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Instrumentos
matemáticos para la
empresa (3/4)
1º GRADO DERECHO-ADE
CURSO 2011-2012.
Prof. Pedro Ortega Pulido
1. Matemática Financiera 1.0. Introducción a la matemática financiera.
1.1. Capitales financieros
1.2. Rentas financieras
1.2.1. Series aritméticas y geométricas
1.2.2. Rentas financieras. Clasificación de rentas A) Definición de RENTA FINANCIERA
B) ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA
C) VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA
D) CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
1.3. Valoración de inversiones
1.2. Rentas financieras.
1.2.1. Series aritméticas y geométricas
a) SERIES ARITMÉTICAS
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Ejemplo 55. Consideremos las siguientes sucesiones de números
reales:
I) 1,3,5,7,9,11,…. II) 3, 7, 11, 15, 19,… III) 3, 1, -1, -3,…
¿qué característica tienen en común?
DEFINICIÓN. Una progresión aritmética es una sucesión de
números reales en la que cada término se obtiene sumando al
anterior una cantidad fija denominada diferencia.
TÉRMINO GENERAL:
(ejemplo 55: hacer)
1.2. Rentas financieras.
1.2.1. Series aritméticas y geométricas
SERIE ARITMÉTICA
Ejemplo 56. Consideremos la progresión aritmética: 2,5,8,11,…
a) Obtener su término general
b) Obtener la suma de sus 10 primeros términos.
c) Analizar el comportamiento de las sumas de los términos 1 y
10; 2 y 9; 3 y 8; 4 y 7; 5 y 6
SERIE ARITMÉTICA. Se define la serie aritmética de n-términos
como la suma de los n-primeros términos de una progresión
aritmética.
(Demostrar)
Ejemplo 57. Calcula la serie aritmética de los 60 términos de la
progresión 2,7,12,17,…
1.2. Rentas financieras.
1.2.1. Series aritméticas y geométricas
b) SERIES GEOMÉTRICAS
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Ejemplo 58. Consideremos las siguientes sucesiones de números
reales:
I) 1, 2, 4, 8, 16, 32,… II) 1/3, 1/6, 1/12, 1/24,… III) 6, 2,2/3, 2/9,…
¿qué característica tienen en común?
DEFINICIÓN. Una progresión geométrica es una sucesión de
números reales en la que cada término se obtiene
multiplicando al anterior una cantidad fija denominada razón.
TÉRMINO GENERAL:
(ejemplo 58: hacer)
1.2. Rentas financieras.
1.2.1. Series aritméticas y geométricas
Ejemplo 59. Obtener el término general de las siguientes
progresiones geométricas.
a) 0’1, 0’01, 0’001, 0’0001,…
b) 1, 3, 9, 27, 81,…
SERIES GEOMÉTRICAS. Una serie geométrica de n-términos es
la suma de los n-primeros términos de una progresión
geométrica.
Ejemplo 60. Consideremos la progresión geométrica:
1, 4, 16, 64, 256,…
a) Obtener su término general.
b) Obtener la suma de sus 6 primeros términos.
1.2. Rentas financieras.
1.2.1. Series aritméticas y geométricas
Ejemplo 61. Calcula la suma de los 10 primeros términos de las
progresiones geométricas:
a) 4, 12, 36, 108,… b) 1/3, 1/9, 1/27, 1/81 ,…
OBSERVACIÓN.
Si r>1 la serie aritmética tiende a infinito
Si |r|<1 entonces
Ejemplo 62. Calcula la suma de los infinitos términos de la
progresión geométrica 7, 7/4, 7/16,…
1.2. Rentas financieras.
1.2.2. Rentas financieras. Clasificación.
Consideremos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 63. Queremos disponer durante los 4 próximos años de
6.500 euros cada año para pagar un curso superior. Para ello
colocaremos cierta cantidad en un fondo a un 10% de interés
compuesto anual. ¿Qué cantidad tendré que ingresar en el
fondo para disponer de estos cuatro capitales?
