Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Sistemas deductivos
Logica Computacional
Departamento de Matematica Aplicada
Universidad de Malaga
Curso 2005/2006
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Contenido
1 Sistema axiomatico de Lukasiewicz
Sistema proposicional
Extension a predicados
2 Deduccion Natural
Introduccion
Reglas del sistema
Pruebas en DN
Metateorıa del sistema DN
Deduccion natural en primer orden
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Sistema Axiomatico de Lukasiewicz, L
Consideraremos el lenguaje de la Logica Proposicionaltomando los conectivos ¬, → como primitivos:
Axiomas:
Ax.1 A → (B → A)
Ax.2 (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
Ax.3 (¬A → ¬B) → (B → A)
Regla de inferencia: Modus PonensDe las formulas A y A → B se obtiene comoconsecuencia inmediata B. Brevemente:
MP A, A → B ` B o bien
A A → B
B
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Deduccion sintactica
Definicion
Dado un conjunto Ω de fbfs, se dice que A es deducible en Ldesde Ω, y lo denotamos Ω ` A, si existe una deduccion de Aa partir de Ω, esto es, una secuencia finita y ordenada B1, B2,. . . , Bn tal que
Cada Bi es un axioma, una formula de Ω, o resulta de laaplicacion de MP a dos formulas anteriores de lasecuencia.
Bn = A.
Si Ω = ∅ entonces escribimos ` A y decimos que A es unteorema.
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Un ejemplo de demostracion en L
Ejemplo
A → A es un teorema de L.
1 A → ((A → A) → A) Ax. 1
2 (A → ((A → A) → A)) → ((A → (A → A)) → (A → A)) Ax. 2
3 (A → (A → A)) → (A → A) MP 1, 2
4 A → (A → A) Ax. 1
5 A → A MP 3, 4
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Resultados teoricos
Proposicion
Todo sistema axiomatico, y en particular L, tiene lassiguientes propiedades:
Propiedad de Monotonıa: Si Ω ⊆ Ω′ y Ω ` A, entoncesΩ′ ` A.
Propiedad de Compacidad: Si Ω ` A, entonces existe unsubconjunto finito Γ ⊆ Ω tal que Γ ` A.
Si A es deducible de A1,. . . An, entonces la inferenciaA1, . . . , An ` A puede usarse como una nueva regla,regla derivada.
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Metateorema de la deduccion
Proposicion
Para todo conjunto Γ de fbfs
Γ ∪ A ` B si y solo si Γ ` A → B
Ejemplo
¬B → (B → A) es un teorema de L; el metateorema de ladeduccion reduce este problema a ¬B ` B → A:
1 ¬B Hip.
2 ¬B → (¬A → ¬B) Ax. 1
3 ¬A → ¬B MP 1, 2
4 (¬A → ¬B) → (B → A) Ax. 3
5 B → A MP 3, 4
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
` (A → B) → ((B → C) → (A → C))
Ejemplo
El metateorema de la deduccion (aplicado tres veces) reduceeste problema a establecer A → B, B → C, A ` C:
1 A → B Hip
2 A Hip
3 B MP–1,2
4 B → C Hip
5 C MP–3,4
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Correccion y completitud de L
Proposicion
El sistema axiomatico L es correcto para la semantica dela Logica Proposicional:
Si Ω ` A entonces Ω |= A
El sistema axiomatico L es completo para la semantica dela Logica Proposicional:
Si Ω |= A entonces Ω ` A
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Sistema de Lukasiewicz, L1
Considera como primitivos los conectivos ¬, →, ∀.
Axiomas:
1 A → (B → A)
2 (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
3 (¬A → ¬B) → (B → A)
4 ∀xA(x) → A(t) donde t es libre para x en A(x)
5 ∀x(A → B(x)) → (A → ∀xB(x)) donde x /∈ Vlib(A)
Reglas de inferencia:
Modus Ponens: A, A → B ` B
Generalizacion: A ` ∀xA
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Metateorema de la deduccion
Observacion
Notese la necesidad de las restricciones en Ax. 4 y Ax. 5.
Adviertase la diferencia entre el Ax. 4 y la regla (GEN).
El teorema de la deduccion no se satisface en L1 si no seimponen restricciones similares.
