LINHAS DE TRANSMISSÃO
ÄÄ Coeficiente de reflexão - 1
• Havendo um só gerador a alimentar a linha como será possível existirem duas ondas, propagando-se em diferentes direcções?
• Só será possível se existirem reflexões na linha. Resolvendo as equações diferenciais da linha alimentada com uma excitação sinusoidal chegam-se às soluções em regime estacionário.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) z
O
z
O
z
O
z
O
eIeIzIzIzI
eVeVzVzVzVγγ
γγ
−−+−+
−−+−+
+=+=+=+=
• Poderíamos chegar à mesma conclusão determinando a onda inicial que parte do gerador e considerar depois todas as reflexões e re-reflexões dessa onda.
• O termo z
O eV γ−+ representa as ondas individuais que se propagam na direcção dos zz positivos e o termo z
O eV γ+− representa as ondas que se propagam na direcção contrária.
• Designando por + e – respectivamente as ondas incidentes (que se propagam no sentido z positivo) e as reflectidas (que se propagam no sentido z negativo) podemos escrever:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )zIzIzI
zVzVzV−+
−+
+=+=
sendo 0
ZV
I+
+ = e 0
ZV
I−
− =
LINHAS DE TRANSMISSÃO
ÄÄ Coeficiente de reflexão - 2
• As equações para a tensão e corrente ao longo da linha indicam que em qualquer ponto da linha a tensão e corrente são a resultante de duas ondas que se propagam em sentidos opostos.
• Os campos que existem numa linha de transmissão uniforme podem, em geral, ser considerados como a resultante de duas ondas progressivas.
o Uma onda incidente que transporta a potência em direcção ao terminal de carga da linha.
o A outra transporta potência na direcção oposta, afastando-se da carga, é chamada de onda reflectida. É uma fracção da onda incidente que é reflectida pela impedância da carga que termina a linha de transmissão.
• O coeficiente de reflexão de tensão é, por definição:
( ) ( )( )zVzV
zv +
−
=ρ
• Isto é, a razão entre a onda reflectida e a onda incidente num determinado ponto da linha de transmissão.
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ÄÄ Coeficiente de reflexão - 3
• No terminal da carga, estando a linha terminada pela impedância Z=ZL teremos:
( )( ) ll
ll
L eVeVeVeV
ZlIlV
Zγγ
γγ
−−+
−−+
−+
==0
o Sendo l o comprimento da linha.
• Fazendo ( ) l
l
l
v eVV
eVeV
l γ
γ
γ
ρ 2
+
−
−+
−
== e ( ) ρρ =lv teremos:
v
v
LZZ
ρρ
−+
=1
10
0
0
ZZ
ZZ
L
L
v +−
=ρ
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ÄÄ Coeficiente de reflexão - 4
• Tensão e corrente na linha em função do coeficiente de reflexão de tensão na carga e da distância à carga
o A figura mostra como a tensão e corrente pode ser expressa em função da distância à carga.
o As equações podem ser expressas em função da distância d (distância entre o ponto a analisar e a carga). Para tal basta usar a mudança de coordenadas d=l-z. Substituindo z por l-d, obtemos:
( ) ( )( ) ( )d
v
dl
d
v
dl
eeeZ
VdI
eeeVdVγγγ
γγγ
ρ
ρ−−
+
−−+
−=
+=
0
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ÄÄ Coeficiente de reflexão - 5
• A razão V/I em qualquer ponto da linha dá-nos a impedância do ponto quando olhamos na direcção da carga.
( ) ( )( )
( )( )
dd
dd
L
dd
dd
L
d
L
Ld
d
L
Ld
d
i
dl
d
v
dl
eeee
ZZ
eeee
ZZZ
eZZ
ZZe
eZZ
ZZe
Zeee
ZV
eeeV
dIdV
dZ
γγ
γγ
γγ
γγ
γγ
γγ
γγγ
γγγ
ρ
ρ
−
−
−
−
−
−
−−+
−−+
+−
+
+−
+=
+−
+
+−
+=
+
+==
0
0
0
0
0
0
0
0
0
( ) ( )( )dtghZZ
dtghZZZdZ
L
L
γγ
++
=0
0
0
• Quando z’=l, o gerador vê uma impedância Zi:
( )ltghZZ
ltghZZZlZZ
L
L
zi γγ
++
== =
0
0
00
o Do ponto de vista do gerador a linha de transmissão terminada pode ser substituída por Zi. A tensão de entrada Vi e a corrente de entrada Ii são facilmente calculados a partir deste circuito.
LINHAS DE TRANSMISSÃO
ÄÄ Coeficiente de reflexão - 6
• Circuito equivalente para uma linha de transmissão terminada aos terminais do gerador.
gig
ii V
ZZZ
V+
=
ig
gi ZZ
VI
+=
• Um caso particular de especial importância é quando a linha se encontra terminada com uma impedância igual à sua impedância característica (ZL=Z0).
• Neste caso a impedância vista em qualquer ponto da linha é igual a Z0 e o coeficiente de reflexão de tensão e de corrente são nulos.
