1
Lánc az asztalon
Az interneten talált [ 1 ] műben bukkantunk az alábbi érdekes feladatra – 1. ábra.
1. ábra – forrása:[ 1 ]
A feladat
Az asztalon fekszik egy L hosszúságú lánc. A nyugalmi súrlódási tényező μ0.
A lánc egyik végét lassan felemeljük, h < L magasságba – 2. ábra.
2. ábra – forrása: [ 1 ]
Határozzuk meg a lánc alakját végső nyugalmi helyzetében!
A megoldás
2
Mivel h < L , ezért a lánc egy l hosszúságú darabja az asztalon marad fekve, a másik L – l
hosszúságú része pedig valamilyen görbét ír le a levegőben. Ezt az alakot egy y = y( x )
síkgörbe jelenti, és éppen ezt a függvényt kell meghatároznunk. Ehhez bevezetünk e görbe
függőleges síkjában egy Oxy derékszögű koordináta - rendszert – 3. ábra.
3. ábra
A láncegyensúlyi differenciálegyenletei a 3. ábra alapján az alábbiak:
𝑑 𝑇 ∙ cos 𝜑 = 0 → 𝑇 ∙ cos 𝜑 = 𝐻 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. → 𝑇 =𝐻
cos 𝜑 . ( 1 )
𝑑 𝑇 ∙ sin𝜑 − 𝑞 ∙ 𝑑𝑠 = 0 → 𝑑 𝑇 ∙ sin𝜑 = 𝑞 ∙ 𝑑𝑠 . ( 2 / 1 )
Most ( 1 / 3 ) és ( 2 / 1 ) - gyel:
𝑇 ∙ sin𝜑 =𝐻
cos 𝜑∙ sin𝜑 = 𝐻 ∙ tg 𝜑 , ( 2 / 2 )
így ( 2 / 1 ) és ( 2 / 2 ) - vel:
𝑑 𝑇 ∙ sin𝜑 = 𝑑 𝐻 ∙ tg 𝜑 = 𝐻 ∙ 𝑑 tg 𝜑 = 𝑞 ∙ 𝑑𝑠, tehát:
𝑑 tg 𝜑 =𝑞
𝐻∙ 𝑑𝑠 . ( 3 )
Most kiszámítjuk a q / H állandót.
3
A megoszló önsúlyteher q intenzitására:
𝑑𝐺 = 𝑞 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑔 ∙ 𝑑𝑚 = 𝑔 ∙ 𝜌 ∙ 𝑑𝑉 = 𝑔 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴𝑘 ∙ 𝑑𝑠 → 𝑞 = 𝑔 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴𝑘 =𝐺
𝐿 . ( 4 )
A húzóerő vízszintes komponensének H nagyságára a mellékábra szerint:
𝐻 = 𝑆 = 𝜇0 ∙ 𝑁 = 𝜇0 ∙ 𝐺𝑙 = 𝜇0 ∙ 𝑞 ∙ 𝑙 , ( 5 )
így a keresett állandó ( 5 ) - ből: 𝑞
𝐻=
1
𝜇0∙𝑙≡
1
𝑎 → 𝑎 =
𝐻
𝑞= 𝜇0 ∙ 𝑙 , ( 6 )
ahol a: a láncgörbe paramétere, a szokásos jelöléssel.
Most ( 3 ) és ( 6 ) - tal:
𝑑 tg 𝜑 =1
𝑎∙ 𝑑𝑠 ; ( 7 )
ámde
tg 𝜑 =𝑑𝑦
𝑑𝑥 → 𝑑 tg 𝜑 = 𝑑
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑥 ; ( 8 )
továbbá:
𝑑𝑠 =𝑑𝑠
𝑑𝑥𝑑𝑥 = 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2 𝑑𝑥 . ( 9 )
Majd ( 7 ), ( 8 ) és ( 9 ) - cel:
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑎∙ 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2 𝑑𝑥 →
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
1
𝑎∙ 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2 . ( 10 )
A ( 10 ) differenciálegyenlet, illetve ennek megoldása írja le a láncgörbe alakját.
