Download - matematika 2
D A FTAR I S I
DAFTAR ISIBAB I : PENYELESAIAN PD DENGAN DERET KUASA 1
1.1. Fungsi Analitik , Titik Ordiner dan Titik Singular 11.2. Power Series Method 31.3. Persamaan dan Polinomial Legendre 8
1.3.1. Persamaan Legendre 81.3.2. Polinomial Legendre 111.3.3. Deret Polinomial Legendre 13
1.4. Metode Frobenius 151.5. Persamaan Bessel 23
1.5.1. Fungsi Bessel Jenis Pertama 231.5.2. Fungsi Bessel Jenis Kedua 351.5.3. Fungsi Bessel Termodifikasi 411.5.4. Persamaan yang bisa ditransformasikan ke dalam PD Bessel 45
BAB II : DERET FOURIER 482.1. Fungsi Periodik Error! Bookmark not defined.82.2. Deret Fourier 502.3. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Error! Bookmark not defined.62.4. Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah Jangkauan (Half -Range)
Error! Bookmark not defined.7
BAB III : PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL3.1. Pendahuluan 633.2. Penyelesaian Masalah Syarat Batas 64
63
3.2.1. Pengintegralan seperti PD Biasa 643.2.2 . Pemisalan u eaxby 663.2.3. Pemisahan Variabel 69
Persamaan Konduksi Panas 1 dimensi 73Aliran Panas Konduksi 2 dimensi 79Getaran tali(Persamaan Gelombang 1 dimensi) 81
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
BAB I
PENYELESAIAN PERSAMAANDIFERENSIAL DENGAN DERET KUASA
Pokok Bahasan : Fungsi Analitik, Titik Ordiner dean Titik Singular Power Series Method
∑∞(x0 ) (x − x0 )f
n0
f ′′(x) = − 12
x
x
∞
= ∑∞
n1
Persamaan dan Polinomial Legendre Metode Frobenius Persamaan Bessel
1.1. Fungsi Analitik, Titik Ordiner Dan Titik Singular
Fungsi f (x) dikatakan analitik di x = x0 jika deret Taylor(n)
Contoh :
n!
nkonvergen di sekitar titik x = x0
f (x) = ln x ; akan diselidiki apakah f (x) analitik di x = 1
Deret Taylor dari f (x) di sekitar x = 1 adalah :
f (x) = ln x f (1) = 0
f ′(x) =1
xf ′(1) = 1
x f ′′(1) = -1
f ′′′(x) =2
x3f ′′′(1) = 2
f (iv) (x) = −
1.2.34
f (iv) (1) = -3!
f (n) (x) =( − 1) n−1( n − 1)!
nf (n) (1) = (-1) n−1 (n-1)!
Deret Taylor:
∑
∞
n0
(−1)n−1 (n − 1)! (x −
1)n
n!
= ∑ (−1)n−1
n(x − 1)n
n0;n ≠ 0
Program Semi Que IV 1Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
(−1)n−1 (x − 1)n
n
Sehingga untuk deret Taylor dari f(x) = ln x di atas, yaitu:
∑∞n1
Q(x) = 2
(−1)n−1 (x −
1)n
n
; uji konvergensinya adalah sebagai berikut:
an1
a n
(−1)n (x − 1)n1
n 1(−1)n−1(x − 1)n
n
= (−1)(x − 1)nn 1
= (x − 1)nn 1
= nn 1
x − 1
di sekitar x = 1 → x − 1 0
an1
a n 0 ⟨ 1 ; jadi konvergen
Berarti f(x) = ln x analitik di x = 1.
Fungsi-fungsi yang analitik di sebarang nilai x diantaranya adalah
fungsi-fungsi : Polinomial; sin x; cos x; ex; termasuk jumlahan, selisih, hasil
kali, dan hasil bagi dari fungsi-fungsi tersebut. Hasil bagi dari fungsi analitik
akan menjadi tidak analitik jika penyebutnya 0.
Contoh :
f(x) = x3 + 2x2 + x + 9,5
f(x) = cos 2x +x4 +sin x + 1
f(x) = 2xe-x + tg x
f(x) = 0
f(x) =1 − sin x
2x cos xdan sebagainya.
Bila persamaan diferensial berbentuk : y ′′ + P (x) y ′ + Q(x) y = 0
maka didefinisikan:
1. Titik x0 disebut titik ordiner (ordinary point) dari PD di atas jika P(x), dan
Q(x) analitik pada x = x0. Jika salah satu atau kedua fungsi tersebut
tidak analitik di x=x0, maka x0 disebut titik singular (singular point) dari
PD di atas.
Program Semi Que IV 2Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
2. Titik x0 disebut titik singular teratur (Regular Singular Point) dari PD di
atas, jika x0 titik singular dari PD dan fungsi (x- x0) P(x) dan (x- x0)2 Q(x)
analitik di x0.
2x→ P(0)
− 3
(x - 0) P(x) 7/2 (x 1) analitik
(x - 0) Q(x) −
Catatan : koefisien dari y ′′ harus samadengan 1.
Contoh:
1. PD : y ′′-xy′ + 2y = 0; selidiki di sekitar x = 0
P(x) = - x merupakan fungsi-fungsi polinomial yang analitik di mana-
mana, x = 0 merupakan titik analitik.
2. PD : (x2 - 4) y′′ + y = 0 ; di x = 2
P(x) = 0 analitik di mana-mana
Q(x) =1
x2 − 4Q(x) =
1
0→ tidak analitik
x = 2 merupakan titik singular.
3. PD : 2x2y′′ + 7x (x + 1)y′ - 3y = 0 ; di titik x = 0
P(x)
Q(x)
7x(x 1)2
− 32x2
7(x1)
2x
→ Q(0)
7 0
0
tidak analitik di x = 0
x = 0 titik singular
karena:
2 3
2
maka x = 0 merupakan titik singular teratur.
1.2. Power Series Method (Penyelesaian PD dengan penderetan di
sekitar titik ordiner)
Teorema 1 :
Bila P,Q, dan R dalam PD : y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = R(x) ........................................ (1-1)
Program Semi Que IV 3Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
adalah fungsi analitik di x = x0 (x0 merupakan titik ordiner dari PD) maka
setiap penyelesaian dari (1) analitik di x = x0 dan dapat dinyatakan dalam
bentuk deret kuasa dari x – x0 : y ∞
∑ a m (x − x0 )m ≡ a0y1(x) a1y2 (x) ......... (1-2)m0
Q(x) 2
y ∑ a m x m a o a1x a 2 x 2 ..... a s x s .....
∑ m a
∑ (m − 1)m am xm−2 2a 2 2.3a3x 3.4a4x2 .....
∑ m a m xm−1 2(m − 1) m a m xm−2 − x
1.2a 2.3a x 3.4a x ...... (s 1)(s 2)a x s .....a x 2a x 3a x ....... sa x .......
2a x 2a x 3a x ....... sa x ....... 0
a0 dan a1 adalah konstanta sembarang.
Contoh :
1. Selesaikan PD : y′′ - xy′ + 2y = 0
Penyelesaian:
P(x) −x
ordiner.
P dan Q analitik di aman-mana, x = 0 merupakan titik
Sehingga y ∞
∑m0
am (x − 0)m ∞
∑ am xm
m0
merupakan penyelesaian
persamaan differensial.
∞
m0
y′ ∞
m0m x
m−1 a1 2a 2 x 3a 3x
2 .....
y′′ ∞
mz
substitusi y, y′ dan y′′ ke PD :
∞ ∞ ∞
∑ ∑ am xm 0m2 m1 m0
2
2 3 4 s2
2 3 s1 2 3 s
2 3 s
1 2 3 s
kumpulkan suku-suku yang mengandung x dengan pangkat sama.
(2a2 + 2a0) + x(6a3 – a1 + 2 a1) + .....+
[(s + 1)(s + 2) as+2 – sas + 2as] xs = 0
samakan koefisien sisi sebelah kiri dan kanan tanda sama dengan:
Program Semi Que IV 4Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
koefisien x0 : 2a2 + 2a0 = 0 → a2 = -a0
koefisien x1 : (6a3 – a1 + 2a1) =0 → a3 = −1
6a1
koefisien
(s
a
+2
− a1
s 3 → a5 3 (− a1) −
y a0 a1x − a0x2 − a1x3 0x4 −
y a0 (1 − x2 ) a1(x − x3 −
y2 x − x3 −
– sas + 2as = 0 → as2
s − 2(s 1)(s 2)
as
rumus rekursi untuk s = 0,1,2,...
Dari rumus rekursi bisa ditentukan nilai am untuk sembarang s
s = 0 → a2 − 2a 0
2 −a0
s 1 → a3 − a1
6
1
6
s 2 → a 4 0
s 4 → a6
a
20
2a 4
30
1
20
0
1
6
1
20a1
s 5 → a7 3a5
42
3
42(
−
1
120a1) −
1
1680a1
s 6 → a8 4a 0
63 0
∞PUPD : y ∑ a mxm a0 a1x a2x2 a3x3 ....
m0
1
6
1
120a1x5 0x6 −
1
1680a1x7 ....
1
6
1
120x5 −
1
1680x7 − .....)
y a0y1 a1y2
y1 1 − x2
Program Semi Que IV 5Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
16
1120
x5 − 11680
x7 − .....
2. Selesaikan PD : (x2 4)y"xy x 2
x 4
y' ∑ m amxm−1
y" ∑ (m −1)m a mxm−2
(x2 4) ∑ (m − 1)m amxm−2 x ∑ amxm x 2
4 ∑ (m − 1)m amxm−2 ∑ a mxm1 x 2
Penyelesaian:
Masing-masing ruas dibagi dengan (x2 4) menjadi:
y"2
xy
x 2
x2 4
Cek apakah P, Q, dan R analitik di titik x = 0
P(x) = 0 → analitik di titik x = 0
Q(x) =
R(x) =
x
x2 4
x 2x2 4
→ analitik di titik x = 0
→ analitik di titik x = 0
x = 0 merupakan titik ordiner PD, sehingga penyelesaian PD:
∞y ∑ amxm
m0
∞
m1
∞
m2
Substitusikan y ; y′ dan y′′ ke PD :
∞ ∞
m2 m0
atau:
∞∑ (m − 1)m
amxm2
m∞ ∞
m2 m0
atau :
2a2x2 6a3x3 12a 4x4 20a5x5 .... (s − 1)sasxs ....
Program Semi Que IV 6Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
8a2 24a3x 48a4x2 80a5x3 .... 4(s 1)(s 2)as2xs ....
a0x a1x2 a 2x3 a3x4 .... as−1xs .... x 2
Persamaan identitas :
− 240
− (a1 )
→ as2 − s1
a 2 a2 − 1 − 1 −
x ( − 0 )x 3 (− 1 −
y ( x
y ( x 2 x 3 − x 4 − x 5 .....) a 0 y1 (x) a1y 2 (x)496160
Koefisien x0 : 8a2 2 → a2 1
4
x1 : 24a3 a0 1 → a3 1
24a
x2 : 2a 2 48a4 a1 0 → a4 48
1
2
xs : (s − 1)s as 4(s 1) (s 2) as2 as−1 0
a (s − 1)s a s 4(s 1)(s 2)
Rumus rekursif untuk s = 2,3,4,......
Rumus rekursif ini tidak berlaku untuk s = 0 dan s = 1, karena koefisien x0
dan x1 dalam ruas kanan PD (1) tidak nol. Sehingga untuk s = 2,3,...... :
s = 2 : a4 − 1
(4)(3)(4)
a 1 248
a48
196
s = 3 : a5 −a 2 6 a 3 (4)(4)(5)
−1 4 1 4 − a0 4
80
− 1160
a0
320
Jadi PUPD :
y a 0 a1x 1 2
4
1
24
a a24 48
1
96)x
4 (−1
160
a 0
320)x
5 ........
1 2
4124
x 3 − 1
96x
4 − 1160
x 5 .....)
(1 − 124
x 3 1
320)x
5 .....) a 0
(x −1
48x
4 .....) a1
Program Semi Que IV 7Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
1 1 1 1
24 yc
yp
dengan : y1(x) 1 −1
24x3 1
320x5 .......
y1
dt
48 x4 .......
yc = penyelesaian komplementer, yaitu penyelesaian PD Homogen :
(x2 4) y"xy 0
yp = penyelesaian partikulir, yaitu penyelesaian PD Non-Homogen :
(x2 4) y"xy x 2
Bila x = x0 ≠ 0 digunakan transformasi : t = x-x0
x = t + x0
dx dt →dy
dt 1
Sehingga PD : y ′′ + P(x)y ′ + Q(x)y = 0 menjadi:
y'dy
dt
dy dt
dt dx
dy
dt1
dy
dt
y"d2y
dx2 d dy d dy
dx dx dx dt d dy d dy
dt dx dx dt =
d2y
dt2
P(x) P(t x0 )
Q(x) Q(t x0 )
PD menjadi : d2y 2+ P(t x0 )
dy dt
Q(t x0 )y 0 .
1.3. Persamaan dan Polinomial Legendre
1.3.1 Persamaan Legendre
Persamaan difeensial dengan bentuk umum sebagai berikut :
( 1 - x2 ) y'' - 2xy' + n ( n + 1 ) y = 0 .............................................................. (1-3)
dengan n real : disebut persamaan Legendre
Program Semi Que IV 8Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
jika masing masing ruas dibagi dengan ( 1-x2 ) ; PD menjadi :
y'' -2x
1 − x
2y' +
n ( n 1)
1 − x 2
y =0
Terlihat bahwa x = 0 merupakan titik ordiner dari PD; sehinga PD diatas
bisa diselesaikan dengan penderetan disekitar titik ordiner, dengan
mengambil :
∑ a
y =∑ ma
y =∑ (m − 1)ma
∑ (m − 1)ma m x m−2 − 2x∑ ma m x m−1 n(n − 1)∑ a
∑ (m − 1)ma m x m−2 - ∑ (m − 1)ma m x m − 2 ∑ ma m x m +n(n+1) ∑ a m x
m =0
koefisien x : 2(3)a 3 − 2(1)a1 n(n 1)a1 0
y=∞
m0m
x m .................................................................................................... (1-4)
'∞
m1m
x m−1 .............................................................................................. (1-5)
''∞
m2m
x m−2 ................................................................................. (1-6)
substitusikan y, y’ dan y” ke PD :
(1-x2)∞
m2
∞
m1
∞
m0m
x m = 0............ (1-7)
atau∞ ∞ ∞ ∞
m2 m2 m1 m0
atau 1.2.a 2 2.3a 3 x 3.4a 4 x 2 ........ (s 1)(s 2)a s2 x
s .......
− 1.2a 2 x 2 − 2.3a 3x3 − 3.4a 4 x4 − ...... − 2sa s x
s − .........
