Exercices de Mathematiques

Trigonometrie

Enonces

Enonces des exercices

Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]

Calculer cos 5a en fonction de cos a. En deduire lexpression de cospi

10.

Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]

Transformer cosx+ 2 cos 2x+ cos 3x en produit.

Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]

Transformer sin x+ sin 2x+ sin 7x+ sin 8x en produit.

Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]

Simplifier lexpression P = (2 cos x 1)(2 cos 2x 1) (2 cos(2n1x) 1).

Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]

Simplifier lexpressioncos 6x+ 6 cos 4x+ 15 cos 2x+ 10

cos 5x+ 5 cos 3x+ 10 cos x.

Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ]

Resoudre lequationcosx+

sin x = 1.

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Trigonometrie

Indications, resultats

Indications ou resultats

Indication pour lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]

On developpe cos 5a+ i sin 5a = (cos a+ i sin a)5 et on prend les parties reelles.

Avec a = pi10 et t = cos2 a, on a 16t2 20t+ 5. Finalement x =

5+5

8 .

Indication pour lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]

Transformer cosx+ cos 3x en produit.

Indication pour lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]

Transformer sin x+ sin 8x et sin 2x+ sin 7x en produits.

Indication pour lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]

Verifier et utiliser legalite (2 cos 2kx 1)(2 cos 2kx+ 1) = 2 cos(2k+1x) + 1.On trouve finalement P =

2 cos 2nx+ 1

2 cos x+ 1.

Indication pour lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]

Multiplier le denominateur par 2 cos x.

Indication pour lexercice 6 [ Retour a` lenonce ]

Etudier lapplication x 7 (x) = cosx+sin x sur [0, pi2 ].

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Corriges

Corriges des exercices

Corrige de lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]

On developpe cos 5a+ i sin 5a = (cos a+ i sin a)5 et on prend les parties reelles :

cos 5a = cos5 a 10 cos3 a(1 cos2 a) + 5 cos a(1 cos2 a)2= 16 cos5 a 20 cos3 a+ 5 cos a

Pour a = pi10 et on posant x = cos a, on trouve :

0 = cos 5a = 16x5 20x3 + 5x = x(16x4 20x2 + 5)

Le reel t = x2 est solution de 16t2 20t+ 5. Donc t {558 ,

5+5

8

}.

Or 0 < a < pi4 12 < t < 1. La seule possibilite est donc t =

5+5

8 .

Dautre part, x = cos a est positif. On en deduit : x =

5+5

8 .

Corrige de lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]

On a tout dabord cosx+ cos 3x = 2 cos(2x) cos x.

On en deduit : cos x+ 2 cos 2x+ cos 3x = 2 cos(2x)(1 + cos x) = 4 cos(2x) cos2x

2.

Corrige de lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]

On a par exemple : sinx+ sin 8x = 2 sin9x

2cos

7x

2et sin 2x+ sin 7x = 2 sin

9x

2cos

5x

2.

Donc sin x+ sin 2x+ sin 7x+ sin 8x = 2 sin9x

2

(cos

7x

2+ cos

5x

2

)= 4 sin

9x

2cos(3x) cos

x

2

Corrige de lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]

On a : (2 cos 2kx 1)(2 cos 2kx+ 1) = 4 cos2(2kx) 1= 4

1 + cos(2k+1x)

2 1 = 2 cos(2k+1x) + 1.

Si on pose vk = 2 cos 2kx+ 1, lexpression donnee par lenonce secrit :

n1k=0

(2 cos 2kx 1) =n1k=0

vk+1vk

=vnv0

=2 cos(2nx) + 1

2 cos x+ 1

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Corriges

Corrige de lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]

On a : 2 cos x(cos 5x+ 5 cos 3x+ 10 cos x) = 2 cos x cos(5x) + 10 cos x cos 3x+ 20 cos2 x

= cos 6x+ cos 4x+ 5(cos 4x+ cos 2x) + 10(1 + cos 2x)

cos 6x+ 6 cos 4x+ 15 cos 2x+ 10

Conclusion :cos 6x+ 6 cos 4x+ 15 cos 2x+ 10

cos 5x+ 5 cos 3x+ 10 cos x= 2 cos x

Corrige de lexercice 6 [ Retour a` lenonce ]

Le premier membre est 2pi-periodique en x, sur la reunion des Ik =[2kpi, 2kpi + pi2

], k ZZ.

Lensemble des solutions a la meme periodicite. On se place par exemple sur I0.

Lapplication x 7 (x) = cosx+sin x est continue sur I0, derivable sur I 0 =]0, pi2

[.

x I 0, (x) =(cosx)3/2 (sinx)3/2

2cosx

sin x

a le signe de cos x sin x.

Ainsi est strictement croissante sur[0, pi4

]et strictement decroissante sur

[pi4 ,

pi2].

Or (0) = (pi2 ) = 1. On en deduit que sur I0, (x) = 1 x {0, 1}.Par periodicite, les solutions sur IR sont les x = 2kpi et les x = pi2 + 2kpi, avec k ZZ.

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