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EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES
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3.1 DEFINICIÓN Y GEOMETRÍA DE UNA L ÍNEA DE TRANSMISIÓN UNIFORME
Una Línea de Transmisión Uniforme (LTU) es una estructura
constituida por dos conductores metálicos y un material dieléctrico, dispuestos
de manera que la sección transversal es invariante respecto a la dirección axial
z, que coincide con la dirección de propagación de las ondas
electromagnéticas. En la figura 3.1 se presentan cuatro ejemplos de LTU, en
los cuales los dieléctricos se muestran en verde y los conductores en gris.
Fig. 3.1: Cuatro ejemplos de LTU. (a) Cable coaxial, (b) Stripline, (c) Línea bifilar, (d) Microstrip o microcinta.
En la figura 3.1 se observa que todas las LTU mostradas tienen un
dieléctrico sólido, el cual se requiere para mantener los conductores separados
y para mantener constante la sección transversal de la estructura. El cable
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coaxial y la Stripline son ejemplos de líneas blindadas en las que el campo
electromagnético queda confinado al espacio entre los conductores, mientras
que la línea bifilar y la microcinta son ejemplos de líneas abiertas, en las que
el campo electromagnético se esparce en todo el espacio, ocupando dos
dieléctricos: el dieléctrico sólido propio de la estructura y el aire circundante.
3.2 CAMPOS TEM EN UNA LTU.
3.2.1 Ecuaciones para los campos
Puede demostrarse que el modo TEM sólo puede propagarse en una
LTU cuyo dieléctrico sea homogéneo, como el cable coaxial y la Stripline. El
modo TEM no se propaga en dieléctricos heterogéneos como los de las líneas
abiertas porque las condiciones de frontera no pueden cumplirse en la interfaz
entre los dieléctricos con dos constantes de propagación distintas. Sin
embargo, en las microcintas se aplica con frecuencia una aproximación cuasi-
TEM para el cálculo de los campos.
Para calcular los campos TEM en una LTU se usa el sistema de
coordenadas axial generalizado ),,( 21 zuu , siendo z la dirección de
propagación de las ondas electromagnéticas. Se supone que el dieléctrico es
homogéneo y tiene parámetros ),,( ddd σµε , y que los conductores son
homogéneos y tienen parámetros )1,,( >>ccc σµε . Se supone en primera
instancia que los conductores son ideales )( ∞→cσ , con lo cual no hay
campos en el interior de los conductores. Más adelante se analiza el efecto de
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tener conductores no ideales. Bajo estas premisas, la teoría general de los
modos TEM es válida, por lo cual los campos en el dieléctrico son:
zt
d ˆ eˆˆ γm±± = eE (3.1)
zt
d
d ˆ eˆˆ
ˆ ˆ γ
ηm±
±± =×±= hE1H z (3.2)
donde:
ttt e φ 0ˆˆ ∇−=±±e , con 02 =∇ tt φ (3.3)
d
dd ε
µηˆ
ˆ = (3.4a)
ddddd jj βαεµωγ +== ˆˆ (3.4b)
"')tan1(ˆ ddddd jj εεδεε −=−= (3.4c)
De acuerdo con las ecuaciones 3.1 a 3.4, para determinar los campos
TEM en una LTU es necesario en primer lugar calcular la función potencial
tφ , la cual satisface la ecuación de Laplace escalar transversal.
3.2.2 Determinación de la función potencial tφ
Dado que tφ satisface la ecuación de Laplace escalar, el Teorema de
Unicidad de las soluciones a dicha ecuación establece que se debe conocer tφ
ó nt ∂∂φ en los contornos que se obtienen al interceptar la interfaz conductor-
dieléctrico con cualquier plano z = cte. Las condiciones de frontera para los
campos electromagnéticos en dichos contornos son:
0E1n =×=
±ctez
tˆ (3.5a)
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0ˆ =⋅=
±ctez
tH1n (3.5b)
Es fácil verificar con la ecuación 3.2 que la ecuación 3.5b se cumple
automáticamente al cumplirse la ecuación 3.5a. La condición de frontera
(3.5a), sin embargo, no es ninguna de las exigidas por el teorema de unicidad
para las soluciones a la ecuación de Laplace. La ecuación 3.5a implica, al
combinarla con la ecuación 3.1:
0e1n =× ±tˆ (3.5c)
Para cumplir simultáneamente con las exigencias del teorema de
unicidad y con la condición de frontera 3.5c, basta con analizar las
implicaciones de que el campo eléctrico sea nulo dentro de los conductores.