− 2.1a1x − 2.2a 2 x 2 − 2.3a 3x
3 − ..... − 2.sa s x s − ........
n(n 1)a 0 n(n 1)a1x n(n 1)a 2 x 2 ...... n(n 1)a s x
s ........ 0
kumpulkan x dengan pangkat yang sama, diperoleh persamaan:
koefisien x0 :1(2)a 2 n(n 1)a 0 0 → a 2 −
1
n ( n 1) 2
a 0
6a 3 (−2 n(n 1)a1 0 → a 3 −( n − 1)( n − 2)
6a1
koefisien x s : (s 1)(s 2)a s 2 [−s(s − 1) − 2s n(n 1)]a s 0
Program Semi Que IV 9Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
a s2 −( n − s )( n s 1)
(s 1)(s 2)a s ............................................................................ (1-8)
rumus rekursif untuk s = 0,1,2,3,......
dari rumus rekursif bisa diturunkan :
s 0; a 2 −n(n 1)
1(2)a 0 −
n(n 1)
2!a 0
s 1; a 3 −(n − 1)(n 2) 2(
3) a1 −(n − 1)(n 2)
y a o a1x − a 0 x 2 − a1 x 3 a 0 x 4
a1 x 5 ...... ......................................................... (1-9)
y a o 1 −n(n 1) 2
x − ..... a1 x −(n − 1)(n 2) 3
x − .........
x x ...... ............................. (1-11)
(n − 1)(n 2) 3 (n − 3)(n − 1)(n 2)(n 4) 5
3! a1
s 2; a 4 −(n − 2)(n 3)
3(4)a 2 −
(n − 2)(n 3)
3(4)[−
n(n 1)
2!]a 0
( n − 2) n ( n 1)( n 3) 4!
a 0
s 3; a 5 −(n − 3)(n 4)
4(5)a 3 −
(n − 3)(n 4) (n − 1)(n 2)
4(5) 3!a1
( n − 3)( n − 1)( n 2)( n 4) 5!
a1
PU.PD:
n(n 1) (n − 1)(n 2) (n − 2)n(n 1)(n 3)
2! 3! 4! ( n − 3)( n − 1)( n 2)( n 4) 5!
atau
2!x
(n −
2)n(n 1)
(n 3) 4
4! 3!x
( n − 3)( n − 1)( n 2)( n 4) 5 5!
atau
y a 0 y1 (x) a1y 2 (x) .................................................................................... (1-10)
dengan :
y1 (x) 1 −n(n 1) 2
2!
(n − 2)n(n 1)(n 3) 44!
Program Semi Que IV 10Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
y 2 (x) x −3!
x 5!
x − ........ ....... (1-12)
1.3.2 Polinomial Legendre
Dalam beberapa aplikasi, parameter n dalam persamaan
(2n)!
2 (n − 1)!−(n − 2)!
a n−2 n
2 m!(n − m)!(n − 2m)!
Legendre adalah bilangan bulat positif (n ≥ 0) . Jika n adalah bilangan
bulat positif, untuk s = n sisi kanan persamaan (1-15) sama dengan nol,
dan
a n2 0 ; a n4 0 ; a n6 0 ; a n8 0 ;........ ....
sehingga,
- jika n genap; persamaan (1-xx) akan tereduksi menjadi suatu
polinomial derajat n dalam x
- jika n ganjil ; Persamaan (1-xx) akan tereduksi menjadi suatu
polinomial derajat n dalam x
untuk n genap maupun ganjil polinomial derajat n yang terjadi disebut
polinomial Legendre, ditulis dengan Pn (x) . Bentuk umum dari Pn (x) bisa
diturunkan dengan cara sebagai berikut:
rumus rekursif (1-8) diperoleh
a s −(s 1)(s 2)
(n − s)(n s 1)a s2 ; s ≤ n − 2 ....................................................... (1-13)
sehingga untuk s = 0;1; 2; 3;.......... ;n – 1, nilai a s dapat dinyatakan
dalam a n (n adalah pangkat tertinggi dari x dalam polinomial).
Koefisien an merupakan konstanta sembarang, dipilih sebagai berikut:
1
a n 2n (n!) 2
; n 0
; n 1; 2;3; 4 ...................................................................... (1-14)
pemilihan nilai an ini dilakukan agar untuk sebarang polinomial Pn (x) ;
harga Pn (1) 1, sehingga : a n−2 − n
(2n − 2)!
Program Semi Que IV 11Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
a n−4 −( n − 2)( n − 3)
4(2n − 3)
(2n − 4)!
2 2!n − 2)!(n − 4)!
a n−2m (−1) m n
(2n − 2m)!
sehingga Pn (x) yang merupakan penyelesaian dari persamaan Legendre
bisa dinyatakan secara umum :
∑ (−1)(2n − 2m)
2 m!(n − m)!(n − 2m)!
2 n!)x n − n
P4 (x) (35x 4 − 30x 2 3) P5 (x) (63x5 − 70x 3 15x)
Pn (x) M
m0
m
nx n−2m .............................................. (1-15)
(2n)!n 2
(2n − 2)!
2 1!(n − 1)!(n − 2)!
x n−2 −.......
dengan : M n
2untuk n genap dan M
n − 1 2
untuk n ganjil.
Beberapa polinomial Legendre orde n :
P0 (x) 1 P1 (x) x
P2 (x) 1
2(3x
2 − 1) P3 (x) 1
2(5x
3 − 3x)
1
8
1
8
secara grafis Pn (x) bisa digambarkan sebagai berikut:
P n(x)
1 P 0
P 1
P 2
-1 P 3 1x
P 4
Rumus - rumus rekursif untuk polinomial Legendre:
1. Pn 1 ( x ) 2 n 1n 1
x Pn ( x ) −n
n 1Pn −1 ( x )
Program Semi Que IV 12Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
2. P 'n 1 ( x ) − P 'n −1 ( x ) (2 n 1)Pn ( x )
Rumus polinomial Legendre Pn (x) bisa dituliskan dalam bentuk formula
Rodrigues sebagai berikut:
Pn ( x ) 1 d n
2 n n ! dx nPn −1 ( x
2 − 1) n
Dua buah polinomial Legendre yang berbeda akan saling tegak lurus
∫ P
∫ P
f (x) ∑ A k Pk (x) A 0 P0 (x) A1 P1 (x) A 2 P2 (x) ……....................... (1-16)
f (x) ∑ A k Pk (x) konvergen ke :
∞
∫ Pm (x) f (x) dx ∑ A k ∫ P
∫ Pm (x) f (x) dx A m ∫ Pm (x) dx
pada interval − 1 x 1 ; sehingga:
1.1
−1
m (x)Pn (x)dx ; m ≠ n
2.1
−1
2
n(x)dx 2
2n 1
1.3.3 Deret Polinomial Legendre
Jika f(x) memenuhi syarat Dirichlet dalam interval -1 < x < 1 ,
maka f(x) bisa diekspansikan kedalam suatu deret Legendre yang
berbentuk :
∞
k0
Syarat Dirichlet untuk deret polinomial Legendre :
1. f(x) terdifinisi dan bernilai tunggal kecuali pada beberapa titik yang
jumlahnya berhingga dalam interval (-1, 1)
2. f(x) periodik dengan perioda 2
3. f(x) dan f’(x) kontinu bagian demi bagian pada (-1,1) maka deret
∞
k0
a. f(x) jika x titik kontinu.
b.f ( x ) f ( x − )
2; jika x titik diskontinu
Bukti :
Program Semi Que IV 13Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
1
−1 k0
1
−1
m (x) Pk (x) dx
−
1
−
11
12 2
2m 1
∫ P
f (x)
∑ A
∫ P (x) f (x) dx
1 1
3
0
3x 2 − 1
9
11 63x 5 − 70x 9 15x
0
A m
A m 2
2m 1
1
−1
m (x) f (x) dx
Contoh :
1 ; 0 x 1
0 ; − 1 x 0
Ekspansikan f(x) ke dalam deret Polinomial Legendre :
Deret polinomial Legendre f (x) ∞
k0k Pk (x)
Ekspansikan
dengan A k 2 k 1
2
1
−1
k
k 0 → A 0 12
1 1
∫−1P0 (x) f (x) dx 2 ∫0 1.1 dx 2
k 1 → A1 3
2
1
∫ P1 (x) f (x) dx −1
3
2
1
∫ x.1 dx 4
k 2 → A 2 5
2
1
∫ P2 (x) f (x) dx −1
5
2
1
∫0 2dx 0
k 3 → A3 72
1
∫ P3 (x) f (x) dx −1
72
1
∫
0
5x 3 − 3x
2dx − 7
16
k 4 → A 4 9
2
1
∫−1P4 (x) f (x) dx 2
1
∫
0
35x 4 − 30x
2 38
dx 0
k 5 → A5 11
2
1
∫ P5 (x) f (x) dx −1
1
2 ∫ 8 dx 11
32
dan seterusnya
f (x) 1
2P0 (x)
3
4P1 (x) −
7
16P3 (x)
11
32P5 (x) − .......... ...
Program Semi Que IV 14Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
Soal Latihan.
Selesaikan persamaan diferensial berikut :
x 2x 4 ...)
y a1x a 0 (1 − x 2 − x 4 − x 6 − x − ...)
1.
2.
3.
4.
xy"2y'4xy 0
(1 − x 2 )y' 2xy
(x 1)y'−(2x 3)y 0
(1 − x 2 )y"−2xy'2y 0
5. Selesaikan PD : y"y 0 dengan penderetan disekitar titik x = 1.
Jawaban :
1. y −2 a 3x 3
2. y a 0 (1 x 2 x
4 ...) a 0
1 − x 2
3. y a 0 (1 3x x 2
10 3
3
4.1 1
3 51 8
7
5. y a 0 (1 −t 2
2!
t 4
4!− ....) a1 (t −
t 3
3!
t 5
5!− .....) a 0 cos(x − 1) a1 sin(x − 1)
1.4 Metode Frobenius (Extended Power Series Method)
Persamaan diferensial berbentuk : y" P(x)y' Q(x)y 0 ...................... (1-18)
Bila P(x) dan Q(x), salah satu atau keduanya tidak analitik pada titik x = x0,
maka titik x0 disebut titik singular dari PD. Jika U(x) = P(x) (x-x0) ; V(x) = Q(x)
(x-x0), PD menjadi :
y"Ux
x − x 0
y'Vx
x − x 0 2y 0 ......................................................................... (1-19) atau:
x − x 0 2 y"x − x 0 Uxy'Vxy 0 .......................................................... (1-20)
Program Semi Que IV 15Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
Jika U(x) dan V(x) analitik di x = x0 , maka x0 disebut titik singular teratur.
Jika U(x) dan V(x) tidak analitik di x = x0 , maka x0 disebut titik singular tak
teratur untuk PD (1).
∑ a x − x
∑ ay x r ∑ a m x m x r a 0 a1x a 2 x 2 .............
Ux ∑ bs x s b0 b1x b 2 x 2 b3x 3 ....... bs x s dan
Vx ∑ cs x s c0 c1x c 2 x 2 c3x 3 ...... cs x s
∑ a m x ∑ m ra m x mr−1
∑m ra m x mr−1 ∑ m r − 1m ra m x mr−1
x ra 0 r 1a1x ....b 0 b1x b 2 x 2 b3 x 3 .....
c 0 c1x c 2 x 2 c 3 x 3 .... a 0 a 1x a 2 x 2 .....
c0 c1x c2x2 .... a0 a1x a2x2 ....
Teorema 1.
Apabila x = x0 merupakan titik singular teratur dari PD (1); maka PD(1) paling sedikit mempunyai satu penyelesaian basis yang
berbentuk: y x r
∞
m0m 0
m . ........................................................................... (1-21)
Jika x0 = 0 ;∞ ∞
m x mr .......... (1-22)
m0 m0
r adalah konstanta yang akan ditentukan, sedemikian sehingga a0 ≠ 0.
Misalkan penderetan U(x) dan V(x) dalam deret kuasa adalah:
∞
s0
∞
s0
y' d ∞
dx m0
mr
∞
m0
y"d ∞
dx m0 m0
∞
Hasil-hasil tersebut dimasukkan ke dalam PD x2y”+xU(x)y’+V(x)y =
0,sehingga:
x 2 . x
r−2 r − 1ra 0 rr 1a1............ x r−1
x r 0
Program Semi Que IV 16Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
atau
x r r − 1ra 0 rr 1a1x ... x
r b0 b1x .... ra 0 r 1a1x ....... xr 0 ...................................................... (1-23)
Persamaan identitas:
Koefisien xr : rr − 1a 0 b0ra 0 c0a 0 0
rr −1 b0r c0 a 0 0
r
r
2
2
−
r
b
0
r
c
0
a
0
0
b0 − 1r c0 0
r dipilih sedemikian sehingga a ≠ 0 , sehingga r2 + (b0 – 1)r + c0 = 0 ............. (1-24)
∑ a
4 ∑(m r)(m r −1) am xmr−1 2 ∑ (m r) am xmr−1 ∑ am xmr 0
4r(r −1)a x 4(r 1)r a x ........ 4(s 1 r)(s r)a x .....
2r a x 2(r 1) a x 2r(r 2)a x ..... 2(s 1 r)a xrs ......
a x a x a x ....... a x ........ 0
Persamaan (1-24) disebut persamaan indicial.
Teorema 2.
PD berbentuk (1-18) memenuhi asumsi dalam Teorema 1. r1 dan r2 adalah
akar-akar dari persamaan indicial, maka ada 3 kasus sebagai berikut :
1. r1 ≠ r2 dan r1 − r2 ≠ bilangan bulat , penyelesaian basis untuk PD (xx)
adalah:
y1 (x) x r1 (a 0 a1x a 2 x
2 ...... ) .................................................................... (1-25)
y 2 (x) x r2 (A 0 A1x A 2 x
2 ...... ) ................................................................ (1-26)
Koefisien am dan Am diperoleh dari rumus rekursi yang diturunkan dari
persamaan
(1-18) dengan r r2 dan r r2 .
2. r1 r2 , penyelesaian basis untuk PD (1-18) adalah:
y1 (x) x r (a 0 a1x a 2 x
2 ...... ); r 1
2(1 − b0 ) ......................................... (1-27)
y 2 (x) y1 ln x x r (A1x A 2 x
2 ...... ); (x 0) ...................................... (1-28)
3. r1 ≠ r2 dan r1 − r2 bilangan bulat , (r1 − r2 ) 0 penyelesaian basis
untuk PD (1-18) adalah:
y1 (x) x r1 (a 0 a1x a 2 x
2 ...... ) ................................................................... (1-29)
Program Semi Que IV 17Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
y 2 (x) k y1 ln x x r2 (A 0 A1x A 2 x
2 ...... ) ............................................ (1-30)
Contoh :
1. Selesaikan PD : y" 1
2xy'
1
4xy 0 (kasus 1)
Penyelesaian :
Titik x = 0 merupakan titik singular teratur, sehingga y
4xy" 2y' y 0PD dituliskan :
∞
m0m
x mr .
Substitusikan y, y’, y” ke PD diperoleh:
∞ ∞ ∞
m0 m0 m0
4(s r 1)(s r )a s1 a s 0
a1 − 0 , a 2 − 1 0 , a 3 − 2 − 0 , dan seterusnya.
(−1) my1 (x) x1 2 ∑ x m 0 x (1 − x
r−1 r rs0 1 s1
r−1 r r10 1 2 s1
r r1 r2 rs0 1 2 s
Persamaan Indicial :
4r(r − 1) 2r 0
r 2 −1
2r 0
r1 12
; r2 0
Koefisien dari x rs :
4(s r 1)(s r)a s1 2(s r 1)a s1 a s 01
2
a s1 −a s
(2s 2r 2)(2s 2r 1); s 0 ,1, 2 ,......
Untuk r r1 1
2, rumus rekursi menjadi :
Program Semi Que IV 18Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
a s1 − a s
(2s 2r 2)(2s 2r 1); s 0,1, 2,......
a a a a a
3.2 5.4 5! 7.6 7!
a m −(−1)m a 0
(2m 1)!, m 0 ,1, 2 ,......
∞
m0 (2m 1)!
a 16
1
120x
2 ...... )
Untuk r r1 0 , rumus rekursi menjadi :
As1 −As
(2s 2)(2s 1); s 0 ,1, 2 , 3......
A1 −A 0
2.1, A 2 −
A1
4.3
A 0
4!, A 3 −
A 2
6.5 −
A 0
6!, dan seterusnya.
A m −
y 2 (x) ∑ x A 0 (1 −
y c1 y1 c2 y 2 c1 a 0 x (1 − x
x 2 − ...... ) k 2 1 − x 2 − .......
∑ (m r) (m r − 1) a m x − ∑ (m r) (m r − 1) a m x m r −1
3 ∑ (m r)a m x m r − ∑ (m r) a m x m r −1 ∑ a m x m r 0
y1 (x) ∑ a 0 x m 1bila dipilih a 0 1 ; y1 ∑
y 2 u(x) y1 (x) u(x).
