas propiedades caracterizan a estrutura de espazo vectorial.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 8 / 35
![Page 33: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/33.jpg)
Propiedades das operacións con vectores
Suma de vectores:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) (Asociativa)~u + ~v = ~v + ~u (Conmutativa)~v + ~0 = ~v (Elemento neutro)~v + (−~v) = ~0 (Elemento oposto)
Produto por un escalar:
a · (b · ~v) = (a · b) · ~v (Asociativa)(a + b) · ~v = a · ~v + b · ~v (Distributiva I)a · (~v + ~w) = a · ~v + a · ~w (Distributiva II)1 · ~v = ~v (Produto por 1)
Estas propiedades caracterizan a estrutura de espazo vectorial.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 8 / 35
![Page 34: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/34.jpg)
Propiedades das operacións con vectores
Suma de vectores:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) (Asociativa)~u + ~v = ~v + ~u (Conmutativa)~v + ~0 = ~v (Elemento neutro)~v + (−~v) = ~0 (Elemento oposto)
Produto por un escalar:
a · (b · ~v) = (a · b) · ~v (Asociativa)(a + b) · ~v = a · ~v + b · ~v (Distributiva I)a · (~v + ~w) = a · ~v + a · ~w (Distributiva II)1 · ~v = ~v (Produto por 1)
Estas propiedades caracterizan a estrutura de espazo vectorial.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 8 / 35
![Page 35: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/35.jpg)
Propiedades das operacións con vectores
Suma de vectores:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) (Asociativa)~u + ~v = ~v + ~u (Conmutativa)~v + ~0 = ~v (Elemento neutro)~v + (−~v) = ~0 (Elemento oposto)
Produto por un escalar:
a · (b · ~v) = (a · b) · ~v (Asociativa)(a + b) · ~v = a · ~v + b · ~v (Distributiva I)a · (~v + ~w) = a · ~v + a · ~w (Distributiva II)1 · ~v = ~v (Produto por 1)
Estas propiedades caracterizan a estrutura de espazo vectorial.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 8 / 35
![Page 36: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/36.jpg)
Sistema de referencia
Unha base do espazo vectorial tridimensional B é un conxunto{~v1, ~v2, ~v3} de tres vectores calquera linealmente independentes.
Se os vectores da base B = {~v1, ~v2, ~v3} son perpendiculares dous adous a base chámase ortogonal.
Se a base B = {~v1, ~v2, ~v3} é ortogonal e os vectores son unitarios (demódulo 1) chámase ortonormal.
Un sistema de referencia do espazo está formado por un punto O eunha base: {O, ~v1, ~v2, ~v3}.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 9 / 35
![Page 37: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/37.jpg)
Sistema de referencia
Unha base do espazo vectorial tridimensional B é un conxunto{~v1, ~v2, ~v3} de tres vectores calquera linealmente independentes.
Se os vectores da base B = {~v1, ~v2, ~v3} son perpendiculares dous adous a base chámase ortogonal.
Se a base B = {~v1, ~v2, ~v3} é ortogonal e os vectores son unitarios (demódulo 1) chámase ortonormal.
Un sistema de referencia do espazo está formado por un punto O eunha base: {O, ~v1, ~v2, ~v3}.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 9 / 35
![Page 38: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/38.jpg)
Sistema de referencia
Unha base do espazo vectorial tridimensional B é un conxunto{~v1, ~v2, ~v3} de tres vectores calquera linealmente independentes.
Se os vectores da base B = {~v1, ~v2, ~v3} son perpendiculares dous adous a base chámase ortogonal.
Se a base B = {~v1, ~v2, ~v3} é ortogonal e os vectores son unitarios (demódulo 1) chámase ortonormal.
Un sistema de referencia do espazo está formado por un punto O eunha base: {O, ~v1, ~v2, ~v3}.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 9 / 35
![Page 39: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/39.jpg)
Sistema de referencia
Unha base do espazo vectorial tridimensional B é un conxunto{~v1, ~v2, ~v3} de tres vectores calquera linealmente independentes.
Se os vectores da base B = {~v1, ~v2, ~v3} son perpendiculares dous adous a base chámase ortogonal.
Se a base B = {~v1, ~v2, ~v3} é ortogonal e os vectores son unitarios (demódulo 1) chámase ortonormal.
Un sistema de referencia do espazo está formado por un punto O eunha base: {O, ~v1, ~v2, ~v3}.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 9 / 35
![Page 40: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/40.jpg)
Cun sistema de referencia temos coordenadas
Nós usaremos o sistema de referencia
{O(0,0,0),~i = (1,0,0),~j = (0,1,0), ~k = (0,0,1)}.
Para calquera punto P do espazo escribimos o vector−→OP como
−→OP = x~i + y~j + z~k .
Escribimos −→OP = (x , y , z).
OuP(x , y , z).
Dicimos que (x , y , z) son as coordenadas do punto P (e do vector−→OP).
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 10 / 35
![Page 41: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/41.jpg)
Cun sistema de referencia temos coordenadas
Nós usaremos o sistema de referencia
{O(0,0,0),~i = (1,0,0),~j = (0,1,0), ~k = (0,0,1)}.
Para calquera punto P do espazo escribimos o vector−→OP como
−→OP = x~i + y~j + z~k .
Escribimos −→OP = (x , y , z).
OuP(x , y , z).
Dicimos que (x , y , z) son as coordenadas do punto P (e do vector−→OP).
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 10 / 35
![Page 42: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/42.jpg)
Cun sistema de referencia temos coordenadas
Nós usaremos o sistema de referencia
{O(0,0,0),~i = (1,0,0),~j = (0,1,0), ~k = (0,0,1)}.
Para calquera punto P do espazo escribimos o vector−→OP como
−→OP = x~i + y~j + z~k .
Escribimos −→OP = (x , y , z).
OuP(x , y , z).
Dicimos que (x , y , z) son as coordenadas do punto P (e do vector−→OP).
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 10 / 35
![Page 43: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/43.jpg)
Cun sistema de referencia temos coordenadas
Nós usaremos o sistema de referencia
{O(0,0,0),~i = (1,0,0),~j = (0,1,0), ~k = (0,0,1)}.
