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MATEMÁTICA BÁSICA CEROSesión N°7
PRODUCTOS NOTABLES
Departamento de Ciencias
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¿Cómo podríamos calcular el cuadrado de 65?
¿Haciendo uso del BINOMIO DE
NEWTON, obtendríamos el
resultado?
Sabemos que el cuadrado de 65 es multiplicar dos veces por si mismo. ¿existirá otra forma de
calcularlo?
Sabemos que el cuadrado de 65 es multiplicar dos veces por si mismo. ¿existirá otra forma de
calcularlo?
BINOMIO DE NEWTON
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Por ejemplo: Para calcular el cuadrado de 65, hacemos que: y
¿Haciendo uso del BINOMIO DE
NEWTON, obtendríamos el
resultado?
(60+5)2 = 602+2.60 .5+52= 4225
4225
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2. ¿Por qué se le denomina producto notable?
1. ¿Qué es un producto notable?
RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:
4. ¿Cuáles son los productos notables que más conoces?
3. ¿Cuál es el desarrollo de: ?
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Una empresa decide construir una piscina (base cuadrada) en sus instalaciones, para ello la piscina debe tener: (2x + 5) m de lado, además se sabe que dicha piscina debe contar con un borde antideslizante de goma alrededor de ella, de ancho constante igual a 1m. Determine en términos de “x” el área de todo el borde de goma antideslizante.
Borde de goma antideslizante.
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6
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión el estudiante representa e identifica adecuadamente el desarrollo de productos notables en los ejercicios que se le presentan, además de aplicarlos en la solución de problemas de la vida real.
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CONTENIDOS
1. PRODUCTO NOTABLE2. BINOMIO AL CUADRADO
(SUMA - DIFERENCIA)3. BINOMIO AL CUBO4. PRODUCTO DE SUMA POR
DIFERENCIA DE BINOMIOS5. PRODUCTO DE BINOMIOS POR
TÉRMINO COMÚN6. PROBLEMAS7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
7
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1. PRODUCTO NOTABLE
8
Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.
Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.
(𝑎+𝑏)2
(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)
𝑎2+2𝑎 .𝑏+𝑏2
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PRODUCTOS NOTABLES
PRODUCTO DE BINOMIOS CON
TÉRMINO COMÚN
CUADRADO DE UN BINOMIO
PRODUCTO DE SUMA POR DIFERENCIA
CUBO DE UN BINOMIO
(a ± b)2 = (a)2 ± 2 (a)·(b) + (b)2
(a + b) · (a − b) = (a)2 − (b)2
(a ± b)3 = (a)3 ± 3(a)2·(b) + 3(a)·(b)2 ± (b)3
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + (a.b)
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2. CUADRADO DE UN BINOMIO (SUMA)
10
Productos notables
b
a
b
aa
a
b
b
(a + b)2
El área del cuadrado de lado (a + b) es:
a2 + ab + ab + b2
El área del cuadrado como una suma de todas las regiones mostradas es:
POR LO TANTO: (a + b)2 = (a)2 + 2 (a)·(b) + (b)2
BINOMIO SUMA
BINOMIO SUMA
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2. CUADRADO DE UN BINOMIO (SUMA)
EJEMPLOS:
(2x + 3)2 = (2x)2 +2(2x)(3)+(3) 2 = 4x2 + 12x + 9 2
(m3 + 3n2)2 = (m3)2 + 2(m3)(3n2)+(3n2) 2 = m6 + 6m3n2 + 9n4
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12
2. CUADRADO DE UN BINOMIO (DIFERENCIA)
Productos notables
(a)2
El área del cuadrado de lado a es:
b2 + (ab – b2) + (ab – b2) + (a – b)2
El área del cuadrado como una suma de todas las regiones mostradas es:
POR LO TANTO: (a – b)2 = (a)2 – 2 (a)·(b) + (b)2
BINOMIO DIFERENCIA
BINOMIO DIFERENCIA
a
a
b
b a - b
a - b (a – b)2
ab – b2
ab – b2
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2. CUADRADO DE UN BINOMIO (DIFERENCIA)
EJEMPLOS:
(5x – 1)2 = (5x)2 +2(5x)(1)+(1) 2 = 25x2 + 10x + 1
(a2 – 2b4)2 = (a2)2 + 2(a2)(2b4)+(2b4) 2 = a4 – 4a2b4 + 4b8
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3. CUBO DE UN BINOMIO (SUMA)
14
a
b
a3
b3
a2b
ab2
(a + b)3= + + + a3 3a2b 3ab2 b3
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3. CUBO DE UN BINOMIO (SUMA)
EJEMPLOS:
(3x + 2)3 = (3x)3 + 3(3x)2(2) + 3(3x)(2)2 + (2)3
= 27x3 + 54x2 + 36x + 8
(m2 + 3)3 = (m2)3 + 3(m2)2(3) + 3(m2)(3)2 + (3)3
= m6 + 9m4 + 27m2 + 27
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3. CUBO DE UN BINOMIO (DIFERENCIA)
(x + y)3= x3 – 3x2y + 3x2y – x3
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3. CUBO DE UN BINOMIO (DIFERENCIA)
EJEMPLOS:
(5x – 1)3 = (5x)3 – 3(5x)2(1) + 3(5x)(1)2 – (1)3
= 125x3 – 75x2 + 15x – 1
(m2 – 3n)3 = (m2)3 – 3(m2)2(3n) + 3(m2)(3n)2 – (3n)3
= m6 – 9m4n + 27m2n2 – 27n3
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4. PRODUCTO DE SUMA POR DIFERENCIA
18
(a + b) (a – b) = a2 – b2
a
a - b
b
a + b
a - b
b
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EJEMPLOS:
(2x + 3)(2x – 3) = (2x)2 – (3) 2
4. PRODUCTO DE SUMA POR DIFERENCIA
= 4x2 – 9
(3mn2 – 2p)(3mn2 + 2p) = (3mn2) 2 – (2p)2
= 9m 2n4 – 4p2
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5. PRODUCTO DE BINOMIOS POR TÉRMINO COMÚN
20
x
x
bb
x
a
a
xx2 ax
bx ab
(x + a) (x + b) = x2 + ax + bx + ab
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
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EJEMPLOS:
(x + 5)(x – 7) = (x)2 + (5 – 7)(x) + (5)(-7)
= x2 – 2x – 35
(3x + 9)(3x – 7) = (3x)2 + (9 – 7)(3x) + (9)(-7)
= 9x2 + 6x – 63
5. PRODUCTO DE BINOMIOS POR TÉRMINO COMÚN
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Una empresa decide construir una piscina (base cuadrada) en sus instalaciones, para ello la piscina debe tener: (2x + 5) m de lado, además se sabe que dicha piscina debe contar con un borde antideslizante de goma alrededor de ella, de ancho constante igual a 1m. Determine en términos de “x” el área de todo el borde de goma antideslizante.
Borde de goma antideslizante.
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SOLUCIÓN:
(2x + 5)
1
1
(2x + 7)
PISCINA DE FORMA CUADRADA
Para determinar el área del borde antideslizante realizamos una diferencia de superficies, es decir:
(2x + 7)2 – (2x + 5)2
(2x)2 + 2(2x)(7) + (7) 2 – [ (2x)2 + 2(2x)(5) + (5)2 ]
(8x + 24) m2Por lo tanto, el área del borde será:
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
IGNACIO BELLO. ALGEBRA. 2°EDICIÓN. ED. CENGAGE. PAG. 268 – 277.
SALVADOR TIMOTEO. ALGEBRA. 2° EDICIÓN. ED. SAN MARCOS. PAG. 73 – 96
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