Suponiendo que aunque los campos son nulos en los conductores las ondas
son TEM, se cumple 0e =∇−= ±± (cond.)ˆ(cond.)ˆ 0 ttt e φ , por lo que
ctet =(cond.)φ . Como la función potencial tφ es continua en la interfaz
conductor-dieléctrico, entonces ctet =interfazφ . Dado que en el dieléctrico
ttt e φ 0ˆˆ ∇−=±±e y el gradiente de una función escalar es normal a las
superficies equipotenciales, entonces se cumple también la ecuación 3.5c.
En resumen, al hacer ctet =(cond.)φ en ambos conductores se cumplen
simultáneamente la ecuación 3.5c y el requerimiento del Teorema de Unicidad
de las soluciones a la ecuación de Laplace. La elección de las constantes es
arbitraria, ya que la función potencial tφ no tiene por sí misma significado
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físico y además la constante compleja ±0ê puede usarse para ajustar la
amplitud y fase del campo eléctrico. La elección de constantes más sencilla es:
=
=
02) (conductor
11) (conductor
t
t
φ
φ (3.6)
Usualmente, en líneas blindadas se asigna el potencial 0 al conductor
que sirve de blindaje.
Con todo lo anterior, queda resuelto el problema de determinar la
función potencial tφ de manera que satisfaga la ecuación de Laplace y se
cumplan las condiciones de frontera en cada interfaz conductor-aislante.
Ejemplo 3.1: Campos electromagnéticos en un cable coaxial
Se tiene un cable coaxial con dieléctrico homogéneo en el cual el
conductor interno tiene radio a y el conductor externo o blindaje tiene radio
interno b (a
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aplicar las condiciones de frontera para determinar las constantes A y B y
luego aplicar propiedades de los logaritmos, queda:
( )( )
( )( ) baabb
ba
bt
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z=0
z=λ/6
z=λ/3
z=λ/2
z=2λ/3
z=5λ/6
z=λ
nulo en z=3λ/4
nulo en z=λ/4
(a) (b)
Fig. 3.2: Campos electromagnéticos en el interior de un cable coaxial sin pérdidas. (a) Patrones de campo transversal. (b) Variación longitudinal del
campo eléctrico
Es importante mencionar que como se supuso que los conductores son
ideales, el grosor de los mismos no es importante. Sin embargo, en una línea
de transmisión con conductores reales, el grosor de los mismos debe ser
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mucho mayor que la profundidad de penetración a la frecuencia de operación,
como se verá más adelante.
3.3 VOLTAJE , CORRIENTE , IMPEDANCIA Y COEFICIENTE DE REFLEXIÓN EN UNA LTU CARGADA
3.3.1 Geometría y diagrama circuital de un sistema de LTU que alimenta a una carga.
En la figura 3.3 se muestra la sección longitudinal de un sistema de
LTU conectadas en cascada alimentando a una carga. En colores se muestran
los dieléctricos de las líneas, y como área rayada a los conductores. Todas las
LTU tienen la misma sección transversal, y el conjunto está alimentado desde
el extremo izquierdo por un generador. Se ha supuesto que la longitud de los
conectores que hay entre cada par de líneas consecutivas es despreciable.
Fig. 3.3: Sección longitudinal de un sistema de líneas de transmisión conectadas en cascada alimentando una carga.
Puede verse en la figura 3.3 la similitud entre el problema de líneas de
transmisión conectadas en cascada alimentando una carga con el problema de
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incidencia normal sobre múltiples medios. La diferencia fundamental entre
ambos problemas es que en las líneas de transmisión las ondas son no
uniformes debido a la presencia de los conductores, mientras que son
uniformes en el problema de múltiples medios.