( − 1) m A m 2m!∞
m0
(−1) m m
2m!
1
2x
1
24x
2 ...... )
PUPD16
1120
x 2 .c 2 A 0 (1 −
12
x 124
x 2 − .....)
: y k1 x (1 −1
6x
1
120
1
2x
1
24
2. Selesaikan PD : x (x-1)y” + (3x-1)y’ + y = 0 (kasus 2)
Penyelesaian :
x = 0 merupakan titik Singular teratur dari PD, sehingga
Substitusikan y , y', y" ke PD :∞
m 0
m r ∞
m0
∞ ∞ ∞
m 0 m0 m 0
Persamaan indicial :
− r(r − 1) − ra 0 0 atau r 2 0; r1,2 0
Koefisien x rs dengan r1 r2 0 maka rumus rekursi :
Program Semi Que IV 19Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
s(s − 1)a s − (s 1)s a s1 3s a s − (s 1)a s1 a s 0
a s1 a s
Sehingga : a 0 a1 a 2 ..........
∞
m 0
a 0
1 − x;
∞
m 0 1 − x
Penyelesaian basis kedua dicari dengan persamaan (1-28) atau
dengan memisalkan :
1
1 − xSubstitusikan y , y', y" ke PD :
x(x − 1)(u" y1 2u' y1 'uy1") (3x − 1)(u' y1 uy1 ') uy1 0
y1 adalah penyelesaian PD, sehingga :
x(x − 1)(u" y1 2u' y1 ' ) (3x − 1)u' y1 0
x(x − 1)(u"1 1 − x
2u' 1 (1 − x)
3. Selesaikan PD : (x − 1)x y"−(x 1)xy'(x 1)y 0 (kasus 3)
∑ a
(x 2 − 1) ∑ (m r) (m r − 1) a m x m r − (x 2 1) ∑ (m r) a m x m r
(x 2 1) ∑ a m x m r 0
∑ (m r − 1) a m x m r2 − ∑ (m r 1)(m r − 1) a m x m r 0
2
) (3x − 1)u' 1 − x
0xu" u' 0u"
u' −
1
x
ln u' − ln x ln1x
u' 1x
, u ln x
y 2 u y1 ln x1 − x
PUPD : y c1 y1 c 2 y2 c11
1 − x c 2
ln x1 − x
2 2 2 2
Penyelesaian :
x = 0 merupakan titik Singular teratur dari PD, sehingga
y ∞
m 0m
x m r
Substitusikan y , y', y" ke PD :
Program Semi Que IV 20Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
∞ ∞
m 0 m 0
∞
m0
Kalikan dan sederhanakan diperoleh persamaan :
∞
m 0
2∞
m0
Persamaan Indicial :
(r 1)(r − 1) 0
r1 1 ; r2 −1
Koefisien x r1 : − (r 2)ra1 0
a1 0
Koefisien xsr2 : (s r −1)2 as − (s r 3) (s r 1) as2 0
Untuk r r1 1, diperoleh rumus rekursi :
, s 0 ,1, 2, 3,......
a 2(s 4)(s 2)
x −1x 2a 0 xu"(x) 2u'(x)− xa 0 u(x) u'(x)x a 0 xu(x) 0
−1x u"(x) 2x −1xu' (x) − x 1u(x) − x 1xu' (x) x−1x u"(x) x − 3xu' (x) 0
a s
;s 0 ,1, 2 , ......
a1 0 , sehingga a 3 0, a 5 0 , a 7 0 ,.........
Untuk s 0 → a 2 0 sehingga a 4 0, a 6 0 , a 8 0 , ..........
y1 a 0 x
Untuk r r2 −1 , rumus rekursinya adalah :
a s2 (s − 2)2
s(s 2)a s ; s 0 ,1, 2 ,......
s 0 → a 2 4
0a 0 ,
a 0 0 (tidak memenuhi a 0 ≠ 0)
Penyelesaian basis yang kedua bisa ditentukan berdasarkan teorema
2 kasus 3 dengan r = -1 atau dengan memisalkan
y 2 y1 xux a 0 xu(x) .
y 2 ' a 0 u(x) u' (x)xy 2 " a 0 u' (x) u"(x)x u' (x) a 0 xu"(x) 2u' (x)
Program Semi Que IV 21Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
Substitusikan y2 , y2 ', dan y2 " ke PD, sehingga :2
masing-masing ruas dibagi dengan a 0 x :
x
x
x
2
2
2
−
1xxu(x
) 2u' (x
)− x2
1 u(
x) u' (x
)x x
2
1u(x) 0
2
2
2
2
2 2
−1xu"(x) x − 3u'(x) 0 → x − 3
x(x −1) − −
xx− 3
y c1a 0 x c2 x ln x x ln x 2x
(x 1)y' − y 0
2
1u(x) 0
x
2 2 u"
u' −
2
x(x 2 −1)
u"
u' −
3 − x 2
2
3
x
1 1x 1 x −1
ln u' −3 ln x ln(x 1) ln(x −1)
ln(x 1)(x −1)
x3 ln
x 2 −1
x3
u' x
2 −1 13
1
x
u ln x 1
2x 2
y2 (x) xu(x) x ln x 1
2xPU PD: y c1y1 c2 y2
1 2x
y k1x k2 1
Soal Metode Frobenius.
1. xy" 2y' 4xy 0
2. xy" (1 − 2x)y' (x − 1)y 0
3. x(1 − x)y" 1
2
1
2
4. (x − 1)2 y" (x − 1)y' − 4y 0
5. (1 x)x 2 y" − (1 2x)xy' (1 2x)y 0
6. x 2 y" − 5xy' 9y 0
Jawaban:
1. y1 x −1 cos 2x ; y 2 x −
1 sin 2x
Program Semi Que IV 22Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
2. y1 e
3. y1
x
x
;
;
y2 e x ln x
y2 1 x
4. y1 (x − 1) 2 ; y2 (x − 1)−2
5. y1 x ; y 2 x ln x x 2
6. y1 x3
; y 2 x 3 ln x
Bentuk umum PD Bessel : x y xy (x − )y 0 ................................ (1-31)
y(x) x r ∑ a m x m ∑ a
∑ (m r)a m x mr−1 x r−1 ∑ (m r)a m x m
y" (x) ∑ (m r)(m r −1) x r−2 ∑ (m r)(m r − 1)
x2 x r−2 ∑(m r)(m r −1)a mx m xx r−1 ∑(m r)a m xm (x 2 − 2 )x r ∑a mx m
∑ (m r)(m r − 1)a m x mr ∑ (m r)a m x mr ∑ a m x mr2 − 2 ∑ a m x mr 0 ..(1-35)
Koefisien x r : (r −1)r a 0 r a 0 − a 0 0
Koefisien x :
1.5. Persamaan Bessel
1.5.1 Fungsi Bessel Jenis Pertama2 " ' 2 2
dengan parameter yang diketahui dan nilai ≥ 0.
Persamaan ini biasanya muncul dalam masalah getaran; medan-medan
elektrostatik; masalah konduksi panas dan sebagainya. Untuk
menyelesaikan PD Bessel ini, digunakan metoda Frobenius dengan
penderetan di sekitar x=0 (x=0 merupakan titik singular teratur untuk PD
Bessel di atas).
Penyelesaian PD mempunyai bentuk :
∞
m0
∞
m0m
x mr
................................................................ (1-32)
dengan syarat nilai a 0 ≠ 0 . Sehingga :
y' (x) ∞ ∞
m0 m0 ......................................... (1-33)
∞
m0 a m x mr−2
∞
m0 a m x m ...(1-34)
PD nya menjadi :
∞ ∞ ∞
m0 m0 m0 =0
atau,
∞ ∞ ∞ ∞
m0 m0 m0 m0
Program Semi Que IV 23Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
Jika x tidak selalu nol, maka yang pasti = 0 adalah koefisien-koefisien dari
x rs :
2
(r 2 − r r − 2 ) a 0 0
(r 2 − 2 ) a 0 0 ; a 0 ≠ 0
Persamaan indical :r 1
Koefisien x : (s r − 1)(s r) a s (s r) a s a s−2 − 2a s 0
(s r)(s r − 1 1) − a(s r) − a
(s ) − − 2
s 2s −
2 m( m)
2 ( 1)
r 2 − 2 0 ; r1.2 ..................................................
r(r 1)a1 (r 1)a1 − 2a1 0
(r 2 r r 1 − 2 ) a1 0
(2r 1 r 2 − 2 ) a1 0
(2r 1) a1 0 ; (2r +1) tidak selalu 0
a1 0r s
2
2
2
s
s
−a s−2
−a s−2
Untuk r = :
a s − a s−2
(s r) 2 − 2.... (1-37)
a s = -a s−2
2 2
a s−2
2 2 −
a s−2
s(s 2)
s=2 →
s=3 →
a 2 −
a 3 −
a 0
2(2 2)
a1
3(3 2)
−
0
a 0
4(1 )
s=4 → a 4 − a 2
4(4 2) a 0
2.4(2 ).4(1 )
Karena a1 = 0 ; ≥ 0 , maka untuk s ganjil a s 0 dan untuk s genap = 2m ;
m =1,2,3,….
Program Semi Que IV 24Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
a 2m −1
2m(2 2m)a 2m−2
−2
1a 2m−2
Karena a 0 sembarang dan a 0 ≠ 0 , maka bisa dipilih a 0
1
D engan
− 22 ( 1) 2 ( 1)
2
2 2( 2) 2.2 ( 2) 2
2 3( 3) 3.2 ( 3) 2! 2
y ∑ (−1)m
J (x) ∑ (−1) m
J (x) x ∑ (−1) m
∑ (−1)
( 1) () !untuk = 0, 1, 2, 3, … sehingga :
m=1 → a 2 − a 0
2(2 2)1 1
2 2
− 1
( 1)( 1) 2
− 1
( 2)
1!2 2
1
( 2)
m=2 → a 4 − 2
a 2 −2
12
− 1( 2)
2 4
1
.2( 3)
2! 2 4
1
( 3)
m=3 → a 6 − 2
a 4 −2
14
1
( 3)
m=m → a 2m (−1) mm! 2
2m
1
( m 1)
∞
m0 m! 2
2m
1
( m 1)x 2m .......................................................... (1-38)
Fungsi y yang merupakan penyelesaian PD berbentuk deret tak hingga ini
disebut Fungsi Bessel Jenis Pertama orde dan dinotasikan dengan J (x)
Jadi,∞
m0 m! 2
2m
1
( m 1)x 2m
∞
m0 m! 2
2m
1
( m 1)x 2m .............................................. (1-39)
Untuk akar indicial yang lain, yaitu r = - ;
J − (x) ∞
m0
m
m! 2-2m
1
(− m 1)x −2m ......................................... (1-40)
Program Semi Que IV 25Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
Untuk bukan integer (bukan bilangan bulat), maka J (x) dan
J − (x) tidak bergantungan secara linier, sehingga PU PD Bessel :
y(x) C1 J (x) C2 J - (x) .......................................................................... (1-41)
J −n (x) ∑ (−1)m
∑ (-1) ∑ (−1)
∑ (−1)m
m p n
J −n (x) ∑ (−1)pn
(-1)n x n ∑ (−1)p
(-1) J n (x)
C1 (−1)n C2
J n (x) x n ∑ (−1)m
n 0 → J 0 (x) ∑ (−1)m
m! 2 (m 1)
2 4
Untuk integer (bulat) ; misalkan = n ; n = 0, 1, 2, 3, ……………
∞
m0 m! 2
-n2m
1
(−n m 1)x −n2m
n-1
m0
m x −n2m
m! 2-n2m (−n m 1)
∞
mn
m x −n2m
m! 2-n2m (−n m 1)
Karena untuk m = 0, 1, 2, ………..(n-1) ; harga (−n m 1) ∞ , maka :
J −n (x) ∞
mn
x −n2m
m! 2-n2m (−n m 1)
Misalkan,
Sehingga,
p m − n
- n 2m 2p n
- n m 1 -n p n 1 p 1 m n → p n n → p 0
∞
p0
x 2pn
(p n)! 22pn (p 1)∞
p0
x 2p
p! 22pn (p n 1)n
Jadi untuk = n bulat ;
y(x) C1J n (x) C2J −n (x) C1J n (x) (−1)n C2 J -n (x)
y(x) J n (x) K J n (x)
belum merupakan PU PD Bessel, karena hanya memuat satu konstanta
sembarang untuk PD orde 2.Untuk menentukan Penyelesaian Basis yang
lain pada kasus = n bulat ini akan dibahas pada bagian Fungsi Bessel
Jenis Kedua.
Fungsi Bessel Jenis Pertama untuk n = 0, 1, 2, ………. (bulat)
∞
m0 m! 2
n2m
1
(n m 1)x 2m
Program Semi Que IV 26Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
∞
m02m
1 x 2m
(-1)0 x 0 20 0!(1) (−1)1 x 2
4 − 6
n 1 → J1 (x) ∑ (−1)m
3 5
− 3 5
2 1!(2) (−1) 2 x 4 2 2!(3) .......... ..
1 -x 2
22
x 4
2 (2!) 2x 6
2 (3!) 2 .................... .....
1 -x 2
4
x 4
64−
x 6
2304 .............................. ......
∞
m0 m! 2
2m1
1
(m 2)x 2m1
(-1)0 x1
21 0!(2)
(−1)1 x 3
2 1!(3)
(−1) 2 x 5
2 2!(4) .......... .
x
2
x 3
2 1! 2!
x 5
2 2!3!− .............................. .
x
2−
x 3
16
x 5
384− ........................................ ...
y
x x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y
- Akar-akar dari J 0 (x) 0 dan J1 (x) 0
Berikut ini adalah 5 buah akar positif pertama dari J 0 (x) 0 dan
J1 (x) 0 dalam 4 desimal, beserta selisih antara 2 akar yang
berurutan :
Program Semi Que IV 27Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
J0 (x) J1 (x)
Akar Selisih Akar Selisih
x1 2,4048
3,1153
x 2 5,5201
3,1336
x 3 8,6537
3,1378
x 4 11,7915
3,1394
x 5 14,9309
x1 3,8317
3,1839
x 2 7,0156
3,1579
x 3 10,1735
3,1502
x 4 13,3237
3,1469
x 5 16,4706
∑ (−1)
(x 2) 22m (-1)m∞
∑
(x 2)
1! 32 2! 52
1 −1/ 2
− .........
1 −1/ 2 2! 2 3 5
− ..............
1 − 3! 5! − ............
Untuk 1 2 ;
J 12 (x) x1
2
∞
m0
m
m! 2 122m
1
( 12 m 1)x 2m
1
m0 m!(m 32)
J 12 (x) 1
2
0! 12 −
(x 2)12
52
9
(x 2)9 12 2
2
Catatan : ( 1) ()
( 12 )
Program Semi Que IV 28Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
J 12 (x) (x / 2)1/
2
(x / 2)2
1!3/2
(x / 2)4
2!5/2 3/2
(x / 2)1/
2
x 2
1! 2 3
x 4
2
(x / 2)1/ 2 x 2 x 4
1/ 2
1/ 2 x ................
− cos x
sin x
x J (x) ' x J −1 (x)
x J (x) ' −x −J 1 (x)
n0 n!
Sin x x -
Cos x 1 -
x 3
3!
x 2
2!
x 5
5!
x 4
4!
−
−
x 7
7!
x 8
8!
.......... ......
.......... ......
Jadi :
J1/ 2 (x) (x / 2)1/
2 1
x −x 3
3!
x 5
5!−
x 7
7!
x 2 1
xSin x
2
xSin x
J1/ 2 (x) 2
xSin x
Dengan cara yang sama bisa ditentukan :
J −1/ 2 (x) 2
xCos x
J 3/ 2 (x) 2 sin xx x
J −3/ 2 (x) 2 cos xx x
1.
2.
