Download - Matemática Básica - Clase 3
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5/27/2018 Matem tica B sica - Clase 3
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RELACIONES BINARIAS
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Par ordenado:
Llamaremos par ordenado a un ente matemtico que consiste de unpar de elementos que estn ordenados.
a es la primera componente y b es la segunda componente .
Observacin: , ,a b b a
, ,a b c d a c b d
Igualdad de pares ordenados:
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Producto CartesianoSean A y B dos conjuntos diferentes del vaco.
, /A B a b a A b B
Ejemplos:
Sean A ={1,2,3} y B={3,4}, hallar
a) AB
b) BA
c) AA
Solucin
1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,3 , 3,4A B 08/04/2014
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Propiedades
1. En general AB BA.2.
A B C A B A C
A B C A B A C
3. Si
En particular:
yA B D E A D B E
Si A B B BA BA A A B
4. A B C A B A C
Nota:
veces veces
Si entonces
A ... ...
n n
n n
A
A A A
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R es una relacin(binaria) de A en B
; ,R A B A B
Ejemplo:
Dados los conjuntos:
2/ . 4 0A x x / . 4 3B x x
Hallar todas las relaciones de A en B
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Para B: 4 3 4 3 4 3
7 1
como 1,7
x x x
x x
x B
Solucin:
2Para : 4 0 2 2
pero 2
A x x x
x A
Luego 2,1 , 2,7A B 08/04/2014
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Ahora como la relacin R es un subconjunto cualquiera de AB, tendremosque todas las relaciones R de A en B son:
1 2,1R 2 2,7R 3 2,1 , 2,7R 4R
Observaciones:
1. AB tiene elementos.
#
2
A B
2. Si un elemento (x,y) pertenece a una relacin R, entonces lo
simbolizaremos
, R R R x y x y y x 3. Si el conjunto de partida A fuese igual al conjunto de llegada B,
entonces decimos que R es una relacin de A en A o simplemente R
es una relacin en A.
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Dominio y Rango de una Relacin
Dominio de R:Llamaremos dominio de una relacin R al conjunto formado por todas lasprimeras componentes de los pares ordenados de R.
Dom R / , R x x y
Rango de R:
Llamaremos rango de una relacin R al conjuntoformado por todas las segundas componentes de lospares ordenados de R.
Rang R / , R y x y 08/04/2014
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Relacin inversa
Toda relacin R de A en B tiene una relacin inversa (recproca) de B a A,que se define por
1 , / ,R b a a b R
Es decir, la relacin inversa consta de los pares ordenados queal ser invertidos, es decir, permutados, pertenecen a R.
1
R
Ejemplo:Sean A=1,2,3 y B= a, b entonces
1, , 1, , 3,R a b aLa relacin inversa es
1 ,1 , ,1 , ,3R a b a 08/04/2014
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Propiedades
Dadas las relaciones y de A en B, decimos que:1R 2R
1). 1 1 1
1 2 1 2R R R R
2). 1 1 11 2 1 2R R R R
3). 1 1 1
1 2 1 2R R R R
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COMPOSICIN DE RELACIONES
Dadas las relaciones RAB y SBC, se define la relacin entre A y C,
llamada composicin entre R y S, mediante
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SoR={(x,z)/ yB (x,y)R (y,z)S}
Propiedadesi) Asociatividad (ToS)oR = To(SoR)
ii) Inversa de la composicin
(SoR)-1=R-1o S-1
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Ejemplo:
Consideremos los siguientes conjuntos y relaciones: A={-1,0,1} B={1,3} y
C={3/2,5/2,0}
RAB est definida por: la imagen de x es su cuadrado.
