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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR
CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUO CIVIL
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
MARCELO DIEGO DE ALMEIDA BARBOSA
ANLISE DE FLECHAS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO
FORTALEZA
2010
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MARCELO DIEGO DE ALMEIDA BARBOSA
ANLISE DE FLECHAS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO
Monografia submetida Coordenao do
Curso de Engenharia Civil da Universidade
Federal do Cear, como requisito para
obteno do grau de Engenheiro Civil.
Orientador: Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota
B199a Barbosa, Marcelo Diego de Almeida
Anlise de flechas em vigas de concreto armado / Marcelo Diego de Almeida Barbosa.
85f: il. color. enc.
Orientador: Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota
rea de concentrao: Anlise de Estruturas
Monografia (graduao) - Universidade Federal do Cear,
Centro de Tecnologia. Depto. de Engenharia Estrutural e Construo
Civil , Fortaleza, 2010.
1. Concreto armado 2. Estruturas de concreto I. Mota, Joaquim Eduardo (orient.) II. Universidade Federal do Cear Curso de Engenharia Civil III.Ttulo
CDD 620
FORTALEZA
2010
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iv
Aos meus pais,
Telmo Barbosa e Maria das Graas de Almeida Barbosa
Por todo incentivo e amor.
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AGRADECIMENTOS
A DEUS, que me deu vida e inteligncia, e que me d fora para continuar a
caminhada em busca dos meus objetivos.
Aos meus pais Telmo Barbosa e Maria das Graas de Almeida Barbosa, pelo
amor que me dedicaram e em especial a minha me, por ser um exemplo para mim e nunca
medir esforos em superar os obstculos enfrentados.
Aos meus irmos Mrcio Talvany de Almeida Barbosa e a Telma Patricia de
Almeida Barbosa, por sempre serem meu apoio nos momentos difceis e por me ensinarem os
reais valores da vida.
minha namorada, Smara Ribeiro e Silva pela pacincia, incentivo e pelo apoio
incondicional ao longo da graduao.
Ao professor Dr. Joaquim Eduardo Mota, pela orientao, pelos conhecimentos
transmitidos e sem sua importante ajuda esse trabalho no teria sido concretizado.
Ao engenheiro Dcio Carvalho, por ter aberto as portas de sua empresa, por ter
transmitido o seu enorme conhecimento e por ter colaborado na concretizao desse sonho.
Ao amigo e colega de trabalho, Thiago Bruno Reis de Azevedo pela sua enorme
pacincia, boa vontade em transmitir seu conhecimento e pela amizade adquirida ao longo dos
anos.
Aos amigos Vitor Rocha Holanda, Justino Caf Leito, Pedro Campelo Nogueira,
Marconi Nunes Santana, Joaquim Umbelino Neto pelo apoio nessa caminhada e em especial
ao grande amigo Rgis Bezerra de Oliveira pela amizade, incentivo e companheirismo ao
longo da graduao.
Aos Senhores, Rmulo Csar Estevam Angelim e Jos Heli Leite Santiago por
terem sido os responsveis em despertar meu interesse em fazer o curso de Engenharia Civil.
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RESUMO
Nos dias de hoje pode-se atingir um alto nvel de refinamento na anlise
estrutural, sendo cada vez mais comum a utilizao de modelos numricos que consideram a
no- linearidade fsica dos materiais, a fissurao, a fluncia, a retrao do concreto, o
comportamento elasto-plstico da armadura, alm da influncia do processo construtivo no
comportamento da estrutura.
Neste trabalho ser apresenta-se a formulao simplificada da NBR 6118:2003
item 17.3.2.1: Avaliao aproximada de flechas em vigas e avalia-se sua eficincia no
clculo de flechas pela comparao com resultados obtidos por mtodos numricos mais
refinados e comparados ao modelo simplificado da NBR 6118:2003. Elaborou-se uma
planilha em Excel que serviu de base para a obteno desses dados. O modelo no linear mais
refinado utilizado o programa CONSNOU.
Para uma avaliao mais refinada das flechas em vigas de concreto armado
utilizou-se o programa computacional denominado CONSNOU desenvolvido pelo Professor
Antonio R. Mar do Departamento de Engenharia da Universidade Politcnica da Catalunha
Barcelona/Espanha. Este programa permite considerar os efeitos da fluncia, fissurao,
retrao e da colaborao do concreto tracionado entre as fissuras para a rigidez flexo dos
elementos. Esse programa serviu de base para a comparao dos resultados obtidos pela
formulao da NBR6118:2003.
Palavras-chave: flechas em vigas; concreto armado; anlise-estrutural; NBR 6118:2003.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Deslocamentos de vigas sobre carregamento distribudo.................... 5
Figura 2.2 - Diagrama tenso deformao do concreto...................................... 7
Figura 2.3 - Ensaio de trao direta....................................................................... 9
Figura 2.4 - Ensaio de trao por compresso diametral....................................... 10
Figura 2.5 - Ensaio de trao na flexo.................................................................. 10
Figura 2.6 - Comportamento do concreto na flexo pura (Estdio I).................... 12
Figura 2.7 - Comportamento do concreto na flexo pura (Estdio II)................... 12
Figura 2.8 - Comportamento do concreto na flexo pura (Estdio III).................. 13
Figura 2.9 - Diagrama Retangular.......................................................................... 14
Figura 2.10 - Exemplo de distribuio das fissuras de uma viga........................... 14
Figura 2.11 - Retrao do concreto........................................................................ 15
Figura 2.12 - Reversibilidade da retrao.............................................................. 17
Figura 2.13 - Fluncia do concreto........................................................................ 17
Figura 2.14 - Reversibilidade da fluncia.............................................................. 18
Figura 2.15 - Acrscimo de deformao devido fluncia................................... 19
Figura 2.16 - Seo Retangular no Estdio I......................................................... 21
Figura 2.17 - Seo Retangular no Estdio II........................................................ 22
Figura 2.18 - Limite do momento de fissurao.................................................... 23
Figura 2.19 - Valores do coeficiente ................................................................... 27
Figura 2.20 - Flecha imediata para as cargas quase permanentes pelos diferentes
mtodos..................................................................................................................
27
Figura 2.21 - Flecha total pelos diferentes mtodos.............................................. 29
Figura 2.22 - Dano em elementos no estruturais................................................... 31
Figura 3.1 - Grfico do deslocamento x limite..................................................... 57
Figura 3.2 - Grfico do deslocamento x parcela de carga acidental e permanente 58
Figura 3.3 - Grfico do deslocamento x tempo de aplicao das cargas............... 59
Figura 3.4 - Grfico do deslocamento x base da viga........................................... 61
Figura 3.5 - Grfico do deslocamento x altura da viga......................................... 62
Figura 3.6 - Grfico do deslocamento x armadura de compresso........................ 63
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Figura 3.7 - Grfico do deslocamento x vo da viga............................................. 64
Figura 3.8 - Grfico do deslocamento x Fck.......................................................... 65
Figura 4.1 - Deslocamento linear x no linear....................................................... 68
Figura 4.2 Fluxograma simplificado do programa CONSNOU........................ 71
Figura 4.3 Grfico de deslocamento NBR 6118:2003 x CONSNOU............... 71
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LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 Valores do coeficiente em funo do tempo ................................. 28
Tabela 2.2 Limites para deslocamentos ............................................................. 32
Tabela 2.3 - Valores de 1 e 2.............................................................................. 37
Tabela 3.1 - Exemplo da guia de clculo da planilha em Excel............................. 49
Tabela 3.2 Exemplo da guia dados e resultados em Excel................................. 50
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SUMRIO
1. INTRODUO ................................................................................................................ 1
1.1. Aspectos gerais ........................................................................................................... 1
1.2. Justificativa ................................................................................................................. 2
1.3. Objetivos ..................................................................................................................... 3
1.4. Organizao do trabalho ........................................................................................... 4
2. CLCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO ..... 5
2.1 Introduo .................................................................................................................. 5
2.2 Variveis que influem nos deslocamentos ............................................................... 6
2.2.1 Propriedades do concreto.................................................................................... 6
2.2.2 Fissurao ......................................................................................................... 11
2.2.3 Retrao ............................................................................................................ 15
2.2.4 Fluncia ............................................................................................................ 17
2.3 Clculo dos deslocamentos ...................................................................................... 20
2.3.1 Consideraes iniciais ...................................................................................... 20
2.3.2 Clculo dos deslocamentos imediatos .............................................................. 26
2.3.3 Clculo dos deslocamentos diferidos ............................................................... 28
2.4 Controle dos deslocamentos .................................................................................... 30
2.4.1. Metodologia do controle de deslocamentos ..................................................... 31
2.4.2. Adoo de medidas para o controle de deslocamentos excessivos .................. 35
2.5 Consideraes de aes ............................................................................................ 36
2.5.1 Classificaes das aes ................................................................................... 36
2.5.2 Combinaes de aes ...................................................................................... 37
2.6 Consideraes finais ................................................................................................ 38
3. ANLISE DE FLECHAS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO ....................... 40
3.1 Introduo ..................................................................................................................... 40
3.2 Clculo de flechas em vigas de concreto armado....................................................... 40
3.2.1 Exemplo 1 ................................................................................................................ 40
3.2.2 Exemplo 2 ................................................................................................................ 45
3.3 Clculo de flechas em vigas de concreto armado utilizando o Excel .................. 49
3.3.1 Introduo ................................................................................................................ 49
3.3.2 Clculo de flechas em vigas de concreto armado utilizando o Excel ...................... 49
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xi
3.3.3 Anlise de variveis que influem nos deslocamentos de vigas de concreto
armado...............................................................................................................................57
3.4 Consideraes finais ..................................................................................................... 66
4. ANLISE NUMRICA DO PROGRAMA CONSNOU ............................................ 67
4.1 Aspectos gerais .............................................................................................................. 67
4.2 Anlise no linear ......................................................................................................... 68
4.2.1 No linearidade fsica .............................................................................................. 69
4.2.2 No linearidade geomtrica ..................................................................................... 70
4.2 Programa CONSNOU .................................................................................................. 70
4.3 Anlise numrica .......................................................................................................... 72
4.4 Consideraes finais ..................................................................................................... 74
5. CONCLUSES ............................................................................................................... 75
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1. INTRODUO
1.1. Aspectos gerais
Com o progresso das construes, tanto na agilidade dos processos construtivos
quanto na evoluo dos projetos estruturais, as edificaes deixaram de ser robustas e
passaram a ser mais esbeltas. A altura desses empreendimentos tambm acompanhou essas
modificaes, onde temos estruturas bem mais verticalizadas. Esses fatores, anteriormente
citados, podem ser atribudos ao aprimoramento das tcnicas de anlise estrutural e
desenvolvimento das tecnologias dos materiais utilizados na construo civil.