Rumus-rumus untuk fungsi Bessel :
−
Program Semi Que IV 29Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
3. J −1 (x) J 1 (x) 2 x
J (x)
4. J −1 (x) − J 1 (x) 2J '(x)
Rumus integral yang meliputi fungsi Bessel
1. ∫
x
J −1 (x)dx x J (x) C
2. ∫ J1 (x)dx ∫ J −1 (x)dx − 2J (x)
− Cos x
− Sin x
x 2 J 2 (x)
x 3 J 3 (x)
x 4 J1 (x) − J 0 (x) − 2x 3 x J 2 (x) − J1 (x)
x 4 J1 (x) − J 0 (x) − 2x 3 x x J1 (x) − J 0 (x) − J1 (x)
x −2 J3 (x) dx -∫ x 5 d x -2J 2 (x)
3. ∫
x
− J 1 (x)dx −x −J (x) C
Contoh :
1. J 3/ 2 (x) J1/ 21 (x) 2 12
xJ1/ 2 (x) − J1/ 2−1 (x)
1x
2
xSin x - 2
xCos x 2
xSin x x
J −3/ 2 (x) J −1/ 2−1 (x) 2(−
1 2
)
x
J -1/2 (x) − J −1/ 21 (x)
−1
x
2
xSin x -
2
xCos x
-2 Cos xx x
2. ∫
x
4 J1 (x) dx ∫ x 2 x
2 J1 (x) dx ∫ x
2 d
x 2 x
2 J 2 (x) − ∫ x 2 J 2 (x) dx
2
x 4 J 2 (x) − 2∫ x
3 J 2 (x)
x 4 J 2 (x) − 2∫ d
x 4 J 2 (x) − 2x
3J 3 (x) C
2 x
2 x
2.2
4 2
2x
3 J1 (x) − x 4 J 0 (x) − 16x J1 (x) 8x
2 J 0 (x) 2x 3 J1 (x)
(8x 2 − x
4 ) J 0 (x) (4x 3 − 16x) J1 (x) C
Program Semi Que IV 30Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
3. ∫
x
3 J3 (x) dx ∫ x 5
−x 5 x
-2 J 2 (x) ∫ x
−2 J 2 (x) dx
5
x −1J 2 (x)
x -1J1 (x)
−x 3J
2 (x) 5∫ x 2 J 2 (x) dx
5
−x 3J 2 (x) 5∫ x
3 −x
3J 2 (x) 5∫ x 3 d
−x 3J 2 (x) 5x
2J1 (x) − 5∫ x −1J1 (x) dx
3
−x 3J 2 (x) 5x
2J1 (x) − 15∫ x J1 (x) dx
−x 3J 2 (x) 5x
2J1 (x) − 15∫ x J 0 (x) dx
−x 3J 2 (x) 5x
2J1 (x) − 15∫ x dJ 0 (x) −x
3J 2 (x) 5x 2J1 (x) − 15x J 0 (x) − 15∫ J 0 (x) dx
Contoh aplikasi : Vibrasi dari Rantai yang Tergantung
Suatu rantai dengan massa persatuan panjang konstan, dengan
panjang L digantung tegak lurus pada suatu tumpuan tetap O seperti
dalam gambar. Pada saat t = 0, rantai ditempatkan dengan membentuk
sudut terhadap bidang vertikal, kemudian dilepaskan.
x=0
x=x
x=L
W(x)
y
FU=(x,t)
x
L = panjang rantai
= densitas rantai (massa persatuan panjang) = konstan
= sudut penyimpangan rantai terhadap bidang vertikal
Program Semi Que IV 31Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
U(x,t) = besarnya simpangan di titik x = x pada rantai terhadap vertikal
pada saat t
Berat bagian rantai di bawah sembarang titik (x = x ) = W (x)
w(x ∆x) ∂(x ∆x) − w(x)∆x ∂x
gL − x ∂x
∂t g(L − x) ∂x
W (x) = g (L-x)
Karena rantai menyimpang sejauh terhadap bidang vertikal, maka,
W (x) ≈ gaya tekan yang bekerja secara tangensial pada gerak
rantai.
Sehingga komponen horisontal dari gaya tekan W(x)F (x) = W (x)sin
:
Jika → 0 ;W (x) Sin ≈ W (x) tg =W(x)∂ U ( x , t )
∂x
Ambil bagian kecil rantai dari x sampai x + ∆ x ; dengan ∆ x → 0
maka besarnya perubahan gaya : F (x+ ∆ x) - F (x)
F(x+ ∆ x) - F (x) = W(x+ ∆ x)
∂ U ( x ∆ x , t ) ∂(x ∆x)
- W(x)∂ U ( x , t )
∂x
=lim
∆x → 0[W(x+ ∆ x)
∂ U ( x ∆ x , t ) ∂(x ∆x)
- W(x)∂ U ( x , t )
∂x]∆ x ∆x
=lim
∆x → 0
∂U(x ∆x, t)
∆x
∂U(x, t)
∆x∂ ∂x w(x)
∂U(x, t) ∂x
∆x∂ ∂ U ∂x
Hukum Newton II : F = ma = massa x percepatan
- percepatan vibrasi :∂
2 U
∂x 2
- massa dari bagian kecil rantai (∆x) = ∆x
Program Semi Que IV 32Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
Gaya F ∆x
jadi :
∂ 2 U ∂t 2
, gaya ini sama dengan perubahan gaya F(x+∆x) - F(x),
∆x ∂
2 U2 ∆x
∂ ∂U ∂x
∂t (L − x) ∂x
∂t
∂t
−
∂ 2 U
2
g ∂ ∂U ∂x
∆x g∂ ∂x
(L − x)∂U ∂x
Bila gerakannya merupakan gerak periodik dalam t dengan periode
2/, maka :
U(x, t) y(x) cos(t )
∂ U ∂t
− y(x) sin(t )
∂ 2 U
2 − 2 y(x) cos(t )
∂ U ∂x
y'(x) cos(t )
∂ 2 U
2 − 2 y cos(t ) g
∂ ∂x
(L − x)∂U ∂x
− 2 y cos(t ) g∂∂x
(L − x) y'cos(t )
− 2 y cos(t ) g cos(t )∂∂x
(L − x) y'
− 2 y g∂∂x
(L − x) y' g− y'(L − x)y"
−2
gy −y'(L − x)y"
(L − x)y"−y'2 y 0 ; 2 2
g
Program Semi Que IV 33Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
Misal : L-x = z ;dz dx
−1
y' dy
dx
dy dz
dz dx −1
dy
dz −
dy
dz
y"d 2 y
dx 2 d dy
dx dx d dy
dx dz −1 d dy
dz dx
d 2 y
dz 2
dz
s 2z
dz
; z
2z 2 ds z 2
dz dz dz z − 2 z z 2
− z 2 z 2
− z 2 z 2 z 2
− z 2
z− z 2
zds
ds − z 2 z 2
ds z 2
ds −1z 2
ds
Sehingga persamaan menjadi : zd 2 y
2
dy
dz 2 y 0
Misal :
12
2s ds
42
s 2
42
sds
22;
ds
dz
22
s
dy
dz
dy ds
ds dz
22 dy
s ds
22 dy1
− 1 dy
ds
d 2 y2 d dy d
dz− 12 dy 1 −32 dy
ds ds
− 1 d dy dz ds
1 −3
2dy ds
− 1 d dyds dz
1 −3
2
1 −3
2
dy
ds
dyds
− 1
2 z −1
d ds
d 2 yds 2
− 1 dy ds
Persamaan menjadi
1 −3
2dyds
2 z −1
d 2 y 2
− 12 dy ds
2 y 0 , atau
2 d 2 y2
1 − 1 − 1 dy 2 ds
2 y 0
2d 2 y
2
1 − 1
2
dy
ds 2 y 0
d 2 y2
1 − 1
2dy ds
y 0
Program Semi Que IV 34Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
d 2 y2
1 dy
s ds y 0 → PD Bessel dengan = 0
Penyelesaian PD : y(s) J 0 (s)
Sehingga y(x) J 0 (2 L − x / g )
Syarat batas : pada x = 0 rantai berada pada posisi tetap pada setiap
saat : y(0) = 0
y(x) E J n (x) − sin n j−n (x)
y(x) E J n (x) F n
sin n
J n (x) cos n − J −n (x) sin n
J (x) cos p − J −p (x)
y(0) J 0 (2 L − 0 / g 0 → J 0 (2 L / g ) 0
Akar positif pertama dari J 0 (2 L / g ) 0 adalah 2,4148, berarti
2 L / g 2,4048 ; 2,4048
2g / L .
Frekuensi getaran (gerakan) rantai =
2,4048g / L siklus/satuan waktu
4
2
siklus/satuan waktu =
1.5.2. Fungsi Bessel jenis kedua
Persamaan diferensial Bessel berbentuk :
x 2 y" xy' (x
2 − n 2 )y 0 dengan penyelesaian : y(x) c1J n (x) c2 J −n x.
Untuk n bilangan bulat, Jn(x) dan J-n(x) bergantungan secara linear, maka
harus dicari penyelesaian basis kedua selain Jn(x) untuk memperoleh
penyelesaian umum PD Bessel untuk n bilangan bulat.
c1 dan c2 adalah konstanta sembarang, dipilih
c1 E F cos nsin n
; c2 −F
sin n, E dan F adalah konstanta sembarang.
PUPD Bessel menjadi :
F cos n F sin n
y(x) E J n (x) F cos nsin n
J n (x) −F
sin nj−n (x)
Program Semi Que IV 35Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
J ( x ) cos n − J − n ( x )
y(x) E J n (x) FYn (x)
; n ≠ bilangan bulat
dimana Yn (x) lim p ; n bilangan bulatp→n sin p
Y2 (x) J 0 (x) ln x ∑ A m x m
∑ m A m x m−1
Y2 " J 0 " ln x 2 0 − ∑ m (m − 1) A m x m−2
∑ m (m − 1) A m x m−1 ∑ m A m x m−1 ∑
∑ ∑ 2 m!(m − 1)!
(−1) m x 2m−1
∑m 1 22m−2 m!(m −
1)!
∑ m 2 A m x m−1 ∑
2 (s 1)!s!
Fungsi Yn(x) disebut fungsi Bessel jenis kedua.
Untuk n = 0 PD Bessel menjadi :
xy" y' xy 0
Akar-akar persamaan indicial : r1,2 0 , sehingga
∞
m1.
Y2 ' J 0 ' ln x J 0x
∞
m1
J 'x
J 0x 2
∞
m1
Substitusikan Y2 , Y2 ', dan Y2 " ke PD (1) , kemudian disederhanakan dan
diperoleh :
2 J 0 ' ∞
m1
∞
m1
∞
m1
A m x m−1 0
Berdasarkan fungsi Bessel jenis pertama untuk n = 0 diperoleh :
J 0 ' (x) ∞
m1
(−1) m 2m x 2m−1
22m (m!) 2
∞
m1
(−1)m x 2m−1
2m−1
Persamaan menjadi :
∞ ∞
m1
∞
m1
A m x m1 0
Koefisien dari x 0 : A1 0
Koefisien dari x 2s : (2s 1) 2 A 2s1 A 2s−1 0 , s 1 , 2 , 3,......
Program Semi Que IV 36Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
A3 0 , A5 0 , A 7 0 , ........
Koefisien dari x 2s1 :− 1 4A 2 0 → A 2
1
4
Untuk s = 1,2,3,… berlaku :
(−1)s1
2s (2s 2) 2 A 2s2 A 2s 0
untuk s =1 diperoleh :1
8 16A 4 A 2 0 → A 4 −
3
128
Rumus untuk menentukan A2m :
(−1) m−1 (m!) 2
, m 1,2,3,....
(−1)m−1 h my 2 (x) J 0 (x) ln x ∑
(m!) 2m1 2
Y0 (x) J 0 (x)ln ∑
Yn (x) J n (x)ln ∑m 0 22mn m!(m n)! x 2mn
∑1 n−1 (n − m − 1)! 2m−n
m0 22m−n m!
PD: x y" xy' (x − 4)y 0 merupakan PD Bessel dengan n = 2.
A 2m 2m
1 1
2
1
3 .... 1
m
bila h m 1 1
2
1
3 ...
1
m, maka :
∞
2m
J0 dan y2(x) merupakan penyelesaian yang bersifat linear independence,
sehingga : a(y2 + bJ0) juga merupakan penyelesaian basis. Bila a =
b − ln 2 maka :
2
,
2 x2
2 ∞ (−1)m−1 h m
m1 22m (m!)2x 2m ........................................ (1-42)
h m 1 1
2
1
3
1
4 .......
1
m, 0,57721566490....... , konstanta
Euler
2 x
2
1 ∞ (−1) m−1 (h m h mn )
− x .................................................................... (1-43)
h 0 0
Sehingga PUPD Bessel untuk semua nilai n adalah :
y(x) c1 J n (x) c2 Yn (x)
Program Semi Que IV 37Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
Rumus-rumus rekursi yang berlaku untuk J n (x) juga berlaku untuk Yn (x) .
Contoh :
1. Selesaikan PD: xy" xy' (x − 4)y 02 2
PUPD-nya : y(x) C1 J 2 (x) C2 Y2 (x)
J 2 (x) ∑ x
2 x 1 xY2 (x) ln ( ) J 2 (x) − ∑(1 − k)! ( )2k−2 − ∑(−1)k (k) (k 2)1( )2k2
dx
d dy 2 d y
x 2
2 x
( x − )y 0
dz
z dy 2 z dz (
dz
dengan
∞
k0
2k2
(−1)k 2
k! (k 3)
2 k0 2
1 ∞
k0
x
2k!(k 2)!