Teorema (de la deduccion)
Si Ω ∪ A ` B y en la deduccion de B no se utiliza la regla(GEN) con respecto a ninguna variable libre de A entoncesΩ ` A → B. En particular,
Si A es una fbf cerrada y Ω ∪ A ` B entonces Ω ` A → B
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Correccion y completitud de L1
Teorema
Correccion: Todo teorema de L1 es una fbf valida.
Completitud: Toda fbf valida es un teorema de L1.
Teorema (de completitud de Godel)
Dado un conjunto Ω de fbfs cerradas y una fbf A se tiene que
Ω |= A si y solo si Ω ` A
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Deduccion Natural
Los Sistemas de Deduccion Natural surgen para salvar losobstaculos de los sistemas axiomaticos.
“El proposito de estos sistemas es recoger el modohabitual de argumentar en la vida diaria y permitir unmodo mas natural de realizar deducciones”(Gentzen).
No introducen axiomas y vienen dados por un conjuntode reglas de inferencia (generalizadas).
Reconocen todos los conectivos del lenguaje de la LogicaProposicional.
Definen para cada conectivo suficientes reglas parareconocer el significado de cada uno aisladamente.
Las deducciones adquieren protagonismo sobre lasdemostraciones y no se introducen axiomas.
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Reglas del sistema
Eliminacion de → (e-→): Coincide con la regla MPdel sistema axiomatico: Si de Ω podemos derivarA → B y A, entonces tambien podemos derivar B.
Ω ` A → B Ω ` A
Ω ` B
A → BAB
Introduccion de → (i-→): Coincide con elmetateorema de la deduccion. Si podemos derivar B,anadiendo la hipotesis adicional A a Ω, entonces esposible derivar A → B de Ω.
Ω ∪ A ` B
Ω ` A → B
A...
BA → B
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Reglas del sistema
Eliminacion de ∧ (e-∧) (dos reglas): Si de Ω se derivaA ∧ B, entonces podemos derivar A y podemos derivar B.
Ω ` A ∧ B
Ω ` A
Ω ` A ∧ B
Ω ` B
A ∧ B
A
A ∧ B
B
Introduccion de ∧ (i-∧): Si de Ω podemos derivar A ypodemos derivar B, entonces tambien podemos derivar A ∧ B.
Ω ` A Ω ` B
Ω ` A ∧ B
A
B
A ∧ B
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Reglas del sistema
Eliminacion de ∨ (e-∨): Razonamiento por casos.Si podemos derivar A ∨ B, anadiendo la hipotesisadicional A podemos derivar C y anadiendo lahipotesis adicional B tambien podemos derivar C,entonces podemos derivar C.
Ω ` A ∨ B Ω ∪ A ` C Ω ∪ B ` C
Ω ` C
A ∨ B A...
C B...
CC
Introduccion de ∨ (i-∨) (dos reglas): Si de Ω derivamos A,tambien podemos derivar A ∨ B y podemos derivar B ∨ A.
Ω ` A
Ω ` A ∨ B
Ω ` B
Ω ` A ∨ B
A
A ∨ B
B
A ∨ B
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Reglas del sistema
Introduccion de ¬ (i-¬): Reduccion al absurdo.Si de Ω podemos derivar B y anadiendo la hipotesisadicional A, podemos derivar ¬B, entonces de Ωpodemos derivar ¬A.
Ω ` B Ω ∪ A ` ¬B
Ω ` ¬A
B A...
¬B¬A
Eliminacion de ¬ (e-¬): Ley de doble negacion. Si podemosderivar ¬¬A, podemos derivar A.
Ω ` ¬¬A
Ω ` A
¬¬A
A
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Todas las reglas de la Deduccion Natural
A B
A ∧ B(i-∧)
A ∧ B
A(e-∧)
A ∧ B
B(e-∧)
A → B A
B(e- →)
[A]....
B
A → B(i- →)
¬¬A
A(e-¬)
C
[A]....
¬C
¬A(i-¬)
A ∨ B
[A]....
C
[B]....
C
C(e-∨)
A
A ∨ B(i-∨)
B
A ∨ B(i-∨)
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Representacion de pruebas en DN
Las derivaciones Ω `DN A se representan mediante unasecuencia lineal y finita de formulas de la siguiente forma:
Ω... (Calculo)
A
en la que las formulas intermedias del calculo son tales que
Son generadas por aplicacion de las reglas en Ω.