Entretanto, surgiram novos problemas nas construes. Pois, como essas
estruturas antigamente eram robustas, as vigas no apresentavam problemas de deslocamentos
excessivos devido a essa elevada rigidez. A consequncia foi um maior nvel de fissurao
das peas, diminuindo sua rigidez e conseqentemente aumentando os deslocamentos. Por
isso, a questo do controle de fissurao e o controle de deslocamentos vm sendo cada vez
mais importante no desenvolvimento de projetos nos dias de hoje.
Foi introduzido um maior cuidado na construo civil chamado de durabilidade.
De acordo com o item 6.1 da NBR 6118:2003: As estruturas de concreto devem ser
projetadas e construdas de modo que sob as condies ambientais previstas na poca do
projeto e quando utilizadas conforme preconizados em projeto conservem sua segurana,
estabilidade e aptido em servio durante o perodo correspondente a sua vida til. Onde
entendemos que vida til o perodo que a estrutura mantm as mesmas caractersticas
iniciais definidas em projeto.
Os deslocamentos excessivos so um exemplo de prejuzo s estruturas em
servio, em que os danos vo alm de efeitos na sua prpria funcionalidade e esttica, como a
de outros elementos, estruturais ou no que a eles estejam ligados. Podemos citar como
exemplos desses tipos de danos o mau funcionamento de portas e janelas, o acmulo de gua
em lajes de cobertura e marquises e a vibrao excessiva em lajes de piso. Esses danos
anteriormente citados no tm relao com a segurana, porm os efeitos que eles podem
causar so de desconforto e desconfiana aos usurios.
Sendo assim, todo engenheiro dever preocupar-se tanto em garantir a segurana
da estrutura runa quanto ao comportamento da estrutura em servio, pois estes esto
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intimamente ligados ao bom funcionamento e desempenho da edificao. Kimura (2009)
alerta que quando um estado limite de servio (ELS) alcanado, o uso da edificao
inviabilizado, da mesma forma quando um estado limite ltimo (ELU) atingido.
1.2. Justificativa
A evoluo das estruturas de concreto armado possibilitou a diminuio das
sees transversais das vigas, das espessuras das lajes. Com isso, mesmo tendo uma maior
eficincia as estruturas tornam-se mais flexveis e tornam o problema dos deslocamentos
excessivos mais comuns. Portanto, a avaliao das estruturas em servio torna-se
imprescindvel para o bom funcionamento da edificao.
Nesse contexto, as normas vm cada vez mais exigindo o atendimento s
verificaes das peas em servio: na fissurao, nas deformaes excessivas e vibraes.
Para isso, essas normas especificam faixas de valores limites nos quais as peas devero
atender. Para os deslocamentos de peas fletidas dois critrios podero ser atendidos: ou a
adoo de altura mnima, ou a verificao dos deslocamentos comparados aos seus valores
limites.
Segundo Guarda (2005), no primeiro critrio, se a altura de um elemento for
superior a um determinado limite, que deve ser respeitado independentemente da altura
requerida pelo dimensionamento flexo, pode-se admitir que seus deslocamentos no
causaro danos edificao. Alguns desses critrios de altura mnima so bastante simples,
essencialmente empricos e baseados na experincia adquirida ao longo do tempo, para cada
tipo de elemento estrutural. Outros, propostos por estudos mais recentes, j tem abordagens
mais racionais, mas mesmo assim fornecem expresses muito complexas. Diante disso,
percebe-se a convenincia de se desenvolverem novos critrios de altura mnima, de aplicao
prtica, que consigam dosar as simplificaes e a necessidade de se considerarem diversos
fatores importantes para o estudo dos deslocamentos.
J na verificao de deslocamentos comparados aos seus valores limites, pode ser
feito de diversas maneiras. Alguns mtodos possuem resultados mais aproximados, pois no
levam em considerao alguns fatores que influem diretamente nos resultados finais desses
deslocamentos, j outros modelos mais refinados consideram alguns efeitos no contemplados
pelos mtodos simplificados. O processo de clculo de flechas da norma NBR 6118: 2003
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leva em considerao apenas alguns desses fatores e com uma abordagem simplificada,
variveis essas que sero melhores discutidas posteriormente.
Dentro dessa tica, necessrio avaliar os mtodos para obteno de flechas
atualmente utilizados, compar-los a modelos tericos mais realistas e a modelos
experimentais. Em seguida, devem-se ajustar os modelos simplificados e calibr-los a
modelos mais realistas para obteno de resultados mais satisfatrios.
1.3. Objetivos
O objetivo geral deste trabalho apresentar a formulao da NBR 6118:2003, no
item 17.3.2.1, avaliao aproximada de flechas em vigas. Utilizando-se de uma planilha que
automatize esse processo na obteno das flechas.
Os objetivos especficos so:
Elaborar uma planilha no Excel para que se obtenham as flechas em
vigas de forma mais rpida;
Apresentar alguns exemplos de clculo de flechas em vigas utilizando
o modelo proposto pela NBR 6118:2003;
Utilizar o programa CONSNOU de anlise no-linear para obter as
flechas pelo modelo no-linear mais refinado;
Comparar os resultados obtidos pelo mtodo da NBR 6118:2003 e pelo
programa CONSNOU;
Analisar as possveis causas das divergncias nos resultados entre
esses dois modelos e sugerir qual medida corretiva dever ser tomada
no sentido de adotar um resultado mais prximo do real;
Analisar as vantagens e desvantagens do modelo adotado pela NBR
6118:2003.
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1.4. Organizao do trabalho
O primeiro captulo trata da contextualizao do problema, justificativa e
objetivos.
O segundo captulo apresenta um resumo detalhado de como obter as flechas
imediatas e diferidas no tempo em vigas de concreto armado, utilizando o mtodo de
avaliao aproximada da NBR 6118:2003, bem como os conceitos dos efeitos que afetam os
deslocamentos como: fluncia, retrao, fissurao.
No terceiro captulo, apresentaremos de forma sucinta a forma como foi elaborada
a planilha em Excel que ser utilizada para obteno de flechas em vigas de concreto armado
e tambm alguns exemplos de clculo de flechas em vigas de concreto armado. Em seguida
analisaremos os deslocamentos avaliando as variveis que os influem.
No quarto captulo sero apresentadas as bases do programa computacional
CONSNOU, fundamentado no mtodo dos elementos finitos, que foi empregado na anlise
numrica. Ainda neste captulo, ser apresentada uma avaliao do programa computacional
atravs da simulao de modelos reais utilizados para validarem a preciso desse programa.
Por fim, no quinto captulo, sero apresentadas as concluses, algumas
consideraes finais sobre as anlises realizadas e sugestes para nova pesquisa.
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2. CLCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO
2.1 Introduo
Este captulo aborda alguns conceitos bsicos relevantes como a definio de
viga, os tipos de deslocamentos, as combinaes de carregamento, apresenta tambm o estado
limite de servio (ELS-DEF), os conceitos de fluncia, retrao, fissurao, suas influncias
nos deslocamentos e os mtodos simplificados para avaliao de flechas em vigas de concreto
armado.
Um conceito que devemos ter bem definido a definio de viga. De acordo com
o item 14.4.1.1 da NBR 6118:2003, vigas so elementos lineares em que a flexo
preponderante. Elementos lineares so aqueles em que o comprimento longitudinal supera em
pelo menos trs vezes a maior dimenso da seo transversal, sendo tambm denominada de
barras.
Em uma estrutura que est solicitada por foras, os seus membros sofrem
deformaes e deslocamentos, isto , os pontos dentro da estrutura deslocam-se para novas
posies, com exceo dos pontos de apoios no deslocveis. Esses deslocamentos podem ser
de translao, de rotao, ou uma combinao de ambos (GERE; WEAVER, 1987).
Em nosso estudo iremos avaliar os deslocamentos de translao. Onde, esse
deslocamento pode ser divido em deformao imediata e deformao diferida. Os
deslocamentos imediatos podem ser denominados tambm de iniciais e surgem logo aps a
aplicao dos carregamentos. J a deformao diferida ou deformao lenta ocorrem ao passar
do tempo, conforme ilustrado na Figura 2.1. A soma dessas duas parcelas de deslocamentos
conduz a flecha final.
Figura 2.1 - Deslocamentos de vigas sobre carregamento distribudo Fonte: ALVA (2010).
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2.2 Variveis que influem nos deslocamentos
Vrios so os fatores que exercem influncia, em maior ou menor escala, sobre a
ordem de grandeza dos deslocamentos. Como menciona o ACI 435.2R (1966), podem ser
citados, dentre outros: o tipo, a grandeza e o histrico do carregamento; o vo e as condies
de apoio do elemento estrutural; as propriedades geomtricas de sua seo transversal; as
propriedades dos materiais utilizados; a fissurao, a retrao e a fluncia do concreto; as
taxas de armadura de trao e de compresso e o processo de execuo da estrutura. Algumas
dessas variveis tm uma influncia maior e outras uma preponderncia menor. Podemos citar
fatores que afetam de maneira diretamente proporcional os deslocamentos como o vo da viga
e o carregamento. J os que implicam em alteraes de menor magnitute so a taxa de
armadura de compresso, que, na realidade interfere na retrao, a alterao da largura da
viga. Algumas dessas variveis sero abordadas a seguir.