En ambos problemas se tiene una onda incidente y una onda reflejada
en cada medio, producto de las diferencias entre las impedancias intrínsecas,
con patrones de onda estacionaria para el caso de medios sin pérdidas. El
método recursivo que utiliza los conceptos de coeficiente de reflexión
generalizado e impedancia generalizada es entonces aplicable al problema de
líneas de transmisión conectadas en cascada.
En la figura 3.4 se muestra el diagrama circuital correspondiente al
sistema de líneas de transmisión de la figura 3.3.
(2) (1) ZL
l2 l1
z=0
Fig. 3.4: Diagrama circuital del sistema de líneas de transmisión alimentando a una carga mostrado en la figura 3.2
Nótese que el símbolo de cada línea de transmisión es simplemente dos
“cables” gruesos paralelos terminados en terminales, con indicación de la
longitud y otros parámetros de la línea. Sin embargo, debido a los fenómenos
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de interacción entre ondas incidentes y reflejadas en el interior de cada línea
de transmisión, es un error interpretarlas como un par de cables paralelos. Lo
correcto es concebir a cada línea de transmisión como un cuadripolo.
Como todo cuadripolo, un segmento de línea de transmisión se puede
caracterizar mediante matrices de impedancia, admitancia, transmisión, etc.
Para hacer posible dicha caracterización es necesario definir voltajes,
corrientes e impedancias asociados a las líneas de transmisión. El hecho de
definir voltajes y corrientes además simplifica la solución recursiva, al no
tener que tratarse con campos vectoriales no uniformes que ameritan la
solución a la Ecuación de Laplace escalar.
Como se verá más adelante, también es posible calcular la potencia
transmitida en un segmento de línea de transmisión en función de los voltajes
y las corrientes, con lo cual se hace innecesario trabajar con los campos
electromagnéticos.
A continuación se definen los voltajes y corrientes en un segmento de
línea de transmisión en términos de sus campos electromagnéticos.
3.3.2 Voltajes incidentes y reflejados
El voltaje incidente o reflejado en la k-ésima línea de transmisión se
define en el dominio fasorial como:
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ctez
c
ckkk
k
zV
=
±±∫ ⋅≡2
1
)(ˆ)(ˆ dlrE (3.7)
donde c1 y c2 son cualquier punto tomado sobre los contornos de los
conductores 1 y 2, respectivamente.
Al usar las ecuaciones 3.1 y 3.3 queda:
∫∫±
=
±± =⋅∇−=1
2
2
1
ˆ 0ˆ
0 eˆeˆ)(ˆc
c
tz
ctez
c
c
zttkk deezV
k
k
k φφ γγ mm dl
zzkk
kk VezV ˆ 0ˆ
0 eˆeˆ)(ˆγγ mm ±±± == (3.8)
Nótese que aunque la definición dada por la ecuación 3.7 es similar a la
utilizada en electrostática para definir diferencia de potencial, se diferencia
por la evaluación de la integral en zk=cte, la cual es necesaria porque el campo
eléctrico sólo es conservativo en los planos zk=cte.
La ecuación 3.8 establece que el voltaje incidente o reflejado en una
línea de transmisión es una onda plana uniforme escalar que se propaga en
sincronía con el campo eléctrico incidente o reflejado, según corresponda, y
además tiene su misma amplitud y fase.