2. PD: x 2 y" xy' (2 x
2 − 2 )y 0 ; (subst x = z)
Misalkan : z = x →
Jadi,
x
dzdx
z
y'dy
dx
dy dz
dz dx
dy
dz
y"d 2 y
2 d dy
dx dx d dy
dx dz
d dy
dx dz
d dy dz dx
dx dz dz
2
2
PD menjadi:
2 d 2 y dy 2 2 2
dz dz
z 2
2
2 d 2 y 2
2
2 − 2 )y 0
Program Semi Que IV 38Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
z 2d 2 y
2 zdy
dz (z
2 − 2 )y 0 → PD Bessel dalam y dan z dengan
PU PD:y(z) C1 J (z) C2 Y (z)
y(x) C1 J (x) C2 Y (x)
3. xy" (1 2n)y' xy 0 Misalkan y x −n u ; maka :
d ydx − n x
dx − n x
d −n du dx dx
−n d u
x(n 1)nx−n−2u − 2nx−n−1
dx (1 2n) − nx−n−1u x −n
dx
dx
dx
dx
dx
Misalkan y x u ; maka :
(y x −n u)
dy
dx −n x −
n−1u x −n
du
dx2
2 d
dx−n−1
u x −n
du ddx
−n−1 u x
(n 1)nx −n−2 u − nx −
n−1du
dx− nx −
n−1du
dx x −
nd 2u
dx 2
(n 1)nx−n−2
u − 2nx−n−1 du
dx x
2
dx 2
dudx
x−n d2u 2
du dx
x x−nu 0
PD menjadi:
(n 1)nx −n−1u − 2nx −
ndu
dx x −
n1d 2 u
2− nx −
n−1u x −n
du
dx− 2n
2 x −n−1u
2nx −n du
dx x −
n1u 0
n2 n − n − 2n
2 x−n−1u x
−n1 d 2u2 x −
ndu
dx x −
n1 u 0
masing-masing ruas dibagi dengan x −n :
− n 2 x −
1u xd 2u2 du
dx xu 0
xd 2 u
2 du
dx (x − n
2 x −1 )u 0
masing-masing ruas dikalikan dengan x :
x 2 d 2u2 x
du
dx (x
2 − n 2 )u 0 → PD Bessel dalam u dan x
dengan n
Program Semi Que IV 39Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
PU PD:
u(x) C1 J n (x) C2 Yn (x) ; y x −n u
y(x) x −n u(x) x
−n C1 J n (x) C2 Yn (x) C1 x −
n J n (x) C2 x −n Yn (x)
4. x 2 y" − 3xy' 4(x
4 − 3)y 02
; (y x 2u, x
2 z)
d y 2x u x 2u 2x
2 d u
2 d u
x 2 2u 4x
2 3x 2xu x 2
4(x − 3)x u 0
d udx
4x 3 − 3x 3 2x 2 − 6x 2 4x 6 − 12x 2
d udx
4 d udx
4x 4 − 16
d udx
2x 2
2 2x
x 2 2
2 x 2x
(4x −16)u 0
dy
dx d
dxx
2u 2x u x 2 du
dx2
dx 2
d dx
2 du dx
du
dx 2x
du
dx x
2
dx 2
2u 4xdu
dx x
2
dx 2
PD menjadi:
dudx
x 2 dx du 4 2
dz
x 4
2
2 du
dx u 0
x 4
2
2 x 3
du
dx 4x
6 − 16x 2 u 0 dibagi dengan x 2
x2
2 xdu
dx u 0
Misalkan : x z →dz
dx 2x
du
dx
du dz
dz dx 2x
du
dz2
2 d
dx du dz
du
dz 2x
d du dx dz
2du
dz 2x
d du dz dx
du
dz 2x
d dz
du dz
2du
dz 4x
2d 2u
dz 2
Program Semi Que IV 40Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
PD menjadi:
du
dz 4x
2d
2u dz
d udz
2x 2 2x 2
d udz
d udz
C1 J 2 (x 2 ) C2 Y2 (x 2 )
∑
∑
du 4 dz
4x 4
2
2 du
dz (4x
4 −16)u 0
4x 4
2
2 4x 2
du
dz (4x
4 −16)u 0 → dibagi dengan 4x 2
x 2
2
2 xdu
dz (x
2 − 4)u 0 → PD Bessel dalam u dan z dengan 2
PU PD : u(z) C1 J2 (z) C2 Y2 (z)
z x 2
z x 2 u
→
→
u (x) C1 J 2 (x 2 ) C2 Y2 (x
2 )
y (x) x 2 u (x) x
2
1.5.3 Fungsi bessel termodifikasi (modified Bessel function)
Persamaan Diferensial:
x 2 y"xy'−(x
2 n 2 )y 0 ................................................................................ (1-44)
dikenal dengan nama persamaan Bessel termodifikasi orde n. Karena bisa
ditulis :
x 2 y"xy'−(i 2 x
2 − n 2 )y 0 ............................................................................. (1-45)
yang merupakan persamaan Bessel dengan variable bebas ix dan
mempunyai penyelesaian umum: y C1 J n (ix) C2 Yn (ix) ............................ (1-46)
dengan ,
Program Semi Que IV 41Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
J n ( ix ) ∞
k 0
( − 1) k2 n 2 k
(ix ) n 2 k
k ! ( n k 1)
J n ( ix ) i n∞
k 0
( − 1) k2 n 2 k
i 2 k x n 2 k
k ! ( n k 1)
∑
Bentuk − J n (ix) merupakan fungsi baru yang berharga real dan disebut
I n (x) ∑
I −n (x) ∑
2 sin n
i − n J n ( ix )
∞
k 0 2 n 2 k
x n 2 k
k ! ( n k 1)
n
fungsi Bessel termodifikasi jenis pertama orde n yang dinotasikan dengan
In(x).
∞
k0 2 n2k
x n2k
k!(n k 1)........................................................................ (1-47)
I-n(x)didapat dengan mengganti n dengan –n sebagai berikut :
∞
k0 2 −n2k
x −n2k
k! (−n k 1)......................................................................................................... (1-48)
Untuk n tidak bulat In dan I-n merupakan penyelesaian yang linear
independence dari PD (1-44) sehingga penyelesaian umum PD (1) adalah
:
y c1In (x) c 2I−n (x) , n≠bilangan bulat.................................................. (1-49)
Untuk n bulat :
(-1)n J-n (ix) = Jn (ix)
(i2)n J-n (ix) = Jn (ix)
in J-n (ix) = i-n Jn (ix)
I-n (x) = In (x)
Untuk n bilangan bulat I-n (x) = In (x) linear depedence, sehingga perlu
didefinisikan penyelesaian basis yang lain yang bersifat linear
independence dengan In(x) sebagai berikut :
Program Semi Que IV 42Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
Dipilih c1 A − B2 sin n
, c2 B
sin n
y AIn (x) − B2 sin n
In (x) B2 sin n
I −n (x)
maka y AIn (x) B I −n (x) − In (x)
; n ≠ bilangan bulat I−n (x) − In (x)
lim ; n bilangan bulat2 sin n
J n (i3 2 x) ∑k!(n k 1)
i3 2 n ∑k!(n k 1)
Untuk k = 2j →(−1) i
k = 2j+1 →(−1) i
J n (i3 2 x) i3 2 n ∑ n4 j
j0 2 i∑ n24 j
(2 j 1)!(n 2 j 2)
∑R i∑I
y AIn (x) BK n (x)
2 sin n dengan K n (x)
I−n (x) − In (x) p→n
Kn (x) disebut fungsi Bessel termodifikasi orde n jenis kedua.
PD Bessel termodifikasi bisa dinyatakan dengan : x2y″ + xy′ – (2x2 + n2)y =
0 dengan PUPD: y = c1 In(x) + c2 I-n(x) untuk n ≠ bilangan bulat
y = c1 In(x) + c2Kn(x) untuk n = bilangan bulat
Untuk = √i, maka PD menjadi :
x 2 y" xy' − (ix
2 n 2 )y 0
x 2 y" xy' (−ix
2 − n 2 )y 0
Dan PUPD : y c1In ( ix) c2K n ( ix)
y c1J n (i3 2 x) c 2K n (i1
2 x)
∞
k0 2(−1)k (i3
2 x)n2k
n2k
∞
k0 2(−1)k i3k x
n2k
n2k
i3k = 1 ; k = 0,4,8,…..
i3k = -i ; k = 1,5,9,…..
i3k = -1 ; k = 2,6,10,…..
i3k = i ; k = 3,7,11,…..
Untuk k ganjil → J n (i3 2 x) real
Program Semi Que IV 43Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
Untuk k genap → J n (i 3 2 x) imaginer
k 3k (−1) j
sehingga
k 3k (−1) j i
∞ (−1) j x n4
j
(2 j)!(n 2 j 1)
i3 2 n
cos i sin
J n (i3 2 x) cos3n
= cos ∑I i cos ∑R
−1j x 4 j
2 j!2
−1j x 4 j2
2 j 1!2
∑ 4 j2
i1 2 x
Menurut Rumus de Moivre :∞
j0 2(−1) j x
n24 j
i 3 2 n
2
2
3 2 n
cos 3n4
i sin 3n4
Catatan :
z a ib cos(arc tgb
a) i sin(arc tg
b
a)
z i → z cos2 i sin
2
Jadi,
3n2
i sin 2
∑
R i∑I
3n2
∑R − sin3n
2
3n2
∑I − sin3n
2
dengan :
Bern x = cos
3n2
∑R − sin3n
2∑I
Bein x = cos
3n2
∑I − sin3n
2∑R
Untuk n = 0 :
Bero x = Ber x =
∞
∑ 4 jjo 2
Program Semi Que IV 44Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
Beio x = Bei x =
∞
jo 2
Dengan cara yang sama fungsi K n (i1 2 x) dapat juga dinyatakan dalam
jumlahan : (deret real) + i (deret real) seperti di atas, dengan
K n Kern x i Kein x
− ix 2 n 2
1. PD : x y"(2K 1)xy' x
C1J r (ax r r) C2Y r (ax r r)
2. PD : x y" x(4x − 3)y' (4x − 5x 3) y 0
C1J 0 (2 ax ) C2Y0 (2 ax )
Sehingga PU PD : x 2 y"xy'− y 0
adalah :
y c1 (Bern x iBein x) c2 (Kern x Kein x)
1.5.4. Persamaan yang bisa ditransformasikan kedalam PD Bessel
2 2 2r 2 y 0dengan k, , r , konstanta
akan mempunyai PU PD :
y x −k
n
Jika a < 0
2 − r s2
2 a
2 − r s
(1 − r) 2 − 4b
2 − r s
→ Jn dan Yn diganti dengan In dan Kn
Jika n ≠ bulat → Yn dan Kn diganti dengan J-n dan I-n
Contoh :
1. PD : x y" y' ay 0
Dikalikan dengan x :
x 2 y" xy' axy 0
k 0 ; r 1 2 ; 2 a → a
0 ; k 2 − 2 02 − 02 0
Program Semi Que IV 45Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
jadi PU PD :
y x 0
C1J 0 (2 ax ) C2Y0 (2 ax )2 2 8 2
a=-3;b=2;c=3;d=-5
p=4 ;q=1
→ 2; 1 2 ; 5 ; n 1
3. PD : x y" − xy' (1 x)y 0
− 2 3 2 y 0
c1J 0 (2 x ) c2J 0 (2 x )
y' y) − 2 y 0
x 2 y" xy'x 2 y − 4 y 0
atau x y" xy'2ix y 0 → PD Bessel dengan 2i
1. x y"xy'(x − 4)y 0
2. xy"y' 1 y 0 ; ( x z)
3. x y"xy'(4x − 1 )y 0 ; (x z)
4. x y"−3xy'4(x − 3)y 0 ; (y x u, x z)
5. x y" 1 (x 3 )y 0 ; (y u x , x z)
6. y"x y 0 ; (y u x , 12 x z)
PU PD :y x
2e−x4
2 c1I1 (x 5) c2 K1 (x 5) 2
dibagi x3 :
y"
x
y' 1 1 x x x
(x −1y' )' (x −
2 x −3 ) y 0
r = -1; s = -2; a = b = 1; = 0; = 1 2 ; = 2; n = 0
PUPD : y x 4. PD : 9( y"
1
x
4
x
(y"1
xy'y) −
4
9x 2y 0 , dikalikan x2
9
x 2 y" xy'(x
2 − 4 9)y 0 → PD Bessel dengan n = 2/3
PUPD : y c1J 2 3 (x) c2J −2 3 (x)
5. PD :R" 1 R'
R r R ; R R(r)
Dikalikan Rr2 PD menjadi :
r 2R"rR' − r 2 0 → PD Bessel termodifikasi dengan = ; n = 0
PUPD : R c1I0 (r ) c2K 2 (r )
6. PD : xy" y'2ixy 0
Program Semi Que IV 46Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
2 2
PUPD : y c1J 0 (x 2i) c2 Y0 (x 2i)
Soal Latihan.
Selesaikan PD berikut !2 2
4
2 4 2
y x A J 1 ( x ) B J −1 ( x )
y x A J 1 ( x 2 ) B Y1 ( x 2 ) 2 2
A J 2 (x 2 ) B Y2 (x 2 )
42 4 2 2
2
4 42 2
Jawaban :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
y A J 2 (x) B Y2 (x)
y A J 0 ( x ) B Y0 ( x )
y A J 1 (x 2 ) B Y1 (x
2 )4 4
y x 2
2 2
1 1 4 4
Program Semi Que IV 47Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
BAB II
DERET FOURIERPokok Bahasan Fungsi Periodik Deret Fourier Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah Jangkauan (Half-Range)
2.1 Fungsi Periodik
Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua
harga x berlaku:
f (x P) f (x) ; P adalah konstanta positif.
Harga terkecil dari P > 0 disebut perioda terkecil atau sering disebut
perioda dari f(x).
Contoh :
− Fungsi sin x mempunyai perioda 2; 4; 6; ...... karena sin (x+2) =
sin (x+4) = sin (x+6) = ......... =sin x.
− Periode dari sin nx atau cos nx ; dengan n bilangan bulat positif
adalah 2/n.
− Periode dari tan x adalah .
− Fungsi konstan mempunyai periode sembarang bilangan positif.
Gambar grafik dari fungsi-fungsi yang periodik, misalnya :
Program Semi Que IV 48Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
y
y = sin x y = cos x
− −
0
2 2
x x
Perioda(a)
y
0
2
2x
Perioda
(b)
x1 x2 x3
y
x
Perioda(c)
y
x0
Perioda(d)
x0
Perioda
(e)
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (piecewise
continuous function), bila f(x) hanya kontinu pada interval-interval
tertentu dan diskontinu pada titik-titik yang banyaknya berhingga. Harga
Program Semi Que IV 49Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
f(x) di titik-titik diskontinu ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi
f(x) untuk x mendekati titik diskontinu (ujung masing-masing interval).
f(x)
0 x4
x
2.2 Deret Fourier
Dalam beberapa permasalahan yang berhubungan dengan
gelombang (gelombang suara, air, bunyi, panas, dsb) ; pendekatan
∞f (x) ≡ 0 ∑ (a n cos nx bn sin nx ) ............................................................... (2-1)
z n 1
nx∫− L f (x) cos L dx ; a 0 L ∫− L f (x)dx ................................................ (
2-2)nx∫− L f (x) sin L dx ; n = 0, 1, 2, 3, .......... ............................................
.. (2-3)
∫C
L ∫C
L ∫C
dengan deret Fourier yang suku-sukunya memuat sinus dan cosinus sering
digunakan. Dengan mengekspansikan ke dalam bentuk deret Fourier ;
suatu fungsi periodik bisa dinyatakan sebagai jumlahan dari beberapa
fungsi harmonis, yaitu fungsi dari sinus dan cosinus (fungsi sinusoidal).
Definisi Deret Fourier :
Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval (-L;L) dan di luar interval
tersebut f(x) periodikdengan periode 2L ; maka deret Fourier atau
ekspansi Fourier dari fungsi f(x) tersebut di definisikan sebagai :
1. aL L
dengan koefisien Fourier a n , bn ditentukan oleh :
2. a n
bn
1 L 1 LL
1 L
L
Jika interval (–L;L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2L
maka :
Program Semi Que IV 50Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
3. a n 1 C 2L
Lf (x) cos nL
xdx ; a 0 1 C 2L f (x)dx ............................................ (2-4)
4. bn 1 C 2L
f (x) sin nxdx ; n = 0, 1, 2, 3, .......... .............................................. (2-5)L
dengan C sembarang bilangan real.
Jika C = -L maka rumus (2-4) dan (2-5) akan sama dengan (2-2)
dan (2-3).
Deret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/kondisi Dirichlet.
Syarat /Kondisi Dirichlet
Teorema : Jika,
1. f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada beberapa titik
f (x)
∫−L ∫− f (x) cos dx
∫−
0 cos nxdx ∫ 1cos nxdx 1 0 ∫− ∫0
sin nx
yang banyaknya berhingga pada interval (-L:L).
2. f(x) periodik dengan perioda 2L.
3. f(x) dan f’(x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada setiap
segmen pada interval (-L;L).
Maka deret Fourier (2-1) dengan koefisien (2-2) dan (2-3) atau (2-4)
dan (2-5) konvergen ke :
a. f(x) ; jika x merupakan titik kontinu pada interval (-L;L)
b.f ( x ) f ( x − )
2; jika x adalah titik diskontinu.
Contoh :
1. Tentukan deret Fourier dari fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai :
0
1
;− x 0
; 0 x
di luar interval ini f(x) periodik dengan perioda 2.
Penyelesaian :
Program Semi Que IV 51Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
f(x)
1
− 3 − 2 − 0 2x
Fungsi terdefinisi dalam interval (-L;L) = (-;)
Perioda = 2L = 2 → L =
a n 1 L
Lf (x) cos
nxL
dx 1 nx
1
f (x) cos nxdx
0
1 cos nxdx
1
n
0
1
nsin n − 0
1
nsin n 0
∫− ∫−0 dx ∫ 1dx x
∫0 dx 0 − 0 1
∫−L f (x) sin L dx ∫− f (x) sin dx
∫−
∫ −0 sin nxdx ∫0 1sin nxdx ∫0 sin nxdx1 0
cos nx − − 1n − 1
∑ a n cosnx
0 cos 0 cos 0 cos3x
0 cos ................