2.2.1 Propriedades do concreto
Algumas propriedades do concreto apresentam interferncia direta no clculo de
deslocamentos de vigas em concreto armado. De acordo com a NBR 6118:2003, o mdulo de
elasticidade e a taxa de armadura trao so alguns exemplos de fatores que colaboram
diretamente para a variao nos deslocamentos. Outros fatores que podem ser citados, porm
de uma forma indireta so a resistncia compresso, a armadura de flexo, a fissurao, a
retrao e a fluncia. A seguir, algumas dessas variveis sero descritas.
A. Resistncia compresso
Denominada de Fc. a principal caracterstica do concreto, a qual determinada
pelo ensaio de corpos de prova submetidos compresso centrada. Esse ensaio
regulamentado pela NBR 12654:1992 Controle tecnolgico de materiais componentes de
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concreto. No Brasil, utilizam-se corpos de prova (CPs) cilndricos, com dimetro da base de
15 cm e altura de 30 cm e tambm corpos de prova com base de 10 cm e altura de 20 cm. A
resistncia compresso do concreto deve ser relacionada idade de 28 dias (NBR
6118:2003, item 8.2.4) e ser estimada a partir do ensaio de determinada quantidade de corpos
de prova.
Diversos fatores que afetam os deslocamentos nas peas de concreto armado esto
ligados ao Fck. Podemos citar o mdulo de elasticidade, consequentemente a rigidez da
estrutura e a rigidez trao, pois ao aumentar o Fck implicar em um valor mais elevado de
resistncia trao e, por conseguinte num aumento do momento de fissurao, elevando esse
fator para um valor superior. Entretanto, Guarda (2005) alerta que a diminuio dos
deslocamentos no tem a mesma proporo do aumento da resistncia do concreto
compresso, e tambm que, se esse aumento for obtido a partir de um consumo muito elevado
de cimento, os benefcios decorrentes da resistncia mais alta podem at ser anulados pelo
crescimento da retrao qumica.
B. Mdulo de elasticidade
uma constante da relao tenso-deformao do concreto quando esta mantiver-
se comportando-se de maneira elstico-linear. Porm o concreto comporta-se de maneira no
linear quando submetido a esforos de certa magnitude. Esse comportamento consequncia
da microfissurao progressiva que ocorre na interface entre o agregado grado e a pasta de
cimento. O diagrama da Figura 2.2 representa o comportamento dessa relao tenso x
deformao.
Figura 2.2 Diagrama tenso deformao do concreto Fonte: NBR 6118 (2003)
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Onde o mdulo tangente Eci representa a inclinao da reta que passa pela origem
e a corta no diagrama no ponto correspondente a uma tenso da ordem de 0,5 fc, sendo fc a
resistncia compresso simples. Superando o valor de 0,5 fc passar a ser utilizado o
mdulo de elasticidade secante Eci.
A determinao experimental do mdulo de deformao do concreto prevista em
norma especfica, a NBR 8522: 1994: Concreto Determinao do mdulo de deformao
esttica e diagrama tenso-deformao Mtodo de ensaio. Na falta de determinao
experimental e no existindo dados precisos sobre a resistncia recomenda-se adotar a idade
do concreto a 28 dias.
Pela NBR 6118:2003, item 8.2.8, o mdulo de elasticidade tangente inicial do
concreto estimado pela expresso seguinte, com fc e Eci na unidade MPa.
(2.1)
Para verificaes de peas em servio, pode ser adotado o chamado mdulo de
elasticidade secante, compresso e trao, multiplicando por 0,85 o mdulo tangente da
equao 2.1. Esse mdulo secante adotado na maioria das estruturas como um valor
representativo para as tenses atuantes.
(2.2)
Portanto, essa varivel atua de maneira diretamente proporcional nas flechas em
vigas de concreto armado. Pois, a rigidez de uma estrutura definida pelo produto da inrcia
com o mdulo de elasticidade e quanto maior for esse produto, mais rgida ficar a pea e o
resultado das flechas ser inversamente proporcional a esse produto.
C. Resistncia trao (fct)
importante no estudo de deslocamentos em peas de concreto armado, onde
indica o incio da fissurao. Com o aparecimento dessas fissuras h uma diminuio do valor
da rigidez e o aumento dos deslocamentos. O concreto possui resistncia preponderante
compresso, j a resistncia trao para concretos convencionais da ordem de grandeza de
1/10 de sua capacidade a compresso.
Alguns estudos apontam a importncia de considerar a resistncia trao.
Stramandinoli (2010) indica que mesmo aps o incio da fissurao, o concreto tracionado
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entre fissuras tem papel importante na resistncia do elemento, devido transferncia de
tenses causadas pela aderncia entre ao e concreto. Este efeito conhecido como tension-
stiffening ou enrijecimento trao. Onde a formulao de Branson que ser descrita
posteriormente leva de forma simplificada a considerao desse efeito.
Para a determinao dessa resistncia existem trs tipos de ensaios normatizados:
trao direta, compresso diametral e trao na flexo. Esses trs tipos de ensaios sero
descritos logo abaixo.
I Trao direta
Neste ensaio, considerado de referncia, a resistncia trao, fct, determinada
aplicando-se trao axial, at a ruptura, em corpos de prova de concreto simples conforme
apresentado na Figura 2.3. A seo central retangular, medindo 9 cm por 15 cm e as
extremidades so quadradas, com 15 cm de lado.
Figura 2.3 - Ensaio de trao direta Fonte: PINHEIRO (2007)
II Ensaio de trao na compresso diametral
o ensaio mais utilizado. Tambm conhecido internacionalmente como ensaio
brasileiro, em virtude de ter sido desenvolvido pelo brasileiro Lobo Carneiro, em 1943. Esse
ensaio consiste na utilizao de um corpo de prova com dimenses de 15 cm por 30 cm,
colocado com o eixo horizontal entre os pratos da prensa, conforme ilustrado na Figura 2.4,
sendo aplicada uma fora at a sua ruptura por trao indireta, tambm conhecida por
fendilhamento.
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Figura 2.4 Ensaio de trao por compresso diametral Fonte: PINHEIRO (2007)
O valor da resistncia trao por compresso diametral, fct,SP, encontrado neste
ensaio, um pouco maior que o obtido no ensaio de trao direta. Este ensaio simples de ser
executado e fornece resultados mais uniformes do que o da trao direta. Esse ensaio est
descrito na NBR 7222:1994.
III Ensaio de trao na flexo
Para a realizao desse ensaio, utiliza-se um corpo de prova de seo prismtica e
o submete flexo com carregamentos em duas sees simtricas at a ruptura, ver Figura
2.5. Esse ensaio tambm conhecido por carregamentos nos teros, pelo fato das sees
carregadas se encontrarem nos teros dos vos.
Os valores encontrados para a resistncia trao na flexo, fct, f, so maiores
que os encontrados nos ensaios descritos anteriormente. Esse ensaio descrito na NBR
12142:1991.
Figura 2.5 - Ensaio de trao na flexo Fonte: PINHEIRO (2007)
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A NBR 6118:2003 recomenda que para a obteno da resistncia trao direta
fct, pode ser considerada igual a 0,9 fct, SP ou 0,7 fct, f, ou na falta de ensaios para a
obteno de fct,SP e fct,f, pode ser avaliado o seu valor mdio ou caracterstico por meio das
equaes seguintes:
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Onde:
fct,m e fck so expressos em megapascal.
Sendo 7 MPa, estas expresses podem tambm ser usadas para idades diferentes de 28
dias.
2.2.2 Fissurao
uma caracterstica do concreto, ou seja, durante a vida til de uma estrutura e
mesmo durante sua construo, se atuar um carregamento que provoque um estgio de
fissurao a rigidez correspondente a esse estgio ocorrer para sempre. Com a diminuio da
intensidade do carregamento, as fissuras podem at fechar, porm jamais deixaro de existir.
O grau de fissurao de uma estrutura de concreto armado depender do nvel de
carregamento que estiver atuando na prpria pea, da qualidade do concreto, da quantidade de
armadura na pea, das condies de cura, da desforma e reescoramento. As diversas fases
pelas quais passa a seo de concreto, ao longo desse carregamento, d-se o nome de estdios.
Essas fases so divididas em trs etapas: Estdio I, Estdio II e Estdio III. (PINHEIRO ,
2007) apresenta essas trs fases da seguinte forma:
1) Estdio I:
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Esta fase corresponde ao incio do carregamento. As tenses normais que surgem
so de baixa magnitude e dessa forma o concreto consegue resistir s tenses de trao. Tem-
se um diagrama linear de tenses, ao longo da seo transversal da pea (Figura 2.6).
Figura 2.6 Comportamento do concreto na flexo pura (Estdio I) Fonte: PINHEIRO (2007)
Levando-se em considerao a baixa resistncia do concreto trao, se
comparada com a resistncia compresso, percebe-se a inviabilidade de um possvel
dimensionamento neste estdio.
O limite entre o estdio I e II feito pelo clculo do momento de fissurao, onde
esse clculo ser apresentado posteriormente. A partir do conhecimento do momento de
fissurao, possvel calcular a armadura mnima, de modo que esta seja capaz de absorver,
com adequada segurana, as tenses causadas por um momento fletor de certa magnitude.
Portanto, o estdio I termina quando a seo fissura.
2) Estdio II:
Neste nvel de carregamento, o concreto no mais resistente trao e a seo se
encontra fissurada na regio de trao. A contribuio do concreto tracionado deve ser
desprezada, apesar de existir certa resistncia. No entanto, a parte comprimida ainda mantm
um diagrama linear de tenses (Figura 2.7).
-
13
Figura 2.7 Comportamento do concreto na flexo pura (Estdio II) - Fonte: PINHEIRO (2007)
Basicamente, o estdio II serve para a verificao da pea em servio. Como
exemplos, citam-se o estado limite de abertura de fissuras e o estado limite de deformaes
excessivas, que ser objeto de estudo.
Com a evoluo do carregamento, as fissuras caminham no sentido da borda
comprimida, a linha neutra tambm e a tenso na armadura cresce, podendo atingir o
escoamento ou no.