- Dibuja el grafico de flujo de fondos
- Calcular el capital necesario para
A) DEFINICIÓN DE RENTA:
Es un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de
tiempo. (existen varios capitales con una periodicidad
constante entre dos capitales consecutivos)
En el ejemplo 63
1.2. Rentas financieras. 1.2.2. Rentas financieras. Clasificación.
b) ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA
1.2. Rentas financieras.
1.2.2. Rentas financieras. Clasificación.
En el ejemplo anterior:
1.2. Rentas financieras.
1.2.2. Rentas financieras. Clasificación.
C) VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA EN EL MOMENTO t
Es el resultado de TRASLADAR FINANCIERAMENTE
(capitalizando o descontando) todos los términos de la renta a
dicho momento t.
I) VALOR ACTUAL de la renta (si t=0).
Siendo 0 el ORIGEN de la renta.
Es el resultado de valorar todos los términos de la renta en el
momento cero. (DESCONTAR LAS RENTAS)
II) VALOR FINAL de la renta (si t=n)
Siendo n el FINAL de la renta.
Se define como VALOR FINAL al resultado de desplazar todos los
términos al momento n (CAPITALIZAR LAS RENTAS)
1.2. Rentas financieras.
1.2.2. Rentas financieras. Clasificación.
En el ejemplo anterior:
1.2. Rentas financieras.
1.2.2. Rentas financieras. Clasificación.
C) VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA EN EL MOMENTO t
€5,166.304,3,2,1, fffff VVVVV
1.2. Rentas financieras.
1.2.2. Rentas financieras. Clasificación.D) CLASES
Las rentas se pueden clasificar atendiendo a varios criterios:
1) Según la cuantía de los términos:
CONSTANTES: cuando todos los capitales son iguales
VARIABLES: al menos uno de los términos es diferente, pudiendo
ser a su vez:
- variables sin ley matemáticas (variación aleatoria)
- variables con una ley matemática (progresión
aritmética, geométrica)
2) Según el número de términos:
TEMPORALES: número de términos finito y conocido
PERPETUAS (INDEFINIDAS) : número demasiado grande de términos
(o infinito)
3) Según el vencimiento del término:
POSPAGABLE: los términos se encuentran al final de cada periodo
PREPAGABLE. Los términos se encuentran al principio de cada
periodo
1.2. Rentas financieras.
1.2.2. Rentas financieras. Clasificación.D) CLASES
4) Según el momento de la valoración:
INMEDIATA: valoramos la renta en su ORIGEN o en su FINAL
DIFERIDA: se valora la renta en un momento anterior a su origen
ANTICIPADA: la renta se valora con POSTERIORIDAD al final
5) Según la periodicidad del vencimiento:
ENTERA: la frecuencia de los términos de la renta coincide con la
frecuencia de la capitalización.
NO ENTERA: PERIÓDICA: la frecuencia de los términos es MENOR
al de capitalización
FRACCIONADA: la frecuencia de los términos es
MAYOR al de capitalización
6) Según la ley financiera:
SIMPLE: ley de interés simple
COMPUESTA: ley de interés compuesto
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
III) RENTAS POSTPAGABLES.
Consideramos una renta
CONSTANTE (términos de igual cuantía)
TEMPORAL (tienen un número determinado de términos)
POSTPAGABLE (los términos vencen al final de cada periodo)
INMEDIATA (valoramos la renta en su ORIGEN o en su FINAL)
ENTERA (la frecuencia de los términos coinciden con la
frecuencia de la capitalización del tipo)
COMPUESTA (se calculan en régimen de compuesta) es decir:
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
A) Valor actual de una renta POSTPAGABLE, temporal,
constante, inmediata, entera y compuesta.
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
III. RENTAS POSTPAGABLES.
Es una SERIE GEOMÉTRICA de razón
Cuyo primer término es
Como la serie geométrica vale :
Desarrollando (hacerlo)
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
A) Valor actual (inicial) rentas postpagable.
Ejemplo 55.
Calcular el valor actual de una renta postpagable (constante,
entera, temporal, inmediata), de término 300€ durante 5 años a
tipo de interés del 9% anual.
Ejemplo 56.
Un cliente debe pagar 600€ anuales durante los próximos 10 años
(al final de cada año). Para ello ingresa en una cuenta de
ahorro cierto capital a un 10% de interés compuesto anual.