Rövidítő jelöléssel: 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑧 , ( 11 )
így ( 10 ) és ( 11 ) - gyel: 𝑑𝑧
𝑑𝑥=
1
𝑎∙ 1 + 𝑧2 →
𝑑𝑧
1+𝑧2=
𝑑𝑥
𝑎 ; ( 12 )
integrálva:
Arsh 𝑧 =𝑥
𝑎+ 𝑐1 → 𝑧 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥= sh
𝑥
𝑎+ 𝑐1 ; ( 13 )
4
figyelembe véve, hogy
𝑥 = 0 → 𝑧 0 = 0 , ( 14 )
így ( 13 ) és ( 14 ) - gyel c1 = 0 , és:
𝑧 𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥= sh
𝑥
𝑎 . ( 15 )
Ismét integrálva:
𝑦 𝑥 = 𝑎 ∙ ch 𝑥
𝑎 + 𝑐2 ; ( 16 )
figyelembe véve, hogy
𝑥 = 0 → 𝑦 0 = 0 , ( 17 )
így ( 16 ) és ( 17 ) - tel c2 = − a , és:
𝑦 𝑥 = 𝑎 ∙ ch 𝑥
𝑎 − 1 . ( 18 )
A következő rész - feladat az a paraméter meghatározása a feladat ( L, h, μ0 ) adataiból.
Ehhez írjuk fel az A pontbeli érintő iránytangensét, kétféle módon is! Egyfelől:
tg 𝜑𝐴 = tg𝜑 𝑥𝐴 = 𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑥=𝑥𝐴
= sh 𝑥𝐴
𝑎 = ch2
𝑥𝐴
𝑎 − 1 =
𝑦 𝑥𝐴
𝑎+ 1
2
− 1 ,
tg 𝜑𝐴 = ℎ
𝑎+ 1
2− 1 ; ( 19 )
másfelől – egyensúlyi alapon – , ( 5 ) - tel is:
tg 𝜑𝐴 =𝑇𝐴 ∙sin 𝜑𝐴
𝑇𝐴 ∙cos 𝜑𝐴=
𝐺1
𝐻=
𝑞∙ 𝐿−𝑙
𝜇0∙𝑞∙𝑙=
𝐿−𝑙
𝜇0∙𝑙 , tehát:
tg 𝜑𝐴 =𝐿−𝑙
𝜇0∙𝑙 . ( 20 )
Most ( 19 ) és ( 20 ) - ból:
ℎ
𝑎+ 1
2− 1 =
𝐿−𝑙
𝜇0∙𝑙 ; ( 21 )
átalakításokkal, ( 6 ) - tal is:
ℎ
𝜇0∙𝑙+ 1
2− 1 =
𝐿−𝑙
𝜇0∙𝑙
2,
ℎ
𝜇0∙𝑙
2+ 2 ∙
ℎ
𝜇0∙𝑙+ 1 − 1 =
𝐿−𝑙 2
𝜇0∙𝑙 2 ,
5
ℎ
𝜇0∙𝑙
2+ 2 ∙
ℎ
𝜇0∙𝑙=
𝐿−𝑙 2
𝜇0∙𝑙 2 ,
ℎ2 + 2 ∙ ℎ ∙ 𝜇0 ∙ 𝑙 = 𝐿 − 𝑙 2,
ℎ2 + 2 ∙ ℎ ∙ 𝜇0 ∙ 𝑙 = 𝐿2 − 2 ∙ 𝐿 ∙ 𝑙 + 𝑙2 ,
𝑙2 − 2 ∙ 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 ∙ 𝑙 + 𝐿2 − ℎ2 = 0 . ( 22 )
A ( 22 ) másodfokú egyenletet a megoldó - képlettel megoldva:
𝑙1,2 =2∙ 𝐿+ℎ∙𝜇0 ± 4∙ 𝐿+ℎ∙𝜇0 2−4∙1∙ 𝐿2−ℎ2
2∙1= 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 ± 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 2 − 𝐿2 − ℎ2 ;
( 23 )
minthogy
𝑙 < 𝐿 , ( 24 )
ezért ( 23 ) - ban a „ – ” előjel választandó:
𝑙 = 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 − 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 2 − 𝐿2 − ℎ2 . ( 25 )
Ezzel a láncgörbe paramétere ( 6 ) - ból:
𝑎 =𝐻
𝑞= 𝜇0 ∙ 𝑙 = 𝜇0 ∙ 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 − 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 2 − 𝐿2 − ℎ2 . ( 26 )
A láncgörbe alakját immár meghatározzák a ( 18 ) és ( 26 ) összefüggések:
𝑦 𝑥 = 𝑎 ∙ ch 𝑥
𝑎 − 1 , 𝑎 = 𝜇0 ∙ 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 − 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 2 − 𝐿2 − ℎ2 . ( 27 )
Ezzel a feladatot az [ 1 ] forrás alapján megoldottuk.
