Spis treści
Spis treści 3
I. Liczby rzeczywiste
1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne ............. 5 2. Pierwiastki, liczby niewymierne ...................... 11 3. Potęga o wykładniku naturalnym,
całkowitym, wymiernym ............................... 15 4. Wyrażenia arytmetyczne ............................... 20 5. Przedziały liczbowe ....................................... 24 6. Logarytmy ................................................... 30 7. Wartość bezwzględna. Przybliżenia ................. 34 8. Obliczenia procentowe .................................. 38Sprawdzian po dziale I ....................................... 42
II. Wyrażenia algebraiczne
9. Wyrażenia algebraiczne. Proste przekształcenia algebraiczne .................. 44
10. Wzory skróconego mnożenia .......................... 4811. Zastosowanie wyrażeń algebraicznych
w zadaniach praktycznych ............................. 52Sprawdzian po dziale II ...................................... 56
III. Równania i nierówności
12. Równania liniowe ......................................... 5713. Nierówności liniowe ..................................... 6114. Układy równań liniowych .............................. 6515. Równania kwadratowe .................................. 7216. Nierówności kwadratowe............................... 7617. Równania wyższych stopni ............................. 8118. Proste równania wymierne ............................ 85Sprawdzian po dziale III ..................................... 89
IV. Funkcje
19. Sposoby opisywania funkcji ............................ 9120. Własności funkcji .......................................... 9721. Funkcja liniowa .......................................... 10222. Przekształcenia wykresów funkcji .................. 10823. Wzór i wykres funkcji kwadratowej ................ 11424. Własności funkcji kwadratowej ..................... 12125. Zastosowanie funkcji liniowej
i kwadratowej ........................................... 12626. Funkcja wymierna a
x ....................................131
27. Funkcja wykładnicza ................................... 138Sprawdzian po dziale IV ................................... 143
V. Ciągi
28. Opisywanie ciągu za pomocą wzoru ogólnego ......................................... 145
29. Ciąg arytmetyczny ...................................... 14930. Ciąg geometryczny ..................................... 15331. Zastosowanie ciągów arytmetycznego
i geometrycznego ....................................... 157Sprawdzian po dziale V .................................... 161
VI. Trygonometria
32. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym ............................ 162
33. Funkcje trygonometryczne kąta w układzie współrzędnych ........................... 166
34. Zależności trygonometryczne ....................... 17035. Zastosowanie trygonometrii ........................ 174Sprawdzian po dziale VI ................................... 177
VII. Planimetria
36. Figury płaskie ............................................. 17837. Zastosowanie trygonometrii
w problemach geometrycznych .................... 18438. Przekształcenia figur płaskich ....................... 18839. Kąt środkowy i kąt wpisany .......................... 19540. Wzajemne położenie prostej i okręgu
oraz dwóch okręgów na płaszczyźnie ............. 19941. Podobieństwo trójkątów .............................. 205Sprawdzian po dziale VII .................................. 210
VIII. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej
42. Odległość na płaszczyźnie kartezjańskiej ........ 21243. Równanie ogólne i kierunkowe prostej .......... 21644. Równoległość i prostopadłość prostych .......... 22045. Interpretacja graficzna układu
równań liniowych ....................................... 22346. Obrazy figur płaskich w symetrii
osiowej i środkowej ..................................... 227Sprawdzian po dziale VIII ................................. 232
IX. Stereometria
47. Graniastosłupy ........................................... 23348. Ostrosłupy ................................................. 23949. Bryły obrotowe ........................................... 24550. Kąt dwuścienny. Przekrój prostopadłościanu
płaszczyzną ................................................ 25251. Zastosowanie trygonometrii w stereometrii ... 257 Sprawdzian po dziale IX ................................... 262
X. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka
52. Analiza danych statystycznych ...................... 26353. Liczba obiektów w prostych sytuacjach
kombinatorycznych ..................................... 26854. Prawdopodobieństwo zdarzenia ................... 272Sprawdzian po dziale X .................................... 276
Zadania z rozwiązaniem krok po kroku .................. 278Arkusz maturalny – przykładowy zestaw zadań ...... 287Odpowiedzi do zadań .......................................... 305
Indeks ............................................................... 310
52. Analiza danych statystycznych
Średnia wielkość (wartość przeciętna)
-
Średnia arytmetyczna
n a a an1 2, , ..., a a a an
n= + + +1 2 ...
x = =+ + + +4 2 7 6 35
4 4,
Przykład 1.
Rozwiązanien a a an1 2, , ...,
a a an
n1 2 12+ + + =... . a a a nn1 2 12+ + + =... .
-a a a
nn1 2 29
113+ + + +
+=... . a a a nn1 2 12+ + + =... .
12 291
13nn
++
=
12 29 13 13n n+ = +
n = 16Odpowiedź:
Mediana
n a a an1 2 ...m an= + 1
2
n;
ma an n
=+
+2 2 1
2n.
X. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka
���������������� ��������������������8������������� ����������������� ���������� �����������
������������8������������� �������� 7 82
7 5+ = , �
��� Przykład 2. ������!�"��#�����$��������������� �������%�&�����������x���������� ��"'�������(%�����%�%�x�Rozwiązanie)����*�%��*���� ������%�&� #+��� -���!�"�% ��������%��%"��'����������������� ��/"�����"%����%������'�&��%"��'��/"�#��%�&�
6 52
= + x
12 5= + xx = 7
���� Średnia ważona
��������� �� n������ a a an1 2, , ..., ���!"�%!�"��#����%���������%����$���w w wn1 2, , ...,
���%���%�����- a w a w a w aw w w
n n
n= + + +
+ + +1 1 2 2
1 2
......
�
��� Przykład 3.:"�������$������$���������$������#"� ���������%#���#�� ��;���%�� +����<���*��%�&������%���!��#�'�������#�� ��;���%+��"'������<��=�� ��;�����%��������'�����#�� ��;��>� ;������'���?����%�%�+������/"��������$���$�����������%���#�� �Rozwiązanie)����*�%��*���������/@�����'����#�� ����*��%�!��"�#����@���#���$����/"���&��%�#'�����%�&�#�� ��&��A���+������/"���������%���#�� ����/"������*����
x = =⋅ + ⋅+
18 74 32 8218 32
79 12% % , %
Odpowiedź: C������/"�������$�������%�� ������<�
���� Odchylenie standardowe:"�����"%����%����������$"���������D�"����-����� �������%�&��E���!"�%#+���"����*�%�����%��'�&�����'����#�#��!"�����'�����#�����"�#��
F"����� ?���%����� ?���%�G��#�
�������%#� � �
�-�%#�!�� # ; �
D�%#� � ;
& ��"� � �
)�"'������!"�%!�#����������#��G��#��/"��������������H��(��%�����#��*�� %��������� ����!�+���"'*������%��D�"���������� �������%�&��%+��!�+��� ���� ���% �%#���D�"�������#������"�-������&������%��I��%������#�&���"�-���� �� ����������������� ���#�'"���'�� ���"'*���������%�#'������ �������%�&� ���% �%���%�&��!�#������"��!"� �������%�&� ��-�% �%���%�&�
X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA264
?�&%������ ����"��%��n���%�&�������%�&� a a an1 2, , ..., � #�'"%�&�/"�����"%����%�����
"'������ ��a � ���%���%�����- � = −( ) + −( ) + + −( )a a a a a an
n12
22 2... �
(%������%���&%����� ����"���������������G��#��
� Adam = = =−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + + +6 4 3 4 6 4 1 44
4 1 4 92
182
2 2 2 22 12≈ , �
�Tomek = = =−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + + +4 4 4 4 3 4 5 44
0 0 1 12
22
2 2 2 20 71≈ , �
I�#���@����!"�%!�#���������&%����� ����"������ ���-# ����*���!"�%!�#��G��#���������������*������%������ ����"����"��!"� �����
UWAGA
L���-�a a a a a a
nn1
22
2 2−( ) + −( ) + + −( )...����%���%������������%�&�
��� Przykład 4.(%�����%�%���&%����� ����"������ �������%�&�������������Rozwiązanie(�!�"� ����#������/���%������%�/"�����"%����%������� �������%�&�
a = =+ + +2 5 6 74
5
�*��%���"���!"�% ��!@����%�����������&%����� ����"���$��
� = =−( ) + −( ) + −( ) + −( )2 5 5 5 6 5 7 54
142
2 2 2 21 87≈ ,
Odpowiedź: ?�&%����� ����"������ ��"'�����#�+�������
��� Przykład 5.M���$"����!"�� ��������� ���������������������%#���#�� ��N�"�#���(%-�����%�%�/"�����"�����&%����� ���-�"������������������%#�������#�� ��Rozwiązanie(�!�"� ����#������/���%������%�/"�-�����*������ �������%�&�
a = = =⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + + +
0 1 2 2 4 3 4 4 8 5 6 60 2 4 4 8 6
10824
4 5,
�*��%���"���!"�% ��!@����%�����������&%����� ����"���$��
� = ⋅ −( ) + ⋅ −( ) + ⋅ −( ) + ⋅ −( ) + ⋅ −( ) +0 1 4 5 2 2 4 5 4 3 4 5 4 4 4 5 8 5 4 5 62 2 2 2 2, , , , , ⋅⋅ −( ) =
=
6 4 524
3824
2
1 26
,
,≈
Odpowiedź: :"������������������%#���#�� ��N�"�#���� ��"'�������������&%����� ����"�����%�� ��#�+�������
52. Analiza danych statystycznych 265
���� Zadania
Zadanie 1. ������������� � ����������������� ���������������������I�/���������!�"��#�����$����"� ����$���� ����� ��/������������������x��;��;��� ��"'���������A. x = 3 B. x = 4C. x = 5 D. x = 7
Zadanie 2. :"�����"%����%��������������������x��������;������ ��"'�������?��O�!"�����/@�#�*�$��������������P������������������������� �F����������!�"����� I. x = 5 P / F II.� ������� ��"'������� P / F III.� ������� ��"'����/"������"%����%������� P / F
Zadanie 3. ?�������&%����� ����"������ �������%�&��������������������� ����� �� ���#�A. 4 B. 5