Esto puede corroborarse obteniendo la expresión para el voltaje
incidente o reflejado instantáneo:
( ))ˆarg(coseˆ),( 0 0 ±±± += VztVtzv kkzkk kk βωα mm (3.9)
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3.3.3 Voltaje total
El voltaje total en la k-ésima línea de transmisión se define en el
dominio fasorial como la suma del voltaje incidente más el voltaje reflejado:
)(ˆ)(ˆ)(ˆ kkkkkk zVzVzV−+ +≡ (3.10)
Al sustituir los voltajes incidentes y reflejados dados por la ecuación
3.8, se tiene:
zzkk
kk VVzV ˆ 0ˆ
0 eˆeˆ)(ˆγγ +−−+ += (3.11a)
o equivalentemente:
+= ++
−−+ zz
kkkk
V
VVzV ˆ2
0
0 ˆ
0 eˆ
ˆ1eˆ)(ˆ γγ (3.11b)
3.3.4 Corrientes incidentes y reflejadas
La corriente incidente o reflejada en la k-ésima línea de transmisión se
define en el dominio fasorial como:
ctezckkk
k
zI
=∂
±±∫ ⋅≡
1
)(ˆ)(ˆ dlrH (3.12)
donde 1c∂ es el contorno del conductor 1 (al cual se le asignó 1)( 1 =ctφ ) en el
plano zk=cte.
Al usar las ecuaciones 3.1 a 3.3, queda:
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( )∫
∫
∂
±
=∂
±±
⋅×∇±=
⋅∇−
×±=
1
1
ˆ 0
ˆ 0
ˆeˆ
ˆeˆ
)(ˆ
c
ttk
z
ctezck
ztt
kk
k
k
k
e
ezI
dl1
dl1
z
z
φη
ηφ
γ
γ
m
m
zkk
kIzI ˆ 0 eˆ)(γm±± = (3.13)
donde:
( )∫∂
±± ⋅×∇±=
1
0
0ˆ
ˆˆ
c
ttk
eI dl1zφ
η (3.14)
Nótese que aunque la definición dada por la ecuación 3.12 es similar a
la Ley de Ampère en estática, se diferencia por la evaluación de la integral en
zk=cte, la cual es necesaria porque el campo eléctrico sólo es conservativo en
los planos zk=cte.
La ecuación 3.13 establece que la corriente incidente o reflejada en una
línea de transmisión es una onda plana uniforme escalar que se propaga en
sincronía con el campo magnético incidente o reflejado, según corresponda, y
además tiene fase igual y amplitud proporcional a la amplitud de dicho campo.
Lo anterior puede corroborarse obteniendo la expresión para la corriente
incidente o reflejada instantánea:
( ))ˆarg(cos eˆ),( 0 0 ±±± += IztItzi kkzkk kk βωα mm (3.15) donde:
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( ) ( )∫∫∂
±
∂
±± ⋅×∇=⋅×∇=
11
0 0
0 ˆ ˆ
ˆˆ
c
tt
c
ttk
he
I dl1dl1 zz φφη
)ˆarg()ˆarg()ˆarg()ˆarg( 000 kehI η−==±±±
3.3.5 Corriente total
La corriente total en la k-ésima línea de transmisión se define en el
dominio fasorial como la suma de la corriente incidente más la corriente
reflejada:
)(ˆ)(ˆ)(ˆ kkkkkk zIzIzI−+ +≡ (3.16)
Al sustituir las corrientes incidentes y reflejadas dadas por la ecuación
3.13, se tiene:
kkkk zzkk IIzI
ˆ 0 ˆ 0 eˆeˆ)(ˆ
γγ +−−+ += (3.17a)
o equivalentemente:
+= ++
−−+ kkkk zz
kkI
IIzI ˆ2
0
0 ˆ
0 eˆ
ˆ1eˆ)(ˆ γγ (3.17b)
Partiendo de la ecuación 3.14 puede verse que:
+
−
+
−
+
−−=−=
0
0
0
0
0
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
V
V
e
e
I
I
3.3.6 Coeficiente de reflexión generalizado
Se define como coeficiente de reflexión generalizado en la k-ésima línea
de transmisión al cociente de su voltaje reflejado entre su voltaje incidente:
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kkkk zkk
z
kk
kkkk ee
V
V
zV
zVz ˆ2 ˆ2
0
0 )0(ˆˆ
ˆ
)(ˆ
)(ˆ)(ˆ γγ +−++
−
+
−Γ==≡Γ (3.18)
En términos del coeficiente de reflexión generalizado, el voltaje total y
la corriente total resultan ser:
( )( )kkkk zkkz
kkkkkk
V
zzVzV
ˆ2 ˆ
0
e)0(ˆ1eˆ
)(ˆ1)(ˆ)(ˆ
γγ +−−+
+
Γ+=
Γ+= (3.19)
( )( )kkkk zkkz
kkkkkk
I
zzIzI
ˆ2 ˆ
0
e)0(ˆ1eˆ
)(ˆ1)(ˆ)(ˆ
γγ +−−+
+
Γ−=
=Γ−= (3.20)
Puede verse que el voltaje total y la corriente total en una línea de
transmisión, al tener expresiones similares a las de las componentes del campo
eléctrico y del campo magnético en un problema de incidencia normal con
múltiples medios, tienen el mismo comportamiento de éstos últimos. En
particular, para líneas de transmisión sin pérdidas el voltaje total y la corriente
total tienen un patrón de onda estacionaria con período espacial igual a λk/2,
de tal manera que los máximos adyacentes del voltaje y la corriente están
separados una distancia igual a λk/4.