Para calquera punto P do espazo escribimos o vector−→OP como
−→OP = x~i + y~j + z~k .
Escribimos −→OP = (x , y , z).
OuP(x , y , z).
Dicimos que (x , y , z) son as coordenadas do punto P (e do vector−→OP).
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 10 / 35
![Page 44: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/44.jpg)
Cun sistema de referencia temos coordenadas
Nós usaremos o sistema de referencia
{O(0,0,0),~i = (1,0,0),~j = (0,1,0), ~k = (0,0,1)}.
Para calquera punto P do espazo escribimos o vector−→OP como
−→OP = x~i + y~j + z~k .
Escribimos −→OP = (x , y , z).
OuP(x , y , z).
Dicimos que (x , y , z) son as coordenadas do punto P (e do vector−→OP).
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 10 / 35
![Page 45: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/45.jpg)
Sistema de referencia desde un punto de vista gráfico
Temos un sistema de referencia:
~i
~j
~k
O
Representamos o punto P(2,5,2) (ou o vector−→OP = (2,5,2))
2~i
5~j
~2k
O
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 11 / 35
![Page 46: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/46.jpg)
Sistema de referencia desde un punto de vista gráfico
Temos un sistema de referencia:
~i
~j
~k
O
Representamos o punto P(2,5,2) (ou o vector−→OP = (2,5,2))
2~i
5~j
~2k
O
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 11 / 35
![Page 47: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/47.jpg)
Sistema de referencia desde un punto de vista gráfico
Temos un sistema de referencia:
~i
~j
~k
O
Representamos o punto P(2,5,2) (ou o vector−→OP = (2,5,2))
2~i
5~j
~2k
O2~i + 5~j
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 11 / 35
![Page 48: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/48.jpg)
Sistema de referencia desde un punto de vista gráfico
Temos un sistema de referencia:
~i
~j
~k
O
Representamos o punto P(2,5,2) (ou o vector−→OP = (2,5,2))
2~i
5~j
~2k
O2~i + 5~j
2~i + 5~j + 2~k
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 11 / 35
![Page 49: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/49.jpg)
Sistema de referencia desde un punto de vista gráfico
Temos un sistema de referencia:
~i
~j
~k
O
Representamos o punto P(2,5,2) (ou o vector−→OP = (2,5,2))
2~i
5~j
~2k
O2~i + 5~j + 2~k • P(2,5,2)
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 11 / 35
![Page 50: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/50.jpg)
Sistema de referencia desde un punto de vista gráfico
Temos un sistema de referencia:
~i
~j
~k
O
Representamos o punto P(2,5,2) (ou o vector−→OP = (2,5,2))
2~i
5~j
~2k
O2~i + 5~j + 2~k • P(2,5,2)
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 11 / 35
![Page 51: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/51.jpg)
Operacións con coordenadas
Precisamos dun sistema de referencia para poder traballar concoordenadas.
René Descartes (1596− 1650): Dicionario Xeometría→ Álxebra
Suma:
(x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)
Resta:
(x1, x2, x3)− (y1, y2, y3) = (x1 − y1, x2 − y2, x3 − y3)
Produto por un escalar:
λ(x1, x2, x3) = (λx1, λx2, λx3)
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 12 / 35
![Page 52: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/52.jpg)
Operacións con coordenadas
Precisamos dun sistema de referencia para poder traballar concoordenadas.
René Descartes (1596− 1650): Dicionario Xeometría→ Álxebra
Suma:
(x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)
Resta:
(x1, x2, x3)− (y1, y2, y3) = (x1 − y1, x2 − y2, x3 − y3)
Produto por un escalar:
λ(x1, x2, x3) = (λx1, λx2, λx3)
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 12 / 35
![Page 53: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/53.jpg)
Operacións con coordenadas
Precisamos dun sistema de referencia para poder traballar concoordenadas.
René Descartes (1596− 1650): Dicionario Xeometría→ Álxebra
Suma:
(x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)
Resta:
(x1, x2, x3)− (y1, y2, y3) = (x1 − y1, x2 − y2, x3 − y3)
Produto por un escalar:
λ(x1, x2, x3) = (λx1, λx2, λx3)
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 12 / 35
![Page 54: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/54.jpg)
Operacións con coordenadas
Precisamos dun sistema de referencia para poder traballar concoordenadas.
René Descartes (1596− 1650): Dicionario Xeometría→ Álxebra
Suma:
(x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)
Resta:
(x1, x2, x3)− (y1, y2, y3) = (x1 − y1, x2 − y2, x3 − y3)
Produto por un escalar:
λ(x1, x2, x3) = (λx1, λx2, λx3)
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 12 / 35
![Page 55: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/55.jpg)
Operacións con coordenadas
Precisamos dun sistema de referencia para poder traballar concoordenadas.
René Descartes (1596− 1650): Dicionario Xeometría→ Álxebra
Suma:
(x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)
Resta:
(x1, x2, x3)− (y1, y2, y3) = (x1 − y1, x2 − y2, x3 − y3)
Produto por un escalar:
λ(x1, x2, x3) = (λx1, λx2, λx3)
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 12 / 35
![Page 56: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/56.jpg)
Coordenadas do vector−→PQ
~i
~j
~k
O
P(x1, y1, z1)
Q(x2, y2, z2)
•
••−→
PQ
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 13 / 35
![Page 57: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/57.jpg)
Coordenadas do vector−→PQ
~i
~j
~k
O
P(x1, y1, z1)
Q(x2, y2, z2)
•
••−→
PQ
−→OP−−→OQ
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 13 / 35
![Page 58: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/58.jpg)
Coordenadas do vector−→PQ
~i
~j
~k
O
P(x1, y1, z1)
Q(x2, y2, z2)
•
••−→
PQ
−→OP−−→OQ
−−→OQ =
−→OP +
−→PQ =⇒
−→PQ =
−−→OQ −
−→OP.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 13 / 35
![Page 59: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/59.jpg)
Coordenadas do vector−→PQ
~i
~j
~k
O
P(x1, y1, z1)
Q(x2, y2, z2)
•
••−→
PQ
−→OP
−−→OQ
−−→OQ =
−→OP +
−→PQ =⇒
−→PQ =
−−→OQ −
−→OP.
