Download - m83 Tr Rik Small
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
1/39
DOKUMENTACIJA TEHNIQKOG REXENjA
Rotaciono inverzno klatno
Autori tehniqkog rexenja
• Doc. dr Milan R. Ristanovi, dipl.in.max., Maxinski fakultetu uBeogradu
• Slavoljub V. Stojanovi, Maxinski fakultetu u Beogradu• Prof. dr Dragan V. Lazi, Maxinski fakultet u Beogradu
Naruqilac tehniqkog rexenja
• Maxinski fakultetu u Beogradu
Korisnik tehniqkog rexenja
• Maxinski fakultetu u Beogradu
Godina kada je tehniqko rexenje uraeno
• 2011.
Oblast tehnike na koju se tehniqko rexenje odnosi
• Automatsko upravljanje
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
2/39
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
3/39
: 28.08.2012.
:
,
,
(„ “, . 38/2008) .
,
:
:
: . , . .
, ...
. , . .
: 83 –
: ,
33047, . , ...
:
: 2011.
:
:
: ,
:
.
.
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
4/39
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
5/39
: 28.08.2012.
:
,
,
(„ “, . 38/2008) ..
,
:
:
: . , . .
, ...
. , . .
: 83 –
:
, 33047, . , ...
:
: 2011.
:
:
: ,
:
.
.
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
6/39
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
7/39
1 OPIS PROBLEMA KOJI SE REXAVA TEHNIQKIM REXENjEM 1
1 Opis problema koji se rexava tehniqkim rexenjem
U okviru projekta TR33047 “Inteligentni sistemi upravljanja klimatizacijeu cilju postizanja energecki efikasnih reima u sloenim ulsovima eksploat-
acije” u fazi pripreme integracije postrojenja na Maxinskom fakultetu uBeogradu, je bilo potrebno izvrxiti testiranje koncepata i algoritama up-ravljanja. U tom slislu, pojavila se potreba nabavke ili gradnje odgovarajueglaboratorijskog postojenja. Takvo laboratorijsko postrojenje predstavlja os-novu za edukaciju i istraivanje novih algoritama upravljanja. U konkretnomsluqaju, omoguio bi testiranje optimalnih algoritama upravljanja u prostorustanja, pri qemu bi korekcioni organ bio slobodno programabilni digitalniraqunar za upravljanje u realnom vremenu
2 Stanje rexenosti problema u svetu - prikaz postojeih
rexenja
Inverznim (obrnutim) klatnom naziva se kruto telo proizvoljnog oblika kojemoe slobodno da rotira u polju sile zemljine tee oko horizontalne ose kojane prolazi kroz teixte tog tela. Prodorna taqka ose rotacije i ravni nor-malne na nju a koja sadri i teixte tela, naziva se taqka vexanja klatna. Usluqaju inverznog klatna teixte tela nalazi se iznad taqke vexanja. Dok jekod obiqnog fiziqkog klatna ravnoteno stanje stabilno kod inverznog klatnaravnoteno stanje je nestabilno. Rexavanje problema inverznog klatna sas-toji se u konstruisanju adekvatnog upravljaqkog sistema koji ima za cilj sta-bilizaciju nestabilnog ravnotenog satnja. Ovaj problem se naqelno moerexiti na dva naqina: delovanjem odgovarajueg obrtnog momenta na klatnou taqki vexanja klatna ili pomeranjem taqke vexanja klatna u horizontalnojravni. Radi ilustracije problema moe se zamisliti balansiranje xtapa nadlanu ili prstu ruke. Inverzno klatno je klasiqan problem u dinamici iteoriji upravljanja, taj problem se odnosi na xiroku klasu sistema kao xtosu: humanoidni roboti, rakete, portalne dizalice, neka prevozna sredstva itd.Kao elektro-mehaniqki sistem sa izraenom nelinearnom dinamikom, sisteminverznog klatna je jako pogodan za testiranje i verifikaciju kako klasiqnihtako i savremenih upravljaqkih algoritama.
3 Suxtina tehniqkog rexenja
Tehniqko rexenje je zasnovano na kvalitetnim, pouzdanim i robusnim kompo-nentama u industrijskoj izvedbi. Suxtina novog tehniqkog rexenja jeste ufleksibilnosti i vixestruko nioj ceni nego za referentne ureaje sliqnihperformansi.
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
8/39
3 SUXTINA TEHNIQKOG REXENjA 2
(a) Segway (b) Raketa Soyuz (c) Humanoidni robot
Slika 1: Primeri problema inverznog klatna
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
9/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 3
4 Detaljan opis tehniqkog rexenja
Slika 2: Labaratorijska instalacija sistema rotacionog inverznog klatna .
Na slici sl 2, prikazano je labaratorijsko postrojenje koga qine: rotacionoinverzno klatno kao objekat, programabilni digitalni raqunar cRIO kao korek-cioni organ, pojaqivaq signala, merni ureaji (enkoderi), DC motor kao izvr-xni organ, odgovarajua napajanja potrebna za rad izvrxnog organa i mernihureaja i korisniqki raqunar koji u ovom sluqaju slui za monitoring, vir-tualnu instrumentaciju i promenu odreenih parametara korekcionog organa.
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
10/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 4
H (a) (b) (c)
Slika 3: Objekat upravljanja i aktuator
Na slikama sl 3 moe se videti objekat upravljanja, podexljiva ruka sl 3bi aktuator sa enkoderom i planetarnim prenosnikom sl 3c. Podexljiva rukaomoguava promenu duine ruke i na taj naqin promenu momenta inercije kojifigurixe u matematiqkom modelu kao jedna od konstanti sistema. Na ovajnaqin moe se ispitivati uticaj promene parametara sistema na rad uprav-ljaqkog sistema tj. robusnost.
(a) (b)
Slika 4: Upravljaqki deo sistema.