Calcular el capital inicial necesario para afrontar dichos
pagos.
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
B) VALOR FINAL DE RENTAS POSTPAGABLES (constantes,
temporales, enteras e inmediatas)
`Suponiendo que la renta es un capital C tendríamos la
siguiente situación:
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
A.2) Valor final de rentas postpagables (enteras, temporales,
contantes, inmediatas)
El segundo factor es una SERIE GEOMÉTRICA de razón
Cuyo primer término es. Como
Entonces se deduce que
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
A.2) Valor final de rentas postpagables (enteras, temporales,
contantes, inmediatas)
Ejemplo 57
Calcula el valor final de una renta postpagable (entera, constante,
temporal e inmediata) cuyo término es 300€ durante 10 años a
un tipo de interés compuesto del 12% anual.
Ejemplo 58
Vamos a invertir 2.000€ anuales (al final de cada año) durante los
25 años que me quedan para la jubilación, en un plan de
pensiones que me renta un 6% de interés compuesto anual.
¿De cuánto dinero dispondré en la cuenta pasados los 25
años?
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
II) RENTAS PREPAGABLES Consideramos una renta
CONSTANTE (términos de igual cuantía)
TEMPORAL (tienen un número determinado de términos)
PREPAGABLE (los términos vencen al PRINCIPIO de cada
periodo)
INMEDIATA (valoramos la renta en su ORIGEN o en su FINAL)
ENTERA (la frecuencia de los términos coinciden con la
frecuencia de la capitalización del tipo)
COMPUESTA (se calculan en régimen de compuesta) es decir:
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
A) Valor actual de una renta PREPAGABLE, temporal, constante,
inmediata, entera y compuesta.
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
II) RENTAS PREPAGABLES.
Es una SERIE GEOMÉTRICA de razón
Cuyo primer término es
Como la serie geométrica vale :
Desarrollando (hacerlo)
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
A) Valor actual (inicial) rentas prepagable.
Existe otra posibilidad de calcular estas rentas calculando el
VALOR INICIAL de una renta postpagable con n-1 términos de
igual cuantía que la anterior y añadiendo a dicha cantidad la
renta C del término inicial:
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
A) Valor actual (inicial) rentas prepagables.
Ejemplo 59.
¿Qué cantidad deberíamos depositar en una inversión cuyo tipo
de interés compuesto anual es del 10% si queremos recibir al
principio de cada año y durante 4 años una renta de 6.500€?
(utilizar los dos métodos)
Ejemplo 60.
Calcular el valor actual de una renta prepagable, constante,
temporal, entera e inmediata de 14 cuotas mensuales de 30€ a
un interés del 1,2% mensual.
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
B)VALOR FINAL DE RENTAS PREPAGABLES (constantes,
temporales, enteras e inmediatas)
Suponiendo que la renta es un capital C tendríamos la siguiente
situación:
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
B) Valor final de rentas prepagables (enteras, temporales,
contantes, inmediatas)
El segundo factor es una SERIE GEOMÉTRICA de razón
Cuyo primer término es. Como
Entonces se deduce que
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
B) Valor final de rentas prepagables (enteras, temporales,
contantes, inmediatas)
OBSERVACIÓN. Otra forma de hacer el cálculo sería:
1) Considerando el valor final de una renta postpagable con n-1
términos a capitalizar en 1 año al r%
2) Añadiendo la capitalización del primer término C durante n-
periodos a un r%
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
A.2) Valor final de rentas prepagables (enteras, temporales,
contantes, inmediatas)
Ejemplo 61
Calcular el valor vinal de una renta prepagable (constante, entera,
inmediata, temporal) de 14 cuotas mensuales de 30€ a un
interés compuesto del 1,2% mensual.
(usar los dos métodos)
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
III ) RENTAS PERPETUAS
Son aquellas cuyo NÚMERO DE TÉRMINOS ES INFINITO.
En este tipo de rentas SOLO SE PUEDE CALCULAR SU VALOR
ACTUAL, pero nunca el final, con independencia de que sea
prepagable o pospagable, constante o variable.