O estdio II termina com o incio da plastificao do concreto comprimido.
3) Estdio III:
No estdio III, a zona comprimida encontra-se plastificada e o concreto dessa
regio est na iminncia da ruptura (Figura 2.8). Admite-se que o diagrama de tenses seja da
forma parablico-retangular, tambm conhecido como diagrama parbola-retngulo.
A NBR 6118:2003 permite, para efeito de clculo, que se trabalhe com um
diagrama retangular equivalente (Figura 2.9). A resultante de compresso e o brao em
relao linha neutra devem ser aproximadamente os mesmos para os dois diagramas.
-
14
Figura 2.8 Comportamento do concreto na flexo pura (Estdio III) Fonte: PINHEIRO (2007)
Figura 2.9 Diagrama Retangular Fonte: PINHEIRO (2007)
Deve-se ressaltar que os deslocamentos em peas de concreto armado so
inversamente proporcionais aos valores da rigidez, onde a mesma varia de acordo com o grau
de fissurao da estrutura.
Guarda (2005) alerta que ao longo de uma viga com carregamento uniformemente
distribudo, as vigas de concreto armado apresentam regies mais fissuradas e outras
praticamente sem fissuras, onde esse agravamento se evidencia em regies onde haja maiores
momentos fletores (Figura 2.10) que o caso no meio de uma viga. Este comportamento pode
ser observado nas sees prximas aos apoios, onde os momentos fletores tendem a zero, no
apresentam fissuras, j na regio do meio do vo, onde os valores dos momentos so mais
altos, as sees esto bastante fissuradas.
Figura 2.10 Exemplo de distribuio das fissuras de uma viga Fonte: GUARDA (2005)
-
15
Portanto, a seo onde apresenta menor rigidez aquela localizada na posio de
uma fissura e analogamente ocorrer um valor de rigidez maior no local onde a pea estiver
sem fissura. Diante disso, percebemos que o mdulo de elasticidade varia de acordo com o
grau de fissurao da pea e torna-se necessrio a avaliao cuidadosa das fissuras para se
obter de forma mais aproximada a rigidez a flexo e avaliar a magnitude de deslocamentos
nas vigas de concreto armado.
2.2.3 Retrao
A retrao do concreto um fenmeno bastante comentado, mas pouco
compreendido. Diversos autores definem retrao da mesma forma, como sendo uma
diminuio do volume de um elemento, provocando o surgimento de deformaes e esforos
adicionais na estrutura. Sendo mais significativa em peas com grandes volumes (Figura
2.11). Essa deformao atinge 80% do seu valor logo no primeiro ano do incio desse
processo.
Figura 2.11 - Retrao do concreto Fonte: KIMURA (2007)
Sua magnitude afetada por diversos fatores, podendo-se citar os materiais
constituintes e a dosagem do concreto, o tempo, as condies ambientais de umidade e
temperatura, a geometria do elemento estrutural, a idade do concreto quando comea o
processo de secagem e a quantidade de armadura de compresso e trao.
Dos fatores anteriormente citados, trs dessas variveis combinadas levam o
concreto a retrair, podemos citar cada um deles em especfico.
-
16
A geometria do elemento estrutural nas peas com elevada relao entre a
superfcie exposta e o volume total da pea, tais como pisos, pavimentos e lajes de concreto, a
perda de gua para o ambiente se d de maneira muito rpida. Ora, se a retrao do concreto
est relacionada perda de gua e se este tipo de estrutura est mais vulnervel a esta perda
intuitivo pensar que lajes, pisos e pavimentos de concreto naturalmente sofrem mais com a
retrao do concreto. As dimenses das placas de concreto cada dia maiores e a execuo
cada vez mais esbeltas tornam os pisos e pavimentos extremamente suscetveis aos efeitos da
retrao do concreto.
Outro fator o trao do concreto, uma vez que diversos fatores relacionados aos
materiais que compem o concreto e suas combinaes podem influenciar a retrao do
concreto, principalmente a retrao por secagem. O tipo, a granulometria e a dimenso
mxima do agregado, a relao gua-cimento, a quantidade de gua de amassamento e o
emprego de adies minerais e aditivos qumicos so variveis importantes que afetam
fortemente a retrao do concreto. A literatura aponta que agregados com maior mdulo de
deformao conduzem a um menor grau de retrao. Deve-se empregar a menor quantidade
de gua de amassamento possvel, assim como se devem evitar agregados com excesso de
material pulverulento e argila. A distribuio granulomtrica contnua reduz a retrao do
concreto quando comparada com uma combinao de agregados midos e grados
inadequada.
E, por fim o terceiro fator que influi na magnitude da retrao so as condies
ambientais, pois a retrao do concreto est intimamente relacionada perda de gua para o
ambiente. Os principais fatores climticos que influenciam na sada de gua do concreto so a
alta temperatura, a baixa umidade do ar e a velocidade do vento que incide sobre a pea recm
concretada.
Esses fatores afetam diretamente no valor da retrao. Porm, a depender de sua
causa, podem ser definidos alguns tipos de retrao. So eles: a retrao plstica, a retrao
por carbonatao, a retrao qumica (ou endgena) e a retrao por secagem.
Depois que o concreto lanado nas formas, a sua superfcie fica sujeita
evaporao natural da gua, tanto maior quanto for a velocidade dos ventos, maior a
temperatura e menor a umidade do ambiente, como foi anteriormente citado. A consequente
perda de volume chamada de retrao plstica, por acontecer enquanto o concreto est no
estado plstico, da o nome de retrao plstica.
Outra denominao a retrao qumica. Ela acontece em todos os concretos
porque os produtos de hidratao do cimento tm menor volume que a soma dos volumes de
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17
gua e do cimento que os formam. Esse tipo de retrao ocorre desde os instantes da pega e se
prolonga durante toda a hidratao, sendo mais bem intensa nos primeiros dias.
J a retrao por carbonatao causada pela reao da pasta de cimento
hidratada com o dixido de carbono do ar, na presena de umidade. E por ltimo a retrao
por secagem pode ser definida com o a evaporao da gua no fixada quimicamente no
concreto, quando este exposto a um ambiente com umidade relativa menor que 100%.
Guarda (2005) alerta que quando um elemento de concreto for submetido a um
processo de molhagem, a retrao apresentar um certo grau de reversibilidade, como
indicado na Figura 2.12.
Figura 2.12 Reversibilidade da retrao Fonte: MEHTA & MONTEIRO (1994)
A influncia da retrao nos deslocamentos se deve tanto devido ao aumento das
fissuras como tambm porque geralmente a armadura de trao maior que armadura de
compresso, implica em um encurtamento devido retrao na regio tracionada menor que
na regio comprimida, fazendo com que surja uma curvatura adicional na mesma direo da
curvatura devida flexo. Provocando o aumento nos deslocamentos na pea de concreto
armado.
2.2.4 Fluncia
-
18
Para Kimura (2007), a fluncia consiste no aumento das deformaes no concreto,
que ocorrem ao longo do tempo de vida da estrutura, em virtude da aplicao de aes
permanentes (Figura 2.13).
Figura 2.13 - Fluncia do concreto Fonte: KIMURA (2007)
Segundo Carvalho & Filho (2007), fluncia o fenmeno em que surgem
deformaes ao longo do tempo em um corpo solicitado por tenso constante.
De acordo com Pinheiro (2007), esse fenmeno pode ser definido como uma
deformao diferida, causada por uma fora aplicada. Corresponde a um acrscimo de
deformao com o tempo, se a carga permanecer. Em linhas gerais, podemos definir fluncia
como um aumento gradual da deformao quando submetido a uma tenso constante ao longo
do tempo.
As parcelas das deformaes ocorridas por causa da fluncia podem ser
caracterizadas por: deformao rpida que ocorre nas primeiras 24 horas aps a aplicao do
carregamento e irreversvel. A fluncia composta por uma parte reversvel e outra
irreversvel. J essa parte parcialmente reversvel, que se inicia ao retirar o carregamento que
originou a deformao, uma parcela dessa deformao total restituda imediatamente, outra
parte restituda com o tempo e o restante torna-se permanente, como pode ser visto na
Figura 2.14.
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19
Figura 2.14 Reversibilidade da fluncia Fonte: MEHTA & MONTEIRO (1994)
Essa varivel tem sua magnitude ligada a diversos fatores, como podemos citar,
por exemplo: Tipo de cimento (endurecimento lento, normal ou rpido), tempo de
manuteno da carga, nvel de fissurao da pea, temperatura ambiente, umidade do ar que
envolve a pea, espessura da pea e o amadurecimento do concreto na data de carregamento.
Portanto, o deslocamento provocado por esse fenmeno varia de maneira inversamente
proporcional ao fator gua cimento e ao valor do mdulo de elasticidade de resistncia
compresso.
Com boa parte dos fatores sendo iguais na influncia das respectivas magnitudes,
retrao e fluncia so tratadas simultaneamente na anlise das deformaes, uma vez que em
estruturas reais esses dois tipos de deformaes ocorrem simultaneamente conveniente e
prtico trat-las em conjunto.
Porm, apesar de poder serem tratadas de maneira simultnea, fluncia e retrao
so fenmenos com bases conceituais distintas. Enquanto na retrao por secagem a origem
da perda de gua a diferena de umidade entre o elemento de concreto e o meio ambiente,
na fluncia, essa perda de gua est associada aplicao continuada de uma ao. Alm
disso, a durao e a intensidade das aes, bem como a idade do concreto ao primeiro
carregamento, so aspectos relevantes ao estudo da fluncia, mas que no influem na retrao.
Em suma, a fluncia propicia um acrscimo significativo das deformaes do
concreto, conforme representado na Figura 2.15. A considerao desse efeito obrigatria e
est especificado na NBR 6118:2003, onde a norma indica o processo para a obteno e a
forma de considerar esse efeito.
