Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 5
23 de março de 2012
Aula 5 Matemática Básica 1
Números
Aula 5 Matemática Básica 2
O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.
Aula 5 Matemática Básica 3
O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.
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O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.
Aula 5 Matemática Básica 5
O que é um número?
Wikipédia:
Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).
Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).
Número é um composto da unidade (Euclides).
Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).
Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).
Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).
Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).
Número é uma coleção de unidades (Condorcet).
Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).
Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).
Aula 5 Matemática Básica 6
O que é um número?
Wikipédia:
Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).
Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).
Número é um composto da unidade (Euclides).
Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).
Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).
Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).
Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).
Número é uma coleção de unidades (Condorcet).
Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).
Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).
Aula 5 Matemática Básica 7
O que é um número?
Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:
Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.
Aula 5 Matemática Básica 8
O que é um número?
Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:
Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.
Aula 5 Matemática Básica 9
Números naturais
Aula 5 Matemática Básica 10
Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
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Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
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Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
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Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
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Números naturais como números ordinais
N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números
naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axiomas de Peano
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Números naturais como números ordinais
N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números
naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axiomas de Peano
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Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...
......
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
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Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...
......
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
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Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...
......
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Matemática Básica 35
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Cuneiforme Babilônica
Aula 5 Matemática Básica 36
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Maia
Aula 5 Matemática Básica 37
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Chinesa
Aula 5 Matemática Básica 38
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Romana
1 2 3 4 5 10 50 100 500 1000I II III IV V X L C D M
Aula 5 Matemática Básica 39
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Aula 5 Matemática Básica 40
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Aula 5 Matemática Básica 41
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Braille
Aula 5 Matemática Básica 42
Números naturais como números cardinais
Apresentaremos os números naturais como números cardinaisdepois de estudarmos funções!
Aula 5 Matemática Básica 43
O Princípio da Indução Finita
Aula 5 Matemática Básica 44
O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 5 Matemática Básica 57
O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 5 Matemática Básica 58
O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 5 Matemática Básica 59
O Principio da Indução Finita
Moral:
O Princípio da Indução Finita é uma técnica para tentardemonstrar que sentenças do tipo “∀n ∈ N,P(n)” sãoverdadeiras!
Aula 5 Matemática Básica 60
Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Matemática Básica 61
Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Matemática Básica 62
Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Matemática Básica 63
Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Matemática Básica 64
Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Matemática Básica 66
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 67
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 68
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 69
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 70
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 74
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 75
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 76
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 77
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 78
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 79
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 80
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 81
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 82
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 83
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 84
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 85
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 86
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 87
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 88
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 89
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Matemática Básica 90
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 91
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 92
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 93
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 94
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 95
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 96
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 97
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 98
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 99
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 100
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Matemática Básica 113
Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Matemática Básica 114
Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Matemática Básica 118
Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Matemática Básica 119
Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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