2
sin x sin 3x sin 5x ................
sin x sin 3x sin 5x sin 7x .......
a 0 1
f (x)dx 1 0
0
1
b n L
1 L nx 1 nx
1
f (x) sin nxdx
1
− 1
n
0
1
n
0 2 n
untuk n genap
untuk n ganjil
Jadi deret Fourier dari f (x):
f(x) a 0
2
∞ n1
nxL
bn sin L
Program Semi Que IV 52Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
1 2
x
2
sin
x
2x
2
2sin
2x
3x
2
3sin
4x
2
4sin
4x
1 2 2 3
2 5
1
2
2 1 1
3 5
1
7
Fungsi f (x) pada contoh diatas bisa dimisalkan merupakan suatu
pulsa voltase yang periodik; dan suku-suku dari deret Fourier yang
dihasilkan akan berkaitan dengan frekuensi-frekuensi yang berbeda
dari arus bolak balik yang dihubungkan pada gelombang “bujur
sangkar” dari voltase tadi.
2. Tentukan deret Fourier dari :
3 : 0 x 5
∫ f (x) dx ∫ 3 dx
∫ 3 cos
∫ 3 sin
∑ a n cos b n sin
∞ 3 1 - cos n nx ∑ 0 sin
sin ........
0 ; - 5 x 0f (x) ; periode 10
dan bagaimanakah f (x) harus ditentukan pada x = -5 ; x = 0 dan x = 5
agar deret Fourier tersebut konvergen ke f (x) pada -5 < x < 5.
Penyelesaian :
Periode = 2L ………. → L=5
f(x)
3
x-10 -5 0 5 10
a 0 1 5
5 -5
1 5
5 5
3
5x
5
0 3
Program Semi Que IV 53Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
a n 1 5
5 0
nxL
dx 3 55 n
sinnx 5
5 0
3
nsin nx 0
b n 1 5
5 0
nxL
dx -3 55 n
cosnx 5
5 0
-3
n cos n - 1 3
n1 - cos n
Deret Fouriernya :
f(x)
a 0
2
3
3
2
6
x5
1
3sin
3x5
1
5sin
5x5
f(x) memenuhi syarat Dirichlet , jadi deret Fourier akan konvergen ke:
− F (x) ; jika x titik kontinu
−f (x ) f (x - )
2; jika x titik diskontinu
2 ; x - 5
0 ; x - 5 x 0 3
3
2
titik-titik x = -5; 0 dan 5 merupakan titik-titik diskontinu dari f (x) pada
interval (-5,5) sehingga :
di x = -5 ; deret akan konvergen ke :
di x = 0 ; deret akan konvergen ke :
di x = 5 ; deret akan konvergen ke :
0 32
3 02
0 32
3
2
3
2
3
2
Deret Fourier diatas akan konvergen ke f (x) pada interval -5 ≤ x ≤ 5
apabila f (x) ditentukan sbb:
Program Semi Que IV 54Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
3
f (x) ; x 02
0 ; x 0 x 5
; x 5 ; diluar interval ini periodik dengan p 10
3. Ekspansikan f (x) = x 2 ; 0 x 2 kedalam deret Fourier jika f (x)
periodik dengan periode 2.
Penyelesaian :
f(x)
42
− 6 − 4 − 2 2 4 6
∫ f (x) dx ∫ x dx 3
2
∫ 0
∫ x cos nx dx
∫ x d sin nx x sin nx − ∫ sin nx dx 2 1 2
1 2 ∫
x sin nx − ∫ x d cos nx
x sin nx −n
2 x cos nx - ∫ cos nx dx
x sin nx − n x cos nx − n 2 sin nx
2
∫ x sin ∫ x sin nx dx
x d cos nx -∫ x cos nx − ∫ cos nx dx 2 1 2
1 2 ∫
x cos nx - ∫ cos nx dx 2
n x sin nx −
∫ x d cos nxx sin nx −
periode 2L = 2 → L =
a 0 1 2
01 2 2
01 1 3 2
x0
8
3
a n 1 2 2
x cosnx
dx 1 2 2
0
1 2 2
n 0 n 0
2
2
n x sin nx − 2 0 x sin nx dx
1 2
n
2 2 n 0
Program Semi Que IV 55Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
1 2
n 0
2
1 2 2 2
n
2
0
4
n
b n 1 2 2
0nx
dx 1 2 2
0
1 2 2
n 0 n 0
2
2
n x sin nx − 2 0 x sin nx dx
1 2n
1 2 n
0
x sin nx − n x cos nx − n 2 sin nx
∑ 2 cos nx - sin nx
2 3 ............
f (0) ∞ 4 ∑ 2 cos 0 - sin 0 22
4 ∑ 2 22
4
1 24 ∑ 2
3n1 n
1∑ n1 n
∫ f (x) dx 2 ∫ f (x) dx ............................................................................................
…(2-6)
2 2 n 0
1 2 2 2
n
2
0
deret fourier dari f (x) :
f (x) 43
∞ 4n1 n
4
n
4 Dengan menggunakan hasil dari contoh no. 3, buktikan bahwa :
1
12
1 12 3
2
6
Penyelesaian :
Pada x = 0 ; deret Fourier dari f(x) = x2 konvergen ke f(x) =
4 2 0 2
2 2
4
2
3 n1 n
4
n
Program Semi Que IV 56Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
42
3
∞
n1 n
∞
∑ 2n1 n
22 −42
3
2 2
3
∞
2
∞
2
1 2
6, terbukti
2.3 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f ( -x ) = f (x) untuk setiap x.
Contoh :
f(x) = cos x
merupakan fungsi ganjil. Jika f (x) fungsi ganjil maka: ∫ f (x) dx 0 .............. ..(2-7)
∫ f(x) cos ∫ f(x) cos
f(x)
xx
-a a
Polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat genap
merupakan fungsi genap. Jika f (x) fungsi genap maka:
a a
−a 0
Fungsi f (x) disebut fungsi ganjil jika f ( -x ) = - f (x) untuk semua x.
Contoh :
Program Semi Que IV 57Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
f(x)
f(x) = sin x
-a a x
x
Polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat ganjila
−a
2.4 Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah Jangkauan (Half – Range)
Deret fourier dari fungsi genap :
a n 1 L
L −L
nxL
dx 2 L
L 0
nxL
dx
↓ genap
∫ f(x) sin
∫ f(x) cos
∫ f(x) sin ∫ f(x) sin
↓ genap
genap
b n 1 L
L −L
↓genap
nxL
↓ganjil
dx 0
ganjil
Jadi , jika f(x) fungsi genap maka bn = 0 ; sehingga yang muncul hanya
suku-suku yang mengandung cosinus saja atau suku-suku dari an.
Deret fourier dari fungsi ganjil:
Program Semi Que IV 58Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
a n 1 L
L −L
nxL
dx 0
↓ganjil
↓genap
ganjil
b n 1 L
L −L
nxL
dx 2 L
L 0
nxL
dx
↓ganjil
↓ganjil
genap
Jika f(x) fungsi ganjil maka an = 0 ; sehingga yang muncul hanya suku-
suku yang mengandung sinus saja atau suku-suku dari bn.
Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan adalah suatu deretFourier yang hanya mengandung suku sinus atau cosinus saja. Apabiladiinginkan deret setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yangdiberikan, fungsi yang dimaksud biasanya hanya diberikan dalamsetengah interval adari (-L;L) yaitu pada interval (0;L) saja. Setengah
∫ f(x) sin
∫ f(x) cos
∫ f(x) sin ∫ x sin
∫ - ∫ cos dx
lainya yaitu (-L,0) ditentukan berdasarkan penjelasan fungsinya genapatau ganjil.
Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan :
f(x) fungsi ganjil
a n 0 ; bn 2 L
L 0
nxL
dx ........................................................ …(2-8)
Deret Cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:
f(x) fungsi genap
a n 2 L
L 0
nxL
dx ; bn 0 ....................................................... …(2-9)
Contoh:
Ekspansikan f (x) = x ; 0 < x < 2 ke dalam :
a. deret sinus setengah jangkauan
b. deret cosinus setengah jangkauan
Penyelesaian :
Program Semi Que IV 59Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
a. deret sinus setengah jangkauan
f(x)
-2 2 xL
2L
f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang
interval-2 < x < 2
(dengan periode 4), sebagai berikut:
Sehingga :
an = 0
b n 1 L
L −L
nxL
dx 2 2
2 0
nx2
dx
- 2 2
n 0x dcos
nx2
- 2 n
x cosnx 2
2 0
nx2
- 2 nx 2 nx n x cos 2 - n sin 2
2 cos 2 - n sin 2 - 0 n cos n
− 4f (x) ∑
sin − sin sin .......
∫ x dx
∫ f(x) cos ∫ x cos
∫ - 2 2 nxn 0
- ∫ sin dx
2 sin 2 n cos 2 - 0 n n 22 cos n − 1
20
- 2 2n 2 2n − 4n
Jadi deret sinus:
∞
n1 ncos n sin
nx2
4
n2
12
2x2
13
3x2
b. Deret cosinus setengah jangkauan
Program Semi Que IV 60Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
f(x)
x-4 -2 2 4
f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang
interval-2 < x < 2
(dengan periode 4), sebagai berikut:
an = 0
a 0 2 2
2 0
1 2x
2
2
0
2
a n 1 L
L −L
nxL
dx 2 2
2 0
nx2
dx
x dsin2
- 2 n
x sinnx 2
2 0
nx2
- 2 2n 2 2n 2 − 4
− 4 ∑ 2 2 cos n − 1cos2
f (x)
1 2 ∑ 2 cos n − 1cos
1 2 cos n − 1cos 2 cos n − 1cos 2 cos n − 1cos
4cos n − 1cos 4x 12 cos n − 1cos 5x ...........
− 2 cos 2 22 0 32 (- 2) cos 2 42 0 52 (- 2 )cos 2 .......
1 - 2 cos8 2 cos 2 cos ..............
3. Tentukan deret Fourier dari f (x) x ; − 2 x 2
6. Uraikan f (x) x ; 0 x 4
n
bn = 0
Jadi deret cosinus:
Program Semi Que IV 61Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
∞
2 n1 n 4 1
n
nx2
nx2
4
nx2
1
22x
2
1
33x
2
12 2 5 2
1 4
2
x 1 1 3x 1 1 5x
x2
1
3
3x2
1
5
5x2
Soal Latihan.
1. Tentukan deret Fourier dari f (x) − x 2
; − x
2. Tentukan deret Fourier dari f (x) 1 x 2 ; − x
0 ; 2 x 3 2
4. Tentukan deret Fourier dari f (x) 1 x 2 ; − 1 x 1 ; p 2
5. Uraikan f (x) cos x ; 0 x dalam deret Fourier sinus.
f (x) − sin x sin 2x − sin 3x sin 4x − .....
f (x) 1 2 − 4(cos x − cos 2x cos 3x − .....)
sin 2x − sin 3x −
− 2 (cos x − cos 2x cos 3x −
∑
n1 n
b. f (x) 2 2 ∑ 2 cos
16
n1
− cos n − 1
8n
8 − x ; 4 x 8
dalam deret : a. Fourier sinus b. Fourier Cosinus.
Jawaban.
1.
2.1
1
1
3 4 9
1 1 12 3 4
3. f (x) 2 sin x 2
2
9
4
sin 4x 2
25sin 5x .....
Program Semi Que IV 62Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
4. f (x) 43
4 1 1 4 9
116
cos 4x −.....)
5. f (x) 8 ∞ n sin 2n n1 4n
2 − 1
6. a. f (x) 32 ∞ 1
2 sinn2
sinnx
8
∞
n 2
2
cos nx
Program Semi Que IV 63Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
BAB III
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIALPokok Bahasan : Penyelesaian Masalah Syarat Batas Persamaan Konduksi Panas 1 Dimensi Aliran Panas Konduksi 2 Dimensi Getaran Tali (Persamaan Gelombang 1 Dimensi)
3.1 Pendahuluan
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang memuat
suatu fungsi dengan dua atau lebih variabel bebas berikut derivatif
parsial fungsi tersebut terhadap variabel - variabel bebasnya.
Orde dari PD parsial : tingkat tertinggi dari derivatif yang ada dalam PD.
Derajat dari PD parsial : pangkat tertinggi dari turunan tingkat tertinggi
yang ada dalam PD.
PD parsial dikatakan linier jika hanya memuat derajad pertama dari
variabel - variabel bebasnya dan derivatif - derivatif parsialnya.
∂x ∂y
Beberapa contoh PD parsial yang penting :
1.∂
2u
∂t 2 c2
∂ 2u
∂x 2
persamaan gelombang satu dimensi
2. ∂u
∂t c
2
∂x 2
persamaan konduksi panas satu dimensi
3.
4.
∂ 2u
∂x 2
∂ 2u
∂x 2
∂ 2u
∂y 2
∂ 2u
∂y 2
0
f (x, y)
persamaan Laplace dua dimensi
persamaan Poisson dua dimensi
5.∂
2u
∂x 2∂
2u
∂y2∂
2u
∂z 2 0 persamaan Laplace tiga dimensi
Penyelesaian PD parsial : sembarang fungsi yang memenuhi PD secara
identik.
Penyelesaian umum PD parsial : penyelesaian yang terdiri dari sejumlah
fungsi sebarang yang bebas linier (independent linier) yang banyaknya
sama dengan orde PD nya.
Program Semi Que IV 64Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
Penyelesaian khusus PD parsial : penyelesaian yang diperoleh daripenyelesaian umum dengan pilihan khusus dari fungsi - fungsisembarangnya.Penyelesaian PD dengan syarat batas adalah penyelesaian PD yangmemenuhi syarat-syarat tertentu yang disebut syarat batas.PD Parsial Linier Orde 2Persamaan umum :
A∂
2 u2 B
∂ 2u
∂x∂y C
∂ 2u
2 D
∂u
∂x E
∂u
∂y Fu G ....................................... (3-1)
u = variabel tak bebas, merupakan fungsi dari x dan y
x, y = variabel bebas dari PD
A, B, C, D, E, F, G = koefisien, bisa konstan atau merupakan fungsi
dari x atau y tetapi bukan fungsi dari u.
Jika : G = 0 →
G ≠ 0 →
disebut PD homogen
disebut PD non homogen
Jika B2 - 4ac < 0 → disebut PD Eliptik
B2 - 4ac = 0 → disebut PD Parabolis
B2 - 4ac > 0 → disebut PD Hiperbolis
x y F(y)
x y ∫ F(y) dy G(x)
x y H(y) G(x)
x 0 H0 Gx
x y Hy x 2 − H0
z1, y cos y → cos y 13 y2 Hy 12 − H0
Hy cos y − 6 y2 − 1 H0
3.2 Penyelesaian Masalah Syarat Batas
3.2.1 Pengintegralan seperti PD biasa
Mencari penyelesaian umum dengan metoda yang digunakan
dalam PD biasa (dengan mengintegralkan masing - masing ruas ke setiap
variabel bebasnya).