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20
Figura 2.15 Acrscimo de deformao devido fluncia Fonte: KIMURA (2007)
J a considerao desse efeito para os deslocamentos utilizado partindo-se de
uma combinao de carregamento quase-permanente, visto que parte da carga acidental atua
ao longo da vida til da edificao. Em seguida, na obteno da deformao lenta ou diferida
a NBR 6118:2003 sugere uma srie de valores que variam com o tempo para em seguida
multiplicar por um parmetro f(que varia com m tempo de aplicao das cargas) pela flecha
imediata. A maneira de obteno de flechas imediatas e diferidas ser abordada de forma mais
detalhada adiante.
2.3 Clculo dos deslocamentos
De acordo com as variveis anteriormente citadas, j temos idia dos fatores que
influem no resultado obtido para esses deslocamentos. Agora, partiremos para os mtodos
recomendados para obter os deslocamentos imediatos e diferido em vigas de concreto armado.
2.3.1 Consideraes iniciais
Nesta seo sero apresentadas algumas considerao para obteno da magnitude
dos deslocamentos em vigas de concreto armado e em seguida a formulao simplificada da
NBR 6118:2003.
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21
A) Seo transversal homogeneizada
A viga de concreto armado, assim como as outras estruturas de concreto armado,
comporta-se da mesma forma, com o ao e concreto trabalhando solidariamente, ou seja, para
garantir a segurana dessa pea necessrio que esses dois materiais estejam aderidos. Assim,
o centro de rotao da seo e sua rigidez so afetados pelo posicionamento da armadura, e
neste caso, deve ser feita a homogeneizao da seo, que consiste em substituir a rea de ao
existente na seo por uma rea de concreto equivalente, onde essa relao satisfeita
fazendo o produto da rea de ao presente na viga de concreto armado (As) pelo fator e
(Relao do mdulo de elasticidade do ao pelo mdulo de elasticidade do concreto).
Conforme foi comentado anteriormente, para avaliao dos deslocamentos em
vigas de concreto armado as estruturas em servio devem se comportar nos estdios I e II.
Logo, a homogeneizao da seo dever ser avaliada nessas duas condies, uma vez que
obtemos resultados diferentes j que no estdio I no ocorre fissurao e no estdio II h
fissuras.
i) Estdio I:
Como j havamos mencionado no estdio I o concreto resiste s tenses de
trao, uma vez que as tenses atuantes so inferiores a capacidade resistente do concreto.
Ento para uma seo retangular, a posio da linha neutra e o momento de inrcia so
calculados com base na Figura 2.16.
Figura 2.16 Seo Retangular no Estdio I Fonte: PINHEIRO (2007)
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22
Como vemos na Figura 2.16 uma seo transversal retangular de concreto armado,
composta por uma rea de concreto b h, e uma seo de concreto equivalente a do ao
igual a As (e 1). Diminui-se de -1 de e para considerar que na posio da armadura a rea
de concreto j foi computada uma vez no produto b h.
Portanto, para calcular a posio da linha neutra x1, basta fazer MLN=0, sendo Mln
o momento esttico da seo em relao linha neutra. Para a seo retangular da Figura 2.16
tem-se:
Es = 210 GPa = 210 000 MPa ( item 8.3.5 da NBR 6118:2003)
Ec = 0,85Eci = = 4760 (Em MPa), conforme comentado na seo do
mdulo de elasticidade do concreto.
Ento, para clculo da posio x1 da linha neutra resulta:
J para a mesma seo retangular da Figura 2.16, o momento de inrcia resulta:
ii) Estdio II:
J no estdio II o concreto tracionado desprezado, pois ele est fissurado (Figura
2.17).
Figura 2.17 Seo Retangular no Estdio II Fonte: PINHEIRO (2007)
-
23
Adotando a metodologia anloga ao do Estdio I, desprezando-se a resistncia do
concreto trao, tem-se para a seo retangular no Estdio II (Figura 2.17).
Portanto, a posio da linha neutra x2 obtida por meio da equao:
J para o momento de Inrcia I2, temos:
B) Momento de fissurao
Nos estados limites de servio as estruturas trabalham parcialmente no Estdio I
e parcialmente no Estdio II. A separao entre essas duas partes definida pelo momento de
fissurao (Figura 2.18). Definio da NBR 6118:2003, item 17.3.
J Vasconcelos (2005), define momento de fissurao como o momento fletor que
a seo transversal capaz de resistir sem a colaborao das barras das armaduras, sendo
determinado pela equao (2.12), considerando as hipteses das sees homogneas da
Resistncia dos Materiais e utilizando o mtodo de homogeneizao apresentado
anteriormente.
Figura 2.18 - Limite do momento de fissurao Fonte: PINHEIRO (2007)
A NBR 6118:2003, item 17.3 aponta que esse momento pode ser calculado pela
seguinte expresso aproximada:
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24
Onde:
o fator que correlaciona aproximadamente a resistncia trao na flexo com a
resistncia trao direta:
A resistncia do concreto trao direta, fct, obtida conforme o item 8.2.5 da
NBR 6118:2003. Para determinao de Mr, no estado limite de formao de fissura, deve ser
usado o fctk,inf e no estado limite de deformao excessiva, o fctm.
fct =
Onde:
Ic o momento de inrcia da seo bruta de concreto;
yt a distncia do centro de gravidade da seo fibra mais tracionada.
Para seo retangular, resulta:
yt = h-x = x (2.14)
C) Momento de inrcia efetivo
Na avaliao de flechas em vigas de concreto armado, podem ocorrer duas
situaes. Na primeira temos MaMr, j nesse caso a pea de concreto
armado se encontrar no Estdio II. Nessa situao, ao longo da seo da viga essa pea
trabalhar nesses dois estdios e com isso a viga estar fissurada. Essa fissurao afetar
diretamente a inrcia da viga. Desse modo, para no introduzir a variao de inrcia na pea
-
25
de concreto armado, necessrio utilizar uma inrcia equivalente que contemple tal situao
de maneira aproximada.
Branson (1968) realizou um estudo experimental em vigas retangulares e T,
submetendo-as a carregamentos uniformemente distribudos e de curta durao. A partir desse
ensaio, o autor props um modelo no qual admite uma nica inrcia para todo elemento de
concreto, representando os trechos fissurados e no-fissurados. Esse modelo baseia-se em um
mtodo semiprobabilstico, no qual toma a variao de tenso ao longo da seo transversal e
ao longo do comprimento de maneira simplificada, utilizando expresses empricas que
fornecem valores mdios de inrcia. Dessa forma, Branson procura simular aproximadamente
o efeito da fissurao do concreto, quando submetido flexo, no clculo das deformaes
imediatas.
Baseado nos resultados de seus ensaios e nos de outros pesquisadores, ele sugeriu
a utilizao de um valor mdio de momento de inrcia, compreendido entre o momento de
inrcia da seo no fissurada (Estdio I), e o da seo fissurada (Estdio II), chamado de
momento de inrcia efetivo, dado por:
Onde:
Im: Momento de inrcia efetivo para uma seo ou para toda a pea, no caso de vigas
simplesmente apoiadas; momento de inrcia mdio entre a seo do apoio e a seo do meio
do vo para o caso de vigas contnuas;
II : Momento de inrcia da pea no estdio I ( da seo bruta ou homogeneizada);
III : Momento de inrcia da pea no estdio II puro;
Mr: Momento de fissurao do concreto;
Ma: Momento atuante de servio mais solicitada; e
m: ndice de valor igual a 4, para situaes em que a anlise feita em apenas uma seo da
pea, ou igual a 3, quando se faz a anlise da pea ao longo de todo seu comprimento, que a
forma recomendada pela NBR 6118:2003.
Como havamos mencionado anteriormente, a NBR 6118:2003, item 17.3.2.1, na
avaliao aproximada da flecha imediata em vigas, foi feita uma adaptao da equao 2.15
para o clculo da rigidez equivalente de uma viga de concreto, adotando o ndice de valor 3.
Esse clculo de rigidez equivalente em vigas de concreto armado expresso por:
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26
Onde:
Ic : Momento de inrcia da seo bruta de concreto;
III : Momento de inrcia da pea no estdio II puro;
Mr: Momento de fissurao do concreto, expresso pela equao 2.12, que deve ser reduzido
metade para barras lisas;
Ma: Momento atuante de servio mais solicitada, momento mximo no meio do vo para
vigas biapoiadas e momento no apoio para balanos; e
Ecs: Mdulo de elasticidade secante de concreto, expresso pela equao 2.2.
2.3.2 Clculo dos deslocamentos imediatos
Partindo do conceito de flecha mencionado na seo 2.1. Discutiremos com mais
detalhes os tipos de flechas que ocorrem em vigas de concreto armado. Primeiramente
discutiremos o conceito de flecha imediata. Nesse trabalho a definio de flecha imediata ou
instantnea ser o mximo deslocamento que um ponto da pea sofre quando os escoramentos
so retirados ou logo aps a introduo de um carregamento permanente. Esse deslocamento
imediato funo, principalmente, do tipo e da grandeza do carregamento aplicado, do nvel
de fissurao, do comprimento do vo, das condies de apoio, das propriedades geomtricas
da seo transversal e das propriedades dos materiais, ao e concreto.
J Baroni (2003) define flecha imediata como o deslocamento transversal ao
longo do processo de aplicao do carregamento e depende das caractersticas fsico-
geomtricas da pea, inclusive tipo de carregamento.
O clculo da flecha imediata ou instantnea para vigas de concreto armado pode
ser efetuado atravs da expresso padro de elementos fletidos no fissurados, assumindo o
concreto armado como um material de comportamento elstico e linear, dada por:
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27
Onde:
fi = Flecha imediata;
Ma = Momento mximo fletor no vo l;
l = Comprimento do vo
(EI)eq = Rigidez equivalente, obtida a partir da equao 2.16
= Coeficiente que depende das condies de apoio e carregamento conforme Figura 2.19.
Figura 2.19 Valores do coeficiente Fonte: MERLIN (2006)
Onde o momento mximo da seo pode ser obtido por diversos mtodos de
anlise estrutural. O deslocamento mximo varia sua posio de acordo com as condies de
apoio, bem como o tipo de carregamento atuante. Nesse estudo no aprofundaremos esse
assunto, uma vez que o objetivo do estudo a anlise dos deslocamentos. A determinao do
momento mximo um valor que dever ser conhecido.