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
III ) RENTAS PERPETUAS
El VALOR ACTUAL de estas rentas se obtendrá viendo qué ocurre
si aplicamos las fórmulas empleadas para rentas temporales y
en lugar de utilizar un número finito de términos (n)
trabajaremos con infinitos términos ( ).
Se trata por tanto de trabajar con el concepto matemático de
LÍMITE, cuando la duración de la renta (y por tanto el número
de capitales) tiende a infinitos.
Consideramos dos casos de rentas pospagables y prepagables:
1.2. Rentas financieras. 1.2.3. Valoración de rentas constantes.
III ) RENTAS PERPETUAS
III.A) RENTA PERPETUA, CONSTANTE, POSPAGABLE,
INMEDIATA Y ENTERA.
1.2. Rentas financieras. 1.2.3. Valoración de rentas constantes.
III ) RENTAS PERPETUAS
III.B) RENTA PERPETUA, CONSTANTE, PREPAGABLE,
INMEDIATA Y ENTERA.
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
III ) RENTAS PERPETUAS
Ejemplo 62.
Una fundación ha decidido convocar un premio para jóvenes
talentos con una dotación anual de 12.000€. Para ello han
decidido abrir una cuenta al 8% de interés compuesto anual. El
premio se entregará AL FINAL de cada año. ¿Cuánto habrá que
ingresar en dicha cuenta para financiar el premio
INDEFINIDAMENTE?
¿y si el premio se otorgara AL PRINCIPIO de cada año?
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
IV) RENTAS DIFERIDAS.
Son aquellas que se valoran CON ANTERIORIDAD a su origen.
El tiempo que transcurre entre el origen de la renta y el momento
de la valoración se denomina PERIODO DE DIFERIMIENTO de
la renta (d).
Partimos de una renta temporal (n-términos) y constante
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
IV) RENTAS DIFERIDAS (Valor actual)
Dada una renta temporal (n-términos), constante (C),
POSPAGABLE, diferida (periodo diferimiento d)
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
IV ) RENTAS DIFERIDAS
Ejemplo 63
Dentro de 3 años Ana tendrá que realizar varios pagos de 6.500€.
Estos pagos los realizará anualmente AL FINALIZAR cada año
y durante 4 años. En previsión de estos pagos, quiere saber la
cantidad que deberá depositar hoy en la cuenta a un tipo del
10% anual para hacer frente a dichos pagos.
Observación 1. El DIFERIMIENTO solo afecta al cálculo del valor
actual, por lo que, si queremos calcular el valor final de la
renta, se aplica como una renta inmediata.
Ejemplo 64
¿Qué cantidad obtenemos al cabo de 4 años si hacemos 4
ingresos de 6.500€ si empezamos a realizar los ingresos
dentro de x-años a un interés del 10% anual?
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
IV ) RENTAS DIFERIDAS
Observación 2. Para obtener el valor final también podemos
capitalizar el valor actual a n+d años.
Ejemplo 65. Calcular el valor final de 4 rentas pospagables a un
10% anual cuyo valor actual diferido (a 3 años) es de 15.480€
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
IV) RENTAS DIFERIDAS (Valor actual)
Dada una renta temporal (n-términos), constante (C),
PREPAGABLE, diferida (periodo diferimiento d)
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
IV ) RENTAS DIFERIDAS
Ejemplo 66
Dentro de 7 años María tendrá que realizar varios pagos de 3.200€
anuales durante 5 años al inicio de cada año.
En previsión de estos pagos, quiere saber la cantidad mínima que
deberá depositar hoy en una cuenta a un tipo del 8% anual para
hacer frente a dichos pagos.
Observación 3. El DIFERIMIENTO solo afecta al cálculo del valor
actual, por lo que, si queremos calcular el valor final de una
renta DIFERIDA x-años prepagable, aplicaremos la fórmula de
la renta INMEDIATA PREPAGABLE..
Ejemplo 67
¿Qué cantidad obtenemos al cabo de 5 años si hacemos 5
ingresos de 3.200€ al inicio de cada año dentro de x-años a un
interés del 8% anual?