Pueden formar subconjuntos (delimitados por uncorchete) que se derivan de una hipotesis adicional, deformulas anteriores y, quizas, de otra subderivacion,siguiendo las reglas del sistema.
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Ejemplo `DN (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))
1 p → (q → r) Hip. Ad.
2 p → q Hip. Ad.
3 p Hip. Ad.
4 q (→e), 2,3
5 q → r (→e), 1,3
6 r (→e), 4,5
7 p → r (→i), 3–6
8 (p → q) → (p → r) (→i), 2–7
9 (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) (→i), 1–8
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Ejemplo: A ∨ (B ∧ C) `DN (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
1 A ∨ (B ∧ C) Hip.
2 A Hip. ad.
3 A ∨ B (∨i)
4 A ∨ C (∨i)
5 (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (∧i)
6 B ∧ C Hip. ad.
7 B (∧e)
8 C (∧e)
9 A ∨ B (∨i)
10 A ∨ C (∨i)
11 (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (∧i)
12 (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (∨e)
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Silogismo Disyuntivo: A ∨ B, ¬A `DN B
1 A ∨ B Hip.
2 A Hip. ad.
3 ¬B Hip. ad.
4 ¬A Hip.
5 ¬¬B (¬i)
6 B (¬e)
7 B Hip. ad.
8 B Rep.
9 B (∨e)
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Correccion y completitud de DN
Teorema (Correccion de DN)
El sistema DN es correcto, es decir
Si Γ `DN A entonces Γ |= A
Teorema (Completitud de DN)
El sistema DN es completo, esto es,
Si Γ |= A entonces Γ `DN A
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Estrategias de deduccion
1 Si la conclusion es del tipo A ∗ B, usaremos (i–∗):
Si es A ∧ B dividimos la deduccion en dos partesSi es A ∨ B solo podemos seguir la estrategia si yahemos generado A o B;Si es A → B, iniciamos una subderivacion con hipotesisadicional A hasta generar B.
2 Si una hipotesis inicial o adicional o una formula yagenerada es de la forma H = A ∗ B, usar (e-∗):
Si es A ∨ B y queremos generar C, construimos dossubderivaciones empezando en A y B respectivamente yterminando en C;Si es A → B, solo podemos seguir la estrategia si yahemos generado A.
3 En otro caso, usar (i-¬).
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Uso de reglas derivadas
Agrupamos las reglas derivadas mas utilizadas como reglas deintroduccion y reglas de eliminacion y como tales pueden serconsideradas en las estrategias de deduccion.
Ley de Doble Negacion:
A
¬¬A
Silogismo disyuntivo:
A ∨ B
¬A
B
A ∨ B
¬B
A
Modus tollens:A → B
¬B
¬A
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Uso de reglas derivadas
Contradiccion:A...
B ∧ ¬B
¬A
Eliminacion de ¬-∧ (de M.):
¬(A ∧ B)
¬A ∨ ¬B
Eliminacion de ¬-∨ (de M.):
¬(A ∨ B)
¬A
¬(A ∨ B)
¬B
Eliminacion de ¬-→:
¬(A → B)
A
¬(A → B)
¬B
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Deduccion natural en primer orden
Reglas asociadas al cuantificador universal.
(¬, ∀)¬∀xA(x)∃x¬A(x)
(∀, ¬)∀x¬A(x)¬∃xA(x)
(∀, e)∀xA(x)A(t)
donde t es libre para x en A(x).
(∀, i)A(x)∀xA(x)
donde x satisface:
No ocurre libre en ninguna hipotesis
No ocurre libre en ninguna de las hipotesis adicionales delas derivaciones aun no finalizadas
Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural
Deduccion natural en primer orden
Reglas asociadas al cuantificador existencial
(¬, ∃)¬∃xA(x)∀x¬A(x)
(∃, ¬)∃x¬A(x)¬∀xA(x)
(∃, i)A[x/t]∃xA(x)
donde t es libre para x en A(x).
(∃, e)
∃xA(x)A(x)B
B
donde x satisface:
No ocurre libre en ninguna hipotesis
No ocurre libre en ninguna de las hipotesis adicionales delas derivaciones no finalizadas para B, salvo en A(x).