C. 6
2 D.
64
Zadanie 4. G������!"�� �������"��#�!"�����#'��!������D"�%��?���������/"������"����#�*%���!"�����#'������D"�%�
L�����!"�����#'� (% �#�/@�!�� ��P�+Q
� ��HH
� ��HH
; ��HH
� ��HH
Zadanie 5. F�+�����!�"��#����%��� ������������!������/"�����"%����%��������/���������*�����#�*�$�����%�&��� ���'���������� ��"'������$���������� ��������� �� �����������%� I.�;�����a������ II.�����a������� III.����;��a���������
A. x = 5
B. x = 6
C. x = 7
D. x = 8
I – II – III –
Zadanie 6. :"��������������� ��� �������#�� ������� ��"'������H�������� �����"�%��- ��� �������#�� ������%�� ���H��I�#���� ��/"���������������#�� ��&R�������� ����� �� ���#�A. 4 3, B. 4 4,C. 4 5, D. 4 6,
X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA266
Zadanie 7. (%����������-�!"��- ������$�����#��� �������%�&��������� ����� �� ���#�A. 3 B. 3 5,C. 4 D. 4 5,
Zadanie 8. (�������!"�� �����������%�!����$���������"�������$����#�'"�������%���� �� ������!� ����$'��%�&� ��!���S����%�� �/"������*�����%�&�����R
(�$������% ?�"�%���������%
� ����
; �
� ���;��;
Zadanie 9. ?�������&%����� ����"������%�&�!"�� �����%�&������������#+���/�������-/���� -��%�&�
?���� � � ; � � �
L��������� � H � � � ;
Zadanie 10. :"������*������ ����������!"�� �����%�&����������� ��"'���������(%��������$-�����%���
?���� � � �
(�$� � � x
52. Analiza danych statystycznych 267
X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA268
53. Liczba obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych
���� Kombinatoryka���� & ������ �����������"���%�������������%��������'�����"'�� #�O����%�&������#+�'���%�&��������'���E��"�$�+� �� ����%�&���#�������"%�������*�������"�$�+����������"�-$�+�����*�������� I�/�����������'��!����$�����"�����"�%�%���������"%�����!����/�%�� ���@�>���%�#�"�% ���%����� �% �#�&��������'�����"�����%��%��"��%��%�#����#�'"��>���%��&�#������/@������%�����"����� ����*������%����������������>���%��������%�����$�����"����$�� -�!����"��@�
���� Reguła dodawaniaI�*���������%���/@�!���$�����!��-�����������k���%����!"�%���%��!�"� ������%�&���%�����*���!���@����n�� !� ��'���"�$�����n�� !� ��'���T��kU������nk� !� ��'��������+����%���/@��� -��%#���@����n��+ n��+�T�+ nk� !� ��'��
��� Przykład 1.F���I����%��"�� -�������� %��� �"��%���� ������� -�����%��"���#"������������� �#�� �����%��"���H�#"����'������� ��#��F����%�%�������� !� ��'����*���#���@��%��"��RozwiązanieI�*���!���I����%��"���#"�������������H���*���/���I�*����%��"����� �#-������������*���/���M����*���������/�����+�*%@�#"��������� �#��I�/���� �� ����%�"�$�+-�����������"�%�����%��H�+���=���� !� ��'�� #��!��������� �"����Odpowiedź: F���I���������%��"�������*���/��
���� Reguła mnożenia���� I�*���������%���/@�!���$�����!��-���#������ k���%����!"�%���%��!�"� �������&���*���!���@����n�� !� ��'���"�$�����n�� !� ��'���T��kU������nk� !� ��'��������+����%���/@��� -��%#���@����n��· n��V�T�V�nk� !� ��'������ W�$�+-����*���� �� ����%��� %�������&��$%��#"�/���%�����-�"'*�%�&���$'�� #�O����%�&��E��%��%�������"'������$'�����#�'"%�&��%"��%���$�� -�!����"��@����#����$'����"'*�%�&��%"����&�
��� Przykład 2.F���I����%��"�� -�������� %��� �"��%��=��!������� �"'���+�*��%���$�"���"���#� �����#"������X���%��%�"�+�����/���Y�� �����%��"��;�$�"���"%����#� ������H�#"����'���F����%�%�������� !� ��'����*�� -���"�@�RozwiązanieF���I������!�"���%��"��$�"���"�>����;���*���/���!�����#� ���-�>�����*���/����� �-!���#"�����>��H���*���/���A�� ����%�"�$�+-����*�������"�%�����%�;�V���V��H�=���H� !� ��'�� #��!��������� �"����Odpowiedź: F���I�����*����"�@� -������H� !� ��'��
��� Przykład 3.Z+'*�%�!������#�������������O��%$�������/���������*�����%���������%@�!����������#����-�%#��!�� #�$���& ��"���������%#������$���D�"���%#��M����� !� ��'����*��%�����"��@RRozwiązanie(�!�����������% ��!@�� �% �#���%�������!"�����%�����������#������/���#�*%��%�#��"���F���� �� �������!�"� ������#������%����%��"����!"�����'���!���� �� �������"�$�����#������%���*��%�#����!"�����%���"������>�;�!"�����%������"����>���!"�����%��!�����>���!"������A�� ����%�"�$�+-����*�������"�%�����%���V���V�;�V���V���=���H� !� ��'��� �������!"�����'�����#�����%�&���#����&�Odpowiedź: F����!-�����#�������������O���*��%��+�*%@������H� !� ��'��
��� Przykład 4.M����� !� ��'����*��%��+�*%@�#���"�%�%D"��%����%D"���!�"�% �%�&��#�'"�a) ��$�� -�!����"��@[ b) �����$�� -�!����"��@RRozwiązaniea) )�����"��� �% �#�&��%D"��%��"��%��%�#����!�"�% ������%�����;�����������F���� ��%��"����!�"� �����%D"%�#������%���% !��%������%D"��!���� ��%��"����"�$�����'�����%����%D"����!���� ��%��"�����"������>���#*�����%D"��\%D"%�����"���#�������V���V���=����� !� ��'��Odpowiedź: =���"�%�%D"��%���!����"�����%�&� -��%D"��&���*��%��+�*%@�������� !� ��'��
b) )�����"��� �% �#�&��%D"��%��"��%��%�#����!�"�% ������%�����;�����������F���� ��%��"����!�"� �����%D"%�#������%���% !��%������%D"��!���� ��%��"����"�$������%���*��%�#�����%D"%����!���� ��%��"�����"������]�;��%D"%��\%D"%�����"���#�������V���V�;�=��H� !� ��'��Odpowiedź: =���"�%�%D"��%���"'*�%�&��%D"��&���*��%��+�*%@�����H� !� ��'��
��� Przykład 5.�����N�"��#��\��"�#� �����"������#��#�" ���������%����$���S����� ����*���/�����-���!"������&�#�������!�"� ��$���"�$�$����"����$����� ��RRozwiązanie
Sposób I=�*%��&+�!�����*���%@����"������!�"� ��$����� ����"�$����� �����*������@���*��%�#���'�&��&+�!�'������"�������� ���!��� ������������$���&+�!����A���;�V���V���=���Sposób IIF� +�*�%� -�$"�D�����������"���-#���=�*%��&+�!�����*���%@����"������!�"� ��$�� ��� ���� "�$�� ��� �����*������@���*��%�#���'�&��&+�!�'������"�������� ���!��� ������������$���&+�!���L��%�%�#�O������%�#����"�%����-�%�����*���/��!"�%����������"�-�����#�����%�&���� ����!�"� ��$�����"����$��Odpowiedź: I� ������*���/�����-���!"�����"���&��&+�!�'��#�������!�"�- ��$���"�$�$����"����$����� ���
53. Liczba obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych 269
���� Zadania
Zadanie 1. M����� !� ��'����*���� ���@���#�������!-@�#�������"���&��-*��%��R�������� ����� �� ���#�A. 8 B. ���C. ��H D. �H�;�H
Zadanie 2. ^"�!�� #+��� -��� ��/������������ ��/����&+�!�'���M����� !� ��'����*�������"�%@� ��/@��� ���%�&�!�"��������%�&R�������� ����� �� ���#�A. � B. ;�C. ��H D. ;���HH
Zadanie 3. M����� !� ��'����*����%!�+�@���#��-��+�*�������H�!%��O����*������#�*��!%������"������!�����@�G�=�����MS_R�������� ����� �� ���#�A. ��H B. �H�
C. ��V��H D. �H
Zadanie 4. S���"'*�%�&�#�'�����"��%�&����#�'"%�&����"%�����-�� -�!����"��+%����*�����"�%��@���!-���"'*�%�&����"R$���������� ��������� �� �����������%� I.�#�%������"��� II.�#�%��"�%���"��� III.�#�%�����"����"���
A.���� B.���H C.��H D.��� E.��H
I – II – III –
Zadanie 5. =� ����*��!� +��&�@����%#���������"��@�D����M����� !� ��'����*���#���@��%��"�����*������;��!+%��\E������%#������!+%�%�E`E���D����R�������� ����� �� ���#�A. ;��+��� B. ;��V���C. � D. ���V�X;��−���Y
Zadanie 6. ^"�!��!"�%���'+���'�+�� -���� !��#�����=�*%������� ��#'�� !��#�������!�������!��+�"-#-�!��� ��+%���I���������� ��#'�� !��#����!����%+��*����%+�� -����!"�%-���O��S���� '���"�+�����+��� !��#���R�������� ����� �� ���#�A. �� B. ��C. �H D. �
Zadanie 7. M����� !� ��'����*����+�*%@������"��%�����$"������/����� -���% !��%���������"��#�'"����$�� -�!����"��@R���������������� ����� �� ������A. ���V��� B. ���V���C. ��V��� D. ���
X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA270
Zadanie 8. M��!�����#��%��!"�% ���#������ �����#�'"%���� �������� �� ����%�&����!� �-*�"'���� �+����� '���M�����"'*�%�&� !� ��'����$+%�� �/@����%���� �R�������� ����� �� ���#�A. 7 6 5 4 3 2 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ B. 127
C. 712 D. 12 11 10 9 8 7 6⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Zadanie 9. S����� ��� �% �#�&���������%D"��%�&�!�����%�&�!"������������;R�������� ����� �� ���#�A. ��; B. ��C. �� D. �
Zadanie 10. I�+� ! �����"���"�%�"��������!��!-@�"����'��"�$�&��O�����"������� �"'���������P������������������������� �F����������!�"����� I.��)� ���������%� #+�����%� -�����!%��"�$�$�������� �"��
��*������'�@����;H� !� ��'��� P / F II.��)� ���������%� #+�����%� -�����!%��"�$�$��������*���
���'�@������� !� ��'��� P / FIII.��E���%�"���$��� �"����*������'�@���!-��"�$������
������ !� ��'��� P / FIV.��E���%�"�������!%�"�$�������� �"���*������'�@�
����H� !� ��'��� P / F
53. Liczba obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych 271
X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA272
54. Prawdopodobieństwo zdarzenia