SBCcaracterizada por: el correspondiente de y es su mitad aumentada
en 1
Se tiene:
R={(-1,1), (1,1)}
S={(1,3/2), (3, 5/2)}
SoR={(-1,3/2), (1,3/2)}
La relacin compuesta SoR AC est determinada as:
(x,z)SoR z= x2/2 +1
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Diremos que R es reflexiva si aA, a Ra (a,a)R
1) En la relacin Rdefinida por: x Ry x divide a y
es reflexiva ya que x , x Rx porque x divide a x.
2) En la relacin Rdefinida por:
a Rb a es el doble de b.
no es reflexiva ya que (1, 1) Rpuesto que 1 no es el doble de 1
Definicin:
Sea Runa relacin binaria en A, (A ).
Ejemplo:
Relacin reflexiva
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Relacin reflexiva
Representacin Cartesiana
A
ASi la relacin R es reflexiva
entonces la diagonal pertenece
a la relacin.
Representacin Sagital:
ASi la relacin R es reflexiva entonces todo
elemento tiene una flecha que comienza y
termina en s mismo (un bucle).
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Diremos que Res simtrica si a, b A: a Rb b Ra
1) En la relacin Rdefinida por: a Rb ab es mltiplo de 2.
es simtrica ya que si a Rb hay p tal que ab = 2p
ba = 2(-p) con -p b Ra
2)En la relacin R definida por: x Ry x divide a y
no es simtrica ya que 2 R4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2
por lo tanto (4,2) R.
Definicin:
Ejemplo:
Relacin simtrica
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relacin simtrica
Representacin Cartesiana
Si la relacin R es simtrica
sobre A entonces los pares
relacionados se reflejan
respecto a la diagonal principal.
Representacin Sagital:
A
Si la relacin R es simtrica entonces todo par
de elementos que tiene una flecha la tiene en
las dos direcciones
A
A
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Diremos que Res antisimtrica si a, b A: [a Rb b Ra] a = b
Otra manera de expresarlo:Si ab[ (a,b) R(b,a) R]
1) En la relacin Rdefinida por: x Ry x divide a y es antisimtrica
Ya que si a R b y b R aentonces existen n, m tales que:
b = an y a = bm. Combinndolas, a = bm = (a.n).m n.m = 1
n = m = 1 a = b.
2) En la relacin Rdefinida por: a Rb ab es mltiplo de 2.
no es antisimtrica ya que 2R4 y 4R2, pero 24
Definicin:
Ejemplo:
Relacin anti simtrica
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Relacin antisimtrica
A
ARepresentacin Cartesiana
Si la relacin R es antisimtrica pueden
existir pares por encima o por debajo de la
diagonal pero ningn par tiene reflejo
respecto a la diagonal principal excepto ladiagonal misma.
Representacin Sagital:
A
La relacin R es antisimtrica si para cada par
de elementos distintos relacionados la flecha
est solo en un sentido
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Definicin:
Ejemplo:
Diremos que Res transitiva si a, b, c A: [a Rb b Rc] a Rc
Relacin Tansitiva
1) En la relacin Rdefinida por: x Ry x divide a y
es transitiva ya que si a Rb y b Rcentonces existen n, m tales que:
b = an y c = bm. Combinndolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m
b Rc.
2) En la relacin Rdefinida por: a Rb a es el doble de b.
no es transitiva ya que (4, 2) Ry (2, 1) Rpuesto que 4 es el doble de 2y 2 es el doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4,1)R
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Relacin Transitiva
Representacin Sagital:
A
La relacin Res transitiva si cada vez que hay
un camino entre tres elementos, tambin est
la flecha que comienza en el principio del
camino y va al elemento que es final del
camino.