Contoh :
1. a. Selesaikan PD :∂
2z
∂x∂y x
2 y
b. Tentukan masalah nilai batas yang memenuhi z(x, 0) =x2 ; z(1, y)
= cos y
Penyelesaian :
a.∂2z
∂x∂y x 2y
Program Semi Que IV 65Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
∂ ∂z ∂x ∂y
x 2 y → diintegralkan terhadap x
∂z
∂y
1 3
3 → diintegralkan terhadap y
z 1 3 2
3
PUPD: z 1 3 2
6; G(x) dan H(y) fungsi
sembarang
b. zx,0 x 2 → x
2 1 3 2
6
Gx x 2 − H0
zx, y 1 3 2
6
1
6
cos y 1
6y 2 H y 1
2 − H 0
1
x y2 cos y − y − 1 H0 x 2 − H0
x y2 cos y − y − 1 x 2
t ∂t 2u x
x F
x t tFt
x t tFt →
x t ∫ tFtdt Hx
x t Gt Hx
6 x t Gt Hx
6 x G1 Hx
x G1 Hx x → G1 Hx 0 → Hx −G1
6 x t Gt − G1
6
zx, y 1 3
6
1 2
6
PKPD : z(x,y) 1 3
6
1 2
6
2. Selesaikan PD : t ∂ 2u
∂x∂t 2 ∂u
∂x x
2 ; ux,1 x 3
6; u0, t 0
Penyelesaian :
∂ ∂u ∂x
2 → diintegralkan ke x
t∂ u ∂t
2u 1 3
3t → dikalikan t
t 2∂u
∂t 2tu
1 3
3
Program Semi Que IV 66Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
∂∂tt 2u 1 3
3diintegralkan ke t
t 2u
t 2 u
1 3 2
6
1 3 2
6
PUPD: ux, t 1 3 2
t 2
Syarat batas 1 : ux,1 x 3
6
ux,1 1 3
1 1 3
x6
1 3
6
Penyelesaian : ux, t
1 3
6
1 3 2
t 2
Syarat batas 2 : u0, t 0
t 2 0
x t G1 − G1ux, t 6
1.1.1. Pemisalan u = e
misalkan : ux, y e
→ 3a 2b 0 → b − a
ax− ay a x− y
F x − y
− x− y
u0, t 0 G t − G 1
Gt− G1 0Gt G1
1 3 2
t 2
PKPD : ux, t 1 3x
6
ax by
PD parsial linear orde 2 dengan A,B,C,D,E,F konstan, PU PD ditentukan
dengan memisalkan u eaxby ; a,b konstanta yang harus dicari.
Contoh:
Program Semi Que IV 67Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
1. Selesaikan PD :
3
∂u
∂x 2 ∂u
∂y 0 ; ux,0 4e−x
Penyelesaian :ax by
∂ u ∂x
aeaxby ;∂ u ∂y
beaxby
PD menjadi :
3aeaxby 2beaxby 0
3a 2beaxby 03
2
PU PD : ux, y e3
2 e 3
2
3 2
syarat batas : ux,0 4e− x
ux,0 Fx 4e−x
penyelesaian PD : ux, y 4e 3
2 4e 3y−2x 2
2. PD :∂v
∂x 3
∂v
∂y 0 , dengan syarat batas : v0, y 4 sin y
misalkan vx, y e
misalkan : u e
∂x
∂y
a 2ab 2b 0
ax by
∂ v ∂x
aeaxby ;∂ v ∂y
beaxby
PD menjadi :
aeaxby 3beaxby 0
a 3beaxby 0 → a 3b 0 → a −3b
PU PD :
vx, y e−3bxby e b−3xy F− 3x y
syarat batas: v0, y 4 sin y
v0, y Fy 4 sin y
penyelesaian PD : vx, y 4 sin− 3x y
Program Semi Que IV 68Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
3. Selesaikan PD :∂
2u
∂x 2 3
∂ 2u
∂x∂y 2
∂ 2u
∂y2 0 ; u0, y y ; u x 0, y 0
Penyelesaian :
ax by
∂ u ∂x
∂ u ∂y
aeaxby
beaxby
∂ 2u
2
∂ 2u
2
a 2eaxby
b2eaxby
∂ 2u
∂x∂y abeaxby ∂
2u
∂y∂x
PD menjadi:
a
2 3ab 2b2 eaxby 0
2 2
a ba 2b 0 → a −b atau a = -2b
untuk a = -b → u1 e−bxby eb(−xy) → u1 F− x yUntuk a = -2b → u 2 e−2bxby eb−2xy → u 2 G− 2x y
PU PD :ux, y u1 u 2
u x x, y ∂ux, y∂x
ux, y F− x y G− 2x y
u0, y ySyarat batas1 : u0, y f y Gy y
→ Gy −Fy y
Penyelesaian PD : ux, y F− x y −
Syarat batas 2 : u x (0, y) 0
Misalkan ; − x y v dan − 2x y w
F− 2x y − 2x y
G(−2x y)
u Fv − Fw w
dF ∂v
dv ∂x−
dF ∂w
dw ∂x−∂w
∂x
Program Semi Que IV 69Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
dF
dv(−1) −
dF
dw(−2) − 2 −
dF
dv 2
dF
dw− 2
−F' (v) 2F' (w) − 2
−F'(−x y) 2F'(−2x y) − 2
u x (0, y) −F' (y) 2F' (y) − 2 0
→ F'(y) 2→ F(y) 2y c
u(x, y) f (−x y) − F(−2x y) − 2x y
u(x, y) 2(−x y) c − 2(−2x y) c − 2x y
u(x, y) −2x 2y c 4x − 2y − c − 2x yu(x, y) y
3.2.3 Pemisahan Variabel
Penyelesaian PD dengan pemisahan variabel adalahpenyelesaian PD dengan mengasumsikan bahwa penyelesaian PDmerupakan perkalian dari fungsi-fungsi yang hanya tergantung pada satuvariabel bebas. Penyelesaian PD dengan pemisahan variabel banyakdigunakan dalam berbagai aplikasi misalnya dalam masalahperpindahan panas, getaran dan lain-lain.Perpindahan panas konduksi.
Fluks panas yang melewati bidang datar.
T=u T = u + ∆u
∆n
I II
∆n = jarak bidang I dan bidang II
u = temperatur bidang I
u + ∆u = temperaur bidang II
∆u = perbedaan temperatur
Program Semi Que IV 70Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
jika ∆u >0 maka aliran panas terjadi dari bidang II mengalir kebidang I,
sebab u+ ∆u >u
Fluks panas = jumlah panas persatuan panjang persatuan waktu
≈ sebanding dengan ∆u ; berbanding terbalik dengan ∆n
Fluks panas dari I ke II = − k∆ u ∆n
K = konstanta pembanding = = konduktivitas termal ; k > 0
∆n → 0 ; maka ∆u → 0 , karena bidang I dan bidangII makin berimpit,
sehingga,
fluks panas yang melewati bidang I = lim it − kn→0u→0
∆u
∆n −k
∂u
∂n
Fluks panas yang melewati volume
z
T
S
V
R
P Qy
Bidang PQRS = − k
N W
x
Misalkan panas masuk dan dan keluar dalam arah x positif, y positif, z
positif
Fluks panas yang melewati permukaan elemen volum :∂u
∂x x
Program Semi Que IV 71Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
Bidang NPST = − k
∂u
∂y y
Bidang NPQW = − k ∂u
∂z z
Jumlah panas yang masuk pada masing masing sisi bidang selama ∆t =
(Fluks panas) x (luas bidang ) x ∆t sehingga Jumlah panas yang masuk
melalui permukaan elemen volum :
Bidang PQRS = − k∂u
∂xx (∆y∆z)∆t
Bidang NPST = − k
∂u
∂yy (∆x∆z)∆t
Bidang NPQW = − k∂u
∂z z (∆x∆y)∆t
Jumlah panas yang keluar melalui permukaan elemen volum:
Bidang PQRS = − k∂u
∂x x∆x
(∆y∆z)∆t
Bidang NPST = −
k
∂u
∂yy∆y
(∆x∆z)∆t
Bidang NPQW = − k ∂u
∂z z∆z
(∆x∆y)∆t
Perubahan panas yang terjadi pada volume ∆v dalam arah x, y, dan z
k ∂u
k ∂u
k ∂u
∂x(∆y∆z)∆t
∂u
∂y
∂z(∆x∆y)∆t
∂x(∆y∆z)∆t
∂y
∂z
= ( panas masuk - panas keluar ) pada masing masing sisi bidang
Perubahan panas dalam volume ∆v ∆x ∆y ∆z adalah :
Arah x =
Arah y =
Arah x =
∂x
∂y
∂z
x∆x
y∆y
z∆z
−k
−k
−k
∂u
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
x
y
zx
(∆y∆z)∆t
(∆y∆z)∆t
(∆y∆z)∆t
perubahan yang terjadi dalam volume ∆v
Program Semi Que IV 72Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
∂uk x∆x −k
∂u
∂x x k y∆y −k
∂u
∂y(∆x∆z)∆t
y
∂uk z∆z −k
∂u
∂z z
(i)
Jika massa dari volume ∆v adalah m, maka banyaknya panas yang
dibutuhkan untuk menaikkan temperatur dari u menjadi u ∆u adalah
: m∆u = ( massa x panas jenis x kenaikan temperatur)
m = ∆x∆y∆z , = densitas/ massa jenis dari volume v = massa
persatuan volume
panas yang dibutuhkan untuk menaikkan temperatur sampai ∆u pada
volume
∆v ∆x∆y∆z∆u (ii)
panas yang dibutuhkan untuk menaikkan temperatur ∆v = dengan
jumlah perubahan panas dari masing masing sisi ; atau (i) = (ii)
∂uk x∆x −k∂u
∂x x
∂uk y∆y
−k∂u
∂y ∂uk z∆z −k ∂u
∂z ∆x∆y∆z∆
jika masing masing ruas dibagi dengan ∆x∆y∆z∆t menjadi:
k∂ u∂ x
x ∆ x − k∆
x∂ u
∂ x
x
k ∂ u
∂ yy ∆ y
−
k
∆ y∂ u∂ y y
k ∂x ∂y k ∂y ∂z k ∂z ∂t
∂x ∂y ∂z
dimana c k
k ∂ u ∂ zz ∆ z − k ∆ z ∂ u ∂ z
z
∂ u ∆t
Jika ∆x → 0, ∆y → 0, ∆z → 0 ,maka nilai limitnya sama dengan
∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂u
∂x
Program Semi Que IV 73Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
karena k konstan maka :
∂ 2 u
k 2 ∂
2u
2 ∂
2u 2 ∂u
∂t
k∇ 2 u ∂ u
∂t
Persamaan atur untuk konduksi panas 3 dimensi adalah :
∂u
∂t
k
∇
2 u atau∂ u ∂t
c∇ 2 u ....................................................................... (3-2)
difusivitas
Persamaan konduksi panas satu dimensi
x=0 x=L x
Batang dengan penampang seragam diisolasi secara lateral.
Panjang batang = L dan diletakkan pada sumbu x. Temperatur pada
batang pada suatu waktu hanya tergantung pada posisi x , u = u(x,t).
Persamaan atur untuk konduksi panas 1 dimensi :
∂u
∂t c
∂ 2 u
∂x 2
;0 ≤ x ≤ L
t 0........................................................................ (3-3)
Ada dua macam syarat batas untuk masalah perpindahan panas
konduksi yaitu kondisi batas (boundary condition) dan kondisi awal (initial
condition).Kondisi batas adalah kondisi pada batas (ujung) batang pada
waktu t sembarang. Kondisi awal adalah temperatur pada x sembarang
pada waktu t=0.
Syarat batas untuk perpindahan panas konduksi 1 dimensi adalah :
1. Jika temperatur awalnya adalah f(x) dan temperatur pada ujung
dijaga konstan pada nol, maka kondisi batasnya :
u(0, t) 0
u(l, t) 0pada waktu t>0
Program Semi Que IV 74Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
kondisi awal pada t = 0 : u(x,0) f (x); 0 ≤ x ≤ L
untuk pertimbangan fisis biasanya temperatur dibatasi dengan
u(x, t) M
2. Bila batang diisolasi secara keseluruhan, termasuk pada x = 0 dan x = L
maka pada x= 0 dan x = L panas tidak bisa masuk atau keluar
(fluks panas = 0) sehingga kondisi batasnya adalah :
− k∂u
∂xx0 0 →
∂u
∂xxL 0
Contoh:
1. Tentukan persamaan temperatur dari suatu kawat yang
permukaannya diisolasi kecuali di kedua ujungnya. Ujung kawat
diletakkan pada x=0 dan x=3, temperatur pada ujung kawat dijaga
tetap pada 00, Temperatur awal pada kawat dinyatakan dengan
f(x) =5 sin 4x - 3 sin 8x + 25 sin 10x. Koefisien difusivitas kawat
adalah 2.
Penyelesaian:
x=0 x=L x
Persamaan atur :∂u
∂t 2
∂ 2u
∂x 2
; 0 ≤ x ≤ 3 ................................. 1
Syarat batas :
Kondisi batas u(0,t) = u(3,t) = 00; t ≥ 0 ........................................ 2
F't G"xGx2Ft
2k t
.......................... 9PU PD : ux, t C1e −2k t A1 Cos kx B1 sin kx
ux, t e −2k t A Cos kx B sin kx
u0, t e −2k t A Cos k0 Bsin k0 0 → A 0
A1 Cos kx B1 sin kx
2k t
2k t
Kondisi awal u(x,0) = 5 sin 4x - 3 sin 8x + 2 sin 10x. ; t = 0..... 3
Pemisahan variabel: misal PU PD adalah u(x,t) = F(t) G(x)
∂ u ∂t
F' t Gx
∂ u ∂x
Ft G'x ; ∂ 2u
∂ 2 x
FtG"x
Program Semi Que IV 75Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
PD menjadi : F'tGx 2FtG"x ........................................... 4
−k 2
F't2Ft
−k 2 ; F't 2k
2Ft 0 ............................................. 5
Persamaan karakteristik: m + 2k2 = 0
m = -2k2
Penyelesaian persamaan 5 adalah : Ft C1 e−2
.............. 6
G" x Gx
−k 2 ; G"x k
2Gx 0 .......................................... 7
Persamaan karakteristik: m2 + k2 = 0
m2 = - k2 → m1.2 = k I
Penyelesaian persamaan 7 adalah:
Gx eox A1 Cos kx B1 sin kx ..... 8
2
2
Kondisi batas 1: u(0,t) = 02
Penyelesaian PD : ux, t e−2
Bsin kx .................................... 10
Kondisi batas 2 : u (3,t) = B e−2
sin 3k 0
Jika B = 0 akan menghasilkan penyelesaian trivial, maka:
sin 3k 0
3k m m 0, 1,2,3,...... km
m2 2
m2 2
m1m12 2
u1 x, t B1e x sin
m2 m22 2
u 2 x, t B2e x juga penyelesaian PDsin
m3 m32 2
u 3 x, t B3e x sin
m12 2 m2 2 2 m32 2
ux, o B1 sinm1 m 2
ux, t 5e−32 t sin 4 x − 3e −128 t sin 4 x 2e−320 t sin10 x
−2 9 t
3 .................................................................................... 11
Penyelesaian PD: ux, t B e−2
9 t
sin m 3
x ........................... 12
Kondisi awal : u(x,0) = 5 sin 4x − 3sin 8x 2 sin10x
Program Semi Que IV 76Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
ux, t B e−2
9 t
sinm 3
x merupakan penyelesaian PD, maka
−2 t9
3
−2 t9
3
−2 t9
3
Berdasarkan prinsip super posisi :
ux, t B1e−2
9 t
sin m 1 3
x B2 e−2
9 t
sin m 2 3
x B3e−2
9 t
sin m 3 3
x
juga merupakan penyelesaian
x B2 sin3 3
5sin 4x − 3sin 8x 2 sin 10x
B1 5→ m1 12
B2 − 3 → m 2 24
B3 2→ m3 30
B3 sinm3
3
Persamaan temperatur di sepanjang kawat untuk x dan t sembarang
:2 2 2
2. Sama dengan soal no. 1, jika syarat awalnya u(x,0) = 25.
Penyelesaian.
Penyelesaian PD dengan syarat u(0,t) = u(3,t) = 0 adalah:
ux, t B em2 2
sin m 3
∑ −2 9 t
mx mx2
− cos 0
m
100 −22t 9
e−2 sin x .......