−→PQ =
−−→OQ −
−→OP = (x2, y2, z2)− (x1, y1, z1) = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 13 / 35
![Page 60: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/60.jpg)
Coordenadas do punto medio dun segmento
~i
~j
~k
O
P(x1, y1, z1)
Q(x2, y2, z2)M
•
••
•
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 14 / 35
![Page 61: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/61.jpg)
Coordenadas do punto medio dun segmento
~i
~j
~k
O
P(x1, y1, z1)
Q(x2, y2, z2)M
•
••
•−→ OP
−−→OQ−−→OM
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 14 / 35
![Page 62: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/62.jpg)
Coordenadas do punto medio dun segmento
~i
~j
~k
O
P(x1, y1, z1)
Q(x2, y2, z2)M
•
••
•
−→ OP
−−→OQ−−→OM
−−→OM =
−→OP +
−−→PM =
−→OP + 1
2−→PQ =
−→OP + 1
2−−→OQ − 1
2−→OP
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 14 / 35
![Page 63: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/63.jpg)
Coordenadas do punto medio dun segmento
~i
~j
~k
O
P(x1, y1, z1)
Q(x2, y2, z2)M
•
••
•
−→ OP
−−→OQ−−→OM
−−→OM =
−→OP +
−−→PM =
−→OP + 1
2−→PQ =
−→OP + 1
2−−→OQ − 1
2−→OP
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 14 / 35
![Page 64: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/64.jpg)
Coordenadas do punto medio dun segmento
~i
~j
~k
O
P(x1, y1, z1)
Q(x2, y2, z2)M
•
••
•
−→ OP
−−→OQ−−→OM
−−→OM =
−→OP +
−−→PM =
−→OP + 1
2−→PQ =
−→OP + 1
2−−→OQ − 1
2−→OP
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 14 / 35
![Page 65: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/65.jpg)
Coordenadas do punto medio dun segmento
~i
~j
~k
O
P(x1, y1, z1)
Q(x2, y2, z2)M
•
••
•
−→ OP
−−→OQ−−→OM
−−→OM =
−→OP +
−−→PM =
−→OP + 1
2−→PQ =
−→OP + 1
2−−→OQ − 1
2−→OP
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 14 / 35
![Page 66: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/66.jpg)
Coordenadas do punto medio dun segmento
~i
~j
~k
O
P(x1, y1, z1)
Q(x2, y2, z2)M
•
••
•
−→ OP
−−→OQ
−−→OM
−−→OM =
−→OP +
−−→PM =
−→OP + 1
2−→PQ =
−→OP + 1
2−−→OQ − 1
2−→OP
−−→OM = 1
2(−→OP +
−−→OQ) =
(x1 + x2
2,y1 + y2
2,z1 + z2
2
).
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 14 / 35
![Page 67: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/67.jpg)
Coordenadas do punto medio dun segmento
~i
~j
~k
O
P(x1, y1, z1)
Q(x2, y2, z2)M
•
••
•
−→ OP
−−→OQ
−−→OM
−−→OM =
−→OP +
−−→PM =
−→OP + 1
2−→PQ =
−→OP + 1
2−−→OQ − 1
2−→OP
−−→OM = 1
2(−→OP +
−−→OQ) =
(x1 + x2
2,y1 + y2
2,z1 + z2
2
).
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 14 / 35
![Page 68: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/68.jpg)
Contidos
1 Nocións básicas
2 Produto escalarDefiniciónProduto escalar en coordenadas
3 Produto vectorialDefiniciónProduto vectorial: Propiedades e aplicacións
4 Produto mixtoDefiniciónPropiedades e aplicacións
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 15 / 35
![Page 69: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/69.jpg)
Produto escalarO produto escalar de dous vectores ~u e ~v é
~u · ~v =
{|~u||~v | cos(~̂u, ~v) se ~u, ~v 6= ~00 se ~u = ~0 ou ~v = ~0
O produto escalar de dous vectores non-nulos ~u e ~v é cero se esoamente se son perpendiculares:
~u · ~v = 0⇐⇒ ~u ⊥ ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 16 / 35
![Page 70: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/70.jpg)
Produto escalarO produto escalar de dous vectores ~u e ~v é
~u · ~v =
{|~u||~v | cos(~̂u, ~v) se ~u, ~v 6= ~00 se ~u = ~0 ou ~v = ~0
O produto escalar de dous vectores non-nulos ~u e ~v é cero se esoamente se son perpendiculares:
~u · ~v = 0⇐⇒ ~u ⊥ ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 16 / 35
![Page 71: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/71.jpg)
Produto escalar
Usando o produto escalar podemos calcular:
O módulo dun vector: |~u| =√~u · ~u.
O ángulo que forman dous vectores non-nulos:
cos(~̂u, ~v) =~u · ~v|~u||~v |
.
O vector proxección de ~u sobre ~v :
prox~v (~u) =~u · ~v|~v |
.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 17 / 35
![Page 72: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/72.jpg)
Produto escalar
Usando o produto escalar podemos calcular:
O módulo dun vector: |~u| =√~u · ~u.
O ángulo que forman dous vectores non-nulos:
cos(~̂u, ~v) =~u · ~v|~u||~v |
.
O vector proxección de ~u sobre ~v :
prox~v (~u) =~u · ~v|~v |
.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 17 / 35
![Page 73: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/73.jpg)
Produto escalar
Usando o produto escalar podemos calcular:
O módulo dun vector: |~u| =√~u · ~u.
O ángulo que forman dous vectores non-nulos:
cos(~̂u, ~v) =~u · ~v|~u||~v |
.
O vector proxección de ~u sobre ~v :
prox~v (~u) =~u · ~v|~v |
.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 17 / 35
![Page 74: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/74.jpg)
Produto escalar
Usando o produto escalar podemos calcular:
O módulo dun vector: |~u| =√~u · ~u.
O ángulo que forman dous vectores non-nulos:
cos(~̂u, ~v) =~u · ~v|~u||~v |
.