Korekcioni organ pomou koga se realizuje algoritam upravljanja dat jena sl 4, to je digitalni raqunar cRIO sa ulazno izlaznim modulima. U re-alizaciji ovog sistema korixeni su 16bit-ni moduo sa analognim izlazimakoji daje upravljaqki signal u rasponu od −10V do + 10V i moduo sa digi-talnim ulazima za prikupljanje informacije o trenutnoj poziciji i brzini saenkodera.
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
11/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 5
(a) (b) (c)
Slika 5: Naponski pojaqivaq signala.
Takoe prilikom realizacije sitema javila se potreba za izradom napon-skog pojaqivaqa signala sl 5. U kompaktno kuxte pored pojaqivaqa signalasmexten je i differntial line receiver, elektronski deo za obradu i odstranjivanjexumova sa digitalnih signa koji dolaze od enkodera.
Iz uvodnog razmatranja inverznog klatna jasno je da se ovaj mehaniqki sis-tem moe izvesti na vixe naqina. U praksi se najqexe koriste dve real-izacije, translatorno inverzno klatno i rotaciono inverzno klatno. Obe overealizacije ravnopravno prezentuju sve fenomene ovog mehaniqkog sistema.Rotaciono inverzno klatno sastoji se od jednog kraka (ruke) koji rotira uhorizontalnoj ravni oko vertikalne nepokretne ose, na njegovom kraju nalazise klatno koje moe slobodno da rotira u vertikalnoj ravni, sl 6.
y
x
z
M u
Slika 6: Jednostavna xema rotacionog inverznog klatna.
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
12/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 6
4.1 Primenjena metodologija
Razvoj algoritma upravljanja zasnovan je na matematiqkom modelu objekta, koji je izveden za te potrebe. Upravljaqki algoritam sastoji se iz dva dela, za
razvoj jednog dela korixen je linearizovani matematiqki model objekta a zarazvoj drugog dela korixen je nelinearni model. Numeriqkim simulacijamaizvrxena je analiza dinamiqkih osobina upravljanog objekta za njegov neli-nearni model, radi verifikacije sintetisanog algoritma upravljanja. Zatim
je izvrxena fiziqka realizacija objekta i na njemu eksperimentalnim putempotvrena verodostojnost korixenih matematiqkih modela i testiran rad razvijenog algoritma upravljanja.
4.2 Matematiqki model
Izvoenje matematiqkog modela inverznog klatna izvrxeno je korixenjem prin-
cipa analitiqke mehanike. Na predhodnoj slici prikazana je jednostavna xemarotacionog inverznog klata.Rotaciono inverzno klatno predstavlja sistem sa dva stepena slobode i u
svakom trenutku vremena njegov poloaj jednoznaqno je odreen poznavanjemugla rotacije kraka θ(t) i ugla rotacije klatna ϕ(t), samim tim ovi uglovipredstavljaju generalisane koordinate sistema rotacionog inverznog klatna.Broj ovih nezavisnih parametara jednak je broju stepeni slobode materijalnogsistema.
q 1(t) = θ(t)
q 2(t) = ϕ(t)
Za dobijanje diferencijalnih jednaqina kretanja koriste se Lagraneve jed-naqine druge vrste.
d
dt
∂T
∂ q̇ k− ∂T
∂q k= Qk k = (1, 2) (1)
U jednaqini (1):
• T je kinetiqka energija sitema.• Qk je generalisana sila.
4.3 Generalisane sile
Generalisane sile ovog mehaniqkog sistema mogue je dobiti iz rada silana virtualnim (moguim) pomeranjima, odnosno ukoliko elementarni rad silaizrazimo pomou generalisanih koordinata sistema, jednaqina (2).
δA = Q1δq 1 + Q2δq 2
δA = (M u − Bθ θ̇) · δθ + (m2gζ c sin(ϕ) − Bϕ ϕ̇ − T ϕsign( ϕ̇)) · δϕ(2)
Iz izra za elementarni rad dobijamo da su generalisane sile:
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
13/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 7
Q1 = M u − Bθ θ̇Q2 = m2gζ c sin(ϕ)
−Bϕ ϕ̇
−T ϕsign( ϕ̇)
• M u obrtni moment na vratilu ruke.• Bθ koeficijent viskoznog trenja.• m2 masa klatna.• ζ c rastojanje centra mase klatna od ose rotacije klatna.• Bϕ koeficijent viskoznog trenja.• T ϕ koeficijent suvog trenja.
Sve spoljaxnje sile koje deluju na sistem delimo na aktivne sile F a i reak-
cije veza R, pri qemu se veze dele na idealne i realne. Idealnim vezama senazivaju takve veze za koje je zbir elementarnih radova svih sila reakcija vezana svakom virtualnom pomeranju jednak nuli. Xto znaqi da je vektor reakcijeidealne veze normalan na vektor virtualnog pomeranja proizvoljne taqke ma-terijalnog sistema. Idealnih veza u stvarnosti nema i reakcija svake povrxiili linije sastavljena je iz dve komponente: normalne N i tangentne F µ kojase naziva sila trenja pri klizanju i usmerena je u suprotnom smeru od vektoravirtualnog pomeranja.
R = N + F µ
Realne veze moemo svesti na idealne tako xto silu trenja realne vezetretiramo kao aktivnu silu. U izrazu za rad (2), pored rada sile zemljinetee m2gζ c sin(ϕ) i rada obrtnog momenta motora M u, uvrxteni su i radovisila reakcija veza kao posledica neidealnosti veza odnosno pojave trenja. Tosu delovi sa negativnim predznakom.