( )
( ) ( )
( ) ( )dl
dl
iv
eZV
dI
eVdV
ZdZ
−−+
−−+
=
===
=
γ
γ
ρρ
0
0
0
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ÄÄ Coeficiente de reflexão - 7
• Linhas de transmissão como elementos de um circuito
o As linhas de transmissão podem não só ser utilizadas como estruturas para a transferência de potência e de informação de um ponto para outro. A frequências extremamente elevadas, acima de 300 MHz e comprimentos de onda inferiores a 1 m, podem também ser utilizadas como elementos do circuito.
o Nestas frequências os elementos dos circuitos são difíceis de fabricar. Podem-se utilizar secções de linhas de transmissão de modo a fornecerem impedâncias capacitivas ou indutivas e são utilizadas de modo a ser possível a adaptação de qualquer carga.
o O comprimento necessário à realização de tais linhas de transmissão como elementos de circuitos começa a ser realizável na banda UHF. A frequências mais baixas que 300 MHz as linhas necessárias tendem a ser demasiado longas e para frequências superiores a 3 GHz a dimensão física começa a ser demasiado pequena e começa a haver vantagem na utilização de guias de onda.
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ÄÄ Coeficiente de reflexão - 8
• Na maior parte dos casos os segmentos de linha de transmissão podem ser considerados sem perdas: γγ=jββ, Z0=R0 e tgh(γγl)=tgh(jββl)=jtg(ββl). A expressão para a impedância de entrada de uma linha sem perdas com comprimento l terminada com uma carga ZL será:
ltgjZR
ltgjRZRZ
L
L
i ββ
++
=0
0
0
• Linha aberta (ZL→→∞∞)
lgjRltg
jRXZ ioio β
βcot
0
0 −=−==
o A impedância de entrada de uma linha de transmissão sem perdas terminada num circuito aberto é puramente reactiva.
o A linha pode, no entanto, ser capacitiva ou indutiva dependendo se a função cotg ββl tiver valores positivos ou negativos o que depende do valor de ββl (=2ππl/λλ).
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ÄÄ Coeficiente de reflexão - 9
• Linha em curto-circuito (ZL=0)
ltgjRXZ isis β0
==
o A impedância de entrada de uma linha de transmissão sem perdas terminada num circuito aberto é puramente reactiva.
o A linha pode, no entanto, ser capacitiva ou indutiva dependendo se a função tg ββl tiver valores positivos ou negativos o que depende do valor de ββl (=2ππl/λλ).
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ÄÄ Coeficiente de reflexão - 10
• Linha com um quarto de onda (l=λλ/4)
o Quando o comprimento da linha é um múltiplo ímpar de λλ/4, l=(2n-1)λλ/4, (n=1,2,3,...)
( ) ( )2
12122 πλπ
β −=−= nnl ( ) ±∞→
−=
212
πβ ntgltg
L
i Z
RZ
2
0=
o Uma linha de transmissão com um quarto de comprimento de onda transforma a impedância da carga. Posso assim adaptar uma carga com impedância ZL a uma linha com impedância Z0 através de um transformador de um quarto de onda com impedância ZT.
LT ZZR0
=
LINHAS DE TRANSMISSÃO
ÄÄ Coeficiente de reflexão - 11
• Linha com meia onda (l=λλ/2)
o Quando o comprimento da linha é um múltiplo de λλ/2, l=nλλ/2, (n=1,2,3,...)
πλ
λπ
β nn
l =
=
22
0=ltgβ
Li ZZ =
• Medindo-se a impedância de entrada de uma linha de transmissão em circuito aberto e em curto-circuito pode-se determinar a impedância característica e a constante de propagação da linha.
( )Ω= 0 isio
ZZZ
( )1-1 m 1
io
is
Z
Ztgh
l−=γ
• Interferência entre ondas progressivas
o Sempre que num sistema existam duas ondas de frequência idêntica e propagando-se em sentidos opostos, cria-se um fenómeno de interferência conhecido como onda estacionária.
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ÄÄ Coeficiente de reflexão - 12
o A amplitude da onda em vez de diminuir gradualmente e exponencialmente (como acontece num sistema de onda progressiva sem reflexões) apresenta máximos e mínimos a intervalos determinados pelo comprimento de onda das ondas individuais.