O vector proxección de ~u sobre ~v :
prox~v (~u) =~u · ~v|~v |
.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 17 / 35
![Page 75: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/75.jpg)
Produto escalar
Usando o produto escalar podemos calcular:
O módulo dun vector: |~u| =√~u · ~u.
O ángulo que forman dous vectores non-nulos:
cos(~̂u, ~v) =~u · ~v|~u||~v |
.
O vector proxección de ~u sobre ~v :
prox~v (~u) =~u · ~v|~v |
.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 17 / 35
![Page 76: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/76.jpg)
Proxección dun vector sobre outro
~v
~u
α
prox~v~u = |~u| cosα =︸︷︷︸~u·~v=|~u||~v | cosα
|~u|~u · ~v|~u||~v |
=~u · ~v|~v |
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 18 / 35
![Page 77: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/77.jpg)
Proxección dun vector sobre outro
~v
~u
α
prox~v~u
prox~v~u = |~u| cosα =︸︷︷︸~u·~v=|~u||~v | cosα
|~u|~u · ~v|~u||~v |
=~u · ~v|~v |
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 18 / 35
![Page 78: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/78.jpg)
Proxección dun vector sobre outro
~v
~u
α
prox~v~u
prox~v~u = |~u| cosα =︸︷︷︸~u·~v=|~u||~v | cosα
|~u|~u · ~v|~u||~v |
=~u · ~v|~v |
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 18 / 35
![Page 79: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/79.jpg)
Proxección dun vector sobre outro
~v
~u
α
prox~v~u
prox~v~u = |~u| cosα =︸︷︷︸~u·~v=|~u||~v | cosα
|~u|~u · ~v|~u||~v |
=~u · ~v|~v |
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 18 / 35
![Page 80: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/80.jpg)
Proxección dun vector sobre outro
~v
~u
α
prox~v~u
prox~v~u = |~u| cosα =︸︷︷︸~u·~v=|~u||~v | cosα
|~u|~u · ~v|~u||~v |
=~u · ~v|~v |
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 18 / 35
![Page 81: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/81.jpg)
Propiedades do produto escalar
Propiedade conmutativa:
~u · ~v = ~v · ~u.
Propiedade asociativa:
λ(~u · ~v) = (λ~u) · ~v .
Propiedade distributiva:
~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 19 / 35
![Page 82: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/82.jpg)
Propiedades do produto escalar
Propiedade conmutativa:
~u · ~v = ~v · ~u.
Propiedade asociativa:
λ(~u · ~v) = (λ~u) · ~v .
Propiedade distributiva:
~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 19 / 35
![Page 83: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/83.jpg)
Propiedades do produto escalar
Propiedade conmutativa:
~u · ~v = ~v · ~u.
Propiedade asociativa:
λ(~u · ~v) = (λ~u) · ~v .
Propiedade distributiva:
~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 19 / 35
![Page 84: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/84.jpg)
Contidos
1 Nocións básicas
2 Produto escalarDefiniciónProduto escalar en coordenadas
3 Produto vectorialDefiniciónProduto vectorial: Propiedades e aplicacións
4 Produto mixtoDefiniciónPropiedades e aplicacións
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 20 / 35
![Page 85: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/85.jpg)
Produto escalar en coordenadas
Dado o sistema de referencia
{O(0,0,0),~i = (1,0,0),~j = (0,1,0), ~k = (0,0,1)}
temos que:
~i ·~i =~j ·~j = ~k · ~k = 1
e
~i ·~j =~i · ~k =~j · ~k = 0.
Usando as propiedades do produto escalar obtemos a súa expresiónanalítica:
~u · ~v = (x1~i + y1
~j + z1~k) · (x2
~i + y2~j + z2
~k) = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 21 / 35
![Page 86: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/86.jpg)
Produto escalar en coordenadas
Dado o sistema de referencia
{O(0,0,0),~i = (1,0,0),~j = (0,1,0), ~k = (0,0,1)}
temos que:
~i ·~i =~j ·~j = ~k · ~k = 1
e
~i ·~j =~i · ~k =~j · ~k = 0.
Usando as propiedades do produto escalar obtemos a súa expresiónanalítica:
~u · ~v = (x1~i + y1
~j + z1~k) · (x2
~i + y2~j + z2
~k) = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 21 / 35
![Page 87: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/87.jpg)
Produto escalar en coordenadas
Dado o sistema de referencia
{O(0,0,0),~i = (1,0,0),~j = (0,1,0), ~k = (0,0,1)}
temos que:
~i ·~i =~j ·~j = ~k · ~k = 1
e
~i ·~j =~i · ~k =~j · ~k = 0.
Usando as propiedades do produto escalar obtemos a súa expresiónanalítica:
~u · ~v = (x1~i + y1
~j + z1~k) · (x2
~i + y2~j + z2
~k) = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 21 / 35
![Page 88: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/88.jpg)
Produto escalar en coordenadas
Dado o sistema de referencia
{O(0,0,0),~i = (1,0,0),~j = (0,1,0), ~k = (0,0,1)}
temos que:
~i ·~i =~j ·~j = ~k · ~k = 1
e
~i ·~j =~i · ~k =~j · ~k = 0.
Usando as propiedades do produto escalar obtemos a súa expresiónanalítica:
~u · ~v = (x1~i + y1
~j + z1~k) · (x2
~i + y2~j + z2
~k) = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 21 / 35
![Page 89: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/89.jpg)
Expresións en coordenadas
O módulo dun vector:
|~u| =√~u · ~u =
√x2
1 + y21 + z2
1 .
O ángulo que forman dous vectores non-nulos:
cos(~̂u, ~v) =~u · ~v|~u||~v |
=x1x2 + y1y2 + z1z2√
x21 + y2
1 + z21 ·√
x22 + y2
2 + z22
.
O vector proxección de ~u sobre ~v :
prox~v (~u) =~u · ~v|~v |
=x1x2 + y1y2 + z1z2√
x22 + y2
2 + z22
.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 22 / 35
![Page 90: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/90.jpg)
Expresións en coordenadas
O módulo dun vector:
|~u| =√~u · ~u =
√x2
1 + y21 + z2
1 .