4.3.1 Kinetiqka energija inverznog klatna
Da bi odredili diferencijalne jednaqine kretanja rotacionog inverznog klatnanajpre treba odrediti njegovu kinetiqku energiju u funkciji od generalisanihkoordinata θ(t) i ϕ(t). Ona se odreuje kao zbir kinetiqke energije klatna ikinetiqke energije ruke:
T = T 1 + T 2
Kinetiqka energija ruke T 1 odreuje se kao kinetiqka energija krutog telakoje rotira oko nepokretne ose.
T 1 = 1
2J Oz θ̇
2 (3)
U jednaqini (3), J Oz predstavlja aksijalni moment inercije ruke za z osu okokoje ona rotira. Klatno je izraeno od aluminijumske cevi, pa se moe tre-tirati kao homogeno kruto telo sa neprekidnim rasporedom mase. Ako je masa
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
14/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 8
elementarne qestice dm onda je kinetiqka energija klatna odreena izrazom(4):
T 2 = 1
2 V
v2 dm (4)
Klatno za razliku od ruke vrxi sloeno kretanje, u cilju odreivanja njegovekinetiqke energije T 2, na naqin (4) prvo moramo odrediti brzinu proizvoljnetaqke klatna u odnosu na nepokretni Dekartov pravougli koordinatni sistemreferencije Oxyz, sl. 7.
x
y
z
i
j
k
O
r A
A
r M
M
M
Slika 7: Klatno i koordinatni sistemi od interesa.
rM = rA + ρM (5)
vM = drM
dt =
drAdt
+ d ρM
dt (6)
• rM vektor poloaja proizvoljne taqke M klatna u odnosu na koordinatnisistem Oxyz.
• rA vektor poloaja pokretnog pola A (tqke vexanja) pokretnog sistemareferencije Aξηζ , kruto vezanog za klatno u odnosu na nepokretni pol O.
• ρM vektor poloaja taqke M klatna u odnosu na koordinatni sistem Aξηζ .
Nakon odreivanja vektora brzine vM i projekcija brzine vMx, vMy, vMztaqke M na ose nepokretnog sitema referencije Oxyz, moemo odrediti kvadratintenziteta brzine taqke M .
vM = vMx +vMy
j + vMz
k (7)
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
15/39
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
16/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 10
A
LC
Slika 8: Koordinatni sistem kruto vezan za klatno.
J Aζη = 0, J Aξη = 0, J Aξζ = 0 (14)
Aksijalni momenti inercije za ose ξ i η meusobno su jednaki zbog ge-ometrije klatna (15).
J Aξ = J Aη = J 2 (15)
Poloaj centra mase klatna odereen je koordinatama ξ c, ηc, ζ c. Konaqnisreeni izrazi za kinetiqku energiju klatna i kinetiqku nenergiju sistemarotacionog inverznog klatna dati su respektivno izrazima (16) i (17).
T 2 = 1
2J 2 ϕ̇
2 + 1
2J 2 θ̇
2 sin2(ϕ) + 1
2J Aζ θ̇
2 cos2(ϕ) + 1
2m2r
2A
θ̇2 − m2ζ crA θ̇ ϕ̇ cos(ϕ) (16)
T =
1
2
J 1 + m2r2A + J 2 sin
2
(ϕ) + J Aζ cos2
(ϕ)
θ̇2
+
1
2 J 2 ϕ̇2
− m2ζ crA θ̇ ϕ̇ cos(ϕ) (17)
4.3.2 Diferencijalne jednaqine kretanja i model u prostoru stanja
Primenom Lagranevih jednacina druge vrste (1) dobijamo skalarne neline-arne diferencijalne jednaqine kretanja rotacionog inverznog klatna.
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
17/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 11
J 1 + m2r
2A + J 2 sin
2(ϕ) + J Aζ cos2(ϕ)
θ̈ + (J 2 − J Aζ ) sin(2ϕ)θ̇ ϕ̇−
−m2ζ crA ϕ̈ cos(ϕ) + m2ζ crA ϕ̇
2 sin(ϕ) = M
−Bθ θ̇
J 2 ϕ̈ − m2ζ crAθ̈ cos(ϕ) − 12
(J 2 − J Aζ ) sin(2ϕ)θ̇2 = m2gζ c sin(ϕ)−− Bϕ ϕ̇ − T ϕsign( ϕ̇)
(18)
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
18/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 12
Usvajamo vektor stanja u obliku:
X = ϕ θ ϕ̇ θ̇ T
X u = M u
Lako se uoqavaju dva ravnotena stanja iz diferencjalnih jednaqina kreta-nja (18), Xr1 i Xr2:
Xr1 =
0 0 0 0T
Xr2 = π 0 0 0 T
Linearizacijom oko ovih ravnotenih stanja dobijaju se linearne diferen-cijalne jednaqine kretanja:
• Linearizacija oko ravnotenog stanja Xr1. Ovo je nestabilno ravnotenostanje, u ovoj poziciji klatno se nalazi vertikalno uspravno, teixte jeiznad taqke vexanja.
J 1 + m2r
2A + J Aζ
θ̈ − m2ζ crA ϕ̈ + Bθ θ̇ = M u (19)
J 2 ϕ̈
−m2ζ crAθ̈ + Bϕ ϕ̇
−m2gζ cϕ = 0 (20)
• Linearizacija oko Xr2. Ovo je stabilno ravnoteno stanje.
J 1 + m2r
2A + J Aζ
θ̈ + m2ζ crA ϕ̈ + Bθ θ̇ = M u (21)
J 2 ϕ̈ + m2ζ crAθ̈ + Bϕ ϕ̇ + m2gζ cϕ = 0 (22)
Iz linearizovanih diferencijalnih jednaqina kretanja potrebno je formi-rati matematiqki model u prostoru stanja (23):
Ẋ = A ·X+B · X uXi = C ·X
(23)
Da bi dobili matematiqki model dat predhodnim izrazom, linearizovaneskalarne diferencijalne jednaqine (19) najpre trnsformixemo u oblik vek-torske linearne diferencijalne jednaqine (24).