Arajo (2004) avaliou a preciso e a validade dos mtodos simplificados para
clculo de flechas em vigas de concreto armado, comparando ao modelo no linear mais
refinado. Para tal anlise, o mesmo utilizou o mtodo bilinear do CEB, uma frmula prtica
apresentada no cdigo modelo CEB-FIP/90 e o mtodo da ACI adotado na NBR 6118:2003.
Durante sua anlise o autor observou que para flechas imediatas todos os modelos
anteriormente citados apresentam uma boa concordncia entre os resultados (Figura 2.20).
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28
Figura 2.20 Flecha imediata para as cargas quase permanentes pelos diferentes mtodos Fonte: ARAJO
(2004)
As pequenas diferenas verificadas entre os diversos mtodos ocorrem devido s
diferentes consideraes para o momento de fissurao e para o mdulo de deformao
longitudinal do concreto.
2.3.3 Clculo dos deslocamentos diferidos
Aps a obteno do deslocamento imediato da viga de concreto armado, deve ser
determinado o deslocamento diferido no tempo que leva em considerao os efeitos de
fluncia e retrao. Devido influncia desses dois fatores a flecha diferida tende a ter,
geralmente, valores de deslocamentos superiores aos deslocamentos instantneos. Da sua
importncia.
Ento, para a obteno desses deslocamentos, a NBR 6118:2003 recomenda o
clculo da flecha adicional diferida (equao 2.19), decorrente das cargas de longa durao
em funo da fluncia, de uma forma aproximada por meio da multiplicao da flecha
imediata pelo fator f dado pela expresso abaixo:
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29
Onde:
fd = flecha diferida;
um coeficiente funo do tempo, que pode ser obtido diretamente na tabela 2.1 ou ser
calculado pelas seguintes expresses:
= (t) - (t0)
(t) = 0,68(0,996t)t0,32 para t 70 meses
(t) = 2 para t > 70 meses
Tabela 2.1 Valores do coeficiente em funo do tempo
Sendo:
t o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;
t0 a idade, em meses, relativa data de aplicao da carga de longa durao. No caso de
parcelas da carga de longa durao serem aplicadas em idades diferentes, pode-se tomar valor
para t0 o valor ponderado a seguir:
(2.21)
Onde:
ff flecha final;
Pi representa as parcelas de carga;
T0i a idade em que se aplicou cada parcela Pi, em meses.
O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1+f ).
Tempo (t) 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40
70 Meses
Coeficiente 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2
(t)
-
30
Em outros estudos, comparando outros modelos simplificados para clculo de
flechas em vigas de concreto armado, Arajo (2004) aproveitou os modelos utilizados para
avaliar as flechas em vigas instantneas para verificar a preciso de cada modelo para
deformao lenta (Figura 2.21).
Figura 2.21 Flecha total pelos diferentes mtodos Fonte: ARAJO (2004)
A partir da Figura 2.21, Arajo (2004) demonstra que o mtodo da NBR
6118:2003 no reproduz satisfatoriamente os efeitos das deformaes diferidas do concreto na
resposta das vigas de concreto armado. Segundo o autor, esse mtodo subestima as flechas
das vigas pouco solicitadas, quando elas ainda se encontram no estdio I, ou no incio do
estdio II. Por outro lado, o modelo da NBR 6118:2003 superestima as flechas das vigas mais
solicitadas, em um estado de fissurao mais adiantado. Logo, ele alerta para o emprego do
modelo da norma brasileira para clculo de flechas de vigas diferidas.
2.4 Controle dos deslocamentos
Vigas e lajes deformam-se naturalmente sob ao do peso prprio, das demais
cargas permanentes e acidentais e mesmo sob efeito da retrao e da deformao lenta do
concreto. Os componentes estruturais admitem flechas que podem no comprometer em nada
sua prpria esttica, a estabilidade e a resistncia da construo. Tais flechas, entretanto,
podem ser incompatveis com a capacidade de deformao das paredes e outros itens que
compem os edifcios de concreto armado.
-
31
Como havamos mencionado, com a evoluo das construes comearam a
surgir diversas manifestaes patolgicas nas peas de concreto armado. A partir de ento,
torna-se necessrio o controle dos deslocamentos nessas estruturas. Medeiros (2005) aponta
que durante essa evoluo houve um surgimento de fenmenos comuns como paredes de
vedao rompendo, trincas em alvenarias, entre outras. Portanto, para evitar esse tipo de
problema necessrio controlar esses deslocamentos dentro de limites aceitveis.
De acordo com Guarda (2005), o objetivo do controle dos deslocamentos se
garantir que uma estrutura ou um elemento estrutural, apesar de apresentar deslocamentos em
relao a sua posio inicial, possa atender a critrios mnimos de aceitao, tanto do ponto de
vista estrutural quanto esttico. A forma que iremos utilizar no presente trabalho a de
calcular esses deslocamentos, conforme foi apresentado anteriormente, e verificar os valores
limites para os deslocamentos.
Kimura (2009) escreve em seu artigo citando uma frase do Eng. Zamarion Diniz:
As flechas no so calculadas e sim estimadas! Analisar uma estrutura em servio no uma
tarefa fcil! Nenhuma exatido pode ser cobrada das formulaes atuais, por mais refinadas
que sejam. Entretanto, o autor alerta que essa premissa equivocada e busca incentivar aos
projetistas estruturais que busquem uma anlise mais refinada, pois muitas patologias surgem
em estruturas de concreto armado devido a aproximaes grosseiras.
Com as manifestaes patolgicas tornando-se cada vez mais comuns em peas de
concreto armado e mesmo alguns autores advertindo que impossvel obter o valor preciso
desses deslocamentos, ressaltamos que quo mais aproximado obtivermos esses valores e
tivermos os cuidados para que esses deslocamentos estejam dentro desses limites aceitveis,
mais rpido propiciaremos a atenuao dessas patologias. Portanto, ser utilizado nesse
trabalho o critrio de aceitao dos deslocamentos propostos pela NBR 6118:2003, item 13.3.
2.4.1. Metodologia do controle de deslocamentos
Em funo dos efeitos que esses deslocamentos podem causar nas edificaes, a
NBR 6118:2003 dividiu a avaliao dos deslocamentos em quatro grupos: aceitabilidade
sensorial, efeitos especficos, efeitos em elementos no estruturais e efeitos em elementos
estruturais. Esses valores limites, que sero em seguida descritos (tabela 2.1), so valores
-
32
prticos utilizados para a verificao de servio do estado limite de deformaes e tem
conduzido a resultados satisfatrios.
A) Aceitabilidade sensorial: Esto relacionados ao conforto dos usurios, onde nesse
grupo os limites so baseados nos efeitos visuais desconfortveis aos usurios e a
vibraes excessivas. Pois, esse desconforto sentido pelos usurios gera desconfiana
dos mesmos para com a segurana da estrutura, mesmo quando no existe esse tipo de
risco.
B) Efeitos especficos: So efeitos que possam impedir a utilizao adequada da
construo. Podemos citar alguns exemplos como: drenagem de superfcies que
deveriam permanecer horizontais (inverso da inclinao da drenagem prevista de
coberturas e varandas), superfcies que devem permanecer horizontais (ginsios, pistas
de boliche).
C) Efeitos em elementos no estruturais: So deslocamentos estruturais que podem
ocasionar o mau funcionamento de elementos que, apesar de no fazerem parte da
estrutura, esto a ela ligados. Exemplo disso o deslocamento excessivo de uma viga,
prejudicando o funcionamento de janelas (Figura 2.22).
Figura 2.22 Dano em elementos no estruturais Fonte: KIMURA (2007)
D) Efeitos em elementos estruturais: Os efeitos em elementos estruturais, causados por
deslocamentos excessivos, podem ser bastante significativos, principalmente quando
as hipteses de clculo adotadas e o comportamento previsto podem ser modificados.
Nesses casos, necessrio se incorporar os deslocamentos ao modelo utilizado para a
determinao dos esforos na estrutura.
Aps a apresentao das 4 classes, segue a tabela 2.2 da NBR 6118:2003 que sugere
os valores limites de deslocamentos em funo do tipo de efeito que deseja ser avaliado.
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33
Tabela 2.2 Limites para deslocamento Fonte NBR 6118:2003
Tipo de
Efeito
Razo da
limitao
Exemplo Deslocamento a
Considerar
Deslocamento
Limite
Aceitabilidade
sensorial
Visual Deslocamentos visveis
em elementos estruturais
Total l/250
Outro Vibraes sentidas no
piso
Devido a cargas
acidentais
l/350
Efeitos estruturais
em servio
Superfcies que
devem drenar
gua
Coberturas e varandas Total l/2501)
Pavimentos que
devem
permanecer
planos
Ginsios e pistas de
boliche
Total l/350+
Contraflecha2)
Ocorrido aps a
construo
l/600
Elementos que
suportam
equipamentos
sensveis
Laboratrios Ocorrido aps
nivelamento do
equipamento
De acordo com
recomendao do
fabricante do
equipamento
Efeitos em
elementos no
estruturais
Paredes Alvenaria, caixilhos e
revestimentos
Aps a construo
da parede
l/500 3)
ou 10mm
ou =0,0017 rad4)
Divisrias leves e
caixilhos de telescpios
Ocorrido aps a
instalao da
divisria
l/250 3)
ou 25mm
Movimento lateral de
edifcios
Provocado pela
ao do vento para
combinao
freqente (1=0,30)
H1700 ou Hi/8505)
entre pavimentos6)
Movimentos trmicos
verticais
Provocado por
diferena de
temperatura
l/4007)
ou 15mm
Forros Movimentos trmicos
horizontais
Provocado por
diferena de
temperatura
Hi/500
Revestimentos colados Ocorrido aps a
construo do forro
l/350
Revestimentos
pendurados ou com juntas
Deslocamento
ocorrido aps a
construo do forro
l/175
Pontes rolantes Desalinhamento de trilhos Deslocamento
provocado pelas
aes decorrentes
de frenao
H/400
Efeitos em
elementos
estruturais
Afastamento em
relao s
hipteses de
clculo adotadas
Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus
efeitos sobre as tenses ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser
considerados, incorporando-as ao modelo estrutural adotado.
-
34
Tabela 2.2 Limites para deslocamento Fonte NBR 6118:2003 - Continuao
1) As superfcies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto
compensado por contraflechas, de modo a no se ter acmulo de gua.
2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificao de
contraflechas. Entretanto, a atuao isolada da contraflecha no pode ocasionar um
desvio do plano maior que l/350.
3) O vo l deve ser tomado na direo na qual a parede ou a divisria se desenvolve.
4) Rotao nos elementos que suportam paredes.
5) H a altura total do edifcio e Hi o desnvel entre dois pavimentos vizinhos.
6) Esse limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos
devido atuao de aes horizontais. No devem ser includos os deslocamentos
devido s deformaes axiais nos pilares. O limite tambm se aplica para o
deslocamento vertical das extremidades de lintis conectados a duas paredes de
contraventamento, quando Hi representa o comprimento do lintel.
7) O valor l refere-se distncia entre o pilar externo e o primeiro pilar interno.
NOTAS:
1 Todos os valores limites de deslocamentos supem elementos de vo l suportados
em ambas as extremidades por apoios que no se movem. Quando se tratar de
balanos, o vo equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do
balano.
2 Para o caso de elementos de superfcie, os limites prescritos consideram que o
valor l o menor vo, exceto em casos de verificao de paredes e divisrias, onde
interessa a direo na qual a parede ou divisria se desenvolve, limitando-se esse
valor a duas vezes o vo menor.
3 O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinao das aes
caractersticas ponderadas pelos coeficientes definidos na seo 2.5.1.
4 Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas
-
35
2.4.2. Adoo de medidas para o controle de deslocamentos excessivos
Para no ter uma estrutura que no atenda as condies em servio. As flechas em
vigas de concreto armado devem atender os limites fornecidos na tabela 2.2. No caso desses
valores superarem os limites aceitveis recomenda-se a adoo de contraflechas. Nessa seo
apontaremos os principais problemas ocasionados por deformaes excessivas e as medidas a
serem adotadas para minimizar esses deslocamentos. Onde contraflecha o deslocamento
vertical intencional aplicado durante a montagem das escoras, ou seja, no sentido contrrio ao
da flecha.
Medeiros (2005) aponta que as patologias provenientes de deformaes
excessivas, so ocasionadas tanto por deformaes lentas quanto as deformaes imediatas.
Esses efeitos so uma preocupao de todas construtoras hoje. Em seu texto a autora adverte
que os edifcios de hoje so mais altos e esbeltos, a concepo privilegia grandes vos, onde
para atender essas necessidades do mercado as estruturas tornaram-se mais vulnerveis as
deformes. Nesse texto so mostradas tambm algumas medidas nas quais as construtoras
tentam minimizar esse tipo de problema, adotando como soluo o aumento no tempo de
escoramento e a utilizao do transporte manual do concreto, porm a autora alerta que de
nada servir esses cuidados na obra se uma anlise apurada e detalhada durante o projeto
estrutural no for analisada cuidadosamente.
A primeira medida adotada para atenuar os deslocamentos excessivos de adotar
uma contraflecha que pode ser estimada pela expresso proposta por Pinheiro (2007),
lembrando que o valor da contra flecha no poder ser superior a relao l/350 (Tabela 2.2):
Onde:
ac = contraflecha;
ai = flecha imediata obtida na equao 2.17;
af = flecha diferida obtida na equao 2.19.
Outras medidas a serem adotadas so: o aumento da altura e largura das vigas,
desde que a arquitetura permita essa alterao; aumento da armadura de trao dimensionada
no ELU; utilizao de armadura de compresso, utilizar concretos com resistncias maiores e
aumentar o tempo de escoramento dessas estruturas, aumentando assim o tempo de aplicao
-
36
inicial das cargas. Ressaltamos tambm a importncia da realizao de uma cura adequada
para minimizar os efeitos de fluncia e retrao.
2.5 Consideraes de aes
Apresentamos as formulaes simplificadas para avaliao de flechas em vigas, os
fatores que afetam os deslocamentos e as medidas tomadas para atenuar esses efeitos. Na
presente seo, ser demonstrada a combinao das aes em servio para que as peas de
concreto armado sejam avaliados.
2.5.1 Classificaes das aes
As aes atuantes na construo so classificadas, segundo a NBR 8681:2003,
em: permanentes(g), variveis(q) e excepcionais.
As aes permanentes so aquelas que ocorrem com valores praticamente
constantes durante toda a vida da construo. Segundo Kimura (2007), aes permanentes so
aquelas que acompanham a utilizao do edifcio desde o incio ao fim, ou seja, so aquelas
aes que entram e ficam para sempre. Os exemplos desse tipo de ao o peso prprio da
estrutura, peso de elementos construtivos (alvenarias, revestimentos, etc.) e os empuxos
permanentes.
J as aes excepcionais, so as que tm durao extremamente curta e muito
baixa probabilidade de ocorrncia durante a vida da construo, tais como, aes decorrentes
de exploses e abalos ssmicos . E por fim, as aes variveis so as que apresentam variaes
significativas durante a vida de construo. Definidas tambm por Kimura (2007), as aes
variveis atuam somente durante um perodo de vida do edifcio, ou seja, elas entram e depois
saem. Os exemplos que podemos citar so: cargas acidentais de uso, vento, aes dinmicas,
gua e variaes de temperatura.
Guarda (2005) alerta que, em alguns casos, as aes variveis de construo
exercem influncia significativa para os deslocamentos finais, devendo ser consideradas. Isso
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37
se deve a dois fatores principais. O primeiro a prpria ordem de grandeza dessas aes, que
podem atingir valores de at o dobro das aes permanentes. O segundo ponto da ocorrncia
da fissurao prematura, proveniente de aes provocadas a pequenas idades, quando os
valores do mdulo de elasticidade e da resistncia trao ainda esto baixos. Alm do
aumento dos deslocamentos iniciais, as aes de construo podem influir nos deslocamentos
ao longo do tempo, provocados pela fluncia, que depende da idade do concreto quando do
primeiro carregamento.
2.5.2 Combinaes de aes
A NBR 6118:2003, item 11.8.3.1 Classificao, as combinaes de servio em
trs tipos: quase permanentes, frequentes e raras. Em estruturas de concreto armado, as
combinaes de servio mais utilizadas so a quase permanente e a frequente. A primeira
empregada para avaliar o estado limite de deformaes excessivas (ELS-DEF). J a segunda
utiliza-se para averiguar os estados limites de formao de fissuras (ELS-F), abertura de
fissuras (ELS-W) e vibraes excessivas.
Como o objeto de estudo nesse trabalho de analisar as flechas em vigas de
concreto armado, apresentaremos a combinao de carregamento utilizada para esse fim, que
conforme foi citado anteriormente a combinao quase permanente.
A formulao dessa combinao determinada pelo somatrio das cargas
permanentes e o somatrio das cargas acidentais pelo produto com o fator redutor. Essa
formulao segue apresentada abaixo:
Onde:
Fd,ser o valor de clculo das aes para combinaes de servio;
2 o fator de reduo de combinao quase permanente para ELS.
Os valores dos coeficientes redutores das aes variveis so fornecidos na tabela 2.3.
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38
Tabela 2.3 Valores de 1 e 2 Fonte:NBR 6118:2003.
Aes 1 2
Cargas acidentais de
edifcios
Locais em que no h predominncia de pesos de
equipamentos que permanecem fixos por longos
perodos de tempo, nem de elevadas concentraes
de pessoas.
0,4 0,3
Locais em que h predominncia de pesos de
equipamentos que permanecem fixos por longos
perodos de tempo, nem de elevadas concentraes
de pessoas.
0,6 0,4
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens. 0,7 0,6
Vento Presso dinmica do vento nas estruturas em geral. 0,3 0
Temperatura Variaes uniformes de temperatura em relao
mdia anual local.
0,5 0,3
2.6 Consideraes finais
Conforme foi apresentado neste captulo, diversas variveis influem no resultado
das flechas em vigas de concreto armado. O que conduz esses clculos a valores aproximados
daqueles que de fato ocorrem.
Alguns desses fatores, por serem determinados no clculo de forma aproximada
implicam em resultados finais aproximados. As consideraes de fluncia, retrao, nvel de
fissurao, so exemplos dessas estimativas. Podemos citar tambm, as interferncias devido
ao processo construtivo, como retirada de escoramento de forma prematura, submetendo a
viga ao carregamento antes do previsto, onde a mesma no atingiu o mdulo de elasticidade
definido em clculo e consequentemente afetando o grau de fissurao da pea. Outro fator
que afeta diretamente o resultado final o processo de cura dessa pea, pois no realizando
esse processo de modo adequado, influir na retrao. A anlise de flechas em vigas de
concreto armado por meio de processos simplificados um fator anterior ao processo
construtivo e quo distante esse valor estiver do real contribuir para comportamentos
diferentes do esperado. Alguns exemplos dessas aproximaes a obteno do momento de
inrcia efetivo para simular a fissurao e obteno dos resultados de deformao lenta a
partir da multiplicao de um coeficiente varivel com o tempo que visa simular os efeitos da
retrao e fluncia.
-
39
Com todos esses aspectos, torna-se imprescindvel o papel do projetista de ter os
cuidados necessrios a obedincias dos critrios pr-estabelecidos, que apesar de conduzirem
a estimativas aproximadas propicia o atendimento s peas de concreto armado em servio.