O ángulo que forman dous vectores non-nulos:
cos(~̂u, ~v) =~u · ~v|~u||~v |
=x1x2 + y1y2 + z1z2√
x21 + y2
1 + z21 ·√
x22 + y2
2 + z22
.
O vector proxección de ~u sobre ~v :
prox~v (~u) =~u · ~v|~v |
=x1x2 + y1y2 + z1z2√
x22 + y2
2 + z22
.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 22 / 35
![Page 91: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/91.jpg)
Expresións en coordenadas
O módulo dun vector:
|~u| =√~u · ~u =
√x2
1 + y21 + z2
1 .
O ángulo que forman dous vectores non-nulos:
cos(~̂u, ~v) =~u · ~v|~u||~v |
=x1x2 + y1y2 + z1z2√
x21 + y2
1 + z21 ·√
x22 + y2
2 + z22
.
O vector proxección de ~u sobre ~v :
prox~v (~u) =~u · ~v|~v |
=x1x2 + y1y2 + z1z2√
x22 + y2
2 + z22
.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 22 / 35
![Page 92: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/92.jpg)
Contidos
1 Nocións básicas
2 Produto escalarDefiniciónProduto escalar en coordenadas
3 Produto vectorialDefiniciónProduto vectorial: Propiedades e aplicacións
4 Produto mixtoDefiniciónPropiedades e aplicacións
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 23 / 35
![Page 93: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/93.jpg)
Produto vectorial
Produto vectorialO produto vectorial de dous vectores ~u e ~v é outro vector, que sedenota por ~u × ~v , que se define do seguinte modo:
Se ~u e ~v son linearmente independentes, ~u e ~v é o vector que tenas seguintes características:
Módulo: |~u × ~v | = |~u||~v | sin(~̂u, ~v),
Dirección: perpendicular a ~u e a ~v ,
Sentido: O que marca o polgar da man dereita cando desprazamosa man de ~u a ~v polo camiño máis curto.
Se ~u e ~v son linearmente dependentes, entón ~u × ~v = ~0. (Nóteseque ~u e ~v son linearmente dependentes se algún deles é ~0 ou seteñen a mesma dirección.)
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 24 / 35
![Page 94: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/94.jpg)
Produto vectorial
Produto vectorialO produto vectorial de dous vectores ~u e ~v é outro vector, que sedenota por ~u × ~v , que se define do seguinte modo:
Se ~u e ~v son linearmente independentes, ~u e ~v é o vector que tenas seguintes características:
Módulo: |~u × ~v | = |~u||~v | sin(~̂u, ~v),
Dirección: perpendicular a ~u e a ~v ,
Sentido: O que marca o polgar da man dereita cando desprazamosa man de ~u a ~v polo camiño máis curto.
Se ~u e ~v son linearmente dependentes, entón ~u × ~v = ~0. (Nóteseque ~u e ~v son linearmente dependentes se algún deles é ~0 ou seteñen a mesma dirección.)
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 24 / 35
![Page 95: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/95.jpg)
Produto vectorial
Produto vectorialO produto vectorial de dous vectores ~u e ~v é outro vector, que sedenota por ~u × ~v , que se define do seguinte modo:
Se ~u e ~v son linearmente independentes, ~u e ~v é o vector que tenas seguintes características:
Módulo: |~u × ~v | = |~u||~v | sin(~̂u, ~v),
Dirección: perpendicular a ~u e a ~v ,
Sentido: O que marca o polgar da man dereita cando desprazamosa man de ~u a ~v polo camiño máis curto.
Se ~u e ~v son linearmente dependentes, entón ~u × ~v = ~0. (Nóteseque ~u e ~v son linearmente dependentes se algún deles é ~0 ou seteñen a mesma dirección.)
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 24 / 35
![Page 96: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/96.jpg)
Produto vectorial
Produto vectorialO produto vectorial de dous vectores ~u e ~v é outro vector, que sedenota por ~u × ~v , que se define do seguinte modo:
Se ~u e ~v son linearmente independentes, ~u e ~v é o vector que tenas seguintes características:
Módulo: |~u × ~v | = |~u||~v | sin(~̂u, ~v),
Dirección: perpendicular a ~u e a ~v ,
Sentido: O que marca o polgar da man dereita cando desprazamosa man de ~u a ~v polo camiño máis curto.
Se ~u e ~v son linearmente dependentes, entón ~u × ~v = ~0. (Nóteseque ~u e ~v son linearmente dependentes se algún deles é ~0 ou seteñen a mesma dirección.)
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 24 / 35
![Page 97: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/97.jpg)
Produto vectorial
Produto vectorialO produto vectorial de dous vectores ~u e ~v é outro vector, que sedenota por ~u × ~v , que se define do seguinte modo:
Se ~u e ~v son linearmente independentes, ~u e ~v é o vector que tenas seguintes características:
Módulo: |~u × ~v | = |~u||~v | sin(~̂u, ~v),
Dirección: perpendicular a ~u e a ~v ,
Sentido: O que marca o polgar da man dereita cando desprazamosa man de ~u a ~v polo camiño máis curto.
Se ~u e ~v son linearmente dependentes, entón ~u × ~v = ~0. (Nóteseque ~u e ~v son linearmente dependentes se algún deles é ~0 ou seteñen a mesma dirección.)
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 24 / 35
![Page 98: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/98.jpg)
Produto vectorial
Produto vectorialO produto vectorial de dous vectores ~u e ~v é outro vector, que sedenota por ~u × ~v , que se define do seguinte modo:
Se ~u e ~v son linearmente independentes, ~u e ~v é o vector que tenas seguintes características:
Módulo: |~u × ~v | = |~u||~v | sin(~̂u, ~v),
Dirección: perpendicular a ~u e a ~v ,
Sentido: O que marca o polgar da man dereita cando desprazamosa man de ~u a ~v polo camiño máis curto.
Se ~u e ~v son linearmente dependentes, entón ~u × ~v = ~0. (Nóteseque ~u e ~v son linearmente dependentes se algún deles é ~0 ou seteñen a mesma dirección.)
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 24 / 35
![Page 99: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/99.jpg)
Produto vectorial
Produto vectorialO produto vectorial de dous vectores ~u e ~v é outro vector, que sedenota por ~u × ~v , que se define do seguinte modo:
Se ~u e ~v son linearmente independentes, ~u e ~v é o vector que tenas seguintes características:
Módulo: |~u × ~v | = |~u||~v | sin(~̂u, ~v),
Dirección: perpendicular a ~u e a ~v ,
Sentido: O que marca o polgar da man dereita cando desprazamosa man de ~u a ~v polo camiño máis curto.
Se ~u e ~v son linearmente dependentes, entón ~u × ~v = ~0. (Nóteseque ~u e ~v son linearmente dependentes se algún deles é ~0 ou seteñen a mesma dirección.)
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 24 / 35
![Page 100: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/100.jpg)
Produto vectorial: regra da man dereita
~u
~vα
O módulo de ~u × ~v non está a escala real!!
~u
~v
α
FEITO FUNDAMENTAL: ~u × ~v é perpendicular a ~u e a ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 25 / 35
![Page 101: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/101.jpg)
Produto vectorial: regra da man dereita
~u
~vα
~u × ~v
O módulo de ~u × ~v non está a escala real!!
~u
~v
α
FEITO FUNDAMENTAL: ~u × ~v é perpendicular a ~u e a ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 25 / 35
![Page 102: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/102.jpg)
Produto vectorial: regra da man dereita
~u
~vα
~u × ~v
O módulo de ~u × ~v non está a escala real!!
~u
~v
α
FEITO FUNDAMENTAL: ~u × ~v é perpendicular a ~u e a ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 25 / 35
![Page 103: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/103.jpg)
Produto vectorial: regra da man dereita
~u
~vα
~u × ~v
O módulo de ~u × ~v non está a escala real!!
~u
~v
α
FEITO FUNDAMENTAL: ~u × ~v é perpendicular a ~u e a ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 25 / 35
![Page 104: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/104.jpg)
Produto vectorial: regra da man dereita
~u
~vα
~u × ~v
O módulo de ~u × ~v non está a escala real!!
~u
~v
α
~u × ~v
FEITO FUNDAMENTAL: ~u × ~v é perpendicular a ~u e a ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 25 / 35
![Page 105: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/105.jpg)
Produto vectorial: regra da man dereita
~u
~vα
~u × ~v
O módulo de ~u × ~v non está a escala real!!
~u
~v
α
~u × ~v
FEITO FUNDAMENTAL: ~u × ~v é perpendicular a ~u e a ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 25 / 35
![Page 106: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/106.jpg)
Contidos
1 Nocións básicas
2 Produto escalarDefiniciónProduto escalar en coordenadas
3 Produto vectorialDefiniciónProduto vectorial: Propiedades e aplicacións
4 Produto mixtoDefiniciónPropiedades e aplicacións
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 26 / 35
![Page 107: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/107.jpg)
Propiedades
~u × ~u = ~0 para calquera vector ~u;
~u × ~v = ~0 se ~u e ~v son paralelos;
anticomutativa: ~u × ~v = −~v × ~u;
asociativa: k(~u × ~v) = (k~u)× ~v = ~u × (k~v) onde k ∈ R;
distributiva I: ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w .
distributiva II: (~u + ~v)× ~w) = ~u × ~w + ~v × ~w .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 27 / 35
![Page 108: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/108.jpg)
Propiedades
~u × ~u = ~0 para calquera vector ~u;
~u × ~v = ~0 se ~u e ~v son paralelos;
anticomutativa: ~u × ~v = −~v × ~u;
asociativa: k(~u × ~v) = (k~u)× ~v = ~u × (k~v) onde k ∈ R;
distributiva I: ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w .
distributiva II: (~u + ~v)× ~w) = ~u × ~w + ~v × ~w .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 27 / 35
![Page 109: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/109.jpg)
Propiedades
~u × ~u = ~0 para calquera vector ~u;
~u × ~v = ~0 se ~u e ~v son paralelos;
anticomutativa: ~u × ~v = −~v × ~u;
asociativa: k(~u × ~v) = (k~u)× ~v = ~u × (k~v) onde k ∈ R;
distributiva I: ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w .
distributiva II: (~u + ~v)× ~w) = ~u × ~w + ~v × ~w .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 27 / 35
![Page 110: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/110.jpg)
Propiedades
~u × ~u = ~0 para calquera vector ~u;
~u × ~v = ~0 se ~u e ~v son paralelos;
anticomutativa: ~u × ~v = −~v × ~u;
asociativa: k(~u × ~v) = (k~u)× ~v = ~u × (k~v) onde k ∈ R;
distributiva I: ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w .
distributiva II: (~u + ~v)× ~w) = ~u × ~w + ~v × ~w .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 27 / 35
![Page 111: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/111.jpg)
Propiedades
~u × ~u = ~0 para calquera vector ~u;
~u × ~v = ~0 se ~u e ~v son paralelos;
anticomutativa: ~u × ~v = −~v × ~u;
asociativa: k(~u × ~v) = (k~u)× ~v = ~u × (k~v) onde k ∈ R;
distributiva I: ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w .
distributiva II: (~u + ~v)× ~w) = ~u × ~w + ~v × ~w .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 27 / 35
![Page 112: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/112.jpg)
Propiedades
~u × ~u = ~0 para calquera vector ~u;
~u × ~v = ~0 se ~u e ~v son paralelos;
anticomutativa: ~u × ~v = −~v × ~u;
asociativa: k(~u × ~v) = (k~u)× ~v = ~u × (k~v) onde k ∈ R;
distributiva I: ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w .
distributiva II: (~u + ~v)× ~w) = ~u × ~w + ~v × ~w .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 27 / 35
![Page 113: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/113.jpg)
Produto vectorial: Aplicacións
O modulo do produto vectorial de dous vectores ~u e ~v coincide coaárea do paralelogramo determinado por eles.
A área do triángulo determinado polos vectores ~u e ~v é 12 |~u × ~v |.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 28 / 35
![Page 114: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/114.jpg)
Produto vectorial: Aplicacións
O modulo do produto vectorial de dous vectores ~u e ~v coincide coaárea do paralelogramo determinado por eles.