A2 ·
ϕ̈
θ̈
+A1 ·
ϕ̇
θ̇
+A0 ·
ϕ
θ
= B0 · M u (24)
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
19/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 13
A2 =
J 2 −m2ζ crA
−m2ζ crA J 1 + m2r2A + J Aζ
A1 =
Bϕ 0
0 Bθ
A0 =
−m2gζ c 0
0 0
B0 =
0
1
Iz jednaqine (24) dobijamo matrice A, B i C. Matrica A data je izrazom(25).
0 0 1 0
0 0 0 1
m2gζ cJ 1 + m2r
2
A + J Aζ
(J 1 + m2r2A + J Aζ)J 2 − (m2ζ crA)2
0 −Bϕ
J 1 + m2r
2
A + J Aζ
(J 1 + m2r2A + J Aζ) J 2 − (m2ζ crA)2
−Bθm2ζ crA
(J 1 + m2r2A + J Aζ)J 2 − (m2ζ crA)2
m22ζ 2
c rAg
(J 1 + m2r2A + J Aζ)J 2 − (m2ζ crA)2
0 −Bϕm2ζ crA
(J 1 + m2r2A + J Aζ) J 2 − (m2ζ crA)2
−BθJ 2
(J 1 + m2r2A + J Aζ)J 2 − (m2ζ crA)2
(25)
B =
0
0
m2ζ crAJ 1 + m2r2A + J Aζ
J 2 − (m2ζ crA)2
J 2J 1 + m2r2A + J Aζ
J 2 − (m2ζ crA)2
(26)
C =
1 0 0 0
0 1 0 0
(27)
u X C
A
BX X iX
Slika 9: Blok dijagram linearizovanog modela inverznog klatna.
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
20/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 14
0 5 10 15 20 25 30−100
−50
0
50
100
t [s]
ugao klatnaugaona brzina klatna
ugao ruke
ugaona brzina ruke
Slika 10: Kretanje svih veliqina stanja linearnog matematiqkog modela usled
poqetnog odstupanja X0 = ( 15◦ 0 0 0 )T .
0 5 10 15 20 25 30−100
−50
0
50
100
t [s]
ugao klatna [o]
ugaona brzina kaltna [o /s]
ugao ruke [o]
ugaona brzina ruke [o /s]
Slika 11: Kretanje svih veliqina stanja nelinearnog matematiqkog modela
usled poqetnog odstupanja X0 = ( 15◦ 0 0 0)T .
4.3.3 Matematiqki model elektro mehaniqkog pokretaqa
Zadatak izvrxnog organa u sistemu upravljanja je da obezbedi upravljanje do-
voljnog intenziteta u svakom trenutku vremena qijim se delovanjem na objekat
obezbeuje njegovo zadovoljavajue dinamiqko ponaxanje. U ovom upravljaqkom
sistemu funkciju izvrxnog organa, elektro mehaniqkog pokretaqa obavlja mo-
tor jednosmerne struje sa permanentnim magnetom (DC motor), sl 13.
Upravljanje jednosmernim motorom sa permanentnim magnetom vrxi se promenom
parametara armature. Jednaqine (28)-(29) opisuju ponaxanje motora.
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
21/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 15
0 5 10 15 20 25 30−15
−10
−5
0
5
10
15
t [s]
φ [
o ]
nelinearni modellinearni model
Slika 12: Poreenje kretanja klatna nelinearnog i linearizovanog matemati-
qkog modela usled poqetnog odstupanja X0 = ( 15◦ 0 0 0)T .
ua
ia
e
Ra
La
Slika 13: Elektriqna xema DC motora.
ua = Ladiadt
+ Raia + e, e = kE ωm (28)
J mdωm
dt = M m − M H − M fric (29)
U opxtem sluqaju moment trenja zavisi od: brzine, pozicije i vremena
M fric(ωm, θm, t). Ali u praksi najqexe se posmatra kao funkcija brzine ωm.
Moment trenja (31) koji se javlja u diferencijalnim jednaqinama ponaxanja mo-
tora sastoji se iz dva dela, momenta suvog trenja i momenta viskoznog trenja.
M m = kM ia (30)
M fric = c · sign(ωm) + Bmωm (31)
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
22/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 16
• ua napon namotaja armature.
• ia struja armaturnog namotaja.• La koeficijent samoindukcije armaturnog namotaja.• Ra omski otpor armaturnog namotaja.• e kontra elektromotorna sila.• kE koeficijent kontra elektromotorne sile.• J m moment inercije pokretnih delova motora i prenosnika.• ωm ugaona brzina elekromotora.• M m aktivni obrtni moment motora.• M H obrtni moment optereenja motora.• M fric obrtni moment trenja.• kM konstanta obrtnog momenta.• c konstanta suvog trenja.• Bm konstanta viskoznog trenja.
mmai
e
au
1
1
sT R
a
a
M k
m B
E k
s J m
1
s
1
m M
H M
fric M
Slika 14: Blok dijagram DC motora.
Vremenska konstanta armaturnog namotaja odreuje se iz sledeeg izraza:
T a = La
Ra
Treba naglasiti da se posmatra jdnosmerni motor zajedno sa planetarnim
prenosnikom. Osnovna funkcija prenosnika je trasformacija ulazne ugaone
brzine izraene brojem obrtaja koji dolaze od motora nul, u izlazni broj obr-
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
23/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 17
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12
−1
0
1
2
3
4
5
6
x 10−3
t [s]
M [
N m ]
DC motor sa dinamikom armaturnog kola
DC motor bez dinamike armaturnog kola
Slika 15: Poreenje aktivnog momenta na vratilu motora, pri jediniqnoj
odskoqnoj promeni napona na namotajima armature.
taja u jedinici vremena niz koji odgovara potrbama radnog dela odgovarajueg
mehanizma. Odnos ovih brojeva predstavlja radni prenosni odnos ired.
ired = nul
niz
= ωul
ωiz
(32)
Gubitci nastali usled trenja u prenosniku izraavaju se preko stepena
iskorixenja (efikasnosti) ηred prenosnika (33).