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40
3. ANLISE DE FLECHAS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO
3.1 Introduo
Neste captulo sero apresentado alguns exemplos de clculo de flechas em vigas
de concreto armado, bem como uma planilha em Excel que serviu de base para a obteno
desse clculo de forma rpida. Essa planilha alm de auxiliar no clculo serviu para avaliar
algumas variveis que influem nos deslocamentos em vigas de concreto armado. Como
podemos citar a influncia do carregamento, da parcela de carga permanente e acidental na
viga, do tempo de aplicao do carregamento, das propriedades geomtricas, armadura de
compresso, vo, fck e das condies de apoio da viga.
Essas comparaes sero apresentadas posteriormente por meio de grficos, onde
em cada uma dessas anlises sero discutidas com detalhes a relevncia e influncia de
maneira direta ou inversamente proporcional que esses fatores possam propiciar aos
deslocamentos. Por tanto, um estudo de grande significado pois servir como alternativa
para o controle dos deslocamentos, uma vez que o projetista ao verificar o deslocamento da
viga de concreto armado saber qual alternativa mais conveniente dever tomar.
3.2 Clculo de flechas em vigas de concreto armado
Na presente seo sero apresentados dois exemplos de clculo de flechas em
vigas de concreto armado, onde a mesma ser obtida seguindo as recomendaes da NBR
6118: 2003 item 17.3.2.1 Avaliao aproximada de flechas em vigas de concreto armado.
Onde utilizaremos as equaes apresentadas do captulo 2.
3.2.1 Exemplo 1
-
41
Avaliar a deformao em uma viga bi-apoiada de um edifcio comercial, com um
vo de clculo de 5 metros e submetida cargas permanentes uniformemente distribudas de
16,25 kN/m e de acidentais de 4,0 kN/m. Sendo o uso em edifcios de escritrios. A classe de
agressividade ambiental adotada : CAA I.
* Dados do problema:
Classe do concreto: C-20
Categoria do ao CA-50
bw = 17 cm
h = 45 cm
Cobrimento adotado: 25 mm
Dimetro do estribo (t): 5 mm
Agregado grado : brita 1 dmx = 19mm.
* 1o passo: Calcular o momento para o ELU
Md = Mk f = (Mgk + Mqk) f
Md = 63,28 1,4 = 88,6 kNm = 8860 kNcm
* 2o passo: Dimensionamento no ELU
Resistncia de clculo do ao fyd = fyk / 1,15
Resistncia de clculo do concreto fcd = fck / 1,4
Estimando d2 = d = 5 cm
d = h d2 = 45 5 = 40 cm
A expresso que fornece a altura da linha neutra :
-
42
Linha neutra: x = 15,96 cm A deformao est no domnio 3
Pois 0,259d = 10,36 cm e 0,628d = 25,12 cm so os limites dos domnios 2 e 3.
Adotando se 5 12,5 (As = 6,25 cm2). As suplementar = 6,25 6,06 = 0,19 cm2
* 3o passo: Disposio das barras : 3 barras na 1
a camada + 2 barras na 2
a camada.
Sendo:
eh = 1,2 dmx = 1,2 1,9 = 2,28 cm
ev = 2cm
t = 0,5 cm
L = 1,25 cm, tem-se:
y1 = c + t +
= 2,5 + 0,5 + (1,25/2) = 3,625 cm e
y2 = y1 + ev + L = 3,625 + 2 + 1,25 = 6,875 cm
e
d = h d2 = 45 4,925 = 40,075 cm
* 4: Clculo do momento de servio
O momento em servio ento, conforme a tabela 2.2 para uso de edifcios como
escritrios, com fator 2 = 0,4 ( Quase-permanente):
Mk,ser = Mgk + 2Mqk
-
43
* 5 passo: Taxa de armadura
* 6 passo: Relao dos mdulos do ao e do concreto:
* 7 passo: Linha neutra em servio ( Estdio II)
* 8 passo: Clculo da Inrcia no Estdio II
* 9 passo: Resistncia trao do concreto
* 10 passo:Inrcia da seo bruta
* 11 passo: Momento de fissurao
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44
Com = 1,5 para a seo retangular
* 12 passo: Inrcia equivalente
* 13 passo: Flecha imediata
Como Mr < Mk,ser a flecha no Estdio II puro pode ser obtida da seguinte maneira:
Carga total: p = g + 2*q = 16,25 + 0,4 4 = 0,1785 kN/cm
* 14 passo: Flecha Diferida
fd = fi = 1,653 cm
* 15 passo: Flecha total
* 16 passo: Aceitabilidade dos deslocamentos
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45
Conforme apresentado na tabela 2.1, recomenda-se verificar a flecha da viga de
concreto armado para seu deslocamento admissvel. Nesse exemplo avalia-se a aceitabilidade
sensorial total. Onde para obter o deslocamento limite deve-se fazer a razo do vo por 250.
Portanto o deslocamento limite l/250 = 500/250 = 2cm.
Como a viga de concreto armado obteve uma flecha total de magnitude 2,785 cm
implica dizer que a pea no atende ao limite sensorial. A soluo necessria ser a de alterar
alguma das caractersticas da pea como vo, tempo de aplicao de cargas, por exemplo, ou
de adotar uma contraflecha. Nesse exemplo utilizaremos a contraflecha para compensar esses
deslocamentos acima dos limites aceitveis.
A partir da equao 2.22, temos:
Porm, como j havamos apresentado anteriormente a contraflecha no poder
superar a relao de l/350. Isso denota que a contraflecha mxima a ser adotada de:
500/350 = 1,429 cm.
Logo aplicaremos uma contraflecha de 1cm ( Inteiro inferior mais prximo a
contraflecha mxima determinada).
3.2.2 Exemplo 2
Dando continuidade a exemplicao do clculo de flechas em vigas de concreto
armado, nesse exemplo iremos verificar os deslocamentos em uma viga pertencente a um
edifcio comercial com sees de 15 x 40cm, biapoiada submetida a um carregamento
uniformemente distribudo.
* Dados do problema:
Classe de agressividade ambiental: I (ambiente interno seco)
Concreto: Classe C20
Ao para armaduras longitudinais: CA-50
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46
Armadura Longitudinal: 3 16
Cobrimento: 2,0 cm
Altura til: d=36,7 cm
Aes atuantes na viga:
Permanentes : gk = 14 kN/m
Acidentais : qk = 5 kN/m
Coeficiente de ponderao das aes (ELS)
Fator de reduo de combinao quase permanente (2): 0,4
Idade do concreto no incio da aplicao das aes:
Aes permanentes: t0 = 28 dias
Aes variveis: t0 = 28 dias
Idade do concreto para a verificao dos deslocamentos
t 70 meses
Nesse exemplo j estimamos a armadura, bem como sua altura til, ento em
relao ao exemplo anterior, iniciaremos nosso clculo a partir da combinao de pea em
servio.
1 passo: Clculo do momento em servio
P = gk + 2q = 14 + 0,4 5 = 16 kN/m
Ma = (P Lviga2)/8 = (16 4,8
2) / 8 = 46,08 kNm = 4608 kNcm
2 passo: Clculo da taxa de armadura
* 3 passo: Relao dos mdulos do ao e do concreto:
* 4 passo: Clculo da linha neutra em servio (Estdio II):
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47
* 5 passo: Clculo da inrcia no Estdio II:
* 6 passo: Resistncia trao do concreto
* 7 passo: Inrcia da seo bruta
* 8 passo: Momento de fissurao
* 9 passo: Inrcia equivalente
* 10 passo: Clculo da flecha imediata
* 11 passo: Flecha Diferida
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t0 = 28 dias = 28/30 = 0,933 meses
t 70 meses
fd = 1,15 1,337 = 1,538 cm
* 12 passo: Flecha Final
* 13 passo: Aceitabilidade dos deslocamentos
Na viga analisada, iremos verificar o limite para danos em elementos no
estruturais, onde avaliaremos o deslocamento admissvel sobre alvenarias. Para isso, o
deslocamento vertical ocorrido aps a construo da parede limitado a l/500. Ento o
deslocamento limite para essa anlise de 480/500 = 0,96 cm. Ento a viga no ser aceita,
uma vez que o deslocamento final da pea de 2,688 e est acima do limite avaliado o que
poder provocar danos nesse elemento no estrutural. Como medida de soluo, sugere-se
aumentar a altura da viga, especificar um fck maior para o concreto, adotar uma armadura de
compresso que colabore para a diminuio desse deslocamento ou adotar contraflecha.
Para adoo de contraflecha utilizaremos novamente a equao 2.22 e
verificaremos o valor da contraflecha mxima determinada pela NBR 6118:2003, onde
alertamos que prevalece o limite da contraflecha recomendado pela norma.
Pela equao 2.22, temos:
cf = fi + fd/2 = 1,15 + 1,1538/2 = 1,919.
Limite mximo para adoo de contraflecha = l/350 = 1,371 cm.
Por tanto a contraflecha adotada ser de 1 cm.
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49
3.3 Clculo de flechas em vigas de concreto armado utilizando o Excel
3.3.1 Introduo
Vimos que os clculos de flechas em vigas apesar de ser um mtodo simplificado
um processo complicado por reunir diversas variveis que influem nesses resultados. Para
auxiliar o clculo das flechas em vigas, elaborou-se uma planilha em Excel que automatizou
esse processo. Esse programa uma excelente ferramenta, por abranger diversas necessidades
como operaes financeiras, trigonomtricas, elaborao de grficos, etc. Dentro desse
programa pode ser elaborado programas de clculo para diversas finalidades e ainda tem a
vantagem de ser mais simples se comparado a outros programas de desenvolvimento de
clculos em linguagens Java, Delphi e c++ por exemplo.
3.3.2 Clculo de flechas em vigas de concreto armado utilizando o Excel
Apresentaremos nessa seo as bases da elaborao do programa de clculo de
flechas em vigas de concreto armado em Excel e o clculo de flechas em vigas de concreto
armado utilizando o Excel. Para que possamos validar nossa planilha, para isso utilizaremos
como exemplos o clculo das vigas apresentadas nos exemplos 1 e 2.
No ser informada cada equao inserida nas clulas, uma vez que essas
equaes foram apresentadas ao longo do presente trabalho. A idia inicial surgiu para se
obter a rigidez equivalente de Branson e em seguida obter