∂ u∂x
∂Vx, t ∂x ∂V ∂V
∂ Vx, t ∂ V "x
∂x ∂x 2
x
Berdasarkan prinsip super posisi :
ux, t ∞
m0
Bm em2 2
sin m 3
x juga merupakan penyelesaian
PD
Program Semi Que IV 77Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
kondisi awal : u(x,0) = 25
∞
atau ∑ Bm sinm0
m 3
x 25 → deret Fourier Sinus dari f(x) = 25; 0 ≤ x ≤ 3
yang konvergen ke f(x) = 25
Koefisien Bm ditentukan dengan :
Bm 2
L
L 3
∫0 f (x) sin L dx 3 ∫0 25 sin 3 dx
50 3 3 m
mx 33
50
m− cos m 1
∴ ux, t ∑ 50
m
2
− cos m 1e −2 9
2tsin
m3
x
e sinx3
1
3
2t
3. Sama seperti soal no.1; jika syarat batasnya adalah:
kondisi batas : u(0,t) = 10, u(3,t) = 40; t>0
Kondisi awal : u(x,0) = 25 ; u(x, t) M
Persamaan atur dimodifikasi menjadi : ∂V
∂t 2 ∂
2V
∂x 2sehingga
Kondisi batas : V(0,t) = 0, V(3,t) = 0
Kondisi awal : V(x,0) = f(x)
melalui transformasi: u(x,t)=V(x,t)+ x∂ V ∂t
2
2
∂t ∂t ∂t
−
0
2 ∂x
"
"
PD menjadi:∂V
∂t
∂ 2V
2
∂V
∂t 2
∂ 2 V
∂x 2 2"
Jika dipilih "x 0 maka PD akan menjadi:
Program Semi Que IV 78Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
∂V
∂t 2
∂ 2 V
∂x 2
i V0, t 0 → V0, t U0, t − 0 0ii V3, t 0 → V3, t U3, t − 3 0
40 − 3 03 40
iii U0, t 25 → Vx,0 Ux,0 − xVx,0 25 − x
xdicari dari:
"x 0 → "x c1 → x c1x c 2
Untuk x 0 → 0 c1 0 c2 10
c 2 10
x 3 → 3 c13 c2 3c1 10 40
3c2 30
c1 10
Jadi x 10x 10
Persamaan aturnya menjadi : ∂V
∂t 2 ∂
2 V∂x
2
Kondisi batasnya menjadi : V(0,t) = 0 ; V(3,t) = 0
Kondisi awalnya menjadi : V(x,0) = 15 – 10x
Penyelesaian PD dengan syarat : V(0,t) = V(3,t) = 0 adalah :
V(x,t) = B e− 2 m 22t
9 sin m 3
x
Berdasarkan prinsip super posisi :
∞
V(x,t) = ∑ Bm e− 2m22t
9 sin
∫ f (x) sin
∫ 15 − 10x sin
15 − 10xcos mx − ∫ cos mx d 15 − 10
x
2
15 − 10xcos 3 100∫ cos 3 dx2 mx mx
15 − 10xcos 3 m sin 3
− 15 − 10x cos 3 0) − (15 0)
− (−15 cos
1)30 mxm
m 3 x jug a merupakan penyelesaian
Kondisi awal: V(x,0) = 15-10x
∞
V(x,0) = ∑ Bm em0
−2m22t9 sin
m 3
x 15 −10x
∞
V(x,0) = ∑ Bm sinm0
m 3
x 15 − 10x → Deret Fourier Sinus dari f(x)=15-
10x
Program Semi Que IV 79Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
Menentukan Bm :
Bm 2 L
L 0
mxL
dx
2 3
3 0
m x 3
dx
−
−
m 3 0
3
m
3
3
−m
2 mx 30 mx 3
0
−m
2 mx
m
( co
s
2 mx
30∴ V(x s t) ∑ −2 9 t
30 u(x, t) 10x 10 ∑ 1e
F dx G dy
dx
∞
m0 mcos m 1e
m2 2
sinm 3
x
Penyelesaian PD : ux s t Vx, t x Vx, t 10x 10
∞
cosm3
−2m22t 9
sin
m 3
x
Suku (10x+10) merupakan temperatur steady-state dari kawat yaitu
persamaan temperatur yang tidak tergantung t.
Aliran panas konduksi 2dimensi, steady state.
Persamaan atur dan kondisi batas untuk perpindahan panas
konduksi 2 dimensi, steady state adalah :
Program Semi Que IV 80Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
PD :∂
2u
∂x 2∂
2u
∂y 2 0
BC : u(0,y) = u(a,y) = 0
u(x,0) = 0 ; u(x,b) = f(x)
Syarat batas untuk perpindahan panas konduksi 2 D steady state adalah
syarat batas pada sisi-sisi (batas) bidang sehingga disebut masalah ini
boundary value problem. Temperatur u(x,y) pada bidang ditentukan
dengan menyelesaikan boundary value problem tersebut di atas dengan
menggunakan metode pemisahan variabel :u(x,y) = F(x) G(y)
Pemisahan variabel : u(x,y) = F(x) G(y)
PD menjadi :
Gd 2F
dx 2 F
d 2G
dy 2 0
1 d 2 F2 −
1 d 2G2 − p2
d 2F2
d 2G
dy 2
n A n e a Bn e a ; adalah penyelesaian PDx
ux,0 ∑ sin A n e−0
u(x, y) ∑ A∗n sin
u(x, b) ∑ A∗n sin
An sinhnx
u(x, y) ∑ An sin
P 2F 0 →, F C1 sin px C2 cos px − P
2G 0 →, G C3 e py C4 e−py
u(x,y) = F(x) G(y) = (C1sin px + C2cos px) (C3 epy + C4e-py)
Kondisi batas : u(0,y) = 0, maka
u(0,y) = (C1.0 + C2.1) (C3epy + C4 e-py) = 0 C2 = 0
u(x,y) = C1sin px (C3 epy + C4e-py) = sin px (Aepy+Be-py)
Kondisi batas : u (a,y) = 0, maka
Sin pa (A epy+B e-py) = 0 sin pa = 0
p n a
; n 1, 2, 3, .....
u n x, y sinan
ny −ny
n = 1, 2, 3, ….
Berdasarkan prinsip superposisi diperoleh PUPD
Program Semi Que IV 81Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
a
Kondisi batas : u(x,0) = 0
∞
n1
n a
0 → Bn −A n
∞
n1
nxa
sinny
a; A∗
n 2A n
Kondisi batas : u(x,b) = f(x)
∞
n1
nxa
sinhnb
a f (x)
∗ nba
2a
a
∫0 f (x)sin a dx
Sehingga Penyelesaian dari PD adalah :
∞
n1
∗ nxa
sin hny
a; dimana
An 2
0
P
∗a
a sin n b ∫a
f (x) sin nxa
dx
Getaran tali (persamaan gelombang dimensi 1)
Jika seutas tali (benang, senar gitar dan sebagainya) yang
panjangnya L direntang sampai mencapai tegangan maksimum dan
kedua ujungnya diikat pada posisi tetap di x=0 dan x = L, kemudian
digetarkan, maka posisi tali akn menyimpang dari posisi setimbang.
y
T1
0
Q
x x ∆x
T2
Lx
Program Semi Que IV 82Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
T2sin T2
T1cos
T1
P
T1sin
Q T2cos
Untuk merumuskan persamaan dari getaran tali, digunakan asumsi
sebagai berikut :
1. Massa persatuan panjang dari tali konstan (tali homogen).
2. Tali elastis sempurna, sehingga tidak ada gaya luar yang
mempengaruhi getaran tali (tali bergetar semata-mata karena
keelastisannya)
3. Karena tegangan tali maksimum, maka tali maksimum, maka nilai
gaya grafitasi bisa diabaikan
4. Setiap partikel tali hanya bergerak secara vertical secara koefisien
Karena partikel tali hanya bergerak secara vertikel, maka
T1 cos T2 cos T konstan
Sehingga resultan gaya yang bekerja adalah : T2 cos − T1 sin .
menurut hukum Newton II : F =ma
− 1
− 1
∆x ∂x T
- Densitas massa tali =
- Panjang PQ = ∆x
Jika :
m= ∆x
Simpangan tali terhadap posisi setimbang (defleksi tali) untuk sembarang
t adalah y(x,t), sehingga percepatan getaran =∂
2 y
∂t 2
Jadi, T2 sin − T1 sin ∆x∂
2 y ∂t 2
→ masing-masing ruas dibagi dengan T
T2 sin T
T2 sin T2 cos
T sin T
T sin
T1 cos
∆x ∂ 2 y T ∂t 2
∆x ∂ 2 y T ∂t 2
Program Semi Que IV 83Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
tan − tan ∆ x ∂
2 y T ∂t 2
tan = slope dari y(x,t) di x =
tan = slope dari y(x,t) di x+∆x =
∂y
∂x
∂y
∂x
xx
xx∆x
∂y
∂x xx∆x
−∂y
∂x xx
∆x ∂ 2 y
T ∂t 2
→ dibagi dengan ∆x :
1 ∂y
xx∆x
−∂y
∂x
Untuk ∆x → 0lim 1 ∂y
∆x → 0 ∆x ∂x xx∆x
−∂y
∂x
∂
2 yT ∂t 2
atau∂
2 y
∂t 2 c2
∂ 2 y
∂x 2; c2
T
Persamaan gelombang dimensi 1.
dengan : T = tegangan tali
=densitas massa tali (massa persatuan panjang)
Syarat batas persamaan gelombang 1 dimensi adalah :
Karena ujung-ujung tali diikat pada x = 0 dan x = L , maka kondisi
batasnya adalah
y(0,t) = y(L,t) = 0
Gerakan tali tergantung pada simpangan/defleksi awal juga kecepatan
awalnya, maka kondisi awalnya adalah :
y(x,0) = f(x) → simpangan/defleksi awal
y t (x,0) ∂y
∂x t0
g(x) → kecepatan awal
Program Semi Que IV 84Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
Persamaan getaran tali satu dimensi diselesaikan dengan menggunakan
metode pemisahan variabel.
Contoh :
1. Tentukan persamaan defleksi y(x,t) dari senar yang panjangnya dan
kedua ujungnya diikat pada posisi tetap. Jika kecepatan awalnya f(x)
= 0 dan defleksi awalnya g(x) = (0,01 sin x),c2 = T =1.
Penyelesaian.
Persamaan atur :∂
2 y
∂t 2 c2
∂ 2 y
∂x 2
; c2 T 1
∂ 2 y
∂t 2∂
2 y
∂x 2
Syarat batas:
Kondisi batas : y0, t y, t 0 ; t ≥ 0
Kondisi awal : yx,0 0,01 sin x ; 0 ≤ x ≤ L
∂y
∂t (t0)
0 ;0 ≤ x ≤ L
PD diselasaikan dengan pemisahan variable
y(x, t) F(x)G(t)
∂ u ∂t
∂ u ∂x
F(x)G'(t)
F' (x)G(t)
∂ 2u
∂t 2
∂ 2u
∂t 2
F(x)G"(t)
F"(x)G(t)
PD menjadi : F(x)G"(t) F"(x)G(t)
G"(t)
G(t)
F"(x)
F(x) −k
2
G"(t) k 2G(t) 0
F"(x) k 2F(x) 0
→ G(t) A1 cos kt B1 sin kt
→ F(x) A 2 cos kx B2 sin kx
PU PD : y(x, t) (A1 cos kt B1 sin kt)(A 2 cos kx B2 sin kx)
Kondisi batas : y(0,t) = 0
Program Semi Que IV 85Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
y(0,t) = (A1 cos kt + B1 sin kt) (A2 cos k0 + B2 sin k0) = 0
y(0,t)= (A1 cos kt + B1 sin kt) A2 = 0 ; A2 = 0
Penyelesaian PD : y(x,t) = (A1 cos kt + B1 sin kt) B2 sin kx
y(x,t) = (A cos kt + B sin kt) sin kx
- Kondisi batas : y( ,t) = 0
y( ,t) = sin k (A cos kt + B sin kt) = 0
y( ,t) = sin k = 0
k = m ; (m=0, 1, 2,... )
k = m m
Penyelesaian PD : y(x,t) = sin mx (A cos mt + B sin mt)
Kondisi awal : yt (x,0) = 0
yt (x,0) = sin mx (-A m sin m0 + B m cos m0)
→ sin mxBm 0B 0
Penyelesaian PD : y(x,t) = sin mx (A cos mt)
Kondisi awal : y (x,0) = 0,01 sin x
∑ A
∑ A
∑ A
m x
0,02
0,02 x cos mx − ∫ cos mx dx
y(x,t) = A sin mx cos m0 = 0.01 sin x
A sin mx 0,01 sin x
A = 0,01 ; m=1
Penyelesaian khusus PD : y (x,t) = 0,01 sin x cos t
2. Sama seperti soal no. 1 jika defleksi awalnya adalah 0,01x
Penyelesaian.
Langkah-langkah penyelesaian sama seperti pada soal no 1, dengan
kondisi awal y(x,0) = 0,01 x.
Penyelesaian PD : y(x,t) = A sin mx cos mt
Kondisi awal : y (x,0) = 0,01x
Program Semi Que IV 86Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
Berdasarkan prinsip super posisi :
y(x,t) =∞
m0m
sin mx cos mt ; juga merupakan penyelesaian
penyelesaian.
y(x,0) =
y(x,0)
=
∞
m0
∞
m0
m
m
sin mx cos m0 0,01x
sin mx 0,01x
merupakan deret Sinus dengan f(x) = 0,01x
A m 2
∞
∫0 0,01x sin dx
m ∫0
xcos mx
m 0
sin mx
Penyelesaian PD : yx, t ∑ 50m cos m sin mx cos mt1
L x
2k (L − x)
ujungnya dipasang tetap c T
4x
0 x
x
0,02 mx
x cos mx − 1m
0
0,02
m cos m − 0 1 cos m
50m∞
m0
Soal Latihan.
1. Tentukan defleksi u(x,t) dari tali yang panjangnya L. Kedua
ujungnya dipasang tetap, kecepatan awalnya g(x) = 0 dan defleksi
awalnya :
2k
f (x)
L
;
;L
2
0 x
x L
L
2
Program Semi Que IV 87Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin
2. Tentukan defleksi u(x,t) dari tali yang panjangnya L = . Kedua2
1, kecepatan awalnya g(x) = 0
dan defleksi awalnya
f(x) = 0.01 x (-x).
3. Tentukan distribusi temperatur u (x,t) pada batang tembaga yang
panjangnya 10 cm, luas penampang melintang 1 cm2 yang diisolasi
secara lateral, densitas = 10,6 gm/cm3 konduktivitas termal bahan
1,04 cal/cmseco C, panas spesifik 0,056kal/gmoc. Batang diisolasi
secara lateral dan temperatur kedua ujungnya dijaga tetap pada
0oC. Temperatur awal batang f(x) = x(10-x).
4. Tentukan distribusi temperatur u (x,t) pada batang yang diisolasi
secara sempurna (termasuk pada x = 0 dan x = L), bila L = , c = 1 dan
kondisi awalnya
f (x) 4( − x)
;
; 2
2
− 2 sin
(cos t sin x 3 cos 3t sin 3x 3 cos 5t sin 5x ....... )
(sin 0,1 x e−0,01752 t sin 0,3 x e −0,01752(3) t ...... )
( cos 2 x e−4t
5. Tentukan temperatur u (x,y) pada bidang yang berbentuk bujur
sangkar yang panjang sisinya a, temperatur pada sisi vertikal dijaga
tetap = 0, permukaan dan sisi horizontal pada plat diisolasi sempurna.
Jawaban.
1. u(x, t) 8k
2(sin
xL
cosct
L
1
3
3xL
cos3ct
L ....... )
2. u(x, t) 0,08
1 13 5
3. u(x, t) 800
3
2 1
9
2
4. u(x, t) −32 1
41
36cos 6 x e −
36t ...... )
5. −
Program Semi Que IV 88Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya