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Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 5
23 de março de 2012
Aula 5 Matemática Básica 1
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Números
Aula 5 Matemática Básica 2
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O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.
Aula 5 Matemática Básica 3
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O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.
Aula 5 Matemática Básica 4
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O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.
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O que é um número?
Wikipédia:
Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).
Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).
Número é um composto da unidade (Euclides).
Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).
Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).
Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).
Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).
Número é uma coleção de unidades (Condorcet).
Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).
Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).
Aula 5 Matemática Básica 6
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O que é um número?
Wikipédia:
Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).
Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).
Número é um composto da unidade (Euclides).
Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).
Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).
Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).
Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).
Número é uma coleção de unidades (Condorcet).
Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).
Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).
Aula 5 Matemática Básica 7
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O que é um número?
Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:
Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.
Aula 5 Matemática Básica 8
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O que é um número?
Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:
Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.
Aula 5 Matemática Básica 9
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Números naturais
Aula 5 Matemática Básica 10
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Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
Aula 5 Matemática Básica 11
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Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
Aula 5 Matemática Básica 12
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Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
Aula 5 Matemática Básica 13
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Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
Aula 5 Matemática Básica 14
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Números naturais como números ordinais
N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números
naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axiomas de Peano
Aula 5 Matemática Básica 15
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Números naturais como números ordinais
N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números
naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axiomas de Peano
Aula 5 Matemática Básica 16
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Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...
......
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
Aula 5 Matemática Básica 17
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Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...
......
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
Aula 5 Matemática Básica 18
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Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...
......
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
Aula 5 Matemática Básica 19
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 20
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 21
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 22
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 23
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 24
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 25
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 26
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 27
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 28
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 29
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 30
![Page 31: Matemática Básica - professores.im-uff.mat.br · Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 5 23 de](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042022/5e79ed3fa26997761b6f7440/html5/thumbnails/31.jpg)
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 31
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 32
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 33
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 34
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 35
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Cuneiforme Babilônica
Aula 5 Matemática Básica 36
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Maia
Aula 5 Matemática Básica 37
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Chinesa
Aula 5 Matemática Básica 38
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Romana
1 2 3 4 5 10 50 100 500 1000I II III IV V X L C D M
Aula 5 Matemática Básica 39
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Aula 5 Matemática Básica 40
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Aula 5 Matemática Básica 41
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Braille
Aula 5 Matemática Básica 42
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Números naturais como números cardinais
Apresentaremos os números naturais como números cardinaisdepois de estudarmos funções!
Aula 5 Matemática Básica 43
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O Princípio da Indução Finita
Aula 5 Matemática Básica 44
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 5 Matemática Básica 45
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 5 Matemática Básica 46
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 5 Matemática Básica 48
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 5 Matemática Básica 51
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 5 Matemática Básica 54
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 5 Matemática Básica 57
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
Moral:
O Princípio da Indução Finita é uma técnica para tentardemonstrar que sentenças do tipo “∀n ∈ N,P(n)” sãoverdadeiras!
Aula 5 Matemática Básica 60
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Matemática Básica 61
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Matemática Básica 62
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Matemática Básica 63
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Matemática Básica 64
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Matemática Básica 65
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Matemática Básica 66
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 67
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 68
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 69
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 70
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 71
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 72
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 73
![Page 74: Matemática Básica - professores.im-uff.mat.br · Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 5 23 de](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042022/5e79ed3fa26997761b6f7440/html5/thumbnails/74.jpg)
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 74
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 75
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 76
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 77
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 78
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 79
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 80
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 81
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 82
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 83
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 84
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 85
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 86
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 87
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 88
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 89
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 90
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 91
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 92
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 93
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 102
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 104
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 109
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 110
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Matemática Básica 114
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Matemática Básica 122
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Matemática Básica 124
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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