���� Doświadczenie i zdarzenie losowe���� ' ������������ � ������%���%���#���/���������#�'"�$���%�#�������*��%�������������!"�����@���!��"����#� �#���"���������������"���������#� �#������� =�*%�!���%���%��%�#��/���������� ���$�����%���%��������������������������!���"�����#� �#����"��������������"�%���� ����"�%������"���&�����#�������� ����"������������>���"�%������"+���I�/�� ��� ����"�%�����#�*�$������*��%�&��%�#'������%���/���������� ��%�� ����#�� ���������'��%��*��� �% �#����"�������������"��� ������#����!"���!���������� $������������������������������XΩY�����'"�� �% �#�&���*��%�&��%�#'�����$���/���������� ���$�.M��!"�%#+����"����� ��/������#� �#����$"%�Ω = { }1 2 3 4 5 6, , , , , ������"������"������������
Ω = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )O O O O O R O R O R O O O R R R O R R R O, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , RR R R, ,( ){ }�
���� ���������� � ����#�*%�!���'"����"����"��O���������"�%�&��I�*����!����"�����A ����������"�%�����!�"�% ��������%�����#���"����� ��/������#� �#����$"%�����A = { }2 4 6, , ; ��*�����"�����B�����������"�%�����������������'�&��"+'����"������"�����������������B O O O O O R O R O R O O= ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , , , , , .�I�*�����"�������������"������� ��������-������"�����A������'��%��*����"�������������"���� !"�%������/�����"�����A.
UWAGAL���-� �������'�� ���"�� A ��������%� A , �!�� �� ٠= { }1 2 3 4 5 6, , , , , ���%� ٠= 6, �� B O O O O O R O R O R O O= ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , , , , , ���%� B = 4.
���� Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
I�*���� �% �#����"�������������"��� ������#����!"���!�������������� � � �������� ���/�����"�����A��#�'"���� ��!����"���!"�� �"���������%���%���"�������%���"��O�������-��"�%�&� !"�%�����%�&����/�����"�����A !"��������-�� �% �#�&���"��O���������"�%�&���*�-�%�&�����%���/���������� ��%��
P A A( ) =Ω
.
M��!"�%#+��!"���!����O ������"���� A !���$�����$������%"�������!�"�% ��������%�����#�
��"����� ��/������#� �#����$"%��� ��"'����P A A( ) = = =Ω
36
12����!"���!����O ������"�����
B !���$�����$�������"�%�����������������'�&��"+'����"������"��������������%�� �
P B B( ) = = =Ω
48
12
�
��� Przykład 1.W�����%����"��%� ��/������#� �#����$"%��?����%�%�!"���!����O ������"�����!���$�-����$������%���*�� ��������#���% #��%�&������%���#� �#��&��� ���-# ����*���
Rozwiązanie(%������%����!�"��!"�� �"��O���"��O���������"�%�&�Ω = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6
2 1 2 2 2 3 2
, , , , , , , , , , , ,
, , , , , , ,, , , , , ,
, , , , , , , , , , , ,
,
4 2 5 2 6
3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6
4 1
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , ,
4 2 4 3 4 4 4 5 4 6
5 1 5 2 5 3 5 4 5,, , , ,
, , , , , , , , , , ,
5 5 6
6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}�������� ٠= 36.
M��&�A�����������"�����!���$����������%���*�� ��������#���% #��%�&������%���#� �#��&��� ���-# ����*���� ��%��-��A = ( ){ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 6 4 5 4 6 5 4 5 5 5 6 6 3 6 4 6 5 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, 6( )}.�������� A = 10�
A���P A A( ) = = =Ω
1036
518
�
Odpowiedź: F"���!����O �����! ���$����"������� ��"'���� 518
�
��� Przykład 2.)�����"���%D"� 1 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , , , , ,{ }����"�%�%�����%��"�%�%D"������"'*�%�&��%D"��&��I�#���� ��!"���!����O �����*������"������������"�%�%D"������ ���-# ������HHRRozwiązanieA#�"�% ����%����!�"����"�$�+%����*�������%��%�����%@�!"�� �"��O���"��O���������"�%�&��\%D"-� ���#�����%��"�%�%D"�������*��%��%�"�@������ !� ��'���F�����*��%D"%������$�� -�!����"��@������%D"-��� ���#���*��%��%�"�@���*��%�#������� !� ��'������%D"-�����/������� !� ��'����������� Ω = ⋅ ⋅ =9 8 7 504.M��&�A�����������"�����!���$����������%���*������"������������"�%�%D"������ ���-# ������HH����%���#��%+����%D"�� ���#��� ��� ��@��%�"����������"�� 5 6 7 8 9, , , ,{ }�� �*�������"��@���� �� !� ��'���\%D"-��� ���#��"�������/����*��%���*��%��"�@��������������� �%�!��-��@��*���%D"%������$�� -�!����"��@��\%D"-��� ���#���*��%��������%�"�@������ !� ��'������%D"-�����/������� !� ��'���������������*�� A = ⋅ ⋅ =5 8 7 280.