ηred = P iz
P ul=
P ul − P gP ul
(33)
M iz
M ul=
P iz
ωizP ul
ωul
= ηredired (34)
M iz = ηrediredM ul (35)
Poznato je da su granice objekta relativne i zavise od toga xta se usvaja
za objekat. Zbog potreba sinteze upravljaqkog algoritma proxiriemo objekat
na sistem inverznog klatna zajedno sa DC motorom, sl 16.
Zbog preglednosti uvexemo slede smene:
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
24/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 18
u iXai1
1
sT
R
a
a
M k
m B
E k
P k red i B
A
C
red i T K
u M X X
au
ИК
e
m
Slika 16: Blok dijagram inverznog klatna sa motorom.
• a1 = J 2
• a2 = m2ζ crA
• a3 = Bϕ• a4 = m2gζ c• a5 =
J 1 + m2r
2A + J Aζ
• a6 = Bθ
Diferencijalne jednaqine klatna (19)-(20) i matrice A, B, C mogu se sada
zapisati u kompaktnijem obliku:
a1 ϕ̈ − a2θ̈ + a3 ϕ̇ − a4ϕ = 0a5θ̈ − a2 ϕ̈ + a6 θ̇ = M u
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
25/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 19
A =
0 0 1 0
0 0 0 1a4a5
a1a5 − a220
−a3a5a1a5 − a22
−a6a2a1a5 − a22
a2a4
a1a5 − a220
−a3a2a1a5 − a22
−a6a1a1a5 − a22
B =
0
0
a2
a1a5 − a22a1
a1a5 − a22
C =
1 0 0 0
0 1 0 0
U ovako objedinjenom sistemu ulazna i upravljaqa veliqina postaje napon
na namotajima armaturnog kola. Aktivni moment motora dobija se iz strujne
jednaqine (28) armaturnog kola kao proizvd struje armature i konstante mo-
menta motora. Poxto je vremenska konstanta T a jako mala, dinamika armature
tj. zavisnost struje od napona moe se aproksimirati pojaqanjem 1
Ra , sl 17.
u iXai1 Ra
M k
E k
P k red i B
A
C
red i T
K
u M X X
au
ИК
e
m
red
Slika 17: Blok dijagram sistema inverznog klatna sa motorom pri qemu je
dinamika armaturnog namotaja aproksimirana pojaqanjem 1
Ra.
θ̇(t) = KT θ̇ ·X(t) =
0 0 0 1
·
ϕ(t)
θ(t)
ϕ̇(t)
θ̇(t)
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
26/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 20
θ̇(t) · ired = ωm(t)
M u(t) = kP kM
Rairedηredu(t) −
kE k
M
Ra
i2redηredK
T θ̇ ·X(t)
Ẋ(t) = A ·X(t) + B · M u =A−B
kE
kM
Ra
i2redηredK
T θ̇
X(t) + BkP
kM
Rairedηredu(t)
Xi(t) = C ·X(t)
Posle sreivanja dobijamo konaqni matematiqki model objekta u prostoru
stanja (36)-(37) na osnovu koga vrximo dalju sintezu upravljaqkog algoritma.
Ẋ = As ·X+Bs · X u (36)Xi = Cs ·X (37)
As = A−BkE kM Ra
i2redηredKT θ̇
(38)
Bs = BkP kM
Ra
iredηred, Cs = C (39)
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
27/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 21
As =
0 0 1 0
0 0 0 1
a4a5
a1a5 − a220
−a3a5a1a5 − a22
−a6a2 − a2
kE kM
Ra
i2redηred
a1a5 − a22a2a4
a1a5 − a220
−a3a2a1a5 − a22
−a6a1 − a1
kE kM
Ra
i2redηred
a1a5 − a22
Bs =
0
0a2
a1a5 − a22· kP kM
Rairedηred
a1
a1a5 − a22· kP kM
Rairedηred
Cs =
1 0 0 0
0 1 0 0
4.4 Sinteza upravljaqkog algoritma
Pre nego se krene u sintezu upravljaqkog algoritma treba razmotriti zahteve
koji se postavljaju pred budui upravljaqki sistem. Kod konkretnog problema
to se moe formulisati na sledei naqin: potrebno je prevesti sistem iz
proizvoljnog poqetnog stanja xo ∈ X koje pripada prostoru stanja X ∈ R4 unulto ravnoteno stanje xr = 0x, odnosno prevesti rotaciono inverzno klatno
iz bilo kog poloaja u vertikalno uspravan poloaj delovanjem upravljaq-
kog napona na DC motor, tako da ugaone brzine ruke i klatna kao i pozicija
ruke budu jednake nuli. Ovi zahtevi su rexeni upravljaqkim sistemom koji
se sastoji od dva algoritma upravljanja. Za podizanje klatna blizu nultog
ravnotenog stanja koristi se kontroler enenergije klatna dok se za stabi-
lizaciju koristi optimalno upravljanje. Koji algoritam upravljanja je aktivan
odreuje se u zavisnosti od trenutnog stanja.
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
28/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 22
Slika 18: Funkcionalna xema sistema upravljanja.
4.5 Optimalno upravljanje
Ako se uvede neki kriterijum na osnovu koga se porede rexenja nekog problema
i pritom taj kriterijum ima drugaqiju vrednost za svako pojedinaqno rexe-
nje, onda bi maksimalna ili minimalna vrednost tog kriterijuma trebalo da
ukae na rexenje koje u najveoj meri zadovoljava postavljeni kriterijum tj.
na optimalno rexenje. Jasno je da ovako definisano optimalno rexenje ne mora
biti i najbolje rexenje od svih moguih, ono je samo najbolje po nekom usvo-
jenom kriterijumu. To znaqi da ako je kriterijum loxe izabran ni rexenje ne
moe biti dobro.