Megjegyzések:
M1. Az eredeti ábrák kissé elnagyoltnak tűnnek, ezért újakat is rajzoltunk. Lehet, hogy
nem szebbek, ám talán informatívabbak. Némely jelölést is megváltoztattunk, az itteni
szokásokhoz igazodva.
M2. Az a paraméter ismeretében már számíthatók a H, T, stb. mennyiségek is:
𝐻 = 𝑞 ∙ 𝜇0 ∙ 𝑙 , ( 28 )
𝑇 𝜑 =𝐻
cos 𝜑= 𝐻 ∙ 1 + tg2 𝜑 , 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜑𝐴 . ( 29 )
Most ( 20 ) és ( 25 ) - tel is:
6
tg 𝜑𝐴 =𝐿−𝑙
𝜇0∙𝑙=
1
𝜇0∙
𝐿
𝑙− 1 =
1
𝜇0∙
𝐿
𝐿+ℎ∙𝜇0− 𝐿+ℎ∙𝜇0 2− 𝐿2−ℎ2 − 1 , innen:
𝜑𝐴 = arctg 1
𝜇0∙
𝐿
𝐿+ℎ∙𝜇0− 𝐿+ℎ∙𝜇0 2− 𝐿2−ℎ2 − 1 . ( 30 )
M3. A számításokat így részletezve mondhatnánk, hogy ez egy könnyű feladat volt.
Nem mondjuk, mert ez igazából egy nehezebb feladat, amint azt [ 1 ] címe is mondja.
Úgy látjuk, hogy a feladat leginkább „fogós” része az a paraméter meghatározása.
Igaz ugyan, hogy ez szokott lenni a helyzet más láncgörbés feladatnál is, itt azonban más,
a megszokottól némiképpen eltérő feltételt kellett ehhez találni.
M4. Eszünkbe jutott, hogy az Amonton ~ Coulomb - féle súrlódási törvény alakja erede -
tileg ez volt:
𝑆 = 𝐴 + 𝜇0 ∙ 𝑁 , 𝐴 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. , 𝜇0 = 𝐾𝑜𝑛𝑠𝑡. ,
ahol:
~ 𝑆: a tapadási súrlódási erő nagysága;
~ 𝐴: adhéziós állandó;
~ 𝜇0: a tapadási súrlódási tényező;
~ 𝑁: az érintkező felületeket merőlegesen összenyomó erő nagysága.
Létezhetnek olyan érintkező anyag - párosítások, ahol erre a képletre lehet szükség, vagyis
ahol az adhézió jelentős lehet, azaz A ≠ 0.
( Kicsit zavaró, hogy néhol Amonton, néhol Amontons alakban írják az említett tudós
nevét. ) Meglepő, hogy Amonton(s) nevét [ 2 ] a tapadási súrlódás tárgyalásánál nem is
említi. Ahogyan [ 3 ] sem. Ennek valószínű okai:
~ nem kívánnak belemenni a jelenség mélyebb / mikroszkopikus szintű vizsgálatába;
~ a műszaki alkalmazások többségénél A ≈ 0 vehető.
Ennél már csak az megdöbbentőbb, hogy [ 4 ] már Coulomb nevét sem említi a súrlódás
tárgyalásánál. Ahogyan [ 5 ] sem. Hogy mik vannak…
M5. Az interneten nézelődve azt láttuk, hogy fentieken kívül előjött L. da Vinci, L. Euler
és még mások neve is, a súrlódás tanulmányozásával kapcsolatban. A helyzet tovább fo -
kozódik a 20 ~ 21. században, amikor is a Tribológia nevű tudomány / tantárgy egyre mé -
lyebb vizsgálatokba bonyolódik, a súrlódás vonatkozásában is.
M6. A lánc vízszintesen nyugvó darabjában az N normálerő változó nagyságú.
Ennek ( közelítő ) számításához tekintsük a 4. ábrát is!