A���P A A( ) = = =Ω
280504
59
�
Odpowiedź: F"���!����O �����! ���$����"������� ��"'����59�
��� Przykład 3.(�#� �%#���� ��n�"'*�%�&�����'������%�����+#���$"� �#���(%��"��%��� �������������������- �-!���"�$��F"���!����O �����*���%�� ����%��������� �����+#���$"� �#����%�� � 1
21��
?����%�%���������'���� �����%��#� �%#��Rozwiązanie)����*�%��*��!�"� �%��������*����%�� ���@���#� �%#�����n� !� ��'�����"�$����n −��� !�- ��'���A��� Ω = ⋅ −( )n n 1 .I��+#���$"� �#-���*����%�� ���@������� !� ��%����������!�"�����+#���!�����$"� �#-�>����"��-����I�/���-����#��A�������%�%���"�����!���$����������%�� ���������+#���$"� �#����� A = 2�
54. Prawdopodobieństwo zdarzenia 273
��������P A An n( ) = =
⋅ −( )Ω2
1�
P A( ) = 121
21
121n n⋅ −( ) =
W����*�%����"'������n n⋅ −( ) =1 42
n n2 42 0− − =
n1 6= − �����n1 7=
?��%�/�� ����������'�������*���%@�������������������������'���� ����Odpowiedź: (�#� �%#���� ����"'*�%�&�����'��
���� Zadania
Zadanie 1. �����N������\��%����E������_%���#�!���������%���#����?�"�%����!-@�#����-�%�&���� �������%��"�-����I�#���� ��!"���!����O �����*����/���%��"����� ����� �����_%����-��� ���+�����#�E�����R�������� ����� �� ���#�
A. 12
B. 15
C. 25
D. 13
Zadanie 2. =������!-���"���"���$�� #+��� -����"���&��%D"�������"�� 0 1 2 3 4 5, , , , ,{ }��?��O�!"�����/@�#�*�$��������������P������������������������� �F����������!�"����� I.��I�/��#�*���%D"��#����� ����������!"���!����O �����"�D����
#������!�"� �%��"������%�� � 1120
. P / F
II.��I�/���%D"%���#������$�� -�!����"��@�����!"���!����O ����
�"�D����#������!�"� �%��"������� ��"'���� 1125
. P / F
III.I�/���������*��!�"� ����%D"����#���������*���%@���"�� �"���*���%D"%���$�� -�!����"��@�����!"���!����O �����"�D����
#������!�"� �%��"������%�� � 1180
. P / F
Zadanie 3. A!�/"'����������"���%�&��������HH��� ����%����������-��S����%�� �!"���!�-���O �����*���%�� �������������� ��!�������!"�����R�������� ����� �� ���#�
A. 12
B. 15
C. 120
D. 1
100
X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA274
Zadanie 4. W�����%����"��%� %���"%����� ��/������#� �#����$"%��Z��!�+����������#����%��%+%�!"������������������������ ����� ��� �� ����������� �� I.�F"���!����O �����*�� ��������#��� ���-# ���������%�� �A/ B/ C/ D�II.�F"���!����O �����*�� ��������#��� ��!�������!"����;���%�� �A/ B/ C/ D� III.�F"���!����O �����*�� ��������#��� ��������!�"� �����%�� �A/ B/ C/ D�
A. 12
B. 13
C. 7
12 D.
512
Zadanie 5. F���I�������� ��D��������!�"%� #�"!����(%��$���� ��������� #�"!��-������- �-!���"�$���I�#���� ��!"���!����O �����*���%��$�-��� #�"!��%� �������!�"-R�������� ����� �� ���#�
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
Zadanie 6. M��!+� ���%c������� ��!��#�%�A� B� C� D� E����#�'"%�&�*�����"�%���� ��� !'+�-�����F"����#�*��������%�&�!��#�'��!"�����%�!"� ����I�#���� ��!"���!����O �����*���� �����%�"����!"� ���!"���&���!"����!��#� AR�������� ����� �� ���#�
A. 15
B. 25
C. 35
D. 45
Zadanie 7. (�#�� ���� ���������������� ���&��-�����*��&+�!�'���F"���!����O �����*���� �����%�"����� ����������#�� %�������%�!������%�� � 4
17��S���� '��������#�� ��������%�!���R
Zadanie 8. A�#"���"#����! �+������"%�"'*�����!"� �������&��+������% +�@�!���������#�"�������������"��&�"'*�%�&�� '���)+�/��%��"� �!��� ��+������/����% +�+�������"� ��'���� �����I�#���� ��!"���!����O �����*���#+���������� ���"�D������+�/���$�����"�%R�������� ����� �� ���#�A. 0 B.