4.5.1 Kriterijum performanse
”Formulisati xta se eli je qesto tee od pronalaenja naqina da se to i
ostvari”
Ukoliko se za dinamiqko ponaxanje upravljanog objekta ili procesa uvede
kriterijum koji svakoj trajektoriji X (t; t0,x0;u[t0,t]) iz skupa dopuxtenih tra- jektorija, prostora stanja X na vremenskom intervalu [t0, t], dodeljuje neku jedinstvenu realnu vrednost onda se takav kriterijum naziva kriterijum per-
formanse ili mera performanse ili indeks performanse.
U najopxtijem sluqaju cilj upravljanja je da delovanjem na objekat ili proces
ostvari njegovo ljeno dinamiqko ponaxanje. To eljeno dinamiqko ponaxanje
moe se iskazati kroz kriterijum performanse sistema. Koncept optimalnog
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
29/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 23
upravljanja moe se formulisati na sledei naqin: potrbno je odrediti up-
ravljanje u[t0,t] za koje se sistem kree trajektorijom X (t; t0,x0;u[t0,t]) koja min-imizira usvojeni kriterijum performanse ili maksimizira njegovu negativnu
vrednost. Ovakvo upravljanje naziva se optimalno upravljajne, a odgovarajua
trajektorija optimalna trajektorija. Podrazumeva se da se trai globalni
a ne lokani ekstremum indeksa performanse. Kao xto se vidi odreivanje
optimalnog upravljanja svodi se na neku vrstu apstraktnog poreenja efekata
koje razni upravljaqki signali mogu imati na sistem. Stoga je od suxtinskog
znaqaja raspolaganje verodostojnim matematiqkim modelom objekta ili pro-
cesa na osnovu kogaa se moe predvideti kretanje sistema za razne upravljaqke
signale. Razliqiti pristupi odreivanja optimalne strategije upravljanja u
najveem broju sluqajeva zasnivaju se na matematiqkom modelu sistema u pros-
toru stanja. Primer modela u prostoru stanja za deterministiqke kontinualne
sisteme dat je sledeim izrazom, (40).
ẋ(t) = f (x(t),u(t), t), x(0) = x0
xi(t) = g(x(t),u(t), t)(40)
• poqetno vreme t0 i poqetno stanje x0 odreeno i poznato.
• krajnje vreme tf zadato ili proizvoljno.
• krajnje stanje xf zadato, proizvoljno ili pripada sukupu xf ∈ S f .
Klasiqna teorija upravljanja zasniva se na nizu analitiqkih i grafo-analitiqkih
metoda pomou kojih se u skladu sa postavljenim zahtevima odreuju parametri
kontrolera. Ovakvim pristupom uspexno se projektuju linearni sistemi sa
jednim izlazom i jednim ulazom. Meutim glavni njihov nedostatak je da se
zadovolji vixe kriterijuma istovremeno koji nisu meusobno kompatibilni.
Ovaj problem bi se mogao prevazii ako bi se definisao jedan kriterijum
koji bi objedinio sve relevantne pokazatelje u jednu brojnu vrednost, xto bi
za performanse sistema u vremenskom domenu moglo da glasi:
J = k1(vreme uspona ) + k2(vreme smirenja ) + k3(preskok ) + k4(statiqka grxka ) + · · ·
• ki je teinski koeficijent.
Meutim ovako usvojen kriterijum ne moe dovesti do analitiqkog rexenja
problema. Zahtev za poreenjem rexenja koja se mogu dobiti primenom precizno
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
30/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 24
definisanih analitiqkih metoda doveo je do ideje da se formiranju kriteri-
juma performanse pristupi sa aspekta eljenog globalnog ponaxanja sistema.
To znaq da se eljeno dinamiqko ponaxanje sistema moe iskazati kroz zahtev
da se dostigne neko zadato krajnje stanje pri qemu je nebitno kako se sistem
ponaxa u procesu prelaza do tog stanja ili se zahteva da sistem celo vreme u
najveoj moguoj meri prati neku zadatu trajektoriju u prostoru stanja ili
je pak pri oceni ponaxanja sistema od izuzetne vanosti koliqina utroxene
energije pri dostizanju krajnjeg cilja itd. Iz pomenutog se moe zakljuqiti da
je potrebno da se napravi razlika izmeu mere performanse dostizanja krajnjeg
stanja i prelaza od poqetnog do krajnjeg stanja. U skladu sa tim opxti oblik
kriterijuma performanse sistema moe se iskazati sledeim izrazom:
J = G(x(tf ), tf ) +
tf
t0
F (x(t), t) dt (41)
• G(x(tf ), tf ) - mera dostizanjastanj, izraava odstupanje krajnjeg stanja od eljenog krajnjeg stanja, G je proizvoljna skalarna funkcija.
• tf t0
F (x(t), t) dt - mera prelaznog procesa, zavisi od trajektorije stanja koja
nosi kompletnu informaciju o sistemu ali i od upravljanja koje odreuje
koliqinu energije koja se troxi pri prelazu sistema iz jednog stanja u
drugo, F je skalarna funkcija.
Treba istai da u praksi qesto dolazi do sukoba izmeu fiziqkog znaqenja
samog kriterijuma performase i analitiqkih mogunosti za njegovo rexavanje,
pa se zbog toga qesto pravi kompromis izmeu eljene mere performanse i
raspoloivog analitiqkog aparata. U praksi se javljaju razliqiti prob-
lemi pa na osnovu toga i odgovarajui kriterijumi perfomanse. Ovde emo
izloiti samo jedan oblik kriterijuma performanse vezano za problem stabi-
lizacije inverznog klatna.