7
4. ábra
A dX hosszúságú láncelem vízszintes egyensúlyi egyenlete:
𝑁 + 𝑑𝑁 − 𝑁 − 𝑡 ∙ 𝑑𝑋 = 0 → 𝑑𝑁 = 𝑡 ∙ 𝑑𝑋 ; ( 31 )
ámde – feltéve, hogy q = r – :
𝑡 = 𝜇0 ∙ 𝑟 = 𝜇0 ∙ 𝑞 , ( 32 )
így ( 31 ) és ( 32 ) - vel:
𝑑𝑁 = 𝜇0 ∙ 𝑞 ∙ 𝑑𝑋 ; ( 33 )
integrálva:
𝑁 = 𝜇0 ∙ 𝑞 ∙ 𝑋 + 𝐶 ; ( 34 )
peremfeltétel:
𝑋 = 0 → 𝑁 0 = 0 , ( 35 )
így ( 34 ) és ( 35 ) szerint C = 0, vagyis:
𝑁 𝑋 = 𝜇0 ∙ 𝑞 ∙ 𝑋 . ( 36 )
Speciálisan X = l esetén ( 5 ) - tel egyezően:
𝑁 𝑙 = 𝜇0 ∙ 𝑞 ∙ 𝑙 = 𝐻 . ( 37 )
Azt kaptuk, hogy a vízszintes láncrészben a húzóerő lineárisan változik, 0 - tól H - ig.
Egy relatíve vékony, sok kis szemből álló merev lánc esetén közelítésünk egészen jó lehet.
M7. Megemlítjük, hogy a 3. és a 4. ábrán mást jelent az N jelölés, értelemszerűen.
M8. Triviálisnak tűnhet, ám azért szóvá tesszük, hogy az asztal síkja vízszintes, felülete
pedig száraz és kellően merev legyen.
8
M9. A vízszintes szakasz l hosszának a h felemelési magasságtól való függését szemlél -
teti az 5. ábra, L = 100 cm lánchossz esetén, különböző μ0 nyugalmi súrlódási tényezőket
felvéve, a ( 25 ) képlet alapján.
5. ábra
Látható, hogy minél nagyobb a súrlódási tényező, annál kisebb l vízszintes lánchossz
tartozik egy adott h felemelési magassághoz – a szemlélettel egyezően.
A súrlódási tényezők felvett értékei:
~ 𝜇0 = 0,00 ∶ fekete egyenes;
~ 𝜇0 = 0,05 ∶ kék görbe; ~ 𝜇0 = 0,30 ∶ türkiz görbe;
~ 𝜇0 = 0,10 ∶ bordó görbe; ~ 𝜇0 = 0,50 ∶ piros görbe;
~ 𝜇0 = 0,15 ∶ magenta görbe; ~ 𝜇0 = 0,70 ∶ lila görbe.
M10. Ha nincs súrlódás, akkor a lánc derékszögben megtörik egyik végének felemelése -
kor. Erről az jut eszünkbe, hogy a feladatbeli jelenséggel akár súrlódási tényezőt is mér -
hetnénk. Ezt pl. a ( 22 ) képletre vezető ℎ2 + 2 ∙ ℎ ∙ 𝜇0 ∙ 𝑙 = 𝐿 − 𝑙 2 egyenletből előálló
9
𝜇0 = 𝐿−𝑙 2−ℎ2
2∙ℎ∙𝑙 ( 38 )
képlet, vagy az 5. ábra szerinti görbesereg alkalmazásával is végezhetnénk. Igaz, ez egy
az l hossz mentén átlagolt nyugalmi súrlódási tényező lenne, de ez nem lenne akkora baj,
hiszen kiterjedt testek súrlódási eseteiben az érintkezés gyakran nem pontszerűen történik.
M11. Az érdeklődő Olvasónak javasoljuk a különböző esetekre a lánc - alakok megrajzol -
tatását, pl. az általunk is használt Graph - fal, pl. a ( 27 ) képletek alapján.
M12. Megemlítjük, hogy egy az ittenihez megszólalásig hasonló feladatot egyszer már
feldolgoztunk; előző dolgozatunk címe: Egy újabb szép köteles feladat. Nem baj.
Források:
[ 1 ] – Red. A. N. Matvejev: Zadacsi povüsennoj szlozsnosztyi v kursze obscsej fiziki
Izd. „Egyitorial URSS”, Moszkva, 2001.
[ 2 ] – Budó Ágoston: Kísérleti fizika I.
6. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975.
[ 3 ] – Tasnádi Péter ~ Skrapits Lajos ~ Bérces György: Mechanika I.
Dialóg Campus Kiadó, Budapest - Pécs, 2004.
[ 4 ] – Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1.
Mechanik und Waerme
4. Auflage, Springer - Verlag, Berlin - Heidelberg, 2006.
[ 5 ] – Szerk. Holics László: Fizika
Akadémiai Kiadó, Budapest, 2011.
Összeállította: Galgóczi Gyula
ny. mérnöktanár
Sződliget, 2019. 08. 22.