~u
~v
α
A área do triángulo determinado polos vectores ~u e ~v é 12 |~u × ~v |.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 28 / 35
![Page 115: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/115.jpg)
Produto vectorial: Aplicacións
O modulo do produto vectorial de dous vectores ~u e ~v coincide coaárea do paralelogramo determinado por eles.
~u
~v
α
A área do triángulo determinado polos vectores ~u e ~v é 12 |~u × ~v |.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 28 / 35
![Page 116: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/116.jpg)
Produto vectorial: Aplicacións
O modulo do produto vectorial de dous vectores ~u e ~v coincide coaárea do paralelogramo determinado por eles.
~u
~v
αS = |~u × ~v |
A área do triángulo determinado polos vectores ~u e ~v é 12 |~u × ~v |.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 28 / 35
![Page 117: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/117.jpg)
Produto vectorial: Aplicacións
O modulo do produto vectorial de dous vectores ~u e ~v coincide coaárea do paralelogramo determinado por eles.
~u
~v
αS = |~u × ~v |
A área do triángulo determinado polos vectores ~u e ~v é 12 |~u × ~v |.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 28 / 35
![Page 118: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/118.jpg)
Produto vectorial: Aplicacións
O modulo do produto vectorial de dous vectores ~u e ~v coincide coaárea do paralelogramo determinado por eles.
~u
~v
αS = |~u × ~v |
A área do triángulo determinado polos vectores ~u e ~v é 12 |~u × ~v |.
~u
~v
α
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 28 / 35
![Page 119: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/119.jpg)
Produto vectorial: Aplicacións
O modulo do produto vectorial de dous vectores ~u e ~v coincide coaárea do paralelogramo determinado por eles.
~u
~v
αS = |~u × ~v |
A área do triángulo determinado polos vectores ~u e ~v é 12 |~u × ~v |.
~u
~v
α
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 28 / 35
![Page 120: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/120.jpg)
Produto vectorial: Aplicacións
O modulo do produto vectorial de dous vectores ~u e ~v coincide coaárea do paralelogramo determinado por eles.
~u
~v
αS = |~u × ~v |
A área do triángulo determinado polos vectores ~u e ~v é 12 |~u × ~v |.
~u
~v
α
S =12|~u × ~v |
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 28 / 35
![Page 121: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/121.jpg)
Produto vectorial
A expresión analítica do produto vectorial de dous vectores~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) obtense da seguinte forma:
~u × ~v =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx1 y1 z1x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣Desenvolvendo pola primeria fila queda:
~u × ~v =
(∣∣∣∣ y1 z1y2 z2
∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣ x1 z1x2 z2
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ x1 y1x2 y2
∣∣∣∣)Se ~u 6= ~0 e ~v 6= ~0 entón ~u × ~v ⊥ ~u e ~u × ~v ⊥ ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 29 / 35
![Page 122: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/122.jpg)
Produto vectorial
A expresión analítica do produto vectorial de dous vectores~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) obtense da seguinte forma:
~u × ~v =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx1 y1 z1x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣Desenvolvendo pola primeria fila queda:
~u × ~v =
(∣∣∣∣ y1 z1y2 z2
∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣ x1 z1x2 z2
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ x1 y1x2 y2
∣∣∣∣)Se ~u 6= ~0 e ~v 6= ~0 entón ~u × ~v ⊥ ~u e ~u × ~v ⊥ ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 29 / 35
![Page 123: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/123.jpg)
Produto vectorial
A expresión analítica do produto vectorial de dous vectores~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) obtense da seguinte forma:
~u × ~v =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx1 y1 z1x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣Desenvolvendo pola primeria fila queda:
~u × ~v =
(∣∣∣∣ y1 z1y2 z2
∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣ x1 z1x2 z2
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ x1 y1x2 y2
∣∣∣∣)Se ~u 6= ~0 e ~v 6= ~0 entón ~u × ~v ⊥ ~u e ~u × ~v ⊥ ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 29 / 35
![Page 124: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/124.jpg)
Produto vectorial
A expresión analítica do produto vectorial de dous vectores~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) obtense da seguinte forma:
~u × ~v =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx1 y1 z1x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣Desenvolvendo pola primeria fila queda:
~u × ~v =
(∣∣∣∣ y1 z1y2 z2
∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣ x1 z1x2 z2
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ x1 y1x2 y2
∣∣∣∣)Se ~u 6= ~0 e ~v 6= ~0 entón ~u × ~v ⊥ ~u e ~u × ~v ⊥ ~v .
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 29 / 35
![Page 125: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/125.jpg)
Contidos
1 Nocións básicas
2 Produto escalarDefiniciónProduto escalar en coordenadas
3 Produto vectorialDefiniciónProduto vectorial: Propiedades e aplicacións
4 Produto mixtoDefiniciónPropiedades e aplicacións
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 30 / 35
![Page 126: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/126.jpg)
Produto mixto
Produto mixtoChámase produto mixto de tres vectores ~u, ~v e ~w , e denótase por[~u, ~v , ~w ], ao número que se obtén do cálculo
[~u, ~v , ~w ] = ~u · (~v × ~w).
A expresión analítica do produto mixto de tres vectores~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2) e ~w = (x3, y3, z3) obtense da seguinteforma:
[~u, ~v , ~w ] =
∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 31 / 35
![Page 127: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/127.jpg)
Produto mixto
Produto mixtoChámase produto mixto de tres vectores ~u, ~v e ~w , e denótase por[~u, ~v , ~w ], ao número que se obtén do cálculo
[~u, ~v , ~w ] = ~u · (~v × ~w).
A expresión analítica do produto mixto de tres vectores~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2) e ~w = (x3, y3, z3) obtense da seguinteforma:
[~u, ~v , ~w ] =
∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 31 / 35
![Page 128: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/128.jpg)
Contidos
1 Nocións básicas
2 Produto escalarDefiniciónProduto escalar en coordenadas
3 Produto vectorialDefiniciónProduto vectorial: Propiedades e aplicacións
4 Produto mixtoDefiniciónPropiedades e aplicacións
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 32 / 35
![Page 129: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/129.jpg)
Propiedades
[~u, ~v , ~w ] = [~v , ~w , ~u] = [~w , ~u, ~v ] = −[~w , ~v , ~u] = −[~v , ~u, ~w ] =−[~u, ~w , ~v ]
[~u, ~v , ~w ] = 0 se e só se ~u, ~v , ~w son linearmente dependentes.