• Generalisani problem praenja
Zadatak :odravanje stanja sistema xto je mogue blie zadatim trajektori-
jama stanja xž(t) vodei raquna o utroxenoj energiji i ostvarivanju krajnjeg
cilja.
Oblik kriterijuma performanse :
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
31/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 25
J = (xf − xž)T H (xf − xž) + tf t0
eT (t)Q(t)e(t) + uT (t)R(t)u(t)
dt (42)
J = xf − xž2H +
tf
t0
xf (t) − xž(t)2Q(t) + u(t)2R(t) dt (43)
• H - simetriqna, pozitivno poluodreena matrica.
• Q(t) - realna, simetriqna, vremenski promenljiva, pozitivno poluodred- jena matrica.
• R(t) - realna, simetriqna, vremenski promenljiva, pozitivno odreenamatrica.
4.5.2 Optimalno upravljanje inverznim klatnom
Optimalno upravljanje rotacionim inverznim klatnom odreuje se na osnovu
njegovog linearizovanog matematiqkog modela u prostoru stanja koji je dat
izrazom (44). Treba istai da se teoriski rezultati odreivanja optimalnog
upravljanja ne ograniqavaju samo na linearne sisteme ve se primenjuju na
daleko xiru klasu sistema, kao xto su na primer nelinearni nestacionarni
sistemi ili diskredtni sistemi.
Ẋ(t) = As ·X(t) + Bs · u(t) (44)
Poxto je zahtev postavljen upravljaqkom sistemu odravanje stanja xto je
blie mogue stanju 0x odnosno ljenoj trajektoriji xž ≡ 0 koja je svo vremeidentiqki jednaka nuli, uz xto manji utroxak energije. Moe se na osnovu
ovako definisanog zahteva uvesti kriterijum performanse u sledeem obliku:
J =
+∞t0
xT (t)Qx(t) + u(t)RuT (t)
dt (45)
Odnosno za sisteme sa jednim ulazom i vixe izlaza kakav je rotaciono in-
verzno klatno kriterijum (45) prelazi uoblik (46).
J =
+∞t0
xT (t)Qx(t) + Ru2(t)
dt (46)
• x(t) ∈ R4
• u(t) ∈ R
• Q
∈ R4×4
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
32/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 26
• R ∈ R+
Zahtev za xto manjim utroxkom energije uvodi se zbog mogunosti fizi-
qke realizacije dobijenog algoritma upravljanja. Ukoliko u kriterijum ne bi
bio ukljuqen ovaj uslov, minimizacija kriterijuma dovela bi do upravljaq-
kih signala koji vrlo qesto izlaze iz opsega fiziqke ostvarljivosti. Moe
se primetiti da u kriterijumu nigde nije postavljeno konkretno ograniqenje
upravljaqkog signala, pogodnim izborom Q i R moe se dobiti ostvarivo re-
xenje, o tome e u nastavku biti vixe reqi. Problem koji se razmatra ovde u
literaturi je poznat kao problem regulisanja odnosno regulacija stanja. Pro-
jektovanjem linearnog regulatora na osnovu kvadratnog kriterijuma (45) bavi
se LQ teorija, ovaj akronim potiqe od engleskih reqi (Linear Quadratic ).
Ve je objaxnjeno da se do optimalnog upravljanja dolazi odreivanjem glob-
alnog ekstremuma kriterijuma performanse. Meutim za odreivanje ekstremuma
kriterijuma performanse usvojenog u obliku (46), nije mogua upotrba matem-
atiqke analize. Poxto je kriterijum performanse funkcija od upravljanja
na nekom zadatom ili proizvoljnom vremenskom intervalu a upravljanje funk-
cija od vremena, proizilazi da je indeks performanse ”funkcija od funkcije”
J = J (u(t)) odnosno funkcional J : u(t) → R, J = {u, J (u) : u ⊂ Ω, J (u) ∈ R}.Funkcional J se definixe kao preslikavanje koje svakoj funkciji u(·) iz klase
funkcija Ω pridruuje jedan realni broj. Funkcija upravljanja koja mini-mizira indeks performanse (46) data je izrazom (47)
u(t) = −R−1BT Px(t) (47)
• P = PT ≥ 0
• P ∈ R
Nepoznata matrica P dobija se rexavanjem matriqne jednaqine (48) koja je
u literaturi poznata kao Rikatijeva algebarska jednaqina.
PA+AT P−PBR−1BT P+Q = 0 (48)
uopt(t) = −R−1BT Px(t) = −KLQx(t) (49)
4.5.3 Izbor teinskih matrica
Jasan fiziqki znaqaj elemenata matrice Q i R vidi se ukoliko se one izaberu
kao dijagonalne matrice, pri qemu je u ovom sluqaju R pozitivan realni broj.
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
33/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 27
Kod matrice (50) vidi se da dijagonalni elementi omoguavaju specifikaciju
znaqaja koji ima odstupanje pojedine veliqine stanja (51). Teoretski ove ma-
trice ne moraju biti dijagonalne, meutim postaje nejasno koji zanqaj imaju
ustali, nedijagonalni elementi matrice. Moglo bi se rei da je ovo neusa-
glaxenost matematiqke mogunosti rexavanja problema i njegovog fiziqkog
zanqenja.