3.3.7 Impedancia generalizada
Se define como impedancia generalizada en la k-ésima línea de
transmisión al cociente del voltaje total entre la corriente total:
)(ˆ1
)(ˆ1ˆ
)(ˆ1
)(ˆ1
ˆ
ˆ
)(ˆ
)(ˆ)(ˆ 0
0
0
kk
kkk
kk
kk
k
k
kk
kkkk
z
zZ
z
z
I
V
zI
zVzZ
Γ−
Γ+=
Γ−
Γ+=≡ +
+ (3.21)
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donde el parámetro kZ0ˆ se denomina impedancia característica de la línea, y
viene dado por:
( )∫∂
+
+
⋅×∇==
1
0
00
ˆ
ˆ
ˆˆ
c
tt
k
k
kk
I
VZ
dl1zφη
(3.22)
De la ecuación 3.21 se obtiene que:
kkk
kkkkk
ZzZ
ZzZz
0
0
ˆ)(ˆ
ˆ)(ˆ)(ˆ
+
−=Γ (3.23)
Es importante destacar que la ecuación 3.21 para la impedancia
generalizada es idéntica a la de la impedancia generalizada en el problema de
incidencia normal sobre múltiples medios, salvo que la impedancia intrínseca
del medio es reemplazada por la impedancia intrínseca de la línea. De la
misma manera, la ecuación 3.23 que relaciona al coeficiente de reflexión
generalizado con la impedancia generalizada es idéntica a la del problema de
incidencia normal sobre múltiples medios, excepto en que la impedancia
intrínseca del medio es reemplazada por la impedancia intrínseca de la línea.
De acuerdo con la ecuación 3.22, la impedancia característica es
proporcional a la impedancia intrínseca, con un factor de proporcionalidad que
depende de la geometría de la línea, la cual determina la forma de tt φ ∇ . A
manera de ejemplo, a continuación se calcula la impedancia característica de
un cable coaxial.
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Ejemplo 3.2: Impedancia característica de un cable coaxial
Para un cable coaxial de radios a y b se obtuvo en el ejemplo 3.1 que la
función tφ viene dada por:
( )( ) baabb
t
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48
A fin de hacer posible a gran escala la interconexión en cascada de
líneas de transmisión con generadores y cargas, se ha recurrido a la
estandarización del tipo de conectores y de impedancias. Los tipos de
conectores más comunes son el BNC, como el del cable del osciloscopio, el F
utilizado para señales de televisión y el tipo N, usado fundamentalmente en
microondas. Cada tipo de conector está asociado a unas dimensiones
específicas de cable, de manera que los distintos cables reciben las mismas
denominaciones que sus conectores.
Por su parte, las impedancias características más empleadas son las de
50 ohm, 75 ohm y 300 ohm. La importancia de la normalización de
impedancias se hará más patente cuando se calcule la potencia transmitida en
un sistema de líneas de transmisión y se deduzca la condición para máxima
transferencia de potencia. Nótese que las impedancias características estándar
son reales, esto implica que se supone que a las frecuencias normales de
operación el dieléctrico es un buen aislante y puede despreciarse el ángulo de
su impedancia intrínseca.