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
V) RENTAS ANTICIPADAS.
Son aquellas que se valoran CON POSTERIORIDAD A SU FINAL.
El tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momento de
la valoración se denomina PERIODO DE ANTICIPACIÓN de la
renta (a).
Partimos de una renta temporal (n-términos) y constante
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
V) RENTAS ANTICIPADAS (pospagables- valor final)
Dada una renta temporal (n-términos), constante (C),
POSPAGABLE, diferida (periodo diferimiento d)
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
V) RENTAS ANTICIPADAS
Ejemplo 68
¿Qué cantidad obtendremos al cabo de 8 años si hacemos 4
ingresos de 6.500€ (al final de cada año) en una cuenta cuyo
tipo de interés anual es del 10%?
Observación 1.
La anticipación sólo afecta al valor final, pero no al valor actual,
que se realizará como si de una renta inmediata se tratara,
cumpliéndose la siguiente relación:
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
V) RENTAS ANTICIPADAS (prepagables-valor final)
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
V) RENTAS ANTICIPADAS (prepagables- valor final)
Dada una renta temporal (n-términos), constante (C),
PREPAGABLE, diferida (periodo diferimiento d)
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
V) RENTAS ANTICIPADAS (prepagables)
Ejemplo 69
¿Qué cantidad obtendremos al cabo de 8 años si hacemos 4
ingresos de 6.500€ (al inicio de cada año) en una cuenta cuyo
tipo de interés anual es del 10%?
Observación 2.
La anticipación sólo afecta al valor final, pero no al valor actual,
que se realizará como si de una renta inmediata se tratara,
cumpliéndose la siguiente relación:
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
EN GENERAL PARA RENTAS DIFERIDAS Y ANTICIPADAS:
1) Cuando valoramos una renta antes de su inicio decimos que
es una renta DIFERIDA y cuando valoramos después de su
final decimos que es una renta ANTICIPADA.
2) Para calcular el valor actual de rentas diferidas debemos partir
de los valores de las rentas inmediatas y descontarlos. Para
calcular el valor final de rentas anticipadas debemos partir de
los valores de las rentas inmediatas y capitalizarlos.
3) El diferimiento no afecta al valor final de la renta que
permanece con el mismo valor. La anticipación no afecta al
valor actual de una renta que permanece igual.
4) Las rentas perpetuas no se pueden anticipar pues nunca se
puede valorar después de un final que no existe.
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
VI) RENTAS FRACCIONADAS
Decimos que una renta es FRACCIONADA si la frecuencia de la
renta es SUPERIOR a la capitalización de los intereses.
En este caso los términos de la renta se producen con mayor
frecuencia que la capitalización.
EJEMPLO: Una renta mensual con capitalización anual
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
VI) RENTAS FRACCIONADAS
Todas la formulas que hemos visto hasta ahora eran válidas para
RENTAS ENTERAS.
¿servirán cuando la renta es fraccionada?
La respuesta es afirmativa. Utilizaremos el siguiente método
Un método para resolver este tipo de rentas FRACCIONADAS
consiste en transformar el TIPO DE INTERÉS del problema en
otro equivalente en la misma unidad de tiempo que los
periodos de la renta, es decir, a partir de un tipo de interés r, se
calcula otro tipo equivalente que venga expresado en la unidad
de los periodos de renta:
1.2. Rentas financieras.
1.2.3. Valoración de rentas constantes.
VI) RENTAS FRACCIONADAS
Ejemplo 70.
Determinar el valor actual de una renta de 5 años de duración si el
tipo de valoración es el 7% efectivo anual y sus términos son
de 850€ trimestrales pospagables.
Ejemplo 71.
Determinar el valor actual de una renta de 30 años de duración
que realiza pagos trimestrales de 100€ al inicio de cada
trimestre a un tipo nominal anual capitalizable
trimestralmente de un 12%.
Ejemplo 72
Calcular el valor final de una renta constante de cuantía 200€ de
duración de 4 años, prepagable y trimestral que se encuentra
anticipada un año y medio y aplicando un tipo del 10%
nominal anual capitalizable trimestral mente. ¿Y si el tipo
fuese un 10% TAE?