124
C. 14
D. 12
Zadanie 9. (��"��� ��#�������"���&�#���"��&��*'+�%������"�%������� #���I� ���&��-�����*�;H��������*��H��(�!"�%!�#���� ������������#������"�%�!"���!����O �����%�� ���-
���#���*'+������ ��"'����12
��!"���!����O �����%�� ������#������"�����%�� � 314
����!"���-
!����O �����%�� ������#������� #������27
��S����� ��#�����!� ����$'��%�&�#���"��&R
Zadanie 10. )�$"�!%�n�� '����/"'�#�'"%�&� ��G���#��(����#���%�"������ ���������� ��-������ �-!���"�$���F"���!����O �����*���%�� ������!�"-����"���G���#��(����#���%�� � 1
28��
S���� '���� ��������$"�!�R
54. Prawdopodobieństwo zdarzenia 275
X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA276
Sprawdzian po dziale X
Zadanie 1. G������!"�� �������"��#�!"�����#'��!������D"�%��)���c��&�����-�
L�����!"�����#'� �; � � �
(% �#�/@�!�� � ��HH��+ ��HH��+ ��HH��+ ��HH��+
�������� ����� �� ���#�A. 2000��+ B. 2200��+
C. 2300��+ D. 2600��+
Zadanie 2. (�#�'"%���� �������%�&���&%����� ����"������ ������-# ��R�������� ����� �� ���#�A. ���������� B. ����������C. ;��;��;��; D. ����������
Zadanie 3. S����� �����������"��%D"��%�&��-# �%�&����HHH��#�'"�� ��������������%D"�������"��d������;���������eR�������� ����� �� ���#�A. 3 6 5 4⋅ ⋅ ⋅ B. 3 5 4 3⋅ ⋅ ⋅
C. 64 D. 3 63⋅
Zadanie 4. =�������#�� #+��� -�������"��&��%D"�������"��d������;���������e��S����� ����*���/����#���������$�����#�����/��!�"� ����� �������%D"���� ����%@�"'*��R�������� ����� �� ���#�A. 6 5 4 3⋅ ⋅ ⋅ B. 6 52 2⋅
C. 5 63⋅ D. 6 53⋅
Zadanie 5. )��������#�"���� ����%������#�"�-��I�#���� ��!"���!����O �����*���%�� ������#�"����������!#R�������� ����� �� ���#�
A. 1752
B. 14
C. 1
13 D.
152
Zadanie 6. ���������!�����+�#��������%#-������$-���-�%#�!�� #��)�!�#���+����!����#���� �%����� �%��@����O��!�"-���#���#�*�$�����%�&�!"�����'���M��!"��"����%�-+��������� �%���������� �%��@����O�������!�"-���#��I�#���� ��!"���!����O �����*��� �% �#����%������$�� ���$��!"������R�������� ����� �� ���#�
A. 127
B. 1
18
C. 19
D. 13
Zadanie 7. (�� �����&�����"��&����&���� �!"������������� ���-�%�������%�������%-�� ��������%�� +��;������%��;��������;;�����%��;H�������?�������&%����� ����"������� '��!"������������� �����%���#"� ��
Zadanie 8. M����� !� ��'����*���� ���@����!�"#�$��!-@� ����&�'����"�%������%#������#���%����!�����#�� ��+%� ����&�%����!'c���������%#��R
Zadanie 9. (��"����� �����-@�#��������"%���+���!-@����� #�&��(%�� �����������#��-������ �-!���"�$���I�#���� ��!"���!����O �����*���%�� ������#���� ��"'*�%�&�#���"'�R
Zadanie 10. (� ��D��� ������"�%��!�#��������#"�������!�#��������#��^� !�%����- �����%�-+���� ��D#������"��#��I�#���� ��!"���!����O �����*����������������������&�����"����#-R
Sprawdzian po dziale X 277
Zadania z rozwiązaniem krok po kroku
���� Zadanie 1.(%#�*��*�� �� ���#��% �#�/������"�/�����D�"����$�����% �#�/����$��/���%��� ��"'��%�2 2
3�
��� Krok 1(�� � ������� ���� � �������
F"�%����%�����������a�>�+�$�/@�#"��-��h�>�+�$�/@��% �#�/��/���%���������H�>�+�$�/@��% �#�/������"�/�����
��� Krok 2(����������� � ��������� ������� � ����� �
:���%�����"�/�����D�"����$�� ��!"�% �����%���"'�#�����"'��������%��
W����*�%��"'�#���"'��������%�ACD�
A�� ����%���'"�����% �#�/@����"'�#����"'��������%��h a= 32
�
��� Krok 3(����������" ) �� ������EF.