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Cuadro Resumen
PropiedadR
Se satisface sii No se satisface sii
Reflexiva aA a Ra
Simtrica a, b A:
a Rb b Ra
Antisimtrica a, b A:
[a Rb b Ra] a = b
Transitiva a, b, c A:
[a Rb b Rc] a R c
Completa la siguiente tabla:
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Cuadro Resumen
PropiedadR
Se satisface sii No se satisface sii
Reflexiva aA a Ra aA (a,a)R
Simtrica a, b A:
a Rb b Ra
a, b A:
(a, b) R (b, a) R
Antisimtrica a, b A:
[a Rb b Ra] a = b
a, b A:
(a, b) R(b, a) R a b
Transitiva a, b, c A:
[a Rb b Rc] a R c
a, b, c A:
(a, b) R(b, c) R(a, c) R
Verifique:
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Ejercicios
Ejercicio 1:
Sea A = {1, 2, 3, 4}.
i) Represente grficamente las relaciones (b) y (d) en forma cartesiana y sagital.
ii) Determine las propiedades que satisfacen las siguientes relaciones en A yverifquelas (demustrelas)
a) R= { (1,1) , (2,2) , (3,3)}.
b) R= { (1,1) , (2,2) , (3,3), (4,4) , (1,2) , (1,4) ,(2,1), (3,2) , (4,3) }.c) R= { (1,1) , (2,2) , (3,3), (4,4)}.
d) R= { (1,1) , (2,2) , (3,3), (1,2), (3,2) , (2,3) }.e) R= { (1,1) , (1,2) , (1,4) , (2,3), (4,3) }.
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Ejercicios
Ejercicio 2:
Sea A = {1, 2, 3, 4}. Construya tres relaciones binarias en A con las siguientespropiedades:
i) Reflexiva, simtrica y no transitiva
ii) Reflexiva, no simtrica y transitiva
iii) No reflexiva, simtrica y transitiva
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Ejercicios
Ejercicio 3:
Sea A = {1, 2, 3, 4}. Considere las siguientes relaciones binarias en A:
A1 2
3 4
A1 2
3 4
(a) (b)
a) Exprese las relaciones anteriores por extensin
b) Determine las propiedades que satisfacen las relaciones en A anteriores y
prubelas!
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Ejercicios
Ejercicio 4:
Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Considere las siguientes relaciones binarias en A:
(c) (d)
i) Determine las propiedades que satisfacen las relaciones en A anteriores y
prubelas!
A1 2
5 3
4
A1 2
5 3
4
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Ejercicios
Ejercicio 5:
Definimos en R, el conjunto de los nmeros reales, la relacin R:
x Ry xyDetermina las propiedades que cumple R y demuestra, usando la definicin, que
efectivamente las verifica!
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Tipos de relaciones
Relacin de equivalencia
Diremos que una relacin binaria sobre A, es una relacin de equivalenciasi
satisface las tres propiedades:
Res reflexiva
Res simtrica
Res transitiva
Ejemplos:
1) En , la relacin Rdefinida por: a Rb a
b es mltiplo de 3.
2) Dado un conjunto DU, la relacin:
A RB AD = B D
Demuestra que estas son relaciones de equivalencia
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Tipos de relaciones
Relacin de
ordenR es una relacin de orden en A, si y slo si
Res reflexiva
Res antisimtrica
Res transitiva
Sea2
R A
, Ra A a a
, ,a b R b a R a b
, , ,a b R b c R a c R
Relacin de orden parcial
Sea R una relacin de orden en A
Res de orden parcial si y slo si existen pares de elementos
incomparables
, / , ,a b a b R b a R 08/04/2014
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Relacin de orden total
Sea R una relacin de orden en A
Res de orden total si
, ,a b a b R b a R
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Ejemplo:
En definimos la relacin de divisor, es decir
/n a k a nk Esta relacin es de orden y parcial .
En efecto:
i) Reflexiva: : .1a a a a a
ii) Antisimtrica: Sean a b b a
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
y /
. 1 1
luego
n k k b ak a bk
ab ak bk k k k k
a b
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iii) Transitiva: Sean
1 2 1 2 , ,a b b c b ak c bk k k
1 2 1 2
1 2
entonces . . .
.
b c ak bk c a k k c ak
k k k
a c
Tambin es una relacin de orden parcial, pues
2 y 3:
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