3.3.8 Solución de problemas de redes con LTU
Las redes que incorporan LTU generalmente incluyen generadores de
señales y dispositivos pasivos lineales conectados mediante conductores. Los
tipos de interconexión más comunes son las conexiones en cascada y
conexiones en paralelo. Entre los tipos de problemas más comunes se
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encuentran la determinación de impedancias desconocidas partiendo de datos
del patrón de onda estacionaria de voltaje o de corriente, y el cálculo de
voltajes y/o corrientes en algunos de los elementos de la red.
La solución de problemas de redes con LTU invariablemente conllevan
el cálculo de impedancias y coeficientes de reflexión en los extremos de cada
segmento de línea de transmisión (ecuaciones 3.18, 3.21 y 3.23). Con
frecuencia también se trabaja con las definiciones de voltaje y corriente total
en términos del coeficiente de reflexión (ecuaciones 3.19 y 3.20). Todos estos
conceptos se utilizan en conjunto con los fundamentos del análisis de circuitos
en corriente alterna (C.A.).
A continuación se presentan tres ejemplos de solución de problemas de
redes de C.A. con líneas de transmisión.
Ejemplo 3.3: Cálculo de impedancia de entrada
Calcular la impedancia de entrada en el circuito de la figura 3.5.
ZL=40+j80 Ω
Zin
λ2/4λ1/8
(Z01=75 Ω) (Z02=50 Ω)
Fig. 3.5: Circuito para el ejemplo 3.3
Solución
a) Se calcula el coeficiente de reflexión en la carga.
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50
°∠=++−+=
+−
=Γ 4915,556695,0508040
508040ˆˆ
ˆˆˆ
02
02j
j
ZZ
ZZ
L
LL
b) Se calcula el coeficiente de reflexión y la impedancia a la entrada de la
línea 2.
( ) °∠−=Γ−=−Γ=−Γ 4915,556695,0ˆ4/2expˆ)4/(ˆ 2222 LL j λβλ
Según el resultado obtenido, un trozo de línea de transmisión sin pérdidas
de ¼ de longitud de onda tiene en su puerto de entrada el negativo del
coeficiente de reflexión que tiene en su puerto de salida. Este resultado
siempre puede utilizarse en situaciones similares.
Ω−=
=°∠+°∠−Ω=
−Γ−−Γ+=−
0012,255023,12
4915,556695,01
4915,556695,01 50
)4/(ˆ1
)4/(ˆ1ˆ)4/(ˆ22
220222
j
ZZλλλ
Como método alterno de solución, puede demostrarse (se dejan los detalles
como ejercicio para el estudiante) que la impedancia de entrada de
cualquier segmento de línea de transmisión sin pérdidas de ¼ de longitud
de onda es:
)0(ˆ)4/(ˆ
20
Z
ZZ =−λ
En este caso queda Ω−=− 255,12)4/(ˆ 22 jZ λ . La diferencia en los
decimales con el resultado anterior se debe a errores numéricos de
aproximación.
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51
c) Se calcula el coeficiente de reflexión en el extremo derecho de la
primera línea.
°−∠=+−−−=
+−−−=Γ − 2532,1427397,0
75255,1275255,12
ˆ)4/(ˆ
ˆ)4/(ˆ)0(ˆ
012
01211 j
j
ZZ
ZZ
λλ
d) Se calcula el coeficiente de reflexión y la impedancia a la entrada de la
línea 1, que es la impedancia de entrada del circuito.
( ) ( ) ( )°∠=°−∠=
−Γ=−Γ=−Γ −−+
7468,1277397,02532,2327397,0
2/exp)0(ˆ8/2exp)0(ˆ)8/(ˆ 11221111 πλβλ jj
( )( )
Ω+=°∠Ω=
°∠−°∠+Ω=
−Γ−−Γ+=−= +
+
9391,360493,158336,67 8871,39
7468,1277397,01
7468,1277397,01 75
)8/(ˆ1
)8/(ˆ1ˆ)8/(ˆˆ11
110111
j
ZZinZλλλ