Download - MANIPULASI ALJABAR
Kompetensi Dasar;
2.4 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang
berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Indikator:
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan
melengkapkan bentuk kuadrat.
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara rumus
ABC
Menentukan sumbu simetri, titik puncak, sifat definit positif atau
negatif fungsi kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat.
Bentuk umum persamaan kuadrat
ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c, Є R dan a ≠ 0.
x =disebut peubah atau variabel
a =disebut koefisien x2
b =disebut koefisien x
c =disebut konstanta (suku tetap)
Menyelesaikan persamaan kuadrat ax2+bx+c= 0 berarti mencari
nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Nilai x yang
memenuhi persamaan kuadrat tersebut akar atau penyelesaian dari
persamaan kuadrat.
Persamaan kuadrat dapat di tentukan akar-akarnya dengan cara:
1. faktorisasi
2. melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
3. menggunakan rumus
Dalam penyelesaian persamaan kuadrat dengan faktorisasi, menggunakan
sifat perkalian berikut.
Penerapannya adalah dengan mengubah (memfaktorkan) bentuk
persamaan ax2+bx+c=0 menjadi bentuk (ax+a) (x+β)=0, lalu
menyelesaikan bentuk terakhir menggunakan sifat perkalian. Masalah kita
sekarang adalah menemukan cara menentukan a dan β yang bersesuaian.
Kita bagi menjadi 2 kasus:
1.kasus a=1
2.Kasus a≠1
Jika ab=0, maka a=0 atau b=0.
Bentuk umum persamaan kuadrat menjadi ax2+bx+c =0 di atas menjadi
bentuk (ax+a) (x+β)=0.
ax2+bx+c =(x+a) (x+β)
=x2 + ax+ βx+ aβ
=x2 + (a+β)x + aβ
Menurut persamaan dua bentuk kuadrat, koefisien variabel x yang
sederajat di ruas kiri dan ruas kanan sama hanya jika a+β=b, dan aβ=c
Kita dapat memfaktorkan bentuk ax2+bx+c=0 menjadi bentuk (ax+a)
(x+β)=0 jika kita dapat menemukan pasangan (a,β) yang memenuhi
a+β=b dan aβ=c.
Pada kasus a≠1, persamaan ax2+bx+c=0 dapat disederhanakan x2+b∕a+c∕a=0, atau
x2+dx+e=0, dengan d=b∕a dan e=c∕a. Selanjutnya diselesaikan seperti kasus 1.
Seringkali bilangan d dan e muncul sebagai pecahan sehingga sulit menentukan a
dan β yang bersesuaian. Oleh karena itu bentuk ax2+bx+c=0 diubah menjadi bentuk
a(x+a∕a) (x+β∕a), dan mencari a dan β yang bersesuaian.
ax2+bx+c =a(x+a⁄a) (x+β⁄a)
=(ax+a) (x+β⁄a)
=ax2 + βx + ax + aβ⁄a
=ax2 + (a+β)x + aβ⁄a
Menurut kesamaan dua bentuk kuadrat haruslah b=a+β dan c=aβ⁄a atau ac=aβ
Kita dapat memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c = 0 menjadi bentuk
a(x+a⁄a) (x+β⁄a) jika kita dapat menemukan pasangan (a, β) yang
memenuhi a+ β=b dan a β=ac.
Tentukan nilai-nilai a dan β yang memenuhi
a. a + β=2 dan a β=1
b. a + β=-7 dan a β=12
c. a + β=11 dan a β=18
d. a + β=5 dan a β=-84
Jawab:
a. a + β=2 dan a β=1 a=1 dan β=1
b. a + β=-7 dan a β=12 a=−3 dan β=-4
c. a + β=11 dan a β=18 a=9 dan β=2
d. a + β=5 dan a β=-84 a=12 dan β=-7
Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk
kuadrat sempurna artinya mengubah persamaan kuadrat
ax2+bx+c=0 menjadi bentuk (x+p)2=q, dengan q≥0. sifat utama
yang digunakan dalam melengkapkan kuadrat adalah
Untuk mendapatkan bentuk kuadrat sempurna, seringkali kita perlu
menambahkan sebuah konstanta pada kedua ruas persamaan.
(x+d)2 = x2+2dx+d2 Tunjukkan!
ax2 + bx+c =0
↔ x2 + b⁄a x + c⁄a =0
↔ x2 + b⁄a x =-c⁄a
↔ x2x + b⁄a x + b2⁄4a2 = -c⁄a + b2⁄4a
2
↔ (x+b⁄2a)2 = b2-4ac
4a2
↔ x+b⁄2a = ±√b2-4ac =±√b2-4ac
√4a2 2a
↔ x = -b⁄2a ± 1⁄2a√b2 - 4ac
= -b±√b2 – 4ac
2aMaka sekarang kita telah mendapatkan dua akar persamaan kuadrat, yaitu;
x1 = -b+√b2 - 4ac dan x2 = -b-√b2 - 4ac
2a 2a
Bagi kedua ruas dengan a
Tambahkan kedua ruas dengan −c⁄a
Tambahkan kedua ruas dengan (½ x koefisien x)2
Selesaikan persamaan kuadrat x2+2x-8=0 dengan melengkapkanbentuk kuadrat sempurna.
Jawab;
x2 + 2x – 8 =0
↔x2 + 2x =8
↔x2 + 2x + (1)2 =8 + (1)2
↔x2 + 2x + 1 =9
↔(x + 1)2 =9
↔x + 1 =±3
↔x + 1 =3 V x + 1=-3
↔X =2 V x + 1=-4
Penyelesaiannya adalah x =-4 atau x =2
Pindahkan konstanta ke ruas kanan
Tambahkan kedua ruas dengan (½
koefisien x)2
Ingat;
Untuk melengkapkan
bentuk kuadrat sempurnah
tambahkan (½ koefisien x)2
pada kedua ruas
persamaan setelah
konstanta dipindah ke ruas
lain
x2 + 2x – 8 =0
a=1, b=2 dan c=-8
x= -b ± √b2c – 4ac
2a
x= -(2) ±√(2)2 – 4(1)(-8)
2(1)
x= -2 ±√4 + 32
2
x= -2 ±√36
2
x= -2 ± 6
2
x1= -2 + 6 atau x2= -2 – 6
2 2
x1= 4 x2= -8
2 2
x1= 2 x2= -4
Penyelesaiannya adalah x= -4 atau x= 2
Titik puncak dan persamaan sumbu simetri dari fungsi kuadrat dalam bentukpuncak y= a(x – h)2 + k dapat ditentukan tannpa menggambar sketsa grafiknya,
seperti berikut:
Koordinat titik puncak atau titik ekstrim adalah titik (h,k)
Sumbu simetri adalah x=h
Nilai ekstrim atau nilai puncak adalah yekstrim=k
Jika a > 0, para bola ke atas sehingga jenis titik ekstrimnya adalah
titik minimum dan jenis nilai ekstrimnya adalah nilai minimum (diberi
lambang ymin)
Jika a < 0, para bola ke bawah sehingga jenis titik ekstrimnya
adalah titik maksimum dan jenis nilai ekstrimnya adalah nilai maksimum
(diberi lambang ymaks)
a > 0, grafik y= ax2 berupa parabola yang terbuka.
a < 0, grafik y= -ax2 berupa parabola yang terbuka kebawah.
Rumus persamaan sumbu simetri x=-b∕2a
Rumus titik puncak/ titik balik=-b,-(b2–4ac)
2a 4a
Jika a > 0 dan D < 0 = definit positif
Jika a < 0 dan D > 0 = definit negatif
Tentukanlah koordinat titik puncak, persamaan sumbu simetri, dan nilai ekstrim darifungsi kuadrat berikut;
f(x)=X2 – 3X + 2
a= 1, b=-3, c=2
Sb simetri = -b∕2a
= - (-3)
2 (1)
= 3∕2= 11∕2
T.Puncak = -b,-(b2–4ac)
2a 4a
=(11∕2, ,-((-3)2–4(1)(2))
4a
=(11∕2, ,-(9 – 8)
4a
= (11∕2,n –(¼)
Definit positif karena a > 0 dan D < 0