(��"'�#����"'��������%��!��#��!"���-����% �#�/����������% �#�/���� �� ��#���������
)�����+�$�/@����#��EF��� ��"'����13��% �#�/��h�
EF h a a= = ⋅ =13
13
32
36
��� Krok 4(����������� � ���� � ����� �
W����*�%��"'�#���!"� ��#���%�FED�
h a= 32
A�� ����%����"�����F��$�"� ���H a a2 336
34
2 2+ =
H a a22 2
123
4+ =
H a a a a2 912 12
812
23
2 2 2 2= − = =
H a a= =23
63
2
��� Krok 5
*���������� � ���Hh
�
Hh
a aaa
= = ⋅ =6
33
2
63
23
2 23
���������*�+���%#���@�
Zadania z rozwiązaniem krok po kroku 279
297Arkusz maturalny
�+'+,-+*.(+/.0
��������������� ����������������������������������������������!����"�������#
Zadanie 26. (0–2)W����*�"'�������3 2
223
−+
=xx
.
Zadanie 27. (0–2)Z�� �����*����"��/@��%"�*���� 6 2 5 6 2 5− ⋅ + ��� ����������+#�����
Odpowiedzi do zadań 305
Odpowiedzi do zadań
I. Liczby rzeczywiste
1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne
1. I. P; II. F; III. F; IV. P 2. I. 0 9 11011
, , ; II. − 186
11011
0 9, , , 3. I − C; II − D; III − A; IV − B 4. I. 10, 12, 14,
16, 18; II. 10, 15; III. 12, 15, 18 5. A; C; D 6. I. P; II. F; III. F; IV. P 7. I. <; II. <; III. >; IV. < 8. I − C; II − D; III − A 9. B; D 10. 0,123 < 0,(123) < 0,1(23) < 0,12(3)
2. Pierwiastki, liczby niewymierne
1. A; B 2. I. P; II. F; III. P; IV. F 3. A; D 4. I − B; II − D; III − C 5. B; C 6. A 7. D 8. B 9. 10 3 12 2+ 10. I − C; II − D; III − A
3. Potęga o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym1. I. >; II. >; III. <; IV. < 2. I. F; II. P; III. P; IV. F 3. D 4. I. <; II. >; III. <; IV. < 5. I − C; II − A; III − D 6. I. F; II. F; III. P; IV. P 7. I − E; II − C; III − B; IV − A 8. I − D; II − A; III − C 9. 336 > 427 > 245 > 518 10. I. P; II. F; III. P; IV. P
4. Wyrażenia arytmetyczne1. C 2. B 3. I. F; II. P; III. P; IV. F 4. I − C; II − D; III − A 5. D 6. I − A; II − D; III − B 7. C; D 8. I. P; II. P; III. F 9. B 10. ������H��+��G���#���H��+��N�"��#���H��+�
5. Przedziały liczbowe1. I. F; II. P; III. P; IV. F 2. C 3. B 4. D 5. C 6. A; C; D 7. I − D; II − C; III − B; IV − A 8. D 9. ����-# ����[�������� ���−4 10. I. P; II. F; III. P; IV. P
6. Logarytmy
1. C 2. I − B; II − C; III − A 3. I − D, II − A, III − B 4. a) 2 b) 2 5. log2
1100
< log2199
< log2 99 < log2100
6. I. P; II. F; III. P; IV. F 7. D 8. I. F; II. F; III. P 9. B 10.
23
7. Wartość bezwzględna. Przybliżenia1. I. F; II. P; III. P; IV. F 2. B 3. I − B; II − C; III − D; IV − A 4. C 5. A 6. I. F; II. P; III. P; IV. P 7. I − C; II − D; III − A 8. D 9. B 10. C
8. Obliczenia procentowe1. A 2. C 3. I. P; II. F; III. F; IV. P 4. ��HH��+� 5. I. P; II. F; III. F; IV. P 6. I − C; II − D; III − A 7. C 8. I. F; II. P; III. F; IV. P 9. I. F; II. P; III. P 10. C
Sprawdzian po dziale I
1. C 2. B 3. B 4. B 5. D 6. 10 7. A 8. − 170
9. 24 cm, 30 cm, 42 cm 10. 3 61495
II. Wyrażenia algebraiczne
9. Wyrażenia algebraiczne. Proste przekształcenia algebraiczne1. I − B; II − D; III − A; IV − C 2. D 3. B; D 4. A; C 5. I. 2,3a + 4,6b − 2,3c; II. 20x + 12; III. 3(2x2 − 6y + z) 6. C 7. I − D; II − C; III − B 8. I. F; II. P; III. P; IV. P 9. B; C; D 10. A; D
10. Wzory skróconego mnożenia1. D 2. A; B 3. I. F; II. P; III. P 4. I. F; II. P; III. P; IV. P 5. I − C; II − B; III − D 6. B 7. A 8. C 9. B 10. 18 24 2+
11. Zastosowanie wyrażeń algebraicznych w zadaniach praktycznych
1. C 2. A 3. P a a a= + +0 5 3 3 62 2, 4. C 5. I. F; II. F; III. P; IV. P 6. I. P; II. P; III. F 7. C 8. D 9.����+�10. n +���/���[��n���"��&�+#'��
Sprawdzian po dziale II
1. C 2. C 3. A 4. C 5. B 6. A 7. 3a2 + 3,5a + 1 8. 24t 9. hP r
r=
−22
2ππ
10.�( #��'�#���)����*��*��
(n + 5)2 + 4n2 = 5(n2 + 2n + 5).