o Define-se Coeficiente de Onda Estacionária (VSWR-Voltage Standing-Wave Ratio) como:
minminI
I
V
VS máxmáx ==
v
v
VVVV
VV
VVS
ρρ
−+
=−
+=
−
+=
−
+
−
+
−+
−+
1
1
1
1
v
vSρρ
−+
=1
1 e
11
+−
=SS
vρ
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ÄÄ Coeficiente de reflexão - 13
Tensão ao longo de uma linha desadaptada
Coeficiente de reflexão de tensão
0
0
ZZ
ZZ
L
L
v +−
=ρ
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ÄÄ Coeficiente de reflexão - 14
Coeficiente de reflexão de corrente v
L
L
i ZZ
ZZρρ =
+−
=0
0
Coeficiente de transmissão de corrente i
L
i ZZ
Zρτ +
+= 1
2
0
0
Coeficiente de transmissão de tensão v
L
L
v ZZ
Zρτ +
+= 1
2
0
Coeficiente de onda estacionária
i
i
v
vSρρ
ρρ
−+
=−+
=1
1
1
1
Valor do coeficiente de reflexão 1
1+−
==SS
iv ρρ
• Expressão geral da onda estacionária
o A tensão numa linha em função do coeficiente de reflexão de tensão na carga e da distância à carga é dada por:
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ÄÄ Coeficiente de reflexão - 15
( ) ( )dj
v
djl eeeVdV γγγ ρ −−+ +=
fazendo:
φρρ j
vve=
p
veeeee vv
vv 2
1ln2
ln2ln2
1.2ln −
−
===== ρρρρρ e 2φ
−=q
( )jqp
v e +−= 2ρ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) djqpdjqpjqpldjqpdl eeeeeeVeeeeVdV γγγγγγ −+−++−+−+−+ +=+= ...2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) djjqpdjjqpjqpl eeeeeeVdV βαβαγ +−+−+++−+ += ..
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) qdjpdqdjpdjqpl eeeeVdV +−+−++++−+ += βαβαγ
Sabendo que 2
coshθθ
θ−+
=ee
obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]qdjpdeeVdV jqpl +++= +−+ βαγ cosh.
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ÄÄ Coeficiente de reflexão - 16
Considerando que ( ) βαβαβα senjsenhj +=+ coscoshcosh obtemos para o módulo de V(d):
( ) ( ) ( ) ( ) 2122 cos qdpdsenheeVdV jqpl +++= +−+ βαγ
Atendendo a que ( )jqpleeV +−+ γ é uma constante, teremos:
( ) ( ) ( ) 2122 cos qdpdsenhKdV +++= βα
• Caso de linhas sem perdas
o Neste caso αα=0 e a equação transforma-se em:
( ) ( ) 2122 cos qdpsenhKdV ++= β
o Para valores fixos de ZL e Z0, senh2p é constante e um gráfico de |V(d)|2 é fácil de traçar, tendo a forma de um cos2αα somado com um valor constante e igual a senh2p.
o Na figura estão representadas envolventes de ondas estacionárias para três valores diferentes de coeficientes de reflexão: ρρv=0, ρρv=0,5(0o) e ρρv=1(180o).
LINHAS DE TRANSMISSÃO
ÄÄ Coeficiente de reflexão - 17
Exemplos de envolventes de ondas estacionárias
• A envolvente de uma onda estacionária numa linha sem perdas é periódica, os máximos são idênticos e os mínimos são também idênticos.
• Os pontos de máximo e mínimo ocorrem nos pontos onde as ondas incidente e reflectida estão em fase e em oposição de fase.
LINHAS DE TRANSMISSÃO
ÄÄ Coeficiente de reflexão - 18
• A distância entre máximos ou mínimos adjacentes é de meio comprimento de onda (λλ/2).
• Para valores de cos2(ββd+q)=1 temos um máximo para valores de cos2(ββd+q)=0 temos um mínimo.
o Os mínimos ocorrem nos pontos em que se verifique a relação ππ
β nqd +=+2min
, sendo
λπ
β2
= e φ21
−=q :
2441min nd
++=πφ
λ
o Os máximos ocorrem quando πβ nqd máx =+ :
24nd
máx +=πφ
λ
• Linha sem perdas com terminação resistiva
o Neste caso temos ZL=RL e Z0=R0 e o coeficiente de reflexão de tensão será:
LINHAS DE TRANSMISSÃO
ÄÄ Coeficiente de reflexão - 19
0
0
RR
RR
L
L
v +−
=ρ
o O coeficiente de reflexão de tensão tem um valor real, sendo possíveis duas situações:
§ RL>R0, neste caso ρρ é positivo e real e φφ=0:
241min nd
+=λ
e 2nd máx =
λ
temos um máximo de tensão junto à carga.
§ RL<R0, neste caso ρρ é negativo e real e φφ=-ππ:
2min nd
=λ
e 24
1 nd máx +−=λ
temos um mínimo de tensão junto à carga.
LINHAS DE TRANSMISSÃO
ÄÄ Coeficiente de reflexão - 20
Ondas estacionárias de tensão e de corrente de linhas sem perdas terminadas com cargas resistivas
• Linha sem perdas terminadas em circuito-aberto
o Neste caso o coeficiente de reflexão de tensão é igual a 1, o que faz que p=0 e q=0.
( ) ( )dKdV βcos1+=
teremos assim um máximo de tensão, igual a 2V+, junto à carga e um mínimo, igual a 0, λλ/4 depois.
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ÄÄ Coeficiente de reflexão - 21
• Linha sem perdas terminadas em curto-circuito o Neste caso o coeficiente de reflexão de tensão é igual a -1, o que faz que p=0 e q=-ππ/2.
( )
−+=
2cos1
πβdKdV
teremos assim um mínimo de tensão, igual a 0, junto à carga e um máximo, igual a 2V+, λλ/4 depois.
Ondas estacionárias de tensão e de corrente de linhas sem perdas terminadas em curto-circuito e em
circuito-aberto