[x~u, y~v , z ~w ] = xyz[~u, ~v , ~w ] onde x , y , z ∈ R.
Se lembramos as propiedades dos determinates lembramos asanteriores propiedades.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 33 / 35
![Page 130: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/130.jpg)
Propiedades
[~u, ~v , ~w ] = [~v , ~w , ~u] = [~w , ~u, ~v ] = −[~w , ~v , ~u] = −[~v , ~u, ~w ] =−[~u, ~w , ~v ]
[~u, ~v , ~w ] = 0 se e só se ~u, ~v , ~w son linearmente dependentes.
[x~u, y~v , z ~w ] = xyz[~u, ~v , ~w ] onde x , y , z ∈ R.
Se lembramos as propiedades dos determinates lembramos asanteriores propiedades.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 33 / 35
![Page 131: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/131.jpg)
Propiedades
[~u, ~v , ~w ] = [~v , ~w , ~u] = [~w , ~u, ~v ] = −[~w , ~v , ~u] = −[~v , ~u, ~w ] =−[~u, ~w , ~v ]
[~u, ~v , ~w ] = 0 se e só se ~u, ~v , ~w son linearmente dependentes.
[x~u, y~v , z ~w ] = xyz[~u, ~v , ~w ] onde x , y , z ∈ R.
Se lembramos as propiedades dos determinates lembramos asanteriores propiedades.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 33 / 35
![Page 132: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/132.jpg)
Propiedades
[~u, ~v , ~w ] = [~v , ~w , ~u] = [~w , ~u, ~v ] = −[~w , ~v , ~u] = −[~v , ~u, ~w ] =−[~u, ~w , ~v ]
[~u, ~v , ~w ] = 0 se e só se ~u, ~v , ~w son linearmente dependentes.
[x~u, y~v , z ~w ] = xyz[~u, ~v , ~w ] onde x , y , z ∈ R.
Se lembramos as propiedades dos determinates lembramos asanteriores propiedades.
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 33 / 35
![Page 133: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/133.jpg)
Produto mixto: volume dun paralelepípedo
O volume do paralelepípedo determinado por tres vectores ~u, ~v e ~w , é
V = |[~u, ~v , ~w ]| = |~u · (~v × ~w)|.
~u
~v
~w
V = |[~u, ~v , ~w ]|
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 34 / 35
![Page 134: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/134.jpg)
Produto mixto: volume dun paralelepípedo
O volume do paralelepípedo determinado por tres vectores ~u, ~v e ~w , é
V = |[~u, ~v , ~w ]| = |~u · (~v × ~w)|.
~u
~v
~w
V = |[~u, ~v , ~w ]|
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 34 / 35
![Page 135: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/135.jpg)
Produto mixto: volume dun paralelepípedo
O volume do paralelepípedo determinado por tres vectores ~u, ~v e ~w , é
V = |[~u, ~v , ~w ]| = |~u · (~v × ~w)|.
~u
~v
~w
V = |[~u, ~v , ~w ]|
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 34 / 35
![Page 136: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/136.jpg)
Produto mixto: volume dun paralelepípedo
O volume do paralelepípedo determinado por tres vectores ~u, ~v e ~w , é
V = |[~u, ~v , ~w ]| = |~u · (~v × ~w)|.
~u
~v
~w
V = |[~u, ~v , ~w ]|
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 34 / 35
![Page 137: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/137.jpg)
Produto mixto: volume dun paralelepípedo
O volume do paralelepípedo determinado por tres vectores ~u, ~v e ~w , é
V = |[~u, ~v , ~w ]| = |~u · (~v × ~w)|.
~u
~v
~w
V = |[~u, ~v , ~w ]|
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 34 / 35
![Page 138: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/138.jpg)
Produto mixto: volume dun tetraedro
O volume do tetraedro determinado por tres vectores ~u, ~v e ~w , é
V =16|[~u, ~v , ~w ]| = 1
6|~u · (~v × ~w)|.
~u
~v
~w
V =16|[~u, ~v , ~w ]|
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 35 / 35
![Page 139: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/139.jpg)
Produto mixto: volume dun tetraedro
O volume do tetraedro determinado por tres vectores ~u, ~v e ~w , é
V =16|[~u, ~v , ~w ]| = 1
6|~u · (~v × ~w)|.
~u
~v
~w
V =16|[~u, ~v , ~w ]|
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 35 / 35
![Page 140: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/140.jpg)
Produto mixto: volume dun tetraedro
O volume do tetraedro determinado por tres vectores ~u, ~v e ~w , é
V =16|[~u, ~v , ~w ]| = 1
6|~u · (~v × ~w)|.
~u
~v
~w
V =16|[~u, ~v , ~w ]|
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 35 / 35
![Page 141: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/141.jpg)
Produto mixto: volume dun tetraedro
O volume do tetraedro determinado por tres vectores ~u, ~v e ~w , é
V =16|[~u, ~v , ~w ]| = 1
6|~u · (~v × ~w)|.
~u
~v
~w
V =16|[~u, ~v , ~w ]|
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 35 / 35
![Page 142: MATEMÁTICAS II VECTORES NO ESPAZO - Ve… · Un vector fixo é un segmento orientado. Represéntase por! PQ:O punto P chámase orixe e o punto Q chámase extremo. P! Q PQ Características](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022051916/6007ab01d1c60d4dac35ca62/html5/thumbnails/142.jpg)
Produto mixto: volume dun tetraedro
O volume do tetraedro determinado por tres vectores ~u, ~v e ~w , é
V =16|[~u, ~v , ~w ]| = 1
6|~u · (~v × ~w)|.
~u
~v
~w
V =16|[~u, ~v , ~w ]|
Manolo (Xunta) Matemáticas II Vectores no espazo 35 / 35