Q =
Q1 0 0 0
0 Q2 0 0
0 0 Q3 0
0 0 0 Q4
(50)
xTQx = Q1x21 + Q2x
22 + Q3x
23 + Q4x
24 (51)
Adekvatan izbor teinskih matrica Q i R uvek predsavlja kompromis izmeu
suprotstavljenih zahteva: dobre performanse upravljanja (velike vrednosti
elemenata matrice Q) i minimalno mogue uloene energije (velika vrednost
R ). Generalno matrice Q i R se moraju podexavati sve dok se ne ostvari
eljeno dinamiqko ponaxanje sistema u zatvorenoj povratnoj sprezi. Meutim
inicijalni izbor dijagonalnih elemenata matrice Q i vrednosti R moe se
izvrxiti na sledei naqin:
Qi =
1
xmaxi, i = (1, 2, 3, 4) (52)
√ R =
1
umax (53)
xmaxi , umax - predstavljaju maksimalno prihvatljivu promenu i-te veliqine
stanja odnosno upravljaqkog signala.
4.6 Kontrolisanje energije klatna
Strategija koja se koristi za rexavanje problema podizanja klatna zasnovana
je na kontroli energije klatna. Posmatrae se izdvojeno klatno qije ponaxanje
je opisano jednaqinom (54), u ovom izrazu trenje je zanemareno.
J 2 ϕ̈ − m2gζ c sin(ϕ) − m2aζ c cos(ϕ) = 0 (54)
a = rAθ̈ - ubrzanje taqke vexanja klatna. Energija klatna kada je taqka
vexanja nepomiqna moe se izraziti jednaqinom (55), ovako napisana energija
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
34/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 28
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−700
−600
−500
−400
−300
−200
−100
0
100
200
t [s]
pozicija klatna [o]
brzina klatna [o /s]
pozicija ruke [
o
]brzina ruke [
o /s]
Slika 19: Numeriqka simulacija optimalnog upravljanja nelinearnim matem-
atiqkim modelom pri poqetnim uslovima x0 = ( 30◦ 0 0 0 )T .
klatna jednaka je nuli kada se klatno nalazi uspravno i pritom brzina ϕ̇ je
jednaka nuli.
E = 1
2
J 2 ϕ̇2 + m2gζ c (cos(ϕ)
−1) (55)
Da bi doxli do adekvatnog zakona upravljanja koji e poveati energiju
klatna kada se ono nalazi u donjem poloaju, potrebno je odrediti uticaj
ubrzanja taqke vexanja kaltna na promenu energije klatna. U tom cilju vr-
xi se diferenciranje izraza za energiju (55):
dE
dt = J 2 ϕ̇ϕ̈ − m2gζ c ϕ̇ sin(ϕ) (56)
Povezivanjem diferencijalne jednaqine kretanja klatna(54) i izvoda energije
po vremenu (56) dobijamo izraz (57) koji pokazuje uticaj ubrzanja taqke vexanjana promenu energije klatna.
dE
dt = (m2ζ c ϕ̇ cos(ϕ)) a(t) (57)
Ovako formulisan problem kontrole energije pomou ubrzanja taqke vexanja
klatna, predstavlja sistem prvog reda integralnog tipa deljstva sa promenljivim
pojaqanjem, xto je sasvim logiqan i oqekivan rezultat. Sada je potrebno odred-
iti zakon upravljanja tako da se enegija klatna dovede do eljene vrednosti
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
35/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 29
E ̌z = 0. Ovo se moe rexiti uvoenjem povratne sprege po energiji, pa se
dobija zakon upravljanja u sledeem obliku:
u(t) = a(t) = k(E ̌z − E ) ϕ̇ cos(ϕ) (58)k - pojaqanje.
U cilju poboljxanja performanse upravljanja a takoe i lakxe implementacije
moe se uvesti modifikovani zakon upravljanja (59), poznat kao beng-beng naqin
upravljanja.
u(t) = k · sign ((E ̌z − E ) ϕ̇ cos(ϕ)) (59)
U zakonu upravljanja (59) upravljaqki signal na celom intervalu upravlja-
nja uzima svoje ekstremne vrednosti. Ovakav upravljaqki signal u praksi moe
da dovede do vrlo negativne pojave qeteringa. Radi spreqavanja takve pojave
umesto funkcije sign(·) koristi se funkcija simetriqnog zasienja sa linear-nim delom kod koje izbor nagiba linearnog dela odgovara sistemu na koji se
implemetira ovakav kontroler, sl 20.
u(t) = satkn ((E ̌z − E ) ϕ̇ cos(ϕ)) (60)
Slika 20: Nelinearnost tipa simetriqnog zasienja sa linearnim delom.
Na sledeim slikama date su numeriqke simulacije rada razvijenog upravl-
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
36/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 30
jackog sistema. Sitem se u poqetnom trenutku nalazi u stanju x0 =
180◦ 0 0 0
T .
Simulacija je uraena za dva karakteristiqne vrednosti parametra k, funk-
cije zasienja, od koga zavisi maksimalni gradijent ubacivanja energije u sis-
tem.
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
37/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 31
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−800
−600
−400
−200
0
200
400
600
800
t[s]
pozicija klatna [o]
brzina klatna [o /s]
pozicija ruke [o]
brzina ruke [o /s]
Slika 21: Numeriqka simulacija kretanja sistema za k = 0.5.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.14
−0.12
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
t [s]
E [ J ]
energija
Slika 22: Numeriqka simulacija promene energije klatna za k = 0.5.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
t [s]
U
[ V ]
upravljanje
Slika 23: Upravljaqki signal.
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
38/39
4 DETALjAN OPIS TEHNIQKOG REXENjA 32
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−600
−400
−200
0
200
400
600
t [s]
pozicija klatna [o]
brzina klatna [o /s]
pozicija ruke [o]
brzina ruke [o /s]
Slika 24: Numeriqka simulacija kretanja sistema za k = 3.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.14
−0.12
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
t [s]
E [ J ]
energija
Slika 25: Numeriqka simulacija promene energije klatna za k = 3.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
t [s]
U
[ V ]
upravljanje
Slika 26: Upravljaqki signal.
-
8/18/2019 m83 Tr Rik Small
39/39
5 LITERATURA 33
5 Literatura